高数下册第十一章第七次作业答案

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高等数学课后习题及参考答案(第十一章)

高等数学课后习题与参考答案〔第十一章〕习题11-11.写出下列级数的前五项:<1>∑∞=++1211n nn;解 51514141313121211111112222212⋅⋅⋅+++++++++++++++=++∑∞=n n n . 解 3762651045311112⋅⋅⋅+++++=++∑∞=n n n .<2>∑∞=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅12 42)12( 31n n n ; 解 10864297531864275316425314231212 42)12( 311⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑∞=n n n . 解 3840945384105481583212 42)12( 311⋅⋅⋅+++++=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑∞=n n n .<3>∑∞=--115)1(n n n ; 解 51515151515)1(543211⋅⋅⋅-+-+-=-∑∞=-n n n . 解 3125162511251251515)1(11⋅⋅⋅-+-+-=-∑∞=-n n n . <4>∑∞=1!n n nn.解 5!54!43!32!21!1!543211⋅⋅⋅+++++=∑∞=n n n n. 解3125120256242764211!1⋅⋅⋅+++++=∑∞=n n n n . 2.写出下列级数的一般项:<1> 7151311⋅⋅⋅++++; 解一般项为121-=n u n . <2> 5645342312⋅⋅⋅-+-+-; 解一般项为nn u n n 1)1(1+-=-. <3> 86426424222⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+x x x x x ; 解一般项为!22n x u n n =.<4> 97535432⋅⋅⋅+-+-a a a a . 解一般项为12)1(11+-=+-n a u n n n . 3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:<1>∑∞=-+1)1(n n n ;解因为)1( )34()23()12(n n s n -++⋅⋅⋅+-+-+-=)()11(∞→∞→-+=n n ,所以级数发散.<2> )12)(12(1 751531311⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n ; 解因为)12)(12(1 751531311+-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n)121121(21 )7151(21)5131(21)3111(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )121121 715151313111(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )(21)1211(21∞→→+-=n n , 所以级数收敛.<3> 6sin 63sin 62sin 6sin ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ππππn . 解 6sin 63sin 62sin 6sin ππππn s n ⋅⋅⋅+++= )6sin 12sin 2 62sin 12sin 26sin 12sin 2(12sin 21πππππππn +⋅⋅⋅++= )]1212cos 1212(cos )125cos 123(cos )123cos 12[(cos 12sin 21πππππππ+--+⋅⋅⋅+-+-=n n )1212cos 12(cos 12sin 21πππ+-=n . 因为π1212cos lim +∞→n n 不存在,所以n n s ∞→lim 不存在,因而该级数发散. 4.判定下列级数的收敛性: <1> 98)1( 9898983322⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n n ; 解这是一个等比级数,公比为98-=q ,于是198||<=q ,所以此级数收敛. <2> 31 916131⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n; 解此级数是发散的,这是因为如此级数收敛,则级数) 31 916131(311⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n 也收敛,矛盾.<3> 31 3131313⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ; 解因为级数的一般项)(013311∞→≠→==-n u n n n ,所以由级数收敛的必要条件可知,此级数发散.<4> 232323233322⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解这是一个等比级数,公比123>=q ,所以此级数发散. <5> )3121( )3121()3121()3121(3322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++nn . 解因为∑∞=121n n 和∑∞=131n n 都是收敛的等比级数,所以级数 )3121( )3121()3121()3121()3121(33221⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++=+∑∞=n n n n n 是收敛的.习题11-21.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:<1> )12(1 51311⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++n ; 解因为211121lim =-∞→nn n ,而级数∑∞=11n n发散,故所给级数发散. <2> 11 313121211222⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++++n n ; 解因为n n n n n n u n 111122=++>++=,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.<3> )4)(1(1 631521⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n ; 解因为145lim 1)4)(1(1lim 222=++=++∞→∞→n n n nn n n n ,而级数∑∞=121n n 收敛, 故所给级数收敛.<4> 2sin 2sin 2sin 2sin 32⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ππππ;解因为πππππ==∞→∞→nn n n n n 22sin lim 212sin lim ,而级数∑∞=121n n 收敛, 故所给级数收敛.<5>∑∞=>+1)0(11n n a a . 解因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<==+=+∞→∞→11 1 2110 0 1lim 111lim a a a l a a a a n n n n n n ,而当a >1时级数∑∞=11n n a 收敛,当0<a ≤1时级数∑∞=11n n a 发散, 所以级数∑∞=+111n n a 当a >1时收敛,当0<a ≤1时发散. 2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性:<1>23 2332232133322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅nn n ; 解级数的一般项为n n n n u 23⋅=.因为 123123lim 322)1(3lim lim 111>=+⋅=⋅⋅⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n n n , 所以级数发散.<2>∑∞=123n n n ; 解因为131)1(31lim 33)1(lim lim 22121<=+⋅=⋅+=∞→+∞→+∞→nn n n u u n n n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=⋅1!2n n n n n ;解因为12)1(lim 2!2)1()!1(2lim lim 111<=+=⋅⋅++⋅=∞→++∞→+∞→e n n n n n n u u n n n n n n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=+112tann n n π. 解因为121221lim 2tan 2tan )1(lim lim 12121<=⋅+=+=++∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n u u ππππ, 所以级数收敛.3.用根值审敛法判定下列级数的收敛性:<1>∑∞=+1)12(n n n n ; 解因为12112lim lim<=+=∞→∞→n n u n n n n ,所以级数收敛. <2>∑∞=+1)]1[ln(1n n n ; 解因为10)1ln(1lim lim<=+=∞→∞→n u n n n n ,所以级数收敛. <3>∑∞=--112)13(n n n n ; 解因为n n n n n n n n n n n u 1212)13(1lim)13(lim lim -∞→-∞→∞→-=-= 131)311(31lim 321212<⋅=-⋅=--∞→en n n n , 所以级数收敛.<4>∑∞=1)(n n na b ,其中a n →a <n →∞>,a n ,b ,a 均为正数.解因为a b a b u nn nn n ==∞→∞→lim lim , 所以当b <a 时级数收敛,当b >a 时级数发散.4.判定下列级数的收敛性:<1> )43( )43(3)43(24332⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解这里n n n u )43(=,因为 143431lim )43()43)(1(lim lim 11<=⋅+=+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n nn n n n n , 所以级数收敛.<2>!!33!22!114444⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解这里!4n n u n =,因为 10)1(1lim !)!1()1(lim lim 3441<=+⋅=⋅++=∞→∞→+∞→n n nn n n n u u n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=++1)2(1n n n n ; 解因为121lim 1)2(1lim =++=++∞→∞→n n nn n n n n ,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.<4>∑∞=13sin2n nn π; 解因为1323232lim 3sin 23sin 2lim 1111<=⋅⋅=++∞→++∞→n n n n n n n n n n ππππ, 所以级数收敛.<5> 1 232⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn ; 解因为011lim lim ≠=+=∞→∞→n n u n n n , 所以级数发散.<6>)0 ,0( 1 211>>⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++b a bna b a b a . 解因为n a b na u n 111⋅>+=,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？<1> 4131211⋅⋅⋅+-+-; 解这是一个交错级数∑∑∞=-∞=--=-11111)1()1(n n n n n n u ,其中n u n 1=. 因为显然u n ≥u n +1,并且0lim =∞→n n u ,所以此级数是收敛的. 又因为∑∑∞=∞=-=-1111|)1(|n n n n nu 是p <1的p 级数,是发散的,所以原级数是条件收敛的.<2>∑∞=---1113)1(n n n n ; 解∑∑∞=-∞=--=-111113|3)1(|n n n n n n n . 因为131331lim 1<=+-∞→n n n n n ,所以级数∑∞=-113n n n 是收敛的, 从而原级数收敛,并且绝对收敛.<3> 2131213121312131432⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅;解这是交错级数∑∞=-⋅-112131)1(n n n ,并且∑∑∞=∞=-⋅=⋅-1112131|2131)1(|n n n n n . 因为级数∑∞=⋅12131n n 是收敛的,所以原级数也收敛,并且绝对收敛. <4> 5ln 14ln 13ln 12ln 1⋅⋅⋅+-+-; 解这是交错级数∑∑∞=-∞=-+-=-1111)1ln()1()1(n n n n n n u ,其中)1ln(1+=n u n . 因为u n ≥u n +1,并且0lim =∞→n n u ,所以此级数是收敛的. 又因为11)1ln(1+≥+n n ,而级数∑∞=+111n n 发散, 故级数∑∑∞=∞=-+=-111)1ln(1|)1(|n n n n n u 发散,从而原级数是条件收敛的. <5>∑∞=+-11!2)1(2n n n n . 解级数的一般项为!2)1(21n u n n n +-=. 因为∞=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅===∞→∞→∞→∞→122232 22122lim !)2(lim !2lim ||lim 2n n n n n n n n n n n n n n n n n n u , 所以级数发散.习题11-31. 求下列幂级数的收敛域:<1>x +2x 2+3x 3+⋅⋅⋅+nx n +⋅⋅⋅;解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→nn a a n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 也是发散的,所以收敛域为<-1,1>.<2> )1( 21222⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++-nx x x n n ; 解 1)1(lim 1)1(1lim ||lim 22221=+=+=∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=-221)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+1211n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1,1].<3> )2( 42 64242232⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n ; 解 0)1(21lim )!1(2!2lim ||lim 11=+=⋅+⋅⋅=∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =+∞, 收敛域为<-∞,+∞>. <4> 33332313322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n n x x x x ; 解 31131lim 3)1(3lim ||lim 11=+⋅=⋅+⋅=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =3. 因为当x =3时, 幂级数成为∑∞=11n n , 是发散的; 当x =-3时, 幂级数成为∑∞=-11)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-3,3>. <5> 12 102522223322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n x n x x x ;解 21)1(1lim 2211)1(2lim ||lim 222211=+++=+⋅++=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为21=R . 因为当21=x 时, 幂级数成为∑∞=+1211n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+-1211)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为]21 ,21[-. <6>∑∞=++-11212)1(n n n n x ; 解这里级数的一般项为12)1(12+-=+n x u n nn . 因为212321|1232|lim ||lim x x n n x u u n n n n n n =+⋅+=++∞→+∞→, 由比值审敛法, 当x 2<1, 即|x |<1时, 幂级数绝对收敛; 当x 2>1, 即|x |>1时, 幂级数发散, 故收敛半径为R =1.因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=+-1121)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=++-11121)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].<7>∑∞=--122212n n n x n ; 解这里级数的一般项为22212--=n nn x n u . 因为22212121|)12(22)12(|lim ||lim x x n x n u u n n n n n n n n =-⋅+=-+∞→+∞→, 由比值审敛法, 当1212<x , 即2||<x 时, 幂级数绝对收敛; 当1212>x , 即2||>x 时, 幂级数发散, 故收敛半径为2=R . 因为当2±=x 时, 幂级数成为∑∞=-1212n n , 是发散的, 所以收敛域为)2 ,2(-.<8>∑∞=-1)5(n nn x . 解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→n n a a n n n n , 故收敛半径为R =1, 即当-1<x -5<1时级数收敛, 当|x -5|>1时级数发散.因为当x -5=-1, 即x =4时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n nn , 是收敛的; 当x -5=1, 即x =6时, 幂级数成为∑∞=11n n, 是发散的, 所以收敛域为[4, 6>. 2. 利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数:<1>∑∞=-11n n nx ;解设和函数为S <x >, 即∑∞=-=11)(n n nx x S , 则][][])([)(1010110'='='=∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=-n xn x n n x dx nx dx nxdx x S x S)11( )1(1]111[][21<<--='--='=∑∞=x x x x n n . <2>∑∞=++11414n n n x ; 解设和函数为S <x >, 即∑∞=++=11414)(n n n x x S , 则dx x dx n x dx x S S x S x n n x n n x ⎰∑⎰∑⎰∞=∞=+='+='+=01401140]14[)()0()( ⎰⎰-⋅++⋅+-=--=x x dx x x dx x02204)112111211()111( )11( arctan 2111ln 41<<--+-+=x x x x x .提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(. <3>⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++- 12 531253n x x x x n . 解设和函数为S <x >, 即⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=-=-∞=-∑ 12 5312)(1253112n x x x x n x x S n n n , 则 ⎰∑⎰∑⎰∞=-∞=-='-='+=x n n x n n x dx x dx n x dx x S S x S 012201120]12[)()0()( )11( 11ln 211102<<--+=-=⎰x x x dx xx . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.习题11-41. 求函数f <x >=cos x 的泰勒级数, 并验证它在整个数轴上收敛于这函数.解 )2cos()()(π⋅+=n x x f n <n =1,2,⋅⋅⋅>, )2cos()(00)(π⋅+=n x x f n <n =1,2,⋅⋅⋅>, 从而得f <x >在x 0处的泰勒公式)(!2)cos())(2cos(cos )(200000⋅⋅⋅+-++-++=x x x x x x x x f ππ )( )(!)2cos(00x R x x n n x n n +-++π. 因为)!1(|||)()!1(]21)(cos[||)(|101000+-≤-+++-+=++n x x x x n n x x x x R n n n πθ<0≤θ≤1>, 而级数∑∞∞→++-n n n x x )!1(||10总是收敛的, 故0)!1(||lim 10=+-+∞→n x x n n , 从而0|)(|lim =∞→x R n n . 因此 )(!2)cos())(2cos(cos )(200000⋅⋅⋅+-++-++=x x x x x x x x f ππ⋅⋅⋅+-++ )(!)2cos(00n x x n n x π,x ∈<-∞,+∞>.2. 将下列函数展开成x 的幂级数, 并求展开式成立的区间: <1>2sh x x e e x --=; 解因为∑∞==0!n n xn x e ,x ∈<-∞,+∞>,所以 ∑∞=--=0!)1(n n nx n x e ,x ∈<-∞,+∞>, 故 ∑∑∑∑∞=-∞=∞=∞=-=--=--=012000)!12(!])1(1[21]!)1(![21sh n n n n n n n n n n n x n x n x n x x ,x ∈<-∞,+∞>. <2>ln<a +x ><a >0>;解因为)1ln(ln )1(ln )ln(a x a a x a x a ++=+=+,∑∞=++-=+011)1()1ln(n n nn x x <-1<x ≤1>, 所以 ∑∑∞=++∞=++-+=+-+=+01101)1()1(ln )(11)1(ln )ln(n n n n n n n a n x a a x n a x a <-a <x ≤a >. <3>a x ;解因为∑∞==0!n n x n x e ,x ∈<-∞,+∞>, 所以 ∑∑∞=∞=====00ln !)(ln !)ln (n n n n n x a x x x n a n a x e ea ,x ∈<-∞,+∞>, <4>sin 2x ; 解因为x x 2cos 2121sin 2-=,∑∞=-=02)!2()1(cos n n nn x x ,x ∈<-∞,+∞>, 所以 ∑∑∞=-∞=⋅-=--=1212022)!2(2)1()!2()2()1(2121sin n n n n n n n n x n x x x ∈<-∞,+∞>. <5><1+x >ln<1+x >;解因为∑∞=++-=+011)1()1ln(n n nn x x <-1<x ≤1>, 所以 ∑∞=++-+=++011)1()1()1ln()1(n n nn x x x x ∑∑∞=+∞=++-++-=02011)1(1)1(n n n n n nn x n x ∑∑∞=++∞=+-++-+=11111)1(1)1(n n n n n n n x n x x 111])1(1)1([+∞=+∑-++-+=n n n n x n n x 111)1()1(+∞=-∑+-+=n n n x n n x <-1<x ≤1>. <6>21x x +. 解因为∑∞=--+=+122/12!)!2(!)!12()1(1)1(1n n n x n n x <-1≤x ≤1>, 所以 ∑∑∞=+∞=+⋅-+=--+=+11221122)2()!()!2(2)1(!)!2(!)!12()1(1n n n n n n x n n x x n n x xx <-1≤x ≤1>. 3. 将下列函数展开成<x -1>的幂级数, 并求展开式成立的区间: <1>3x ;解因为)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m . 所以 233)]1(1[-+=x x )1(!)123( )123(23 )1(!2)123(23)1(2312⋅⋅⋅+-+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+--+-+=n x n n x x)111(<-<-x ,即 )1(!2)25( )3()1(13 )1(!2213)1(231223⋅⋅⋅+-⋅-⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅+⋅⋅⋅+-⋅⋅+-+=n n x n n x x x )20(<<x .上术级数当x =0和x =2时都是收敛的, 所以展开式成立的区间是[0,2].<2>lg x .解 ∑∞=-≤-<---=-+==11)111( )1()1(10ln 1)]1(1ln[10ln 110ln ln lg n n n x nx x x x , 即 ∑∞=-≤<--=11)20( )1()1(10ln 1lg n n n x nx x . 4. 将函数f <x >=cos x 展开成)3(π+x 的幂级数. 解 3sin )3sin(3cos )3cos(]3)3cos[(cos ππππππ+++=-+=x x x x )3sin(23)3cos(21ππ+++=x x ∑∑∞=+∞=++-++-=01202)3()!12()1(23)3()!2()1(21n n n n n n x n x n ππ )( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-=+∞=∑x x n x n n n n n ππ. 5.将函数xx f 1)(=展开成<x -3>的幂级数. 解 ∑=<-<---=-+=-+=n n n n x x x x x 0)1331( )33()1(313311313311, 即 ∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )33()1(311. 6.将函数231)(2++=x x x f 展开成<x +4>的幂级数. 解 2111231)(2+-+=++=x x x x x f ,而 ∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|34(| )34(31341131)4(3111n n x x x x x , 即 )17( 3)4(1101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n ; ∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|24(| )24(21241121)4(2121n n x x x x x , 即 )26( 2)4(2101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n . 因此 ∑∑∞=∞=+++++-=++=001122)4(3)4(231)(n n n n n n x x x x x f )26( )4)(3121(011-<<-+-=∑∞=++x x n n n n . 习题11-51. 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:<1>ln3<误差不超过0.0001>; 解)11( ) 121 5131(211ln 1253<<-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=-+-x x n x x x x x n , ) 21121 2151213121(2211211ln 3ln 1253⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=-+=-n n . 又 ] 2)32(12)12(1[2||3212⋅⋅⋅+⋅++⋅-=+-n n n n n r ] 2)52(2)12(2)32(2)12(1[2)12(25212321212⋅⋅⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+++=+++++n n n n n n n n n n 2242122)12(31) 21211(2)12(2-+-=⋅⋅⋅++++<n n n n , 故 00012.021131||85≈⋅⋅<r ,00003.021331||105≈⋅⋅<r . 因而取n =6, 此时1.0986 )21111219121712151213121(23ln 119753≈⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=. <2>e <误差不超过0.001>;解 )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x , 21!1 21!212112⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅++=nn e . 由于 21)!2(121)!1(121⋅⋅⋅+⋅++⋅+=++n n n n n r 21)1()2(121111[2!12⋅⋅⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=n n n n n 22!3141112!1-⋅⋅=-⋅⋅<n n n n , 故 0003.02!53134≈⋅⋅=r . 因此取n =4得648.121!4121!3121!21211432≈⋅+⋅+⋅++≈e . <3>9522<误差不超过0.00001>; 解)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m , 9/199)2101(2522+= ] )210(!33178)210(!298210911[23922929⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+=. 由于002170.0210919≈⋅,000019.0)210(!298292≈⋅⋅, 故00430.2)000019.0002170.01(25229≈-+=.<4>cos 2︒<误差不超过0.0001>.解 )( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n , )90(!61 )90(!41)90(!21190cos 2cos 642⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-==︒ππππ.由于42106)90(!21-⨯≈⋅π,8410)90(!41-≈⋅π, 故 9994.00006.01 )90(!2112cos 2=-≈⋅⋅-≈︒π.2.利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值:<1>⎰+5.00411dx x <误差不超过0.0001>; 解⎰⎰⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+5.00412845.004] )1( 1[11dx x x x x dx x n n 5.001395|) 1319151(⋅⋅⋅+-+-=x x x x 2113121912151211395⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-. 因为00625.021515≈⋅,00028.021919≈⋅,000009.02113113≈⋅, 所以4940.0219121512111955.004≈⋅+⋅-≈+⎰dx x . <2>⎰5.00arctan dx xx <误差不超过0.0001>. 解)11( 121)1( 5131arctan 1253<<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-=+x x n x x x x n n, dx x n x x dx x x n n ] 121)1( 51311[arctan 5.002425.00⎰⎰⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-= 5.00753|) 49125191(⋅⋅⋅+-+-=x x x x 2149121251219121753⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-=. 因为0139.021913≈⋅,0013.0212515≈⋅,0002.0214917≈⋅, 所以487.021*********arctan 535.00≈⋅+⋅-=⎰dx x x . 3.将函数e x cos x 展开成x 的幂级数. 解)(21cos ix ix e e x -+=, ][21)(21cos )1()1(i x i x ix ix x x e e e e e x e -+-+=+⋅=∑∑∑∞=∞=∞=-++=-++=000!)1()1(21!)1(!)1([21n n n n n n n n n n x n i i x n i x n i . 因为421πi e i =+,421πi e i -=-, 所以4cos 2)4cos 2(2][2)1()1(122442ππππn n e e i i n n n i n i n n n +-==+=-++. 因此)( !4cos 2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n n x π.习题11-7 1.下列周期函数f <x >的周期为2π,试将f <x >展开成傅里叶级数,如果f <x >在[-π,π>上的表达式为:<1>f <x >=3x 2+1<-π≤x <π>;解因为)1(2)13(1)(1220+=+==⎰⎰--πππππππdx x dx x f a , ⎰-=ππππdx n x f a n cos )(1 2212)1(cos )13(1n dx n x n -=+=⎰-ππππ <n =1,2,⋅⋅⋅>, ⎰-=ππππdx n x f b n sin )(1 0sin )13(12=+=⎰-ππππdx n x <n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为)( cos )1(121)(122+∞<<-∞-++=∑∞=x nx n x f n n π.<2>f <x >=e 2x <-π≤x <π>;解因为πππππππππ21)(12220----===⎰⎰e e dx e dx x f a x ,⎰-=ππππdx n x f a ncos )(1πππππππ)4()()1(2cos 12222+--==--⎰n e e dx n e n x<n =1,2,⋅⋅⋅>, ⎰-=ππππdx n x f b n sin )(1πππππππ)4()()1(sin 12222+---==--⎰n e e n dx n e n x<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为∑∞=--+-+-=1222)sin cos 2(4)1(41[)(n n nx n nx n e e x f πππ<x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.<3>⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx ax x bx x f 0 0)(<a ,b 为常数,且a >b >0>.解因为)(211000b a axdx bxdx a -=+=⎰⎰-πππππ, ]cos 1cos 100⎰⎰+=-ππππnxdx ax nxdx bx a nn n a b )1(1[2---=π<n =1,2,⋅⋅⋅>,⎰⎰+=-ππππ00sin 1sin 1nxdx ax nxdx bx b nnb a n +-=+1)1(<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为∑∞=-+-+---+-=112}sin )()1(cos )]()1(1[{)(4)(n n n nx n b a nx n a b b a x f ππ <x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.2.将下列函数f <x >展开成傅里叶级数:<1>3sin2)(x x f =<-π≤x ≤π>; 解将f <x >拓广为周期函数F <x >, 则F <x >在<-π,π>中连续, 在x =±π间断, 且)()]()([21πππ-≠-+-+-f F F ,)()]()([21πππf F F ≠++-, 故F <x >的傅里叶级数在<-π,π>中收敛于f <x >, 而在x =±π处F <x >的傅里叶级数不收敛于f <x >. 计算傅氏系数如下: 因为3sin2x <-π<x <π>是奇函数, 所以a n=0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>,⎰⎰+--==ππππ00])31cos()31[cos(2sin 3sin 22dx x n x n nxdx x b n19318)1(21-⋅-=+n nn π<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以∑∞=+--=12119sin )1(318)(n n n nx n x f π<-π<x <π>.<2>⎩⎨⎧≤≤<≤-=ππx x e x f x 0 10)(.解将f <x >拓广为周期函数F <x >, 则F <x >在<-π,π>中连续, 在x =±π间断, 且)()]()([21πππ-≠-+-+-f F F ,)()]()([21πππf F F ≠++-,故F <x >的傅里叶级数在<-π,π>中收敛于f <x >, 而在x =±π处F <x >的傅里叶级数不收敛于f <x >. 计算傅氏系数如下:ππππππ---+=+=⎰⎰e dx dx e a x 1][1000, )1()1(1]cos cos [1200n e nxdx nxdx e a n xn +--=+=--⎰⎰πππππ<n =1,2,⋅⋅⋅>,]sin sin [100⎰⎰+=-πππnxdx nxdx e b xn})1(11])1(1[{12n n e n n n --++---=-ππ<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以πππ21)(--+=e x f∑∞=----++-+-++--+122}]sin )1(11)1([cos 1)1(1{1n n n n nx n n ne n nx n e πππ <-π<x <π>.3.设周期函数f <x >的周期为2π,证明f <x >的傅里叶系数为⎰=ππ20cos )(1nxdx x f a n <n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,⎰=ππ20sin )(1nxdx x f b n <n =1, 2,⋅⋅⋅>.证明我们知道, 若f <x >是以l 为周期的连续函数, 则⎰+la adx x f )(的值与a 无关, 且⎰⎰=+lla adx x f dx x f 0)()(,因为f <x >,cos nx ,sin nx 均为以2π为周期的函数, 所以f <x >cos nx ,f <x >sin nx 均为以2π为周期的函数, 从而⎰⎰+---==πππππππ2cos )(1cos )(1nxdx x f nxdx x f a n⎰=ππ20cos )(1nxdx x f <n =1, 2,⋅⋅⋅>.同理 ⎰=ππ20sin )(1nxdx x f b n <n =1, 2,⋅⋅⋅>.4.将函数2cos )(xx f =<-π≤x ≤π>展开成傅里叶级数: 解因为2cos )(x x f =为偶函数, 故b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>, 而⎰⎰==-πππππ0cos 2cos 2cos 2cos 1nxdx x nxdx x a n⎰+--=ππ0])21cos()21[cos(1dx x n x n 1414)1(21-⋅-=+n n π<n =1, 2,⋅⋅⋅>. 由于2cos )(x x f =在[-π,π]上连续, 所以 ∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ<-π≤x ≤π>. 5.设f <x >的周期为2π的周期函数, 它在[-π,π>上的表达式这⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤--<≤--=ππππππππx x x x x f 2 222 2 2)(,将f <x >展开成傅里叶级数.解因为f <x >为奇函数, 故a n =0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>, 而]sin 2sin [2sin )(22200⎰⎰⎰+==πππππππnxdx nxdx x nxdx x f b n2sin 2)1(2ππn n n n +--=<n =1,2,⋅⋅⋅>,又f <x >的间断点为x =<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅, 所以nx n n n x f n n sin ]2sin 2)1([)(121∑∞=++-=ππ< x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.6. 将函数2)(x x f -=π<0≤x ≤π>展开成正弦级数.解作奇延拓得F <x >:⎪⎩⎪⎨⎧<<---=≤<=0)(0 00 )()(x x f x x x f x F ππ,再周期延拓F <x >到<-∞,+∞>, 则当x ∈<0,π]时F <x >=f <x >,)0(20)0(f F =≠=π.因为a n =0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>, 而nnxdx x b n 1sin 220=-=⎰πππ <n =1,2,⋅⋅⋅>, 故 nx nx f n sin 1)(1∑∞==<0<x ≤π>,级数在x =0处收敛于0.7.将函数f <x >=2x 2<0≤x ≤π>分另别展开成正弦级数和余弦级数. 解对f <x >作奇延拓,则a n =0<n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,而]2)2()1[(4sin 2232302n n n nxdx x b n n ---==⎰ππππ<n =1, 2,⋅⋅⋅>,故正弦级数为nx n n n x f n n sin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ<0≤x <π>, 级数在x =0处收敛于0.对f <x >作偶延拓,则b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>,而20203422πππ==⎰dx x a , 2028)1(cos 22nnxdx x a n n -==⎰ππ <n =1, 2,⋅⋅⋅>, 故余弦级数为nx nx f n n cos )1(832)(122∑∞=-+=π<0≤x ≤π>.8.设周期函数f <x >的周期为2π, 证明<1>如果f <x -π>=-f <x >, 则f <x >的傅里叶系数a 0=0,a 2k =0,b 2k =0<k =1,2,⋅⋅⋅>; 解因为020200)(1)(1)(1a dt t f dx t f dx x f a xt -=-=-=⎰⎰⎰+=-πππππππππ令,所以a 0=0. 因为dx t k t f kxdx x f a xt k )(2cos )(12cos )(1202ππππππππ--=⎰⎰+=-令k a ktdt t f 2202cos )(1-=-=⎰ππ,所以a 2k =0.同理b 2k =0<k =1,2,⋅⋅⋅>.<2>如果f <x -π>=f <x >, 则f <x >的傅里叶系数a 2k +1=0,b 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>. 解因为)12cos()(112⎰-++=πππxdx k x f a kdx t k t f xt ))(12cos()(1 20πππππ-+-⎰+=令1220)12cos()(1+-=+-=⎰k a tdt k t f ππ,所以a 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>. 同理b 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>.习题11-81. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数<下面给出函数在一个周期内的表达式>: <1>)2121(1)(2<≤--=x x x f ;解因为f <x >=1-x 2为偶函数, 所以b n =0<n =1,2,⋅⋅⋅>, 而611)1(4)1(2/12210221020=-=-=⎰⎰dx x dx x a ,⎰-=21022/1cos )1(2/12dx x n x a n π2212102)1(2cos )1(4ππn xdx n x n +-=-=⎰<n =1,2,⋅⋅⋅>,由于f <x >在<-∞,+∞>内连续, 所以∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ,x ∈<-∞,+∞>.<2>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤<≤-=121 1210 101 )(x x x x x f ;解 21)(1212100111-=-+==⎰⎰⎰⎰--dx dx xdx dx x f a n ,⎰⎰⎰⎰-+==--1212100111cos cos cos cos )(xdx n xdx n xdx n x xdx n x f a n ππππ2sin 2])1(1[122πππn n n n +--= <n =1,2,⋅⋅⋅>,dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ⎰⎰⎰⎰-+==--121210111sin sin sin sin )(πππππππn n n 12cos 2+-= <n =1,2,⋅⋅⋅>.而在<-∞,+∞>上f <x >的间断点为x =2k ,212+k ,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅,故 }sin 2cos 21cos ]2sin 2)1(1{[41)(122x n n n x n n n n x f n nπππππππ-++--+-=∑∞= <x ≠2k ,212+≠k x ,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.<3>⎩⎨⎧<≤<≤-+=30 1 03 12)(x x x x f .解 1])12([31)(313003330-=++==⎰⎰⎰--dx dx x dx x f a ,]3cos 3cos )12([313cos )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f a n πππ])1(1[622n n --=π<n =1,2,⋅⋅⋅ >, ]3sin 3sin )12([313sin )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f b n πππn n )1(6-=π<n =1,2,⋅⋅⋅ >, 而在<-∞,+∞>上,f <x >的间断点为 x =3<2k +1>,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅,故 }3sin 6)1(3cos])1(1[6{21)(1122∑∞=+-+--+-=n n n x n n x n n x f ππππ,<x ≠3<2k +1>,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:<1>⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=lx x l l x x x f 2l20 )(; 解正弦级数:对f <x >进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>,2sin 4]sin )(sin [22221210ππππn n l dx l x n x l dx l x n x l b l n =-+=⎰⎰<n =1,2,⋅⋅⋅ >故 ∑∞==122sin 2sin14)(n l x n n nl x f πππ,x ∈[0,l ].余弦级数:对f <x >进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为2])([2212100l dx x l xdx l a l=-+=⎰⎰,⎰⎰-+=l n dx l x n x l dx l x n x l a 21210]cos )(cos [2ππ ])1(12cos 2[222n n n l ---=ππ <n =1, 2,⋅⋅⋅ > b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅ >,故lx n n n l l x f n n πππcos ])1(12cos2[124)(122∑∞=---+=,x ∈[0,l ].<2>f <x >=x 2<0≤x ≤2>.解正弦级数:对f <x >进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0<n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,]1)1[()(168)1(2sin 2231202--+-==+⎰n n n n n dx x n x b πππ,故 2sin }]1)1[()(168)1{()(131x n n n x f n n n πππ∑∞=+--+-=2sin }]1)1[(2)1({81231x n n n n n n πππ∑∞=+--+-=,x ∈[0,2>. 余弦级数:对f <x >进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为38222020==⎰dx x a2202)(16)1(2cos 22ππn dx x n x a n n -==⎰<n =1, 2,⋅⋅⋅>, b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>,故 2cos )(16)1(34)(12x n n x f n n ππ∑∞=-+=2cos )1(1634122x n n n n ππ∑∞=-+=,x ∈[0,2].总习题十一 1.填空: <1>对级数∑∞=1n n u ,0lim =∞→n n u 是它收敛的________条件,不是它收敛的________条件; 解必要; 充分.<2>部分和数列{s n }有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的________条件; 解充分必要. <3>若级数∑∞=1n n u 绝对收敛,则级数∑∞=1n n u 必定________;若级数∑∞=1n n u 条件收敛,则级数∑∞=1||n n u 必定________. 解收敛; 发散.2.判定下列级数的收敛性: <1>∑∞=11n n nn ; 解因为11lim 11lim ==∞→∞→n n nn nnn n ,而调和级数∑∞=11n n发散,故由比较审敛法知,级数发散. <2>∑∞=1222)!(n nn ;解因为∞==⋅++=∞→∞→+∞→222221lim )!(2)1(2])!1[(lim lim n n n n n u u n n n n n , 故由比值审敛法知,级数发散.<3> ∑∞=1223cos n n n n π; 解因为n n n n n 223cos 2<π,12121lim 2lim <==∞→∞→n n n n n n n所以由根值审敛法,级数∑∞=12n n n 收敛;由比较审敛法,级数∑∞=1223cos n nn n π收敛. <4>∑∞=110ln 1n n;解因为∞==∞→∞→nn n u n n n 10ln lim 1lim, 而调和级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知, 原级数发散. 提示:∞===⋅⋅⋅==⋅=∞→∞→∞→∞→∞→xx x x x x x x x x x x x x 11lim !101ln lim !101 ln lim 1011ln 101limln lim9910<5>∑∞=1n s nna <a >0,s >0>. 解因为a n a n a s n n ns n n ==∞→∞→)(lim lim , 故由根值审敛法知, 当a <1时级数收敛, 当a >1时级数发散.当a =1时, 原级数成为∑∞=11n s n, 这是p =s 的p -级数, 当s >1时级数收敛, 当s ≤1时级数发散. 3.设正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛,证明级数∑∞=+12)(n n n v u 与收敛. 证明因为∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 所以0lim =∞→n n u ,0lim =∞→n n v . 又因为0)2(lim 2lim 2=+=+∞→∞→n n n nn n n n v u u v u u ,0lim lim 2==∞→∞→n n n n n v v v , 所以级数∑∞=+12)2(n n n n v u u 和级数∑∞=12n n v 都收敛, 从而级数 ∑∑∞=∞=+=++12122)(])2[(n n n n n n n n v u v v u u也是收敛的.4.设级数∑∞=1n n u 收敛,且1lim =∞→n n n u v ,问级数∑∞=1n n v 是否也收敛？试说明理由. 解级数∑∞=1n n v 不一定收敛. 当∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数时, 级数∑∞=1n n v 收敛, 否则未必. 例如级数∑∞=-11)1(n n 收敛, 但级数∑∞=+-1]11)1[(n n n 发散, 并且有 11)1(11)1(lim =-+-∞→nn n n .5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:<1>∑∞=-11)1(n p n n ; 解∑∑∞=∞==-111|1)1(|n p n p n n n 是p 级数.故当p >1时级数∑∞=11n p n 是收敛的,当p ≤1时级数∑∞=11n p n 发散.因此当p >1时级数∑∞=-11)1(n p n n 绝对收敛. 当0<p ≤1时,级数∑∞=-11)1(n p n n 是交错级数,且满足莱布尼茨定理的条件,因而收敛,这时是条件收敛的. 当p ≤0时,由于01)1(lim ≠-∞→p nn n ,所以级数∑∞=-11)1(n p n n 发散. 综上所述,级数∑∞=-11)1(n p n n 当p >1时绝对收敛,当0<p ≤1时条件收敛,当p ≤0时发散. <2>∑∞=+++-1111sin )1(n n n n ππ; 解因为1111|1sin )1(|+++≤+-n n n n πππ,而级数∑∞=+111n n π收敛,故由比较审敛法知级数|1sin )1(|111∑∞=+++-n n n n ππ收敛,从而原级数绝对收敛. <3> ∑∞=+-11ln )1(n n n n ; 解因为1ln )11ln(lim 1ln lim 1|1ln )1(|lim ==+=+=+-∞→∞→∞→e n n n n nn n n n n n n ,而级数∑∞=11n n发散,故由比较审敛法知级数|1ln )1(|1∑∞=+-n n n n 发散,即原级数不是绝对收敛的. 另一方面,级数∑∞=+-11ln )1(n n n n 是交错级数,且满足莱布尼茨定理的条件,所以该级数收敛,从而原级数条件收敛.<4>∑∞=++-11)!1()1(n n nn n . 解令1)!1()1(++-=n n n n n u .因为 11)11(112lim )1(12lim )!1()1()!2(lim ||||lim 121<=+⋅++=+⋅++=+⋅++∞→∞→++∞→+∞→enn n n n n n n n n n u u n n n n n n n n n n , 故由比值审敛法知级数|)!1()1(|11∑∞=++-n n n n n 收敛,从而原级数绝对收敛. 6.求下列级限: <1>∑=∞→+n k k k n k n 12)11(311lim ; 解显然∑=+=nk k k n k s 12)11(31是级数∑∞=+12)11(31n n n n 的前n 项部分和. 因为13)11(31lim )11(31lim 2<=+=+∞→∞→e n n n n n n n n , 所以由根值审敛法, 级数∑∞=+12)11(31n nn n 收敛, 从而部分和数列{s n }收敛.因此01lim )11(311lim 12=⋅=+∞→=∞→∑n n n k k k n s n k n . <2>])2( 842[lim 312719131n n n ⋅⋅⋅⋅⋅∞→. 解n n nn 3 27392313127191312)2( 842+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅.显然n n n s 3 2739231+⋅⋅⋅+++=是级数∑∞=13n n n 的前n 项部分和. 设∑∞=-=11)(n n nx x S ,则210)1(1]111[][])([)(x x x dx x S x S n n x -='--='='=∑⎰∞=. 因为43)311(131)31(31)31(3132111=-⋅===∑∑∞=-∞=S n n n n n n , 所以43lim =∞→n n s , 从而 4331271913122lim ])2( 842[lim ==⋅⋅⋅⋅⋅∞→∞→nn s n n n .7.求下列幂级数的收敛域:<1>∑∞=+153n n n n x n ; 解 51)53(5)53(31lim 53153lim ||lim 111=++⋅+=+⋅++=∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n n n a a , 所以收敛半径为51=R . 因为当51=x 时, 幂级数成为]1)53[(11+∑∞=n n n , 是发散的; 当51-=x 时, 幂级数成为]1)53[()1(1+-∑∞=n n n n , 是收敛的, 所以幂级数的收敛域为)51,51[-. <2>∑∞=+12)11(n n n x n ; 解 n n n x n u 2)11(+=, 因为||||)11(lim ||lim x e x nu n n n n n =+=∞→∞→, 由根值审敛法, 当e |x |<1, 即ex e 11<<-时, 幂级数收敛; 当e |x |>1,时幂级数发散. 当e x 1-=时, 幂级数成为∑∞=+1)1()11(2n n n e n ;。

高等数学方明亮版第十一章答案

高等数学方明亮版第十一章
习题 11-1
1．判断下列方程是几阶微分方程？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
解微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有，
（1）一阶微分方程；（2）一阶微分方程；
（3）三阶微分方程；（4）三阶微分方程．
2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
，
故有．
设子弹穿过木板的时间为秒，则
，
又已知时，米/秒，于是
，
从而，
，
为此有
，
所以
（秒），
故子弹穿过木板运动持续了（秒）．
4．求下列齐次方程的通解或特解：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5），；（6），．
解（1）原方程变形，得
，
令，即，有，则原方程可进一步化为
，
分离变量，得
．
（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以为变量的函数，故令，即，有，则原方程可化为
，
整理并分离变量，得
，
两端积分，得
，
即
．
将代入上式并整理，得原方程的通解为
．
（5）原方程可化为
．
令，有，则原方程可进一步化为
，
即
，
两端积分，得
，
将代入上式，得
，
代入初始条件，得
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
解（1）将代入所给微分方程的左边，得左边，而右边＝2 左边，所以是的解．
（2）将，代入所给微分方程的左边，得左边右边，所以是所给微分方程的解．

高数下典型习题及参考答案第8、9、10、11、12章习题及答案

dx
4 f (x, y)dy
x2
0
0
0
C、
4
y
∫0 dy∫0
f
(x,
y )dx
D、
4
∫0 dy∫0
y
f
(x,
y)dx
2、设 Ω 是由 x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1所围成的区域，则 ∫∫∫ xyzdxdydz =
Ω
3、旋转抛物面 z = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ 2 那部分的曲面面积 S=（） 2
−a
a2 −x2
0
−a
28、设 D 由 x 轴和 y = sin x, x ∈ [0,π ]所围成，则积分 ∫∫ dσ = D
29、设 Ω :
0
≤
x
≤
1,0
≤
y
≤ 1,0
≤
z
≤
K
，且
∫∫∫
xdxdydz =
1 4
，则
K
=
Ω
二、解答题
( ) ( ) 1、计算三重积分 ∫∫∫ x2 + y 2 dv ，其中Ω是由曲面 2 x2 + y 2 = z 与平面 z = 4所围成的区域。
Ω
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 正确的（
）A、
2π
dθ
a
1
dr
r 3dz
B、
2π
dθ
a
dr
1
r
r2
+
z2
dz
0
0
0
0
0
0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) C、
2π

高等数学下册第十一章综合练习题答案

第十一章自测题参考答案一、填空题： 1.()⎰Γ++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量2.()⎰⎰∑++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量3.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()⎰⎰101,dy y x f dx ， ()⎰⎰-110,dy y x f dx ， 09.()⎰-Lds x x y x P 22,二、选择题：1.C2.C3.A4.A5.D 三、计算题：1.解由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以⎰Lds x 2=⎰Lds y 2=⎰Lds z 2，故⎰L ds x 2=()⎰++ds z y x 22231=3223223131a a a ds a L ππ=⋅=⎰. 2.解原式=()[](){}⎰+---π20sin cos 1cos 12dt t t t()⎰+=π202sin sindt t t =π202sin 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =π 3.解记222:y x a z S --=，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+原式=()dxdy y z x z y x a y x D222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--++⎰⎰ =()⎰⎰--⋅--++Ddxdy yx a y x a y x a2222221注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知⎰⎰--Ddxdy yx a x 222=⎰⎰--Ddxdy yx a y 222=0，所以原式=⎰⎰Ddxdy a=2aa π⋅=3a π.4.解利用高斯公式原式=()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 2其中Ω为S 所围成的空间区域。

由Ω关于坐标平面的对称性知⎰⎰⎰Ωxdxdydz =⎰⎰⎰Ωydxdydz =0，所以，原式=⎰⎰⎰Ωzdxdydz 2=⎰⎰⎰+1222y x D zdz dxdy xy=()⎰⎰--xyD dxdy y x 221=()⎰⎰-12201ρρρθπd d=2412ππ=⋅5.解原式=()()[]()⎰+--π202222sin cos 1cos 1dt t a t a t a=()⎰-π20253cos 12dt t a =⎰π20253sin 8dt at=du u a⎰π53sin 16=315256a 6.解 ()()()()()x f y x Q y x f e y x P x -=+=,,,要使曲线积分与路径无关，当且仅当xQ y P ∂∂=∂∂，即()()x f x f e x '-=+ 解此微分方程可得()x xe Cex f 21-=-，又()210=f ，所以C =1,故()x x e e x f 21-=- 现在计算从()0,0A 到()1,1B 的曲线积分的值.由于积分与路径无关，故选取有向折线________CB AC +进行积分，其中()0,1C 。

2021年高三数学下学期第十一次大练习文(含解析)

2021年高三数学下学期第十一次大练习文（含解析）1．复数满足，则复数的实部与虚部之差为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由得，所以复数的实部与虚部之差为1-1=0. 2.已知集合，，则等于A ．（-∞，5）B ．（-∞，2）C ．（1，2）D ．【答案】C 【解析】因为集合，，所以=（1，2）。

3. 执行右边的程序框图，若输出的是，，则判断框内的应是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：231111713,22228n n n s s =+==+=++=，此时应输出，故判断框内的应是4.4.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由三视图知：该几何体为底面边长是2，髙为1的正三棱柱，所以该几何体的体积为。

5. 已知数列的前项和为，且，则等于A.B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】当；。

6. 的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】222211sin140cos50sin(250)cos70sin70cos701222 cos155sin25cos25sin25cos50cos50 -==== --。

7. 函数的大致图像是A B C D【答案】B【解析】函数的图像是由函数向左平移一个单位，然后再把函数图像y轴左侧的去掉，并把右侧的对称到左侧去，所以答案选B。

8.设，把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为A． B． C． D.【答案】D【解析】因为，所以，又因为把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为。

9.过点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A、B，0为坐标原点，则的外接圆方程是A． B．C． D．【答案】A【解析】由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|，半径为外接圆的圆心为线段OP的中点是（2，1），所以的外接圆方程是。

高数下册课后习题答案(机械工业出版社).

∂2z ∂x∂y
=
2 yf1′ +
2xf 2′
+
2 xy 3
f1′′1
+
5x2
y2
f1′′2
+
2x3 yf2′′2 ;
∂2z ∂y 2
=
2xf1′ + 4x2 y 2
f1′1′
+
4x3 yf1′2′
+
x4
f 2′′2 ;
(3)
∂2z ∂x 2
= e x+ y f3′ −
f1′sin x +
f1′′1 cos2 x + 2 f1′3′ e x+ y cos x +
3．（8 ,16）; 55
4. 正方体的边长为 2a . 3
5。（8 ,16） 55
6. 当矩形的边长为 p , 3
该矩形的周长）
p 时，饶短边旋转所得的圆柱体的体积最大。（其中 p 表示 6
8． − 1 2
9．(1)
在
x
=
64 ,
y
=
38
时取得最大收益;
21 21
(2) 当 x = 0.25, y = 1.25 时收益最大.
⎪
⎪ ⎩
z = 0;
(0 ≤ t ≤ 2π )
习题 7.5 1．略
2. 3x − 7 y + 5z − 4 = 0
3. x − 3y − 2z = 0
4.
6x + 8y + 7z −139 = 0
5．
(1)
y+5=0
(2) x + 3y = 0
(3) 9 y − z − 2 = 0

高等数学下册第十一章习题答案详解

高等数学下册第十一章习题答案详解1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0LP x y x =⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明：(,)d (,0)d bLaP x y x P x x =⎰⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．故()(),d ,0d bLaP x y x P x x =⎰⎰3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）22()d Lxy x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周()222x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；（3）d d Ly x x y +⎰,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π2的一段弧；（4）22()d ()d Lx y x x y y x y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（5）2d d d x x z y y z +-⎰Γ,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0到π的一段弧；（6） 322d 3d ()d x x zy y xy z ++-⎰Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线；（7）d d d x y y z -+⎰Γ,其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里AB C 、、依次为点1,0,0（）、010（，，）、(001)，，；（8）22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π．故()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π220π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x xz y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415L x xy x y xy yx x x x x x x xxx x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰4. 计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 分别是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；（4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y=⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰5. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由(,0)a 沿椭圆移动到0,Bb （）,求力所做的功. 解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6. 计算对坐标的曲线积分：（1）d xyz z ⎰Γ,Γ为2221x y z ++=与z y =相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ卦限；（2）222222(-)d ()d ()d y z x z x y x y z +-+-⎰Γ,Γ为2221x y z ++=在第Ⅰ卦限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分. 方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分．解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos x ty tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π2π2202π202π0222d cos sin sin cos d 2sin cos d 2sin 2d 21cos 4d 22πxyz z t t t t t t t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233yz x z x y x y zt t t t tt t tt t Γ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y z y z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰ 习题11-31. 应用格林公式计算下列积分：（1）(24)d (356)d Lx y x x y y -+++-⎰,其中L 为三顶点分别为()()0,0,3,0和(32)，的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin e )d (sin 2e )d x x Lx y x xy x y x x x y y +-+-⎰,其中L 为正向星形线222333x y a +=0a >（）；（3）3222(2cos )d (12sin 3)d Lxy y x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22πx y =上由点0,0（）到点π,12⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧；（4）22()d (sin )d Lxy x x y y --+⎰,其中L 是圆周22y x x =-上由点0,0（）到()1,1的一段弧；（5）(e sin )d (e cos )d x x Ly my x y m y -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(),0a 到0,0（）经过圆22x y ax +=上半部分的路线（a 为正数）.图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Qx∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ，则2cos 2sin 2e x P x x x x y y∂=+-∂，2cos 2sin 2e x Qx x x x y x∂=+-∂．从而P Qy x∂∂=∂∂，由格林公式得．()()222d dcos2sin e sin2ed d++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x xLDx yx y x xy x y x x yQ Px yx y(3)如图11-5所示，记OA，AB，BO围成的区域为D．（其中BO=-L）图11-5P=2xy3-y2cos x，Q=1-2y sin x+3x2y2262cosPxy y xy∂=-∂，262cosQxy y xx∂=-∂由格林公式有：d d d d0L OA AB DQ PP x Q y x yx y-++∂∂⎛⎫-+==⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π2122001222d d d dd d d dππd d12sin3243d12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅⎪⎝⎭⎛⎫=-+⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L OA ABOA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy yyy y(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO DQ PP x Q y x yx y而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x，即，0∂∂-=∂∂Q P x y 于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LLBA OB P x Q y x yx y x y x y x yx y x y x y x y y x x y x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x P y m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m a P x Q y P x Q y m a xm m m a xm a2. 设a 为正常数，利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1）星形线 33cos ,sin ;x a t y a t == （2）双纽线 22cos2;r a θ= （3）圆 22x y ax ++=解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y xa a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 3. 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：（1）(1,1)(0,0)()(d d )x y x y --⎰；（2）(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰；（3）(1,2)2(1,1)d d y x x yx +⎰沿在右半平面的路径；（4）(6,8)(1,0)⎰.证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y∂=-∂，2123Qxy y x∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关．取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xyy x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Qy x∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关．取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q ，且P Qy x∂∂==∂∂分在不含原点的区域内与路径无关，取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,811,0801529x y =+⎡=+⎣=⎰⎰⎰4．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个函数(),u x y :（1）()()2d 2d x y x x y y +++；（2）22d d xy x x y +;（3）223238d 812e d yx y xy x x x y y y ++++（）（）；（4）222cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-（）（）. 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x y x y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Qx y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Qx xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyyy y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x y x∂=-∂，有P Qy x∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰5.证明：22xdx ydyx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数。

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言在学习高等数学课程中，习题是提高理解和掌握知识的重要方式。

然而，有时候我们在学习的过程中可能会遇到一些难题，不知道如何解答。

为了帮助同学们更好地学习和掌握高等数学知识，我们整理了高等数学同济第七版下册的习题与答案完整版，供大家参考。

第一章无穷级数习题1.11.讨论级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 的敛散性。

2.求级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。

答案1.首先，我们将这个级数进行比较审敛法。

考虑到n3+2n的最高次项为n3，而(2n2+3n−4)2的最高次项为(2n2)2=4n4，因此我们可以得到 $\\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2} < \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$。

根据比较审敛法的基本原理，只需讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$ 的敛散性。

根据级数的性质，我们可以分别求前两项、前三项的和，并观察和的变化规律。

经过计算，可得前两项的和为 $\\frac{1}{16}$，前三项的和为 $\\frac{5}{96}$。

观察可以发现，当 n 的值逐渐增大时，和逐渐减小，并且趋于一个有限值。

因此，根据比较审敛法，原级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 也收敛。

2.我们可以使用交错级数的性质求解这个问题。

根据交错级数的性质，交错级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^p}$ 的和为 $S = \\ln 2$，其中n=1。

对于这个问题，我们可以发现，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的形式和交错级数一样，只是n=2。

高数答案第11章

第十一章曲线积分与曲面积分 (09级下学期用) § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，()=⎰Lds y x f ,（ B ）()⎰1,L ds y x f C. ()⎰-1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,则⎰+Lyx ds =( C )24 D. 223、有物质沿曲线L ：()103,2,32≤≤===t t z t y t x 分布，其线密度为,2y =μ，则它的质量=m ( A )++1421dt t t t B.⎰++14221dt t t tC.⎰++1421dt t t D.⎰++1421dt t t t4．求,⎰Lxds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界解：,⎰Lxds =()22155121241111+-=++⎰⎰xdx dy yy 5．,ds y L⎰其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x解：原积分=()()222sin 4sin 442022'2441-==+=⎰⎰⎰a d ad r r r ds y L χππθθθθθ6．⎰+Lds y x ,22其中L 为()022>=+a axy x原积分222cos 2a adt t a ==⎰π7．,2⎰Lds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是L 的参数方程：t a z t a y t a x sin ,sin 2,cos 2===，又adt ds =原积分=⎰=ππ203222cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标33,30===⎰∞-dt e M dt e ds tt，523cos 100==⎰∞-dt e t e Mx t t ，21,5100=-=z y§2 对坐标的曲线积分一、选择题1.设L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x P ,关于y 是偶函数时，()=⎰Ldx y x P ,( D) A.0 B. ()⎰1,2L dx y x P C.()⎰-1,2Ly x P 都不对2．设L 为1=+y x 的正向，则=++⎰Ly x ydyxdx 3．L 为222a y x =+的正向，=+--+⎰Lyx dyy x dx y x 22)()(( B ) A.2ππ C.0 D.π二、计算1．()()dy y x dx y x L⎰-++2222，其中L 由曲线()2011≤≤--=x x y 从()0,2A 到()0,0O 方向解：()1,1B 01:,:;12:,2:_______→=→-=x x y BO x x y AB=I =+⎰⎰_______BOAB ()()()()()()34122012212222-=++---+-+⎰⎰dx x xdx x x dx x x2．[]d y y x x xy y dx y x L)ln((2222+++++⎰ 其中L 是正向圆周曲线222a y x =+解：由奇偶对称性022=+⎰Ldx y x ，L ：ππ→-==:,sin ,cos t t a y t a x=I ()()=++⎰-dt t a t t a dt t t acos 1ln cos sin cos sin 3224πππππ4cos sin 4224a dt t t a =⎰-3．()⎰Γ-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点()1,1,1A 到()4,3,2B 的有向线段解：Γ方程：13,12,1+=+=+=t z t y t x ，=I ()136141=+⎰dt t三、过()0,0O 和()0,πA 的曲线族()0sin >=a x a y ，求曲线L 使沿该曲线从()0,0O 到()0,πA 的积分()()dy y x dx y L+++⎰213的值最小解：()()[]3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+++=⎰ππ()()()0811,014''2'>=⇒=⇒=-=I a a a I 。

高等数学(本科)第十一章课后习题解答

习题11.11.回答下列问题.(1)何谓级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和？何谓级数∑∞=1n n u 的收敛和发散？何谓收敛级数的和？【答】（1）∑∞=1n n u 的前n 项部分和是指(),...2,11==∑=n u S nk k n ；（2）∑∞=1n n u 收敛是指s S n n =∞→lim 存在，这时并称s 为∑∞=1n n u 的和；∑∞=1n nu发散是指n n S ∞→lim 不存在.(2)当公比q 取何值时，等比级数∑∞=-11n n aq 收敛？当公比q 取何值时，等比级数∑∞=-11n n aq发散？写出收敛时的和数.【答】（1）当1<q 时，∑∞=-11n n aq 收敛，且其和数为qas -=1；（2）当1≥q 时，∑∞=-11n n aq 发散.(3) 级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件是什么？它是否也是充分条件.请举例说明.【答】（1）∑∞=1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞→n n u ；（2）0lim =∞→n n u 不是∑∞=1n n u 收敛的充分条件.比如，01lim =∞→n n ，但∑∞=11n n发散.2.若级数()()()......2211+++++++n n b a b a b a 收敛，去掉括号之后的级数级数......2211+++++++n n b a b a b a 是否还收敛？它说明了什么？【答】未必，比如()()() (1111111)+-++-+=-∑∞=-n n .3.把下列级数写成级数”“∑的形式.(1) ...5ln 5ln 5ln 32+++ ；【解】∑∞==+++1325ln ...5ln 5ln 5ln n n ；(2) (8)141211-+-+- ；【解】()11211...8141211-∞=∑-=-+-+-n n n ；(3) ...001.0001.0001.03+++ ；【解】()nn 113001.0...001.0001.0001.0∑∞==+++；(4)...751531311+⨯+⨯+⨯. 【解】()()∑∞=+-=+⨯+⨯+⨯112121...751531311n n n . 4.根据级数收敛与发散的定义，判别下列级数的敛、散性.(1) (8)1614121++++；【解】nn 1.21...816141211∑∞==++++发散.(2)∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2211ln n n；【解】记()()n n n n n n n n u n 1ln 1ln 11ln11ln 22++-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,...)2(=n 则 1432...+++++=n n u u u u S⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n 1ln 1ln ...45ln 43ln 34ln 32ln 23ln 21lnn n n n n n 1ln1ln 1ln ...43ln 34ln 32ln 23ln 21ln ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ,...)2,1(11ln 21ln =⎪⎭⎫⎝⎛++=n n因为 21ln lim =∞→n n S ，所以∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2211ln n n 收敛. (3) ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+14122ln n nn n ；【解】因∑∞=122ln n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛=122ln n n及∑∞=141n n nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=141均收敛，故∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+14122ln n n n n 收敛. (4) (1)31...2191131+++++++n n ；【解】因为 (3)1...9131++++n 收敛，但 (1)...211++++n 发散，故原级数发散.(5) (4)33221+++ ；【解】级数的通项为 ,...)2,1(1=+=n n nu n ，因为01lim ≠=∞→n n u ，故...433221+++发散.(6) ...cos ...3cos 2cos cos +++++nππππ ；【解】级数的通项为 ,...)2,1(cos ==n nu n π，因为010cos lim ≠==∞→n n u ，故...cos ...3cos 2cos cos +++++nππππ发散.(7) nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-12ln ；【解】级数的通项为 ,...)2,1(2ln =⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n u nn ，因为02ln 21ln lim lim 222≠-==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∞→∞→en u n n n n ，故nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-12ln 发散.(8) (9)898983322+-+-.【解】...9898983322+-+-nn ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-=198是等比级数，且公比98-的绝对值小于1，故...9898983322+-+-收敛.5.已知级数∑∞=1n n u 的部分和3n S n =，当2≥n 时，求n u .【解】(),...)2(13312331=+-=--=-=-n n n n n S S u n n n .6.若级数∑∞=1n n u 收敛，记∑==ni i n u S 1，则（B ）A. 0lim =∞→n n S ； B. n n S ∞→lim 存在；C. n n S ∞→lim 可能不存在； D. {}n S 是单调数列.7.若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列级数中收敛的是（A ）A. ∑∞=110n n u； B.()∑∞=+110n nu；C. ∑∞=110n nu ； D.()∑∞=-110n nu.8.设501=∑∞=n n u ，1001=∑∞=n n v ，则()∑∞=+132n n n v u （D ）A. 发散；B. 收敛，和为100；C. 收敛，和为50；D. 收敛，和为400. . 9.下列条件中，使级数()∑∞=+1n n n v u 一定发散的是（A ）A.∑∞=1n nu发散且∑∞=1n n v 收敛； B.∑∞=1n nu发散；C.∑∞=1n nv发散； D.∑∞=1n nu和∑∞=1n n v 都发散.10.设级数()∑∞=-11n n u 收敛，求n n u ∞→lim .【解】因为()∑∞=-11n n u 收敛，故根据级数收敛的必要条件知()01lim =-∞→n n u ，所以 =∞→n n u lim ()[]=--∞→n n u 11lim ()1011l i m1=-=--∞→n n u .11.将下列循环小数表示为分数 (1) ∙3.0 ；【解】...003.003.03.03.0+++=∙是公比为1.0=q 的等比级数，故311.013.03.0=-=∙. (2) ∙∙370.0.【解】...0000073.000073.0073.0370.0+++=∙∙是公比为01.0=q 的等比级数，故.9907301.01073.0370.0=-=∙∙12.设级数∑∞=1n n u 满足条件：（1）0lim =∞→n n u ；（2）()∑∞=-+1212n n n u u 收敛，证明级数∑∞=1n n u 收敛.【解】记∑∞=1n n u 的前n 次部分和数列为{}n S .又记()∑∞=-+1212n n n u u 的前n 次部分和数列为{}n σ.则有(),...2,12==n S n n σ.因为已知()∑∞=-+1212n n n u u ，故根据级数收敛的定义知 =∞→n n σl i ms S n n =∞→2lim ①存在；又已知0lim =∞→n n u ，故0lim 12=+∞→n n u ，从而=+∞→12lim n n S ()s s S u n n n =+=++∞→0lim 212②也存在.综合①、②式知s S n n =∞→lim 存在，所以级数∑∞=1n n u 收敛.13.小球从1米高处自由落下，每次弹起的高度均为前一次高度的一半，问小球会在自由下落约多少秒后停止运动？【解】小球为自由落体运动，即212s gt =。

高数下册第11章复习题与答案

第十一章-无穷级数练习题（一）. 基本概念1.设∑∞=1n n U 为正项级数，下列四个命题（1）若,0lim =∞→n n U 则∑∞=1n n U 收敛；（2）若∑∞=1n n U 收敛，则∑∞=+1100n n U 收敛；（3）若,1lim 1>+∞→nn n U U 则∑∞=1n n U 发散；（4）若∑∞=1n n U 收敛，则1lim 1<+∞→nn n U U ．中, 正确的是( ) A ．(1)与(2); B ．(2)与(3);C ．(3)与(4);D ．(4)与(1)．2.下列级数中，收敛的是（）． A ．∑∞=11n n ； B ．∑∞=+112n n n ； C ． +++3001.0001.0001.0; D ． +⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+43243434343． 3.在下列级数中，发散的是（）． A ．∑∞=-11)1(n n n ；B ．∑∞=+11n n n； C ．∑∞=131n nn;D ． +-+-44332243434343．4.条件（）满足时，任意项级数1nn u∞=∑一定收敛.A. 级数1||n n u ∞=∑收敛；B. 极限lim 0n n u →∞=；C ．极限1lim1n n nu r u +→∞=<；D. 部分和数列1n n k k S u ==∑有界.5.下列级数中条件收敛的是（）．A . ∑∞=11cos n n ; B. ∑∞=11n n ;C. ∑∞=-11)1(n n n ; D. ∑∞=-11)1(n n n n ．6.下列级数中绝对收敛的是（）．A . ∑∞=-11)1(n n n ; B. ∑∞=-121)1(n n n ; C. ∑∞=+-11)1(n n n n ; D. ∑∞=11sin n n ．（二）. 求等比级数的和或和函数。

提示：注意首项 7.幂级数 1021+∞=∑n n n x 在)2,2(-上的和函数=)(x s ． 8.幂级数 ∑∞=-04)1(n n nnx 在)4,4(-上的和函数=)(x s ．9.无穷级数125()3n n ∞=∑的和S = .（三）. 判定正项级数的敛散性。

高等数学课后习题答案--第十一章.

《高等数学》习题参考资料第五篇概率论与数理统计第十一章概率论§ 1 概率习题1. 设一个工人生产了5 个零件, 用Ai表示“第i个零件是正品”，i=1,2,3,4,5，试用Ai表示下列事件：（1）没有一个次品；（2）最多有3个次品；（3）只有2个次品；（4）至少有3个次品.【答案】 (1) B1=A1A2A3A4A5;(2) B2=A1A2+A1A3+A1A4+A1A5 +A2A3+A2A4+A2A5 +A3A4+A3A5+A4A5;(3) B3=A1A2A3A4A5+A1A23A45 +A12A3A45+1A2A3A45+A1A234A5+A12A34A5+1A2A34A5+1A23A4A5+A123A4A5+12A3A4A5;(4) B4=+12345 +A12345+1A2345 +12A345+123A45+1234A5+A1A2345+A12A345+A123A45+A1234A5+1A234A5+1A23A45+1A2A345+123A4A5+12A34A5+12A3A45.2. 已知P(B)=0.3, p(A∪B)=0.6, 求P(A).【答案】 P(A)=P(A∪B)−P(B)=0.3.3. 如果事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论成立的是:(1) A与B互逆; (2) AB为不可能事件; (3) P(A)=0或P(B)=0; (4)AB未必是不可能事件.【解】(1) 和(2)成立. (3),(4) 不成立.2184. 已知P(A∩B)=P(∩), 且P(A)=p, 求P(B).【答案】P(B)=1−p.5. 设事件A,B的概率分别为P(A)=和P(B)=, 且P(AB)=12141, 求P(B)和10P(A)【解】P(B)=P(B)−P(AB)=32; P(A)=P(A)−P(AB)=.2056. 对任意三个事件A,B,C, 试证P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC).并把这个结论推广到n个事件的情况【解】 P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(C)−P((A∪B)∩C)=P(A)+P(B)−P(AB)+P(C)−P(AC∪BC)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC).7. 十把钥匙, 其中有3把能打开房门, 现从中任取2把, 求能打开房门的概率.11C3C7+C328 【答案】 p==.215C108. 甲、乙、丙各自向同一个目标射击一次, 已知它们的命中率分别为0.7 ,0.8 和0.75, 求目标被击中2次的概率.【解】设A,B,C分别表示甲乙丙射中目标的事件,p=P(AB+P(A)+P(BC)=0.7×0.8×0.25+0.7×0.2×0.75+0.3×0.8×0.75=0.14+0.105+0.18=0.425.9. 男人的性染色体为(x,y), 女人为(x,x). 当生殖细胞作成数分裂时. 这时染色体分配在两个细胞中. 如果某种遗传病和隐性遗传病都在染色体x上, 把这种染219色体记为x*. 对于男人, 性染色体为x*,y时为隐性遗传病患者. 对于女人, 性染色体为x*,x*时, 为隐性遗传病患者, 性染色体为(x*,x)或(x,x*)时为隐性遗传病携带者. 讨论子女为隐性遗传病患者(A1)和隐性遗传病携带者(A2)的概率.【解】除去父母均为正常者之外, 列表如下:父母子女儿 P(A1) P(A2) P(A1+A2)111(x,y) (x*,x) (x,y),(x*,y) (x,x),(x,x*) 44211**(x,y) (x*,x*) (x*,y),(x*,y) (x,x),(x,x) 12211(x*,y) (x,x) (x,y),(x,y) (x*,x),(x*,x) 0 22113(x*,y) (x*,x) (x*,y),(x,y) (x*,x*),(x*,x) 244(x*,y) (x*,x*) (x*,y),(x*,y) (x*,x*),(x*,x*) 1 0 1()()10. 若班上有40个同学, 每个人的生日是一年365天中的哪一天是等可能的.试求班上至少有两位同学的生日在同一天的事件A的概率.【解】此问题也类似一个分房问题. 把365天看作365个房间, 事件A的对立事件是“没有两个同学在同一天生日”的事件, 它就相当于每个同学占据一天的日子一样. 于是按例10知N! P(A)=(N−n)!⋅NnN=365,n=40, 因而365!N!1=−=1−0.109=0.891,P(A)=1−P(A)=1−(N−n)!⋅Nn(365−40)!⋅36540即班上至少有两个同学在同一天生日的可能性达到89%.若n =20, 则概率就接近0.5.若n = 50, 则概率达到97%.若n = 100, 则概率几乎达到1.11. 从 0,1,2,L,9十个数字中任取3个组成三位数, 问这个三位数是偶数的概率.111C92P2+C4C8C841【答案】p==181C9P12. 某人写了3封信, 并分别在3 个信封上写了这3封信的地址, 如果他任意地将3 张信纸装入3个信封中, 求没有一封信的信封和信纸是配对的概率..220【解】设A表示”至少有一封信的信封和信纸是配对”的事件. Ai表示”第i个111信封和自己的信纸配对”的事件. P(Ai)=, P(AiAj)==, i≠j,33!611P(A1A2A3)==. A=A1+A2+A3, 于是3!6P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) −P(A1A2)−P(A2A3)−P(A1A3)+P(A1A2A3) 11141=3×−3×+=，因此P()=1−P(A)=.3666313. 设100个成品中有3 个是次品, 任取5个, 求其次品数分别为 0 , 1 ,2 , 3 的概率. i5−iC3C97, i=0,1,2,3. 【答案】 pi=5C10014. 设一个口袋里有十个硬币, 其中五分的有2个, 二分的有3 个, 一分的有5 个, 若从中任取5个硬币, 问其总值大于10 分的概率.23131122C2C8+C2C3C5+C2C3C5126 【答案】 p===0.55252C1015. 设100件产品中有5件次品, 现从中随意地抽取10 件, 求这10 件中恰有3件次品的概率.37C5C 【答案】 p=1095.C10016. 电路由元件A 和两个并联的元件B和C串联而成. 设元件A , B , C 损坏的概率分别是0.3 ,0.2 , 0.25 . 求电路发生故障的概率.【解】E=A∪(B∩C),P(E)=P(A)+P(BC)−P(ABC)=0.3+0.05−0.015=0.33522117. 设100件零件中, 次品率为10%, 先后从中各任取1个, 第一次取出的零件不放回, 求第二次取得正品的概率.【答案】p=989190×+×=0.91099109918. 设口袋中有a个黑球, b个白球 (b>2), 球的大小和质地一样, 甲, 乙,丙三人依次从口袋中任取一个球, 取后不放回, 分别求出三人各自取得白球的概率.【答案】19. 设12个乒乓球中有9个是新的, 3个是旧的, 第一次比赛取出了3 个, 用完后放回, 第二次比赛又取出3 个球, 求第二次比赛取出的3 个球中有2个是新球的概率. 031212121123012C3C9C6C6C3C9C5C7C32C9C4C8C3C9C3C91377= 【答案】p=.+++333333333025C12C12C12C12C12C12C12C12b.a+b20. 设10个考签中有4个是难题, 三个人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每个人抽一题, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明三个人抽到难题的概率是相同的.【解】本题类似18题, 每个人抽到难题的概率都是42=.10521. 两封信随机地投入到4个邮筒里. 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.1C2⋅33221 【答案】 p1=2=, p2=2=.484422. 二维随机点(m,n)在区域|m|<1,|n|<1中等可能地出现, 求方程x2+mx+n=0的两个根都是正根的概率222【答案】 n>0且 m<0且m2−4n>0,p=1.4823. 把长度为a的铁丝任意折成三段, 求它们可以构成一个三角形的概率.【解】设三段为x,y,a−x−y, 于是0<x<a, 0<y<a, ; 根据三角形两边和大于第三边, 则符合条件的是0<x<aaa, 0<y<, <x+y<a, 如图.22221 a 12 2 因此所求概率p==.24a224. 从(0,1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率 (1) 两数之和小于(2) 两数之积小于; (3) 同时满足前两个条件.146;51441−××255=17=0.68; 【解】 (1) p=125(2)p=1111×1+1=(1+ln4)=0.567;4444x6−1011 5 5 −x dx+6−+6+ −x dx=0.593.4x 6 10 6106+1 (3) p=×1+15525. Buffon问题在平面上画出等距离a的平行线, 向此平面随机地投掷一根长为l(l<a)的针. 试求针与平行线相交的概率.223【解】以M表示针的中点, x表示M与最近的平行线的距离, t表示针与a平行线的夹角, 显然0≤x≤, 0≤t≤π, 针与平行线相交的充分必要条件是2l0<x<sint, 于是2lπsintdt∫02l=P(A)=aπaπ×226. 设有 Ai(i=1,2,3,4,5)五个相同元件构成图11.1.2所示系统, 每一个元件能正常工作的概率是p, 各元件是否正常工作是相互独立的, 问此系统能正常工作(接通)的概率?【解】将系统分成两种情况讨论,一是A3正常, 二是A3不正常, 记B为系统正常工作,Ai表示Ai元件正常工作,A3正常时相当于右图于是P(B|A3)=P((A1∪A4)∩(A2∪A5))=P(A1∪A4)P(A2∪A5)=(1−P(1)P(4))(1−P(2)P(5))=p2(2−p)2,224A3不正常时, 相当于右图P(B|3)=P((A1∩A4)∪(A2∩A5))=P(A1A2)+P(A4A5)−P(A1A2A4A5)=p2(2−p2),于是根据全概率公式,P(B)=P(A3)P(B|A3)+P(3)P(B|3)=p⋅p2(2−p)2+(1−p)⋅p2(2−p2)=p2(2p3−5p2+2p+2)《高等数学》习题参考资料第十一章概率论§ 2 条件概率全概率公式 Bayes公式习题1. 袋中有4个白球, 2个黑球, 连取2 个球, 取后不放回, 如果已知第一个是白球, 问第二个是白球的概率?3 【答案】.52. A,B为两随机事件, 且B⊂A, 则下列哪个式子是正确的: (1)P(A∪B)=P(A); (2)P(AB)=P(A); (3)P(B−A)=P(A)−P(B).(4)P(B|A)=P(B).【答案】(1) 是正确的. 其余是错误的2253. 用三个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别是0.5 ,0.35 , 0.15 , 各机床加工的零件为合格品的概率分别是0.95 , 0.92 , 0.96 ,求全部产品的合格率. 【解】p=0.5×0.95+0.35×0.92+0.15×0.96=0.941.4. 设有10 箱同样规格的产品, 其中5 箱是甲厂的产品, 次品率是是乙厂的产品, 次品率是1; 3 箱1011; 2 箱是丙厂的产品, 次品率是. 今在这10 箱产1520品中任选1箱, 再从中任取1件产品, 问它是次品的概率是多少? 又若已知取得的一件产品是次品, 它是甲厂的产品的概率是多少?【解】(1) p=∑P(Ai)P(E|Ai)=i=1351312125⋅+⋅+⋅=；（2） .1010101510202585. 有2 个口袋. 甲袋中装有2 个白球, 1个黑球; 乙袋中装有1个白球, 2个黑球. 由甲袋任取1 个球放入乙袋, 再从乙袋中任取1 个球, 求取到白球的概率.【解】p=21115⋅+⋅=.3234126. 设每次射击时命中率为0.2 , 问至少需进行多少次独立的射击, 才能使至少击中一次的概率不小于0.9 .【解】射击n次, 至少击中一次的概率为p=1−(1−0.2)n, 91−0.8n=0., 于是n=ln0.1=10.3, 因此取n=11次.ln0.87. 某设备由A , B 两个部件串联而成, 两个部件中任何一个失灵, 该设备就失灵. 若使用1000小时后, 部件A失灵的概率是0.1, 部件B 失灵的概率是0.3,若两个部件是否失灵是相互独立的, 求这个设备使用1000小时后不失灵的概率.226【解】p=1−(1−0.1)(1−0.3)=0.37.8. 某种牌号的电子元件使用到1000小时的概率为0.9, 使用到1500小时的概率为0.3, 今有该种牌号的一个电子元件已使用了1000小时, 问该电子元件能用到1500小时的概率.【解】条件概率p=139. 甲、乙两人独立地对同一目标进行射击一发子弹, 他们的命中率分别是0.7和0.8, 现在目标被命中一发, 求它是甲射中的概率.【解】利用Bayes公式: p=10. 设三次独立试验中, 事件A出现的概率相等. 若已知A至少出现一次的概率等于0.7×0.214=.0.7×0.2+0.8×0.33819, 求事件A在一次试验中出现的概率.27 191, p=;273 【解】1−(1−p)3=11. 上海电脑型体育彩票共有36个号码 (自01, 02, 03 到 36) 可供选择,每注选7个号码, 每期开奖开出七个号码. 若彩票的七个号与开奖的七个号一样(不论次序), 则中特等奖. 假定每期彩票销售4,500,000元, 有300个销售点,平均每个销售点销售15000元. 问每期彩票至少开出一个一等奖的概率是多少?经多少期彩票销售才能使至少开出一个特等奖的概率达到0.95.【解】解上海电脑型福利彩票共有36个号可供选择, 每注7个号, 因此共有7C36=8347680 (记为M) 种(注). 每次销售6,000,000元, 有300个销售点, 平均每个销售点销售20000元, 即10000张彩票. 在一个销售点售出的彩票中, 中一等奖的可能概率为100001 1 M−1 kx~B(10000,), p1=∑C1000 MMM k=1=0.001197220461.k10000−k M−1 =1− M 10000227各销售点的销售可以看作的相互独立的. 300个销售点至少有一个点销售的彩票中一等奖的概率是p300=1−(1−p1)300=1−(1−0.001197220461)300≈0.3018919036.即每期开奖至少产生一个一等奖的概率约0.302. 因此, 在k期彩票中至少产生一个一等奖的概率Pk是P=1−(1−p300)k=1−(0.63893742)k.k椐此易计算出p3 := 0.5126450857, p4 := 0.7624851875 , p5 := 0.8341889864p6 := 0.8842459889, p7 := 0.9191911877, p8 := 0.9435867139p9 := 0.9606174282, p10 := 0.9725067078, p11 := 0.9808067101若要使中奖概率达到0.95 则有k>8, 即开奖12. 在长达11年的时间里，从得克萨斯州的一个县中有870人被要求作为可能的大陪审团的陪审员，该县的人口中有墨西哥血统的美国人占79％，但只有339个有墨西哥血统的美国人被选为履行大陪审团陪审员的职责．如何用来概率模型确定：大陪审团陪审员的选择对有墨西哥血统的美国人来说并非没有种族歧视．【解】若没有种族偏见则339个或更少的墨西哥血统的美国人被选为陪审员的概率为∑n=0339−nC[n0.79p]C[8700.21p]C870p，其中p是该县的人口数, p是个很大的数，若p=10000, 则此概率为0.20848×10−161, 几乎为0.13. 某场比赛进行五局, 并以五战三胜决定胜负. 若已知甲方在每一局中的胜率为0.6, 求甲方在比赛中获胜的概率是多少?【解】获胜有三种情况: 3:0, 3:1, 3:2, 于是p(A1)=p3=0.216,P(A2)=C32p2(1−p)⋅p=0.259,22 P(A3)=C4p(1−p)2⋅p=0.207,因此 p=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.682.22814. 假设有三张形状完全相同, 但所涂颜色不同的卡片, 第一张两面全是红色, 第二张两面全是黑色, 第三张是一面红一面黑, 将这三张卡片放在帽子里经充分混合后, 随机地取出一张放在桌上, 如果取出的卡片朝上的一面是红的, 那么它的另一面为黑的概率是多少.1 【解】 . 注意两面全是红色的卡片有正反面向上两种可能, 因此符合“卡片3朝上的一面是红的”条件的情况有三种, 另一面为黑的仅一种情况.15. 若选择题有m种答案, 考生可能知道答案, 也可能瞎猜. 设考生知道正确答案的概率是p , 瞎猜的概率是1−p, 考生瞎猜猜对的概率为问他确实知道正确答案的概率是多少.1, 如果已知考生答对了,m【解】mp.1+(m−1)p16. 瓷杯成箱出售, 每箱20只, 假设各箱含0, 1, 及 2只残次品的概率分别为0.8,0.1, 0.1, 一顾客欲购一箱瓷杯, 购买时, 任取一箱, 从中任意地察看4只, 若无残次品,则就买下, 否则退回. 试求: (1) 顾客买下该箱的概率; (2) 在顾客买下该箱的瓷杯中,确实没有残次品的概率.【解】 (1) 44895; (2) .47511217. 在n双不同的鞋中任取2r 只(r<n), 求 (1) 其中没有成双的概率; (2) 恰好有2 双的概率; (3) 有r双的概率.2r 【解】样本点总数有C2n. (1) 可以先从n双中取出2r双, 再从每双中任取r22rCn一只, 于是p1=; (2) 先从n双中任取2双, 再从n−2双中取出2r−4双,2rC2n r2r−2n22r−2CnCn−1再从每双中任取一只, 于是p2=; (3) p3=2r.2rC2nC2n229《高等数学》习题参考资料第十一章概率论§3 一维随机变量习题1. 设有m件产品, 其中n件为次品, 从中任取k件 (k<m), 记取得的次品数为ξ, 试写出ξ的概率分布.【解】根据题意认为n≤m, 由于有较多的未知参数, 因此应该讨论这些参数的不同情况.2. 设离散型随机变量ξ以正的概率只取 1, 2 , 3 , 又设P(ξ=1)=0.4,P(ξ=3)=0.5. (1)计算P(ξ=2); (2) 求ξ的分布和分布函数.【解】(1)P(ξ=2)=0.1,(2) 分布律: ξ=ip1230.40.10.5x≤1 0, 0.4,1<x≤2 分布函数F(x)= 0.5,2<x≤33<x 1,2303. 设随机变量ξ的密度函数为 A x∈[−2,2],4−x2, ϕ(x)= 2π x∉[−2,2], 0,求 (1) 系数A 的值; (2) ξ的分布函数F(x), 并作图.【解】(1) A=1;0, x 1 (2) F(x)= 2π+4arcsin+x4−x2 ,2 4π 1, x≤−2−2<x<2x≥24. 从学校到市中心广场共有六个十字路口, 假定在各个十字路口遇到红灯的事件是相互独立的, 且概率都是0.4. 以ξ表示遇到的红灯数, 求随机变量ξ的分布. 以η表示汽车行驶过程中在第一次停止前所经过的路口数, 求η的分布.【解】011C60.650.4234560.6635C620.640.42C60.630.43C640.640.44C60.610.450.46012345 6∗0.660.40.4⋅0.60.4⋅0.620.4⋅0.630.4⋅0.640.4⋅0.65∗假定过了6站后停下.5. 设某种疫苗中所含细菌数服从Poisson分布. 设1毫升疫苗中平均含有一个细菌, 把这种疫苗放入5只试管中, 每只试管放2毫升. 试求: (1) 5 只试管中都有细菌的概率; (2) 至少有3 只试管中有细菌的概率 (提示: λ=2). 【解】每只试管中有细菌的概率为p, 记ξ表示细菌个数, η表示有细菌的试管20−2数, 于是p=P(ξ≥1)=1−P(ξ=0)=1−e≈0.8647,0!(1) 5 只试管中都有细菌的概率为P(η=5)=p5=0.86475≈0.4833;231(2) 记q=1−p, 至少有3 只试管中有细菌的概率332550P(η≥3) =C5pq+C54p4q1+C5pq=0.4834+0.3782+0.1184=0.980.6. 某乘客在某公交车站候车的时间 (以分计) ξ服从指数分布, 其概率密度函数x 1−5 ϕξ(x)= 5e,x>0，x≤0 0,某乘客在候公交车时, 若等车超过 10 分钟, 他就离开而乘出租车. 该乘客一个星期要乘车 5 次, 若以η 表示一周内他乘出租车的次数, 写出η的分布律, 【解】每天等车时间超过10分钟的概率p=∫ϕξ(x)dx=∫−∞101001edx=−e5−x5−x1050=1−e−2于是η的分布律:η=kP(=k)011C5pq423332C5pq45q5C52p2q3C54p4qp57. 设随机变量ξ服从N(0,1), 那么Φ0(0),ϕ0(0),P(ξ=0)各取什么值, 它们各表示什么意思?【解】Φ0(0)=0, ϕ0(0)=12, P(ξ=0)无意义.8. 设随机变量ξ服从N(0,1), 求P(ξ<2.5), P(ξ≥−1), P(−1.5≤ξ≤1). 【解】P(ξ<2.5)=0.99379, P(ξ≥−1)=2×0.841345-1=0.68269,P(−1.5≤ξ≤1)=0.5-(1-0.933193)=0.433193.2329. 设随机变量ξ服从N(−1,16), 求P(ξ>−1.5), P(ξ<8), P(|ξ|<4). 【解】P(ξ>−1.5)=0.5478, P(ξ<8)=0.988, P(|ξ|<4)=0.668.10. 设随机变量ξ服从N(0,1),求a值, 分别使（1）P(|ξ|<a)=0.975, （2）P(ξ>−a)=0.975，（3）P(ξ<a)=0.975.【答案】 (1)a=2.24, (2) a=1.96, (3) a=1.96.11. 设随机变量ξ的概率分布密度为ϕ(x)=e−|x|,12求 (1) 随机变量ξ的分布函数F(x); (2) P(a≤ξ≤b), P(ξ≥a), P(ξ≤b), 其中 a<0,b>0.1xx≤0 2e,【解】(1) F(x)= ,1−x 1−e,x>0 21111 (2) P(a≤ξ≤b)=1−e−b−ea, P(ξ≥a)=1−ea, P(ξ≤b)=1−e−b.222212. 设某商品的月销售量服从参数为7的Poisson分布,. 问在月初商店要进货多少此商品, 才能保证当月不脱销的概率为0.999.【解】不脱销表示商店到月末还有货. 设月销售量为ξ因此问题是求 k ,使P(ξ>k)≤0.001, 即P(ξ≤k)≥0.999, 计算λ=7的Poisson分布值,P(ξ≥16)=0.002407, 000958P(ξ>16)=0.,001448P(ξ=16)=0.>0.001,P(ξ=17)=0.000596<0.001, 因此k=17, 月初的最少进货应该是k−1=16个单位.13. 设某地在任何长为t(周)的时间内发生地震的次数n(t)服从参数为λt的Poisson 分布. (1) 若T表示直到下一次地震发生所需的时间(周), 求T的概率分布. (2) 求相邻三周内至少发生3次地震的概率. (3) 在连续8周无地震的情况下, 下8周仍无地震的概率’233(λt)k−kt 【解】 P(n(t)=k)=e.表示在t时间间隔内发生k次地震.k!(1) P(T≥t)=P(n(t)=0)=e−λt, 它表示在t时间间隔内不发生地震的概率，于是T的分布函数F(t): t≤0时,F(t)=0; t>0时, F(t)=P(T<t) =1−P(T≥t)1−e−λtt>0=1−e. 即F(t)= , 即T服从参数为λ的指数分布;≤0t0这表明Poisson过程的来到间隔服从指数分布;(2) 相邻三周内至少发生3次地震, 即在3周时间内发生三次以上地震P(n(3)≥3)=1−P(n(3)<3)=1−P(n(3)=0)−P(n(3)=1)−P(n(3)=2)−λt9λ2e−2λ9=1−e−3λe−=1−(1+3λ+λ2)e−3λ;22P("T≥16"⋅"T≥8")P("T≥16"⋅)e−16λ(3) P("t≥16"|"T≥8")= = =−8λ =e−8λ.P("T≥8")P("T≥8")e这说明指数分布具有无记忆性.3λ−3λ14. 设有800万个质点独立地散布在容积为2千立方米的一个水池中, 每一个质点在水池各处是等可能的. 求从这个水池中任取的1 升（0.001立方米）水中含有质点个数ξ的分布密度.8,000,000=4即np=λ=4，2,000×1,0001或解: 一个质点落在1升水中的概率是p=，8,000,000个质点相当于2,000,000 8,000,000次Bernoulli试验, 于是1升水中含有质点数ξ,服从的分布【解】在一升水中平均有质点 pk=Ck8000000p(1−p)k8000000−k(np)k−np4k−4≈e=ek!k!15. 某射手有6发子弹, 命中率为0.85, 如果命中了, 就停止射击, 如果不命中, 就一直射下去, 直到子弹用完为止. 求耗用子弹数ξ的分布律.【答案】ξpk1p2pq3pq24pq35pq46, 其中 p=0.85, q=0.15.q516. 某市每天耗电量不超过一百万千瓦小时, 该市每天的耗电率(天耗电量/百万千瓦小时) ξ的密度函数是23412x(1−x)2,ϕ(x)= 0,x∈(0,1],x∉(0,1].如果该市发电厂每天供电量为80万千瓦小时, 则任一天供电量不够需要的概率是多少?【解】P(ξ>0.8)=1−P(ξ≤0.8)=1−∫12x(1−x)2dx=0.0272.00.817. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(小时)都服从同一指数分布，其密度函数为1x 1−600 ef(x)= 600 0x>0x≤0试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。

高等数学(下册)第十一章

第二节第二类曲线积分
•性质
(1) Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
L
L1
L2
(L L1 L2 )
(2)L k(Pdx Qdy) k L Pdx Qdy
(3) P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
注 :定积分、二重积分、三重积分的积分域
方程不能代入到被积函数中.而曲线、曲面
的积分，积分域方程可代入到被积函数中.
例求 xyds : (1)OAB;(2)OB : y x; L
(3)OMB : y x2.
解 (1) xyds xyds 1 ydy 1
OA
AB
0
记作
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
M ykk B
Mxkk1
A
x
第二节第二类曲线积分
定义设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
n
极限
lim
0
P(k
k 记1 作
, k )xk Q(k
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : ,类似有
z (t)

P
[
(t),
(t)
,

(t)]
(t
)
(t)
(t )
第二节第二类曲线积分
例求L xydx ydy,
2π a2 k 2 (3a2 4π 2k 2 ) 3

华理高数答案第11章

2
所以除点 ( m, n) （其中 m, n Z ）以外处处连续．
第 11 章（之 2）（总第 60 次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]
Provided by 理学院学代会学习部
**1.解下列各题：（1）函数 f ( x, y )
x 2 y 在 (0,0) 点处
3ห้องสมุดไป่ตู้
即
s x y 解：令， y t x
∴ f s , t
s 2 s 2t 2 s 2 1 t ， 1 t 1 t 2
lim 1 xy 1 x2 y2
xy
．
f x, y
x 2 1 y ． 1 y
***4. 求极限：
zy
1,1
x 2 y 1,1 1 ，

4
．[也可求出切向量为 0,1,1]
0,1,10,1,0 arccos
12 12 12
2 ． 2 4
***6. 设函数 ( x , y ) 在点 (0,0) 连续，已知函数 f ( x , y ) x y ( x , y ) 在点 (0,0) 偏导数
x , y 0, 0
解： 0
1 xy 1 x2 y 2

1 xy 1
x2 y2

1 2 x y2 2 1 xy 1 x 2 y 2

x2 y2 0 2 1 xy 1

（ x, y 0,0 ）
y 0
y (0, y ) f (0, y ) f (0,0) 0 ，即 f y (0,0) 0 ． lim x 0 y y

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第七次作业
1.函数3
2z
xy u =
在点A )2,1,5(处沿到点B )14,4,9(的方向
→
AB 上的方向导数为。

解填13
992
802,8)2,1,5(3
)2,1,5()2,1,5(32)2,1,5(====xyz u z y u y x {}12,3,4,603)
2,1,5(22
)2,1,5(====→AB T z
xy u z
,13
12
cos ,133cos ,134cos ===γβα
则u 在点A 处沿→
AB 的方向导数为：
13
992131260133801348)2,1,5(=⨯+⨯+⨯=∂∂T u
2.函数
()2
2
2
ln z
y x u -+=在点
M
)1,1,1(-处的梯度
=M gradu 。

解填{}2,2,2--
2
22222222z y x z 2z u ,z y x y 2y u ,z y x x 2x u -+-=∂∂-+=∂∂-+=∂∂
2,2,2)
1,1,1()1,1,1()1,1,1(=∂∂-=∂∂=∂∂∴---z u y u x u {}2,2,2-=∴M gradu
3.对二元函数(,)z f x y =而言（）。

A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在；
B.
(,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导
数存在；
C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续；
D ．以上结论都不对。

解填（A ）
x y f f ，存在且连续f ⇒可微⇒沿任一方向的方向导数存在。

4.若函数(,,)u u x y z =
在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在
且不全为0，则向量,,u u u x y z ⎧⎫∂∂∂⎨⎬∂∂∂⎩⎭的方向是函数u 在点
(,,)x y z 处的（）。

A ．变化率最小的方向； B ．变化率最大的方向；
C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向；
D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。

解填（B ）
方向{,,}u u u x y z
∂∂∂∂∂∂，即梯度方向，沿梯度方向变化率最大。

5.求由方程e xyz e
z
=-确定的隐函数),(y x z z =在点)
1,0(处沿)4,3(-=l
方向的方向导数。

解令xz F yz F e xyz e z y x F x x z
-=-=--=,,),,
(
xy
e xz
F F y z xy e yz F F x z xy e F z
z y z z x z
z -=-=∂∂-=-=∂∂-=,, 5
4
cos ,53cos ,0,1)1,0()1,0(-=
==∂∂=∂∂∴βαy z e x z e
e l z 53540531)1,0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=∂∂∴ 6.求函数2
22z
y x u ++=
在曲线3
2,,t
z t y t x ===上点
)1,1,1(-处，沿曲线在该点的切线方向（对应于t 增大的方向）
的方向导数。

解 2
3,2,1t
z t y x t t t
='='='
∴曲线在点)1,1,1(-处的切线方向的方向向量为{}3,2,1=T
，
14
3
cos ,142cos ,141cos ===γβα
22,22)1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1(==∂∂==∂∂----y y u
x x u
,22)1,1,1()
1,1,1(-==∂∂--z z u
014
3
214221412)1,1,1(=⨯-⨯+⨯=∂∂-T u
7.求函数
22
221()x y
z a b =-+在
点(
,)a b 处沿曲线2
2
221x y
a b
+=在这点的内法线方向的方向导数。

解
z x
a ∂=-∂
，z y b ∂=-∂ 曲线2
2
221x y
a b
+=的切线的斜率是tan b a α=-,
从而内法线的斜率为tan a
b
θ=，由此得内法线的方向余弦：
cos b θ-=
sin a
θ-=
所以，
z l
∂=
∂()b
a -⋅-（
()()b
a
+-⋅-
ab =。