热学教程习题参考解(第五章)

《热学教程》习题参考答案
习 题
5-1．设有如图所示的为实线界面限定的任一系统，
以压强p 对抗外界均匀压强e p ，
使系统的界面由实线膨胀到虚线的微元过程中,系统的体积增加V d ，试证明：(1)外界对系统所作的体积功为V p d e -；(2)若过程是准静态过程,则此体积功又可表示为V p d -。

证明：(1)气体体积膨胀做功实际是抵抗外界的力做功，所以系统体积增加，系统对抗外界做功为V p d e ，则外界对系统做的体积功为V p d e -；
(2)如果是准静态过程，则系统和外界之间的压强相差一个无穷小，即e p p =，则此体积功为V p d -。

5-2．一系统由如图所示的A 状态沿ABC 到达C 态时，吸收了334.4J 的热量,同时对外作126J 的功。

试问：(1)若沿ADC 到达C ；则系统作功42J ，这时系统吸收了多少热量？(2)当系统由C 态沿过程线CA 回到A 状态时，如果外界对系统作功是84J ，这时系统是吸热还是放热？其数值为多少?（答：(1)250J ；(2) -292J.） 解：根据热力学第一定律
)J (208ABC A C AC =-=-=∆ACB W Q U U U
（1） )J (250=+∆=ADC ADC A U Q （2） )J (292-=+∆=CA CA CA A U Q
系统向外界放出热量为292J 。

5-3．试在V p -图上画出为理想气体所完成的、以下准静态过程的曲线：(1)
V p =;(2)kT p =;(3)kT V =,其中k 为常数.并计算当它们体积由1V 变至2V 时所作的
功.(答:(1)22122V V -;(2)0;(3)()k V V R 12-.) 解：画图略；由⎰=2
1
V V PdV W
(1) V p =，)(2
1
212212121V V VdV PdV W V V V V -===⎰⎰
习题5-2图
(2) kT p =，对比理想气体状态方程RT pV ν=，可知常数==k
R
V ν，则02=W (3) kT V =，对比理想气体状态方程RT pV ν=，可知常数==
k
R
P ν，则
)(1232
1
2
1V V k
R
dV k
R
PdV W V V
V V -=
=
=⎰⎰νν
5-4．某过程中给系统提供热量2090J 和作功100J,问内能增加多少?(答：2190J) 解：由热力学第一定律：W Q U -=∆ 现：J 2090=Q ，J 100-=W 则：J 2190=-=∆W Q U
5-5．气体的摩尔定压热容随温度改变的规律服从公式：2--+=cT bT a C p ，其中c
b a ,,是常数，物质的量为n mol 气体在一个等压过程中，温度从1T 变到2T ，求气体与外界间所传递的热量。

(答:()()()()[]
11122122122---+-+-T T c T T b T T a n 。

) 解：由热容公式：dT nC dQ p p =
()()(
)⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-+-+-=++==---⎰⎰1
11221221222)(2121T T c T T b T T a n dT cT bT a n dT nC Q T T T T p p
5-6．摩尔数相同的两种理想气体，一种是单原子气体，另一种是双原子气体，从同一状态开始经历三种不同的过程:(1) 等温膨胀；(2) 等压膨胀；(3) 绝热膨胀，体积膨胀为初始体积的两倍，问：这两种气体对外所作的功是否相同？从外界吸收的热量是否相同？为什么？
答：等温膨胀和等压膨胀两种气体做功与分子结构无关，所以做功相同，绝热膨胀因为做功与绝热指数有关，所以做功不同。

等温膨胀吸热与做功相同，绝热过程不吸热，所以这两种过程从外界吸收的热量相同，等压过程因为与定压热容有关，所以两种气体吸收的热量不同。

5-7．将400 J 热量传给标准状态下的2 mo1氢气,试问:(l)若温度不变，氢的压强、体积各变为多少? (2)若压强不变,氢的温度、体积各变为多少? (3)若体积不变，氢的温度、压强各变为多少?(答:(1)0.916 atm,48.9310-⨯m 3;(2)279.9 K, 45.9310-⨯m 3;(3)282.6 K,1.035 atm.)
解：已知：J 400=Q ，2=ν，R C V 2
5
,=μ，标准状态下的体积)m (108.443301-⨯==V V ν （1）等温过程，1
2
ln V V RT A Q ν== 解出： )(m 109.48)ex p(
3312-⨯==RT
Q
V V ν )(atm 916.02
1
12==
V V P P （2）等压过程：)(12,T T C Q p -=μν， 解出： )K (9.2799.6273,12=+=+
=p
C Q
T T μν )(m 109.453-31
1
22-⨯==
T V T V （3）等体过程，)(12,T T C Q V -=μν 解出： )K (6.2826.9273,12=+=+
=V
C Q
T T μν )(atm 035.11
1
22==
T P T P 5-8．装备一无摩擦的活塞的气缸内贮有27℃的 lmo1氧气，活塞对气体保持latm 的恒定压强,现将气体加热，直到温度升高到127℃为止。

(1)试在V p -图上画出此过程的曲线。

(2)在此过程中气体作了多少功？(3)气体内能变化如何？(4)给气体传递的热量有多少？(5)如果压强为0.5atm ，气体作了多少功?（答：(1)=1T 300K ，=1p 1atm ，
=1V 0.0247m 3，=1T 400K ，=1p 1atm ，=1V 0.0329m 3；(2)830J ；(3)2078J ；(4)2909 J ；
(5)830J.） 解：(1)图略
(2)等压过程：J)(831)()(1212=-=-=T T R V V P W ν (3) )J (5.2077)(2
5
)(1212,=-=-=∆T T R T T C U V μν (4) )J (5.2908)(2
7
)(1212,=-=
-=T T R T T C Q p μν
(5) J)(831)()(1212=-=-'='T T R V V P W ν
5-9．0.040kg 的氦气温度由17℃升为127℃.若升温过程中:(l)体积保持不变;(2)压强保持不变;(3)不与外界交换热量,试分别求出气体内能的改变U ∆,吸收的热量Q 和外界对气体所作的功W .(答:(1)U ∆=Q =1.37410⨯J,W =0;(2)U ∆=1.37410⨯J, Q =2.29410⨯J,
W =9.2310⨯J;(3)U ∆=1.37410⨯J,Q =0,W =-1.37410⨯J.)
解：已知：)mol (10==
μ
νM
(1)等体过程：0=W
)J (1037.1)(2
3
10)(41212,⨯=-⨯=-=
∆=T T R T T C M
U Q V μμ (2)等压过程：J)(831)()(1212=-=-=T T R V V P W ν
)J (1037.1)(2
3
10)(41212,⨯=-⨯=-=
∆T T R T T C M
U V μμ )J (1029.2)(2
5
10)(41212,⨯=-⨯=-=T T R T T C Q p μν
(3)绝热过程：0=Q
)J (1037.1)(2
3
10)(41212,⨯=-⨯=-=
∆T T R T T C M
U V μμ )J (1037.14⨯-=∆-=U W
5-10．分析实验数据表明，在1atm 下，从300K 到1200K 范围内,铜的定压摩尔热容p C 可表示为:bT a C p +=,其中=a 2.3×104,=b 5.92,p C 的单位为(J/mol ﹒K).试计算在1atm 下,当温度从300K 增到1200K 时铜的焓改变.(答:2.47710⨯J/mol.) 解：等压条件下系统吸收的热量等于系统焓的增量，H Q p ∆=，所以
)J/mol (1047.2)(2
)()(72122122121⨯=-+-=+===∆⎰⎰T T b
T T a dT bT a dT C Q H T T T T p p
5-11．设一摩尔固体的状态方程可写作bp aT V V ++=0;内能可表示为apT CT u -=,其中0,,V c b a 和均为常数.试求(1)摩尔焓的表达式;(2)摩尔热容V p C C 和.(答:(1)
20bp pV CT H ++=;(2)()
T b a ap C C C C V p 2
,+-==.)
解：(1) 200)(bp pV CT bp aT V p apT CT pV u H ++=+++-=+= (2) C bp pV CT T
T H T
Q C p p =++∂∂
=∂∂=
∂∂=
)(20 由bp aT V V ++=0→)(1
0aT V V b
p --=
T
b
a ap C T
b a aT V V b a C aT V V b
aT CT T apT CT T T u C V 2
200)()]([)(+-=+---=---∂∂=-∂∂=∂∂=
5-12．1 mol 的理想气体进行绝热膨胀时,试证明:气体对外所作的功W 可写为下列三种形式:()()()()[]()()[]
γγγγ11212211211111---=--=-=p p RT V p V p T T C W V . 证明：课上讲过，略。

5-13．在标准状况下的0.016kg 氧气,经过一绝热过程对外界作功80 J ，求终态的压强，体积和温度.(答: =2T 265 K,=2p 0.91 atm,=2V 12.1 L .)
解： mol)(5.01032106.132=⨯⨯==--μνM
，绝热过程，氧气的R C V 2
5,=μ，4.1=γ )J (80)(12,=--=∆-=T T C U W V μν
解出： )K (2651,2=+-
=T C W
T V
μν )L (1.12)()(011
2
1111
212===--V T T
V T T V νγγ
)atm (91.02
2
2==
V RT P ν
5-14．1mol 氧的温度为300K ，体积为2.0×103-m 3。

试计算下列两过程中氧所作的功：(l)绝热膨胀至体积为体积为20×103-m 3；(2)等温膨胀至体积为体积为20×103-m 3，然后再等容冷却，直到温度等于绝热膨胀后所达到的温度为止；(3)将上述两过程在V p -图上表示出来；(4)说明两过程中作功的数值差别的原因。

(答:(1) 3.75310⨯J ；(2) 5.73310⨯J.) 解：（1）m ol 1=ν，绝热膨胀，氧气的4.1=γ
)J (3751])(1[112
11=--=
-γγνV V
RT W （2）先等温膨胀，再等体冷却
)J (5740ln
1
2
11==V V RT W ν，02=W ∴
)J (574021=+=W W W
5-15．在标准状况下，lmol 单原子理想气体先经过绝热过程，再经过等温过程，最后压强和体积均增为原来的两倍，求整个过程中气体所吸收的热量1Q 。

若先经过等温过程再经过绝热过程而达到同样的状态，则结果是否相同，吸收的热量?2=Q （答：
()2ln 114111-+=γγV p Q ，412Q Q =）
解：设开始状态为1，中间状态为2，终了状态为3，由理想气体状态方程和已知条件，
132V V =，132p p =，则134T T =。

单原子理想气体的R C V 23
,=
μ，3
5=γ (1)先绝热再等温，1324T T T ==，则由122111--=γγV T V T ，解出：
1111
2128
1
)(V V T T V ==-γ
)J (1052.216ln 4ln
412
3
2231⨯====RT V V RT W Q νν (2)先等温再绝热，12T T =，则由122133--=γγV T V T ，解出：
1111
1
1311
232162)4()(V V T T
V T T V =⋅==--γγ
)J (1029.64
1
16ln ln
311121122⨯=====Q RT V V RT W Q νν 5-16．如图所示，有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的
导热板隔成相等的两部分A 和B ，其中各盛有1mo1的理想气体氮。

今有加热器将334.4 J 的热量缓慢地由底部供给气体，设活塞上的压强始终保持1.00 atm ，(1)求A 部和B 部温度的改变B A T T ∆∆,以及各自吸收的热量B A Q Q ,(导热板的热容量可以忽略)。

(2)若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的绝热隔板，重复上讨论.(答:(1)=∆=∆B A T T 6.67 K ，
习题5-16图
=A Q 139.2J ，=B Q 195.2J ；(2)=∆A T 11.4 K, =∆B T 0，=A Q 334.4 J ，=B Q 0.)
解：（1）固定导热板，此时A 是等体过程，B 是等压过程，而且两者温度始终相等
T C Q V A ∆=,μ，
T C Q p B ∆=,μ
∴ T C T C Q Q Q p V B A ∆+∆=+=,,μμ
∴
)K (67.6)7
725(,,=+=+=
∆R Q
C C Q T p
V μμ )J (139,=∆=T C Q V A μ， )J (195,=∆=T C Q p B μ
（2）活动绝热板，这时A 是等压膨胀过程，气体温度变化为
)K (4.11,==
∆p
C Q
T μ )J (4.334,=∆=T C Q p A μ
B 中的气体是等压绝热过程，则0=B Q ，0=∆P ，0=∆V ，即0=W ，由热力学第一定律：A U Q +∆=
可知： 0=∆U ，0=∆B T
即B 是在状态不变的状态下平移的。

5-17．设有如图所示的一种测定气体绝热指数 V p C =γ的装置。

经活塞B ，将气体压入容器A 中，使其中的气体压强1p 略高于大气压0p 。

然后迅速开启再关闭活塞C ，此时气体绝热膨胀到大气压强，经过一段时间,容器中气体的温度又恢复到与室温相同，压强变为2p 。

试给出应用实验测定的气体压强值，计算γ的表达式。

（答：2101log log log log p p p p --=γ.）
解：由于P 1略大于P 0，当开启C 后，将有一部分气体冲出容器A ，把仍留在A 中的气体作为研究对象，则从开户C 后到关闭C 前，系统经历准静态绝热膨胀过程，由状态1（P 1，T 0）到状态2（P 0，T 2）；从关闭C 到留在A 的气体恢复室温，系统经历准静态等容吸热过程，由状态2（P 0，T 2）到状3（P 2，T 0）。

绝热过程中：
γ
γγ
γ212
11
1
T p T p --=
⇒ γγ--=)()(
1
2121T T p p 习题5-17图
等体过程中：
2
02p p T T = 联立求解： γγ--=)()(2
01
01p p p p 取对数：
)ln (ln )ln )(ln 1(2001p p p p --=--γγ
化简，得： 2
101ln ln ln ln
p p p p --=
γ
5-18. 克列门(Clément)和德索姆(Désormes)实验：气体在容器中压缩至高压i p ，将活门打开，放出气体，使之达到与大气相等的压强0p ，随后立即关闭活门。

等到容器的内外温度相等后，测出容器中的气体压强f p 。

用γ表示气体的绝热指数，试证明:
f i i p p p p lo
g log log log 0--=γ.
证明：方法同上题。

5-19．试求等压过程中，空气吸收的热量有百分之几用来对外作功，有百分之几转变为内能。

并以此说明V p C C >的原因。

(答:28.6 %, 71.4 %) 解：空气看做双原子理想气体，R C V 25,=
μ，R C p 2
7
,=μ T C Q p p ∆=,μν T C U V ∆=∆,μν
T C C U Q W V p p ∆-=∆-=)(,,μμν
∴
%6.2872
,,,==-=p V p p C C C Q W μμμ %4.717
5
,,===∆p V p C C Q U μμ V p C C >的原因：等压过程中吸收的热量（由p C 决定）只有一部分用来增加内能，另外
一部分用来对外做功，而内能的增加由V C 决定，因此V p C C >。

5-20．某气体服从状态方程()RT b V p =-,内能为0u T C u V +=,0,u C V 为常数。

试证明,
该气体的绝热过程方程为:()常数=-γ
b V p ,这里的V p C =γ。

证明：绝热过程0=dQ ，由热力学第一定律：dW du dQ +=
0=+pdV dT C V
对状态方程微分：
RdT dp b V pdV =-+)(
消去dT ，pdV C R
dp b V pdV V
-
=-+)( 化简：
0)(=-++dp b V pdV C R
C V
V 由于
γ==+V
p
V V C C C R C ，)(b V d dV -=，则有 0)
(=--+b
V b V d p dp γ 积分： 常数=-+)ln(ln b V p γ 即：
()常数=-γ
b V p
（得证）
5-21．设有一个两端封闭的气缸,被一个质量为m 、面积为S 的活塞分隔成体积分别为21V V 和的两部分，其中都充满压强为0p 的气体.现把活塞略微推离平衡位置，释放后活塞将作小振幅振动。

若气体中发生的过程可看作绝热过程，并忽略摩擦，求活塞的振动周期。

(答:()
()212102
10
20,2V V V V V V m S p +==-γπτ)
解：设t 时刻活塞的位移是x ，在活塞左右体积分别为
)(1x l S V +=，)(2x l S V -=
左右两边的空气压强分别为
0011)()(
P x l l P V Sl P γ
γ+== 0022)()(
P x
l l P V Sl P γ
γ-== 活塞所受的合力为
kx
l
x
SP l
x
l x SP x l l l x
SP l
x l l x l SP x l l x l l SP S P S P F -=-=---=---+=--+=--+=-=----γγγγγ
γ
γγγ02)]
1(1[])1()1[(])()[(])()[(
000021 由此可见，活塞将做简谐振动，故振动周期为
γ
ππ
0222SP ml
k m T == 5-22．设有直立式绝热气缸，配有面积为A 和质量为p M 的无摩擦绝热活塞。

气缸中有温度为0T 的n mol 单原子理想气体，与活塞的重量达到力学平衡。

一个质量为
P M M <<的重物从离活塞高度H 处掉落到活塞上，并随后与活塞粘在一起运动。

若活
塞的运动是弱耗散性的，故最终运动将衰减掉。

试问：重新建立热和力学平衡后的气体终态温度T 和压强p 各为多少？(答：()[]()p 011M M T T γγ-+=，()p 01M M p p +=.) 解：按题意可知，缸中气体的初始温度0T ，初始压强()A p 0gM p =，初始体积
()000p n R T V =，活塞离缸底的初始距离为()()()
p 00000gM nRT A p nRT
A V y ===。

重物跌落到活塞上达到平衡后，气体的终态压强为
()
()[]p 0p 1M M p A M
M g p +=+=。

再应用绝热过程方程，可分别求得气体的终态体积和温度：
()[]p 01M M V V γ-≅和(
)
()[]γγ11p 0-+≅M M T T
式中的γ是气体的绝热指数。

5-23．把水银注入两端都开口的U 形管中，水银柱的总长度为L 。

(1)现若略微地压一下U 形管一端的水银面，水银柱在U 形管中发生小振幅振荡，试证：忽略摩擦的振动周期为g L T 221π=；(2)现将U 形管的一端封死，留在其中的空气柱高度为h 。

再让U
形管中的水银柱作
小振幅振荡，若空气可处理为理想气体，试证：忽略摩擦的振动周期为 ()0222h g h g hL T γπ+=,
其中的0h 是大气压强的水银柱高；(3)证明:绝热指数 ()()[]
122120-=T h h γ. 证明：（1）水银柱在偏离平衡位置0y 后，受到的恢复力为()02y y s g --ρ，它与位移成正比，方向相反，故水银柱在其平衡位置0y 附近作简谐震荡，振动方程为：
()020=-+y y s g y
s L ρρ 由此可见振动角频率为L g 21=ω，振动的周期为g L T 221π=。

（2）水银柱作振动时，封闭一端中的气体受到绝热压缩，其中气体满足绝热过程方程const =γpV ，即压强与体积的变化应满足关系式：()()V V p p ∆-=∆γ。

若用f 表示气体作用于水银柱的力，则可知()()()()h y V V p p f f ∆-=∆=∆=∆γγ。

故水银柱的运
动方程为
()h y sp y s g y s L ∆-∆-=γρρ2 或 ()[]02=∆++y Lh p gh y
ργρ ， 由此可见，水银柱将在气体的膨胀和压缩过程中产生的力作用下，作简谐运动。

若考虑到开口端的压强等于大气静压：00h g p p ρ==，可得此简谐运动的角频率为： ()hL gh gh 022γω+=
相应的周期为： ()0222h g gh hL T γπ+=
（3）应用（1）和（2）的结果，可知：()()h h T T 210221γ+=，故得气体的绝热指数为
()()[]1222
10-=T T h h γ。

5-24．大气层温度随高度z 降低的主要原因是，低处与高处各层间不断地发生空气交换。

由于空气的导热性能很差，所以它在升降过程中发生的膨胀和压缩能近似为准静态的绝热过程。

试证明大气层中的温度梯度为：()()g p T z T ργγ1d d --=，式中的p 是大气压强，T 和ρ分别为其密度和温度；V p C =γ。

解：由绝热过程方程可知 ,0d d =+V p U 或者应用态函数焓H ，可将此方程改写为：
()[]0d d 1d d d d =--=-=-p V T R p V T C p V H p γγ， 即大气中的温度梯度为：
g p
T z p R V z T ργγγγ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1d d 1d d ， 这就是要证明的。

在证明上式中，用到理想气体的状态方程和大气压强随高度作指数衰减的规律：()RT z g p p μ-=ex p 0。

5-25．利用大气压强随高度变化的公式()dz dln RT g p μ-=，同时假设上升空气的膨
胀准静态的绝热过程，试证明:()[]
γγμ1001--=p p g T C h p ，式中的00p T 和为地面的温度和压强,而p 是高度h 处的压强。

解：由大气压强随高度作指数衰减和在绝热过程中空气温度随高度变化的规律（见5-24题）可得：
()z p RT g p d d μ-= 和 ()[]()z R g T d 1d μγγ--=， 所以温度随压强的变化应遵循的规律为
()()[]1ln d ln d -=γγT p ，或者 ()()()010T p p =-γγ。

再由上列制约空气温度变化的微分方程，求得温度随高度的变化规律： ()[]()h R g T T μγ10--=-，
式中的温度T 是高度h 处的空气温度。

由此可得要证明的公式： ()()[]()()()[]
γγμμ1000011--=-=p p g T C T T g T C h p p 。

5-26. 如图所示，潮湿空气绝热持续地流过山脉。

气象站M 0和
M 3测得的大气压强都是100 KPa ，气象站M 1测得大气压强为KPa 。

在M 0处空气的温度是20℃。

随空气上升，在压强为84.5 KPa
的高度处(图中的M 1)开始有云形成。

空气由此继续上升，经1500 s 后到达山顶的M 2站。

上升过程中，空气里的水蒸汽凝结成雨落下。

设每平方米上空潮湿空气的质量为2000Kg ，每千克潮湿空气中凝结出2.45g 的雨水。

若已知空气的定压比热为常数=p C 1005 J/Kg ﹒K ；山脚M 0处的空气密度可取=0ρ 1.189 Kg/m 3；云层中水 习题5-26图
的汽化潜热为2500=V l KJ/Kg ；又==V p C C γ 1.4,=g 9.81 m/s 2。

(1)试求出在云层底部M 1高度处的温度1T ；(2)假定空气的密度随高度线性地减少，试问M 0和M 1两站间的高度差1h 为多少？(3)在山顶M 2处测得的温度2T 应为多少？(4)试求出由于空气中水蒸气的凝结，在三小时内形成的降雨量，若设M 1和M 2之间的降雨量是均匀的。

(5)试问在山脉背面的气象站M 3处的温度3T 为多少？讨论M 3处空气状态，并与M 0处的比较。

(提示：空气可处理为理想气体，忽略水蒸气对空气热容和密度的影响。

温度计算精确到1K ，高度计算精确到10m ，降雨量精确到 1 mm.)(答:(1)279 K;(2)1408 m;(3)271 K; (4)35 Kg/m 2;(5)300 K.)
解：（1）由于在0M 处的温度15.2930=T K ，压强1000=p KPa ，当空气绝热上升到气象站1M 处时，压强降为701=p KPa ，故若取湿空气的绝热指数4.1=γ，则可求得该处空
气的温度为 ()
()()2791007015.2934.14.010101===-γγp p T T K ； （2）由于1M 与0M 的压强差是由于空气柱的重力造成的，故有
110h g p p ρ=-… ①
式中的1h 是1M 与0M 两地的高度差；ρ是1M 与0M 两地间湿空气的平均密度，依据密度随高度线性变化的假设，可得
()()1021ρρρ+=… ②
再应用理想气体状态方程
()()111000T p T p ρρ=…③
可得： ()()[]14081210010101=+-=T p T p g p p h ρm 。

（3）空气从1M 到2M 经绝热膨胀，温度从1T 降至x T ，即()
()2651121==-γγp p T T x K 。

此外，已知1kg 湿空气的降雨量为=m 2.48g ；而每凝结出1kg 雨水，将放出2500kJ 的热量，故因此引起的空气温度升高为()6==∆p V C l m T K 。

所以到达2M 处，空气温度为2712=∆+=T T T x K 。

（4）按题意湿空气在1M 处形成云，在1M 和2M 之间云层中的水蒸汽凝结成雨落下，在1500s 中从每1kg 的潮湿空气中凝结出=m 2.45g 雨水。

由于每平方米土地上空有=M 2000kg 潮湿空气，故可知，平均地讲，每秒钟内降落到1平方米土地上的降雨量
应为：
()()27.3150045.22000=⨯=t m M g /m 2·s ,
故可得3小时内在每平方米的土地上的降雨量为35.3 kg ，即约35mm 的降雨量。

（5）空气从2M 到3M 经绝热压缩，温度从2T 升至3T ，即：()()30012323==-γγp p T T K 。

由此可见，山脉背面气象站3M 处的干燥空气的温度较之0M 处的略高，这主要是因从潮湿空气中凝结出雨水时放热造成的。

5-27．如图所示，1mo1的理想气体沿直线AB ，由状态A(1p ，1V )
变化到状态B(2p ，2V )。

试求：(l)若巳知kV p =(k 为常数)，求此过
程中的k 值：(2)此过程中p 与T ，V 与T 的关系：(3)此过程中内能
的改变U ∆，对外所作的功W ，吸收的热量Q ：(4)分别单原子和双
原子气体两种情况，写出此过程中气体摩尔热容的公式。

（答
()()1212V V p p k --=;(2)21)(kRT p =，21)/(k RT V =；(3)()11122--=∆γV p V p U ；Q =())1(2)1(1122--+γγV p V p ，()21122V p V p W -= (4) ()12)1(-+=γγR C .） 解：(1) 11kV p =⇒1
1V p k = (2)由过程方程kV p =及1mol 理想气体状态方程：RT pV =，解出
21)/(k RT V =，21)(kRT p =
(3) )(1122,V p V p R C U V
-=∆μ
()
)(21))((21211122121221222121V p V p V V p p V V k kVdV pdV W V V V V -=-+=-===⎰⎰ )(22))(21(122,122,V p V p R R C V p V p R C W U Q V V
-+=-+=+∆=μμ (4) V V V C C C n n C ,,,2
11111μμμγγγ+=----=--= 5-28.一定量的氧气压强为1p =1.0atm ，体积为1V =2.3L ，温度为1t =26℃；经过一个多方过程，达到压强2p =0.50atm ，体积为2V =4.10 L ，求：(l)多方指数n ；(2)内能的变化：
(3)对外界做的功：(4)吸收的热量。

(答:(1)n =1.19；(2)-64.3J ；(3)133J ；(4)69.2J 。

) 习题5-27图
解：(1)由多方过程方程：n n V p V p 2211=，可知
20.1)
ln()ln(2112==V V p p n (2) 已知氧气的R C V 2
5=μ )J (3.63)()()(1122,12,12,-=-=-=
-=∆V p V p R C RT RT R C T T C U V
V
V μμμννν (3)
)J (6.126)(112211=--=V p V p n W (3) )J (3.636.1263.63=+-=+∆=W U Q
5-29．某一理想气体的γ=1.33，试确定其定容摩尔热容量V C μ和定压的摩尔热容量p C μ。

(答：V C μ=25.2 J/mol ﹒K ，p C μ=33.5 J/mol ﹒K 。

)
解：由V V V p
C R C C C ,,,,μμμμγ+==，解出
K)(J/mol 2.251
⋅=-=γμR C V K)(J/mol 5.33,⋅==V p C C μμγ
5-30．试从多方过程的功﹑热量和内能公式出发，证明：当∞=,,1,0γm 时由这些公式可以导出等压﹑等温﹑绝热和等容过程的功﹑热量和内能公式。

证明：已知多方指数为m 的多方过程中计算其功、热量和内能的公式分别为： ()[]()221111V p V p m W --=，()()[]()121T T C m m Q V ---=γ和()12T T C U V -=∆。

对于绝热过程γ=m ，故得()[]()221111V p V p W --=γ，0=Q ，()12T T C U V -=∆； 对于等压过程0=m ，故得()12V V p W -=，()12T T C Q p -= 和 ()12T T C U V -=∆； 对于等容过程∞=m ，故得0=W ，()12T T C U Q V -=∆=；
对于等温过程T T T m ===12,1，故得())[]()121T T C m m Q V ---=γ，0=∆U 和()[]()()[]())(1111212211T T R M m V p V p m W --=--=μ。

由此可见，为了从多方过程计算功、热量和内能的公式，得到等温过程中相应量的计算
公式，需要评估不定式()()121--m T T 的数值。

由多方指数m 的定义式可知：()()122211ln ln 1V V V p V p m =-。

由高等数学知道，当终态温度2T 非常靠近初态温度1T 时，函数 ()2211ln V p V p 趋向零的行为，可以近似为()()[]T T T V p V p 2122111-≅-，故()()121--m T T 将趋向()12ln V V T ，这样可得在等温过程中：()()12ln V V RT M Q W μ==。

5-31．对于l mol 范德瓦耳斯气体，证明经节流膨胀后，其温度变化为:
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-b V b RT b V b RT V a V a C R T T V 11221212221
. 设气体的摩尔热容量为常数。

解：我们知道，节流膨胀过程是等焓过程，过程初终态的焓相等：21H H =。

态函数焓定义为pV U H +=。

对于范氏气体，它的内能 ()()()[]00011V V a T T C U U V ---=-，而由范氏状态方程可知 )[]()V a b V V T R pV --=，故由等焓条件可得：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-b V b RT b V b RT V a V a C R T T V 11221212221。

5-32．设有一体积为V 的容器，置于温度为T 的恒温器内。

容器被隔板分为体积相等的A 和B 两部分：A 中充满质量M 、压强p 和摩尔质量为μ的范德瓦耳斯气体，B 为真空。

抽去隔板后发生向真空的等温自由膨胀，试求初终态之间的内能差、压强差和熵差。

( 答:V
a U =∆,()()232V a
b V b V MRTV p ---=∆μ,()b V b V MR S 22ln --=∆μ.) 解：质量为M 范氏气体的物质量为()μνM =mol ，由于气体的摩尔数在过程中不变， 故可将范氏气体的状态方程写为 ()[]
()T R b V V a p ν=-+''2，其中a a 2'ν=，b b ν='是 乘上摩尔数后的范氏修正量，它在过程中是不变的常数。

虽然向真空的自由膨胀是一个不可逆过程，但其膨胀前后的状态都是平衡态，故其间发生的态函数的改变与气体所经历的路径无关。

设气体经历可逆的等温过程从初态‘1’到终态‘2’，其间发生的内能
和熵改变，可由可逆等温过程的微分方程组：V p T p T U V d d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=和V T p S V d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=求得。

考虑到范氏气体的()()[
]'b V R T p V -=∂∂ν，()()2'V a p T p T V =-∂∂，故得：
()()
V aM V a U U U 22212μν==-=∆， ()b V b V R M S S S ννμ22ln 12--⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-=∆。

至于压强差，则可由范氏方程求得：()()222132V
a b V b V V T R p p νννν---=-。

5-33. 设有四周绝热的容器，被隔板分为体积相等的A 和B 两部分：A 中有压强为A p 的1mol 非理想气体；B 为真空.抽去隔板后，发生向真空的自由膨胀。

(1)若此非理想气体是范德瓦耳斯气体，求初终态间的内能差和温度差。

若已知23R C V =仍成立，
=a 3.3×
104atm ·cm 6/mol 2，=b 23.4cm 3/mol ，==B A V V 1L ，求温度差的数值。

(2)若此非理想气体某种满足变形范德瓦耳斯状态方程：()()[]
()RT b V V b V a p =--+432 α，其中 α是一个常数，试求初终态间的内能差和温度差，并讨论什么情况下温度效应消失。

若
已知=α24.6 atm ·L/mol ，23R C V =，求温度差及零温度效应时的*A V 值。

（答：(1)0=∆U ，
;
2 A V C a T V -=∆-0.1
3 K ；(2)0=∆U ，()()3A 3A 2
4 7 2 V C b V C a T V V α+-=∆；()213A 127a b V α=*；-0.13 K; 74 cm mol /3.)
解：（1）一个绝热的向真空自由膨胀过程是一个不可逆的等内能（0=∆U ）过程，但初终为平衡态之间的温度差与过程经历路径无关，故可用等内能的可逆热力学微分方程得到
()()[]V p T p T T T T V V V V d 12112⎰-∂∂-=-=∆。

对于范氏气体 ()[]()2V a p T p T V =-∂∂。

故可得温度差 ()()()[]1211V V C a T V -=∆。

当122V V =时，得()134.021-=-=∆V C a T V K 。

（2）对于变形的范德瓦耳斯状态方程： ()[]()()432V b V a p T p T V α-=-∂∂。

故可得
初终态之间的温度差为：
()()()[]()()()[]{}313231212113111V V b V V a T T T V ---=-=∆α。

当122V V =时，得()()()[]13.024*******-=--=∆V b V a T V αK 。

当0=∆T 时，温度效应消失，此时的()()31312472V b V a α=。

这就是说，存在一个
初始的临界体积 ()
521311046.7127-*⨯==a b V αm 3/ mol =74.6 cm 3/ mol ，达到该体积值
时，温度效应消失。

讨论：范氏气体的内压强()2V a 在物理上是由于气体分子之间存在引力造成的，所以当气体的体积膨胀时，气体分子间的势能增加，为了保持总内能不变，气体分子的动能将减少，从而气体降温。

遵从变形的范氏方程的气体内压强由两部分组成：由气体分子间的引力造成的减量()2V a 部分和由气体分子间的斥力引起的增量()43V b α-部分，所以随气体体积膨胀，前者导致气体分子的势能增加，而后者却导致分子的势能减少。

两者之间的竞争，决定气体最终是升温，还是降温。

只要适当地选择气体膨胀的初始体积，我们可以达到一种情况，此时两者引起的增减效应，旗鼓相当，互相抵消，温度效应消失。

5-34. 设有绝热壁包围的气缸,被一绝热活塞分隔为A 和B 两室,活塞可在气缸中无摩擦地自由移动.A 、B 两室中各贮有1 mol 绝热指数为γ的理想气体,初始压强体积和温度都等于000,T V p 和.现在设想有一电热器对A 室气体徐徐加热,直到气体压强等于02p 为止.试问:(1)A 、B 两室内的气体的终态温度和体积分别为多少?(2)在加热过程中,A 室气体对B 室气体作了多少功?(3)电热器给A 室气体传递了多少热量?(4)A 室气体的熵变为多少? (答:(1)()[]γγ+--=10A 214T T ，γγ)1(0B 2-=T T ；()[]γγ+--=10A 212V V ，γ10B 2-=V V ；
(2)()[]1210-=-γγT C W V ；(3)()[]012T R Q -=γ；(4)()[]()[]12ln 11A --=∆+γγγγR S .) 解：（1）设B 室中气体的终态压强，摩尔体积和温度为20,,2T V p ；A 室中气体相应的终态参量为100,2,2T V V p -。

则由B 室中气体的绝热过程方程 γγV p V p 0002=，可求得其终态体积为012V V γ-=；相应的终态温度为()()[]01122T R pV T -==。

再应用A 室中气体的状态方程 ()10022T R V V p =-，可求得其终态温度为()[]{}γ1101214+--=T T 。

不难看出A 室中气体的终态体积为 ()[]{}
γ11002122+--=-V V V ；
（2）A 室气体对B 室气体做的功，等于B 室气体绝热过程中内能增量，故
=-=-=∆=)(0212T T C U U U W V A ()[]{}12110-=-γT C V 式中的()[]R C V 11-=γ。

（3）由热力学第一定律可知，电热器传递的热量
()[]00010201122)()()(T R T C T T C T T C T T C W Q V V V V A -==-+-=-+=γ
（4）应用计算理想气体熵变的公式，可得A 室气体的熵变为： ()()()()[]()[]()[]{}
γγγγ11010121ln 12ln 11ln ln +---+-+=+=∆R R V V R T T C S V A 5-35. 燃料电池是一种能把化学能直接转化为电能的电化学
发电装置。

附图所示是氢燃料电池一例.氢气和氧气被连续不断地
通入浸泡在KOH 电解液中的、多孔的Ni 电极，通入阴极的氢气
与电解液中的氢氧根化合,释放出4个电子：
e 4O H 44OH H 222+→+-，另一方面通入阳极的氧气与电子及水
之间发生化学反应,产生出氢氧根:-4OH e 4O H 2O 22→++。

总的效果是产生一个电动势，把4个电子从阴极通过负载搬运到阳极。

使用氢燃料电池，无需燃烧油或煤,无污染，噪声小，能源转换效率可达60%80%~。

氢是地球上蕴藏量最丰富的元素，可以说取之不尽，用之不竭。

燃料电池的基本组成单元是电池块，它由相同面积的电解质膜和极板叠压而成，根据功率可以选择大小不等的电解质膜和极板以及电池块的数目，因此装置可大可小，移动方便，十分灵活。

某些金属或合金在吸收氢后，形成金属氢化物，其中氢的含量如此之高，甚至高于液氢的密度；在一定温度下金属氢化物分解，把氢又释放出来，构成一种良好的贮氢材料。

20世纪60年代氢燃料电池被成功地应航天技术。

70年代后氢燃料电池进入汽车和电力工业，低噪音和零污染排放的燃氢汽车将是未来最理想的清洁交通工具。

我国第一辆具有自主知识产权的燃料电池电动车已于2001年在湖北研制成功。

预计在不久的将来，燃料电池电动公共汽车将驰骋在北京和上海等大城市的街道上。

在2008年的北京奥运会上，很可能出现，用我国生产的燃料电池电动车改装的无污染的马拉松领跑车和电视摄像车.科技人员还预期，随着制氢技术的发展，氢燃料电池迟早将步入家庭。

届时，象现在输送煤气那样,通过管道将氢气运送到千家万户。

一条氢气管线能起到代替煤气﹑暖气和输电等管线，到那时候或许汽车加油站也变得多余。

现在设想有一个工作于298K 和定压下的氢燃料电池，反应前后它的焓变化为KJ/m ol 285.8-ΔH =,两极电压为1.229V ，试求该电池的效率。

(答:82.8 %)
解：如题所示，此种氢燃料电池每消耗一个氢分子，产生两个负电子，即每消耗1mol 的氢，将获得2mol 电子，含A N 2个电子。

在229.1V 电势差之间，每搬运一个电子到阳 习题5-35图
极，须作功229.1eV （电子伏特）19191097.110602.1229.1--⨯=⨯⨯=J ，故产生2mol 电子须作功为：519231037.21097.110022.622⨯=⨯⨯⨯⨯=-U e N A J 。

而这个过程中的热效应是 8.285=∆=H Q kJ / mol ，故此氢燃料电池的热效率为
86.82108.2851037.235=⨯⨯=η℅。