线性规划期末复习
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结标题：线性规划知识点总结引言概述：线性规划是运筹学中的一种最基本的数学规划方法，广泛应用于生产、运输、金融等领域。
通过线性规划，可以优化资源分配，最大化利润或者最小化成本。
本文将对线性规划的基本概念、线性规划模型、解决方法、应用领域和优缺点进行总结。
一、基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或者最小值的决策变量的取值。
1.2 决策变量和目标函数：线性规划中，决策变量是需要确定的未知数，而目标函数则是需要优化的目标，通常是最大化利润或者最小化成本。
1.3 约束条件：线性规划模型中的约束条件是对决策变量的限制，可以是等式约束或者不等式约束，用来限制决策变量的取值范围。
二、线性规划模型2.1 标准形式和非标准形式：线性规划模型可以分为标准形式和非标准形式，标准形式要求目标函数是最小化形式，约束条件是等式约束；非标准形式则没有这些限制。
2.2 线性规划的矩阵形式：线性规划可以用矩阵形式表示，目标函数和约束条件可以用矩阵的乘法来表示，这样可以简化问题的求解过程。
2.3 整数规划和混合整数规划：在实际应用中，有时需要考虑变量的取值只能是整数的情况，这时就需要用到整数规划或者混合整数规划。
三、解决方法3.1 单纯形法：单纯形法是解决线性规划问题的经典方法，通过不断挪移顶点来找到最优解，是一种高效的求解方法。
3.2 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。
3.3 整数规划的分支定界法：对于整数规划问题，可以采用分支定界法来求解，通过不断分支和剪枝来逐步逼近最优解。
四、应用领域4.1 生产计划优化：线性规划可以用来优化生产计划，确定最佳生产量和资源分配，以最大化利润或者最小化成本。
4.2 运输网络优化：在物流领域，线性规划可以用来优化运输网络，确定最佳的运输路径和运输量，以提高运输效率。
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
下面通过一些例题来帮助大家更好地理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值问题。
线性约束条件通常是由一组线性等式或不等式组成。
例如：＄2x ＋3y ≤ 12$，＄x y ≥ 1$等。
目标函数一般表示为$Z ＝ ax ＋ by$的形式，其中$a$、＄b$为常数，＄x$、＄y$为决策变量。
可行解是满足所有约束条件的解，可行域是所有可行解构成的集合。
最优解则是使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
二、线性规划的例题例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品 1 件需消耗 A原料 3 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 件需消耗 A 原料 2 千克、B 原料 4 千克。
A 原料有 12 千克，B 原料有 16 千克。
甲产品每件利润为 5 元，乙产品每件利润为 8 元，问该工厂应如何安排生产，才能使利润最大？设生产甲产品$x$件，生产乙产品$y$件。
则约束条件为：＄＼begin{cases}3x ＋2y ≤ 12 ＼＼ 2x ＋4y ≤ 16 ＼＼x ≥ 0, y ≥0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 5x ＋ 8y$画出可行域，通过解方程组找到可行域的顶点坐标，分别代入目标函数计算，可得当$x ＝ 2$，＄y ＝ 3$时，利润最大为$34$元。
例 2：某运输公司有两种货车，每辆大型货车可载货 8 吨，每辆小型货车可载货 5 吨。
现要运输 60 吨货物，且大型货车的使用成本为每次 100 元，小型货车的使用成本为每次 60 元，问如何安排车辆才能使运输成本最低？设使用大型货车$x$辆，小型货车$y$辆。
约束条件为：＄＼begin{cases}8x ＋5y ≥ 60 ＼＼x ≥ 0, y ≥ 0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 100x ＋ 60y$画出可行域，计算顶点坐标代入目标函数，可知当$x ＝ 5$，＄y ＝4$时，成本最低为$740$元。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化线性目标函数。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理科学、工程等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、解法以及应用进行详细总结。
二、基本概念1. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
2. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
3. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
4. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
三、模型构建1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的要求，构建一个线性函数作为目标函数。
3. 约束条件：根据问题的限制条件，构建一系列线性等式或不等式作为约束条件。
四、解法1. 图形法：适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的图形，找出目标函数的最优解。
2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，找出最优解。
3. 整数规划法：适用于决策变量需要为整数的线性规划问题，通过限制变量的取值范围，找出最优解。
4. 网络流法：适用于网络优化问题，通过建立网络模型，找出最优解。
五、应用1. 生产计划：线性规划可以帮助企业制定最优的生产计划，以最小化成本或最大化利润。
2. 资源分配：线性规划可以帮助政府或组织合理分配资源，以满足各方面的需求。
3. 运输问题：线性规划可以帮助解决物流运输问题，以最小化运输成本。
4. 投资组合：线性规划可以帮助投资者选择最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
六、案例分析以生产计划为例，假设某公司有两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。
公司有两个工厂，分别生产产品A和产品B。
工厂1每天生产产品A需要耗费2小时，生产产品B需要耗费1小时；工厂2每天生产产品A需要耗费1小时，生产产品B需要耗费3小时。
线性规划期末试题及答案
线性规划期末试题及答案一、选择题1. 在线性规划中，以下哪个是目标函数？(A) 约束条件(B) 决策变量(C) 目标变量(D) 限制条件答案：(C) 目标变量2. 在线性规划模型中，以下哪个是限制条件？(A) 目标函数(B) 决策变量(C) 目标变量(D) 约束条件答案：(D) 约束条件3. 在线性规划中，如果目标函数系数有变动，但其它条件保持不变，对最优解的影响是：(A) 没有影响(B) 无法确定(C) 会改变最优解(D) 不确定，需要重新求解线性规划模型答案：(A) 没有影响4. 在线性规划中，如果某个约束条件右侧的常数项发生变动，但其它条件保持不变，对最优解的影响是：(A) 没有影响(B) 无法确定(C) 会改变最优解(D) 不确定，需要重新求解线性规划模型答案：(C) 会改变最优解5. 在线性规划中，以下哪个方法可以确定解的有界性？(A) 单纯形法(B) 对偶法(C) 整数规划(D) 罚函数法答案：(A) 单纯形法二、简答题1. 什么是线性规划？请简要描述线性规划的基本思想和应用领域。
答：线性规划是一种数学优化方法，用于解决在一定约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
其基本思想是通过线性规划模型的建立，将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法求解最优解。
线性规划的应用领域非常广泛，包括生产调度、资源分配、投资组合、运输问题等。
2. 简述线性规划模型的一般形式，并解释模型中各要素的含义。
答：线性规划模型的一般形式如下：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量；a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数；b₁,b₂, ..., bₙ为约束条件的常数项。
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，有很多问题都可以通过线性规划来解决，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划的数学模型通常可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_i$是约束条件的右端项。
二、线性规划的解题步骤1、建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件。
2、画出可行域：将约束条件在直角坐标系中表示出来，得到可行域。
3、求出最优解：在可行域内，通过寻找目标函数的等值线与可行域边界的交点，求出最优解。
三、例题分析例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产 1 单位甲产品需要消耗 A 资源 2 单位，B 资源 3 单位，可获利 5 万元；生产 1 单位乙产品需要消耗 A 资源 3 单位，B 资源 2 单位，可获利 4 万元。
现有 A 资源12 单位，B 资源 10 单位，问如何安排生产，才能使工厂获得最大利润？解：设生产甲产品$x_1$单位，生产乙产品$x_2$单位。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
1.线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；
（2）列出约束条件与目标函数；
（3）根据求最值方法：①画：画可行域；
②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；?
（4）验证.
4.两类主要的目标函数的几何意义:
（1）-----直线的截距；
（2）-----两点的距离或圆的半径；
（3）-----直线的斜率。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。
它在各种领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、求解方法和应用进行详细阐述。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标函数是一个线性函数，用于表示需要最大化或者最小化的目标。
1.2 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性等式或者不等式，用于限制变量的取值范围。
1.3 可行解与最优解：线性规划问题存在无穷多个可行解，但惟独一个最优解，即使满足所有约束条件且使目标函数取得最大（或者最小）值的解。
二、线性规划模型构建2.1 决策变量：线性规划模型中的决策变量是需要优化的变量，可以是实数、整数或者二进制数。
2.2 目标函数的构建：根据问题的具体要求，将目标转化为线性函数的形式，并确定是最大化还是最小化。
2.3 约束条件的建立：根据问题的限制条件，将其转化为线性等式或者不等式的形式，并确定约束条件的数学表达式。
三、线性规划的求解方法3.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
通过绘制约束条件的直线或者曲线，找到目标函数的最优解点。
3.2 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，不断改变基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法进行求解。
该方法将线性规划问题转化为整数规划问题，并采用分支定界等算法求解最优解。
四、线性规划的应用4.1 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化产量或者最小化成本。
4.2 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，如确定最佳的人力资源配置、物资采购策略等。
4.3 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，如确定最佳的货物运输路线和运输量，以降低运输成本。
4.4 金融投资：线性规划可以用于优化金融投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是找到一组决策变量的值，使得目标函数达到最大或者最小值。
线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域，可以匡助决策者做出最优的决策。
二、基本概念1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、x3等表示。
2. 目标函数：线性规划的优化目标，可以是最大化或者最小化一个线性函数。
3. 约束条件：对决策变量的限制条件，通常是一组线性不等式或者等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量的取值组合。
5. 最优解：使得目标函数达到最大或者最小值的可行解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解，标准形式包含以下要素：1. 目标函数：通常是最大化或者最小化一个线性函数。
2. 约束条件：一组线性不等式或者等式。
3. 非负约束条件：决策变量的取值必须大于等于零。
四、线性规划的求解方法线性规划可以使用多种方法进行求解，常见的方法有：1. 图形法：适合于二维线性规划问题，通过绘制等式和不等式的图形来确定最优解。
2. 单纯形法：适合于多维线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
3. 内点法：适合于大规模线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
4. 整数规划法：适合于决策变量为整数的线性规划问题，通过搜索算法来寻觅最优解。
五、线性规划的应用线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最优的生产数量和产品组合，以最大化利润或者满足需求。
2. 运输问题：确定最优的运输方案，以最小化运输成本或者最大化运输效率。
3. 资源分配：确定最优的资源分配方案，以最大化资源利用率或者满足需求。
4. 投资组合：确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
5. 作业调度：确定最优的作业调度方案，以最小化作业完成时偶尔最大化资源利用率。
六、线性规划的局限性线性规划虽然在许多问题中有广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，不适合于非线性问题。
运筹学期末复习重点
一、线性规划问题约束条件：不超过各工序可用时间非负约束1）0.7x1+x2≤6302) x1,x2≥0图解法：设定Z值然后带入值取各个公式的两个端点描点画图二、单纯形法步骤：标准化目标函数最大约束条件等式化≤引入松弛变量S ≥剩余变量e 右端非负Max Z=x1+x2. x1+2x2≤6 ,2x1+x2≤16,x1,x2≥0z−x1−x2=0 x1+2x2+s1=6 ,2x1+x2+s2=16 ,x1,x2,s1,s2 ≥0两组约束四个变量故有2个非基本变量，2个基本变量进入变量与离开变量的确定从非基本变量中找一个进入变量（进入到基本变量中），从基本变量中找一个离开变量（作为非基本变量）在Row 0 中，从左往右选择非基本变量中系数最小的作为进入变量（前面化为单位矩阵，为最优解）大M法：步骤同上，约束等式化≤引入松弛变量S ≥剩余变量e+人工变量a（=也是加a）min z=4x1+x2. s.t 3x1+x2=3 ,4x1+3x2≥6, x1+2x2≤4,x1,x2≥0 max z=−4x1−x2−Ma1−Ma2(M=100) s.t 3x1+x2+a1=3 , 4x1+3x2−e2+a2=6, x1+2x2+s3=4,x1,x2,e2,s3,a1,a2 ≥0M假定为无限大正值1.判断是否为最优解ROW a1 a2 系数化为0. 由于此时ROW 0 非基本变量的系数不全为非负数，因此，并非最优解。
进入变量与离开变量的确定重复以上步骤化为单位矩阵取得最优解。
两阶段法：第一阶段：引入人工变量a1,a2 min z=a1+a2 , max z=−a1−a2 min z=4x1+x2, s.t. 3x1+x2=3 ,4x1+3x2≥6 ,x1+2x2≤4,x1,x2≥0 max z=−a1−a2 s.t.3x1+x2+a1=3,4x1+3x2−e2+a2=6x1+2x2+s3=4,x1,x2,e2,s3,a1,a2≥0经过前面变换单位矩阵得到最优解的单纯形表第二阶段：min z=4x1+x2→max z=−4x1−x2将第一阶段最后最优解的单纯形表Row 0 替换为z+4x1+x2=0的系数然后重复上述步骤得到最优解。
数学建模期末复习
一、 线性规划1．求解下列线性规划问题： 共20分 max z=2x 1+7x 2-3 x 3x 1+3x 2+4x 3≤30 （第一种资源限制约束）x 1+4x 2- x 3≤10 （第二种资源限制约束）x 1、x 2、x 3≥0（1） 求出该问题的最优解和最优值；（2） 第二种资源限量由10变为20，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解； （3） 增加一个新变量x 6，其目标函数系数为3，技术消耗系数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛212616a a ，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解。
解：（1）lingo 程序 max =2*x1+7*x2-3*x3;x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=10;最优解（x1 x2 x3）=（10 0 0） 最优值=20（2） max =2*x1+7*x2-3*x3;x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=20;最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0） 最优值=40或对第一题进行灵敏度分析(第二种资源限量可以在0到30范围内变化，最优基解不变最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0）最优值=40)（3）max =2*x1+7*x2-3*x3+3*x4; x1+3*x2+4*x3+x4<=30; x1+4*x2-x3+2*x4<=10;求解得到 最优解（x1 x2 x3 x4）=（10 0 0 0） 最优值=202．某校基金会有一笔数额为5000万元的基金，打算将其存入银行。
当前银行存款的利率见下表2。
取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款可任意支取。
校基金会计划在5年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在5年末仍保留原基金数额。
校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。
请你帮助校基金会设计一个基金最佳使用方案，试建立其模型。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。
它的目标是在一组线性约束条件下，找到一个线性目标函数的最大值或最小值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一组线性约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
三、标准形式线性规划问题可以转化为标准形式，其标准形式如下：最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≥ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≥ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≥ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
四、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法找到最优解。
通过绘制约束条件的直线，找到可行解区域，并通过目标函数的等高线找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题通常更难求解，需要使用特定的算法。
五、线性规划的应用线性规划在实际生活和工作中有广泛的应用，例如：1. 产能规划：通过线性规划方法，可以确定最优的产能配置，以满足市场需求和最大化利润。
2. 运输优化：线性规划可以用于优化物流配送路线，降低运输成本。
运筹学期末复习提纲
dk- ，dk+ ≥ 0 ,
k =1，2，…，K
33
目标规划模型的一般形式：
Min ﹛Pl（∑（ wKlk-dk- + wlk+dk+ ））,l=1,2…,L﹜
k =1
n
∑aij xj ≤（=，≥） bi ，i =1，2，…，m
j =1
S.t.
n ∑ckj xj
+ dk- - dk+ = gk
，
k =1，2，…，K
灵敏度分析
约束条件右端向量b的变化
3 目标规划
目标规划基本概念
（1）偏差变量
d+：正偏差变量，表示决策值超出目标值的部分
d-：负偏差变量，表示决策值未达到目标值的部分
按定义有：d+ ≥0， d- ≥0 ，d+ • d- = 0
（2）绝对约束和目标约束
绝对约束（硬约束）：必须严格满足的约束条件
运筹学复习
1 线性规划
线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论
线性规划的概念
目标能表成求 MAX 或 MIN 达到目标有多种方案 实现目标有一定条件 目标和条件都能用线性函数表示
例如，对于线性规划问题
其系数矩阵为
max z x1 2x2 3x3 6x4
目标约束（软约束）：目标规划特有
（3）优先因子（P）和权系数（W）
优先因子用P1，P2，…， Pl表示，规定 Pl>> Pl+1，表示 Pl比Pl+1有更大的优先权。 （4）目标函数
决策值=目标值
min{ f (d+ + d- ) }
决策值<目标值
第十一讲：矩阵、行列式和线性规划期末复习(学生版)
知识点一、矩阵的概念：1、矩阵的定义：由m n ⨯个数排成的m 行、n 列的矩形数表叫做矩阵，即111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭， 矩阵中的每个数ij a （1i m ≤≤，1j n ≤≤，i 、j ∈N *）叫做矩阵的元素，ij a 表示第i 行第j 列上的元素。
矩阵通常用大写字母表示：()m n ij A a ⨯=（表示m n ⨯阶矩阵），可简记为A ； 2、矩阵的意义：矩形数表；3、相关概念： 1. 行向量、列向量；2. 方矩阵（方阵）、方矩阵的阶；3. 单位矩阵、零矩阵。
二、矩阵的运算：1、矩阵的相等：若()ij A a =、()ij B b =是两个行数与行数相等、列数与列数相等的矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，即ij ij a b =（i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ），称两矩阵相等，记作A B =；2、矩阵的加减：当两个矩阵A 、B 的行数与列数分别相等时，将它们对应位置上的元素相加ij ij ij c a b =+（相减ij ij ij c a b =-），i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ，所得到的矩阵()ij c 称为矩阵A 、B 的和（差），记作A B +（A B -）；3、用矩阵变换的方法解下列线性方程组：（1）25324x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）63252310x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩。
4、在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为ij a （i ，j =1，2……，n ）。
当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=_________。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在诸多领域中都有广泛的应用，如生产计划、物流调度、投资组合等。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、解法和应用进行详细总结。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
它通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性等式或者不等式，限制了决策变量的取值范围。
约束条件通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，其中a₁、a₂、...、aₙ为常数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值组合称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数取得最大值或者最小值的解称为最优解。
二、模型建立1. 决策变量的确定：根据实际问题，确定需要优化的决策变量及其取值范围。
2. 目标函数的建立：根据问题要求，将目标转化为线性函数，并确定系数。
3. 约束条件的建立：根据问题中给出的限制条件，将其转化为线性等式或者不等式，并确定系数。
4. 模型的完整表达：将目标函数和约束条件整合在一起，形成线性规划模型。
三、解法1. 图形法：对于二维或者三维的线性规划问题，可以通过绘制约束条件的图形来找到最优解。
2. 单纯形法：对于高维的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断挪移顶点来寻觅最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划问题通常比线性规划问题更难求解，可以使用分支定界法等算法进行求解。
四、应用1. 生产计划：线性规划可以匡助企业确定最佳的生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 物流调度：线性规划可以优化物流调度方案，使得运输成本最低或者配送时间最短。
运筹期末复习
运筹期末复习2014-2015复习⼀、名词解释（5道，15分）1.优化2.线性规划3.可⾏解4.可⾏域5.基6.基本可⾏解7.影⼦价格8.灵敏度分析9.运输问题10.整数规划11.0-1规划12.松弛问题13.⽬标规划14.偏差变量15.链16.路17.最⼩⽣成树18.PERT⽹络图19.关键路线法20.最早开始时间21.最迟完成时间22.总时差⼆、选择题（10道，20分）1．如果⼀个线性规划问题有n个变量，m个约束⽅程(mA．m个 B．n个 C．C n m D．C m n个2．下列图形所包含的区域不是凸集的是：CA.椭圆形B.三⾓形C.弯⽉形D.长⽅形3.在单纯形表的终表中，若若⾮基变量的检验数有0，那么最优解 CA.不存在B.唯⼀C.⽆穷多D.⽆穷⼤4.在约束⽅程中引⼊⼈⼯变量的⽬的是 DA 体现变量的多样性B 变不等式为等式C 使⽬标函数为最优D 形成⼀个单位阵5.对于线性规划问题标准型：maxZ=CX, AX=b, X≥0, 利⽤单纯形法求解时，每作⼀次迭代，都能保证它相应的⽬标函数值Z必为AA. 增⼤B. 不减少C. 减少D. 不增⼤6.求解线性规划的单纯形法中，最⼩⽐值法则min ,1,,i l ik b i m a θ??==公式中，系数满⾜B A. =0 B. >0 C. <0 D. ⽆限制7.求⽬标函数为极⼤的线性规划问题时，若全部⾮基变量的检验数≤O，且基变量中有⼈⼯变量时该问题有 BA ⽆界解B ⽆可⾏解C 唯⼀最优解D ⽆穷多最优解8.在线性规划问题中，当采⽤⼤M 法求解时，如经过迭代，检验数均满⾜最优判别条件，但仍有⼈⼯变量为基变量，且其不为零，则该线性规划问题为 A 。
A. ⽆可⾏解B.⽆界解C.有最优解D. ⽆穷多最优解9．设X 、Y 分别是标准形式的原问题与对偶问题的可⾏解,则 C 。
10．如果z 。
是某标准型线性规划问题的最优⽬标函数值，则其对偶问题的最优⽬标函数值w ﹡A 。
运筹学[第一章线性规划与单纯形法]山东大学期末考试知识点复习
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第一章线性规划与单纯形法1．线性规划问题的数学模型(1)一般形式(2)标准型式]2．数学模型化为标准型(1)若目标函数实现最小化，则min z=-max z'(令z'=-z)(2)若约束方程为不等式，则若约束方程为“≤”不等式左端+松驰变量(≥0)=右端若约束方程为“≥”不等式左端-剩余变量(≥0)=右端(3)若存在取值无约束的变量x k(1≤k≤咒)，则在标准型中x k=x'k-x"k(其中x k=x'，x"k≥0)3．线性规划的解线性规划问题：(1)可行解：满足约束条件②和③的解X=(x1，x2，…，x n)T。
(2)最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。
(3)基：设A为约束方程组②的m×n阶系数矩阵，设n＞m，其秩为m，B 为矩阵A中的一个m×m阶的满秩子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。
不失一般性，设B中每一个列向量P j(j=1，2，…，m)称为基向量，与基向量PJ对应的变量x j称为基变量。
除基变量以外的变量为非基变量。
(4)基本解：在约束方程组②中，令所有非基变量x m+1=x m+2=…=x n=0，此时方程组②有唯一解X B=(x1，x2，…，x m)T，将此解加上非基变量取0的值有X=(x1，x2，…，x m，0，0…，0)T，称X为线性规划问题的基本解。
(5)基本可行解：满足非负条件③的基本解。
(6)可行基：对应于基本可行解的基。
4．初始基可行解的确定(1)直接从A中观察到存在一个初始可行基。
(2)对所有约束条件是“≤”形式的不等式，可利用化为标准型的方法，在每个约束条件左端加上一个松弛变量，这m个松弛变量就构成一个基变量，则对应的m个向量组成的单位矩阵B就是线性规划问题的一个可行基。
(3)对所有约束条件是“≥”形式的不等式以及等式约束情况，采用人造基的方法。
即对不等式约束的左端减去一个非负的剩余变量后，再加上一个非负的人工变量；对于等式约束的左端再加上一个非负的人工变量。
系统工程期末考试复习资料.docx
系统工程复习整理:一、名词解释（20分）（线性规划，动态规划）二、解答题（单纯循环，对偶单纯循环，化标准形式，Matlab求解线性规划，解整数规划）三、论述题（灰色预测，时间序列（实验），最小二乘，马尔克夫例题）四、案例应用（25分）动态规划一、名词解释（20分）（1）系统工程：是从系统的观点出发，跨学科的考虑问题，运用工程的方法去研究和解决各种系统问题，以实现系统目标的综合最优化。
（2）线性规划：a、可行解:满足线性约束条件和非负条件的决策变量的一组取值。
b、可行解集：所有可行解的集合。
c、可行域：LP问题可行解集构成n维空间的区域，可以表示为： D = {X\AX = b,X>0}d、最优解：使目标函数达到最优值的可行解。
e、最优值：最优解对应目标函数的取值。
f、求解LP问题:求出问题的最优解和最优值。
g、基：设A是约束方程组mXn的系数矩阵，A的秩R（A）=m, B是A中mXm阶非奇异子式（可逆），即|B|尹0,则称B是LP问题的一个基。
（B是由m个互相独立列向量组成）h、基变量:B=「P1,P2，.…Pml,称Pi（i=l,2，.…m）为基向量，与Pj对应的变量xj （j=l,2, 称为基变量,其余的xm+1 , ...,xn为非基变量。
i、基本解:令非基变量等于0,从AX=b中解出的基变量所得的解称为LP关于基B的基本解。
j、基本可行解（对应的基为可行基）：满足非负条件的基本解。
（3）动态规划：a、阶段：是针对所给的问题，依据其若干个相互联系的不同部分，给出的对整个过程的自然划分。
通常根据时间顺序或空间特征来划分阶段,以便按阶段的次序解决优化问题。
引入了一个变量来表示阶段，通常称为阶段变量。
b、状态：就是决策者在作决策时所依据的某一阶段开始时或结束时所处的自然状况或客观条件，它描述过程的特征具有无后效性,即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后过程的演变与该阶段以前的状态无关而只与当前的状态有关。
盘点高考数学二轮复习线性规划知识要点
盘点高考数学二轮复习线性规划知识要点简单的线性规划问题是高考的热点之一，是历年高考的必考内容，要紧以填空题的形式考查最优解的最值类问题的求解，高考的命题要紧围绕线性规划知识要点有以下几个方面：(1) 常规的线性规划问题，即求在线性约束条件下的最值问题;(2) 与函数、平面向量等知识结合的最值类问题;(3) 求在非线性约束条件下的最值问题;(4) 考查线性规划问题在解决实际生活、生产实际中的应用.而其中的第(2)(3)(4)点往往是命题的创新点。
【例1】设函数f()=?3?sin?+??cos?，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边通过点?P(x,y)?，且0?。
(1) 若点P的坐标为12,32，求f()的值;(2) 若点P(x,y)为平面区域：x+y1,y1。
上的一个动点，试确定角的取值范畴，并求函数f()的最小值和最大值。
分析第(1)问只需要运用三角函数的定义即可;第(2)问中只要先画出平面区域，再依照抽画出的平面区域确定角的取值范畴，进而转化为求f()=a? sin?+b?cos?型函数的最值。
解(1) 由点P的坐标和三角函数的定义可得?sin?=32，?cos?=12。
因此f()=3?sin?+??cos?=?332+12=2。
(2) 作出平面区域(即三角形区域ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，? C(0,1)?.因此0?2,又f()=3?sin?+?cos?=2?sin?+??6，且?+2??3，我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。
线性规划期末试题及答案
《线性规划》试题一．单项选择题（每小题2分，共20分）1．在有两个变量的线性规划问题中，若问题有唯一最优解，则（ ）A.此最优解一定在可行域的一个顶点上达到。
B.此最优解一定在可行域的内部达到。
C.此最优解一定在可行域的一条直线段边界上达到。
D.此时可行域只有一个点。
2．设有两个变量的线性规划模型的可行域的图如下，若目标函数只在点处达到最优值，则此目标函数可能是（ ）A.212x x z +=B.2x z =C.215x x z +=D.218x x z +=3.若线性规划模型有可行解，则此线性规划（ ）基可行解必唯一。
基可行解有无穷多个。
基可行解个数必有限。
基可行解都是最优解。
4．任何一个线性规划模型的可行解是（ ）A. 一个无界集合。
B.是一个闭多面凸集。
C.是一个空集。
D.是一个无边界的集合 5．设有下面线性规划问题有最优解，则（ ）..min ≥==X b AX t s CX f A. 此目标函数在可行域上必有下界 B.此目标函数在可行域上必有上界 C. 此目标函数在可行域上必有上界和下界 D.此目标函数在可行域上必无下界 6．设有线性规划模型3213min x x x f ++=s.t.4,3,2,1,07436326213214321=≥=+=++=+++i x x x x x x x x x x i则（ ）是一组对应于基的基变量A.21,x xB.321,,x x xC.31,x xD.432,,x x x 7．设有线性规划模型..ma x ≥==X b AX t s CX f则它的对偶线性规划的目标函数是（ ）A.CX g =maxB. Cb g =minC.Ub g =minD.CX g =max 8．设有两个对偶的线性规划问题的模型，下面说法正确的是（ ） A.一个模型有可行解且目标函数在可行集上无界，另一个模型有可行解。
B.一个问题有可行解且目标函数在可行集上有界，但另一个问题无可行解。
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期末复习—《简单的线性规划》编写：鲍德法 审核：孙 军班级 姓名 成绩一、典例精解1、求线性目标函数的最值例1．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9 2、求平面区域的面积问题例2．在平面直角坐标系xOy 内，已知平面区域A ={(x ，y )|1≤+y x ，且0≥x ，0≥y }，则平面区域B ={(x +y ，x –y )|(x ，y )∈A }的面积为（ ）A ．2B ．1C ．21D ．41 3、求距离的最值问题例3．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，则22y x +的最小值是（ ）A ．5B ．25C ．1D ．5 4、求斜率的范围问题例4．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x ，则x y 的取值范围是（ ）A ．[59，6] B ．-∞(，59] [6，)∞+ C ．-∞(，3] [6，)∞+ D ．[3，6] 5、求线性规划的整点最优解问题例5．设变量x ，y 满足条件3210411,0,0x y x y x y Z x y +<⎧⎪+<⎪⎨∈⎪⎪>>⎩，则y x s 45+=的最小值为 ．6、求参数的范围问题例6．若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．34≥aB ．10≤<aC ．341≤≤a D ．10≤<a 或34≥a例7．在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（ ）A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8] 7、线性规划问题与其他知识的交汇例8．已知D 是由不等式组⎩⎨⎧≥+≥-0302y x y x ，所确定的平面区域，则圆422=+y x 在区域D 内的弧长为（ ） A ．4π B ．2π C ．43π D ．23π例9．在坐标平面内，不等式组22x y x yy x ⎧+≤+⎨≥⎩所表示平面区域的面积为 ．例10．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，所表示的平面区域被直线34+=kx y 分成面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A ．37 B ．73 C ．34 D ．43二、强化训练1．不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ）A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．右下方 2．满足2||||≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．133．点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥+-01202022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么||PQ 的最小值为（ ）A ．15-B ．154- C ．122- D ．12- 4．若x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，目标函数y ax z 2+=仅在点()1,0处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．（–1，2）B ．（–4，2）C ．（–4，2]D ．（–2，4）5．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）A ．24B ．4C ．22D ．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是 （ ）A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元7．若不等式组502x y y a x -+≥0⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩，，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围（ ）A ．5a <B ．7a ≥C ．5a <或7a ≥D ．57a ≤<8．若实数x ，y 满足约束条件24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，目标函数z tx y =+有最小值2，则t 的值可以为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．1-9．如果x ，y 满足不等式组 1235x y x y ⎧≤≤⎪≥⎨⎪+≤⎩，那么目标函数z x y =-的最小值是（ ）A ．–1B ．–3C ．–4D ．–910．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-m x y x y y x 02 且z =y x +2的最大值为3，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．49D ．3 11．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z =x +ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx a-的最大值是（ ） A ．23 B ．25 C ．16 D ．1412．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，则22)1()1(-++y x 的最小值是（）A ．2B ．5CD 13．已知实数x ，y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，且目标函数2z x y =+的最大值为6，最小值为1，其中0b ≠，则cb的值为有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如果实数x ，y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =+的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为（ ）A ．2B ．–2C ．15D ．不存在15．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则z =3x +y 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．916．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ）A ．5-B ．1C ．2D ．317．若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从–2连续变化到1时，动直线a y x =+扫 过A 中的那部分区域的面积为（ ）A ．34 B ．1 C ．74D ．2 18．已知O 是坐标原点，若点M （x ，y ）为平面区域210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩上的一个动点，则⋅的最大值是（ ）A ．-1B ．-12C ．0D ．1 19．设不等式组1x-2y+30y x x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，||AB 的最小值等于（ ） A ．285B ．4C ．125 D ．220．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥42420y x y x x 所表示的平面区域被直线2y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．1-二、典例精解例1（图1），A （2，0），B （1，1），C （3平移直线0l ：02=+y x （1，1）时，则目标函数y x z +=2例2．解析：令⎩⎨⎧-=+=yx v y x u ，得2v u x +=又(x ，y )∈A ，则由⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-+≤u u u 则点（u ，v ）所在的平面区域B 为如图阴影部分，即等腰直角三角形OMN 的点构成．这里N （1，–1），M （1，111221=⨯⨯=∆OMN S 选B ． 例3．解析：由约束条件画出可行域，图3由图形知点B 与原点O 的距离最小．联立方程⎩⎨⎧=+-=011y x x ，得B （1，2因此22y x +的最小值为5．故选D ．例4．解析：画出可行域如图4，为一个∆内部的点构成，三顶点为C （1，3）、A 和B （25，29）．xy 表示可行域内的点（与原点（0，0）连线的斜率， xy例5．解析：依约束条件作出可行域，如图5阴影部分．平移直线0l ：045=+y x 到1l ，使1l 过可行域内点A ，由方程组⎩⎨⎧=+=+114023y x y x ，解得P （59，1023）．因为当直线y x s 45+=平移时，从P 点起向左下方移动时第一个通过的整点是 A （2，1），所以A （2，1）是所求的最优解．故141425max =⨯+⨯=s ． 点评：本题易出现错误，59110234595max ==⨯+⨯=s 18.2错误． 例6．解析：由不等式前三个不等式画出可行域，即ABC ∆的边界及内部的点构成，三顶点分别为A （0，x0）、B （1，0），C （32，32）．第四个不等式a y x ≤+，表示的是斜率为-1的直线的下方，所以当10≤<a 时，表示的平面区域是一个三角形；当34≥a 时，表示的平面区域也是一个三角形．选D ．例7．解析：由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y s x x y s y x 交点为A （2，0），B （4s -，24s -），C （0，s ），C '（4，4），如图2：当43<≤s 时可行域是四边形OABC 此时，87≤≤z ；当54≤≤s 时可行域是OAC '∆，此时， 8max =z ．故选D ．点评S 的函数关系来求解．例8．解析：如图12所示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是21，31-，所以圆心角α即为两直线的夹角．由1|031(211||)31(21|tan =-⨯+--=α，得4πα=．所以弧长是42π⨯例9．解析：作出线性规划区域图，220x y x y +--≤22111()()222x y -+-≤求出第所围成的图像的面积为12π+．速作出图像求出面积．例10．解析：不等式组所表示的平面区域如图13所示阴影部分．因为B 的坐标为（0，34），故直线34+=kx y 过点B ．因为平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，所以直线34+=kx y 过AC 的中点（21，25）．将（21，25）代入直线方程，即25=3421+⨯k ，得=k 37．故选A ．二、强化训练1．D 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．D 10．B11．B 12．D 13．A 14．A 15．B 16．D 17．C 18．D 19．B 20．Ay y。