第三章 理想光学模型
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第三章理想光学模型(2)
N U
F
N
H M M
n
h H
F
U x
A
x
l
f
f
y B
l
拉赫推导公式
h (l )tg (U ) l tgU yftgU yf U tg
在近轴区时，tgU u, tgU u
yfu yf u (1)
任何球面系统近轴区都适用的拉赫公式
（2）物空间中每一条直线对应于像空间中唯一一条相应直 线，这两条直线称为共轭线。 （3）如果物空间的任意一点位于直线上，那么在像空间的 共轭点也必须在该直线的共轭线上。
高斯定义推广：
• 物空间中任意平面对应于像空间中惟一的共轭平 面； • 任一垂直于光轴的平面，其共轭平面仍于光轴垂 直； • 物空间中任意同心光束对应于像空间中有一共轭 的同心光束。
J nuy nuy
f n f n
(2)
理想光学模型的物像方焦距之间关系的重要公式
f n f n
注意：当系统中存在k个反射镜时：
f k 1 n (1) f n
理想光学模型的拉赫公式
n f 在公式yftgU yf U 中用 代替 可得 tg n f
第四节理想光学模型两焦距之间的关系及拉赫不变量理想光学模型的拉赫公式可得代替中用在公式这就是理想光学模型中的拉赫公式它是对于任意大小物体任意宽光束成像的普遍公式
第三章 理想光学系统(2)
复习
高斯成像定义
（1）物空间一个物点对应像空间中唯一的像点，这种一一 对应关系称为共轭，这两个对应点称为共轭点。
nytgU nytgU
这就是理想光学模型中的拉赫公式，它是对 于任意大小物体，任意宽光束成像的普遍公式。
几何光学-第三章-光学系统成像
请注意，这只是一种规定，不同需要可有不同的规定。
14
（2）计算光路 现定义两个平面，包含物点和光轴的平面叫做子午平面，包含主光线且与子午平面垂 直的平面是弧矢平面。
下面讨论子午平面内的成像问题。如图 3-3 所示的三角形 APC 和 A’PC，利用正弦定律 和折射定律，有 sin(I)=(S－R)sin(U)／R sin(I’)＝n sin(I)／n’ U’＝U＋I－I’ S’＝R＋R sin(I’)／sin(U’) (3-1) (3-2) (3-3) (3-4)
这四个公式被用来计算子午平面里实际光线的光路。若是已知 S 和 U 可求 S’和 U’。若 是 S 为固定值，S’将是 U 的函数，轴上一点以有限孔径角发出的光线，经光学系统成像时， 可能会存在像差（球差） 。 （3）近轴光路 如果 U 角很小，其对应的 I，I’和 U’也非常小，φ角也很小，它们的余弦值近似为 1。 这些角的正弦值可用弧度代替，可用小写字母表达它们：u，i，i’和 u’，满足这样条件的光 线都在离光轴很近的区域内，叫做近轴光线，讨论它们行为的光学就叫做近轴光学，也叫 做高斯光学。将上面四个公式内的角符号用小写字母代替，对应的物距，像距和曲率半径 以及垂直线段也用小写字母代替，有 i＝(s－r) u／r i’＝n i／n’ u’＝u＋i－i’ s’＝r＋r i’／u’ 三角公式求得：s u＝s’ u’, 则有 (3-5) (3-6) (3-7) (3-8)
它表明，经曲面折射，该平行光线通过第二主焦点 F’传播。 ★ 物方焦点。 即 根据物像共轭性，光轴上无穷远处一个像点的共轭点叫做物方
焦点 F，也叫做第一主焦点 F，顶点到该焦点的距离 OF=－f 表示第一焦距，或物方焦距。 s’＝∞，有(－n／s)＝(n’－n)／r，则 f＝s＝-nr／(n’－n)＝－n／φ 或 或 f＝-nr／(n’－n) φ＝－n／f （3－16a） （3－16b） （3－17）
《应用光学》第3章 理想像和理想光学系统
n' n n'n
l' l
上式两边同乘以l l'，得
r n'l nl' n'n ll' r
13
上式左边为0，对主点来说，将l'＝n'l / n代入右边得
n'n n' l 2 0 rn
由此得到l＝0，代入nl'＝n'l，又得l'＝0。所以球面
的两个主点H、H'与球面顶点重合。
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、球面焦距公式 按照球面定义像方焦点为无限远
•n1'= n2= 1.5163; •求: lF, lF', lH, lH', f, f'
采用计算机编程（MATLAB 程序）
22
• 已知条件
• r1=10;r2=-50;d1=5;h1=10;n1=1; • 同理可得：
• n1'=1.5163;n2=n1';
• r2=-10;r2=50;d1=5;h1=10;n1=1;
• 焦距是以相应的主点为原点来确定正负的，如果 由主点到相应焦点的方向与规定光线的正方向相同 为正，反之为负。在图3-1中，f<0 , f '>0. 以后将会 知道 f '>0为正系统，f '<0 为负系统。在图3-1中物 像方平行于光轴的光线高度均为 h，其共轭光线与 光轴的夹角为u和u'，则有：
学系统的物方焦点。显然，根据光路可逆原理，
物方焦点 F 经系统以后必成像于像方无限远的轴 上点。或者说，物方焦点与像方无限远的轴上点 是一对共轭点。
7
过物方焦点 F 的垂轴平面称为物方焦平面。显然，
《应用光学》第3章 理想光学模型(第4节)的放大率(有程序)
第五节 理想光学模型的放大率
一、垂轴放大率
上节 已给出与牛顿公式相对应的垂轴放大率公式：
y' x' f （3-2）
y f' x 由 上节 式（3-5）及角放大率公式
u' l 有 fl' nu nl'
u l'
f 'l n'u' n'l
（3-6）
当n=n' 时有 l' u
n
当物像方介质相等时 2
上式表明，若物体在沿轴方向有一定的长度时，例如 一个正方体，则由于垂轴和沿轴方向有不等的放大率， 其像不再是一个正方体。
应指出，上述各式只对沿轴微小线段适用，若沿轴方
向为一有限线段，此时轴向放大率以下式表示：
x' x2 'x1' , l' l2 'l1'
x x2 x1
11
理想光学模型图解求像的要点：要寻求一物点经理
想光学模型所成的像点的位置，只要设法寻找由物 点发出的任意两条光线经光学以后的出射共轭光线， 这两条共轭光线的交点便是像点。而要寻找物方某 一条光线的像方共轭出射光线，只要找出它在像方 必定要通过的两点或者是它在像方必定要通过的一 点和它的出射方向。
21
• 例3.1. 用作图法求下图中各薄透镜的焦点 F,F＇位置。
22
5
• 3.节点处的放大率 根据定义，xF'节点处的角放大
率 J ＝1，则由垂轴放大率和沿轴放大率公式有：
J
x' f'
f x
f f'
n n'
J
x' x
f f'
n n'
一、垂轴放大率
上节 已给出与牛顿公式相对应的垂轴放大率公式：
y' x' f （3-2）
y f' x 由 上节 式（3-5）及角放大率公式
u' l 有 fl' nu nl'
u l'
f 'l n'u' n'l
（3-6）
当n=n' 时有 l' u
n
当物像方介质相等时 2
上式表明，若物体在沿轴方向有一定的长度时，例如 一个正方体，则由于垂轴和沿轴方向有不等的放大率， 其像不再是一个正方体。
应指出，上述各式只对沿轴微小线段适用，若沿轴方
向为一有限线段，此时轴向放大率以下式表示：
x' x2 'x1' , l' l2 'l1'
x x2 x1
11
理想光学模型图解求像的要点：要寻求一物点经理
想光学模型所成的像点的位置，只要设法寻找由物 点发出的任意两条光线经光学以后的出射共轭光线， 这两条共轭光线的交点便是像点。而要寻找物方某 一条光线的像方共轭出射光线，只要找出它在像方 必定要通过的两点或者是它在像方必定要通过的一 点和它的出射方向。
21
• 例3.1. 用作图法求下图中各薄透镜的焦点 F,F＇位置。
22
5
• 3.节点处的放大率 根据定义，xF'节点处的角放大
率 J ＝1，则由垂轴放大率和沿轴放大率公式有：
J
x' f'
f x
f f'
n n'
J
x' x
f f'
n n'
第三章 理想光学系统
f、f’之间的关系： 但若系统所在的物像介质空间不一致，例如：一方位 于水中，一方位于空气中，则有n≠n’， 故有：f’≠−f 。
此外，焦距不仅与介质有关也与反射面的个数有关。 若设系统中有K个反射面，则：
f' K 1 n ' 1 f n
当n n '时，有：f ' (1)
k 1
符号法则 依然适用！
3.3.2 解析法求像（重点）
如图所示：我们首先利用作 图求出像的大致形状和位置。
2）牛顿形式的放大倍率公式：
3.3.2 解析法求像（重点）
2、高斯公式
1）高斯形式的物像位置关系式：
其物像位置的确定是以主点为原点来加以描述的。 式中，l为物距；l '为像距；
3.3.2 解析法求像（重点）
若光学系统所在物像空间位于同一介质中（n=n’)，则主点与节 点重合（即：H、H’与J、J’重合）。
3.3 理想光学系统的物像关系
3.3.1 图解法求像（重点） 3.3.2 解析法求像（重点） 3.3.3 多个光组组成的理想光学系统的成像 3.3.4 光学系统的光焦度、折射度和光束的 汇聚度
3.2 理想光学系统的焦点与焦平面、主点 与主平面、焦距、节点
问题：
F与F’是不是一对共 轭点？为什么？
3.2 理想光学系统的焦点与焦平面、主 点与主平面、焦距、节点
三、 主点及主面 1、作图说明
例如有一光学系统，这是光轴，现有一 条平行于光轴的光射入，高度为h，根 据共线成像理论，它一定有一个唯一的 共轭光线，该共轭光线与光轴相交于一 点，就是F '（像方焦点）。现将这一对 共轭光线延长，交于一点Q′ ，过Q′作垂 直于光轴的平面，交光轴上于一点H '， 则称该点为像方主点，该平面为像方主 面。
第三章理想光学模型(5)
n' n n' n l' l f ' f n ' 和 n 称为光束的会聚度，以符号 和 表示。 ' l ln' n 和 称为光学系统的光焦度，以符号Φ表示。
f
f
则上面公式可写为
n' n f' f
'
上式表示一对共轭点的光束会聚度之差等于光学 系统的光焦度。
U1
U2
U1
U2
a)实像
b)虚物
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U2
U1
U2
U1
a)实物
b)虚像
由以上讨论可以看出，对于在主面相同高度
两光束的会聚(或发散)程度，从两光束孔径
角 U 或 U 的大小来判断是直观和方便的。
ntgU ntgU h
一、光组在空气中
令光组在空气中则 n n 1 ，令此时光组在 空气中的光焦度为 。
U
0，tgU tgU 0
U U 0
U
U
此时，出射光线偏向光轴，光束经过光学系 统以后是会聚的。
若 0，则tgU tgU 0
有U U
U U 0
U
U
0，tgU tgU 0
U U 0
U
U
0 的光学系统称为正光焦度系统或会聚系统，
对光束起会聚作用。射入系统的共轭出射光线偏向光轴； 的光学系统称为负光焦度系统或发散系统， 0 对光束起发散作用。射入系统的共轭出射光线偏离光轴； 的光学系统称为无光焦度系统，无光焦度 系统对光束不起会聚作用或发散作用。射入系统的共轭 0 出射光线与其入射光线平行。 当入射光线在系统上投射点的高度 h 一定时，光 焦度 的大小完全表征了通过系统的后光线的偏折程 度。 的绝对值越大，则系统使出射光线相对于入射 光线偏折得越厉害。
第三章 理想光学系统
f = h tgU
f′=
h tgU ′
f′ n′ n =n′ 2） = − ） f n
f =−f′
h = ltgU = l ′tgU ′
(x + f )tgU = (x′ + f ′)tgU ′
y y′ ′=− f′ x = − f ,x y′ y ′ yftgU = − y ′f tgU ′
yfu = − y ′f ′ ′ u nuy = n ′u ′y ′
α = β1 β 2
3.角放大率： 3.角放大率： 角放大率
tgU ′ γ = tgU
tgU ′ y f 1 f 1 n γ = =− =− = tgU y′ f ′ β f ′ β n′
f x′ β =− =− x f′
γ =
1
β
x f 1 f = = γ =− β f ′ f ′ x′
4.三者关系： 4.三者关系： 三者关系
′ x2 = x1 − ∆1
……… …
d1 = H 1′H 2
相应于牛顿公式： 相应于牛顿公式：
光学间隔） ′ x k = x k −1 − ∆ k −1 （光学间隔）
∆1 = d1 − f1′ + f 2
……… …
∆1 = F1′F2
光学间隔Δ和主面间隔d 光学间隔Δ和主面间隔d 的关系为: 的关系为:
β<0， 物象虚实一致。 β<0， 物象虚实一致。 β>0， 物象虚实相反。 β>0， 物象虚实相反。
例：空气中有一薄光组，当把一高20mm的物置于物方焦 空气中有一薄光组，当把一高 的物置于物方焦 点左方400mm处时，将会在光组像方焦点右方 处时， 点左方 处时 将会在光组像方焦点右方25mm处 处 成一虚像。 成一虚像。 光组的焦距； 求：1. 光组的焦距； 2. 像的大小； 像的大小； 3. 物右移 物右移200mm，像移动多大距离？ ，像移动多大距离？
f′=
h tgU ′
f′ n′ n =n′ 2） = − ） f n
f =−f′
h = ltgU = l ′tgU ′
(x + f )tgU = (x′ + f ′)tgU ′
y y′ ′=− f′ x = − f ,x y′ y ′ yftgU = − y ′f tgU ′
yfu = − y ′f ′ ′ u nuy = n ′u ′y ′
α = β1 β 2
3.角放大率： 3.角放大率： 角放大率
tgU ′ γ = tgU
tgU ′ y f 1 f 1 n γ = =− =− = tgU y′ f ′ β f ′ β n′
f x′ β =− =− x f′
γ =
1
β
x f 1 f = = γ =− β f ′ f ′ x′
4.三者关系： 4.三者关系： 三者关系
′ x2 = x1 − ∆1
……… …
d1 = H 1′H 2
相应于牛顿公式： 相应于牛顿公式：
光学间隔） ′ x k = x k −1 − ∆ k −1 （光学间隔）
∆1 = d1 − f1′ + f 2
……… …
∆1 = F1′F2
光学间隔Δ和主面间隔d 光学间隔Δ和主面间隔d 的关系为: 的关系为:
β<0， 物象虚实一致。 β<0， 物象虚实一致。 β>0， 物象虚实相反。 β>0， 物象虚实相反。
例：空气中有一薄光组，当把一高20mm的物置于物方焦 空气中有一薄光组，当把一高 的物置于物方焦 点左方400mm处时，将会在光组像方焦点右方 处时， 点左方 处时 将会在光组像方焦点右方25mm处 处 成一虚像。 成一虚像。 光组的焦距； 求：1. 光组的焦距； 2. 像的大小； 像的大小； 3. 物右移 物右移200mm，像移动多大距离？ ，像移动多大距离？
[数学]第3章 理想光学系统
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fl f l
理想光学系统的垂轴放大率与 物体所处位置和系统的焦距有关。
3.4 理想光学系统两焦距之间的关系式 及拉赫不变量
一、两焦距之间的关系 由直角三角形 AQH和AQH， 可得：
h ltgU l tgU 即( x f )tgU ( x f )tgU (1)
yfu yf u (5)
共轴球面系统近轴区适用的拉赫公式为
J nyu nyu (6)
f n (7) f n
结论：理想光学系统的像方焦距与物方焦距 之比等于相应介质折射率之比的负值。 光学系统位于同一种介质中（ n n ）： 物像方介质折射率相等，则有 f f (8) 说明：系统位于同一介质中时， 两焦距大小相等，符号相反。
l l
( 4)
二、轴向放大率 1.定义：轴上像点移动微小距离与物点移动的微小距离之 比。
dl dx 2.大小：对牛顿公式或高斯公式微分，可得 dl dx
dx x dx x
xx f f f f 1 l l
微分
(5)
dl fl 2 2 dl f l
3.1理想光学系统的基本特性
4.位于垂直于光轴同一平面内的物体，其像的几 何形状和物完全相似，也就是说，在整个物平 面上，无论什么位置，垂轴放大率为常数。
注：当光学系统物象空间满足理想成像关系时， 一般来说，物像并不相似。在共轴理想光学系统 中，只有垂直于光轴的平面才具有物像相似的性 质。
3.1理想光学系统的基本特性
高斯公式：用焦距（ f和f ）表示物像位置关系， 物象位置用（l和l ）表示。 已知 x l f , x l f 根据牛顿公式 xx ff
《应用光学》第3章 理想光学模型第6节
三、两光组组合 在实际中，两光组的组合是经常遇到 的情况，两光组组合的焦距和基点、基面计算公式。
1.牛顿形式的两光组组合公式
图 (3-16)
设一个光组的主面为H1、H1'，焦点为F1，F1'；另一 个光组的主面为H1、H1'，焦点为F1，F1'。如图3－ 16所示，该两光组之间的相对位置用第一光组像方焦 点F1'到第二光组物方焦点F2的距离表示， 的符号 规定如下：以F1'为起点，计算到F2，由左向右为正， 反之为负。由该两光组组成的组合光组主点为H、H'， 焦点为F、F'，焦距为f、f '。
（3-5）
各光组对总光焦度的贡献
利用（3－5）式计算组合焦距时，需令u1=0, 这样第 一式变成n2u2＝h11，将它带入n3u3＝n2u2+h22有 n3u3＝h11 +h22, 再带入n4u4＝n3u3+h33就可以得到 n4u4＝h11 +h22＋ h33 ，依次代换可得：
k
nk 'uk ' h11 h22 hkk hii i 1 （3-6）
• 对于光学模型之间的间隔在这里有新的规定。高斯 公式是以前一系统的像方主点到后一系统的物方主 点的距离规定为间隔 d。牛顿公式是以前一系统的 像方焦点到后一系统的物方焦点的距离定义为光学 间隔△。二者的符号规则都是以顺着规定的光线正 方向为正，反之为负，其余类推。
图 (3-16)
按照焦点的性质，平行于光轴入射的光线，通过
f2
n(r2
r1) (n n 1
1)d
透镜的焦距为
f ' f1' f2 '
nr1r2
f
(n 1)[n(r2 r1) (n 1)d ]
1.牛顿形式的两光组组合公式
图 (3-16)
设一个光组的主面为H1、H1'，焦点为F1，F1'；另一 个光组的主面为H1、H1'，焦点为F1，F1'。如图3－ 16所示，该两光组之间的相对位置用第一光组像方焦 点F1'到第二光组物方焦点F2的距离表示， 的符号 规定如下：以F1'为起点，计算到F2，由左向右为正， 反之为负。由该两光组组成的组合光组主点为H、H'， 焦点为F、F'，焦距为f、f '。
（3-5）
各光组对总光焦度的贡献
利用（3－5）式计算组合焦距时，需令u1=0, 这样第 一式变成n2u2＝h11，将它带入n3u3＝n2u2+h22有 n3u3＝h11 +h22, 再带入n4u4＝n3u3+h33就可以得到 n4u4＝h11 +h22＋ h33 ，依次代换可得：
k
nk 'uk ' h11 h22 hkk hii i 1 （3-6）
• 对于光学模型之间的间隔在这里有新的规定。高斯 公式是以前一系统的像方主点到后一系统的物方主 点的距离规定为间隔 d。牛顿公式是以前一系统的 像方焦点到后一系统的物方焦点的距离定义为光学 间隔△。二者的符号规则都是以顺着规定的光线正 方向为正，反之为负，其余类推。
图 (3-16)
按照焦点的性质，平行于光轴入射的光线，通过
f2
n(r2
r1) (n n 1
1)d
透镜的焦距为
f ' f1' f2 '
nr1r2
f
(n 1)[n(r2 r1) (n 1)d ]
第三章 理想光学系统(20140310)
tgU h/l 1 f 1 n tgU h / l' f n
f x x f
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 f x f f f x
4.三者关系：
5. 拉赫不变量：
nytgU ny tgU
对薄透镜，几个特殊位置的 β、α、γ
x x f f
（牛顿公式）
放大率公式为：
y f x y x f
2. 高斯公式 物和象的位置以主点 H、H′为原点来确定， 以l、l′表示。
-f f’
l HA, l H A
由图，有：
x l f , x l f
代入牛顿公式，得：
目的：求等效光组的基点、基面或将一个理想光组分解为 几个光组，求每个光组的基点。 f1′
F1’ H1
△
-f2′
F2’ H2
H1’
F1
d
H2’ F2
一、双光组组合： 1. 图解法： 已知条件：
光组I：f1、 f1′ 光组II：f2、 f2′
光组间隔d
光学间隔Δ ＝d- f1′+ f2
1）从物方作图到像方
光学系统在同一种介质中时，有 l 则： l
1 1 1 高斯公式： l l f
f f
-f
f’
例：空气中有一薄光组，当把一高20mm的物置于物方焦 点左方400mm处时，将会在光组像方焦点右方25mm处 成一虚像。
求：1. 光组的焦距；
2. 像的大小； 3. 物右移200mm，像移动多大距离？
焦平面：过焦点的垂轴平面 说明：1）F、F′不是一对共轭点，物 方焦平面和像方焦平面也不为共轭面。 2）由物方无限远处射来的任何 方向的平行光束，汇聚于像方焦平面上 一点。
第3章 理想光学模型(第4节)的放大率(有程序)
L2 L1 'd1 , L3 L2 'd 2 ,, Lk Lk 1 'd k 1 U 2 U1 ' ,U 3 U 2 ' ,,U K U K 1 '
r
（2－12） （2－13）
•
• 以上公式中，Q称为阿贝不变量，这个量在物 像空间应相等。φ为光焦度，是光学系统的一 个重要参数。
28
还有在§2-4 共轴球面系统中讲过的转面公式
物体A1B1(y1) 经第一面成像后的像A1'B1'(y1') 就 是第二面的物体A2B2(y2) ；第一面物方孔径角u1的 近轴光线折射后的像方孔径角 u1'就是第二面的物方 孔径角u2 ；第一面的像方折射率 n1'就是第二面的 物方折射率n2 。其余类推，就有（转面公式）：
n'n n' 2 l 0 r n
由此得到l＝0，代入nl'＝n'l，又得l'＝0。所以球面 的两个主点H、H'与球面顶点重合。
24
2、球面焦距公式 按照球面定义像方焦点为无限远 物点的共轭点，焦距即从主点到 焦点的距离。由于球面的主面位 于球面的顶点，故球面的焦距即 为球面顶点到焦点的距离。
二、透镜的共轴球面解法 • 可以把透镜看成两个 折射球面组成的共轴 球面系统用近轴光线 公式对无穷远轴上物 点发出的一条平行于 光轴的光线进行光路 追迹，见右图。
26
回顾：由教材p.18
l r i u r
（2－6） （2－7） （2－8） （2－9）
n i' i n'
u' i u i'
• 另一种方法，如图3-8b所示。认为由轴上点 A 发出的光线 AM 是焦平面上的一点 B 发出的光 束中的一条。为此，可以由该光线与前焦面的 交点 B 引出一条于光轴平行的辅助光线 BN,其 由光学系统射出后通过像方焦点F' ,即光线N'F' ， 显然，光线 AM 的共轭光线M'A' 应与光线N'F' 平行。其与光轴的交点A' 即轴上点 A 的象。
r
（2－12） （2－13）
•
• 以上公式中，Q称为阿贝不变量，这个量在物 像空间应相等。φ为光焦度，是光学系统的一 个重要参数。
28
还有在§2-4 共轴球面系统中讲过的转面公式
物体A1B1(y1) 经第一面成像后的像A1'B1'(y1') 就 是第二面的物体A2B2(y2) ；第一面物方孔径角u1的 近轴光线折射后的像方孔径角 u1'就是第二面的物方 孔径角u2 ；第一面的像方折射率 n1'就是第二面的 物方折射率n2 。其余类推，就有（转面公式）：
n'n n' 2 l 0 r n
由此得到l＝0，代入nl'＝n'l，又得l'＝0。所以球面 的两个主点H、H'与球面顶点重合。
24
2、球面焦距公式 按照球面定义像方焦点为无限远 物点的共轭点，焦距即从主点到 焦点的距离。由于球面的主面位 于球面的顶点，故球面的焦距即 为球面顶点到焦点的距离。
二、透镜的共轴球面解法 • 可以把透镜看成两个 折射球面组成的共轴 球面系统用近轴光线 公式对无穷远轴上物 点发出的一条平行于 光轴的光线进行光路 追迹，见右图。
26
回顾：由教材p.18
l r i u r
（2－6） （2－7） （2－8） （2－9）
n i' i n'
u' i u i'
• 另一种方法，如图3-8b所示。认为由轴上点 A 发出的光线 AM 是焦平面上的一点 B 发出的光 束中的一条。为此，可以由该光线与前焦面的 交点 B 引出一条于光轴平行的辅助光线 BN,其 由光学系统射出后通过像方焦点F' ,即光线N'F' ， 显然，光线 AM 的共轭光线M'A' 应与光线N'F' 平行。其与光轴的交点A' 即轴上点 A 的象。
大学物理：第三章 理想光学系统
2. 像的大小；
3. 物右移200mm，像移动多大距离？
例：有一光组将物放大3倍，成像在影屏上，当透镜向物 体方向移动18mm时，物象放大率为4倍。求光组焦距。
三、由多个光组组成的理想光学系统
相应于高斯公式：
l2 l1 d1
………
d1 H1H 2
lk …lk1 d k1 （主面间隔）
相应于牛顿公式：
l HA,l H A
由图，有： x l f , x l f
代入牛顿公式，得： lf lf ll
f f 1 l l
n n n n l l f f
放大率公式为：
f f f f l nl
x f x f l n l
x f f f f f x f
x2 x1 1
………
1 F1F2
xk … xk 1 k1 （光学间隔）
光学间隔Δ和主面间隔d 的关系为:
1 d1 f1 f 2
………
k 1 …d k 1 f k1 f k 1
垂轴放大率为： yk y1 y2 yk
y1 y1 y2
yk
1 2 k
四、光学系统的光焦度
f h tgU
象方主点H′到象方焦点F′的距离称为象方 焦距（后焦距或第二焦距）
f h tgU
说明：
1）对于理想光学系统，不管其结构（r,d,n）如何，只 要知道其焦距值和焦点或主点的位置，其光学性质就确 定了。
2） f n n =n′ f f
fn
h ltgU ltgU
x f tgU x f tgU
§ 3－2 理想光学系统的基点、基面
1. 焦点、焦平面 物方焦点：对应像点在像方光轴上无限远处
焦点 像方焦点：对应物点在物方光轴上无限远处
3. 物右移200mm，像移动多大距离？
例：有一光组将物放大3倍，成像在影屏上，当透镜向物 体方向移动18mm时，物象放大率为4倍。求光组焦距。
三、由多个光组组成的理想光学系统
相应于高斯公式：
l2 l1 d1
………
d1 H1H 2
lk …lk1 d k1 （主面间隔）
相应于牛顿公式：
l HA,l H A
由图，有： x l f , x l f
代入牛顿公式，得： lf lf ll
f f 1 l l
n n n n l l f f
放大率公式为：
f f f f l nl
x f x f l n l
x f f f f f x f
x2 x1 1
………
1 F1F2
xk … xk 1 k1 （光学间隔）
光学间隔Δ和主面间隔d 的关系为:
1 d1 f1 f 2
………
k 1 …d k 1 f k1 f k 1
垂轴放大率为： yk y1 y2 yk
y1 y1 y2
yk
1 2 k
四、光学系统的光焦度
f h tgU
象方主点H′到象方焦点F′的距离称为象方 焦距（后焦距或第二焦距）
f h tgU
说明：
1）对于理想光学系统，不管其结构（r,d,n）如何，只 要知道其焦距值和焦点或主点的位置，其光学性质就确 定了。
2） f n n =n′ f f
fn
h ltgU ltgU
x f tgU x f tgU
§ 3－2 理想光学系统的基点、基面
1. 焦点、焦平面 物方焦点：对应像点在像方光轴上无限远处
焦点 像方焦点：对应物点在物方光轴上无限远处
第三章理想光学模型(8)
第十究了被基点、基面确定的 从实际光学系统中抽象出来的理想光学模型的光 学性质。 • 从本节开始的最后两节中，将讨论如何把一个理 想光学模型转化成一个实际的光学系统问题。 • 透镜是由两个折射球面所包围的透明体，实际应 用最广泛的是球面透镜。 • 两球面球心的连线就是透镜的光轴，球面与光轴 的交点是球面的顶点，两顶点之间的距离就是透 镜的中心厚度。
当 d 较小时， 0，f ' 0 n 1 n 1 lH ' f ' d 1 0, lH f ' d 2 0 n n H和H '点均在透镜内部。
2. 平凸透镜 ：这种透镜 r1=∞,ρ1=0,r2＜0, ρ2＜0。 (n 1) 2 0, f ' 0 ，这是焦距大小 与透镜厚度 d 无关的正透镜。
二、透镜的理想光学模型
透镜可以看成由两个折射球面组成的共轴球 面系统。要求得它的理想光学模型的焦距和基点 位置，只要应用两光组组合公式就可以得到。
n 1 1 1 (n 1) f1 ' f1 1 n 2 2 (1 n) f2 ' f2
d 1 2 代入式 有 n2 d (n 1) 1 (n 1) 2 (n 1) 2 1 2 n 1 2
B y A
F1
H1 U
N
H1 F2
F1 H 2
H 2 A
N
B
F2
U
X x2
X x1 f1
d f1 f 2
f 2
望远系统中的物距是从 1光组的F1到物点的距离，用 表示； 第 X 像距是从第2光组的F2到像点的距离，用 表示。 X 它们的符号是分别以 1和F2为原点按沿轴线段的符 F 号规则确定的。
应用光学教学课件ppt作者刘晨第3章理想光学系统
应用光学第3章 理想光学系统3.1 理想光学系统的概念及性质3.2 理想光学系统的基点和基面、焦距3.3 理想光学系统的成像3.4 理想光学系统的组合3.5 透镜3.1 理想光学系统的概念及性质3.1.1 理想光学系统的概念3.1.2 理想光学系统的性质实际的光学系统要求用一定宽度的光束、对一定大小的范围成像。
在估计其成像质量时，需利用理想光学系统成像的概念。
如果光学系统对任意大的范围，以任意大的光束成像都是完善的，这样的光学系统便定义为理想光学系统。
1)物空间的每一点对应于像空间中的一点，且只有唯一的一点与之相对应，这两个对应点称为物像空间的共轭点。
2)物空间中的每一条直线对应于像空间中的一条直线，且只有唯一的一条直线与之相对应，这两条对应直线称为物像空间的共轭线。
3)物空间的任意一点位于直线上，那么其在像空间内的共轭点也必位于该直线的共轭线上。
4)物空间中的任一平面对应于像空间中的一个平面，且只有唯一的一个平面与之相对应，这两个对应平面称为物像空间的共轭面。
3.2 理想光学系统的基点和基面、焦距3.2.1 焦点、焦平面3.2.2 主点和主平面3.2.3 焦距3.2.4 节点和节平面图3-1 基点和基面图3-2 无限远轴外点和物方焦平面上点发出的光束a)无限远轴外点发出的光束 b)物方焦平面上点发出的光束如图3-1所示，延长入射光线A1E1和出射光线GkF′得交点Q′，同样延长光线A′kEk及物方的共轭光线G1F交于Q点。
根据光路的可逆性，物方光线FG1入射于光学系统后，其像方光线必沿E kA′k出射，物方光线A1E1入射于光学系统后，其像方光线必沿GkF′方向出射，显然Q和Q′是一对共轭点，分别过Q和Q′作垂直于光轴的平面QH、Q′H′交光轴于H点和H′点，此两平面同样也是共轭的。
由图可知QH=Q′H′=h，故其放大率β=+1，称这对放大率为+1的共轭面为主平面，QH称为物方主平面(前主面或第一主面)，Q′H′称为像方主平面(后主面或第二主面)。
第3章：理想光学系统
f ' f 2 d f 1 1 d 1 2 f' f1 ' f 2 ' f1 ' f 2 ' f 2 ' f1 ' f 2 ' f1 ' f 2 '
当两个系统位于同一种介质(例如空气)中时 f 2 ' f 2
1 2 d12
d=0时，即第一光 组的像方主平面和 第二光组的物方主 平面重合:
(3-30)
1 1 1 d f ' f 2 ' f1 ' f1 ' f 2 '
共轴理想光学系统特性: (1) 位于光轴上的物点对应的共轭像点必然位于光 轴上;位于过(包含)光轴的某一个截面内的物点对 应的共轭像点必位于同一平面内;同时, 过(包含) 光轴的任意截面成像性质都是相同的。可用一个 过(包含)光轴的截面来代表一个共轴系统。垂直于 光轴的物平面, 它的共轭像平面也必然垂直于光轴。 它的共轭像平面也必然垂直于光轴
主点和焦点的位置
3.3 理想光学系统的物像关系
对于确定的光学系统, 给定物体位置、大小、朝 向, 求其像的位置、大小、正倒及虚实。
§3.3.1 图解法求像 已知一个理想光学系统的主点(主面)和焦点的位置, 利用光线通过它们后的性质, 对物空间给定的点、 线和面, 通过画图追踪典型光线求出像的方法称为 图解法求像。
f1 f1 '
f f ' xF ' 2 2
f
f1 f 2
d f1 ' f 2
M'
d f1 ' f 2 f 'f ' f ' 1 2
第三章理想光学系统
A
F
F
3、垂轴放大率 1的一对共轭面—主平面
• 不同位置的共轭面对应着不同的放大率，但是 总存在有这样一对垂轴共轭面，其垂轴放大率 等于+1，我们把这对共轭平面称为主平面（简 称主面），主面与光轴的交点称为主点。在物 方的称为物方主面和物方主点，物方主点用H 表示；在像方的称为像方主面和像方主点，像
• ① 牛顿公式
• ② 高斯公式
2、解析法求像
B
(1)
Q Q'
y -U
(1)'
U'
A'
A
F
H H' F'
y'
(2)
(2)'
x
f
Q 1 Q'1 f '
B' x'
l
l'
• 牛顿公式
y' f y x
y' x'
xx' ff '
(3-3)
y f'
• 例3-8：有一理想光组,其焦距 已知 ff 200mm 物体的焦像距 ，x 问100物mm体位于何处？
• ① 如果一条物方光线经过物点P， 则对 应的像方光线必经过其共轭点P′；
• ② 如果物方的平面垂直于光轴，则像方 的共轭平面也垂直于光轴；
• ③ 在任何一对共轭的垂轴平面内，垂轴 放大率为一常数，即垂轴的平面物体物 像相似。
• 这个理论很重要，它是推导几何光学许 多重要定律的基础。请在今后学习中注 意领会其思想。
物像方处于相同 介质
f l' f x' f 'l x f '
l'2 f x'
第三章 理想光学模型
二. 理想光学模型组合焦距及基点
第九节 共轴理想光学模型的组合焦距及基点的确定
一.光组的连接（过渡公式） n2 n1 ', n3 n2 '
u2 u1 ', u3 u2 '
y2 y1 ', y3 y2 '
对于光学模型之间的间隔在这里有新的规定。高斯公 式是以前一系统的像方主点到后一系统的物方主点的距离 规定为间隔 d。牛顿公式是以前一系统的像方焦点到后一 系统的物方焦点的距离定义为光学间隔△。二者的符号规 则都是以顺着规定的光线正方向为正，反之为负，其余类 推。
第八节 会聚度、发散度和光焦度
在理想光学模型中,由物像位置关系的高斯公 式并利用两焦距间关系式有:
n' n n' n l' l f ' f
表示。
n f
n' 和 n 称为光束的会聚度，以符号 ' 和 l' l
n 和 称为光学系统的光焦度，以符号Φ f
表示。
则上面公式可写为
• 作业：
• 1.设一焦距为30mm的正透镜在空气中，在透 镜后面1.5f′，2f′，3f′和4f′处分别置一高度为 60mm的虚物。试用作图法，高斯公式和牛顿 公式求其像的位置和大小。 • 2.设一焦距为50mm的负透镜在空气中，在其 前置一高度为50mm的实物于4f′，3f′，2f′和 1.5f′处。试用作图法，高斯公式和牛顿公式求 其像的位置和大小。 • 设一焦距为30mm的负透镜在空气中，在其后 0.5f处，1.5f处，2.5f处和3.5f处有一虚物，试 用作图法，高斯公式和牛顿公式求其像的位置 和大小。
3.若 0 ，则 u ' u
第三章理想光学模型(4)
M M J H F
a b
Q
F
J
H
f0
利用物方焦平面和像方焦点的性质
Q
b
M M
a
F
N J
H
N J
H
b a
F
f0
利用物方焦平面和像方焦点的性质
a N
b
F M M
N J
H
a b Q
F
J
H
f0
• 一薄系统 f 150mm ，n 1.5 ，n 1 。物体高 度 y 10mm ，物距 x 50mm ，求物方焦距 f ， 像的位置 x 、 ，及像的大小、虚实、正倒。 l F • 已知薄的理想光学系统的物、像方焦点 F 、 和 1倍的一对共轭面 mo和 mo , mo 是虚物面， mo 是虚像面。利用作图法作出物体 的像 AB ， AB 见图3-20。
要寻找一物点经理想光学模型所成的像点的 位置，只要设法寻找由物点发出的任意两条光线 经光学模型以后的共轭出射光线，这两条共轭光 线的交点便是像点。 要寻找物方某一条光线的像方共轭出射光线， 只要找出它在像方必定要通过的两点或者是它在 像方必定要通过的一点和它的出射方向。
例1 已知理想光学模型的主点和焦点，求作A 点的像，光组在空气中，主点和节点重合。
N J
A F
N
Q
J
H F
H
A
例2 已知理想光学模型的节点、主点、焦点， 求作ABCD正方形的像。
B
C
n
N
M
N
n
M
A
D
A
D
F
H
H
J
J
F
B
C
例3 已知理想光学模型的主点、焦点，求AB物 体的像，光组在空气中
a b
Q
F
J
H
f0
利用物方焦平面和像方焦点的性质
Q
b
M M
a
F
N J
H
N J
H
b a
F
f0
利用物方焦平面和像方焦点的性质
a N
b
F M M
N J
H
a b Q
F
J
H
f0
• 一薄系统 f 150mm ，n 1.5 ，n 1 。物体高 度 y 10mm ，物距 x 50mm ，求物方焦距 f ， 像的位置 x 、 ，及像的大小、虚实、正倒。 l F • 已知薄的理想光学系统的物、像方焦点 F 、 和 1倍的一对共轭面 mo和 mo , mo 是虚物面， mo 是虚像面。利用作图法作出物体 的像 AB ， AB 见图3-20。
要寻找一物点经理想光学模型所成的像点的 位置，只要设法寻找由物点发出的任意两条光线 经光学模型以后的共轭出射光线，这两条共轭光 线的交点便是像点。 要寻找物方某一条光线的像方共轭出射光线， 只要找出它在像方必定要通过的两点或者是它在 像方必定要通过的一点和它的出射方向。
例1 已知理想光学模型的主点和焦点，求作A 点的像，光组在空气中，主点和节点重合。
N J
A F
N
Q
J
H F
H
A
例2 已知理想光学模型的节点、主点、焦点， 求作ABCD正方形的像。
B
C
n
N
M
N
n
M
A
D
A
D
F
H
H
J
J
F
B
C
例3 已知理想光学模型的主点、焦点，求AB物 体的像，光组在空气中
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dl'
dl
fl'2 f'l2
ff'2n nl'l'22
当物像方介质折射率相同时
l '2 l2
2
当 0 时，表示物体移动方向和像移动方向相
同。
三.角放大率g 角放大率是轴上一对共 轭点上，轴上物点 A 发出 的一对共轭光线孔径角U ' 和 U 的正切比。 高斯形式：
tgU ' u '
tgU u
物方焦平面——过物方焦点 F 的垂轴平面； 像方焦平面——过像方焦点F '的垂轴平面。
主平面：有相同高度 ，在光轴的同一侧，并且 垂轴 放大率+1为的共轭平面。
物方主点H——物方主面和光轴的交点；
像方主点H '——像方主面和光轴的交点。
物、像方焦点F、F ′ ，物、像方主点H、H ′称 为理想光学系统的基点，物、像方焦平面和物、 像方主平面称为它们的基面。
F
J J'
F'
F'
J J'
F
H H'
H H'
f '> 0
f '< 0
特 殊 光 线 的 共 轭 出 射 光 线
辅助线的作法
下面列举了对任意入射光线 a 借助于利用基点、基面性 质的辅助光线 b ，作出光线 a 的共轭出射光线可能的四种方 法。
f '> 0
折射后的出射光线平行于光轴； （3）过物方节点J的入射光线，经过光学
系统后的出射光线必通过像方节点J'。
• 有时为了作图方便，可根据焦平面性质 作图：
• （1）入射光线可认为是由轴外无限远物 点发出的平行光束（斜光束）中的一条。
• （2）入射光线可认为是由前焦面上一点 发出来的光束中的一条。
作图的根本问题是作出任意一条入射光线的共 轭出射光线。对于特殊光线可根据基点界面的 性质直接作出。
xH' xH
f ' f
n' n
1
H
xH f'
f xH'
f f'
n n'
H 1
则表明通过物像方主点的一对共轭光线互相平 行。
第六节 节点和节平面
在理想光学模型中存在着一对角放大率为 1 的 共轭点和共轭面，这一对共轭点记为 J 和 J' ， 分别称为物方节点和像方节点。过节点的垂轴 平面相应的称为物方节平面和像方节平面。
第一节 理想像和理想光学系统
理想光学系统：能够对足够大空间内的点以足够 宽光束成完善像的光学系统。
在理想光学系统中有如下定义： 1. 物空间内每一点对应于像空间内唯一的一像 点，这一对点称为共轭点； 2. 物空间内每一条直线对应于像空间内唯一的 一条直线，这一对线称为共轭线； 3.如果物空间的任意一点位于直线上，那么在 像空间的共轭
一.垂轴放大率β 高斯形式的垂轴放大率公式：
fl' nl' nu
f 'l n'l n'u' 当 n n ' 时有
l' u
l u'
牛顿形式的垂轴放大率公式：
f x'
x f'
二.沿轴放大率a
牛顿形式的沿轴放大率公式：
dx ' x '
dx x
高斯形式的沿轴放大率公式：
xF 0
F
f x
x' f'
F F2
xF '
ff ' xF
F
x f'
f 0 x'
由物方焦点发出的与光轴成有限大小角度U的光 线，经光学系统后对应的角度Ｕ′为零，即平行 于光轴射出。
2 .像方焦平面 它的共轭面是在物方无限远处的 垂轴平面。
xF ' 0
ff ' xF x '
F 0
F 0
F
在物方平行于光轴的光线U=0，其共轭光线 通过后焦点与光轴成有限角度U'。
3.主平面 主平面 H 1
所以有：H
xH' f'
f xH
1
这样就得到
xH f xH ' f '
说明：物方主点在物方焦点的右侧，像方主点在像 方焦点的左侧。
若理想光学系统位于同一介质或空气中
H
高斯公式的垂轴放大率公式：
fl ' f 'l
第四节 理想光学模型的拉赫公式及 二焦距之间的物像关系
拉赫公式： Jnuyn'u'y'
理想光学模型物像焦距间的关系：
f ' n'
f
n
若光学系统处于同一介质中，即 n n '
有 f 'f
Jnytgun'y'tgu
理想光学系统的拉赫公式说明：当物体一定 （高度、角度），像要较大，则光线较细。
牛顿物像位置关系公式：
xx ' ff '
垂轴放大率：
y' x' f
y f' x
2.高斯公式
物（像）距用 l （ l'）表示，它是物（像）点 A 到物（像）方主点 H （ H ′）的距离；符号规则 是以物（像）方主点为原点到A（ A′）点沿光线 正方向为正，反之为负。
高斯像物像位置公式： f ' f 1 l' l
J 和 J ′ 相对于对应焦点的位置为： xJ f ',xJ'f
根据垂轴放大率和沿轴放大率公式
J
f x
x' f'
n n'
J
x' x
f f'
n n'
第七节 理想光学模型的作图求解
图解法求像常用的有如下三条光线： （1）平行于光轴的入射光线，经光学系统
折射后的出射光线通过像方焦点F'； （2）通过物方焦点的光线，经过光学系统
推广 ：
4 .物空间中任意平面对应于像空间中唯一 的共轭平面；
5 .物空间中任意同心光束对应于像空间 中有一共轭的同心光束。
理想光学系统对物体成完善像，实际的理 想光学系统的性质只能在近轴区实现。
第二节 理想光学模型
像方焦点F'：和物方无限远处的轴上点为共轭点； 物方焦点F ：和像方无限远处的轴上点为共轭点.
• 自物方主点到物方焦点的距离称为物方焦距， 用 f 表示之；自像方主点到像方焦点的距离称 为像方焦距，以 f ′ 表示之。焦距的正、负是 以相应的主点为原点来确定的。
f h tanU
f h tanU
第三节 理想光学模型的物像关系
1.牛顿公式： 牛顿公式中物体的物（像）距是以物（像）方焦点为原点， 物（像）距x（ x ′）的正负号按以下规则判定，若由物（像） 方焦点到物（像）点的方向与光线传播方向一致，则物（像） 距为正，反之为负。
l f 1 n 1 l' f ' n'
牛顿形式： x f f ' x
角放大率与角度 U 和 U '的大小无关，仅随物 像位置而改变，在同一对共轭点上，所有共轭 光线与光轴夹角正切之比为常数。
四. 三放大率之间的关系
五. 特殊共轭面上的放大率
1.物方焦平面: 它的共轭面是在像方无限远处的垂 轴平面。