4.1-一阶逻辑命题符号化new
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一阶逻辑基本概念谓词逻辑(离散数学)
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一、个体词、谓词、量词的概念
个体常项：具体的客体，用a, b, c表示。
个体变项：抽象或泛指的事物，用x, y, z表示。 例：x高于y。x，y都是个体变项。 个体域（论域）: 个体变项的取值范围。
有限个体域 即个体域是 有限集合
无限个体域 即个体域是 无穷集合
全总个体域 宇宙间一切 事物组成。
“ 1”, 则 L(2,1) 就是命题“ 21” 。此时二元谓
词变成0元谓词。
同理：一元谓词F(x)中的x代以个体“小王”， 则F(小王)就是命题“小王是女孩”。也是0
元谓词。
谓词逻辑包括命题逻辑。
9
一、个体词、谓词、量词的概念
例1：用0元谓词将下述命题符号化。 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 该命题为真命题。 在一阶逻辑中, 设 a：墨西哥； F(x)：x位于南美洲； 符号化为F(a)
35
4.
二、个体变项的自由出现与约束出现
例1：说明以下各式量词的辖域与变元的约 束情况：
（1） x(F(x,y)G(x,z))
A=(F(x,y)G(x,z))为的辖域， x为指导变元, A中x的两次出现均为约 束出现，y与z均为自由出现。
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二、个体变项的自由出现与约束出现
（ 2 ）xy( P( x, y) Q( x, y )) xP( x, y)
（ 2 ）x( F ( x, y) yG( x, y, z ))
x( F ( x, y ) tG( x, t , z ))
或 x( F ( x, w ) yG( x, y, z ))
三、公式的解释
引例：给定公式 A=x(F(x)G(x)) 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得A = 成真解释
一、个体词、谓词、量词的概念
个体常项：具体的客体，用a, b, c表示。
个体变项：抽象或泛指的事物，用x, y, z表示。 例：x高于y。x，y都是个体变项。 个体域（论域）: 个体变项的取值范围。
有限个体域 即个体域是 有限集合
无限个体域 即个体域是 无穷集合
全总个体域 宇宙间一切 事物组成。
“ 1”, 则 L(2,1) 就是命题“ 21” 。此时二元谓
词变成0元谓词。
同理：一元谓词F(x)中的x代以个体“小王”， 则F(小王)就是命题“小王是女孩”。也是0
元谓词。
谓词逻辑包括命题逻辑。
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一、个体词、谓词、量词的概念
例1：用0元谓词将下述命题符号化。 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 该命题为真命题。 在一阶逻辑中, 设 a：墨西哥； F(x)：x位于南美洲； 符号化为F(a)
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4.
二、个体变项的自由出现与约束出现
例1：说明以下各式量词的辖域与变元的约 束情况：
（1） x(F(x,y)G(x,z))
A=(F(x,y)G(x,z))为的辖域， x为指导变元, A中x的两次出现均为约 束出现，y与z均为自由出现。
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二、个体变项的自由出现与约束出现
（ 2 ）xy( P( x, y) Q( x, y )) xP( x, y)
（ 2 ）x( F ( x, y) yG( x, y, z ))
x( F ( x, y ) tG( x, t , z ))
或 x( F ( x, w ) yG( x, y, z ))
三、公式的解释
引例：给定公式 A=x(F(x)G(x)) 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得A = 成真解释
第四部分一阶逻辑基本概念教学课件
存在量词： x表示个体域里有一个个体x
对应日常语言中的“存在”、“有一个”等
一元谓词F(x)个体域为D， xF(x)真值
• xF(x)为真：F(a)为真，存在某个aD • xF(x)为假：F(a)为假，对任意aD
xyG(x,y)：个体域里存在个体x,y有关系G 全称量词与存在量词联合
命题之间的联系无法刻画
命题逻辑的表示能力缺陷
命题演算的基本单元为简单命题 不能研究命题的结构、成分和内部逻辑的特征 不能表达二个原子命题所具有的共同特征，无法
处理一些简单又常见的推理3源自4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑
对命题做进一步分解 揭示命题的内部结构以及命题间的内在联系
命题分解
• 全称量化中，特性谓词常作为蕴涵式的前件 • x（M(x)F(x)) • 存在量化中，特性谓词常作为合取项之一 • x (M(x)G(x))
14
4.1 一阶逻辑命题符号化
例：将下列命题符号化并判断真假值
凡是学生都需要学习和考试 在北京工作的人未必是北京人 没有人登上过木星
15
4.1 一阶逻辑命题符号化
P(x1,…,xn): Dn{F,T}，D为个体域 不带个体变项的谓词为0元谓词，当为谓词常项时
，即命题
6
4.1 一阶逻辑命题符号化
例:将下列命题用0元谓词符号化
2既是素数又是偶数
• F(x)：x是素数 • G(x)：x是偶数 • a:2 • F(a) G(a)
例:将下列命题用0元谓词符号化
• xF(x)为真：F(a)为真，对所有aD • xF(x)为假：F(a)为假，对某个aD
xyG(x,y)：个体域里所有个体x,y有关系G
• xyG(x,y)为真：G(a,b)为真，对所有a,bD • xyG(x,y)为假：G(a,b)为假，对某对a,bD
对应日常语言中的“存在”、“有一个”等
一元谓词F(x)个体域为D， xF(x)真值
• xF(x)为真：F(a)为真，存在某个aD • xF(x)为假：F(a)为假，对任意aD
xyG(x,y)：个体域里存在个体x,y有关系G 全称量词与存在量词联合
命题之间的联系无法刻画
命题逻辑的表示能力缺陷
命题演算的基本单元为简单命题 不能研究命题的结构、成分和内部逻辑的特征 不能表达二个原子命题所具有的共同特征，无法
处理一些简单又常见的推理3源自4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑
对命题做进一步分解 揭示命题的内部结构以及命题间的内在联系
命题分解
• 全称量化中，特性谓词常作为蕴涵式的前件 • x（M(x)F(x)) • 存在量化中，特性谓词常作为合取项之一 • x (M(x)G(x))
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4.1 一阶逻辑命题符号化
例：将下列命题符号化并判断真假值
凡是学生都需要学习和考试 在北京工作的人未必是北京人 没有人登上过木星
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4.1 一阶逻辑命题符号化
P(x1,…,xn): Dn{F,T}，D为个体域 不带个体变项的谓词为0元谓词，当为谓词常项时
，即命题
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4.1 一阶逻辑命题符号化
例:将下列命题用0元谓词符号化
2既是素数又是偶数
• F(x)：x是素数 • G(x)：x是偶数 • a:2 • F(a) G(a)
例:将下列命题用0元谓词符号化
• xF(x)为真：F(a)为真，对所有aD • xF(x)为假：F(a)为假，对某个aD
xyG(x,y)：个体域里所有个体x,y有关系G
• xyG(x,y)为真：G(a,b)为真，对所有a,bD • xyG(x,y)为假：G(a,b)为假，对某对a,bD
屈婉玲离散数学第四章
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
9
实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
10
4.2 一阶逻辑公式及解释
14
封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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离散数学 第四章 一阶逻辑基本概念
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§4.1 一阶逻辑命题符号化
（3）没有人登上过木星。 令H(x):x登上过木星， M(x):x是人。命题符号化为 ┐x(M(x)∧H(x))。 命题真值为真。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号化 ┐x(F(x)→G(x)) 命题真值为真。
个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在 联系和数量关系。
4
§4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素
个体词
谓词
量词
5
个体词及相关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体的 或抽象的客体。
举例
命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。 命题：他是三好学生。 个体词：他。
个体域为全总个体域
令 M(x):x是人 , F(x):x呼吸 , G(x):x用左手写字
能否将”凡人都呼吸”符号化为 (∀x) (M(x)∧F(x) ) ？ 不可以。 (∀x) (M(x)∧F(x) )表示宇宙中的万物都是人并 且会呼吸 能否将”有的人用左手写字”符号化为 (x)( M(x)→G(x) ) ？ 不可以。(x)( M(x)→G(x) ) 表示在宇宙万物中存在某个 个体x,”如果x是人则x会用左手写字”
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个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母 a, b, c,…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x, y, z,… 表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 可以是无穷集合，如N，Z，R，…。 全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。
F4一阶逻辑基本概念
(a)非空个体域 DI . (b) DI 中一些特定元素的集合{a1,a2 , …,ai , …}. (c) DI 上特定函数的集合{fin|i, n 1}. (d) DI 上特定谓词的集合{Fin|i, n 1}. †其实质是明确公式中各个变项, 繁琐之处毋庸细究.
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
4.1 一阶逻辑命题符号化new
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（4）不存在跑的同样快的两只兔子。 命题可看成“存在跑的同样快的两只兔子”的否定 命题可以符号化为： ┐xy（F（x）∧F（y）∧L（x，y）） 命题也可看成“任意的两只兔子跑的不一样快” 命题也可以符号化为： xy（F（x）∧F（y）→ ┐L（x，y））
23
使用多元谓词符号化命题时的注意点： （1）使用n元谓词符号化命题需要n个量词。 （2）有些命题的倒后会改变命题的含义。 例 如 ： 考 虑 个 体 域 为 实 数 集 ， H（x，y） 表 示 “x+y=10”。 则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符 号化为： x y H（x，y），命题为真命题。 颠倒顺序后，得 y x H（x，y），这表示“存在 y，对任意的x有x+y=10”，显然是假命题。
17
（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 命 题 可 看 成 “存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。 令F（x）：x是在美国留学的学生； G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
24
思考：符号化命题：张三的父亲是校长。 解一：令F(x)：x是校长，a：张三的父亲 命题符号化为F(a) 解二：令F(x)：x的父亲是校长，a：张三 命题符号化为F(a) 解三：令F(x)：x是校长，G(x, y)：x是y的父亲 M(x)：x是人，a：张三 命题符号化为x(M(x)∧G(x, a)∧F(x)) 解四：设F(x): x是校长，f(x): x的父亲，a：张三 命题符号化为：F(f(a))) 谓词是一个完整的句子；函数则是一个短语
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例 将下列命题符号化。 （1）所有的人都长着黑头发。 （2）有的人登上过月球。 （3）没有人登上木星。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。
（4）不存在跑的同样快的两只兔子。 命题可看成“存在跑的同样快的两只兔子”的否定 命题可以符号化为： ┐xy（F（x）∧F（y）∧L（x，y）） 命题也可看成“任意的两只兔子跑的不一样快” 命题也可以符号化为： xy（F（x）∧F（y）→ ┐L（x，y））
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使用多元谓词符号化命题时的注意点： （1）使用n元谓词符号化命题需要n个量词。 （2）有些命题的倒后会改变命题的含义。 例 如 ： 考 虑 个 体 域 为 实 数 集 ， H（x，y） 表 示 “x+y=10”。 则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符 号化为： x y H（x，y），命题为真命题。 颠倒顺序后，得 y x H（x，y），这表示“存在 y，对任意的x有x+y=10”，显然是假命题。
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（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 命 题 可 看 成 “存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。 令F（x）：x是在美国留学的学生； G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
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思考：符号化命题：张三的父亲是校长。 解一：令F(x)：x是校长，a：张三的父亲 命题符号化为F(a) 解二：令F(x)：x的父亲是校长，a：张三 命题符号化为F(a) 解三：令F(x)：x是校长，G(x, y)：x是y的父亲 M(x)：x是人，a：张三 命题符号化为x(M(x)∧G(x, a)∧F(x)) 解四：设F(x): x是校长，f(x): x的父亲，a：张三 命题符号化为：F(f(a))) 谓词是一个完整的句子；函数则是一个短语
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例 将下列命题符号化。 （1）所有的人都长着黑头发。 （2）有的人登上过月球。 （3）没有人登上木星。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。
4一阶逻辑基本概念
4
东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
使用谓词表达一个命题时, 使用谓词表达一个命题时,若谓词字母联系 着一个个体变元,则称作一元谓词 一元谓词; 着一个个体变元,则称作一元谓词;若谓词 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词 二元谓词; 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词; 若谓词字母联系着n个个体变元 则称作n元 个个体变元, 若谓词字母联系着 个个体变元,则称作 元 谓词. 谓词. 一般个体变元的位置是有规定的. 一般个体变元的位置是有规定的. 河南省北接河北省. 北接河北省 例:河南省北接河北省. n L b 写成二元谓词为:L(n,b) . 写成二元谓词为:
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东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
存在量词 符号: 读作"存在一个" 对于一些" 符号:"" ,读作"存在一个","对于一些" 等. 例: (a)某个人很聪明 某个人很聪明 (b)某些实数是有理数 某些实数是有理数 规定M(x):x是人;C(x):x很聪明;R1(x): 是人; 很聪明; 解:规定 : 是人 : 很聪明 : 是有理数. x是实数;R2(x):x是有理数. 是实数; : 是有理数 是实数 (a) x (M(x) ∧C(x)); ; (b) x (R1(x) ∧ R2(x)) .
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东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
将谓词转化为命题 对变元量化
谓词F(x) :"x是质数" 是质数" 谓词 是质数 论域为I, 为假, 为真. 论域为 , x F(x) 为假, x F(x) 为真. 量化后命题的真值与论域有关. 量化后命题的真值与论域有关.
东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
使用谓词表达一个命题时, 使用谓词表达一个命题时,若谓词字母联系 着一个个体变元,则称作一元谓词 一元谓词; 着一个个体变元,则称作一元谓词;若谓词 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词 二元谓词; 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词; 若谓词字母联系着n个个体变元 则称作n元 个个体变元, 若谓词字母联系着 个个体变元,则称作 元 谓词. 谓词. 一般个体变元的位置是有规定的. 一般个体变元的位置是有规定的. 河南省北接河北省. 北接河北省 例:河南省北接河北省. n L b 写成二元谓词为:L(n,b) . 写成二元谓词为:
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4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
存在量词 符号: 读作"存在一个" 对于一些" 符号:"" ,读作"存在一个","对于一些" 等. 例: (a)某个人很聪明 某个人很聪明 (b)某些实数是有理数 某些实数是有理数 规定M(x):x是人;C(x):x很聪明;R1(x): 是人; 很聪明; 解:规定 : 是人 : 很聪明 : 是有理数. x是实数;R2(x):x是有理数. 是实数; : 是有理数 是实数 (a) x (M(x) ∧C(x)); ; (b) x (R1(x) ∧ R2(x)) .
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4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
将谓词转化为命题 对变元量化
谓词F(x) :"x是质数" 是质数" 谓词 是质数 论域为I, 为假, 为真. 论域为 , x F(x) 为假, x F(x) 为真. 量化后命题的真值与论域有关. 量化后命题的真值与论域有关.
离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化
说明： x yG(x, y) 和 x yG(x, y)表示的含义不同！
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四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
第 16 页
总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
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四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
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总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
一阶逻辑基本概念详解
注:在推理中如不指明所采用的个体域,都是使用全总个体域.
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3
Hale Waihona Puke 谓词谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词P55 谓词常项 表示具体性质或关系。如, F(a)：a是人 谓词变项 表示抽象的或泛指的性质或关系。如, F(x)：x具 有性质F n（n1）元谓词： 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项 如 P56 例4.1
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量词
量词——表示数量的词
全称量词: 表示所有的.
x : 对个体域中所有的x
如, xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F
xyG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G
存在量词: 表示存在, 有一个.
x : 个体域中有一个x
如, xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F
xyG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系G
(1) x(M(x)F(x)) (2) x(M(x)G(x))
1. 引入特性谓词M(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公
式 2020/9/25
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实例3
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数
解 (注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域) (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y
xyG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得
x和y有关系G
xyG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y,
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Hale Waihona Puke 谓词谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词P55 谓词常项 表示具体性质或关系。如, F(a)：a是人 谓词变项 表示抽象的或泛指的性质或关系。如, F(x)：x具 有性质F n（n1）元谓词： 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项 如 P56 例4.1
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量词
量词——表示数量的词
全称量词: 表示所有的.
x : 对个体域中所有的x
如, xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F
xyG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G
存在量词: 表示存在, 有一个.
x : 个体域中有一个x
如, xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F
xyG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系G
(1) x(M(x)F(x)) (2) x(M(x)G(x))
1. 引入特性谓词M(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公
式 2020/9/25
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实例3
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数
解 (注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域) (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y
xyG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得
x和y有关系G
xyG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y,
个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化一阶逻辑公式及其
解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美
(2) xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美
(1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x))
1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公
式
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实例3
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>yF(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于北美洲 .
(2) F( 2 )G( 3 ),
其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 (3) F(2, 3)G(3, 4)，其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x<y
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实例2
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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一阶语言L 的项与原子公式
定义4.2 L 的项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项.
(2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的 n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项.
(2) xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美
(1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x))
1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公
式
7
实例3
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>yF(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于北美洲 .
(2) F( 2 )G( 3 ),
其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 (3) F(2, 3)G(3, 4)，其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x<y
6
实例2
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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一阶语言L 的项与原子公式
定义4.2 L 的项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项.
(2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的 n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项.
4.1-一阶逻辑命题符号化newPPT课件
（1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。
（2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
命题可看成“存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。
令F（x）：x是在美国留学的学生；
G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人
（1）令F（x）：x长着黑头发
可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。
命题符号化为：x（M（x）→F（x））
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（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。
（2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
命题可看成“存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。
令F（x）：x是在美国留学的学生；
G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人
（1）令F（x）：x长着黑头发
可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。
命题符号化为：x（M（x）→F（x））
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（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
06 第四章 一阶逻辑基本概念
练习-将命题符号化 练习 将命题符号化: 将命题符号化
所有的人都要死， 所有的人都要死， 苏格拉底是人， 苏格拉底是人， 所以， 所以，苏格拉底是要死的
4.2 一阶逻辑公式及解释
定义（一阶语言） 一阶语言L 的字母表定义如下： (1)个体常项：a, b, c,L, ai , bi , ci ,L (2)个体变项：x, y, z,L, xi , yi , zi ,L （ ）函数符号：f , g, h,L, fi , gi , hi ,L, 3 （ ）谓词符号：F, G, H,L, Fi , Gi , Hi ,L 4 （ ）量词符号： ∀ ∃ 5 （ ）联结词符号：¬，，， ， 6 ∧ ∨ → ↔ （ ）逗号和括号：（）， 7
定义（ 定义（代换实例） 的命题公式， 设 A0是含命题变项p1 , p2 ,L, pn的命题公式， A , A2 ,L, An是n个谓词公式，用Ai 1 ≤ i ≤ n 个谓词公式， （ ） 1 处处代替A0中的pi , 所得的公式A称为A0的 代换实例
定理 重言式的代换实例都是永真式， 矛盾式的代换实例都是矛盾式
判断下列公式的类型： 例 判断下列公式的类型： (1) ∀xF( x) →∃xF( x) (2) ∀x∃yF( x, y) →∃x∀yF( x, y) (3) ∃x(F( x) ∧ G( x)) →∀yG( y)
作业： 作业： 2，5，10(1,3), 11(1, 3, 5) ， ，
定义（ 定义（指导变元） 中， 在公式 ∀xA 和 ∃xA 中，称x为指导变元，A为 的辖域中， 相应量词的辖域。在∀x和∃x的辖域中，x的 所有出现都称为约束出现，A 中不是约束出现 的其他变项均称为自由出现的 由出现的
指出下列公式的指导变元，各量词的辖域， 例 指出下列公式的指导变元，各量词的辖域， 自由出现以及约束出现的个体变项： 自由出现以及约束出现的个体变项： (1) ∀x(F( x, y) → G( x, z)) (2) ∀x(F( x) → G( y)) →∃y( H( x) ∧ L( x, y, z))
4.1 一阶逻辑的符号化PPT课件
(4.14) (4.15)
┐ x y(F(x)∧F(y)∧L(x,y))
(4.16)
注 1. 一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换. 意 2. 有些命题的符号化形式可不止一种.
由于引进了个体词，谓词和量词的概念，现 在可以将本章开始时讨论的推理在一阶逻辑中符号 化为如下形式:
x(F(x) →G(x)) ∧F(a)→G(a) (4.21) 其中，F(x): x 是偶数. G(x):x能被2整除. a: 6.
3）有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓词， 例如, F(a), G(a,b), P( a1, a2, …, an )等都是0元谓词. 当F, G, P为谓词常项时，0元谓词为命题.
这样一来，命题逻辑中的命题均可以表示成0 元谓词，因而可以将命题看成特殊的谓词.
例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号 化，并讨论它们的真值:
所以 (4.10) 表示的命题为真.
(3) 令H(x):x登上过木星. 命题(3)符号化形式为
┐ x ( M(x)∧H(x) )
(4.11)
到目前为止，对于任何一个人 (含已经去世的人)
都还没有登上过木星，
所以对任何人a， M(a)∧H(a) 均为假，
因而 x ( M(x)∧H(x) )为假， 所以(4.11)表示的命题为真 .
G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以(2)中命题为假.
三、量词
有了个体词和谓词之后, 有些命题还是不能准确 的符号化，原因是还缺少表示个体常项或变项之 间数量关系的词. 称表示个体常项或变项之间数 量关系的词为量词. 量词可分两种:
全称量词 存在量词
1 全称量词
(1) 凡人都呼吸. (2) 有的人用左手写字. 其中: (a)个体域 D1为人类集合； (b)个体域 D2为全总个体域.
离散数学第四章
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）∀x（M（x）→F（x）） （2）∃x（M（x）∧ G（x））
13
例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
10
量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有的”，
“任意的”，“每一个”等等，用符号“∀”表示。 用∀x表示对个体域里的所有个体，∀xF(x)表示个体
域里的所有个体都有性质F。 ∀x∀yG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：∀xF（x） 命题（2）的符号化均为：∃xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
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第四章 一阶逻辑的基本概念
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
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例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
10
量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有的”，
“任意的”，“每一个”等等，用符号“∀”表示。 用∀x表示对个体域里的所有个体，∀xF(x)表示个体
域里的所有个体都有性质F。 ∀x∀yG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：∀xF（x） 命题（2）的符号化均为：∃xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
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第四章 一阶逻辑的基本概念
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4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
第四章 一阶逻辑基本概念
4.2 一阶逻辑公式及解释
一阶语言——用于一阶逻辑公式的形式语言 用于一阶逻辑公式的形式语言 一阶语言 一、一阶语言F与合式公式 一阶语言 与合式公式 1．F的字母表，定义 一阶语言 的字母表定义如下： ． 的字母表 定义4.1 一阶语言F的字母表定义如下 的字母表， 的字母表定义如下： （1）个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i ≥1 ）个体常项： （2）个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i ≥1 ）个体变项： （3）函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i ≥1 ）函数符号： （4）谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i ≥1 ）谓词符号： （5）量词符号：∀, ∃ ）量词符号： （6）联结词符号：¬, ∧, ∨, →, ↔ ）联结词符号： （7）括号与逗号：(, ), ， ）括号与逗号：
2 是无理数仅当 3 是有理数
（3）如果 ）如果2>3，则3<4 ， 要求： 先将它们在命题逻辑中符号化， 要求 ： 先将它们在命题逻辑中符号化 ， 再在一 阶逻辑中符号化
在命题逻辑中： 解：在命题逻辑中： (1)p, p为墨西哥位于南美洲（真命题） 为墨西哥位于南美洲（真命题） 为墨西哥位于南美洲 (2)p→q, 其中，p： 2 是无理数，q： 3 是有理数 其中， ： 是无理数， ： 是有理数. (假命题 假命题) 假命题 (3)p→q, 其中，p：2>3，q：3<4. (真命题 → 其中， ： 真命题) ， ： 真命题 在一阶逻辑中： 在一阶逻辑中： (1)F(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 位于南美洲. ，其中， ：墨西哥， ： 位于南美洲 (2) F( 2) →G( 3), 其中， 是无理数， 其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 ： 是无理数 ： 是有理数 (3)F(2,3)→G(3,4)， → ， 其中， 其中，F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y ： ， ：
第四章一阶逻辑的基本概念详解
谓词常项 谓词变项
如, S： … 是大学生, 如, F： … 具有性质F
S(a)
F(x)
7
在谓词中包含的个体变元数目称为谓词的元数。与一个个 体变元相联系的谓词叫一元谓词，与多个个体变元相联系 的谓词叫多元谓词。
n(n1)元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如：S(x)是一元谓词 L(x,y)：x与 y 有关系 L是二元谓词
xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y) ) )
或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
0元谓词——不含个体变项的谓词
特别的，若F,G,S,L为谓词常项，则方为命题
量词
量词——表示数量的词 (1)全称量词: 表示所有的,任意的，每一个等 x : 对个体域中所有的x 如, xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xyG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G (2)存在量词: 表示存在, 有一个 x : 个体域中有一个x 如, xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F xyG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系G xyG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得 x和y有关系G xyG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y, x和y有关系G
(3) 如果2>3，则3<4
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实例2
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美
(2) xH(x), H(x)：x用左手写字 (b) M(x)：x为人
一阶逻辑命题符号化的三要素
一阶逻辑命题符号化的三要素一、一阶逻辑命题符号化的三要素（一）个体词1. 个体词就像是我们要描述的对象呢。
比如说在“小明是个学生”这个命题里，“小明”就是个体词。
它可以是具体的某个人，像小红、小刚之类的，也可以是某个抽象的东西。
2. 个体词又分为个体常项和个体变项。
个体常项就是那种固定不变的对象，像前面说的小明，他就是特定的一个人，是个个体常项。
而个体变项呢，就像是一个可以代表很多不同对象的变量，就好比我们说“x是一个数”，这里的x就是个体变项，它可以是1、2、3等等很多不同的数哦。
（二）谓词1. 谓词就像是用来描述个体词性质或者个体词之间关系的东西。
还拿“小明是个学生”来说，“是个学生”就是谓词，它描述了小明的一种性质。
再比如“x大于y”，“大于”就是谓词，它描述了x和y之间的关系。
2. 谓词也有一元谓词、二元谓词和多元谓词之分呢。
一元谓词就是只描述一个个体词的性质，像“小红很漂亮”里的“很漂亮”就是一元谓词。
二元谓词是描述两个个体词之间的关系的，像前面说的“x大于y”。
那多元谓词就是描述多个个体词之间关系的啦，比如说“x在y和z之间”，这里的“在……之间”就是多元谓词哦。
（三）量词1. 量词是很有趣的东西呢。
有全称量词和存在量词。
全称量词就像是“所有的”“任意的”这种感觉。
比如说“所有的人都会呼吸”，这里的“所有的”就是全称量词。
它表示这个命题对于所有符合条件的个体词都成立。
2. 存在量词呢，就有点像“存在一个”“有一个”这样的。
例如“存在一个数是偶数”，“存在一个”就是存在量词。
它表示在所有的个体词当中，至少有一个是满足这个命题的。
这三个要素在一阶逻辑命题符号化里可都是非常重要的呢，缺了哪一个都不行哦。
就像盖房子，个体词是砖头，谓词是把砖头组合起来的方式，量词就是规划房子整体结构的东西啦。
离散数学(一阶逻辑的基本概念)
27
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
29
小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
30
22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
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小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
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22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
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13
例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：xF（x） 命题（2）的符号化均为：xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。 （2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
例：（1）π是无理数。（2）小王与小李同岁。 令F（x）：x是无理数 H（x，y）：x与y同岁
7
谓词的元
一个谓词中所包含的个体变项的数目称为该谓词 的元数。含有n（n≥1）个体变项的谓词称为n元谓词。 常用P(x1，x2，…，xn)表示n元谓词。
一元谓词通常表示个体变项具有性质P； n（n≥2）元谓词通常表示个体变项之间具有关系P。
物的集合作为个体域，称为全总个体域。
4
谓词
谓词是用来刻画个体词的性质或个体词之间关 系的词语。
例如：指出下面四个陈述中的个体词和谓词
（1）π是无理数。
（2）王明是程序员。
（3）小王与小李同岁。 （4）x与y具有关系L。
个体词：“π”，“王明”，“小王”，“小李”，“x”， “谓y”词：“…是无理数”，“…是程序员” 个体词的性质
10
量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有
的”， “任意的”，“每一个”等等，用符号“”表示。
用x表示对个体域里的所有个体，xF(x)表示个体 域里的所有个体都有性质F。
（2x）存yG在(x量, y词)表：示对个应体日域常里语的言任中意的两“个存个在体”都，有“关有系一G。 个”，“有的”，“至少有一个”等词，用符号“”表示。
用x表示个体域里有的个体，xF(x)表示个体域里存 在个体具有性质F。
xyG(x, y)表示个体域里存在两个个体具有关系G。
11
例 在个体分别限制为（a）和（b）条件时，将下面
两个命题符号化： （1）所有的人都呼吸。 （2）有的人用左手写字。
个体词“人”需不 需要进行符号化？
其中：（a）个体域D1为人类集合
个体变项：表示抽象的或泛指的个体的词 用小写的英文字母x，y，z…表示
3
个体词
个体域（也称论域）：个体变项的取值范围 个体域可以是有限事物的集合， 如{1,2,3}、{a,b,c}、{中华人民共和国所有公
民}等 也可以是无限事物的集合，如整数集合、实数
集合等。 特别的，当无特殊声明时，将宇宙间的一切事
对命题符号化 解：（1）令F（x）：x是素数，a：2，b：4
则命题符号化为：F（b）→F（a） （2）令G（x，y）：x大于y。a：4，b：5，c：6
则命题符号化为：G（b，a）→G（a，c）
9
有些命题除了个体词和谓词之外，还有表示数 量的词。
例如：（1）所有的人都呼吸。 （2）有的人用左手写字。
14
使用量词时的注意点 （1）在不同的个体域中，命题符号化的形式可能一
样，也可能不一样 （2）在引入特性谓词后，使用全称量词，在不同的个体域中的真值可能不
一样 （4）如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域
为个体域
15
例 将下列命题符号化。 （1）所有的人都长着黑头发。 （2）有的人登上过月球。 （3）没有人登上木星。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。
F，G，H，…表示的是谓词常项还是谓词变项要 根据上下文而定 例如：“…与…具有关系L” 是谓词变项
6
谓词应符号化成个体词和谓词的联合体的形式 如F（a）、F（x）、F（a，b）、F（x，y）等
F（a）表示个体常项a具有性质F； F（x）表示个体变项x具有性质F； F（a，b）表示个体常项a，b具有关系F； F（x，y）表示个体变项x，y具有关系F。
“…与…同岁”，“…与…具有关系L”个体词之间关系
5
谓词的分类
（1）谓词常项：表示具体性质或关系的谓词 用大写英文字母F，G，H，…表示
例如：“…是无理数”，“…是程序员”，“… 与…同
岁”是谓词常项，可以用F表示“…是无理数”，
G（表2）示谓“词…变是项程：序表员”示，抽H象表示的“或…泛与指…的同谓岁”词 也用大写英文字母F，G，H，…表示，
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
第四章 一阶逻辑的基本概念
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
2
个体词
个体词是独立存在的客体，可以是一个具体的 事物，也可以是一个抽象的概念
例如：小王、玫瑰花、黑板、自然数、3、思 想、定理等都可以作为个体词。
个体常项：表示具体的或特定的个体的词 用小写的英文字母a，b，c…表示
（b）个体域D2为全总个体域
解： （a）个体域为人类集合 令F（x）：x呼吸；G（x）：x用左手写字
（1）命题符号化为：xF（x）
（2）命题符号化为：xG（x）
12
（b）现在假设个体域D2是全总个体域
这时， x F（x）和 x G（x）不能表示原命题的 意义了，因为
（1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。
例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：xF（x） 命题（2）的符号化均为：xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。 （2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
例：（1）π是无理数。（2）小王与小李同岁。 令F（x）：x是无理数 H（x，y）：x与y同岁
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谓词的元
一个谓词中所包含的个体变项的数目称为该谓词 的元数。含有n（n≥1）个体变项的谓词称为n元谓词。 常用P(x1，x2，…，xn)表示n元谓词。
一元谓词通常表示个体变项具有性质P； n（n≥2）元谓词通常表示个体变项之间具有关系P。
物的集合作为个体域，称为全总个体域。
4
谓词
谓词是用来刻画个体词的性质或个体词之间关 系的词语。
例如：指出下面四个陈述中的个体词和谓词
（1）π是无理数。
（2）王明是程序员。
（3）小王与小李同岁。 （4）x与y具有关系L。
个体词：“π”，“王明”，“小王”，“小李”，“x”， “谓y”词：“…是无理数”，“…是程序员” 个体词的性质
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量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有
的”， “任意的”，“每一个”等等，用符号“”表示。
用x表示对个体域里的所有个体，xF(x)表示个体 域里的所有个体都有性质F。
（2x）存yG在(x量, y词)表：示对个应体日域常里语的言任中意的两“个存个在体”都，有“关有系一G。 个”，“有的”，“至少有一个”等词，用符号“”表示。
用x表示个体域里有的个体，xF(x)表示个体域里存 在个体具有性质F。
xyG(x, y)表示个体域里存在两个个体具有关系G。
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例 在个体分别限制为（a）和（b）条件时，将下面
两个命题符号化： （1）所有的人都呼吸。 （2）有的人用左手写字。
个体词“人”需不 需要进行符号化？
其中：（a）个体域D1为人类集合
个体变项：表示抽象的或泛指的个体的词 用小写的英文字母x，y，z…表示
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个体词
个体域（也称论域）：个体变项的取值范围 个体域可以是有限事物的集合， 如{1,2,3}、{a,b,c}、{中华人民共和国所有公
民}等 也可以是无限事物的集合，如整数集合、实数
集合等。 特别的，当无特殊声明时，将宇宙间的一切事
对命题符号化 解：（1）令F（x）：x是素数，a：2，b：4
则命题符号化为：F（b）→F（a） （2）令G（x，y）：x大于y。a：4，b：5，c：6
则命题符号化为：G（b，a）→G（a，c）
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有些命题除了个体词和谓词之外，还有表示数 量的词。
例如：（1）所有的人都呼吸。 （2）有的人用左手写字。
14
使用量词时的注意点 （1）在不同的个体域中，命题符号化的形式可能一
样，也可能不一样 （2）在引入特性谓词后，使用全称量词，在不同的个体域中的真值可能不
一样 （4）如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域
为个体域
15
例 将下列命题符号化。 （1）所有的人都长着黑头发。 （2）有的人登上过月球。 （3）没有人登上木星。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。
F，G，H，…表示的是谓词常项还是谓词变项要 根据上下文而定 例如：“…与…具有关系L” 是谓词变项
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谓词应符号化成个体词和谓词的联合体的形式 如F（a）、F（x）、F（a，b）、F（x，y）等
F（a）表示个体常项a具有性质F； F（x）表示个体变项x具有性质F； F（a，b）表示个体常项a，b具有关系F； F（x，y）表示个体变项x，y具有关系F。
“…与…同岁”，“…与…具有关系L”个体词之间关系
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谓词的分类
（1）谓词常项：表示具体性质或关系的谓词 用大写英文字母F，G，H，…表示
例如：“…是无理数”，“…是程序员”，“… 与…同
岁”是谓词常项，可以用F表示“…是无理数”，
G（表2）示谓“词…变是项程：序表员”示，抽H象表示的“或…泛与指…的同谓岁”词 也用大写英文字母F，G，H，…表示，
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
第四章 一阶逻辑的基本概念
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4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
2
个体词
个体词是独立存在的客体，可以是一个具体的 事物，也可以是一个抽象的概念
例如：小王、玫瑰花、黑板、自然数、3、思 想、定理等都可以作为个体词。
个体常项：表示具体的或特定的个体的词 用小写的英文字母a，b，c…表示
（b）个体域D2为全总个体域
解： （a）个体域为人类集合 令F（x）：x呼吸；G（x）：x用左手写字
（1）命题符号化为：xF（x）
（2）命题符号化为：xG（x）
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（b）现在假设个体域D2是全总个体域
这时， x F（x）和 x G（x）不能表示原命题的 意义了，因为
（1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。