规划数学(运筹学)第三版课后习题答案 习 题 1(1)

习 题 1

1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥++=0

x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21

212121， ⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥+≤++=0

x ,x 124x 3x 2

x 2x 2x 3x maxz )b (2121212

1

⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8

x 310x 5120

10x 6x x x maxz )c (21

212

1

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤+-≥-+=0

x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T

); (b)无可行解;

(c)唯一解16*,)

6,10(*==z X T

); (d)无界解）

2 用单纯形法求解下列线性规划问题。

⎪⎩⎪⎨⎧≥

≤+≤++=0

x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21

212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

≥

≤+≤+≤+=0

x ,

x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212

12122

1 答案：

(a)唯一解5.17*,)

5.1,1(*==z X T

)，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T

; (b)唯一解5.8*,)

5.1,5.3(*==z X T

）

，5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T

3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥+++-=0

x x x 0x 2x 2x 2x 6

x x x 2x x 2x maxz )a (3

,

2,

13231321

321 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0

x ,

x ,

x 62x 3x 82x 4x x

x 3x 2x minz )b (321

21

3

21

3

21

答案：

(a)无界解；(b)唯一解8*,)

0,8.1,8.0(*==z X T

)，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T

4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。

表1-54 初始单纯形表

表1-55 单纯形法迭代后的表

表1-55基变量x 1列向量⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=0'

1

p ，所以g=1,h=0

（2）初始表 ,,

j p b 某步表j p B b B

11

,

--

有已知表查出⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=-12/102/11

B

,341612/102/141

=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-f f f b B

201112/102/10111

=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b b p B

5,42312/102/1221

==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-i c i c i p B

2

,21112/102/11131

=-=⇒⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-e d e d p B （3）初始表主元行×（-主元检验数/主元）加到检验数行得下一步表的检

验数行。

表1-54第一行系数×（-a/b ）+表1-54检验数行=表1-54检验数行

即：0,2

1

,2,712=-==+-=--l a k j a a

故：0,2

3

,5,3=-===l k j a

。

5某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，都分别经A、B两道工序加工。设A工序可分别在设备A1或A2上完成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成B工序。已知产品Ⅰ可在A、B任何一种设备上加工；产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据见下表1-56，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。

6 一家糖果商店出售三种不同品牌的果仁糖，每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、胡桃仁。为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的，如下表1-57所示：

表1-57 每个品牌中所含有的果仁的比例表

商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，使周利润最大。建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。 7 写出下列线性规划问题的对偶问题。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥=+≤++≥++++=无约束

3213

21321321321x 0,

x ,x 5

3x 4x x 33x x 2x

2

4x 3x x 4x 2x 2x minz )a ( ⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥+==<=≤=∑∑∑===)n ,,1n j (x )n n ,,1j (0x )m ,,1m i (b x a )m m ,,1i (b x a x c maxz )b (1j

1j 1i n 1j j ij 1i n 1j j ij n

1

j j

j 无约束 答案： （a ）

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥=++≤++≤++++=ω无约束

3213

21321321321x 0,

x ,x 4

3x 3y 4y 24y y 3y

2

y 2y y 5y 3y 2y max （b ）

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥+==+<=≥++=ω∑∑∑∑∑∑=+==+=+==)m ,,1i (v )n ,,1i (0

u )n ,...,1n j (c v a u a )n n ,,1j (c v a u a v b u b min 1i

1i 1j m 1i m

1m i i

ij i ij 1j m 1i m 1m i i ij i ij m

1

m i i

i m 1

i i i 11

1

111

m m 无约束