耦合电感和理想变压器

第十四章 耦合电感和理想变压器

14－1 耦合电感及其伏安关系

一、单个线圈的电感

11()i f i N N Li

d di

u L

dt

dt

ψψφψφψ====

=设单个线圈的磁链为，它是电流的函数

若线圈匝数为，则磁链与磁通（）的关系为

磁通的参考方向与电流的参考方向采用关联方向，即符合右手螺旋定则。如

图14.1-1所示。

二、耦合电感

当两个线性的时不变电感线圈L 1与L 2相距很近时，就有磁场的耦合作用，每个线圈的磁链不仅与该线圈本身的电流也与邻近线圈的电流有关，即在满足条件

1）两个电感线圈都是线性的时不变电感线圈； 2）线圈周围媒质为非铁磁性物质；

3）磁通与电流参考方向关联（符合右手螺旋定则）有

111122222211()()()

()()()

t L i t M i t t L i t M i t ψψ=±=±

其中：1）M 12、M 21称为互感，单位为亨（H ）。可以证明

M 12=M 2

11211222

22()()d di di

u t L M dt dt dt

d di di

u t L M dt dt dt ψψ=

=±==±

当电压、电流参考方向关联，自磁通与互磁通参考方向一致（磁通相助）时，互感电压项取正；当自磁通与互磁通参考方向不一致（磁通相消）时，互感电压项取负。自感电压总带正号。 2）同名端

当电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出)时，若两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端， 用标志“·”或“*”表示。 如图14.1-3和14.1-4所示

若电流的参考方向由线圈的同名端指向另一端，那么，这个电流在另一线圈内产生的互感电压参考方向也应由该线圈的同名端指向另一端。这就是说：电流

i 1与 1di M dt 的参考方向对同名端一致。如果i 1指向相反，则 1di

M dt

的指向也必

须相反 。

对图14.1-3有

1211di di u L M dt dt =+ 2122di di u L M dt dt

=+

对图14.1-4有

1211di di u L M dt dt =- 2122di di u L M dt dt

=-

结论：当电压、电流均采用关联的参考方向时，若电流(i 1、i 2)皆由同名端入(出)，M 为正；电流(i 1、i 2)是一入一出，则M 为负。

例14.1 图14.1-5(a )所示电路，已知R 1=10Ω，L 1=5H, L 2=2H, M =1H ，i 1(t )波形如图14.1-5(b )所示。试求电流源两端电压u ac (t )及开路电压u de (t )。

图14.1-5

解 由于第2个线圈开路，其电流为零，所以R 2上电压为零，L 2上自感电 压为零，L 2上仅有电流i 1在其上产生的互感电压。这一电压也就是d , e 开路时的电压。根据i 1的参考方向及同名端位置，可知

1()()de di t u t M

dt = 11()

()bc di t u t L dt

= 1111()

()()()()ac ab bc di t u t u t u t R i t L dt

=+=+

在0≤t ≤1 s 时

1()10i t t A =

11111()()1010100()5(10)50()()()10050(10)()110ab bc ac ab bc de u t R i t t t V di d

u t L t V dt dt

u t u t u t t V di d t u t M V dt dt

==⋅=====+=+===

在1≤t≤2s 时

1()1020i t t A =-+

V dt

t d dt di M

t u V t t u t u t u V t dt

d

dt di L t u V t t t i R t u dc bc ab ac bc ab 10)2010(1)(150100)()()(50)2010(5)(200100)2010(10)()(11111-=+-==+-=+=-=+-==+=+-⋅==

在t ≥2s 时

0)(1=t i

0,0,0,0====de ac bc ab u u u u

⎪⎩⎪

⎨⎧+-+=015010050100)(V t V

t t u ac 其余s t s t 2110≤<≤<

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=01010)(V V t u de 其余s t s t 2110≤<≤<

14－2 耦合电感线圈间的串联和并联

一、耦合电感的等效电路 1.耦合电感的时域模型 对14.2-1有 dt di M dt di L u 211

1+= dt

di

M dt di L u 1222+=

对图14.2-3有

dt di M dt di L u 211

1-= dt

di

M dt di L u 1222-=

2.相量模型

2111I M j I L j U ωω±= 1222I M j I L j U ωω±=

对图14.2-1，i 1、i 2都从同名端流入，则表达式为

1112U j L I j MI ωω=+ 2221U j L I j MI ωω=+

相量模型如图 14.2-5所示

对图14.2-3，i 1从同名端流入，i 2从同名端流出，则表达式为：

1112U j L I j MI ωω=+ 2221U j L I j MI ωω=+

相量模型如图14.2-6所示

二、耦合电感的串联

1. 顺接串联：异名端相接，如图14.2-7（a ），等效电路如图14.2-7 （b ）