中职数学平面向量的概念
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CD DC； （2） BA DC， DC // AB， CD // AB． （3） BA // AB，
运用知识
EF 相等的向量； （1）与 （2）与 AD 共线的向量．
课堂小结:
1、向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
A 度
B
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长
（或称为模）。记作 3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 作0 （手写体）。
| AB |
动脑思考
探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等． 向量的大小叫做向量的模．向量a, AB 的模依次记作 a ， AB ． 模为零的向量叫做零向量．记作0，
（7）共线向量一定在同一直线上． ×
练习 1：判断下列各命题是否正确？ （1 ） a = b , 则a = b; (2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； （3）若 AB = CD, 则四边形ABCD是平行四边形； （4）若a = b,b = c, 则a = c; (5)若a //c,b //c, 则a //b
C
你位移错了！
A B
唉, 哪儿去了 ?
找准方向+看到差距+努力=成功
D
如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？
只有大小，没有方向的量叫做数量（标量） 例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），
如力、速度、位移等．
请说出下列一些量那些是数量那些是向量? 距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
强化练习
A D F
1． 如图，ABC 中，D、E、F分别是三边的中点，试写出
B
E
C
第1题图
略．
2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出 E F （1）与 OC 相等的向量； O （2） OC 的负向量； A D （3）与 OC 共线的向量．
B C
略．
第2题图
例2
典型例题
D O C
在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
（2）找出向量 DC 的负向量；
（3）找出与向量 AB 平行的向量．
A
图7－5
B
要结合平行四边形 的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
平面向量的概念及表示
小组探究
一只猫的重量是1.5千克,一只老鼠的重量是 0.2公斤,谁更重? • 老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜, 而猫由A向正南方向每秒10米的速度追. • 问猫能否抓到老鼠?
速度是既有大小又有方向的量
猫与老鼠哪个重?
猫能捉住老鼠吗?
嘻嘻!大笨猫！
猫能捉住老鼠吗?
•老鼠由A向东北方向以6m/s 的速度逃窜,而猫由B向东南 方向10m/s的速度追. 问猫能 否抓到老鼠?
用字母表示
始点
AB,
或
a
终点
1.向量的大小(模): 向量 AB 或 a 的大小 (模)表示： | AB | 或 | a |
向量是不能比较大小的,但 向量的模是可以进行大小比较的.
三. 向量的有关概念
a
b
| a || b |
a b
√ ×
2.两个基本向量： 零向量: 模为零的向量(方向不确定).
负向量(相反向量)
a
a
b
与非零向量的模相等，且方向相反的向 量叫做向量的负向量，记作: a ．
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 无关。 a
b
负向量(相反向量) 与非零向量的模相等，且方向相反 的向量叫做向量的负向量， 记作: a
巩固知识
例2
典型例题
D O C
在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
（2）找出向量 DC 的负向量；
（3）找出与向量 AB 平行的向量．
A
图7－4
B
解 由平行四边形的性质，得 （1） CB DA ；
由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上， 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量．
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 行的向量． 向量a与向量 b平行记作a//b． 规定：零向 量与任何一个向 量平行．
K
G
图7−4
动脑思考
探索新知
图7−4中的平行向量 AB与 MN ，方向相同，模相等；平行 向量GH 与TK ，方向相反，模相等．
向量只有 大小与方向两 个要素．当向 量a与向量b的 模相等并且方 向相同时，称 向量a与向量b 相等，记作a =b．
N
B M K A H L Z Q C D P F E
与非零向量 的模相等，且方 向相反的向量叫 做向量的负向量， 记作 －a．
规定：零向 量的负向量仍为 零向量．
K
G
图7−4
巩固知识
自我反思
目标检测
向量、向量的模、向量相等是如何定义的？
当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、 位移等，这种量叫做向量（矢量） 向量的大小叫做向量的模．向量 a, AB 的模依次 记作 a ，AB ． 向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量 a与向量b相等，记作a = b ．
B
相等的有 7个
A
长度相等 的有9个
练习3:
1、下列命题正确的是
（A）共线向量都相等
(
)
（B）单位向量都相等
（C）平行向量不一定是共线向量
（D）零向量与任一向量平行
2.下列说法正确的是 ( ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量. 3.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 其中是向量a与b平行的有_____.
A b A a
b
a
a
A B
√
C
D
3.向量的关系：
平行向量: 方向相同或相反的非零向量 . 表示为： a // b // c 零向量与任一向量平行.
L
a
b
c
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量.
相等向量
长度相等且方向相同的向量.表示为： a b a
表示：
0,
| 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
巩固知识
典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？ 东 南 b A a A b 100km.
自我反思
目标检测
学习效果
学习行为 学习方法
继续探索
活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.1Ａ组（必做） 教材习题７.1Ｂ组（选做） 实践调查：试着用向量的观点解释 生活中的一些问题．
作业
O
C
F
D
E
练习2:如图
问题:(1) OA 与 FE 相等吗? (2) OB 与 AF 相等吗? (3) 与 OA 长度相等 的向量有几个? 12 (4) 与 OA 共线的 向量有哪几个?
B A
O
C F
源自文库
有CB, FE, DO.
D
E
如下图,与AB有几个？与AB长度相等的 有几个？
例2:如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别 写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向 量 B A 与OA相等的向量有 DO, CB.
与OC相等的向量有 FA, ED.
与OB相等的向量有 EO,DC.
ab
a
a
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案： （1）平行向量的方向一定相同． （2）不相等的向量一定不平行．
× ×
零向量
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？
零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 什么向量？ 平行向量（共线向量） （6）两个非零向量相等的条件是什么？ 模相等且方向相同
B
a
A
零向量的方向是不确定的．
模为1的向量叫做单位向量．
巩固知识
典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．
N
B M K A H L Z Q C D P F E
K
G
图7−４
动脑思考
探索新知
下图中，哪些向量是共线向量？
N
B M TK A H L Z Q C D P F E
数量 向量
距离、身高、 质量、时间、 面积、温度
位移、力、 速度
Ｆ
三要素：大小，方向，作用点
力
Ｆ
S
质点做机械运动，从初位置 到末位置的有向线段叫做位移。
速度：物 体运动的 位移与所 用的时间 的比值
Ｖ
二.向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段)
始点 终点 始点
A
B
a
终点
运用知识
EF 相等的向量； （1）与 （2）与 AD 共线的向量．
课堂小结:
1、向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
A 度
B
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长
（或称为模）。记作 3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 作0 （手写体）。
| AB |
动脑思考
探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等． 向量的大小叫做向量的模．向量a, AB 的模依次记作 a ， AB ． 模为零的向量叫做零向量．记作0，
（7）共线向量一定在同一直线上． ×
练习 1：判断下列各命题是否正确？ （1 ） a = b , 则a = b; (2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； （3）若 AB = CD, 则四边形ABCD是平行四边形； （4）若a = b,b = c, 则a = c; (5)若a //c,b //c, 则a //b
C
你位移错了！
A B
唉, 哪儿去了 ?
找准方向+看到差距+努力=成功
D
如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？
只有大小，没有方向的量叫做数量（标量） 例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），
如力、速度、位移等．
请说出下列一些量那些是数量那些是向量? 距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
强化练习
A D F
1． 如图，ABC 中，D、E、F分别是三边的中点，试写出
B
E
C
第1题图
略．
2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出 E F （1）与 OC 相等的向量； O （2） OC 的负向量； A D （3）与 OC 共线的向量．
B C
略．
第2题图
例2
典型例题
D O C
在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
（2）找出向量 DC 的负向量；
（3）找出与向量 AB 平行的向量．
A
图7－5
B
要结合平行四边形 的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
平面向量的概念及表示
小组探究
一只猫的重量是1.5千克,一只老鼠的重量是 0.2公斤,谁更重? • 老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜, 而猫由A向正南方向每秒10米的速度追. • 问猫能否抓到老鼠?
速度是既有大小又有方向的量
猫与老鼠哪个重?
猫能捉住老鼠吗?
嘻嘻!大笨猫！
猫能捉住老鼠吗?
•老鼠由A向东北方向以6m/s 的速度逃窜,而猫由B向东南 方向10m/s的速度追. 问猫能 否抓到老鼠?
用字母表示
始点
AB,
或
a
终点
1.向量的大小(模): 向量 AB 或 a 的大小 (模)表示： | AB | 或 | a |
向量是不能比较大小的,但 向量的模是可以进行大小比较的.
三. 向量的有关概念
a
b
| a || b |
a b
√ ×
2.两个基本向量： 零向量: 模为零的向量(方向不确定).
负向量(相反向量)
a
a
b
与非零向量的模相等，且方向相反的向 量叫做向量的负向量，记作: a ．
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 无关。 a
b
负向量(相反向量) 与非零向量的模相等，且方向相反 的向量叫做向量的负向量， 记作: a
巩固知识
例2
典型例题
D O C
在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
（2）找出向量 DC 的负向量；
（3）找出与向量 AB 平行的向量．
A
图7－4
B
解 由平行四边形的性质，得 （1） CB DA ；
由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上， 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量．
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 行的向量． 向量a与向量 b平行记作a//b． 规定：零向 量与任何一个向 量平行．
K
G
图7−4
动脑思考
探索新知
图7−4中的平行向量 AB与 MN ，方向相同，模相等；平行 向量GH 与TK ，方向相反，模相等．
向量只有 大小与方向两 个要素．当向 量a与向量b的 模相等并且方 向相同时，称 向量a与向量b 相等，记作a =b．
N
B M K A H L Z Q C D P F E
与非零向量 的模相等，且方 向相反的向量叫 做向量的负向量， 记作 －a．
规定：零向 量的负向量仍为 零向量．
K
G
图7−4
巩固知识
自我反思
目标检测
向量、向量的模、向量相等是如何定义的？
当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、 位移等，这种量叫做向量（矢量） 向量的大小叫做向量的模．向量 a, AB 的模依次 记作 a ，AB ． 向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量 a与向量b相等，记作a = b ．
B
相等的有 7个
A
长度相等 的有9个
练习3:
1、下列命题正确的是
（A）共线向量都相等
(
)
（B）单位向量都相等
（C）平行向量不一定是共线向量
（D）零向量与任一向量平行
2.下列说法正确的是 ( ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量. 3.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 其中是向量a与b平行的有_____.
A b A a
b
a
a
A B
√
C
D
3.向量的关系：
平行向量: 方向相同或相反的非零向量 . 表示为： a // b // c 零向量与任一向量平行.
L
a
b
c
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量.
相等向量
长度相等且方向相同的向量.表示为： a b a
表示：
0,
| 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
巩固知识
典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？ 东 南 b A a A b 100km.
自我反思
目标检测
学习效果
学习行为 学习方法
继续探索
活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.1Ａ组（必做） 教材习题７.1Ｂ组（选做） 实践调查：试着用向量的观点解释 生活中的一些问题．
作业
O
C
F
D
E
练习2:如图
问题:(1) OA 与 FE 相等吗? (2) OB 与 AF 相等吗? (3) 与 OA 长度相等 的向量有几个? 12 (4) 与 OA 共线的 向量有哪几个?
B A
O
C F
源自文库
有CB, FE, DO.
D
E
如下图,与AB有几个？与AB长度相等的 有几个？
例2:如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别 写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向 量 B A 与OA相等的向量有 DO, CB.
与OC相等的向量有 FA, ED.
与OB相等的向量有 EO,DC.
ab
a
a
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案： （1）平行向量的方向一定相同． （2）不相等的向量一定不平行．
× ×
零向量
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？
零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 什么向量？ 平行向量（共线向量） （6）两个非零向量相等的条件是什么？ 模相等且方向相同
B
a
A
零向量的方向是不确定的．
模为1的向量叫做单位向量．
巩固知识
典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．
N
B M K A H L Z Q C D P F E
K
G
图7−４
动脑思考
探索新知
下图中，哪些向量是共线向量？
N
B M TK A H L Z Q C D P F E
数量 向量
距离、身高、 质量、时间、 面积、温度
位移、力、 速度
Ｆ
三要素：大小，方向，作用点
力
Ｆ
S
质点做机械运动，从初位置 到末位置的有向线段叫做位移。
速度：物 体运动的 位移与所 用的时间 的比值
Ｖ
二.向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段)
始点 终点 始点
A
B
a
终点