2018年武汉大学自主招生数学试题(解析版)

1.对于数列{u n }，若存在常数M >0，对任意的n ∈N*，恒有

|u n +1－u n |+|u n －u n －1|+…+|u 2－u 1|≤M ，

则称数列{u n }为B —数列.

(1)首项为1，公比为q (|q |<1)的等比数列是否为B —数列?请说明理由；

(2)设S n 是数列{x n }的前n 项和，给出下列两组判断：

A 组：①数列{x n }是

B —数列，②数列{x n }不是B —数列；

B 组：③数列{S n }是B —数列，④数列{S n }不是B —数列.

请以其中一组中的论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给出的命题的真假，并证明你的结论；

(3)若数列{a n }、{b n }都是B —数列，证明：数列{a n b n }也是B —数列.

【解析】(1)由题意，u n =q n －1，|u i +1－u i |=|q |i －

1(1－q )， 于是：

|u n +1－u n |+|u n －u n －1|+…+|u 2－u 1|

=(1－q )·1－|q |n

1－|q |

≤1－|q |n

≤1，

由定义知，数列为B —数列.

(2)命题1：数列{x n }是B —数列，数列{S n }是B —数列.此命题是假命题.

取x n =1(n ∈N*)，则数列{x n }是B —数列；而S n =n ，

|S n +1－S n |+|S n －S n －1|+…+|S 2－S 1|=n ，

由于n 的任意性，显然{S n }不是B —数列.

命题2：若数列{S n }是B —数列，则数列{x n }是B —数列.此命题是真命题.

证明：|S n +1－S n |+|S n －S n －1|+…+|S 2－S 1|=|x n +1|+|x n |+…+|x 2|≤M ，

又因为

|x n +1－x n |+|x n －x n －1|+…+|x 2－x 1|

≤|x n +1|+2|x n |+2|x n －1|+…+2|x 2|+|x 1|

≤2M +|x 1|，

所以：数列{x n }为B —数列.

(3)若数列{a n }、{b n }均为B —数列，则存在正数M 1，M 2，对于任意的n ∈N*，有

|a n +1－a n |+…+|a 2－a 1|≤M 1，

|b n +1－b n |+…+|b 2－b 1|≤M 2，

注意到：

|a n |=|a n －a n －1+a n －1－a n －2+…+a 2－a 1+a 1|

≤|a n +1－a n |+…+|a 2－a 1|+a 1≤M 1+a 1；

同理：|b n |≤M 2+b 1；

令k 1=M 1+a 1，k 2=M 2+b 1，

则|a n +1b n +1－a n b n |=|a n +1b n +1－a n b n +1+a n b n +1－a n b n |

≤|b n +1||a n +1－a n |+|a n ||b n +1－b n |

≤k 2|a n +1－a n |+k 1|b n +1－b n |；

从而：

|a n +1b n +1－a n b n |+|a n b n －a n －1b n －1|+…+|a 2b 2－a 1b 1|

≤k 2(|a n +1－a n |+|a n －a n －1|+…+|a 2－a 1|)+k 1(|b n +1－b n |+|b n －b n －1|+…+|b 2－b 1|)

≤k 2M 1+k 1M 2.

所以：数列{a n b n }是B —数列.

2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 、B 分别是椭圆E 的左、右顶点，D (1，0)为线段OF 2的中点，且AF 2→+5BF 2→=0.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)若M 为椭圆上的动点(异于点A 、B )，连接MF

1并延长交椭

圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，

连接PQ .设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为k 1、k 2，试问是

否存在常数λ，使得k 1+λk 2=0恒成立?若存在，求出λ的值；

若不存在，说明理由.

【解析】(1)易知c =2，因为AF 2→+5BF 2→，即a +c =5(a －c )，解得：a =3，所以：b 2=a 2－c 2=5.

所以：椭圆E 的方程为x 29+y 25

=1. (2)设直线MN 的方程为x =ty －2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，

所以：直线MP 的方程为y =y 1x 1－1

(x －1)，联立椭圆方程和直线方程可得：

⎩⎪⎨⎪⎧x 29+y 25=1，y 1x －(x 1－1)y －y 1=0，

消去y 得：(5－x 1)x 2－(9－x 21)x +9x 1－5x 21=0， 由根与系数的关系可得：x P =

9－5x 15－x 1， 于是P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－5x 15－x 1，4y 15－x 1，同理可得：Q ⎝ ⎛⎭

⎪⎫9－5x 25－x 2，4y 25－x 2， 所以：k 2=－2825t =－2825k 1，即：k 1+2528

k 2=0 所以：存在λ=2528

满足题意. 3.已知函数f (x )=ln x －ax +a x

，其中a 为常数. (1)若f (x )的图象在x =1处的切线经过点(3，4)，求a 的值；

(2)若00；

(3)当函数f (x )存在三个不同的零点时，求a 的取值范围.

【解析】(1)f ′(x )=1x －a －a x 2，所以f ′(1)=1－2a ， 因为切点坐标为(1，0)，所以k =2，所以：1－2a =2，解得：a =－12

. (2)证明：原题即证2ln a －ln2－a 32+2a

>0对任意的a ∈(0，1)成立. 令g (a )= 2ln a －ln2－a 32+2a ，所以：g ′(a )=2a －3a 22－2a 2=4a －3a 4－42a 2， 令h (a )=4a －3a 4－4，则h ′(a )=4－12a 3

，则h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，133单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫133，1上单调递减，而h (a )max =h ⎝ ⎛⎭

⎪⎫133=39－4<0， 所以：g ′(a )<0，所以：g (a )在(0，1)上单调递减，

所以：g (a )>g (1)=－ln2+32

>0. (3)显然x =1是函数的一个零点，则只需a =

x ln x x 2－1

有两个不等的实数解即可. 令g (x )=x ln x x 2－1

，x >0且x ≠1. 则g ′(x )=－(x 2+1)⎝⎛⎭⎫ln x －x 2－1x 2+1(x 2－1)2，令φ(x )=ln x －x 2－1x 2+1

， 则φ′(x )=1x －4x (x 2+1)2=(x 2－1)2x (x 2+1)

2>0，