如何确定两个函数图象的交点及其延伸

如何确定两个函数图象的交点及其延伸

在同一直角坐标系中,判断两个函数的图象有无交点、交点的个数以及交点的坐标时,可以将问题转化为方程或方程组的解的情况.

对于两个函数()x f y =和()x h y =,若它们对应的方程组()

()⎩

⎨

⎧==x h y x f y 有解,则它们的图象有交点,并且解的个数等于交点的个数,x 的解是交点的横坐标,y 的解是交点的纵坐标;若方程组无解,则它们的图象无交点. 注意:

（1）上面的思想方法即数形结合思想.

（2）用方程或方程组的解的情况来说明两个函数的图象的交点情况,这是“以数助形”.

数形结合思想包括两个方面:“以形助数”和“以数助形”.

（3）在解方程或方程组时,我们也可以从方程或方程组中抽象出两个函数（即构造两个函数）,把方程或方程组的解的问题转化为两个函数图象的交点问题,这是“以形助数”.

（4）在解二元一次方程组时,我们可以构造两个一次函数,根据它们的图象来确定二元一次方程组的解的情况:若两个一次函数的图象有交点,则二元一次方程组有解;若两个一次函数的图象无交点（此时两个函数的图象互相平行）,则二元一次方程组无解.因为两个一次函数的图象如果有交点,交点只有一个,所以二元一次方程组有解时只有一组解,且交点的坐标就是方程组的对应解.

特别地,如果两个一次函数的图象重合,那么二元一次方程组有无数个解. （5）关于x 的一元一次方程0=+b kx 的解,就是一次函数b kx y +=的图象与x 轴（直线0=y ）的交点的横坐标.

例 1. 已知二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=-225y x y x 的解为⎩⎨

⎧=-=14

y x ,则在同一直角坐标系中,直线5:1+=x y l 与直线12

1

:2--=x y l 的交点坐标为_________.

分析:方程组⎩⎨⎧-=+-=-2

25

y x y x 所对应的两个函数为5+=x y 和121--=x y ,所以方程

图（3）

组的解⎩⎨⎧=-=1

4

y x 即为两个函数的图象的交点坐标,其中4-=x 为交点的横坐.

习题 1. 如果直线33-=x y 与直线32

3+-=x y 的交点坐标是⎪⎭⎫

⎝⎛a ,34,那么

=a _________,方程组⎩

⎨⎧=+=+-6320

33x y x y 的解是__________.

习题 2. 如图（1）所示是一次函数b kx y +=与n mx y +=的图象,则二元一次方

程组⎩

⎨⎧+=+=n mx y b

kx y 的解是__________.

图（1）

图（2）

x ) = 1

3

∙x + 1

) = x 1

例2. 方程x x 31

11=

--的解为__________. 分析:由x x 3111=--得:1311+=-x x ,构造两个函数:1-=x y 和131

+=x y ,

它们的图象如图（2）所示,观察图象的交点情况,交点的个数即为方程解的个数,交点的横坐标即为方程的解. 另解:分为两种情况:

（1）当x ≥1时,得x x 31

11=

--,解之得:3=x ,（2）当1

11=--,解之得:0=x ,综上所述,该方程的解为0=x 或3=x .

我们把本题中的方程叫做绝对值方程.

习题3. 一次函数b kx y +=的图象如图（3）所示, 则方程0=+b kx 的解为 【 】

（A ）2=x （B ）2=y （C ）1-=x （D ）1-=y

习题 4. 直线12-=x y 与直线32-=x y 的位置关系是__________,所以方程组

⎩

⎨

⎧-=+=321

2x y x y 的解的情况是__________. 利用一次函数的图象解二元一次方程组

在两个一次函数11b x k y +=和22b x k y +=的图象的交点处,自变量的取值和

对应的函数值同时满足这两个函数关系式,交点的坐标就是方程组⎩⎨

⎧+=+=2211b x k y b x k y 的解,其中交点的横坐标就是x 的解,交点的纵坐标就是y 的解,因此我们可以利用函数的图象求方程组的解.

注意:

（1）任何一个二元一次方程组都对应两个一次函数,从“数”的角度看,求方程组的解就是求当自变量为何值时两个函数的值相等;从“形”的角度看,解二元一次方程组就是求两条直线的交点坐标.所以在解二元一次方程组时,可以在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象,找到交点的坐标即可获得方程组的解.

（2）如果两个一次函数的图象平行（无交点）,那么二元一次方程组无解;如果两个一次函数的图象重合,那么二元一次方程组有无数个解;如果两个一次函数的图象相交（有一个交点）,那么二元一次方程组有唯一解.

习题5. 利用一次函数的图象,求二元一次方程组⎩

⎨⎧-=++=225

y x x y 的解.

解:如图（4）所示,分别作出一次函数=y ____________和=y ____________的图

象,得到它们的交点坐标是_________,即方程组⎩⎨⎧-=++=225

y x x y 的解为__________.

习题6. 利用函数的图象解方程组:⎩

⎨

⎧-=+=-522y x y x .

解:如图（5）所示,在同一直角坐标系中分别作出函数=y ____________和

=y ____________的图象,得到它们的交点坐标为_________,所以方程组⎩⎨

⎧-=+=-5

2

2y x y x 的解为__________.

图（4）

图（5）

习题7. 如图（6）所示,直线1:1+=x y l 与直线n mx y l +=:2相交于点()b P ,1. （1）求b 的值;

（2）不解关于y x ,的方程组⎩⎨

⎧

+=+=n mx y x y 1,请你直接写出方程组的解; （3）直线m nx y l +=:3是否也经过点P ?请说明理由.

图（6）