三角函数简化公式
三角函数的积化和化积化和化积公式
三角函数的积化和化积化和化积公式三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何和物理等领域中有着广泛的应用。
在三角函数中，有两个重要的运算公式，即积化和化积化和化积公式。
本文将介绍并讨论这两个公式的概念、推导以及应用。
一、积化和公式积化和公式是指将两个三角函数的乘积表示为和差的形式的运算法则。
根据这个公式，我们可以将包含三角函数乘积的表达式转化为包含和差的表达式，从而更方便地进行计算和简化。
具体而言，假设有两个三角函数A和B，它们的乘积为AB。
根据积化和公式，我们可以将AB表示为和差的形式：AB = 1/2 * [sin(A+B) - sin(A-B)]这个公式的推导较为复杂，但可以通过欧拉公式和三角函数的和差化积公式得到。
通过将AB展开并进行整理，我们可以得到这个积化和公式。
这个公式在解决三角函数的乘积问题时十分实用，可以简化计算过程。
二、化积化和公式化积化和公式是指将两个三角函数的乘积表示为三角函数和的形式的运算法则。
这个公式的推导过程类似于积化和公式，但得到的结果形式不同。
具体而言，假设有两个三角函数A和B，它们的乘积为AB。
根据化积化和公式，我们可以将AB表示为三角函数和的形式：AB = 1/2 * [cos(A-B) + cos(A+B)]这个公式的推导也可以通过欧拉公式和三角函数的和差化积公式得到。
通过将AB展开并整理，我们可以得到这个化积化和公式。
这个公式同样在解决三角函数的乘积问题时十分实用，可以简化计算过程。
三、应用举例下面，我们来通过几个具体的例子来展示积化和公式和化积化和公式的应用。
例1：计算sin(60°) * sin(30°)。
根据积化和公式，我们可以将sin(60°) * sin(30°)表示为和差的形式：sin(60°) * sin(30°) = 1/2 * [sin(60° + 30°) - sin(60° - 30°)]= 1/2 * [sin(90°) - sin(30°)]= 1/2 * [1 - 1/2] = 1/4所以，sin(60°) * sin(30°) = 1/4。
高中数学专题：三角函数的化简与求值
2＋3，
则常数 a＝________.
解析
1＋2cos2x－1 f(x)＝ 2cos x ＋sin
x＋a2sinx＋π4
＝cos x＋sin x＋a2sinx＋π4
＝ 2sinx＋4π＋a2sinx＋π4 ＝( 2＋a2)sinx＋4π. 依题意有 2＋a2＝ 2＋3， ∴a＝± 3.
答案 ± 3
α
＝2
2sin
α＝－2
5
5 .
答案 A
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4.已知f(x)＝sin2
x＋4π，若a＝f(lg
5)，b＝f(lg
1 5
)，则(
)
A.a＋b＝0
B.a－b＝0
C.a＋b＝1
D.a－b＝1
解析 a＝f(lg 5)＝sin2(lg 5＋4π)
1－cos2lg
2 .
又∵cosπ4－β2＝ 33，－2π<β<0， ∴sinπ4－β2＝ 36，
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
∴cosα＋2β＝cosπ4＋α－π4－β2 ＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2 ＝13× 33＋232× 36＝593. 答案 C
＝－41＋34＋1＝23.
点评 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角 函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律 技巧．
变式训练2 (1)(四川)已知sin α＋2cos α＝0， 则2sin αcos α－cos2α的值是________． 解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， 又∵2sin αcos α－cos2α＝2sinsiαn2cαo＋s αc－osc2αos2α
三角函数的化简公式
三角函数的化简公式三角函数是数学中常见的一类函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学的计算和分析中，经常需要对三角函数进行化简和简化，以便更方便地进行运算和推导。
本文将介绍三角函数的一些常见的化简公式。
1. 正弦函数的化简公式正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，其常用的化简公式包括：（1）正弦函数的和差化简公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)（2）正弦函数的倍角化简公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)（3）正弦函数的平方化简公式：sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2（4）正弦函数的和差的平方化简公式：sin^2(x ± y) = (1 - cos(2x ± 2y))/22. 余弦函数的化简公式余弦函数也是三角函数中常用的函数之一，其常用的化简公式包括：（1）余弦函数的和差化简公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)（2）余弦函数的倍角化简公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)（3）余弦函数的平方化简公式：cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2（4）余弦函数的和差的平方化简公式：cos^2(x ± y) = (1 + cos(2x ± 2y))/23. 正切函数的化简公式正切函数是三角函数中与正弦函数和余弦函数密切相关的函数，其常用的化简公式包括：（1）正切函数的和差化简公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))（2）正切函数的倍角化简公式：tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))（3）正切函数的平方化简公式：tan^2(x) = (1 - cos(2x))/(1 + cos(2x))（4）正切函数的和差的平方化简公式：tan^2(x ± y) = ((1 - tan(x)tan(y))/(1 + tan(x)tan(y)))^2综上所述，三角函数的化简公式包括了正弦函数、余弦函数和正切函数的常见变换和简化形式。
高一数学三角函数公式大全 (2)
高一数学三角函数公式大全1500字高一数学三角函数公式大全1. 三角函数的定义：正弦函数：sinA = 对边/斜边余弦函数：cosA = 邻边/斜边正切函数：tanA = 对边/邻边余切函数：cotA = 邻边/对边正割函数：secA = 斜边/邻边余割函数：cscA = 斜边/对边2. 三角函数的基本性质：①周期性：sin(A+2πn) = sinAcos(A+2πn) = cosAtan(A+πn) = tanAcot(A+πn) = cotA②正弦函数与余弦函数的和差关系：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB③正切函数与余切函数的和差关系：tan(A±B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)④正弦函数与余弦函数的积化和差关系：sinAsinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2cosAcosB = [cos(A-B) + cos(A+B)] / 2⑤通解公式：sinA = sinB那么：A = nπ + (-1)^nB 或 A = π - nπ - (-1)^nB其中n为整数3. 三角函数的特殊值：sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，tan30° = 1/√3，cot30° = √3，sec30° = √3/2，csc30° = 2sin45° = cos45° = 1/√2，tan45° = 1，cot45° = 1，sec45° = √2，csc45° = √2sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3，cot60° = 1/√3，sec60° = 2，csc60° = √34. 三角函数的倍角公式：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Atan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)cot2A = (cot^2A - 1) / (2cotA)sec2A = (sec^2A + 1) / (secA + 1)csc2A = (csc^2A - 1) / (2cscA)5. 三角函数的半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)] 6. 三角函数的和差积化简公式：sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]7. 三角恒等式：①倍角公式：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos^2A - sin^2Atan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)cot2A = (cot^2A - 1) / (2cotA)sec2A = (sec^2A + 1) / (secA + 1)csc2A = (csc^2A - 1) / (2cscA)②半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]③和差化积公式：sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]以上是高一数学三角函数公式的一些基本内容，希望对你的学习有所帮助！。
三角函数化简技巧
三角函数化简技巧将一个三角函数式化简，最终结果一般都是出现两种形式：1、一元一次（即类似B x A y ++=)sin(ϕω）的标准形式；2、一元二次（即类似y=A(cosx+B)2+C ）的标准形式。
二、三角化简的通性通法：1、切割化弦；2、降幂公式；3、用三角公式转化出现特殊角；4、 异角化同角；5、异名化同名；6、高次化低次；7、辅助角公式；8、分解因式。
三、例题讲解： （例1）f(x)=2cosxsin(x+3π)－3sin 2x+sinxcosx 解：f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x −−−−−→用三角公式展开2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x −−−−→降幂公式sin2x +3cos2x −−−−→辅助角公式2sin(2x +3π).（例2）y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1) 解：y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1) −−−→配方2(cos x －2a )2－2242+-a a . （例3）若tan x =2，则xx x x cos sin 1sin 2cos 22+--=_______.（例4）sin 4α+cos 4α=_______.解：sin 4α+cos 4α−−→（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α−−→1－21sin 22α−−→1－11-cos222α⋅ =13cos 244α+. （例5）函数y =5sin x +cos2x 的最大值是_______.（例6）函数y =sin （3π－2x ）+sin2x 的最小正周期是（例7）f （x ）=2cos 2x +3sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，2π］上的最小值为－4，那么a 的值等于 A.4 B.－6 C.－4D.－3（例8）求函数f （x ）=xx x x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期、最大值和最小值.（例9）f （x ）=－sin 2x +sin x +a（例10）函数y =sin 4x +cos 2x 的最小正周期为( ) A.4π B.2π C.π D.2π y =sin 4x +cos 2x −−−−−−−−−−→异角化同角+高次化低次+异角化同角（22cos 1x -）2+22cos 1x +−−→432cos 2+x −−−−→高次化低次424cos 1x++43=81cos4x +87（例11）2、函数22y sin x x =-的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π（例12）化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+（例13）设3177cos(),45124x x πππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。
高中数学三角函数专题：三角函数化简(一)
高中数学三角函数专题：三角函数化简第一部分：三角函数化简基本原理知识点一：余弦的两角和差公式。
关系式一：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+。
关系式二：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。
推理方法：向量积。
第一种向量积的计算方法：非坐标的向量积计算。
θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a 。
第二种向量积的计算方法：坐标的向量积计算。
),(11y x a =，212122),(y y x x b a y x b +=⋅⇒=。
证明：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。
如下图所示：图甲图乙如图乙所示：过点A 作x 轴垂线，垂足为C 。
在OAC Rt ∆中：1||==r OA ，α=∠AOC 。
ααααsin sin 1sin ||||||||sin =⋅=⋅=⇒=OA AC OA AC ；ααααcos cos 1cos ||||||||cos =⋅=⋅=⇒=OA OC OA OC 。
αsin ||=AC ，)sin ,(cos cos ||αααA OC ⇒=。
如图甲所示：同理可以得到：)sin ,(cos ββB 。
)sin ,(cos )0,0()sin ,(cos αααα=-=OA ；)sin ,(cos )0,0()sin ,(cos ββββ=-=OB ；根据向量积的非坐标运算得到：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。
1||||===r OB OA ，向量OA 与OB 的夹角为βα-=∠AOB 。
根据向量积的坐标运算得到：)cos()cos(11cos ||||βαβα-=-⋅⋅=∠⋅⋅=⋅AOB OB OA OB OA 。
βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA ，)cos(βα-=⋅OB OA βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-⇒。
三角函数的奇偶性：①函数x x f sin )(=是奇函数x x sin )sin(-=-⇒。
倍角公式化简详解
倍角公式化简详解在三角函数的学习中，倍角公式是一个非常重要的知识点。
通过倍角公式，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，从而方便计算和理解。
那么，倍角公式怎么化简呢？下面，我们将详细介绍倍角公式的化简方法。
一、倍角公式的基本形式倍角公式包括正弦、余弦、正切三种形式，它们的基本形式分别为：1.正弦倍角公式：sin(2α)=2sinαcosα2.余弦倍角公式：cos(2α)=cos²α-sin²α3.正切倍角公式：tan(2α)=(2tanα)/(1-tan²α)二、倍角公式的化简步骤1.观察原始表达式：首先，我们要仔细观察需要化简的三角函数表达式，确定其中是否包含倍角形式。
2.应用倍角公式：如果原始表达式中包含了倍角形式，我们可以直接应用相应的倍角公式进行化简。
3.替换和化简：将倍角公式代入原始表达式后，我们需要对表达式进行替换和化简，使其变为更简单的形式。
4.检查结果：最后，我们要检查化简后的表达式是否正确，并验证其是否与原始表达式等价。
三、倍角公式化简的实例下面，我们将通过一个实例来展示倍角公式的化简过程。
例：化简表达式sin(2α)+cos(2α)解：首先，我们观察原始表达式sin(2α)+cos(2α)，发现其中包含了倍角形式。
然后，我们应用正弦和余弦的倍角公式进行化简：sin(2α)+cos(2α)=2sinαcosα+(cos²α-sin²α)接着，我们对表达式进行替换和化简：=(sin²α+cos²α)+(cos²α-sin²α)由于sin²α+cos²α=1（这是三角函数的基本恒等式），所以我们可以进一步化简为：=1+(cos²α-sin²α)最后，我们得到化简后的表达式：=1+cos(2α)通过这个过程，我们可以看到倍角公式在化简复杂三角函数表达式时的强大作用。
三角函数公式大全表格
三角函数公式大全表格本文将为读者提供一个包含主要三角函数公式的大全表格。
请注意，本文所提供的公式仅表示一部分常用的三角函数公式，可能并不涵盖所有的情况。
对于更加复杂的问题，读者可参考相关教材或进行进一步的研究。
下面是三角函数公式大全表格：值域和周期函数值域周期正弦函数[-1, 1]2π余弦函数[-1, 1]2π正切函数(-∞, ∞)π余切函数(-∞, ∞)π正割函数(-∞, -1] ∪ [1, ∞)2π余割函数(-∞, -1] ∪ [1, ∞)2π三角函数的基本关系1.正弦函数（sine function）：sinesine2.余弦函数（cosine function）：cosinecosine3.正切函数（tangent function）：tangenttangent4.余切函数（cotangent function）：cotangentcotangent5.正割函数（secant function）：secantsecant6.余割函数（cosecant function）：cosecantcosecant三角函数的诱导公式1.正弦函数和余弦函数的诱导公式：sine_cosinesine_cosinecosine_sinecosine_sine2.正切函数和余切函数的诱导公式：tangent_cotangenttangent_cotangentcotangent_tangentcotangent_tangent三角函数的和差化简公式1.正弦函数和余弦函数的和差化简公式：sine_cosine_sumsine_cosine_sumcosine_sine_sumcosine_sine_sum2.正切函数和余切函数的和差化简公式：tangent_cotangent_sumtangent_cotangent_sumcotangent_tangent_sumcotangent_tangent_sum以上是三角函数公式大全的部分内容。
三角函数公式加减
三角函数公式加减三角函数公式加减是解题时最常用的技巧之一。
在三角函数中，加减公式是一组使我们能够通过简单的代数变换来简化三角函数表达式的重要公式。
通过掌握这些公式，我们能够解决更多的问题，并在代数表达式中大大减少无用的数值计算。
本文将详细介绍三角函数公式加减及其使用。
一、三角函数公式加减的定义三角函数公式加减是将两个三角函数通过某种形式组合成一个单一的三角函数表达式的过程。
三角函数公式加减包括以下几个公式：1. 正弦函数的加减法公式sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)2. 余弦函数的加减法公式cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)3. 正切函数的加减法公式tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b))/(1 ∓tan(a)tan(b))二、三角函数公式加减的用途三角函数公式加减的主要用途是简化三角函数表达式。
三角函数表达式非常复杂，通常由多个三角函数及其乘积、商、幂次组成。
通过使用这些公式，我们可以将表达式降为一个最简形式。
在三角函数研究中，最简形式的表达式使我们更易于发现特定的数学规律和关系，从而得到更深刻的理解。
三、三角函数公式加减的应用1. 化简三角函数表达式三角函数表达式通常是由不同三角函数的乘、除、幂次或有理函数组成的。
通过使用三角函数加减法公式，我们能够将表达式化为更加简单的形式。
例如：sin(a + b)cos(a - b) = (sin(a)cos(b) +cos(a)sin(b))(cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b))化简得sin(a + b)cos(a - b) = sin(a)cos(a)cos(b)cos(b) + sin(b)cos(a)sin(a)sin(b)2. 求三角函数值有时需要求给定角度的三角函数值。
三角函数公式的总结和归纳：高一数学
三角函数公式的总结和归纳：高一数学1. 弧度和角度的转换公式- 角度转弧度公式：$radian = \frac{\pi}{180} \times degree$ - 弧度转角度公式：$degree = \frac{180}{\pi} \times radian$2. 正弦函数公式- 正弦函数定义：$sin\theta = \frac{y}{r}$- 正弦函数的周期性：$sin(\theta + 2\pi) = sin\theta$- 正弦函数的奇偶性：$sin(-\theta) = -sin\theta$3. 余弦函数公式- 余弦函数定义：$cos\theta = \frac{x}{r}$- 余弦函数的周期性：$cos(\theta + 2\pi) = cos\theta$- 余弦函数的奇偶性：$cos(-\theta) = cos\theta$4. 正切函数公式- 正切函数定义：$tan\theta = \frac{y}{x}$- 正切函数的周期性：$tan(\theta + \pi) = tan\theta$- 正切函数的奇偶性：$tan(-\theta) = -tan\theta$5. 三角函数的基本关系式- 正弦定理：$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$ - 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cosC$- 正切定理：$\frac{a-b}{a+b} = \frac{tan(\frac{A-B}{2})}{tan(\frac{A+B}{2})}$6. 三角函数的和差化简公式- 正弦函数的和差化简公式：$sin(A\pm B) = sinA \cdot cosB\pm cosA \cdot sinB$- 余弦函数的和差化简公式：$cos(A\pm B) = cosA \cdot cosB \mp sinA \cdot sinB$- 正切函数的和差化简公式：$tan(A\pm B) = \frac{tanA \pm tanB}{1 \mp tanA \cdot tanB}$7. 三角函数的倍角化简公式- 正弦函数的倍角化简公式：$sin2A = 2sinA \cdot cosA$- 余弦函数的倍角化简公式：$cos2A = cos^2A - sin^2A$- 正切函数的倍角化简公式：$tan2A = \frac{2tanA}{1 -tan^2A}$8. 三角函数的半角化简公式- 正弦函数的半角化简公式：$sin\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 - cosA}{2}}$- 余弦函数的半角化简公式：$cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 + cosA}{2}}$- 正切函数的半角化简公式：$tan\frac{A}{2} = \frac{sinA}{1 + cosA}$总结本文对高一数学中三角函数公式进行了总结和归纳。
三角函数化简公式推导
三角函数化简公式是对复杂的三角函数进行简化，使三角函数变为简单的。
下面小编整理了三角函数化简公式推导，供大家参考。
三角函数化简公式三角函数和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]三角函数积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα倍角公式sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三角函数万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 三角函数化简技巧1、统一名：其中包含齐次化切，以及切化弦。
三角函数化简例题
三角函数化简例题一、化简sin^2α + sin^2β - sin^2αsin^2β + cos^2αcos^2β。
1. 分析- 观察式子，发现式子中既有正弦函数又有余弦函数，且有平方项。
我们可以利用sin^2θ+cos^2θ = 1这个基本关系式进行化简。
2. 化简过程- 首先将原式变形：begin{align}sin^2α+sin^2β-sin^2αsin^2β+cos^2αcos^2β =sin^2α(1 -sin^2β)+sin^2β+cos^2αcos^2β end{al ign}begin{align}sin^2αcos^2β+sin^2β+cos^2αcos^2β=cos^2β(sin^2α+cos^2α)+sin^2βend{align}- 又因为sin^2α+cos^2α = 1，所以最终结果为：begin{align}cos^2β×1+sin^2β =cos^2β+sin^2β = 1end{align}二、化简(sin(α + β)-2sinαcosβ)/(2sinαsinβ+cos(α + β))。
1. 分析- 对于这个式子，需要利用两角和的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B和两角和的余弦公式cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B来化简。
2. 化简过程- 首先将分子分母分别展开：- 分子sin(α+β)-2sinαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβ - 2sinαcosβ=cosαsinβ-sinαcosβ=sin(β-α)。
- 分母2sinαsinβ+cos(α + β)=2sinαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)。
- 所以原式(sin(α + β)-2sinαcosβ)/(2sinαsinβ+cos(α + β))=(sin(β-α))/(cos(α - β))=tan(β-α)。
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全1. 正弦函数（sine function）：正弦函数用sin表示，定义域为实数集，值域为[-1,1]。
基本关系式：sinθ=opposite/hypotenuse基本恒等式：- 余角关系式：sin(π/2 - θ) = cosθ ；sin(π/2 + θ) = cosθ- 符号关系式：sin(-θ) = - sinθ ；sin(θ + 2πn) = sinθ （n 为任意整数）三角和差化简公式：- 和差化简：sin(α ± β) = sinα * cosβ ± cosα * sinβ- 差和化简：sinα + sinβ = 2 * sin((α + β) / 2) *cos((α - β) / 2)- 和差化简：sinα - sinβ = 2 * cos((α + β) / 2) *sin((α - β) / 2)2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数用cos表示，定义域为实数集，值域为[-1,1]。
基本关系式：cosθ = adjacent/hypotenuse基本恒等式：- 余角关系式：cos(π/2 - θ) = sinθ ；cos(π/2 + θ) = -sinθ- 符号关系式：cos(-θ) = cosθ ；cos(θ + 2πn) = cosθ （n 为任意整数）三角和差化简公式：- 和差化简：cos(α ± β) = cosα * cosβ ∓ sinα * sinβ- 差和化简：cosα + cosβ = 2 * cos((α + β) / 2) * cos((α - β) / 2)- 和差化简：cosα - cosβ = -2 * sin((α + β) / 2) *sin((α - β) / 2)3. 正切函数（tangent function）：正切函数用tan表示，定义域为实数集，值域为整个实数集。
基本关系式：tanθ = opposite/adjacent基本恒等式：- 余角关系式：tan(π/2 - θ) = 1/tanθ ；tan(π/2 + θ) = -1/tanθ三角和差化简公式：- 和差化简：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα * tanβ)- 和差化简：tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ- 和差化简：tanα - tanβ = sin(α - β) / cosα * cosβ4. 正割函数（secant function）：正割函数用sec表示，定义域为除了θ = π/2 + πn (n为任意整数)的实数集，值域为实数集的负数和正数。
高一数学。三角函数化简和求值超难方法汇总
高一数学。
三角函数化简和求值超难方法汇总第九讲三角函数式的恒等变形1.基本知识与基本方法1.1 基本知识介绍①两角和与差的基本关系式：cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $$sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $$tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\a lpha\tan\beta}$$②和差化积与积化和差公式：sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\co s\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha+\cos\beta=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\c os\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\al pha-\beta)\right)$$cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right)$$cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\ alpha-\beta)\right)$$sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right)$$③倍角公式：sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$④半角公式：sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$$tan\frac{\alpha}{2}=\pm\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\fra c{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$$⑤辅助角公式：如果$a,b$是实数且$a^2+b^2\neq0$，则：a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi)$$其中$\phi$满足：sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$1.2 基本方法介绍①变角思想：在三角化简、求值中，往往出现较多相异的角，可根据角与角之间的关系，通过配凑，整体把握公式，消去差异，达到统一角的目的，使问题求解。
三角函数式的化简
三角函数式的化简三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.（一）知识点 1、辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝ba ，角φ称为辅助角．2、降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________；=ααcos sin（二）例题讲解例1、(12分)已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值.审题视角 (1)在f (x )的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法.(2)当f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式时，可考虑辅助角公式. 解 (1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x[2分]＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.[6分](2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3，[8分]所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.[12分]解题步骤：第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式.（化同角，降幂） 第二步：构造：f (x )＝a 2＋b 2(sin x ·aa 2＋b 2＋ cos x ·ba 2＋b 2). 第三步：和角公式逆用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角).第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质.第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和解题规范.例2、求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．解 y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x ) ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x＝7－2sin 2x ＋sin 22x ＝(1－sin 2x )2＋6，由于函数z ＝(u －1)2＋6在[－1,1]中的最大值为z max ＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为z min ＝(1－1)2＋6＝6， 故当sin 2x ＝－1时，y 取得最大值10， 当sin 2x ＝1时，y 取得最小值6.（三）巩固练习1．(2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( ) A.12 B.33 C.22 D.322．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是 ( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是 ( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 4．(2011·广州模拟)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( ) A ．1 B. 3 C ．3 D ．95．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝⎛⎭⎫α－7π6的值是 ( ) A ．－233 B.233 C ．－23 D.236．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝5π4B ．x ＝3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－π27．(2010·重庆)如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－sin α13·sin α2＋α33＝________.8．(14分)(2011·济南模拟)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＝1－3， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分) ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6.∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.………………………………………………………………(6分)(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π (k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π (k ∈Z )，得函数单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π (k ∈Z )．……………………………………(10分) 列表：x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －10 2 描点连线，得函数图象如图所示：…………………………………………………………………………………………(14分)9．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数10．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，3211．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( )A ．－1B ．－12 C.12D ．112．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( )A ．有最大值12，最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值13、(2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22xsin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－11π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，3π4， ∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1. 14、(12分)(2010·江西)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋cos x sin x sin 2x ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x2＝12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤0，5π4，[4分] 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[6分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[10分] 所以35＝12⎣⎡⎦⎤45＋35(1＋m )＋12，[11分] 解得m ＝－2.[12分]15．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．16．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．17．(12分)(2011·南京模拟)设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.…………………………………………………………………………(4分)(1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，……………………………………………………………………………………………(10分)当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32.……………………………………………………………………………………………(12分) 18．(14分)(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R .………………………………………………………………(10分)因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.…………………………………………………(14分)。
三角恒等变换的基本公式与应用
三角恒等变换的基本公式与应用三角恒等变换是指由三角函数之间的关系，通过变换得到等价关系的过程。
它们是解决三角函数计算和证明题非常有用的工具。
本文将介绍三角恒等变换的基本公式、根据这些公式的应用以及相关的数学问题。
一、基本公式1. 正弦定理对于任意三角形ABC，其三边长度分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则正弦定理表达式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)该定理可以用于求解三角形的边长或角度，甚至用于构造和证明三角形的性质。
2. 余弦定理对于任意三角形ABC，其三边长度分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则余弦定理表达式如下：c² = a² + b² - 2abcos(C)该定理可以用于求解三角形的边长或角度，尤其适用于解决非特殊角的计算问题。
3. 正弦、余弦、正切的关系三角函数的基本关系：sin²(A) + cos²(A) = 1tan(A) = sin(A)/cos(A)这些关系可以通过三角函数间的相互转化和运算来推导和应用。
二、应用1. 角度推导与证明三角恒等变换的基本公式可以用于推导和证明角度之间的关系。
例如，我们可以利用正弦定理推导两角和差公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)这个公式在三角函数运算中非常常用。
2. 三角函数的化简与计算三角函数的公式化简是三角恒等变换的重要应用之一。
例如，我们可以利用tan(A) = sin(A)/cos(A)将复杂的三角函数表达式化简为更简洁的形式。
另外，当我们需要计算某些特殊角度的三角函数值时，也可以利用三角恒等变换的公式得到准确的数值结果。
3. 三角方程的求解三角方程是指含有未知角度的方程。
解决三角方程的关键是将其转化为已知角度的三角函数公式。
通过利用三角恒等变换的公式，我们可以将复杂的三角方程转化为简单的代数方程，从而求解出未知角度的值。
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1 2、已知 tan ，求值 3 sin 3 ( ) cos(2 ) tan(2 ) 3 3 sin( 2 ) cos( ) tan( ) tan( ) 2 2
1 4n 1 4n 1 n 3、求证： [cos( ) cos( ) (1) cos( ) 2 4 4 4
， 180 ， 180 ， 360 ，
当 0， 90
当 90 ， 180 当 180 ， 270 当 270 ， 360
公式二：
sin sin
cos cos
tan tan
公式三：
sin sin
cos cos tan tan
公式四：
sin sin cos cos tan cot
三角函数的诱导公式
能否再把 ～ 间的角的三角比，化为 0 360 我们熟悉的 ～90 间的角的三角比问题呢？ 0
如果能的话，那么任意角的三角比，都可 以化归为锐角三角比，并通过查表方法而得到 最终解决，本课就来讨论这一问题．
设 0 90 ，对于任意一个0 到360 的角 ， 以下四种情形中有且仅有一种成立．
3 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
练习反馈
1 （1）已知 cos ，求 tan 9 的值． 2
3 5 （2）已知 cos ，求 cos 的值． 6 3 6
公式五：
sin(
2
) cos
例题讲解
例1
求下列三角函数值：
（1） sin 225 ；
（2）cos 1290
；
91 cot ；（4）sin 11 ． （3） 4 10
例2
180 sin 360 化简： ． sin 180 cos 180
4、已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA A+B 3 +C (2)tan tan 4 4
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行: 任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
的三角函数
锐角三 角函数
例4
填写下表
sin
cos
3
2 3
3 2
4 3
3 2
5 3
3 2
7 3
3 2
) cot
cos(
2
) sin
tan(
2
cot(
2
) tan
公式六：
2 cos( ) sin 2 tan( ) cot 2
sin(
) cos
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限 意义：k k Z）的三角函数值 （
例题讲解
求下列各三角函数：
例3
13 （1）cos 1665 ；（2） sin ． 4
诱导公式小结
公式一、二、三、四、都叫做诱导公式．
k 2 k Z ， ， ， 概括如下：
的三角函数值，等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号， 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
2 1 ）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号； 2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；
1 1、已知 cos(75 ) ，其中 是第三象限角， 3 求 cos(105 ) sin( 105 )的值.