中职数学平面向量的概念
平面向量的概念
平面向量的概念平面向量是数学中的一个重要概念，是指由两个矢量组成的有向线段。
平面向量通常用加粗的小写字母来表示，例如a、b等。
平面向量具有长度和方向两个基本属性，同时也具有加法、减法、数乘等运算，可用于求解各种几何和物理问题。
平面向量的表示方法有两种，一种是初末点法。
即用平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)来表示平面向量AB。
向量AB的表示方法为AB=(x2-x1,y2-y1)。
另一种是分量表示法，即将平面向量投影到坐标轴上，用坐标表示向量的长度和方向。
例如，向量AB在x 轴上的投影为x轴方向上的分量a，y轴方向上的投影为y轴方向上的分量b，则向量AB 可以表示为AB=a+b。
平面向量的长度可以用勾股定理求解，即向量AB的长度为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
方向可以用夹角cos求解，即两个向量的夹角cosθ=AB·CD/|AB|·|CD|，其中·表示点乘，|AB|和|CD|分别表示向量AB和CD的长度。
平面向量具有加法和减法运算，其运算方法为：对应坐标相加或相减。
例如向量AB 和向量CD的和为向量AC，其坐标为AC=(x2-x1+x4-x3,y2-y1+y4-y3)。
减法也是同样的方法。
数乘则是将向量的长度与方向进行分解，再将其乘以一个实数k，具体计算方法为：向量kAB=k(x2-x1,y2-y1)=(kx2-kx1,ky2-ky1)。
平面向量的重要应用之一是向量叉乘，即将两个向量进行叉乘，得到的结果是一个新的向量，并且该向量垂直于原来的向量。
例如向量AB和向量CD的叉乘为向量n，其坐标为n=AB×CD=[(y2-y1)(z4-z3)-(z2-z1)(y4-y3),(z2-z1)(x4-x3)-(x2-x1)(z4-z3),(x2-x1)(y4-y3)-(y2-y1)(x4-x3)]。
向量叉乘在计算平面和空间中的向量积、平面的法线、对称线等问题中都有着广泛的应用。
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
中职数学基础模块下册第七单元《平面向量》word教案
b第 1 节平面向量的概念及线性运算基础梳理1．向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或称 )． (2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 个单位的向量． (4)平行向量：方向 或 的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做 向量，任 一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0 与任一向量 (5)相等向量：长度 且方向 的向量． (6)相反向量：与 a 长度 ，方向 的向量，叫做 a 的相反向量． 2．向量的加法运算及其几何意义(1)三角形法则：已知非零向量 a 、 ，在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a ，BC ＝b ，则向量 AC 叫做 a 与 b 的，记作 a ＋b ，即 a ＋b ＝ AB ＋ BC ＝ AC ，这种求向量和的方法，称为向量加法的 ．(2)平行四边形法则：以同一点 O 为起点的两个已知向量 a 、b 为邻边作 OACB ，则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出， 如图所示．3．向量的减法运算及其几何意义(1)定义： a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量 的 ．(2)如图， AB ＝a ， AD ＝b ，则 DB ＝a －b .4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ 与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下： ①|λ a |＝|λ ||a |；②当λ ＞0 时，λ a 的方向与 a 的方向 ；当λ ＜0 时，λ a 的方向与 a 的方向 ；当λ ＝0 时，λ a ＝0.(2)运算律设λ ，μ 是两个实数，则 ①λ (μ a )＝(λ μ ) a ；②(λ ＋μ ) a ＝λ a ＋μ a ； ③λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b .(3)两个向量共线定理：向量 a(a ≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ ，使 b ＝λa .典例分析(A) a ＋ b (B) a ＋ b(C) a ＋ b (D) a ＋ b向量的有关概念【例 1】 给出下列各命题： ①零向量没有方向； ②若|a |＝|b |，则 a ＝b ； ③单位向量都相等； ④向量就是有向线段； ⑤若 a ＝b ，b ＝c ，则 a ＝c ；⑥若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB ＝ DC ， BC ＝ DA .其中真命题是________．向量的线性运算【例 2】 (2010 年高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB .设 CB ―→ ＝a ，CA ―→＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则 CD ―→等于( )1 2 2 1 3 3 3 3 3 4 4 3 5 5 5 5变式探究 21：(2010 年山东济南模拟)已知平面上不共线的四点 O 、A 、B 、C .若 OA ―→|AB ―→|－3OB ―→＋2OC ―→＝0，则 等于______．|BC ―→|向量共线与三点共线问题【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若 AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数 k ，使 k a ＋b 和 a ＋k b 共线．变式探究 31：已知向量 a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果 c ∥d ，那么( )(A)k ＝1 且 c 与 d 同向 (B)k ＝1 且 c 与 d 反向(C)k ＝－1 且 c 与 d 同向 (D)k ＝－1 且 c 与 d 反向易错警示错源一：零向量“惹的祸”【例 1】 下列命题正确的是( )(A)向量 a 、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ，使 b ＝λ a ； (B)在△ABC 中，AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；(C)不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a|＋|b |中两个等号不可能同时成立； (D)向量 a 、b 不共线，则向量 a ＋b 与向量 a －b 必不共线错源二：向量有关概念理解不当【例 2】 如图，由一个正方体的 12 条棱构成的向量组成了一个集合 M ，则集合 M 的元素个数为________．第 2 节平面向量基本定理及其坐标表示基础梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b ，如图，作 O A ＝a ， OB ＝b ，则∠AOB ＝θ 叫做向量 a与 b 的夹角，也可记作〈a ，b 〉＝θ .(2)范围：向量夹角θ 的范围是[0，π ]，a 与 b 同向时，夹角θ ＝0；a 与 b 反向时，夹角θ ＝π .(3)垂直关系：如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a ⊥b .质疑探究 △1：在 ABC 中，设 AB ＝a ， BC ＝b ，则 a 与 b 的夹角是∠ABC 吗？2．平面向量基本定理如果 e 1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使 a ＝λ 1e 1＋λ 2e 2.我们把不共线的向量 e 1，e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组．质疑探究 2：平面内任一向量用两已知不共线向量 e 1、e 2 表示时，结果唯一吗？平面内任何 两个向量 a 、b 都能作一组基底吗？3．平面向量的正交分解与坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．± a 或± 1 (x ，y )． x 2＋y 2 (4)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ＝b⎧⎪x 1＝x 2质疑探究 3：若 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ∥b 的条件能否可以写成 1＝ 1？【例 2】 已知点 A (－1,2)，B (2,8)以及 AC ―→＝ AB ―→，DA ―→＝－ BA ―→，求点 C 、变式探究 21：(2010 年山东临沂联考)已知 A (7,1)、B (1,4)，直线 y ＝ ax 与线段 AB 交于(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i 、j 作为基底．对于 平面内的一个向量 a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x ，y ，使得 a ＝x i ＋y j ， 则有序数对(x ，y )叫做向量 a 的坐标，记作 a ＝(x ，y )，其中 x ，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上 的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量 a 的坐标表示．相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相 等向量．4．平面向量的坐标运算(1)已知点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．(2)已知 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λ a ＝(λ x 1，λ y 1)，a ∥b (b ≠0)的充要条件是 x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)非零向量 a ＝(x ，y )的单位向量为1|a |⎨. ⎪⎩y 1＝y 2x y x 2 y 2提示：不能，因为 x 2，y 2 有可能为 0，应表示为 x 1y 2－x 2y 1＝0.典例分析平面向量基本定理及其应用【例 1】 如图，在平行四边形 ABCD 中，M ，N 分别为 DC ，BC 的中点，已知 AM ＝c ， AN ＝d ，试用 c ，d 表示 AB ， AD .向量坐标的概念及运算1 13 3D 的坐标和 CD ―→的坐标．12C ，且 AC ―→＝2CB ―→，则实数 a 等于( )4 5(A)2 (B)1 (C) (D)5 3共线向量的坐标运算【例 3】 (2010 年高考陕西卷)已知向量 a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )， ) |∥c ，则 m ＝________.变式探究 31：(2010 年福州市质检)已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若 a ∥ b ，则 2a ＋3b 等于( )(A)(－5，－10) (B)(－4，－8) (C)(－3，－6) (D)(－2，－4)易错警示错源：对共线向量不理解【例题】 已知两点 A (2,3)，B (－4,5)，则与 AB ―→共线的单位向量是( )(A)e ＝(－6,2)(B)e ＝(－3 10 1010 10－3 10 10 3 10 10(C)e ＝( ， )或 e ＝( ，－ )10 10 10 10(D)e ＝(－6,2)或(6，－2)第 3 节平面向量的数量积基础梳理1．数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b ，其夹角为θ .我们把数量|a ||b |cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)， 记作 a · b ，即 a · b ＝|a ||b |cos θ .规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 2．数量积的几何意义 (1)向量的投影： a |cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，当θ 为锐角时，它是正数，当θ 为 钝角时，它是负数；当θ 为直角时，它是 0.(2)a · b 的几何意义：数量积 a · b 等于 a 的长度|a |与 b 在 a 的方向上的投影|b |cos θ 的乘积． 3．数量积的运算律已知向量 a 、b 、c 和实数λ ，则： (1)交换律：a · b ＝b · a ；(2)结合律：(λ a )· b ＝λ (a · b )＝a ·(λ b )； (3)分配律：(a ＋b )· c ＝a · c ＋b · c .质疑探究：若非零向量 a ，b ，c 满足①a · c ＝b·c ，则 a ＝b 吗？②(a·b )· c ＝a ·(b·c )恒成立吗？ 提示：①不一定有 a ＝b ，因为 a · c ＝b · c c ·(a －b )＝0，即 c 与 a －b 垂直，但不一定有 a ＝x 1x 2＋y 1y 2(b .因此数量积不满足消去律．②因为(a·b )· c 与向量 c 共线，(b·c )· a 与向量 a 共线．当 c 与 a 不共线时(a · b )· c ≠a ·(b · c )即向量的数量积不满足结合律． 4．向量数量积的性质设 a 、b 都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，θ 是 a 与 e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ . (2)a ⊥b ⇔a · b ＝0.(3)当 a 与 b 同向时，a · b ＝|a ||b |； 当 a 与 b 反向时，a · b ＝－|a ||b |；特别地，a ·a ＝|a |2 或|a |＝ a ·a .(4)cos θ＝ a ·b.|a ||b |(5)|a ·b |≤|a ||b |.5．用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题(1)若非零向量 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)夹角公式：若非零向量 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ 是 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝ .x 12＋y 12 x 22＋y 22(3)距离公式：若表示向量 a 的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为(x 1，y 1)， x 2，y 2)， 则|a |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，这就是平面内两点间的距离公式．(4)垂直关系：设非零向量 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.典例分析向量数量积的运算及模的问题【例 1】(1)(2010 年高考天津卷△)如图，在 ABC 中，AD ⊥AB ， BC ＝BD ，| AD |＝1，则 AC · AD ＝________.(2)(2010 年高考广东卷)若向量 a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )· c ＝30，则 x ＝( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3(1)向量的数量积有两种计算方法：一是根据数量积的定义进行计算；二是依据向量的 坐标来计算．(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下： ①若 a ＝(x ，y )，则|a |＝ x 2＋y 2. ②|a |2＝a 2＝a ·a .③|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2.变式探究 11：(2009 年高考辽宁卷)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a ＝(2,0) ，|b |＝1，则 |a ＋2b |等于( )(A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12| (A)－ (B) (C)－ (D)【例 3】 已知|a |＝1，a ·b ＝ ，(a －b )·(a ＋b )＝ ，求：两向量垂直问题【例 2】 已知|a |＝5， b |＝4，且 a 与 b 的夹角为 60°，则当向量 k a －b 与 a ＋2b 垂直时， k ＝________.变式探究 21：(2009 年高考宁夏、海南卷)已知 a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量 λa ＋b 与 a －2b 垂直，则实数 λ 的值为( )1 1 1 17 7 6 6两向量夹角问题1 12 2(1)a 与 b 的夹角的大小；(2)a －b 与 a ＋b 的夹角的余弦值．变式探究 31：(2009 年高考重庆卷)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量 a 与 b 的夹 角是( )π π π π (A) (B) (C) (D)6 4 3 2数量积的综合应用【例 4】 已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若 a ∥b ，求 a ·b ；(2)若 a ，b 的夹角为 60°，求|a ＋b |； (3)若(a －b )⊥b ，求 a 与 b 的夹角．易错警示错源：忽视角的范围而“惹祸”【例题】设两个向量 e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1 与 e 2 的夹角为，若向量 2t e 1＋7e 2 与 e 1＋t e 2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．a ·b x 1x 2＋y 1y 2 x 2＋y 2· x 2＋y 2第 4 节平面向量的应用基础梳理1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹 角等问题．设 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即 a ∥b ⇔a ＝λ b (b ≠0)⇔x 1y 2－ x 2y 1＝0.②证明垂直问题，主要利用向量数量积，即 a ⊥b ⇔a · b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.③求线段的长，主要利用向量的模，即|a |＝ a 2＝ x 12＋y 12.④求夹角问题，利用数量积的变形公式：即 cos θ＝cos 〈a ，b 〉＝ ＝ |a ||b |1 12 2.2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体 应用，可用向量来解决．(2)物理中的功 W 是一个标量，它是力 f 与位移 s 的数量积，即 W ＝f · s ＝|f ||s |cos θ .3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合， 当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知 数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或 垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．典例分析向量在平面几何中的应用【例 1】 如图所示，若点 D 是三角形 ABC 内一点，并且满足 AB 2＋CD 2 ＝AC 2＋BD 2，(2)设 α＝ ，且 a ⊥(b ＋c )，求 cos β 的值．cos ( －α)sin (π＋2α)(2)若 a ⊥b ，且 m ＝0，求 的值．求证：AD ⊥BC .变式探究 11：在直角△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是( (A)|AC ―→|2＝AC ―→·AB ―→ (B)|BC ―→|2＝BA ―→·BC ―→ (C)|AB ―→|2＝AC ―→·CD ―→)(D)|CD ―→|2＝(AC ―→·AB ―→)×(BA ―→·BC ―→) |AB ―→|2平面向量在物理中的应用【例 2】 (2009 年高考广东卷)一质点受到平面上的三个力 F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的 作用而处于平衡状态．已知 F 1，F 2 成 60°角，且 F 1，F 2 的大小分别为 2 和 4，则 F 3 的大小 为( )(A)6 (B)2 (C)2 5 (D)2 7向量与三角的整合【例 3】 已知向量 a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量 b ＋c 的长度的最大值；π4变式探究 31：(2010 年河西区模拟)已知向量 a ＝( 3，1)，向量 b ＝(sin α－m ，cos α)， (1)若 a ∥b ，且 α∈[0,2π)，将 m 表示为 α 的函数，并求 m 的最小值及相应的 α 的值；π2cos (π－α)| x y平面向量与解析几何的整合【例 4】 (2010 年安徽巢湖模拟)已知 A (－ 3，0)，B ( 3，0)，动点 P (x ，y )满足|P A ―→| ＋|PB ―→|＝4.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点(1,0)作直线 l 与曲线 C 交于 M 、N 两点，求 OM ―→·ON ―→的取值范围．变式探究 41：(2010 年大连市六校联考)设 F 为抛物线 y 2＝2px (p ＞0)的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若 FA ＋ FB ＋ FC ＝0，FA |＋| FB |＋| FC |＝3，则该抛物线的方程是()(A)y 2＝2x (B)y 2＝4x (C)y 2＝6x (D)y 2＝8x易错警示错源：“共线”运用出错【例题】 如图，半圆的直径 AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于 A ，B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则( P A ＋ PB )· PC 的最小值是________．第 5 节复数的概念及运算基础梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中 a ，b 分别是它的实部和虚部．若 b ＝0，则 a ＋b i 为实数，若 b ≠0，则 a ＋b i 为虚数，若 a ＝0，b ≠0，则 a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且 b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与 c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且 b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面． 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴．实 轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示复数．(5)复数的模：向量 OZ ―→的模 r 叫做复数 z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a＋b i|＝r ＝ a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．z 2c ＋d i (2)常用结论： ＝－i ，(1± i)2＝±2i.一一 对应一一 对应 【例 2】 (2009 年高考海南、宁夏卷)复数3＋2i质疑探究 1：复数 a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是 a ＝0 吗？提示：不是，a ＝0 是 a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的必要条件，只有当 a ＝0，b ≠0 时，a ＋b i 才为纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数 z ＝a ＋b i ――→ ――→ 复平面内的点 Z (a ，b )(a ，b ∈R )；(2)复数 z ＝a ＋b i ――→ ――→ 平面向量 OZ ―→ (a ，b ∈R )． 3．复数的运算设 z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；za ＋b i (a ＋b i )(c －d i ) (4)除法： 1＝ ＝ (c ＋d i )(c －d i )ac ＋bd bc －ad＝c 2＋d 2 ＋ c 2＋d 2 i(c ＋d i ≠0)．质疑探究 2：(1)z 1，z 2 为复数，z 1－z 2＞0，那么 z 1＞z 2，这个命题是真命题吗？ (2)若 z 1，z 2∈R ，z 12＋z 22＝0，则 z 1＝z 2＝0，此命题对 z 1，z 2∈C 还成立吗？ 提示：(1)假命题．例如：z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋i ，z 1－z 2＝3＞0. 但 z 1＞z 2 无意义，因为虚数无大小概念．(2)不一定成立．比如 z 1＝1，z 2＝i 满足 z 12＋z 22＝0. 但 z 1≠0，z 2≠0.(1)i n 的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝ i ， i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，n ∈ Z . 1i典例分析(对应学生用书第 69 页)复数的有关概念【例 1】 已知 0＜a ＜2，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则|z |的取值范围是( (A)(1,5) (B)(1,3) (C)(1， 5) (D)(1 ， 3)思路点拨：写出|z |的表达式，根据 a 的范围确定|z |的取值范围．)变式探究 11：已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数 x ，y 分别为( )(A)x ＝－1，y ＝1 (B)x ＝－1，y ＝2 (C)x ＝1，y ＝1 (D)x ＝1，y ＝2复数代数形式的运算3－2i2－3i －2＋3i 等于((A)0 (B)2 (C)－2i (D)2i)【例 3】 (2010 年高考陕西卷)复数 z ＝ 在复平面上对应的点位于()变式探究 21：(2010 年高考广东卷)若复数 z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则 z 1· z 2 等于( )(A)4＋2i (B)2＋i (C)2＋2i (D)3＋i复数的几何意义i1＋i(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限变式探究 31：已知复数 z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为 A ，B ，C .O 为坐标原点，若 O C ＝x OA ＋y OB ，则 x ＋y 的值是______．易错警示错源：对复数的概念理解不透【例题】 设复数 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数为 z ＝a －b i ，则 z － z 为( )(A)实数 (B)纯虚数 (C)0 (D)零或纯虚数篇末总结平面向量是高中数学中的工具性知识，是高考必考内容，直接命题时题量一般为 1 道选择题 或填空题，更多地是作为工具整合于三角函数、解析几何相应的解答题中，其考查的重点是 向量的概念和线性运算(如 2010 年高考湖北卷，理 5)，数量积(如 2010 年高考湖南卷，文 6)， 与三角或解析几何的结合仍是高考中的重要题型(如 2010 年高考福建卷，文 11)．复数是每年高考必考内容，题量为 1 道选择题或填空题，主要考查复数的有关概念、几何意 义和代数形式的四则运算(如 2010 年高考辽宁卷，理 2)．3．(2010 年高考福建卷，文 11)若点 O 和点 F 分别为椭圆 ＋ ＝1 的中心和左焦点，(A)a ＝ ，b ＝ (B)a ＝3，b ＝1(C)a ＝ ，b ＝ (D)a ＝1，b ＝31．(2010 年高考湖北卷，理 △5)已知 ABC 和点 M 满足 MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0，若 存在实数 m 使得 AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则 m 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)52．若非零向量 a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )· b ＝0，则 a 与 b 的夹角为 ( )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°x 2 y 24 3点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP ―→·FP ―→的最大值为( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)81＋2i4．(2010 年高考辽宁卷，理 2)设 a ，b 为实数，若复数 ＝1＋i ，则()a ＋b i3 12 2 1 32 2【真题 1】 (2010 年高考江西卷，理 13)已知向量 a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与 b 的夹 角为 60°，则|a －b |＝______.追本溯源：人教 A 版必修 4 第 119 页复习参考题 A 组第 13 题： 已知|a |＝ 3，|b |＝2，a 与 b 的夹角为 30°，求|a ＋b |，|a －b |.【真题 2】 (2010 年高考重庆卷，理 14)已知以 F 为焦点的抛物线 y 2＝4x 上的两点 A 、B 满 足 AF ―→＝3FB ―→，则弦 AB 的中点到准线的距离为______．(A) b ＋ c (B) c － b(C) b － c (D) b ＋ c(A) (B)－ (C) (D)－x cos α－y sin α＋ ＝0 与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝ 的位置关系是( D )|【真题 3】 (2010 年高考江苏卷，2)设复数 z 满足 z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则 z 的模 为____．一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．(2010 年河西区模拟)复数 z ＝(2＋i )21－i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于(B )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2．已知平面向量 a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，a ∥b ，则 x 等于( C )(A)9 (B)1 (C)－9 (D)－13．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点 D 满足 BD ―→＝2DC ―→，则 AD ―→等于( A )2 1 5 23 3 3 3 2 1 1 2 3 3 3 3a ＋2i4．(2010 年高考山东卷)已知＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中 i 为虚数单位，则 a ＋b 等于i( B )(A)－1 (B)1 (C)2 (D)35．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则 BD ― →等于( B )(A)(－2，－4) (B)(－3，－5) (C)(3,5) (D)(2,4)6．已知两个单位向量 e 1，e 2 的夹角为θ ，则下列结论不正确的是( D ) (A)e 1 在 e 2 方向上的投影为 cos θ (B)e 12＝e 22 (C)(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)(D)e 1· e 2＝17．(2010 年高考全国新课标卷)a ，b 为平面向量，已知 a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则 a ， b 夹角的余弦值等于( C )8 8 16 16 65 65 65 65 8．(2010 年高考四川卷)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC ―→2＝16，AB ― →＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|等于( C ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)19．已知向量 a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若 a 与 b 的夹角为 60°，则直线1 12 2(A)相交 (B)相交且过圆心 (C)相切 (D)相离10．(2009 年高考海南、宁夏卷)已知点 O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ― →|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且 PA ―→· P B ―→＝PB ―→· P C ―→＝PC ― →· P A ―→，则点 O ，N ，P 依次是△ABC 的( C )15．(2010 年高考重庆卷 )已知复数 z ＝1＋i ，则 －z ＝________.(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心 (C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心11．(2011 年广东江门市高考模拟考试)若四边形 ABCD 满足 AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→ －AD ―→)· A C ―→＝0，则该四边形一定是( B ) (A)直角梯形 (B)菱形(C)矩形 (D)正方形12．设 a 、b 、c 是单位向量，且 a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( D )(A)－2 (B) 2－2 (C)－1 (D)1－ 2二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．(2010 年高考上海卷)若复数 z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则 z · z ＋z ＝________.14．(2010 年重庆模拟)已知|a |＝2，|b |＝ 2，a 与 b 的夹角为 45°，若|a ＋λb |＜ 10，则 实数 λ 的取值范围是________．2z16．(2011 年深圳市高三第一次调研△)在 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量 p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足 p ∥q ，则 C ＝______.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(本小题满分 11 分)(2009 年高考上海卷)已知复数 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ＋)(i 是虚数单位)是方程 x 2－4x ＋5＝0 的根．复数 w ＝u ＋3i(u ∈R )满足|w －z |＜2 5，求 u 的取值范围．18．(本小题满分 11 分)(2010 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段 AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数 t 满足(AB ―→－tOC ―→)· O C ―→＝0，求 t 的值．19．(本小题满分 11 分)(2009 年高考湖南卷)已知向量 a ＝(sin θ ，cos θ －2sin θ )，b ＝(1,2)． (1)若 a ∥b ，求 tan θ 的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ ＜π，求θ 的值．20．(本小题满分11分)已知：两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP―→·M N―→，PM―→·P N―→，NM―→·N P―→成公差小于零的等差数列．(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0，y0)，θ为PM―→，PN―→的夹角，求θ的取值范围．21．(本小题满分12分)已知复数z1＝m＋(3－2m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋2sinθ)i，(λ，θ∈R)，并且z1＝z，求λ的取值范围．222．(本小题满分14分)已知抛物线x2＝8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF―→＝λFB―→(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：线段FM被x轴平分；(2)计算FM―→·A B―→的值；(3)求证：|FM|2＝|F A|·|FB|.。
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
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数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
中职数学平面向量的概念
向量的模具有非负性，即$|overset{longrightarrow}{AB}| geq 0$，且当且仅 当向量与坐标轴平行或重合时，模为0。
向量的加法
向量加法的定义
向量加法是指将两个向量首尾相接， 形成一个新的向量。
向量加法的几何意义
向量加法的几何意义是平行四边形的 对角线，即两个向量的和等于以这两 个向量为邻边的平行四边形的对角线 。
向量积的几何意义
向量积表示两个向量之间的旋 转关系。
若向量a和b的夹角为锐角，则 它们的向量积方向与a和b所在 平面垂直，且方向与a和b的旋 转方向相同。
若向量a和b的夹角为钝角，则 它们的向量积方向与a和b所在 平面垂直，且方向与a和b的旋 转方向相反。
向量积的运算律
向量积满足分配律， 即a × (b + c) = a × b + a × c。
中职数学平面向量的概念
• 引言 • 平面向量的基本概念 • 平面向量的数量积 • 平面向量的向量积 • 平面向量的混合积 • 平面向量在实际问题中的应用
01
引言
主题简介
平面向量
在二维平面内，既有大小又有方 向的量。
表达方式
通常用有向线段表示向量，起点为 箭头的起点，终点为箭头的终点。
性质
向量具有加法、数乘以及向量的模 等基本性质。
在物理中，力是一个向量，可以通过 向量加法、数乘和向量的数量积、向 量的向量积、向量的混合积等运算来 描述力的合成与分解。
速度和加速度
力的矩
力矩是一个向量，可以通过向量的数 乘、向量的向量积等运算来描述物体 受到的力矩。
速度和加速度是向量，可以通过向量 的加法、数乘和向量的数量积等运算 来描述物体运动的速度和加速度。
中职数学平面平面向量课件
中职数学平面平面向量课件中职数学平面平面向量课件随着时代的发展，教育也在不断地进步与完善，课件作为新时期下教育技术手段之一，也越来越多地使用到升学教育中。
而中职数学平面向量作为高中数学基本知识之一，在教学中至关重要。
本篇文章将介绍中职数学平面向量课件。
一、平面向量基础知识平面向量是向量的一种，它的本质是一组有大小和方向的数，通常用有向线段来表示。
平面向量具有长度和方向两个基本特征，可以通过定点、大小、方向或坐标来确定，而且可以进行平移、旋转等运算。
二、平面向量的运算平面向量主要有加法和数乘两种运算。
加法运算的本质是将两个向量相应分量相加，数乘运算的本质是将一个向量每个分量都乘以一个数量。
三、平面向量的性质在平面向量的学习过程中，需要掌握平面向量的性质，包括共线向量的判定、向量的相等条件、向量的数量积及其应用等。
四、平面向量的应用平面向量作为高中数学中的基础知识，其应用领域也非常广泛。
在物理学、几何学、力学等学科中都有着相应的应用。
在此基础上，还可以衍生出更高级的数学知识。
五、中职数学平面向量课件为了帮助中职学生更好地学习平面向量知识，开发了相应的课件，通过图像和交互性来加强学生的记忆和理解。
此课件涵盖了平面向量的基础知识、计算问题以及实际应用等方面内容。
总之，平面向量是高中数学中的重要知识之一，能够引导学生深入了解向量空间及其运算方法，帮助学生理解其在物理学、几何学、力学等学科中的应用，跨学科的应用也增强了学生的知识积淀和技能定位。
中职数学平面向量课件通过生动的展示方式、富有互动的课程内容，提高了学生的学习效果，使学生们能够更好地掌握其所应用的知识和技能，为以后的学习和发展打好了坚实的基础。
中职数学平面向量知识点归纳
中职数学平面向量知识点归纳
平面向量是中职数学中的一个重要概念，以下是关于平面向量知识点的归纳：
1. 向量的基本概念：向量是一个既有大小又有方向的量。
向量的大小称为向量的模。
向量可以用箭头表示，起点在原点，终点为坐标点的有向线段。
2. 向量的运算：
向量加法：向量加法满足三角形法则和平行四边形法则。
三角形法则的特点是首尾相连，平行四边形法则的特点是共起点。
向量数乘：一个实数与一个向量的乘积是一个向量，其模为该实数与原向量模的乘积，方向与原向量相同或相反。
向量的模：向量的大小称为向量的模，记作a。
3. 向量的数量积：两个向量的数量积是一个标量，记作a·b。
数量积的模等于两向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
4. 向量的向量积：两个向量的向量积是一个向量，记作a×b。
向量积的模
等于两向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
5. 向量的混合积：三个向量的混合积是一个标量，记作a·b×c。
混合积的模等于三向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
6. 向量的应用：向量可以用于描述现实生活中的各种物理现象，如力、速度、加速度等。
同时，向量也在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
以上是关于平面向量知识点的归纳，掌握这些知识点有助于更好地理解向量的概念和运算，并能够在数学和实际问题中灵活运用。
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》公开课课件
01
02
03
平行四边形的性质
通过平面向量的线性组合 ，可以证明平行四边形的 对边相等、对角线互相平 分等性质。
三角形的重心
利用平面向量，可以求出 三角形的重心坐标，进而 求出其他几何量。
空间几何
平面向量可以扩展到三维 空间，用于描述空间几何 图形的位置和方向。
平面向量在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，力是矢量，可以用平 面向量来表示和运算。通过力的 合成与分解，可以求解物体的运
向量的正交分解
将一个向量分解为两个相互垂直的向量的线性组合。
向量的坐标表示
将一个向量用一组有序实数对（x,y）表示，这组实数对称为该向量的坐标。
05
平面向量的解题技巧与方法
运用向量性质简化问题
01
向量具有方向性
利用向量的方向性，可以解决一些与向量方向相关的问题，如向量旋转
、向量投影等。
02
向量模的非负性
中职数学基础模块下册《平 面向量的概念》公开课课件
汇报人： 202X-12-22
目 录
• 平面向量的基本概念 • 平面向量的运算 • 平面向量的应用 • 平面向量的性质与定理 • 平面向量的解题技巧与方法 • 平面向量与其他数学知识的联系与区别
01
平面向量的基本概念
平面向量的定义与表示
向量的定义
数乘向量
数乘向量的定义
数乘向量是指将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。其实质是将向量 的每个分量都乘以该实数。
数乘向量的运算规则
数乘向量的运算规则是线性运算的分配律，即对于任意实数k和任意向量a，有 ka=k(a1,a2,...,an)=(k*a1,k*a2,...,k*an)。
人教版中职数学拓展模块一：3.1平面向量的概念课件(共19张PPT)
，有向线段的方向表示向量的方向．用有向线段表示向量
，使向量有了直观形象．
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
向量 的大小称为向量 AB 的长度（或称 模），
记作 | |．长度为 0 的向量称为零向量，记作0．零向
量的方向是不确定的．长度为 1 的向量称为单位向量．
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
我们把长度相等且方向相同的向量称为相等向量．向
量 和 为相等向量，记作 =．例如，图3-4所示的平行
四边形 ABCD 中， = .
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
读一读
最先使用有向线段表示向量的是英国著名科学家牛
顿．
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个
活动 2
调动思维，探究新知
通常，在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假
设 A 为始点， B 为终点，我们就说线段 AB 具有方向，
具有方向的线段称为有向线段．
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以
A 为始点、B 为终点的有向线段记作 ，如图3-3所示
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
叉积具有分配律、差积公式、对称性、反对 称性等基本性质。
叉积的计算
向量积的计算公式为 |→AB×→AC|=|→AB|·|→AC|·sin∠BAC，其 中向量最终结果垂直于这两个向量所在的平 面。
应用举例
向量的叉积可以用于计算向量面积、判断线 段间的相对位置关系、求解平面的法向量等 多个方面。
归一化向量
归一化向量是指将向量长度 变为1，仍然保持同样的方向。 其计算方法为将向量除以它 的模。
第五部分：向量的数量积
1
数量积的定义
向量的数量积也称内积，是两个向量
数量积的计算
2
的数量乘积与它们夹角的余弦值之积。 可用向量坐标或向量的模、夹角余弦
|→AB·→AC|= |→AB|·|→AC|·co s∠BAC
学生体验
我们将通过有趣的例题和 动手实践，让每个学生真 正体验到向量运算的乐趣。
第二部分：平面向量的定义
1
点的坐标表示
点P在平面直角坐标系上的坐标表示
向量的定义
2
为(x, y)，其中x,y分别是P在x轴和y轴 上的投影。
向量是具有大小和方向的量，可以表
示为有向线段。向量AB通常分：课堂练习
实战演练
课后作业
教师点拨
通过精心设计的例题和练习题， 让学生巩固和加深对向量的认 识和掌握。
作业包含基础练习和挑战练习， 涵盖向量的知识点和应用场景， 以巩固学生所学知识。
在教学过程中及时对学生提出 的问题进行解答和点拨，还会 针对不同情况和问题，给予个 性化的建议和指导。
平面向量的线性运算
向量的线性运算包括数量乘法 和数量加法，并满足分配律、 结合律、交换律等基本性质。
第四部分：向量的模及方向
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》ppt课件
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是
01
2.1向量的基本概念
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01.
唉, 哪儿去了?
单击此处添加正文
02.
嘻嘻!大笨猫!
单击此处添加正文
03.
A
单击此处添加正文
04.
B
单击此处添加正文
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
方向走了 米到10达C2点，到达C点后又改变方向向西走了10
米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
D C
1m
北
西
A
B东
南
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段
பைடு நூலகம்表示
符号表示法：
a ，b
AB
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
作业：课本86页 习题2.1第2题，第3题
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
a
如：
b
c
平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c
2024版中职数学基础模块下册平面向量的概念课件
2024/1/30
1
2024/1/30
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积与投影 • 平面向量应用举例
2
2024/1/30
01
平面向量基本概念
3
向量定义及表示方法
2024/1/30
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，常 用带箭头的线段表示，线段的长度 表示向量的大小，箭头的指向表示 向量的方向。
18
数量积定义及性质
数量积定义
性质1
两个向量的数量积是一个标量，其大小等于 这两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积， 方向由夹角决定。
交换律，即a·b=b·a。
性质2
分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。
性质3
与零向量的数量积，a·0=0。
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19
投影概念及计算方法
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坐标运算
若向量a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
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11
向量运算性质总结
交换律
向量加法满足交换律，即 a+b=b+a。
零元
存在零向量0，使得对于任 意向量a，都有a+0=a。
数乘结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，都有(λμ)a=λ(μa)。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
这两个向量的和。
2024/1/30
三角形法则
将两个向量平移至同一起 点，首尾相接，从第一个 向量起点指向第二个向量 终点的向量即为这两个向
2024版中职数学平面向量的概念ppt课件
01向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
02向量的表示方法向量可以用小写字母或大写字母加箭头表示，如$vec{a}$或$overset{longrightarrow}{AB}$。
03向量的模向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$，模长是一个非负实数。
向量定义及表示方法03向量的模长等于有向线段的长度，可以通过勾股定理或三角函数计算。
向量的模长向量与正方向（通常是x 轴正方向）的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，取值范围是$[0, pi]$或$[0, 180^circ]$。
方向角向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值称为向量的方向余弦，可以通过方向角计算得到。
方向余弦向量模长与方向角模长为0的向量称为零向量，记作$vec{0}$，零向量没有方向。
零向量单位向量相反向量模长为1的向量称为单位向量，单位向量具有确定的方向。
与给定向量大小相等、方向相反的向量称为相反向量，记作$-vec{a}$。
030201零向量、单位向量和相反向量向量共线与平行关系向量共线如果两个向量在同一直线上或者平行于同一直线，则称这两个向量共线。
共线向量满足$vec{a} = kvec{b}$（$k$为实数）。
向量平行如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。
平行向量满足$vec{a} parallel vec{b}$。
共线与平行的关系在平面内，共线的向量一定平行，但平行的向量不一定共线。
加法定义两个向量相加，即将它们的对应分量相加得到新的向量。
几何意义向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加的结果可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，或者可以表示为将其中一个向量的终点连接到另一个向量的起点的向量。
01减法定义02几何意义两个向量相减，即将被减数的各分量减去减数的对应分量得到新的向量。
向量的减法可以表示为将减数向量的终点连接到被减数向量的起点的向量，这个向量与减数向量方向相反，大小相等。
职高高二平面向量知识点
职高高二平面向量知识点一、向量的定义和表示向量是有大小和方向的量，用箭头表示。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个坐标对或使用单位向量的倍数表示。
二、向量的运算1. 向量的相加向量的相加是将两个向量的对应分量相加得到新的向量。
即，若A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)为两个向量，则其相加可表示为A + B= (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
2. 向量的减法向量的减法是将两个向量的对应分量相减得到新的向量。
即，若A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)为两个向量，则其相减可表示为A - B = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将一个向量的每个分量都乘以一个数得到新的向量。
即，若A(x, y)为一个向量，且k为一个实数，则其数量乘法可表示为kA = (kx, ky)。
4. 向量的点积（内积）向量的点积用于判断两个向量之间的夹角关系。
若A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)为两个向量，则其点积可表示为A·B = x₁x₂ +y₁y₂。
5. 向量的叉积（外积）向量的叉积用于求得两个向量所构成的平行四边形的面积和方向。
若A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)为两个向量，则其叉积可表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。
三、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的长度或大小，可通过勾股定理计算得到。
若向量A(x, y)，则其模为|A| = √(x² + y²)。
2. 零向量零向量是模为零的向量，其所有分量都为零。
通常用0或O表示。
3. 平行向量平行向量是指方向相同或相反的向量。
对于平行向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，当且仅当存在实数k，使得(x₁, y₁) = k(x₂, y₂)时，A和B平行。
4. 垂直向量垂直向量是指两个向量的夹角为90°，其点积为0。
对于向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，当且仅当x₁x₂ + y₁y₂ = 0时，A和B垂直。
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平面向量概念教案一．课题：平面向量概念二、教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣三．教学类型：新知课四、教学重点、难点1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。
2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。
五、教学过程（一）、问题引入1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。
在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。
而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。
（二）讲授新课1、向量的概念练习1 对于下列各量：①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度其中，是向量的有：②③④⑤2、向量的几何表示请表示一个竖直向下、大小为5N的力，和一个水平向左、大小为8N的力（1厘米表示1N）。
思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？（1）有向线段及有向线段的三要素（2）向量的模（4）零向量，记作＿＿＿＿；（5）单位向量练习2 边长为6的等边△ABC中，＝＿＿，与相等的还有哪些？总结向量的表示方法：1）、用有向线段表示。
2）、用字母表示。
3、相等向量与共线向量（1）相等向量的定义（2）共线向量的定义六．教具：黑板七．作业八．教学后记附：教案格式模板所在单位所属教研室课程名称授课教师《******》教案（宋体二号，标题加粗）一、课程性质：（注：填公共基础必修课、公共基础选修课、专业基础必修课、专业核心必修课、师范技能必修课、师范技能选修课）二、总学时∕学分:三、课程类型：理论课（）实践（含实验）课（）四、学时分配：理论课（）学时实践（含实验）课（）学时五、授课专业、层次：六、本课程的教学目的和要求：七、本课程的教学重点、难点：八、教材和参考书：《******》教案内容（宋体二号，标题加粗）一、章节内容：（正文：宋体五号，标题加粗，18磅）二、课时：三、教学目的：四、教学重点与难点：五、教学方法：六、教学过程设计：小结：七、作业布置：八、教具：想要了解更多，请访问我的豆丁主页：/2363291614。
中职数学71平面向量的概念及线性运算ppt课件
B a A
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
1A D ； 2O A ．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
动脑思考 探索新知
与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义 为向量a与向量b的差．即
a − b = a＋(−b)．
线段的长度表示向量的大小．
如右图所示，有向线段的起点叫做向量的起点，有向线
段的终点叫做向量的终点．以A为起点，B为终点 的向量记作 A B，
也可以使用小写英文字母，印
B a
刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面 A
加箭头，记作 a ．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
N
B
E
M
TK A
L
Z
CD
FK
Q
P
G
图7−4
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 行的向量．
向量a与向量 b平行记作a//b．
规定：零向 量与任何一个向 量平行．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
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ab
a
a
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案： （1）平行向量的方向一定相同． （2）不相等的向量一定不平行．
× ×
零向量
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？
零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 什么向量？ 平行向量（共线向量） （6）两个非零向量相等的条件是什么？ 模相等且方向相同
O
C
F
D
E
练习2:如图
问题:(1) OA 与 FE 相等吗? (2) OB 与 AF 相等吗? (3) 与 OA 长度相等 的向量有几个? 12 (4) 与 OA 共线的 向量有哪几个?
B A
O
C F
有CB, FE, DO.
D
E
如下图,与AB有几个？与AB长度相等的 有几个？
（7）共线向量一定在同一直线上． ×
练习 1：判断下列各命题是否正确？ （1 ） a = b , 则a = b; (2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； （3）若 AB = CD, 则四边形ABCD是平行四边形； （4）若a = b,b = c, 则a = c; (5)若a //c,b //c, 则a //b
自我反思
目标检测
学习效果
学习行为 学习方法
继续探索
活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.1Ａ组（必做） 教材习题７.1Ｂ组（选做） 实践调查：试着用向量的观点解释 生活中的一些问题．
作业
A b A a
b
a
a
A B
√
C
D
3.向量的关系：
平行向量: 方向相同或相反的非零向量 . 表示为： a // b // c 零向量与任一向量平行.
L
a
b
c
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量.
相等向量
长度相等且方向相同的向量.表示为： a b a
向量只有 大小与方向两 个要素．当向 量a与向量b的 模相等并且方 向相同时，称 向量a与向量b 相等，记作a =b．
N
B M K A H L Z Q C D P F E
与非零向量 的模相等，且方 向相反的向量叫 做向量的负向量， 记作 －a．
规定：零向 量的负向量仍为 零向量．
K
G
图7−4
巩固知识
CD DC； （2） BA DC， DC // AB， CD // AB． （3） BA // AB，
运用知识
EF 相等的向量； （1）与 （2）与 AD 共线的向量．
巩固知识
例2
典型例题
D O C
在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
（2）找出向量 DC 的负向量；
（3）找出与向量 AB 平行的向量．
A
图7－4
B
解 由平行四边形的性质，得 （1） CB DA ；
自我反思
目标检测
向量、向量的模、向量相等是如何定义的？
当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、 位移等，这种量叫做向量（矢量） 向量的大小叫做向量的模．向量 a, AB 的模依次 记作 a ，AB ． 向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量 a与向量b相等，记作a = b ．
用字母表示
始点
AB,
或
a
终点
1.向量的大小(模): 向量 AB 或 a 的大小 (模)表示： | AB | 或 | a |
向量是不能比较大小的,但 向量的模是可以进行大小比较的.
三. 向量的有关概念
a
b
| a || b |
a b
√ ×
2.两个基本向量： 零向量: 模为零的向量(方向不确定).
数量 向量
距离、身高、 质量、时间、 面积、温度
位移、力、 速度
Ｆ
三要素：大小，方向，作用点
力
Ｆ
S
质点做机械运动，从初位置 到末位置的有向线段叫做位移。
速度：物 体运动的 位移与所 用的时间 的比值
Ｖ
二.向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段)
始点 终点 始点
A
B
a
终点
B
:
1、下列命题正确的是
（A）共线向量都相等
(
)
（B）单位向量都相等
（C）平行向量不一定是共线向量
（D）零向量与任一向量平行
2.下列说法正确的是 ( ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量. 3.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 其中是向量a与b平行的有_____.
例2:如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别 写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向 量 B A 与OA相等的向量有 DO, CB.
与OC相等的向量有 FA, ED.
与OB相等的向量有 EO,DC.
负向量(相反向量)
a
a
b
与非零向量的模相等，且方向相反的向 量叫做向量的负向量，记作: a ．
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 无关。 a
b
负向量(相反向量) 与非零向量的模相等，且方向相反 的向量叫做向量的负向量， 记作: a
强化练习
A D F
1． 如图，ABC 中，D、E、F分别是三边的中点，试写出
B
E
C
第1题图
略．
2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出 E F （1）与 OC 相等的向量； O （2） OC 的负向量； A D （3）与 OC 共线的向量．
B C
略．
第2题图
课堂小结:
1、向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
A 度
B
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长
（或称为模）。记作 3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 作0 （手写体）。
| AB |
动脑思考
探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等． 向量的大小叫做向量的模．向量a, AB 的模依次记作 a ， AB ． 模为零的向量叫做零向量．记作0，
平面向量的概念及表示
小组探究
一只猫的重量是1.5千克,一只老鼠的重量是 0.2公斤,谁更重? • 老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜, 而猫由A向正南方向每秒10米的速度追. • 问猫能否抓到老鼠?
速度是既有大小又有方向的量
猫与老鼠哪个重?
猫能捉住老鼠吗?
嘻嘻!大笨猫！
猫能捉住老鼠吗?
•老鼠由A向东北方向以6m/s 的速度逃窜,而猫由B向东南 方向10m/s的速度追. 问猫能 否抓到老鼠?
表示：
0,
| 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
巩固知识
典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？ 东 南 b A a A b 100km.
B
a
A
零向量的方向是不确定的．
模为1的向量叫做单位向量．
巩固知识
典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．
N
B M K A H L Z Q C D P F E
K
G
图7−４
动脑思考
探索新知
下图中，哪些向量是共线向量？
N
B M TK A H L Z Q C D P F E
C
你位移错了！
A B
唉, 哪儿去了 ?
找准方向+看到差距+努力=成功
D
如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？
只有大小，没有方向的量叫做数量（标量） 例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），
如力、速度、位移等．
请说出下列一些量那些是数量那些是向量? 距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上， 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量．
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 行的向量． 向量a与向量 b平行记作a//b． 规定：零向 量与任何一个向 量平行．
K
G
图7−4
动脑思考
探索新知
图7−4中的平行向量 AB与 MN ，方向相同，模相等；平行 向量GH 与TK ，方向相反，模相等．
例2
典型例题
D O C
在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
（2）找出向量 DC 的负向量；
（3）找出与向量 AB 平行的向量．