第2课时--菱形的判定
第2课时菱形的判定课件(共24张PPT)2023-2024学年北师大版八年级数学下册
点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD ∥
= CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
1
1
∴HE∥AD且 HE= 2 AD，FG∥BC且 FG = 2 BC，
做成一个平行四边形. 转动木条，这个平行四边形什么
时候变成菱形?
你能证明这个猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是
菱形.
证明
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD
相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
B
∴OA=OC.
又∵ AC⊥BD，
O
D
C
随堂练习
抢答
2.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．
添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(
A．AC⊥BD
C．AC=BD
B．AB=AD
C)
A
D
D．∠ABD=∠CBD
O
分析
由题知四边形ABCD是平行四边形
A．依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B．依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
菱形的判定
边
对角线
几何语言
如：四边相等的
四边形是菱形
如图, ∵ = , = ,
∴ 四边形 是平行四边形.
又 ∵ = ,
∴ 四边形 是菱形.(菱形的定义)
如：对角线互相垂直的
平行四边形是菱形．
如图, ∵ 四边形 是平行四边形,
第2课时 菱形的判定
C 展示交流 ONTENTS
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思考与 动手:
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02
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根据菱形的定义,邻边相等的平行 四边形是菱形.除此之外,你认为还有 什么条件可以判断一个平行四边形是 菱形?先想一想,再与同伴交流.
平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆 命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角 线垂直的平行四边形是菱形.
1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
1.菱形的定义?
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 AB=BC
2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只需补充 就可以判定它是一个菱形.
3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、2B0D相交于点O,并且 AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为 cm.
我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能 是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形” 嘛……实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形” 一样.
你是怎么想的?你认为小明的想法如何? 与同伴交流一下.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与
BD交于点O,AC⊥BD.
∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角.
∴AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形)
D
A
C
B
以下是小刚的作法
你是怎么做的?你认为小刚的作法正确吗?与同 伴交流.
四条边相等的四边形是菱形
已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形 证明:∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC
人教版八下数学18.2.2菱形 课时2 菱形的判定教案+学案
人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 菱形课时2菱形的判定教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.2．了解菱形的现实应用和常用判别条件．过程与方法目标1．从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.2．让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力.情感、态度与价值观目标1．让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯.2．通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用. 【教学重点】菱形的定义和判定定理的运用．【教学难点】探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．【教学过程设计】一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究知识点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 1如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 2如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD 即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA ＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD 是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形例 3 如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF .(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解析：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE ＝CE ，AD ＝CD .然后根据CF ∥AB 得到∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，利用“AAS ”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE ＝CF .然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝F A .从而得到EC ＝EA ＝FC ＝F A ，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF 为菱形．证明：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED .在△AED 与△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS)；(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF .∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．知识点二：菱形的判定的应用【类型一】 菱形判定中的开放性问题例 4如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD ∥BC ，∴∠F AD ＝∠AFB .∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠F AD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF .同理ED ＝CD .∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF .又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC ⊥EF .方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用例 5 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF .(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由． 解析：(1)首先利用“SSS ”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF .在△BCF 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ， ∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°， ∴∠EFD ＝∠BCD .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、教学小结本节课你有哪些收获?学生归纳小结菱形的判定方法:(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形四、学习检测1.下列说法正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的定义与判定定理直接辨别各选项正确与否.由菱形的定义,可知一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,因此,选项B正确.故选B.2.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( )A.①③B.②③C.③④D.①②③解析:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,一组邻边相等的平行四边形是菱形,因此①③都可以判定平行四边形ABCD是菱形.故选A.3.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的判定定理(四条边相等的四边形是菱形)即可判定,由题中图的作法可知AD=AB=DC=BC,∴四边形ABCD是菱形.故选B.4.一个平行四边形的一条边长是3,两条对角线的长分别是4和2,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么?求出它的面积解析:先根据题意画出相应的图形,如图.根据平行四边形的对角线互相平分,可求出OB及OA的长,由勾股定理的逆定理可得∠BOA为直角,进而得AC⊥BD.根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得平行四边形ABCD为菱形.根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得菱形ABCD的面积.解:这是一个菱形.理由如下:如图,▱ABCD中,AC=4,BD=2,AB=3,∴OA=AC=2,OB=BD=.∵OA2+OB2=22+()2=9,而AB2=32=9,∴OA2+OB2=AB2.∴△AOB是直角三角形,∠AOB=90°.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).S菱形ABCD=AC·BD=×4×2=4.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形课时1 矩形的性质1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形．2．菱形的性质和判定的综合运用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形课时1矩形的性质学案【学习目标】1．理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；2．会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；3．掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习重点】理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习难点】会会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算．【自主学习】一、知识回顾1．菱形的定义是什么？性质有哪些？2．根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？有一组邻边_____的______________是菱形.数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形二、自主探究知识点1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形想一想前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？猜想：对角线互相_________的平行四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,AC ⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA____OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA______BC.∴四边形ABCD是________.要点归纳：菱形的判定定理：对角线互相_______的____________是菱形.几何语言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.【典例探究】例1如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．【跟踪练习】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CD知识点2：四条边相等的四边形是菱形活动1已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？AC的长为半径作弧,小刚：分别以A、C为圆心,以大于12两条弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.想一想根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？猜想：四条边__________的四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD , BC=AD.∴四边形ABCD是___________.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是__________.要点归纳：菱形的判定定理：四条边都______的四边形是菱形.几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形 ABCD是________.【典例探究】例2如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形.例3 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．方法总结:四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．例4如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH 是菱形.【跟踪练习】1.如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？2.如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？3.如上图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？4.在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？探究点3：菱形的性质与判定的综合运用【典例探究】例4如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．方法总结:判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．【跟踪练习】如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.三、知识梳理内容菱形的判定定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm，那么平行四边形的面积是_____________.3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BCC．∠B=60°D．∠ACB=60°4.下列图形中,不一定为菱形的是()A.四条边相等的四边形B.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形C.一组邻边相等的平行四边形D.有一个角为60度的平行四边形D(解析:根据菱形的判定定理作答即可.)3.如图所示,△ABC中,E,F,D分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥AC,DF∥AB.要使AEDF是一个菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个条件是.AE=AF(解析:(答案不唯一)添加AE=AF或DE=DF或AD是∠BAC的平分线或AE=ED,AF=FD等都可以.)4.木工师傅在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你能说出其中的道理吗?解:四条边相等的四边形是菱形.5.已知菱形的周长为24,一条对角线长为8,求菱形的面积.解:由题意知菱形的边长为6,故另一条对角线长为4,故菱形的面积为×8×4=16.4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.求证：四边形O CED是菱形.6.如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD 于点G.求证四边形ACGF是菱形.证明:∵AF∥CD,FG∥AC,∴四边形ACGF为平行四边形,∵CE是△ABC外角∠ACD的平分线,∴∠ACF=∠FCG,∵AF∥CG,∴∠AFC=∠FCG,∴∠ACF=∠AFC,∴AF=AC,∴▱ACGF为菱形.5. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE ∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.8.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE,AF分别是∠ABC,∠DAC的平分线,BE和AD交于G,试说明四边形AGFE的形状.解:四边形AGFE是菱形.理由如下:由∠BAC=90°,AD⊥BC,易得∠BAD=∠C,∵∠AGE=∠ABG+∠BAG,∠AEB=∠EBD+∠C,又∵∠ABG=∠EBC,∴∠AGE=∠AEG.∴AE=AG.由AF是∠DAC的平分线,易知AF⊥GE且AF平分GE.同理可得BE⊥AF且BE平分AF.∴AF与GE垂直且互相平分,从而可知四边形AGFE是菱形.6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．9.如图(1),在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=DC,∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于M,H.(1)求证CF=CH;(2)如图(2),△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并证明你的结论.(1)证明:∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形,且AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=45°.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECH,即∠ACF=∠DCH,在△AFC 和△DHC 中, ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,DCH ACF DC AC D A ∴△AFC ≌△DHC (ASA),∴CF =CH. (2)解:菱形,证明如下:∵∠BCE =45°,∴∠ACF =∠BCE =∠DCH =45°,即∠ACD =135°, 又∠A =∠D =45°,∴在四边形ACDM 中,∠AMD =360°-∠ACD ∠A －∠D =135°, ∴∠ACD =∠AMD ,∴四边形ACDM 是平行四边形.又AC =CD ,∴四边形ACDM 是菱形.。
北师大版九年级数学上册《菱形的判定》优质课课件第2课时
的面积等于___1_8__3__cm2.
15．一个平行四边形的一条边长为 3，两条对角线的长分别为 4 和 2 5，则它的面积为__4__5____．
三、解答题(共35分)
16．(10分)(2014·厦门)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD
，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．
16.证明：∵AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°.又 ∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＋∠BCD＝ 180°.∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边 形．∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB＝∠AND＝ 90°.在△ABM和△ADN中，∠B＝∠D，∠AMB＝ ∠AND＝90°，AM＝AN，∴△ABM≌△ADN， ∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形．
17．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为 AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到 △CFE，连接AF，AC.
(1)求证：四边形ADCF是菱形； (2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ADCF的面积．
17.(1)证明：∵将△ADE 绕点 E 旋转 180°得到△CFE，∴AE ＝CE，DE＝EF，∴四边形 ADCF 是平行四边形．∵D，E 分 别为 AB，AC 边上的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC，∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴DF⊥AC，∴四 边形 ADCF 是菱形；
8．(3 分)学校一块菱形花园的两对角线的长分别是 10 m 和 12 m，
则这个花园的面积为__6_0__m__2 _．
人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《菱形的判定》说课稿
人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《菱形的判定》说课稿一. 教材分析《菱形的判定》是人教版数学八年级下册18.2.2第2课时的一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过引入平行四边形和矩形的性质，引导学生探究菱形的性质，从而得出菱形的判定方法。
教材还通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平行四边形和矩形的性质，对这两种图形的性质有一定的了解。
但是，学生对菱形的性质和判定方法可能比较陌生，需要通过课堂学习和练习来掌握。
此外，学生可能对数学证明的方法和技巧还不够熟练，需要在课堂上进行引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、探究等活动，培养自己的观察能力、动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂学习，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.教学难点：学生对菱形判定方法的灵活运用，以及对数学证明的方法和技巧的掌握。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：本节课采用问题驱动法、合作交流法和引导发现法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件进行辅助教学，通过展示图片、动画等形式，帮助学生直观地理解菱形的性质和判定方法。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的菱形图形，如钻石、骰子等，引导学生对菱形产生兴趣，激发学生的学习动机。
2.探究菱形的性质：学生通过观察、操作等活动，发现菱形的性质，教师引导学生总结出菱形的判定方法。
3.讲解与练习：教师通过讲解例题，引导学生运用菱形的判定方法解决问题，然后布置一些练习题，帮助学生巩固所学知识。
4.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和知识点，帮助学生形成知识体系。
人教版八年级下册数学第2课时 菱形的判定教案
第2课时菱形的判定教学设计课题菱形的判定授课人素养目标 1.理解并掌握菱形的判定方法，体会类比数学思想方法的作用．2.引导学生从边和对角线探究菱形的判定定理，养成主动探索的学习习惯．3.运用菱形的判定方法进行证明或计算，发展学生的推理能力.教学重点菱形的判定方法的理解与应用．教学难点菱形的判定定理与性质定理的区别和联系教学活动教学步骤师生活动活动一：类比推理，导入新课设计意图通过类比学习，激发学生的好奇心和求知欲，引入本节课要研究的内容.【类比导入】前面我们学习平行四边形和矩形时，都可以用性质得出相应的判定，那么我们学习菱形的判定时是否也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢？我们大家一起来尝试一下吧！【教学建议】引导学生进行类比、思考、分析，由平行四边形和矩形的判定推断菱形的判定，并回忆上一课时菱形的概念．活动二：动手验证，探究新知设计意图通过图形的变化，让学生感受四边形是菱形时对角线的特征，引导学生得出菱形的判定方法．探究点1对角线互相垂直的平行四边形是菱形如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．(1)转动木条，这个四边形总有什么特征？它是什么四边形？答：这个四边形的对角线总是互相平分，它是平行四边形．(2)继续转动木条，观察橡皮筋围成的四边形什么时候变成菱形？答：当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形．猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【教学建议】让学生动手实践得到菱形的判定方法，教师注意提醒学生：这里对角线互相垂直的前提条件是在平行四边形内，如果是一般的四边形，则应教学步骤师生活动设计意图利用逆向思维思考性质，让同学们在解决问题的过程中总结判定定理.下面我们来进行验证：已知：如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD ⊥AC.求证：ABCD 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO.∵BD ⊥AC ，∴AB ＝BC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．∴ABCD 是菱形．归纳总结：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，且AC ⊥BD ，∴ABCD 是菱形．例1(教材P 57例4)如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且AB ＝5，AO ＝4，BO ＝3.求证：ABCD 是菱形.证明：∵AB ＝5，AO ＝4，BO ＝3，∴AB 2＝AO 2＋BO 2，∴∠AOB ＝90°.∴AC ⊥BD ，∴ABCD 是菱形.【对应训练】1.如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若添加一个条件，可推出ABCD 是菱形，则该条件可以是(C )A.AB ＝AC B ．AC ＝BD C.AC ⊥BD D ．AB ⊥AC2.教材P58练习第2题.探究点2四条边相等的四边形是菱形老师拿四根长度一样的新粉笔，首尾顺次相接拼成一个四边形，在黑板上画出相应的图形并标上字母(如图)，得到的四边形ABCD 是菱形吗？是猜想：四条边相等的四边形是菱形.下面我们来进行验证：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD.求证：四边形ABCD 是菱形.证明：∵AB ＝CD ，BC ＝AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形.又AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形.归纳总结：四条边相等的四边形是菱形.几何语言：∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形.【对应训练】1.如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点．求证：四边形EFGH 是菱形.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AD ＝BC ，AB ＝CD.满足对角线互相垂直且平分．【教学建议】提醒学生：若已知邻边相等，要证明这个四边形是菱形，可用两种方法：(1)先证明这个四边形是平行四边形，再利用邻边相等得到菱形；(2)直接证明四条边都相等.教学步骤师生活动∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，∴AH ＝DH ＝BF ＝CF ，AE ＝BE ＝CG ＝DG.∴△AHE ≌△BFE ≌△CFG ≌△DHG(SAS)，∴HE ＝FE ＝FG ＝HG ，∴四边形EFGH 是菱形.2.教材P58练习第3题.活动三：综合运用，巩固提升设计意图巩固学生对菱形的判定的认识.例2如图，在ABCD 中，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，AE ⊥BF于点O ，交BC 于点E ，连接EF.(1)求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若AE ＝6，BF ＝8，CE ＝3，求ABCD 的面积.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝EO ，AD ∥BC ，∴∠EBF ＝∠AFB.∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠EBF ，∴∠ABF ＝∠AFB ，∴AB ＝AF.∵BO ⊥AE ，AO ＝EO ，∴AB ＝EB ，∴BE ＝AF.∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形.又AB ＝AF ，∴ABEF 是菱形.(2)解：如图，过点F 作FG ⊥BC 于点G.∵四边形ABEF 是菱形,AE ＝6，BF ＝8，OE ＝12AE ＝3，OB ＝12BF=4.在Rt △BOE 中，BE ＝OB 2＋OE 2＝42＋32＝5.∵S 菱形ABEF ＝12AE·BF ＝BE·FG ，∴12×6×8＝5FG ，∴FG ＝245.∵BC ＝BE ＋CE ＝5＋3＝8，∴SABCD ＝BC·FG ＝8×245＝1925.【教学建议】学生独立思考并完成例题，教师点评．提醒学生注意：(1)已知角方面的条件可考虑利用其得到边的相等关系，为证明菱形创造条件；(2)进行第(2)问计算时，求ABCD 的面积，可利用第(1)问的结论，先由菱形的两种面积计算方法求得关键的线段长.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：菱形的判定方法有哪几种？矩形和菱形小结：【知识结构】【作业布置】1．教材P 60习题18.2第6，10题．2．相应课时训练．教学步骤师生活动板书设计18.2.2菱形第2课时菱形的判定解题方法：根据题设条件灵活选择菱形的判定方法．(1)用边来判定：①先说明四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等；②说明四边形的四条边都相等．(2)用对角线进行判定：①先说明四边形是平行四边形，再说明四边形的对角线互相垂直；②说明四边形的对角线互相垂直平分．注意：对角线垂直的四边形不一定是菱形，必须是对角线互相垂直的平行四边形才是菱形．例1如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE ∥BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接BE ，DF.(1)求证：AE ＝CF ；(2)若BE ＝DE ，求证：四边形EBFD 为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF.∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB.在△ADE 和△CBF中，∠DAE ＝∠BCF ，∠AED ＝∠CFB ，AD ＝CB ，∴△ADE ≌△CBF(AAS )，∴AE ＝CF.(2)由(1)知△ADE ≌△CBF ，∴DE ＝BF.∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形．又BE ＝DE ，∴四边形EBFD 为菱形．例2如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC ，分别交AB ，DC 于点E ，F ，连接AF ，CE.(1)若OE ＝32，求EF 的长；(2)判断四边形AECF 的形状，并说明理由．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AO ＝CO ，∴∠FCO ＝∠EAO.在△AOE 和△COF 中，∠FCO ＝∠EAO ，AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF(ASA )．∴OE ＝OF ＝32，∴EF ＝2OE ＝3.(2)四边形AECF 是菱形．理由：∵△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF.∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．1．菱形的概念．2．菱形的判定定理1.3．菱形的判定定理2.教学反思新课导入时让学生动手制作菱形，感知菱形判定的条件，让学生在轻松愉快的氛围中自然、水到渠成地得到菱形的判定定理．在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．又EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．例1如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，AB ＝3，AC ＝2，则四边形ABCD 的面积为(A )A ．42B ．62C ．82D ．5解析：如图，过点A 分别作AE ⊥CD 于点E ，AF ⊥BC 于点F ，连接BD 交AC 于点O.∵两条纸条宽度相同，∴AE ＝AF.∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵S ABCD ＝BC·AF ＝CD·AE ，AE ＝AF ，∴BC ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形．∴AO ＝CO ＝12AC ＝12×2＝1，BO ＝DO ，AC ⊥BD.∴BO ＝AB 2－AO 2＝32－12＝22，∴BD ＝4 2.∴四边形ABCD 的面积＝12BD·AC ＝12×42×2＝42.故选A .例2如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF.(1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)连接AF ，CE.当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AD ＝CB.∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠ADE ＝∠CBF.在△ADE 和△CBF ＝CB ，ADE ＝∠CBF ，＝BF ，∴△ADE ≌△CBF(SAS )．(2)解：当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形．理由：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD.∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴ABCD 是菱形．∴AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF.∵DE ＝BF ，∴OE ＝OF.又OA ＝OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形．∵AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形．。
菱形(第二课时 菱形的判定)(课件)
）
菱形的判定
如图，、、、分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形
ABCD应具备的条件是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．一组对边平行而另一组对边不平行
【详解】
解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，
D
1
2
做法：分别以A、C为圆心,以大于 AC
的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B ,
D，依次连接A、B、C、D四点.
A
C
[思考]得到的这个四边形是菱形吗？
B
探索与证明
四条边都相等的四边形是菱形
A
Ｄ
B
Ｃ
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD
∴AB=CD，BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
判定1：四条边都相等的四边形是菱形
探索与证明
对角线互相垂直的的平行四边形是菱形
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：▱ABCD是菱形.
B
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
A．3个
B．4个
C．1个
D．2个
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；
②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；
③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；
第2课时 菱形的判定PPT课件
化学课件：/kejian/huaxue/
地理课件：/kejian/dili/
PPT素材：/sucai/
PPT图表：/tubiao/
PPT教程： /powerpoint/
证明:∵四边形 A B C D 是平行四边形,
∴A D=B C,A D∥B C.
∵ D E= B F,∴ A E= C F.
∵ A E∥ C F,∴四边形 A E C F是平行四边形.
∵ A C ⊥EF,∴平行四边形 A E C F是菱形.
第一章
第2课时 菱形的判定
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
个人简历：/jianli/
教案下载：/jiaoan/
PPT课件：/kejian/
数学课件：/kejian/shuxue/
美术课件：/kejian/me ishu/
物理课件：/kejian/wul i/
历史课件：/kejian/lishi/
1.如图,在▱ A B C D 中,对角线 A C , B D 交于点O,添加下列一个条件,能使平行四边形 A B
C D 成为菱形的是( C )
A . A O= B O
B.A C=A D
C . A B = B C D .O D = A C
PPT下载：/xiazai/
资料下载：/ziliao/
试卷下载：/shiti/
手抄报：/shouchaobao/
语文课件：/kejian/yuw en/
英语课件：/kejian/ying yu/
第一章
第2课时 菱形的判定
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
2.如图, A D 是△ A B C 的角平分线, D E∥ A C , A F=E D .求证:四边形 A E D F是菱形.
1.菱形的性质与判定第2课时 菱形的判定PPT课件(北师大版)
第2课时 菱形的判定
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变式训练 1.如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD 交CE于点F，FG∥AC交CD于点G. 求证：四边形ACGF是菱形． 证明：∵AF∥CD，FG∥AC， ∴四边形ACGF是平行四边形，∠2＝∠3， ∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴AC＝AF， ∴四边形ACGF是菱形．
，
∠EOD＝∠FOB
∴△DOE≌△BOF(ASA)；∴OE＝OF，又∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
第2课时 菱形的判定
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3.将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°，得到Rt△ACE
（如图所示），点D与点F分别是斜边AB，AE的中点，连接
第2课时 菱形的判定
轻松过招
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE 垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E. 点F在DE的延长线上，且AF＝CE. 求证：四边形ACEF是菱形． 证明：∵AC⊥BC，DE垂直平分BC， ∴DE∥AC∴点E是BA中点，∴在Rt△ACB中，CE＝AE 又∵∠BAC＝60°，∴△ACE是等边三角形 ∴AC＝CE＝AE，又∵AF＝CE，∴AF＝AE 又∵DF∥AC，∴∠FEA＝∠CAE＝60° ∴△AEF为等边三角形，∴EF＝AF. ∴CE＝AC＝AF＝EF，∴四边形ACEF是菱形
第2课时 菱形的判定
轻松件是（ B ）
A. AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
第2课时 菱形的判定
轻松过招
2．（202X·宁夏）如1题图，四边形ABCD的两条对
角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不
第2课时菱形的判定
第2课时菱形的判定1．探索证明菱形的判定方法，掌握证明的基本要求、方法及思路．2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．3．经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理的能力．4．在具体问题的证明过程中，有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想，提高学生解决问题的能力．重点菱形判定定理的证明及应用．难点菱形的判定方法的综合运用．一、复习导入1．菱形的定义是什么？2．菱形有哪些性质？教师：同学们对菱形的性质都掌握得很好，那么怎样判定一个四边形是菱形呢？这就是我们这节课所要研究的内容．二、探究新知1．菱形的判定方法一教师：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这可以作为菱形的第一种判定方法．2．菱形的判定方法二课件出示：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．教师转动木条，提出问题：(1)转动木条，这个四边形总有什么特征？(2)继续转动木条，什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？引导学生猜想：当木条互相垂直时，平行四边形的一组邻边相等，此时四边形为菱形．教师：你能证明你的猜想吗？学生独立完成，指名板演，教师点评．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC.∴四边形ABCD 是菱形(菱形的定义)．3．菱形的判定方法三教师：已知线段AC ，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD ，使AC 为菱形的一条对角线吗？学生独立尝试作图，教师点评，并进一步讲解用尺规作菱形的方法：如图，分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B ，D ，依次连接A ，B ，C ，D.教师：你能说明得到的四边形为什么是菱形吗？学生小组讨论交流，找到原因：该四边形四边相等．教师：你能证明四边相等的四边形是菱形吗？学生独立完成，指名板演，教师点评．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA.求证： 四边形ABCD 是菱形．证明：∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形(菱形的定义).教师：你能用折纸等办法得到一个菱形吗？学生动手操作，教师巡视指导．三、举例分析例 已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，OA ＝2，OB ＝1.求证：▱ABCD 是菱形．思考：(1)观察题目中的数据，AB ，OA ，OB 有什么数量关系？(2)利用勾股定理的逆定理能否判定△ABO 是直角三角形？(3)如果可以得到直角三角形，那么利用菱形的哪一个判定定理进行判断？四、练习巩固1．教材第7页“随堂练习”．2．教材第7页习题1.2第1题．五、小结1．怎样判定一个四边形是菱形？2．通过本节课的学习，你还学到了哪些知识？六、课外作业教材第7页习题1.2第2，3题．在本节课中，课前复习为本节课的探究作了有效的铺垫．学生资源的灵活运用提高了学生参与探究的兴趣，证明思路的分析过程让学生体会了逆向思维、一题多解等数学思想．另外，学生通过经历试验—猜想—证明—应用的探索过程提高了自身的科学素养．。
九年级上册第一章1 菱形的性质与判定第2课时
素养当堂测评 (10分钟·15分) 1.(4分·几何直观、推理能力)依据所标识的数据,下列平行四边形一定为菱形的 是 (C)
A
3.(7分·几何直观、推理能力)(2023·沈阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边 上的中线,点E在DA的延长线上,连接BE,过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F, 连接BF,CE.求证:四边形BECF是菱形. 【证明】∵AB=AC,AD是BC边上的中线, ∴AD垂直平分BC,∴EB=EC,FB=FC, ∵CF∥BE,∴∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD, ∵DB=DC,∴△EBD≌△FCD(AAS), ∴BE=CF,∴EB=BF=FC=EC,∴四边形BECF是菱形.
1 菱形的性质与判定 第2课时
课时学习目标 1.理解并掌握菱形的判定方法,会用这些 判定方法进行有关的论证和计算 2.掌握菱形的面积求法
素养目标达成 几何直观、推理能力、运算能力 抽象能力、运算能力、应用意识
基础主干干落实 新知要点 1.菱形的判定方法
文字语言
对点小练
1.(1)在下列条件中,能判定平行四边形ABCD为菱形的是
A.AB⊥BC
B.AC=BD
(C)
C.AB=BC
D.AB=AD
(2)数学课上,老师让同学们判断一个四边形是否为菱形,下面是某合作小组4位
同学拟定的方案,其中正确的是
(D)
A.测量对角线是否相等
B.测量对角线是否垂直
C.测量一组对角是否相等
符号语言
定义 对角线 四条边
一组____邻__边____相等的 ∵▱ABCD中,AB=BC,∴▱ABCD是菱形
平行四边形
对角线___互__相__垂__直___ ∵▱ABCD中,AC⊥BD,
2 第2课时 菱形的判定
第2课时菱形的判定课型：新授课教学目标：1．知识目标：理解菱形的判定条件及其证明，并能利用判定定理解决一些简单的问题．2．能力目标：(1)经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．(2)经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力．(3)在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力．3．情感与价值观要求(1)积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．(2)通过“实验—猜想—证明—应用”的数学活动提升科学素养．教学重点与难点：重点：菱形判定定理的发现与证明．难点：菱形判定定理的应用．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、激趣导入，提出问题活动内容1：你能用折纸的方法得到一个菱形吗？动手试一试！处理方式：抛出问题，鼓励学生利用自己的生活经验以及菱形的性质，设计菱形的制作方法，应该放手让学生去思考、交流、操作，展示自己的制作方法．设计意图：利用问题的形式，激发学生学习和探索的欲望，通过折纸游戏诱导学生积极地参与到学习中来．活动内容2：展示小颖同学的做法．先将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形．图1－1－29你能说说她这样做的道理吗？什么样的平行四边形或者四边形是菱形呢？这节课我们就来学习菱形的性质与判定的第2课时：菱形的判定．处理方式：若有学生按照小颖的方式折纸，则展示该同学的做法，并思考该做法的正确性；若没有，则指导学生按照小颖的方式折纸，并剪出图形，思考剪出的图形是不是菱形．对于该做法的证明，学生可能会有困难，教师可顺势提出问题：什么样的四边形是菱形？引入新课．设计意图：通过折纸以及对小颖做法的思考交流，提出本节课题“什么样的平行四边形或四边形是菱形”．二、自主合作，解决问题活动内容1：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．设计意图：通过前面的折纸游戏以及对小颖做法的分析，学生已基本猜想到了菱形的判定方法，这里进一步通过讨论、交流加强对菱形判定的认识．活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，你能证明这个命题吗？处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明．证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范．此处可安排学生板演证明过程．但是要帮助引导学生写出已知、求证，并以本题为例，规范证明命题的一般步骤，即先将命题改写为“如果……那么……”的形式，分析命题的条件和结论，再根据条件和结论画出图形，写出已知、求证，最后再规范证明．同时，本题可能会有学生用证明△AOB≌△COB的方法证明BA＝BC，对此，教师可引导学生思考AC和BD的关系，即互相垂直平分，因而可以利用线段垂直平分线的性质定理来证明BA＝BC.并对两种方法进行比较．已知：如图1－1－30，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形．图1－1－30证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴直线BD是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．设计意图：由于已知的是一个平行四边形，因此要判定它是菱形，若考虑边，则容易想到定义；若考虑对角线，则可能受到性质的启发，想到对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进而对这一命题进行严格证明，得到结论．三、展示汇报，反馈点拨活动内容1：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？你是怎么做的？思考并独立完成后，与同伴交流．处理方式：学生独立完成作图后可与课本做法进行对比，通过思考做法的正确性，探索得到菱形的另一种判定方法：四边相等的四边形是菱形．并对这一判定方法加以证明．这里可能会有一个问题：对于作图要求，学生可能会不太明确，教师要及时点拨，作图要求是要使已知线段为对角线，因而可以借助菱形的对角线互相垂直且平分这一性质，通过作线段AC 的垂直平分线来完成作图．如还是无法完成，可借鉴课本做法．设计意图：通过菱形作图，引导学生探索菱形的另一种判定方法并进行严格证明．活动内容2：你所作的四边形是菱形吗？你能得到怎样的结论？你能证明这个结论吗？处理方式：根据作图过程，学生能猜想出所作四边形为菱形，进而猜想出菱形的另一种判定方法：四边相等的四边形是菱形．对于学生做法的正确性的证明，可以先证明所作四边形为平行四边形，再利用定义，证明它是菱形．由此得出结论：四边相等的四边形是菱形．已知：如图1－1－31，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－31证明：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．活动内容3：通过以上活动，我们得到了菱形的另外两种判定方法，那么我们回到课堂开始时的折纸问题，你能说出小颖这样做的道理吗？有同学是这样折的：如图1－1－32，先将长方形纸片沿EF折叠，使B点与D点重合，再将△A1DE沿DE折叠，将△CDF沿DF 折叠，打开纸片，则四边形BEDF就是菱形．你能证明所得四边形是菱形吗？图1－1－32处理方式：通过学习菱形的判定方法，学生已基本能够利用判定定理来证明所得图形是菱形，因而，这里可安排学生独立完成证明，教师最后予以点拨即可．小颖的方法是利用轴对称制作了一个四边相等的四边形，因此它一定是菱形．设计意图：鼓励学生利用菱形的判定方法，说明制作菱形方案的正确性，巩固对菱形判定定理的理解．四、巩固训练，拓展提高例已知：如图1－1－33，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，OA ＝2，OB＝1.求证：▱ABCD是菱形．图1－1－33处理方式：这里是菱形判定方法的直接应用，因而较为简单，可由学生独立完成后参考课本标准答案即可．关键是关注证明思路的探寻和分析：已知四边形是平行四边形，再具备什么条件就可以成为菱形？由已知条件可以证明邻边相等吗？可以证明对角线互相垂直吗？设计意图：菱形判定定理的直接应用，通过证明思路的探寻和分析，进一步巩固对菱形判定定理的理解和应用．五、课堂小结，当堂检测活动内容1：课堂小结让学生谈谈本节课的收获与体会，如学会了哪些知识？掌握了哪些思想和方法？等等，教师可适当引导和点拨．处理方式：学生先独立完成小结，在学生回答的过程中老师引导学生将本节的知识系统化．设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，让学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯．活动内容2：当堂检测：A组(必做)：1．课本P7习题1.2中的T1.2．已知：如图1－1－34，长方形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，AC，BC 分别交于点E，O，F.求证：四边形AFCE是菱形．图1－1－34B组(选做)：3．已知：如图1－1－35，△ABC中，AB＝AC，M为底边BC上任意一点，过点M作AC，AB的平行线，交AB于点Q，交AC于点P.当点M位于BC上的什么位置时，四边形AQMP为菱形？并说明理由．图1－1－35处理方式：检测题让学生自己在练习本上完成，完成后教师当堂批改．设计意图：本环节的目的是检测学生的达标情况，以满足不同层次的学生在数学发展方面的需要．通过批改让学生有成就感．六、布置作业，巩固提高A组(必做)：1.课本P7习题1.2中的T2、T3.B组(选做)：2．如图1－1－36，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－36结束语：亲爱的同学们，今天我们经历了菱形的判定定理的推导和应用的过程，过程要比结果重要，相信同学们在今后的学习过程中，会有更多的感悟、更大的收获！板书设计1第2课时菱形的判定判定定理1：理2：证明：证明：学生板演区学习目标：1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用；2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算.重点：掌握并会应用菱形的判定方法.难点：菱形判定方法的应用.导学过程阅读教材，完成以下问题课前预习菱形的定义和性质1.木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以下图形探索：如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD是菱形.证明：我发现, 的四边形是菱形。
人教版数学八年级下册 菱形的判定
∴ AB＝DF＝8.
∴
S四边形ADCF＝
1 2
DF ·AC＝ 1
2
×6×8＝24.
F O
C
当堂小结
判
边
菱定
形定
理 对
角
线
菱形的定义 有一组邻 _边__相__等____的平行四边形是菱形
_四__条__边__都__相__等___的四边形是菱形
_对__角__线__互__相__垂__直_的四边形是菱形
当堂练习
1. 判断下列说法是否正确
(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；
╳
(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； √
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；
╳
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形．
╳
2.一边长为13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别为 24 cm 和10 cm，则平行四边形的面积是 120 cm2 .
E
∴ △AEF≌△DEB (ASA). ∴ AF＝DB. B D C
∴ DC＝AF. 又∵AF∥BC，
∴ 四边形 BCFБайду номын сангаас 是平行四边形
又∵ AF＝AD，
A
∴ 四边形 ADCF 是菱形.
(2) 连接 DF，交 AC 于点 O.
E
由 (1) 可知，AF∥BD，AF＝BD， B D
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形.
MD
∴∠DAO = ∠ECO，
∴ △ADO≌△CEO(ASA)．∴ AD = CE.
OE N
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵∠AOD = 90°， ∴ 四边形 ADCE 是菱形．
1.1第2课时菱形的判定+课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
第 一
特殊平行四边形
章
1 第2课时 菱形的判定
-
第2课时 菱形的判定
探究与应用
课堂小结与检测
探
探究一 菱形的判定定理1
究 与
[启发猜想]
应 根据菱形的定义,有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以
用
判定一个平行四边形是菱形.想一想除了菱形的定义之外,
对角线满足什么条件时可以判定一个平行四边形是菱形?
用
证明:∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴DE=12BC=CF,DF=12AC=CE. 又∵AC=BC,∴DE=CF=DF=CE.
∴四边形DFCE是菱形.
图1-1-17
探 得 方法 究 判定一个四边形是菱形的思路
与
应 (1)证明四边形的四边相等; 用 (2)先证明四边形是平行四边形,再证明一组邻边相等或对角
线垂直.
探
应用三 通过折纸制作菱形
究 与
例3 小颖通过折纸得到一个菱形,其做法如下:如图1-1-18,
应 先将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿图中的虚线剪
用
Hale Waihona Puke 下,将纸展开,就得到了一个菱形.你能说说小颖这样做的道
理吗?
图1-1-18
探 解:小颖这样做的道理是:
究
与 方法1:根据折叠可知,小颖剪下来的四边形的四条边相等,根据定
堂
小 得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四
结 与
边形ABDC是菱形的依据是 四边相等的四边形是菱形 .
检
测
图1-1-20
课 3.如图1-1-21,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AB=13,
人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《 菱形的判定》教案
人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《菱形的判定》教案一. 教材分析《菱形的判定》是人教版数学八年级下册第18.2.2节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握菱形的判定方法，并能够运用判定方法解决相关问题。
在教材中，已经给出了菱形的定义和性质，本节课是在此基础上进行判定方法的学习。
通过本节课的学习，学生能够进一步理解菱形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了菱形的定义和性质，能够识别和理解菱形的特点。
但是，对于如何判定一个四边形是菱形，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，发现和总结菱形的判定方法。
三. 教学目标1.了解菱形的判定方法，能够运用判定方法判断一个四边形是否为菱形。
2.提高学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.培养学生的合作意识和团队精神。
四. 教学重难点1.教学重点：菱形的判定方法。
2.教学难点：如何引导学生发现和总结菱形的判定方法。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导等方式，激发学生的思考，引导学生发现和总结菱形的判定方法。
2.小组合作：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
3.实例分析：通过分析具体的实例，让学生更好地理解菱形的判定方法。
六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于分析和讲解菱形的判定方法。
2.准备练习题，用于巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习菱形的定义和性质，引导学生思考：如何判断一个四边形是菱形呢？2.呈现（10分钟）展示相关的实例和图片，让学生观察和分析，引导学生发现菱形的判定方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，分析并判断其是否为菱形。
讨论结束后，各组汇报成果。
4.巩固（10分钟）讲解实例分析中的关键步骤，让学生再次回顾和巩固菱形的判定方法。
5.拓展（10分钟）出示一些有关菱形的判断题，让学生独立完成，提高解决问题的能力。
第1章第2课时 菱形的判定PPT课件(北师大版)
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵DE＝BF，∴AE＝CF. 又∵AE∥CF，∴四边形 AECF 是平行四边形． 又∵AC⊥EF，∴四边形 AECF 是菱形．
7．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E，
解：四边形 ABCD 是菱形．理由如下： ∵AB∥CD，且 AB＝CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 又∵AB＝BC，∴四边形 ABCD 是菱形．
变式 3 用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪
种图形( B )
A．长方形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形
例 4 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC 的 垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 CF＝ BE.求证：四边形 BECF 是菱形．
F 分别是 AB，BC 上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.
求证： (1)△AED≌△CFD；
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A＝∠C.
∠A＝∠C 在△AED 和△CFD 中，AE＝CF
∠AED＝∠CFD ∴△AED≌△CFD.
7．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E， F 分别是 AB，BC 上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD. 求证：
3．如图，在△ABC 中，AD 是高，E，F 分别是 AB， AC 的中点，当∠B 与∠C 满足怎样的关系时，四边形 AEDF 是菱形，并证明你的结论．
解：当∠B＝∠C 时，四边形 AEDF 为菱形． 证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC. ∵AD⊥BC，∴BD＝DC. ∵E，F 分别是 AB，AC 的中点， ∴DF∥AB，DE∥AC，DE＝DF. ∴四边形 AEDF 是菱形．
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姚村镇一中数学导学案
课题：18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 菱形（第2课时菱形的判定）
主备人：_郭宏丰__ 授课人：_郭宏丰_ _____年级____班时间：
1.理解并掌握菱形的定义及其它两个判定方法.
2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.
自学指导：阅读课本57页至58页，完成下列问题.
知识探究
1.有一组的平行四边形是菱形.
2.对角线的平行四边形是菱形.
3.的四边形是菱形.
自学反馈
1.判断下列说法是否正确：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；( )
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；( )
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；( )
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.( )
2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
(1)若AB=AD，则□ABCD是形；
(2)若AC=BD，则□ABCD是形；
(3)若∠ABC是直角，则□ABCD是形；
(4)若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形.
活动1 小组讨论
1、如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6.
求证:四边形ABCD是菱形.
2、如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.试问四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由.
活动2 跟踪训练
1.下列命题中正确的是( )
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
2.对角线互相垂直且平分的四边形是( )
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
3.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A. AC⊥BD,AC与BD互相平分
B. AB=BC=CD=DA
C. AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD
D. AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形.
活动3 课堂小结
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.。