数列求和的几种常见方法
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数列求和的几种常见方法
A
1
一、等差数列的前n项和：
Sn
n(a1 2
an
)
Sn na1n(n21)d
A
2
二、等比数列的前n项和：
Sn
a1(1qn) 1q
(q1)
Sn
a1anq 1q
(q1)
A
3
习题：
1、计算 1 + 2 + 2 2+ 2 3+ L + 2 n的和
2n1 1
11 1
1
2、计算
+ 2 22
求数列{an}的前 n 项和 Sn.
3、数列{an}的通项式 an
=
1 n(n +
3)
求数列{an}的前
n
项和
A
Sn.
14
所以 Tn＝32－21n－n2＋n＋11＝32－n2＋n＋13.
A
8
习题：
3、数列{an}的通项式为 an =n3n
求数列{an}的前 n 项和 Sn.
Sn
(2n1)3n1 4
3
A
9
四、裂项相消法：
例 3、数列{an}的通项式为
an
=
1 n(n +
2)
求数列{an}的前
n
项
和 Sn.
3 2n3 4 2(n1)(n2)
A
10
裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差求和，正 负项相消剩下首尾若干项。常见的拆项公 式有：
1 1 1 n(n 1) n n 1
1
n1 n
n1 n
A
11
习题：
4、等差数列{an}中，a1=3,公差 d=2,
1
Sn 为前 n 项和，求数列{ Sn }的前
n 项和 Tn.
3 2n3 4 2(n1)(n2)
A
12
五、分组求和法： 若数列{an}的通项公式形如
an=bn+cn，而{bn}是等差数列，{cn}是等 比数列，则可采用此法。
例4、计算
111
1
2+34+58+L+(2n-1)2n
的和
A
13
ห้องสมุดไป่ตู้
作业 A ben
1、数列{an}的通项式为 an =n+3n
求数列{an}的前 n 项和 Sn. 2、数列{an}的通项式为 an = n 2n
+ 23
+L+ 2n-1
的和
1
1
2 n1
A
4
三、错位相减法求和： 例1、计算 12+222 +233 +L+2nn 的和
2
1 2n1
n 2n
A
5
错位相减法：
若数列{an}的通项公式形如an=bncn， 而{bn}是等差数列，{cn}是等比数列， 则可采用此法。
A
6
例 2、数列{bn}的通项式为 bn =
n＋1 2n＋1
求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解： bn＝n2＋n＋11
则 Tn＝222＋233＋244＋…＋n2＋n＋11 ①
12Tn＝223＋234＋245＋…＋2nn＋1＋n2＋n＋21②
A
7
①－②得 12Tn＝222＋213＋214＋215＋…＋2n1＋1－n2＋n＋21
＝12＋213×11－－122n1－1－n2＋n＋21＝34－2n1＋1－n2＋n＋21
A
1
一、等差数列的前n项和：
Sn
n(a1 2
an
)
Sn na1n(n21)d
A
2
二、等比数列的前n项和：
Sn
a1(1qn) 1q
(q1)
Sn
a1anq 1q
(q1)
A
3
习题：
1、计算 1 + 2 + 2 2+ 2 3+ L + 2 n的和
2n1 1
11 1
1
2、计算
+ 2 22
求数列{an}的前 n 项和 Sn.
3、数列{an}的通项式 an
=
1 n(n +
3)
求数列{an}的前
n
项和
A
Sn.
14
所以 Tn＝32－21n－n2＋n＋11＝32－n2＋n＋13.
A
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习题：
3、数列{an}的通项式为 an =n3n
求数列{an}的前 n 项和 Sn.
Sn
(2n1)3n1 4
3
A
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四、裂项相消法：
例 3、数列{an}的通项式为
an
=
1 n(n +
2)
求数列{an}的前
n
项
和 Sn.
3 2n3 4 2(n1)(n2)
A
10
裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差求和，正 负项相消剩下首尾若干项。常见的拆项公 式有：
1 1 1 n(n 1) n n 1
1
n1 n
n1 n
A
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习题：
4、等差数列{an}中，a1=3,公差 d=2,
1
Sn 为前 n 项和，求数列{ Sn }的前
n 项和 Tn.
3 2n3 4 2(n1)(n2)
A
12
五、分组求和法： 若数列{an}的通项公式形如
an=bn+cn，而{bn}是等差数列，{cn}是等 比数列，则可采用此法。
例4、计算
111
1
2+34+58+L+(2n-1)2n
的和
A
13
ห้องสมุดไป่ตู้
作业 A ben
1、数列{an}的通项式为 an =n+3n
求数列{an}的前 n 项和 Sn. 2、数列{an}的通项式为 an = n 2n
+ 23
+L+ 2n-1
的和
1
1
2 n1
A
4
三、错位相减法求和： 例1、计算 12+222 +233 +L+2nn 的和
2
1 2n1
n 2n
A
5
错位相减法：
若数列{an}的通项公式形如an=bncn， 而{bn}是等差数列，{cn}是等比数列， 则可采用此法。
A
6
例 2、数列{bn}的通项式为 bn =
n＋1 2n＋1
求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解： bn＝n2＋n＋11
则 Tn＝222＋233＋244＋…＋n2＋n＋11 ①
12Tn＝223＋234＋245＋…＋2nn＋1＋n2＋n＋21②
A
7
①－②得 12Tn＝222＋213＋214＋215＋…＋2n1＋1－n2＋n＋21
＝12＋213×11－－122n1－1－n2＋n＋21＝34－2n1＋1－n2＋n＋21