第11章 新古典增长理论-索洛模型(课件版)
新古典增长理论
评论
1．主要结论 （1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数。 （2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高 的增长率。 （3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久 性增长。 （4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。 （5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的 产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。 2．批评 （1）未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步（劳动的有效性）看成为外生给定的，而这恰恰是长 期经济增长的关键。因此，索洛模型是通过“假定的增长”来解释增长的。
G=a △K/K+（1－a）△L/L+△T/T
上式中△T/T代表技术进步。索洛模型和之后的索洛－米德模型不仅体现了凯恩斯主义，而且体现了新古典 学派的经济思想，常被称为新古典增长模型，该模型所阐述的增长理论被称为增人口提供平均的资本装备nk，这被称作“资本的广化”。换句话说，经济中的全部储蓄 转化为投资后，一部分用于提高人均资本拥有量（资本的深化），另一部分则用于为新增人口提供平均数量的资 本装备（资本的广化）。
图中横轴为人均资本拥有量k，纵轴为人均收入f（k）。集约生产函数曲线f（k）表明随着人均资本拥有量 的增加而增加，人均产量即人均收入f（k）也相应增加。人均储蓄曲线sf(k)位于人均收入曲线f(k)的下方，因 为储蓄只是收入的一部分。
基本信息
新古典增长理论（New-Classical Theory of Economic Growth）
新古典增长理论主要是指美国经济学家索洛所提出的经济增长的理论。索洛以柯布－道格拉斯生产函数为基 础，推导出一个新的增长模型。这个模型假定：第一、资本－产出比率是可变的；资本和劳动可以互相替代；第 二、市场是完全竞争的，价格机制发挥主要调节作用；第三、不考虑技术进步，技术变化不影响资本－产出比率， 因而规模收益不变。用a和1－a分别代表资本和劳动对总产出的贡献，△K/K为资本增长率；△L/L为劳动增长率， 该模型用公式可以表示为：
索洛模型
n, g , , s
政策最有可能影响的是储蓄率
34
（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.储蓄率增加的影响程度分析（定量）； 3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平。
分三个角度来观察： 1.旧的稳态点
2.新的稳态点
其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL， 有效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL· f(k)
8
（一）模型的基本假定
进一步假设：
f k 0 f k 0
边际报酬递减
满足稻田( Inada )条件： lim f k lim f k 0
经济增长理论之
索洛模型
1
70法则
如果任意变量每年以g%的速度增长，则该变量值翻 倍时间大约是70/g年。
yt y0e gt 2 y0 y0 e
gt *
t * log 2 / g 0.7 / g g % 1%和5%时，t * 70和14年。
2
预备知识：技术进步的类型
Y=F(K,AL)（哈罗德型，资本增进型） Y=F(AK,L)（索洛型，劳动增进型）
gt At A0e
12
（一）模型的基本假定
投入品的指数增长： 假设时间t是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长： L(t ) / L(t ) [dL(t ) / dt ] / L(t ) n
（2）知识的增长： A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g 其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外 生参数，表示不变增长速度
n g k t
sf k
新古典增长模型
索洛－斯旺模型）索洛－斯旺模型是哈罗德―多马模型的发展，发展点是改变了的生产函数，改为可以平滑替代的生产函数，又称为新古典增长模型。
（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（二）稳定状态（三）动态分析（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（1.分析目的：新古典增长理论分析资本积累、人口增长及技术进步对经济增长的作用，着重分析储蓄对资本存量变化的影响，揭示经济长期增长的产出水平和资本水平实现稳态均衡的条件，以及如何从当时的状态向稳态均衡状态调整。
2.模型的假设索洛－斯旺模型保留了哈罗德―多马模型的假设，不同之处两点，生产函数不同，资本折旧率不再是0。
（1）新古典生产函数假定 ①新古典生产函数的性质：),(L K F Y ，有连续的一阶和二阶导数。
ⅰ各要素的边际产出大于0且递减，即一阶导数大于0二阶导数小于020,0F F K K∂∂<>∂∂ 3.1a 20,0F F L L ∂∂><∂∂ 3.1bⅱ规模报酬不变，即生产函数有一次齐次性 ).(),(L K F L K F λλλ=，0 λ成立 )()1,()1,/(),(k f L k F L L K F L L K F Y ⋅=⋅=⋅==3.2 显然L K k /=为人均资本 令L Y y /=，人均产出，则3.2式为)(k f y =ⅲ稻田条件（Inada Conditions ）资本（或劳动）趋向于0时，其边际产出趋向于无穷大。
资本（或劳动）趋向于∞时，其边际产出趋向于零。
0→k ，∞→∂∂K F 3.3a0→L ，∞→∂∂KF 3.3b 上两式可写成∞==→→L L k k F F lim lim 00∞→k ，0→∂∂K F∞→L ，0→∂∂K F上两式可写成0lim lim ==∞→∞→L L k k F F②固定折旧比例假定 假设资本以一个固定比例折旧，0δ>，为常数，如总资本为K ，则折旧为K δ。
第11章 新古典增长理论-索洛模型(讲义版)
第十一章 新古典增长理论——索洛模型（3）本次授课框架：总结波动理论，引出增长理论。
增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余）（1） 增长方程推导（总量形式），假设条件（2） 人均形式生产函数（3） 总量与人均量之间的关系索洛稳态方程推导过程（1） 索洛稳态定义（2） 根据均衡条件的推导（3） 稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA 条件）（4） 储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析（1） 储蓄率增加情况（2） 人口增长率增加情况总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论）新古典增长理论评价一、增长方程推导假设生产函数：N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A YY N K AF Y ∆∂∂*+∆∂∂*+∆=∆=),(),(),(),(),( 假设 产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变1。
根据欧拉定理：1 对规模收益不变（Constant Return of Scale ，简称CRS ）的理解。
第一，经济规模足够大，以至于来自专业化分工的收益（gains from specialization ）已不存在。
当资本和劳动增加一倍时，只能重复原有的工作效率和工作方式，使产出翻倍而不能带来更多；第二，强调资本和劳动对产出的重要性，其他因素如自然资源的相对次要地位。
本章的一道作业题也表明这种假设的合理性，自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。
总量表达式2 N N K K A AY YN K AF N N K AF N N K AF K N K AF K ∆-+∆+∆=∆-=∂∂*=∂∂*)1(1),(),(),(),(θθθθ 总量与人均量的关系N N k k K K N N y y Y Y∆+∆=∆∆+∆=∆人均量表达式 kk A A y y ∆+∆=∆θ索洛发现：技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP 增长的重要决定因素，而技术进步和资本积累是人均GDP 增长的重要因素。
CH3 索罗增长模型PPT资料20页
结论：索罗模 型意味着，无 论起点在何处， 经济总会收敛
于一个平衡增 长路径：模型
中的每个变量 都以一个不变 的速率增长。
11
四、储蓄率变化的影响
f(k)
y2* y1*
f(k) (n+g+δ)k
s2f(k)
s1f(k)
k1* k2*
k
储蓄率上升意味着更多的资源 用于投资，实际投资线向上移 动。导致实际投资大于持平投 资，因此，k持续上升到新的稳 态值（不是立即跳跃到）。
总速资产 度本出 ：增的长增率长k* K YY/A LLL K A A k * nA gL KK n g
消费C=（1-s）Y，因此，消费和产出具有相同 的增长率，等于n+g。
同样方法可以计算出每个工人的产出Y/L、人均 资本K/L和人均消费C/L具有相同的增长率：g。
1、对产出的影响 储蓄率变化只具备水平
效应，而不具备增长效 应。 2、对消费的影响 在稳态，c*= f(k*)(n+g+δ）k* 当MPK= n+g+δ时，消费 达到最大。 使消费达到最大化的资 本存量被称为资本的黄 金律。
lim
K
FK
lim
L
FL
0
因此，索罗增长模 型又被称为新古典 增长模型。
练习：推导劳动和资本的 边际产出。
10.01.2020
5
边际产出
由规模报酬不 变可以得到
F ( K ,A ) A L F ( K L /A , 1 ) L A f( K L /A )
资本的边际产出 M K P F ( K K ,A ) L A (K K L /A f) L f(k )
索洛增长模型PPT课件
图2-7
中国1978-2009年GDP及人均GDP增长率（%）
.
11
350000 300000 250000 200000 150000 100000
50000 0
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
29252
21763
21124
18409
12140
33885 22885 19766
0
美国 日本 德国 英国 法国 意大利 加拿大 中国 印度 俄罗斯 巴西
图2-5 2008年按购买力平价法计算的GDP(亿美元)
.
9
50000 46716
45000
40000 35000 30000
34099
35613
.
13
30000 25000 20000 15000 10000
5000 0
图2-10 中国1978-2009年人均GDP（元）
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
.
14
3．经济增长与经济发展的区别与联系 （二）增长的源泉
35445
34045
30756
36444
25000
20000 15000 10000
5000
16139
5962
2972
10296
0
美国 日本 德国 英国 法国 意大利 加拿大 中国 印度 俄罗斯 巴西
图2-6 2008年按购买力平价法计算的人均GDP(美元)
索洛模型详解PPT课件
高储蓄是以低消费为代价的。因此，选择最佳稳态，应该 以高消费作为选定稳态的标准。
一. 假设条件
1. 索洛模型成立
2. 储蓄率s可以调整；
3. 目标：未来消费水平最高。
讨论：多少资本积累是长期消费最优的
❖ 则生产函数变为： ❖ Y=F（K，L）→→→Y=F（K，L*E）
06.01.2021
33
例子
❖ 如：技术进步引起劳动生产率提高两倍， 原来 投入10个单位的劳动可以生产100个单位的产量， 技术进步后可以生产200个单位，也就相当于在 原来的技术水平下投入10*2=20个单位的劳动力。
❖ 这个劳动力就称为“效率工人”。
消费水平的最大化表现为一阶导数为0。MPk= δ+n
即在黄金律稳态：资本的边际产量
06.01.2021
=
折旧率+人口增长率
29
人口增长率对稳态的影响
y
(δ+n2)k
(δ+n1)k sf(k)
0
k*2
k*1
k
06.01.2021
30
计算
❖ 设某国的总量生产函数：Y=K0.5L0.5，资 本存量折旧率为5%，人口增长率为1%， 储蓄率为10%。
i* =sf（k*）=δk* 由c = y－i 可得,
c*=f（k*）－δk* 。
06.01.2021
❖ 表明：稳定状态资本水平 的提高，对稳定状态的人 均消费有对立的影响，它 通过使产出增加提高消费， 但又因为需要有更多的产 出去替代折旧掉的资本而 使消费减少
索洛增长模型
t0
t
但是消费是否会超过s上升之前的原来水平是
不确定的，存在一个实现消费最大化最优增长 路径，即黄金分割率问题。 我们有下面有关消费的表达式：每单位有效劳 动的平均消费等于每单位有效劳动的平均产量 减去每单位有效劳动的平均投资，在平衡增长 路径上，实际投资等于持平投资，因此
c f (k ) (n g )k
索洛增长模型
1、索洛模型的基本假定 投入与产出 索洛模型包括四个变量，产量Y，资本K，劳动
L和知识或者劳动的有效性A，资本劳动和知识 结合起来生产产品，生产函数形式为：
Y (t ) F ( K (t ), A(t ) L(t )) (1.1)
两点解释：时间并不直接进入生产函数，只是通过 K、L、A进入。仅在生产投入变化时，产量才会随 时间变化。A和L以相乘形式进入，AL被称为有效 劳动，以此种形式进入技术进步为劳动增进型或者 哈罗德中性。
3、对索洛模型的评价 索洛模型确定了每工人平均产量变动的两个可
能来源：每工人平均资本的变动和劳动的有效 性的变动。然而只有劳动的有效性的增长才能 导致每工人平均产量的永久性增长，而且在合 理的情形下，每工人平均资本的变动对每工人 平均产量的影响不大。其结果，只有劳动的有 效性的差异才有希望解释财富在不同时期不同 地域的巨大差异。具体而言，索洛模型的基本 结论是如果资本取得的市场收益大体体现了其 对产量的贡献，那么实物资本积累的变动既不 能解释世界经济的增长，也不能很好的解释国 家间的收入差别。
由于K / AL k , L/ L n, A/ A g , K sY (t ) K (t ), 则， k (t )
sY (t ) K (t ) Y (t ) k (t ) n k (t ) g s k (t ) nk (t ) gk (t ) A(t ) L (t ) A(t ) L (t )
索洛模型精品PPT课件
朝向稳态移动
只要 k < k*, 投资就大于折旧，k 就会继续增大直至 k*.
投资与折旧
k sf(k)
k3 k*
人均资本 k
24
k > k*
类似地，假定经济的初始资本水平高于稳定状态。 在这种情况下，投资小于折旧：资本的磨损快于更替。 资本存量将减少，又一次向稳定状况的水平趋近 一旦资本存量达到了稳定状态，投资等于折旧，资本 存量增加或减少的压力都不存在
k = 0. 资本存量和产出随时间的推移是稳定的（既不增加也不减
少）。此时的资本存量 k*, 称为 稳定状态的资本存量。
18
投资与折旧
稳态
折旧k 投资sf(k)
k*
无论经济开始时的资本是多少，总是以稳定 状态的资本水平结束，也就是说，稳定状态代 表经济的长期均衡
人均资本 k
19
向稳态移动
（开始时经济中的资本小于稳态资本水平）
10
消费函数
索洛模型假设每年人们储蓄s比例的收入， 消费（1-s）比例的收入
消费函数: c = (1–s)y
S为储蓄率，是介于0-1之间的一个数。就目前 而言，将储蓄率S 视为给定的
11
储蓄与投资
人均储蓄= y – c = y – (1–s)y = sy
国民收入核算恒等式 y = c + i
索洛增长模型是为了说明在一个经济中，资本 存量的增长，劳动力的增长以及技术进步是如 何影响一国产品与服务的总产出
为理解该模型，需分步骤来进行 先考虑产品的供求是如何决定资本积累。在这
里假定劳动力和技术不变 接下来放松假定，考虑劳动力的变动 最后考虑技术的变革
5
一、资本积累
主要考虑以下三个方面的问题： 产品的供求 资本存量的增长与稳定状态 储蓄率的变动
索洛模型课件
索洛模型的基本假设
生产的规模收益不变
意味着当所有生产要素都增加时，产出也会按相同的比例增加。
生产要素之间可以相互替代
06
索洛模型与其他经济增长模型的 比较
与哈罗德-多马模型比较
哈罗德-多马模型强调了资本积 累在经济增长中的作用，而索洛 模型则引入了劳动和技术进步作
为经济增长的独立因素。
哈罗德-多马模型假设经济中存 在一个稳定的资本-产出比率， 而索洛模型则认为这个比率是可
变的。
哈罗德-多马模型假设储蓄率是 外生的，而索洛模型则认为储蓄 率是内生的，取决于经济中的收
形式
$Y=F(K,L)$，其中Y表示总产出，K表 示资本投入，L表示劳动投入。
劳动、资本、技术进步对产出的贡献
劳动
劳动投入的增加会提高产出水平 ，但存在边际收益递减规律，即 随着劳动投入的增加，单位劳动
产出的增加逐渐减少。
资本
资本投入的增加也会提高产出水平 ，同样遵循边际收益递减规律。
技术进步
技术进步可以改善生产效率，提高 单位要素的产出水平，是经济增长 的重要源泉。
L'表示劳动投入的增长
率。
03
索洛模型的应用
对经济增长的预测
总结词
索洛模型可以用来预测经济增长，通过分析生产函数和储蓄率等参数的变化趋 势，可以预测未来经济增长率。
详细描述
索洛模型是一种基于生产函数的经济增长模型，通过将资本、劳动力和技术进 步等要素纳入模型中，可以模拟经济增长的过程。通过对模型参数的调整和优 化，可以预测未来经济增长的趋势和速度。
索洛模型详解-PPT精选文档
k1 k* k2
中国矿业大学管理学院 徐建博
k
11Biblioteka 说明（ 1 ） 资本存量的不断增加反映了经济的增 长，因为人均产出与人均资本成正比 y=f(k) （2） 当Δk=0时，资本存量会保持稳定不变 的水平。我们称这个资本存量水平为资本存量 水平的“稳定状态”，简称“稳态”，记为 k* 。 （ 3 ） 稳定状态是一个经济的长期均衡，具 有一种真正的稳定性。不管经济的初始水平是 什么，最后总是会达到稳定状态的资本水平。
2019/3/13
中国矿业大学管理学院 徐建博
2
二. 资本积累和稳态
1. 人均生产函数（供给角度）
索洛生产函数为 Y=F（K，L ） 由于规模报酬不变，λY= F（λK,λL） 为简化分析：我们把上述变量都变成人均量 令λ=1/L，得 Y/L= F（K/L,1） 用y=Y/L代表人均产出，k=K/L代表人均资本存量，得：
该式表明投资与产出成正比。
2019/3/13 中国矿业大学管理学院 徐建博 5
二. 资本积累和稳态
3.投资函数
前面的分析得到i = s y 和 y=f(k)，整理得：
i = s f(k)
从式中可以看出：
(1) 人均资本k 越高，产出f（k）和人均投资i就越大。 (2) 投资也取决于储蓄率，储蓄率越高，则在资本存量 和产出水平一定的条件下，投资水平越高，但是同时 消费越少。
索洛简介
1956年,麻省理工学院(MIT)的教授罗伯特•索洛 写了一篇有关经济均衡增长路径的文章，这篇文章 第一次引入了长期经济增长模型，又被称做“新古 典增长模型”（建立在凯恩斯以前的经济学家所使 用的古典模型基础上的）。 为此，索洛获得了1987年的诺贝尔经济学奖。 索洛对经济增长考察是从资本积累开始的。 索洛模型基本思路：先让劳动力和技术保持不变， 然后逐步放宽假设（劳动力的变化和技术进步）研 究经济增长。
古典经济增长理论.ppt
新古典增长理论的三个基本命题
在长期稳定状态，产出的增长来自于有效的劳 动力增长率（即劳动力的增长率加上劳动生产 率的增长率），与储蓄率无关，更高的储蓄或 投资比率被更高的资本－产出比抵消。 人均收入水平取决于储蓄率或投资－GDP比率 ，与人口增长率呈反比。
Theories of Development: A Comparative Analysis
Chapter 3
Leading Theories of Economic Development: Five Approaches
Classical Scenario 古典经济增长理论 Linear-stages-of-growth model 线性增长模型 Neoclassical models 新古典增长模型 Endogenous growth 内生经济增长模型
ar model
Saving and investment is the necessary condition for economic growth but not the sufficient condition How about the ability of converting new capital effectively into high levels of output
索洛模型
（一）模型的基本假定
规模报酬不变
FcK,cL cFK, L c 0
这意味着：
a 经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）； b 其他因素，如自然资源等不重要。
6
（一）模型的基本假定
根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集
形式： F K ,1 1 FK, AL
AL AL
y f k
，
Y FK K FAL AL
其中 FK 是资本的边际生产力，FAL 是有效劳动的边 际生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率n g
在增长，所以：
K(t) (n g)K(t)
•
(AL)(t) (n g)A(t)L(t)
26
Y的增长率
从以上可推导：
总产出的增长率也是 n g
27
23
（二）模型的动态学
k=k*时各变量比例的变动： Y / K：不变； Y / L：以速率g增长； K / L：以速率g增长。
24
证明
k的增长率：
k(t) K(t) L(t) A(t) K(t)
(n g)
k(t) K (t) L(t) A(t) K (t)
25
Y的增长率
规模报酬不变之假设。这一假设说明了总产出是按 照资本和有效劳动的边际生产力来分配的：
k k k*
n
g
k *
f k *
f
k *
n
g
K k * 1n g
51
收敛速度：定量分析
k
kk
k
k
k*
k
k
*
K k * 1n g k k *
1 K k * n g k k *
定义xt kt k *
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第十一章 新古典增长理论——索洛模型（3）本次授课框架：总结波动理论，引出增长理论。
增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余）（1） 增长方程推导（总量形式），假设条件（2） 人均形式生产函数（3） 总量与人均量之间的关系索洛稳态方程推导过程（1） 索洛稳态定义（2） 根据均衡条件的推导（3） 稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA 条件）（4） 储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析（1） 储蓄率增加情况（2） 人口增长率增加情况总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论）新古典增长理论评价一、增长方程推导假设生产函数：N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A YY N K AF Y ∆∂∂*+∆∂∂*+∆=∆=),(),(),(),(),( 假设 产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变1。
根据欧拉定理：1 对规模收益不变（Constant Return of Scale ，简称CRS ）的理解。
第一，经济规模足够大，以至于来自专业化分工的收益（gains from specialization ）已不存在。
当资本和劳动增加一倍时，只能重复原有的工作效率和工作方式，使产出翻倍而不能带来更多；第二，强调资本和劳动对产出的重要性，其他因素如自然资源的相对次要地位。
本章的一道作业题也表明这种假设的合理性，自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。
总量表达式2 N N K K A AY YN K AF N N K AF N N K AF K N K AF K ∆-+∆+∆=∆-=∂∂*=∂∂*)1(1),(),(),(),(θθθθ 总量与人均量的关系N N k k K K N N y y Y Y∆+∆=∆∆+∆=∆人均量表达式 kk A A y y ∆+∆=∆θ索洛发现：技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP 增长的重要决定因素，而技术进步和资本积累是人均GDP 增长的重要因素。
在大部分历史中，两个重要的要素，当推资本积累3（实物与人力）与技术进步。
我们对增长理论的研究重点集中于这两个因素。
索洛剩余 产出增长中不能通过资本积累和劳动投入来解释的部分，可以理解为技术进步（AA ∆）带来的增长。
A 4有时也被称作“全要素生产率”（TFP ），这是一个比“技术进步”更为中性的术语。
实证研究表明：技术进步在产出增长中的贡献大约为80%左右。
由于产出和劳动、资本投入可以直接观察到，而A 却不能，经济学家测量“索洛剩余” A 利用：])1[(K K N N Y Y A A∆+∆--∆=∆θθ二、稳态分析2在发达国家如美国，资本的收入份额θ是0.25，劳动的收入份额θ-1是0.75。
这意味着，资本年增长率如果为3个百分点，导致产出增长率还不到1个百分点。
3 如果将资本进一步细化为实物资本和人力资本（H ），生产函数将转化为：),,(N H K AF Y =。
曼昆、罗默等一篇颇有影响的文章指出，生产函数中实物资本K 、非熟练劳动力N 和人力资本H 的要素份额各占1/3。
4 A 被定义为“全要素生产率”的说法，只是针对),(N K AF Y =这种生产函数形式的，这种技术进步类型在历史上也被称作“hicks-neutral ”（希克斯中性）；如果生产函数形式为),(AN K F Y =，这是的技术进步被称作劳动增广型（labor-augmenting ）技术进步或“harrod-neutral ”（哈罗德中性）。
如果采用这种生产函数形式，也可以推导出类似的增长方程以及索洛稳态方程。
当n NN A A =∆=∆,0时，按照前面推导出的增长方程（不停地迭代下去），产量增长率会怎样变化？例如，是否会有这样一个稳态点，在这一点上人均产量和人均资本都变得固定？如果有这样的稳态点，在这一点上，又具有什麽特征？（稳态特征）现在考虑这个稳态点所具备的状态特性。
已知人口以速度n 增长，为使人均资本保持不变，即经济达到上述定义的稳态，则资本必须和人口以相同速度增长。
即：0=∆=∆=∆=∆=∆kk y y n Y Y K K N N关键的稳态特征是三个变量N 、K 、Y 以相同速度n 增长，人均资本水平k 固定。
下一个问题是：那个固定的人均资本水平k 为多少？利用波动理论中的供需平衡条件求出k 。
在一个没有政府的封闭经济体中，均衡条件：S I =稳态方程 )()()(k sf k d n sY K d n sYdK K =+=+=+∆问题：如何能保证该稳态方程有解存在（k 的存在性）？借助几何图形释义（解释初始条件）。
其中f(k)为人均产量表达式 )1,()(),(),(k F k f y NN N K F N Y N K F Y ====当f(k)存在边际报酬递减规律时，经济会进入索洛假定的长期稳态。
（解释f(k)边际报酬递增时，k 不稳定的理由）k 的稳定性问题：稳态时，储蓄正好提供了充足的投资来抵消折旧和为新增的劳动力装备资本设备。
如果储蓄sy 超过(n+d)k ，导致人均资本上升，人均收入上升；反之，如果sy 不足补充(n+d)k ，则人均资本下降，人均收入下降。
(稳定点判定)作图三、几点讨论（1） 储蓄率增加提高了稳态人均收入水平和人均资本水平。
总产量增长率达到稳态时为n,只是在动态调整过程中上升。
（长期增长率独立于储蓄率）各种路径分析（k 、y 、K 、Y 的增长率路径以及k 、y 的水平路径）。
（作图）附：收敛速度的讨论及储蓄率上升导致稳态人均资本量、人均产出量的变化度和变化方向判断。
至于储蓄率变化对稳态人均消费的影响讨论将在下一章提及。
——储蓄率上升导致稳态人均资本量、产出量的变化度和变化方向判断： 0)()()()()()),,((),,()()).,((φk k k k k kk k k f s d n f s s d n s f s d n s f d n s d n d n s sf *********'-+=∂∂∂∂+≡∂∂'++≡ （n+d 为投资持平线斜率，sf ´(k)为稳态点的储蓄线斜率，前者一定大于后者，所以，dk*/ds>0）[][])(1)()(/)(1)(/)()(/)()()()()()()()()()()(0)()()()(),,()(k k k k k k k kk k k k k k k k k y y k k k k k yk k f f f f f f d n d n k f f d n f s d n f f f s s s f s d n f f s d n s f s *************************-='-'='+-+'+='-+'=∂∂'-+'=∂∂'=∂∂ααφ这说明：稳态人均产出对储蓄率变动的弹性与资本报酬占收入的份额有很大关系。
在多数国家，αk 大致为1/3，因此，可以粗略估计，在长期产出对储蓄率的弹性约为1/2。
如果储蓄率提升10%，则人均产出在长期将会提升约5%。
我们发现储蓄率的大幅度变化将只会带来收入的相对微弱幅度的调整。
——k 趋进稳态资本存量的速度讨论：0)1)()(()()()()()()()()()()()(π&&-+=+-'+=+-'==-=-+≈+-==∆*****=**=*⋅⋅∂∂∂∂**k k k k k k k k k k k k k k kk k d n d n f f d n d n f s k k k k kd n k sf k αλλ其中，)(k k *α为资本收入份额，小于1。
该式表示k 趋近稳态的收敛速度存在规律：离稳态点k*距离越远，收敛速度越快。
（2）人口增长率增加导致(n+d)k 曲线向左上方旋转。
人口增长率的增加降低人均资本稳态水平和人均产量。
人口增长率上升增加稳态时总产量增长率。
各种路径分析（k 、y 、K 、Y 的增长率路径以及k 、y 的水平路径）（作图）四、总结新古典增长理论的四个关键结论（1） 稳态增长率是外生的，独立于储蓄率。
（2） 尽管储蓄率的增加没有影响到稳态增长率，但它提高了稳态人均收入水平。
（3） 当允许生产率增加（即存在技术进步）时，且g AA =∆，在稳态条件下，总产量增长率等于n+g ；人均收入增长率等于g 。
（4） （趋同论）如果两个国家有相同人口增长率，相同储蓄率，相同生产函数，那麽他们最终会达到相同的人均收入水平5。
（引申：如果国与国之间有不同储蓄率，它们会在稳态中达到不同收入水平；但如果它们的技术进步率和人口增长率都相同，那麽它们的稳态增长率也将相同。
）五、新古典增长理论评价（1） 技术进步率外生假定。
（2） 储蓄率外生化且与稳态增长率无关结论受到质疑。
（3） 趋同与实际各国人均收入差距不符6。
这三点与人们对经济增长问题的实证研究经验存在很大差距，因此，在新古典增长理论的基础上，产生内生增长理论，弥补上述的三个缺陷。
关键术语:新古典增长模型 neoclassical growth model边际报酬递减 decreasing marginal return边际报酬不变 constant marginal return索洛剩余 Solow residual作业： 商学院——P55技术题 （4）（6）（8）双学位——P55 技术题（6）（8）5 索洛模型的趋同论观点得到来自Baumol (1986)的实证支持。
参见Baumol 1986，“productivity growth, convergence, and welfare ”， American Economic Review 76 (December),1072-1085;6 De Long 对Baumol 的实证研究进行一番评论，指出其在实证处理过程中的几处疑点。
参见De Long 1988,“productivity growth, convergence, and welfare: comment ”， American Economic Review 78(December),1138-1154;。