高数下册第十一章第七次作业答案

第七次作业

1.函数3

2z

xy u =

在点A )2,1,5(处沿到点B )14,4,9(的方向

→

AB 上的方向导数为 。

解 填13

992

802,8)2,1,5(3

)2,1,5()2,1,5(32)2,1,5(====xyz u z y u y x {}12,3,4,603)

2,1,5(22

)2,1,5(====→AB T z

xy u z

,13

12

cos ,133cos ,134cos ===γβα

则u 在点A 处沿→

AB 的方向导数为：

13

992131260133801348)2,1,5(=⨯+⨯+⨯=∂∂T u

2.函数

()2

2

2

ln z

y x u -+=在点

M

)1,1,1(-处的梯度

=M gradu 。

解 填{}2,2,2--

2

22222222z y x z 2z u ,z y x y 2y u ,z y x x 2x u -+-=∂∂-+=∂∂-+=∂∂

2,2,2)

1,1,1()1,1,1()1,1,1(=∂∂-=∂∂=∂∂∴---z u y u x u {}2,2,2-=∴M gradu

3.对二元函数(,)z f x y =而言（ ）

。 A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在；

B.

(,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导

数存在；

C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续；

D ．以上结论都不对。 解 填（A ）

x y f f ，存在且连续f ⇒可微⇒沿任一方向的方向导数存在。

4.若函数(,,)u u x y z =

在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在

且不全为0，则向量,,u u u x y z ⎧⎫∂∂∂⎨⎬∂∂∂⎩⎭的方向是函数u 在点

(,,)x y z 处的（ ）

。 A ．变化率最小的方向； B ．变化率最大的方向；

C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向；

D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。 解 填（B ）

方向{,,}u u u x y z

∂∂∂∂∂∂，即梯度方向，沿梯度方向变化率最大。

5.求由方程e xyz e

z

=-确定的隐函数),(y x z z =在点)

1,0(处沿)4,3(-=l

方向的方向导数。

解 令xz F yz F e xyz e z y x F x x z

-=-=--=,,),,

(

xy

e xz

F F y z xy e yz F F x z xy e F z

z y z z x z

z -=-=∂∂-=-=∂∂-=,, 5

4

cos ,53cos ,0,1)1,0()1,0(-=

==∂∂=∂∂∴βαy z e x z e

e l z 53540531)1,0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=∂∂∴ 6.求函数2

22z

y x u ++=

在曲线3

2,,t

z t y t x ===上点

)1,1,1(-处，沿曲线在该点的切线方向（对应于t 增大的方向）

的方向导数。 解 2

3,2,1t

z t y x t t t

='='='

∴曲线在点)1,1,1(-处的切线方向的方向向量为{}3,2,1=T

，

14

3

cos ,142cos ,141cos ===γβα

22,22)1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1(==∂∂==∂∂----y y u

x x u

,22)1,1,1()

1,1,1(-==∂∂--z z u

014

3

214221412)1,1,1(=⨯-⨯+⨯=∂∂-T u

7.求函数

22

221()x y

z a b =-+在

点(

,)a b 处沿曲线2

2

221x y

a b

+=在这点的内法线方向的方向导数。 解

z x

a ∂=-∂

，z y b ∂=-∂ 曲线2

2

221x y

a b

+=的切线的斜率是tan b a α=-,

从而内法线的斜率为tan a

b

θ=，由此得内法线的方向余弦：

cos b θ-=

sin a

θ-=

所以，

z l

∂=

∂()b

a -⋅-（

()()b

a

+-⋅-

ab =