非平稳信号处理中的LMS自适应滤波器研究

Ｆｏｕｒｉｅｒ 域 ＬＭＳ 算法的收敛性能将取决于自适应步长系数 ! 和自相关矩阵 Ｒｘｘ．
４ 结束语
本文提出的算法利用离散分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换核的正交性，选择变换核的行向量的共轭作为自适应 ＬＭＳ 分析器的输入，而要进行变换的数据作为期望信号，通过选择 !＝１／ ２ 的迭代步长对权向量进行迭代更新，得 到与数据的离散分数阶傅立叶变换成正比的权向量 ． 对于长度为 Ｎ 的逐个更新的数据，算法在最后一个数 据输入之后只需一次 ＬＭＳ 的迭代运算量，即 ４（２Ｎ＋１）次复乘和 ４Ｎ＋４ 复加就可以计算出结果，而 Ｎ 点数据 全部输入后再对整块数据进行计算，需要的计算量至少为 ｏ（Ｎ ｌｏｇ Ｎ）． 因此，对于逐个采样点更新的数据块 的分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换的计算，本算法比整块计算要快，更适合实时信号处理 ． 且基于 ＬＭＳ 的算法是并行结 构，适用于超大规模集成电路（ＶＬＳＩ）．
期望响应 ｄ（ｎ）
Ｄ（ｐ ｋ） Ｆ［ｐ ·］
行分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 域的自适应滤波得到 Ｙ（ｐ ｋ），最 后对 Ｙ（ｐ ｋ）进行反变换得到 ｙ（ｎ）． 输入信号 ｘ（ｎ） 和长度为 Ｎ 的期望信号 ｄ（ｎ）分别可用向量形式表示为：
图 ２ 分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 域 ＬＭＳ 自适应滤波器框图 Ｆｉｇ．２ ＦＲＦＴ ｄｏｍａｉｎ ＬＭＳ ａｄａｐｔｉｖｅ ｆｉｌｔｅｒ ｂｌｏｃｋ ｄｉａｇｒａｍ
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Ｘｐ（Ｎ ｋ）&&’
（７）
由图 ２ 可以看出，分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ 域 ＬＭＳ 算法的误差矢量 Ｅ（ｐ ｋ）为：
Ｅ（ｐ ｋ）＝Ｄ（ｐ ｋ）－ Ｙ（ｐ ｋ）． 分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 域 ＬＭＳ 自适应滤波器的权系数的更新公式为：
（８）
Ｗ（ｋ＋１）＝Ｗ（ｋ）＋ !Ｘ（＊ ｋ）Ｅ（ｋ）＝Ｗ（ｋ）＋ !［Ｘ（＊ ｋ）Ｄ（ｐ ｋ）－ Ｘ（＊ ｋ）Ｘ（ｋ）Ｗ（ｋ）］．
（３） （４）
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河南科学
第 ２６ 卷 第 ７ 期
式中 Ｆ ｐ 为 ｐ 阶 ＤＦＲＦＴ 的变换矩阵 ．
权系数矢量为 Ｗ（ｋ）时的输出 Ｙ（ｐ ｋ）为：
Ｙ（ｐ ｋ）＝Ｘ（ｋ）Ｗ（ｋ），
（５）
即通过分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 域的加权运算来实现对输入信号的滤波 ． 式（５）中第 ｋ 个数据块的频域权系数矢量
输入 ｘ（ｎ）
Ｘ（ｐ ｋ）
Ｆ［ｐ ·］
参数可调数字
滤波器 Ｗ（ｋ）
Ｙ（ｐ ｋ）
输出 ｙ（ｎ）
Ｆ－［ｐ ·］
ＬＭＳ 自适应滤波算法 ． 图 ２ 是分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 域 ＬＭＳ 自适应滤波器
Ｅ（ｋ）
自适应算法
计算误差
框图． 首先对长度为 Ｎ 的输入序列 ｘ（ｎ）进行离散 分数阶傅立叶变换（ＤＦＲＦＴ）得到 Ｘ（ｐ ｋ），然后进
１９６７ 年提出，经过学者们多年不懈的努力研究出了许多自适应算法来满足各种信号处理需求，使得自适应
滤波得到了迅猛发展 ． 自适应滤波在雷达、通信、声纳、图象处理、计算机视觉、航空航天、地震勘探、生物医
学工程和振动工程等领域都得到了广泛应用 ． 自适应滤波经历三次大发展：从 Ｂ．Ｗｉｄｒｏｗ 的基于维纳滤波理
摘 要： 分析了时域及变换域 ＬＭＳ 自适应滤波器的设计， 提出了一种基于分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 域的 ＬＭＳ 自适应滤波算法，
并推导了基于离散分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换的计算方法 ．
关键词： 滤波器； 离散分数阶傅立叶变换； 自适应 ＬＭＳ 算法
中图分类号： Ｔ ９１１．７２
文献标识码： Ａ
滤波器是一种物理硬件或算法，用于从含噪声的观测数据中抽取信号，可以实现滤波、平滑和预测等信 号处理任务 ． 对于平稳信号而言，如果输入信号的统计特性是已知的，维纳滤波器可以最大限度地滤除干 扰噪声、提取真实信号 ． 但是，当输入信号的统计特性发生偏离而成为非平稳信号，维纳滤波器就不再是最 优滤波器了 ． 基于状态空间的卡尔曼滤波器能够对非平稳信号做线性最优滤波，但它和维纳滤波器一样均 需要信号和噪声的统计特性先验知识． 但在实际应用中，这些先验统计特性并不容易获得 ． 而自适应滤波 器可以在很少或者根本不需要任何有关信号和噪声的先验统计知识的情况下通过使滤波器的参数自动地 调整来达到最优滤波 ．
图 １ 时域 ＬＭＳ 自适应滤波框图 Ｔａｂ．１ Ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ ＬＭＳ ａｄａｐｔｉｖｅ ｆｉｔｅｒ ｂｌｏｃｋ ｄｉａｇｒａｍ
收稿日期： ２００８－ ０３－ １９ 基金项目： 国家自然科学基金项目（６０４７２６４４） 作者简介： 马鹏阁（１９７６－），男，河南南阳人，讲师，硕士，主要研究方向为通信信息系统及信号处理；
齐 林（１９６１－），男，河南郑州人，教授，博士生导师，主要研究方向为通信信息系统及信号处理．
２００８ 年 ７ 月
马鹏阁等： 非平稳信号处理中的 ＬＭＳ 自适应滤波器研究
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的抽头权向量，其中“Ｔ”表示转置 ． 则自适应滤波的过程就是连续不断地调整这些权系数 ． ２．２ 变换域 ＬＭＳ 自适应滤波器 ２．２．１ 基于频域的 ＬＭＳ 自适应滤波算法 常用的变换域自适应滤波算法基于频域的自适应滤波算法在变 换域自适应滤波算法中，基于频域的自适应滤波算法是最基本最常见的，已被广泛应用于自适应均衡、自适 应收发隔离、自适应噪声抑制等系统 ． 目前为止对频域自适应滤波算法研究较多的是分块实现的频域算法 ． 该算法的主要内容是将输入信号和期望信号分别形成点数据块，然后做点离散傅立叶变换 ． 这样，不仅保证 了与时域自适应滤波算法有相同的收敛性，也可以利用快速技术，用序列的循环卷积来计算线性卷积，即重 叠保留法，从而使运算量大大地减少 ．
第 ２６ 卷 第 ７ 期 ２００８ 年 ７ 月
文章编号： １００４－ ３９１８（ ２００８） ０７－ ０８３６－ ０３
河南科学 ＨＥＮＡＮ ＳＣＩＥＮＣＥ
Ｖｏｌ．２６ Ｎｏ．７ Ｊｕｌ． ２００８
非平稳信号处理中的 ＬＭＳ 自适应滤波器研究
马鹏阁 １， ２， 齐 林 ２
（１． 郑州航空工业管理学院，郑州 ４５００１５； ２． 郑州大学 信息工程学院，郑州 ４５０００１）
ｘ＝［ｘ（１），ｘ（２），…，ｘ（Ｎ）］Ｔ，
（１）
ｄ ＝［ｄ（１），ｄ（２），…，ｄ（Ｎ）］Ｔ，
（２）
对 ｘ 和 ｄ 分别做 Ｎ 点 ｐ 阶 ＤＦＲＦＴ，每个 ＤＦＲＦＴ 的输出组成 Ｎ 维列向量 Ｘ（ｐ ｋ）和 Ｄ（ｐ ｋ），即： Ｘ（ｐ ｋ）＝Ｆ ｐ ｘ＝［Ｘｐ（１ ｋ），Ｘｐ（２ ｋ），…，Ｘｐ（Ｎ ｋ）］Ｔ， Ｄ（ｐ ｋ）＝Ｆ ｐ ｄ＝［Ｄｐ（１ ｋ），Ｄｐ（２ ｋ），…，Ｄｐ（Ｎ ｋ）］Ｔ，
（９）
实际应用中，如果预先不能确定变换的阶数 ｐ，可以均方误差 " 的稳态值为目标函数，通过搜索的方式
得到均方误差最小时的 ｐ 值 ． 另外，对于非平稳信号而言，输入信号的自相关特性是时变的，每块输入数据
的自相关特性矩阵均是不同的，因此，分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 域 ＬＭＳ 算法对每块数据都进行多次迭代运算 ． 分数阶
但是，由于基于频域的自适应滤波算法和时域自适应滤波算法的递推公式和收敛特性比较相似，频域 快速算法作为一种固定步长因子的自适应滤波算法，若在一定范围内选择较大步长，收敛就比较快，当收敛 到稳态附近时将会产生较大的剩余误差，即会产生比较大的失调量 ． 反之若使用较小步长可以减小剩余误 差量并提高算法的收敛精度，但是收敛速度会变慢，以致与时域算法的收敛速度基本相当，而且在起始阶段 的误差较大 ． ２．２．２ 基于余弦变换域的 ＬＭＳ 自适应滤波算法 基于余弦变换域的自适应滤波算法基于余弦变换域的自 适应滤波算法也是一种应用比较广泛的变换域自适应滤波算法，可以用在噪声抑制、自适应收发隔离和自 适应均衡等方面． 该算法之所以在变换域自适应滤波器中研究较多，是因为人们认为余弦变换能够较好地 近似理想正交变换，研究表明基于余弦变换域的自适应滤波算法不仅减小了输入信号的自相关程度，明显 提高了收敛速度，减小了权失调噪声，而且该算法的计算量也大大减小，同时，由于语音信号的参数几乎不 相关，使域滤波尤其适用于语音信号 ． ２．２．３ 基于小波变换域的 ＬＭＳ 自适应滤波算法 小波变换是世纪年代后期发展起来的一门新兴的应用数 学分支 ． 它充分体现了自适应分辨的思想，即小波变换的窗是可调时频窗，能够以不同的尺度观察信号，以 不同的分辨力分析信号 ． 小波变换具有较强的自适应特性，其应用领域日益广泛，人们把研究的目光也投 向了基于小波变换域的自适应滤波算法，并在这方面取得了不少成果 ． 其中，基于连续小波变换的算法是 通过对自适应滤波器的输入信号进行正交变换将输入向量正交分解到多尺度空间，利用小波的时频局部特 性减小了自适应滤波器输入向量自相关阵的谱动态范围，大大增加了算法的收敛步长，提高了算法的收敛 速度和稳定性 ． 但是此类算法中使用了有限项近似和采样离散化方法，只能含糊地说采样率足够高时可以 保证在离散域变换的正交性，并且没有快速的计算方法 ．
论的 ＬＭＳ（最小均方差）算法确立自适应滤波器理论到基于状态空间的卡尔曼自适应滤波器，再到基于加权
误差最小化的 ＲＬＳ 自适应滤波器算法 ．
为了使滤波器工作于非平稳的环境，可以将卡尔曼滤波算法用于自适应滤波来加快收敛速率，并且收
敛过程具有好的坚韧性，收敛速率对特征值扩展不敏感，但是算法复杂计算量较大 ． ＲＬＳ（Ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｌｅａｓｔ－
Ｗ（ｋ）和输入信号 ＤＦＲＦＴ 系数的对角线矩阵 Ｘ（ｋ）分别定义为： Ｗ（ｋ）＝［Ｗ（１ ｋ），Ｗ（２ ｋ），…，Ｗ（Ｎ ｋ）］Ｔ，
（６）
… … …
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Ｘｐ（１ ｋ）
０
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Ｘｐ（１ ｋ） …
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Ｘ（ｋ）＝
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３ 提出一种基于分数阶 Ｆｏｕｒ ｉｅｒ 域的 ＬＭＳ 自适应滤波算法
在非平稳情况下，对于 ＬＦＭ 信号，当其调频率较大时，经典的自适应滤波算法不能获得满意的性能 ． 在
分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 域上可实现 ＬＦＭ 信号的 Ｗｉｎｅｒ 滤 波，因此可以将频域 ＬＭＳ 算法的原理推广到分数 阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 域中，由此建立一种分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 域的
Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ＆ Ｓｏｎｓ，２０００． ［３］ 齐 林，陶 然，周思永，王 越． 基于分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换的多分量 ＬＦＭ 信号的检测和参数估计［Ｊ］． 中国科学，２００３，３３（８）：
１ 自适应滤波算法
自适应滤波的原理就是利用前一时刻己获得的滤波参数等结果，自动地调节现时刻的滤波参数，从而
达到最优化滤波． 自适应滤波具有很强的自学习、自跟踪能力，适用于平稳和非平稳随机信号的检测和估
计． 自适应滤波一般包括个模块滤波结构、性能判据和自适应算法． 自适应滤波理论由 Ｂ．Ｗｉｄｒｏｗ 等人于
ｓｑｕｒｅ）自适应滤波收敛速度快，坚韧性强，且跟卡尔曼自适应滤波相比计算效率高 ． 但是 ＲＬＳ 算法的运算量
为 Ｏ（Ｌ２），相比 ＬＭＳ 自适应滤波 Ｏ（Ｌ）的计算量还是相当可观的（Ｌ 为滤波器的抽头系数）． 尽管有快速 ＲＬＳ
算法的提出可使运算量降至 Ｏ（Ｌ），但是 ＲＬＳ 算法的发散性，使得它们难以应用 ． 而计算复杂度较低、结构
简单的 ＬＭＳ 自适应滤波器就得到了广泛的应用 ．
２ ＬＭＳ 自适应滤波器设计
２．１ 时域 ＬＭＳ 自适应滤波器 如图 １ 中是 ｙ（ｎ）是滤波后的输出信号，ｄ（ｎ）是期望输出信
（ｘ ｎ）
未知系统
ＬＭＳ 自适应 滤波算法
＋ （ｖ ｎ）
＋
＋ ｄ（ｎ）
（ｙ ｎ） －
（ｅ ｎ）
号，ｅ（ｎ）是误差信号，ｖ（ｎ）是干扰信号． 定义 ｘ（ｎ）＝［ｘ（１）ｘ（２）… ｘ（Ｎ）］Ｔ 为 ｎ 时刻的输入向量，Ｗ（ｎ）为 ｎ 时刻 Ｎ 阶自适应滤波
参考文献：
［１］ 陶 然，齐 林，王 越． 分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换的原理与应用［Ｍ］． 北京：清华大学出版社，２００４． ［２］ Ｏｚａｋｔａｓ Ｈ Ｍ，Ｋｕｔａｙ Ｍ Ａ，Ｚａｌｅｖｓｋｙ Ｚ． Ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｗｉｔｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｏｐｔｉｃｓ ａｎｄ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ［Ｍ］．