§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)

例3
交于A、 两点 两点， 若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 、B两点，M 中点， 为原点） 为AB中点，直线 （0为原点）的斜率为 中点 直线0M（ 为原点 OA⊥OB，求椭圆方程。 ⊥ ，求椭圆方程。
变式
2 ，且 2
OA⊥OB ⊥
| AB |= 2 2
练习: 练习:
25 1.点 1.点 P 与定点 F (0, 3) 的距离和它到定直线 l : y = 的 3 距离之比为 3:5,则点 P 的轨迹方程是 则点 的轨迹方程是_________.
x y 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
2
2
分析: 是椭圆上任一点, 分析:设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 的距离的表达式. 试求点 P 到直线 4 x − 5 y + 40 = 0 的距离的表达式.
例1、 已知椭圆 2+9y2=45，椭圆的右焦点为 ， 、 已知椭圆5x ，椭圆的右焦点为F， (1)求过点 且斜率为 的直线被椭圆截得的弦长 求过点F且斜率为 的直线被椭圆截得的弦长. 求过点 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长 (2)判断点 判断点A(1,1)与椭圆的位置关系 并求以 为中点 与椭圆的位置关系,并求以 判断点 与椭圆的位置关系 并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程. 椭圆的弦所在的直线方程
B 例 如图 . − ,一种 反射镜面 E 电影放映灯泡的反射镜 O F ( 是旋转椭圆面椭圆绕 A F x D 其对称轴旋转一周形成 透明窗 C ) . 的曲面的一部分过对 BAC是椭圆的一部分灯丝位于椭圆 , 称轴的截口 , F . 一个焦点F 上 片门位于另一个焦点 上由椭圆 , 一个焦点F 发出的光线经过旋转椭圆面反射后 F 已知BC ⊥ F F ,| F B |= . 集中到另一个焦点 . cm,| F F |= . cm, ,求截口 BAC 所在的椭圆方程 .
练习
x2 + y2 =1 被过右焦点且垂直于 轴 1、求椭圆 被过右焦点且垂直于x轴 、 4
的直线所截得的弦长。 的直线所截得的弦长。
通径
2b2 a
2、中心在原点，一个焦点为F（0， 50）的椭圆被 、中心在原点，一个焦点为 （ ， 所截得弦的中点横坐标是1/2， 直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是 ，求椭圆 所截得弦的中点横坐标是 方程。 方程。
P
.
10
x y + =1 45 36
x2 y2 例4、过点 、过点A(5,5)与椭圆 与椭圆 + = 1 只有一个公共点的直 25 16
线有（ 线有（ ） A.0条 条
A的坐标变为 (0,2)，结果如何？ 的坐标变为 ，结果如何？ B.1条 条 C.2条 条 D.3条 条
注：解析几何是数形结合的产物，而数形结合是解几问 解析几何是数形结合的产物， 题的一个重要方法与工具。 题的一个重要方法与工具。 变式：过点 变式：过点(0,2)与抛物线 y2 = 8x 只有一个公共点的 与抛物线 直线有（ 直线有（ C ） (A)1条 条 (C)3条 条 (B)2条 条 (D)无数多条 无数多条
怎么判断它们之间的位置关系？ 怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： 几何法： d>r 代数法： 代数法：∆<0
d=r ∆=0
d<r ∆>0
问题2：椭圆与直线的位置关系？ 问题 ：椭圆与直线的位置关系？
问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？ 问题 ：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？ 不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。 不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。 求解直线与二次曲线有关问题的通法 所以只能用代数法 ---求解直线与二次曲线有关问题的通法
1 2
y
,演 操作打开的几何画板 . 示椭圆镜面工作原理
B E
O
反射镜面
解 建立图 . −
所示
ABiblioteka Baidu
F1
的直角坐标系, 设所求椭 x y 圆方程为 + = . a b 在Rt∆BF F 中,
C
F2
x
D
透明窗
图 . −
| F B |= | F B | + | F F | =
.
+ . .
由椭圆的性质知, | F B | + | F B |= a, 所以
1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2，判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线 已知直线 ， x1 + x2 = 2 5 由韦达定理 的位置关系。 的位置关系。
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ 变式 ：交点坐标是什么？ A(1, ), B(− , − ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？ 变式 ：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB |= 5 5
M
d
H
F
l
x

d

. −
直接法： 直接法：
由此得
(x − )
+y
= .
建→设→限→代→化 设 限 代 化
−x
将上式两边平方, 并化简, 得 9 x 2 + 25 y 2 = 225, x2 y2 即 + = 1. 25 9 6 所以 , 点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为 10、 的椭圆
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？ 问题 ：直线与圆的位置关系有哪几种？
41 65 15 41. 思考：最大距离为多少？ 所 以最 小 距 离 是 41 思考：最大距离为多少？ 41 41
42 + 52
１、判断直线与椭圆位置关系的方法：(代数法) 判断直线与椭圆位置关系的方法： 代数法) 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 相交 弦长公式： ２、弦长公式： 与椭圆C 设直线 l与椭圆 相交于 x1 ，y1) ，B( x2，y2 )， 与椭圆 相交于A( ， 则 |AB|＝ ＝
1 + k | x1 − x2 | , 其中 k 是直线的斜率 2 2 = 1 + k （x1 + x2 ) − 4 x1 x2
2
课后作业： 《金榜》素能综合检测（ ） 课后作业：1.《金榜》素能综合检测（13） 2.抓紧时间进行中段考复习！！ 抓紧时间进行中段考复习！！ 抓紧时间进行中段考复习
y
4 x − 5 y + k = 0 2 联立方程组 x y2 =1 + 25 9
m
消去 y，得 25 x2 + 8kx + k 2 − 225 = 0 k=25， k=令△= 64k 2 − 4 × 25 × (k 2 − 225) = 0 解得 k=25，或 k=-25 由图可知， 由图可知，当 k=25 时，直线 m 与椭圆的交点到直线 的距离最近， 4xl 的距离最近，此时直线 m 的方程为 4x-5y+25=0 | 40 − 25 | 15 直线 m 与直线 l 间的距离 d = 41 =
C
A、（ ，1） 、（0， ） 、（ C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） 、 ， ） ，
B、（ ，5 ） 、（0， 、（ D、（ ，+ ∞ ） 、（1， 、（
2、过椭圆 x2+2y2=2 的左焦点作倾斜角为 0的直线， 、 的左焦点作倾斜角为60 的直线，
8 2 直线与椭圆交于A,B两点，则弦长 两点， 直线与椭圆交于 两点 则弦长|AB|= _______. 7
x y =1 + =1 16 25
2
2
练习巩固: 练习巩固: 巩固
x2 y2 1.过椭圆 引一条弦, 1.过椭圆 + = 1 内一点 M (2,1) 引一条弦, 使弦被点 M 16 4 平分,求这条弦所在的直线方程. 平分,求这条弦所在的直线方程. x + 2 y − 4 = 0 x2 y2 2.椭圆 2. 椭圆 + = 1 上的点到直线 x + 2 y − 2 = 0 最大距离 16 4 是________. 3.已知椭圆的焦点 3.已知椭圆的焦点 F1 ( −3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x − y + 9 = 0 有 2 2 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______. 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______.
42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
且
x0 2 25
+
y0 2 9
=1
几何画板显示图形 几何画板显示图形
x2 y2 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l，则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x − 5 y + k = 0
a= (| F B | + | F B |) =
(.
+
.
+ .
)≈
. ;
y
B
反射镜面
E O
A
F1
F2
D
x
C
透明窗
图 . −
b= a −c =
.
− .
≈ . .
x 所以 , 所求的椭圆方程为 .
y + .
= .
2 x2 += y1 4
例3、对不同的实数值 ，讨论直线 、对不同的实数值m，讨论直线y=x+m与椭圆 与椭圆 的位置关系。 的位置关系。
X
§2.2.2 椭圆的简单几何性质 2.2 （2）
例1.点 M ( x, y) 与定点F ( 4, 0) 的距离和它到直线
y
25 4 l : x = 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹. 4 5 O 25 解.设d 是点M 到直线l : x = 的距离, 根据题意, 4 | MF | 图 点 M的 轨 迹 就 是 集 合 P = M | = .
>0 =0 <0
解：联立方程组 x ⋅ x = − 1 1 1 2 5 y = x − 消去 消去y 2 2 5x − 4x −1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根， 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根， ，所以方程（ 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解 所以该直线与椭圆相交
一.直线与椭圆的位置关系的判定
代数法
Ax+By+C=0 由方程组： 由方程组： x2 y2 + 2 =1 2 a b
这是求解直线与二 mx2+nx+p=0（m≠ 0） 次曲线有关问题的 （ ） 通法。 通法。 2
= n -4mp
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离
| 弦长公式： 弦长公式：AB |= 1+ k x1 − x2 = 1+ k （x1 + x2 ) − 4x1x2 k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标 表示弦的斜率， 表示弦的斜率
2
2 2
x2 y2 1、y=kx+1与椭圆 + =1恰有公共点，则m的范围 恰有公共点， 、 与椭圆 的范围 5 m （ ）
归纳：这类问题的两种解决方法 归纳： （1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解； ）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解； （2）联立方程组，运用“设而不求”解法技巧，结合韦达定理完成求解。 ）联立方程组，运用“设而不求”解法技巧，结合韦达定理完成求解。