理论力学第十四章动能定理
第十四章动能定理_理论力学
，此时
。
例 14-3 卷扬机如图 14-13 所示。鼓轮在常力偶矩 作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知
鼓轮的半径为 ,质量为 ，质量分布在轮缘上；圆柱体的半径为 ，质量为 ，质量均 匀分布。设斜面的倾角为 ，圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱体中心
的速度与其路程之间的关系。 解：★ 以鼓轮和圆柱体组成的整个系统作为分析对象；
★ 应用动能定理解题的步骤： （1）明确分析对象，一般以整个系统为研究对象； （2）分析系统的受力，区分主动力与约束力，在理想约束的情况下约束力不做功； （3）分析系统的运动，计算系统在任意位置的动能或在起始和终了位置的动能； （4）应用动能定理建立系统的动力学方程，而后求解； （5）对问题的进一步分析与讨论。 §14-5 功率、功率方程、机械效率 1. 功率 单位时间内力所做的功。用功率来衡量机器做功的快慢程度，是衡量机器性能的一项重 要指标。
力在有限路程上的功：力在有限路程
上的功为力在此路程上元功的定积分。即 （14-8）
或
功的单位为焦耳(J),
。
（14-9）
2. 常见力的功 ★ 重力的功
如图 14-3 所示，质点沿轨迹由 为
运动到
，其重力
在直角坐标轴上的投影
所以重力的功为
（14-10） 由此可见，重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹无关。
§14-1 质系动能定理 质点动能定理 牛顿第二定律给出
上式两边点乘 ，得
因
，于是上式可写为
或
（14-1）
式中
称为质点的动能，
称为力的元功。参看图 14-1。式（14-1）称为质
点动能定理的微分形式，即作用于质点上力的元功等于质点动能的微分。
理论力学第十四章 虚位移原理
面
A
δS A
M
O
δSB
P x
B
三 虚功 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功。
δW=Fδr 四、理想约束：
约束反力虚功之和为零的约束。
ΣδWN = ΣNδr = 0
那些约束为理想约束？ 回到动能定理里理想约束部分
1、光滑面 N δr
3、固定支座 Y X
Nδr = 0
δr = 0
2、可动支座 N
δr
因为： δrB = δxB = tanϕ δrA δyA
将虚位移间的关系代入虚 功方程，求解可得：
所以，同样可以得到：δrB = δrA ⋅ tanϕ
y A
FA = δrB = tanϕ FB δrA
δ rA vA FA
O
FB ϕ B
x
vB
δ rB
切
δr1
平
面
A
δS A
M
O
δSB
P x
B
质点：δr 质点系:(δr1 ,δr2 ,…,δrn )
说明: 1.对给定瞬时而言(不同位置位移不同). 2.为约束所允许的(不能破坏约束). 3.无限小位移(不是有限位移).
4.任何无限小位移(不只一个;对质点 系来说不只一组).
M（x,y,z)
切
δr1
平
由AB的速度瞬心P可知：
y
vB = PB = tanϕ
vA PA
A
P
于是：δrB = δrA ⋅ tanϕ
δ rA vA FA
O
FB ϕ B
x
vB
δ rB
方法二：坐标变分法
yA = lsinϕ xB = lcosϕ
理论力学课件 动能定理
z m2 m3 C rC O x' x 而
i
mi m1 y
ri
y'
mn
1 2 1 2 T＝ mvC mi vri 2 2
d m v m i ri dt i i 0
质点系的动能，等于系统随质心平移的动能与相 对于质心平移参考系运动的动能之和。
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 4
第13章
动 能 定 理
动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动力学问 题，而动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不 仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机 械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运 动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的 联系，这是一种能量传递的规律。
2012年5月3日 Thursday
Fx =0， Fy =0， Fz =-mg
F mgk
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1 z2
对于质点系
2012年5月3日 Thursday
W mg ( z C 1 z C 2 )
理论力学CAI 11
重力的功与重心运动的高度差成正比，与路径无关。
② 弹性力的功
Jz——刚体对轴的转动惯量
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 3
z'
柯尼希（Koenig） 定理
质点系动能计算
1 1 T mi vi2 mi (vC vri ) 2 2 2 1 1 2 2 mi vC mi vri mi (vC vri ) 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri vC mi vri 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri 2 2
理论力学精品课程第十四章 动能定理
d(1 2mivi2)Wi
dTWi
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的
和
微分形式。
T2T1 Wi
质点系在某一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质点
系全部力所作功的和
积分形式。
第十四章 动能定理
3. 理想约束
dr
F′ O
F
B A
W F d r F d r 0
第14章 动能定理
※ 力的功 ※ 质点和质点系的动能 ※ 动能定理 ※ 势力场·势能·机械能守恒定律 ※ 功率·功率方程·机械效率 ※ 质点系普遍定理的综合应用 ※ 结论与讨论
第十四章 动能定理
§14-1 力的功
a. 常力的功
WFcoss
F
M
M1
M2
S
功是代数量，其国际单位制为 J（焦耳）。
d1
dt
1,
d1
dt
1
Ⅱ M2
1(M1M i122) (J1iJ1222)
主动力的功：
W 12M 11M 2 2(M 1M i122)1
由动能定理得： 1 2(J1iJ1 222) 1 20(M 1M i12 2) 1
第十四章 动能定理
Ⅰ M1
driC
d
Mi
C
§14-2 质点和质点系的动能
质点的动能
T 1 mv 2 2
动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平 方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是 一个矢量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同 ，也为 J 。
质点系的动能
第十四章 动能定理
T
b. 变力的功
理论力学动能定理
12
2
mi ri 2
即
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
1 2
J
p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
得
T
1 2
mvC2
1 2
JC
2
即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和。
§14-3 动能定理
1、质点的动能定理
将 m d F 两端点乘 dt dr ，
1.势力场
力场 F F x, y, z 如：重力场、弹性力场、万有引力场
势力场： 物体在力场内运动，作用于物体的力的功只 与力作用点的始、末位置有关，与路径无关。
2.势能：在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，
有势力所作的功。
V M0 F dr M
M 0 称零势能点
4．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
W
M1M2F
ds
M1M
2
f
'Nds
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力 N ，摩擦力 F 作用于速度瞬心C，瞬心的元位移
dr vCdt0 W Fdr FvCdt0
dt
得 m d F dr
由于 m d d(1 m2 ), F dr w,
2 因此 d(1 m 2 ) w
2
上式称为质点动能定理的微分形式，即质点
动能的微分等于作用在质点上力的元功。
理论力学课本及习题集答案
西北工业大学理论力学教研室
2009年7月
第一章:静力学的基本概念
第二章:平面基本力系
第三章:平面任意力系
第五章:空间基本力系
第六章:空间任意力系
第七章:重 心
第八章:点的运动
第九章:刚体的基本运动
第十章:点的复合运动
日
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
第十一章:刚体的平面运动
第十二章:刚体的转动合成
第十四章:质点动力学基础
第十五章:质点的振动
第七章:动能定理
第十八章:动量定理
第十九章:动量矩定理
第二十章:碰撞理论
第二十一章:达朗伯原理
第二十二章:虚位移原理
理论力学 第十四章 动能定理
对于任一质点系：（ vi ' 为第i个质点相对质心的速度）
13
三．刚体的动能 1．平动刚体
1 1 1 2 2 1 T mi vi (mi )v 2 Mv 2 MvC 2 2 2 2
2．定轴转动刚体
1 1 1 2 2 2 T mi vi ( mi ri ) J z 2 2 2 2
F dr
FX dx FY dy FZ dz
( F FX i FY j FZ k , dr dxi dyj dzk
F dr FX dx FY dy FZ dz)
2 总功 力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
W F cosds F ds （自然形式表达式）
授课教师：薛齐文 土木与安全工程学院力学教研室
1
第十四章
§14–1 §14–2 §14–3
动能定理
力的功 质点和质点系的动能 动能定理
§14–4＊ 功率 ·功率方程
§14–5＊ 势力场 ·势能 ·机械能守恒定理
§14–6 动力学普遍定理及综合应用
2
引 言
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用
W F dr k ( r l0 )r0 dr
M2 M1 m2
r0 r /r 矢量单位
k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。
M1
r 1 1 r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr r 2r 2r
W k ( r l0 )dr
10
五．质点系内力的功
W F drA F 'drB
F drA F drB
F d (rA rB )
理论力学 动能定理
第11章动能定理即质点系的动能等于其随质心平BCθABθCPA2rOr C力的功2rOr CAP2rOr CAP2rOr CAPs汽车驱动问题能量角度：汽缸内气体爆炸力是内力，不改变汽车的动量，但使汽车的动能增加。
动量角度：地面对后轮的摩擦力是驱动力，使汽车的动量增加，但不做功，不改变汽车的动能。
内力不能改变质点系的动量和动量矩，但可以改变能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变能量。
例题11-8水平悬臂梁AB，B端铰接滑轮B，匀质滑轮质量m1，半径r；绳一端接滚，轮C，半径r，质量m2视为质量集中在边缘；绳另端接重物D，质量m3。
求重物加速度。
CωDv BωCv 解：末位置是一般位置hconst 01==T T =2T 2321D v m 221B B J ω+221CP J ω+运动学关系rr v v B C C D ωω===2121rm J B =2222222rm r m r m J P=+=2321222121Dv m m m T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=gh m W 312=CωDv BωCv h1212W T T =−gh m T v m m m D 30232122121=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++对t 求导h g m vv m m m D D &&33210)221(=−++Dv h =&D D a v=&gm m m m a D 3213221++=例11-9匀质圆盘和滑块的质量均为m。
圆盘的半径为r。
杆平行于斜面，其质量不计。
斜面的倾斜角为θ。
圆盘、滑块与斜面的摩擦因数均为μ。
圆盘在斜面上作纯滚动。
试求滑块下滑加速度。
1212W T T =−01=T 2222212121mvJ mv T A ++=ω解()sF F mgs mgs W B A +−+=θθsin sin 12θμcos mg F F B A ==取导221,mrJ v r A ==ω2245mvT =()θμθcos sin 2452−=gs v a v v s==&&,()θμθcos sin 54−=g a F A 是静摩擦力，理想约束，不作功。
哈尔滨工业大学理论力学教研组编,《理论力学》(第六版)教学大纲
《理论力学》教学大纲课程编码：3597英文名称：Theoretical Mechanics总学时：80 实验：上机：适合专业：土木工程一、课程内容及要求本课程主要内容：对质点、质点系的刚体的机械运动（包括平衡）的规律有较系统的理解，掌握其中的基本概念，基本理论和基本方法及其应用。
学习重点：1．熟悉各种常见约束的性质，对简单的物体系统，能熟练地取分离体并画出受力图。
2．能运用平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题（包括考虑滑动摩擦的问题）。
对平面问题要求熟练。
3．熟悉刚体平动、定轴转动和平面运动的特征，并能熟练地计算刚体的角速度和角加速度、刚体内各点的速度和加速度，包括简单机构的运动分析。
4．掌握运动合成和分解的基本概念和方法。
熟练掌握点的速度合成定理和牵连运动为平动时的加速度合成定理的应用。
5．能正确地列出质点运动和刚体运动（包括刚体定轴转动和平面运动）的动力学微分方程并能求解有关的问题。
6．熟练掌握动力学普遍定理及相应的守恒定理，能熟练选择和综合应用这些定理去求解工程中简单的理论力学问题。
7．能掌握虚位移原理的有关概念及其应用。
学习难点：1．常见约束的性质，对简单的物体系统，能熟练地取分离体并画出受力图。
2．能运用平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题（包括考虑滑动摩擦的问题）。
对平面问题要求熟练。
3．掌握描述点的运动弧坐标法，能求点的运动方程，并能熟练地计算点的速度、加速度及其有关问题。
4．掌握运动合成和分解的基本概念和方法。
熟练掌握点的速度合成定理和牵连运动为平动时的加速度合成定理的应用。
掌握牵连运动为定轴转动时加速度合成定理及其应用。
5．能理解并熟练计算动力学中各基本物理量（动量、动量矩、动能、冲量、功、势能等）6．能正确地列出质点运动和刚体运动（包括刚体定轴转动和平面运动）的动力学微分方程并能求解有关的问题。
7．熟练掌握动力学普遍定理及相应的守恒定理，能熟练选择和综合应用这些定理去求解工程中简单的理论力学问题。
理论力学-动能定理
第 页1 教学目标知识目标： 常力的功，变力的功，平面运动刚体上力系的功，重力的功，弹性力的功，质点系的功能，质点的动能定理，质点动能定理的微分、积分形式，功率方程。
能力目标：素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。
良好的职业道德和严谨的工作作风教 学 内 容 与 教 学 过 程 设 计注 释理论力学-动能定理〖理论学习〗13.1力的功13.1.1常力的功功是对力在一段路程上积累效应的度量，是一个过程量。
如图13-1所示，物体在常力F作用下，沿直线从M1运动到M2，其路程为s ，力F 在这段路程上所做的功定义为力F 在位移方向的投影与其路程的乘积，以W 表示，即 (13-1)。
图13-113.1.2变力的功设质点M 做曲线运动，从位置M1运动到位置M2，受到变力F 的作用，如图13-2所示。
为了计算变力F 在曲线上的功，考虑微弧段ds ，在此微段上力F 可视为常力，ds 也可视为直线。
力F 在此无限小位移上所做的功称为元功，记为δW 。
此时，力F 的元功为δW=Fcos θds (13-2)图13-213.1.3平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功等于刚体所受各力做功之代数和。
(1)当刚体在平面上平移时，各点的位移都与质心的位移相同，ri=rC 。
则力系的功为 (13-6)。
即平移刚体上力系的功等于力系的主矢在质心位移上所做的功。
(2)当刚体绕z 轴做定轴转动时，如图13-3所示。
比较常力的功和变力的功。
教师讲解平面运动刚体上力系的功。
第页2图13-3(3)当刚体平面运动时，受到多个力作用，如图13-4所示。
取刚体的质心C 为基点，把该力系向基点简化得到一个力F ′R 和一个力偶MC ，分别在质心位移和转角位移上做功。
平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。
图13-413.1.4典型力的功 1．重力的功设质点受重力P=mg 的作用，沿曲线从位置M1运动到位置M2，如图13-5所示。
理论力学课件：动能定理
动能定理
【例12-8】 C618车床的主轴转速n=42r/min时,其切削力
P=14.3kN,若工件直径d=115mm,电动机到主轴的机械效率
η=0.76。求此时电动机的功率为多少?
解 由式(12-12)得切削力P 的功率:
动能定理
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
动能定理
动能定理
12.4 功率 功率方程
1.功率
在单位时间内力所做的功称为功率。它是衡量机器工作
能力的一个重要指标。
δW 是dt时间内力的元功,则功率为
动能定理
由于元功为δW =Ft·ds,因此
即,力的功率等于切向力与力作用点速度的乘积
力矩的元功为δW =M·dφ,则
即,力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积。
动能定理
动能定理
12.1 力的功
12.2 质点 质点系的动能
12.3 质点与质点系的动能定理
12.4 功率 功率方程
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
12.6 动力学普遍定理及综合应用
思考题
动能定理
12.1 力 的 功
工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,
不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过
的功。
动能定理
图12-15
动能定理பைடு நூலகம்
【例12-4】 在图12-16中,为测定摩擦系数f,把矿车置于
斜坡上的A 点处,让其无初速下滑。当它达到B 点时,靠惯性
又往前滑行一段路程,在C 点处停止。求摩擦系数f0,已知S1、
S2 和h。
图12-16
动能定理
理论力学动能定理
的等效力（其力矢为力系的主矢）在质心的位移上所作
的功。
③ 作用在定轴转动刚体上的力的功
作用在定轴转动刚体上的力系的元功为
dW dWi ω M z (Fi )dt M z (Fi )d M z d
作用在定轴转动刚体上的力系的功等于力系向转轴 简化的等效力偶（其力偶矩为力系对转轴的主矩）在刚 体的角位移上所作的功。
drAB
B
drAB // FB
y
drAB可以分解为平行于FB与垂直于FB的两部分，即
drAB drAB // drAB
内力元功之和
dW i FB drAB FB (drAB// drAB ) FBdrAB //
当A、B的距离变化时，内力的元功之和不等于零。
工程中常用的弹簧力的功就是内力的功。设弹簧的
② 作用在平移刚体上的力的功
设力F在质点系上的作用点的速度为v，则在时间dt
内，力F的元功为
dW F dr F vdt
刚体平移时，在任一瞬时刚体上的各点的速度相同， 则作用在刚体上的力系的元功为
dW Fi dri Fi vdt Fi drC FR drC
例如质点系在重力场中各质点的z坐标为 时为零势能点位置，则各质点z坐标为 时的势能为
z10 , z20 ,, zn0
z1 , z2 , , zn
V mi g ( zi zi 0 )
质点系的重力势能可写为
V mg ( zC zC 0 )
(4) 有势力的功
设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从 点M1到点M2，该力所作的功为W12。若取M0为零势能点， 则从M1到M0和从M2到M0有势力所作的功分别为M1和M2 位置的势能V1和V2。因有势力的功与轨迹形状无关，而 由M1经过M2到达M0时，有势力的功为
理论力学——动能定理
解：在运动过程中，T 的大小不变，但方向 在变，因此T 的元功为
δWT T cosa d x
cosa (20 x) (20 x)2 152
因此T在整个过程中所作的功为
O
力F在刚体从角j1转到j2所作的功为
W12
j2 j1
M
zdj
Mz可视为作用在刚体上的力偶
例1 如图所示滑块重P＝9.8 N，弹 簧刚度系数k＝0.5 N/cm，滑块在A 位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N， 滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置A运动到位置B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
OC作定轴转动，规尺AB作平面运动。首先对 vA
运动进行分析，O1是AB的速度瞬心，因:
运动分析
A
vc O1C AB OC AB
AB
O1
系vA统分O析1AAB 2a cosj a
TA
1 2
mAvA2
ma 2 2
2
vC C
vB O1BAB 2asinj 3a
T
A
15 cm
B
20 cm
PT
F
a
N
20
20
WT 0 T cosa d x 0 20
20 x d x 200 N cm
(20 x)2 152
再计算F的功：
由题意：
d1
2.5 0.5
5cm
T
A
15 cm
B
20 cm
理论力学精品课程第十四章 动能定理
i1
2
R2 R1
1 2
Ⅱ
M2
Ⅰ
M1
T2 12(J1 iJ1222)12
主动力的功：
W 12M 11M 2 2(M 1M i122)1
由动能定理得： 1 2(J1iJ1222) 120(M 1M i12 2) 1
第十四章 动能定理
将上式对时间求导，并注意:
3 mR22
4
P
O
B
FT
C
主动力的功： W 12Ps2mgfs
由动能定理得： 3mR 220Ps2mgfs F
4
mg P
O B
2 (Pmg)f
FN
3mR
第十四章 动能定理
关于摩擦力的作功
M F
O
FN
0
功是力与其作用点位移的点乘。这里“位移”并不是 力作用点在空间中的位移，而是指受力物体上受力作用那 一点的位移。
R2)
v W
第十四章 动能定理
例 题3
已知： m ，R, f ， 。 求： 纯滚时盘心的加速度。
解：取系统为研究对象
T1 0
T2
1 2
mvC2
1 2
JC2
vC R
T2
3 4
mvC2
s
C
vC
F
mg
FN
主动力的功： W 12mgsis n
由动能定理得：
43mC 2v0mgssin
求：重物下落的加速度
O
第十四章 动能定理
P W
解：取系统为研究对象
T1 0
T2
1W 2g
理论力学：动能定理
9. 动能定理动能：是描述质系运动强度的一个物理量，任一质点在某瞬时的动能为212i i m v 。
质点动能定理的微分形式：作用于质点上力的元功等于质点动能的微分。
质点动能定理的积分形式：作用于质点上的力在有限路程上的功等于质点动能的改变量。
力的元功:力在一无限小位移中力所做的功。
力在有限路程上的功：力在此路程上元功的定积分21d M M W =⋅⎰F r 。
理想约束：约束力的元功的和等于零的约束。
质系动能定理的微分形式：在质系无限小的位移中，质系动能的微分等于作用于质系全部力所做的元功之和，即d δF T W =∑。
质系动能定理的积分形式：质系在任意有限路程的运动中，起点和终点动能的改变量，等于作用于质系的全部力在这段路程中所做功的和，即21i T T W -=∑。
质点系的动能：组成质点系的各质点动能的算术和，即2112ni i i T m v ==∑。
柯尼西定理：平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。
功率：在单位时间内所做的功。
力场：如质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，具有这种特性的空间就称为力场。
势力场或保守力场：如质点在某一力场内运动时，力场力对于质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关，则这种力场称为势力场或保守力场。
质点在势力场内所受的力称为势力或保守力。
势能：在势力场中，质点由某一位置M 运动到选定的参考点M 0的过程中，有势力所做的功，以V 表示，即0x d d d d M M y z MMV F x F y F z =⋅=++⎰⎰F r 。
保守系统：具有理想约束，且所受的主动力皆为势力的质系。
机械能：质系在某瞬时的动能与势能的代数和。
机械能守恒定律：保守系统在运动过程中，其机械能保持不变。
即，质系的动能和势能可以互相转化，但总的机械能保持不变。