第二章非平衡统计物理基础

隧穿，随机共振，马达输运。 ? 概率，演化，期望，……
耗散系统（布朗系统）
? 耗散系统模型具有广泛的运用； ? 耗散系统的动力学描述是布朗运动，这种描述便于数值模拟； ? 耗散系统是动力学复杂性与统计简单性的结合。
系统
系统 热浴
系统与热浴的相互作用仅提供给系统阻尼和随机力，而不再有其他影响。
研究布朗系统的 两种等价的理论
随机性
? 自然界的两类过程
? 确定性过程：已知系统初始时刻的状态，就可以完全确定以 后时刻的状态。
? 随机过程：不可预知的因素会对过程的结果起决定的作用 (骰子)，过程是完全偶然的，无法预先确定的。
? 随机过程中可能出现的事件叫随机事件。
? 随机性的动力学根源：随机力（噪声） ? 噪声的作用：扰动，阻尼，耗散；巨涨落（决定演化方向），
非平衡统计物理基础 ——噪声与随机动力学
《蒙特卡罗方法》讲义 第二部分
引言
天体和宇宙中的层次
? 宏观世界的层次性
基本粒子
原子分子
热力学体系、化学、 生命物质
生物
生物界
? 宏观各种运动间存在很多内在联系
? 宏观运动规律与微观运动间有密切联系
? 统计物理学是联系微观与宏观的纽带
? 宏观体系的基本属性：耗散性（阻尼，非平衡，不可 逆性），突变现象（相变，尤其是非平衡相变），有 限时间……
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将q? (t)代入方程(1)，即可得系统演化的动 力学方程
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对热浴中的粒子 建立随机动力学方程，
即朗之万方程(LE)
从马尔科夫过程的主方程 出发，得到关于分布函数 随机演化的二阶偏微分方 程，即Fokker-Planck方
程（FPE）。
系统加热浴模型 ——随机动力学
系统加热浴的总哈密顿量写成
其中
H ? Hs ? Hr ? HI P2
H s ? 2M ? V(Q)
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1 M
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最后整理得到：
外部势场
阻尼核函数
随机力 即噪声 Noise
? MQ??? ? ?V(Q) ? M t ? (t ? s)Q?(s)ds ? ? (t)
强度、谱密度、分布
包含哪些频率成分？何种频率成分占优势？各种频率成分的能量是多少？
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S(?
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? R????? ? (t)? (0)
exp(i? t)dt ??? ?
2 ? ? (t)? (0) 0
cos(? t)dt
阻尼核函数
噪声关联函数
功率谱函数
扩散的分类（爱因斯坦关系）
1、正常扩散： ?x(t) ? x(0)?2 ~ Kt
1 2
m?
?
2 ?
q~?2 (0)
1 ? 2 m?
q??2 (0)
1 ? 2 kBT,
考虑到振子之间的独立 性，应有
q~? (0)q?? (0) ? 0.
q~? (0)q~? (0)
?
kBT
m?
?
2 ?
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,
q?? (0)q?? (0)
?
kBT m?
? ??
.
首先来看噪声 ? (t)的一次矩：
随机动力学是物理学对复杂系统介于微观和宏观之间的一种描述方法。
假设初始时刻 (t ? 0)，热浴振子处于力学平 衡，并假设初始时刻热 浴振子 与系统脱耦，即 Q(0) ? 0, q~? (0) ? q? (0).
则有
q~? (0) ? 0,
q?? (0) ? 0;
由于t ? 0时刻振子处于热平衡态 ，根据能均分定理，可 得
此即广义涨落耗散定理，它给出了热浴对系统的两个（并且是所有的）作用 ——噪声与阻尼——之间应满足的关系，从而约束并明确了布朗运动的动力学定义。
内部噪声
热浴振子对系统的随机碰撞
噪声
三 要 素Biblioteka Baidu
同一起源，两者满足涨落耗散定义 非同一起源，不受涨落耗散定义约束
阻尼
外部噪声
外部输入或者外部信号控制的无规涨落
假设热浴（环境）由 N个谐振子组成，为简单 起见，采用可分离的 系统坐标和环境坐标双 线性耦合的形式：
? H r ? H I
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为得到系统演化的动力 学方程，应用正则方程 ，可得
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?Q
0
该项表明了系统演化对历史的记忆 因此是耗散的、不可逆的
阻尼和噪声具有同一起源 ——热浴分子对系统的随
机作用（碰撞）
即描述随机耗散系统的动力学方程——广义朗之万方程 General Langevin Equation (GLE)
处于热浴中的系统
涨落
耗散
满足怎样的关系？
噪声
同一起源
阻尼
涨落耗散定理
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说明噪声是无偏统计量；
接下来来看噪声的关联 函数：
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2、反常扩散： ?x(t) ? x(0)?2 ~ K? t?
欠扩散：0 ? ? ? 1, (? ? 0,局域化) 超扩散：1 ? ? ? 2, (? ? 2, 弹道扩散)