微积分在物理学中的应用

微积分在物理学中的应用

The application of calculus in physics

摘要: 关于“微积分”是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念

和应用的数学分支，它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、

微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于

变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用

一套通用的符号进行讨论，使运算也更加简便 。“应用数学处理物

理问题的能力”是我们必须掌握的一种解决物理问题的方法，“能够

根据具体问题找出物理量之间的数学关系，根据数学的特点、规律，

进行推导、求解，并根据结果做出物理判断、进行物理解释，得出

物理结论”是物理解题中运用的数学方法，微积分就是其中一种。

关键词: 微积分

Key words: calculus

基金项目：本文为大学生科研项目批准文号xs11035资助项目

作者简介：姓名：李东康（出生年月198211），女，吉林省；单位全称：通化师范学

院物理学院，职称：助教；研究方向：光学；刘明娟，通化师范学院物理学院本科学生；

1、微积分

1.1定义：

设函数()x F 在[]b a ,上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点a=0X <1X <...<

1-Xn

i i x x ,1-上任取一点()i i i x x ≤≤-ζ1，作函数值()i f ζ与小区间长度的乘积()xi i f ∆ζ，并做出

如果不论对[]b a ,怎样分法，也不论在小区间上的点i ζ怎样取法，只要当区间的

长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()x f 在

区间[]b a ,上的定积分。

设函数()x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在此区间内。如果函数的

增量()()00x f x f x y -∆+=∆可表示为 ()x x y A ∆O +∆=∆（其中A 是不依赖于x

∆的常数），而()x ∆O 是比x ∆高阶的无穷小，那么称函数()x f 在点0x 是可微的，

x A ∆称作函数在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作y d ，即x y A d ∆=。设函

数()x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在此区间内。通常把自变量x 的增量

x ∆称为自变量的微分，记作x d ，即x x d ∆=。于是函数()x f y =的微分又可记作

()dx d f d y '=。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数

也叫做微商。

1.2 几何意义：

设x ∆是曲线()x f y =上的点M 在横坐标上的增量，y ∆是曲线在点M 对应

x ∆在纵坐标上的增量，

y d 是曲线在点M 的切线对应x ∆在纵坐标上的增量x ∆很小时，y y d -∆比x ∆要小得多(高阶无穷小)，因此在点M 附近，我们可以用切

线段来近似代替曲线段。

1.3定积分和不定积分：

定积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，

定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，

这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的一个函数的不定积分（亦称原函数）

指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其中：()[]()x f c x f ='+一

个实变函数在区间[]b a ,上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在

b 的值减去在a 的值。定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面

积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，它们又为何通称为

积分呢？这要靠牛顿和莱布尼茨的贡献了，把本来毫不相关的两个事物紧密的联

系起来了。

2．微积分在物理学中的应用:

微积分作为数学的一门分支学科，在物理学中有着非常重要的应用价值。

尤其是在大学物理中，微积分作为一种分析连续过程累积的方法已经成为解决问

题的基本方法，本文主要介绍了微积分在物理学中的一些应用。

微积分在大学物理中的应用有很多，它能使复杂的问题简单化。例如质点运动学，功，粒子运动如速度，加速度，转动惯量，安培定律，电磁感应定律等。

在应用微积分方法解物理问题时，微元的选取非常关键，选的恰当有利于问题的分析和计算，其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其二要尽量把微分元选取的大，这样可使积分运算更加简单，因为微分和积分互为逆运算，微分微的越细，越精确，但积分越繁琐，计算工作量较大，所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理。

微元的选取不唯一，在每一种微元里近似的物理模型是不同的，重积分远比一元积分麻烦，所以在分析物理问题时，应充分利用对称性，选取适当的一元微元，使积分运算简单；不管选取怎样的微元，结果是相同的，都是问题的精确解。由此看出，用微积分解题的神奇之处，由于微元无限趋近于零，使得有限范围内的近似到无限小范围内的精确，从而完成了问题的精确求解。

2.1力学

力学是研究物质机械运动规律的科学，自然界物质有多种层次，从宇观的宇宙体系、宏观的天体和常宇宙体系，细观的颗粒、纤维、晶体，到微观的分子、原子、基本粒子。通常理解的力学以研究天然的或人工的宏观对象为主。但由于学科的互相渗透，有时也涉及宇观或细观甚至微观各层次中的对象以及有关的规律。又称经典力学，是研究通常尺寸的物体在受力下的形变，以及速度远低于光速的运动过程的一门自然科学。力学是物理学、天文学和许多工程学的基础，机械、建筑、航天器和船舰等的合理设计都必须以经典力学为基本依据。

力是物质间的一种相互作用，机械运动状态的变化是由这种相互作用引起的。静止和运动状态不变，则意味着各作用力在某种意义上的平衡。因此，力学可以说是力和(机械)运动的科学。

理论力学是研究物体的机械运动规律及其应用的科学，理论力学是力学的学科基础。它可分为静力学、运动学和动力学三部分：①静力学：研究物体在平衡状态下的受力规律；②运动学：研究物体机械运动的描述，如速度、切向加速度、法向加速度等等，但不涉及受力；③动力学：讨论质点或者质点系受力和运动状态的变化之间的关系。16世纪到17世纪间，理论力学开始发展为一门独立的、系统的学科。伽利略通过对抛体和落体的研究，提出惯性定律并用以解释地面上