二项式定理的性质分析

(a+b)1 =
1a + 1b
(a+b)2=
1a2+2ab+1b2
(a+b)3=
1a3+3a2b+3ab2+1b3
(a+b)4=
1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
(a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b
(a+b)6= 1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5
B. 第2n+2项
C. 第2n项
D第2n+1项或2n+2项
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________
分析：求解二项式系数和时，灵活运用赋值 法可以使
问题简单化。通常选取赋值时取－1，1。
四、练习
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大
cn0 cn2 c1n cn3
三、例题
例1：求(1+2x)8 的展开式中二项式系数最大的项
解：已知二项式幂指数是偶数８，展开式共９项， 依二 项式系数性质 中间一项的二项式系数最大，则：
T5=C84(2x)4=70×16x4=1120x4
n
例2 已知

x4
二项式定理的性质
学海导航:了解杨辉三角,掌握二项式的
几个重要性质
复习回顾: 二项式定理及展开式:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn(n N *)
二项式系数 通项
Cnr (r 0,1, , n) Tr1 Cnr anr br
的项是( A ).
A.第6项
B.第7项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
注：此种类型的题目应该先找准r的值，然后再
确定第几项。
3.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为 A
A.8 B.9 C.10 D.11
4.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ A ）
A.第2n+1项
1 x3

展开式中只有第10
项系数最大，求第五项。
解：依题意, n 为偶数，且 n 1 10,n 18
2
T5 T41 C148 (
3060x4
x )184 4
1 x3
4
若将“只有第10项”改为“第10 项”呢？
例３、已知(1-2x)7= a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
》
一书里就已经出现
中 记 载
了，在这本书里， 记载着类似左面的
的
表：
表
二项式系数的性质
性质1：对称性
Cm n

Cnm n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
11 121 1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
性质2：增减性与最大值
由于：C
(a+b)7= ?
(a+b)8= ?
……
……
(a+b)n= ?
(a+b)1 ___ (a+b)2 ___ (a+b)3 ___ (a+b)4 ___ (a+b)5 ___ (a+b)6 ___
11
1 2 1 杨辉三角
1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
得最大值。
f（r） 20 15
6 1 O3
（a b）n展开式的二项式系数是 C0n，C1n，Cn2，，Cnn
从函数的角度看， Crn可看成是以r为自变量的函数f（r），
其定义域是0，1，2，，n
当n= 6时,
其图象是7个孤立点
6
r
f（r）
20
Cn
当n是偶数时，中间的f（一r项） 取得最大值 ；
k n

n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!

k
1)

Ck 1 n

n
k k
1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
nk k
1 决定．
由： n k 1 1 k n 1
k
可知，当 k

n
1 时，
2
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可
知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取
数的和等于：2n
同时由于C0n 1，上式还可以写成：
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
这是组合总数公式．
性质4:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系 数的和.
即：cn0 cn2 c1n cn3
(11)n cn0 c1n cn2 cn3 (1)n cnn (cn0 cn2 ) (c1n cn3 )
2
n
n1
C 当n是奇数时，中间的两3项5 2
n
n1
C 和 2 相等，且同时30取得
最大值n为。偶n 数
15
20
6
1
O nn 2
n1 22
10
r
O
n
2
n为奇数
n1 22
n
性质3：各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C
Hale Waihona Puke Baidu
0 n
C1n

C
2 n

C
n n

2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
……
……
(a+b)n ___
1
C
1
n
…
C
r 1
n
r
Cn
……
C
n 1
n
1
(a+b)n+1__ 1
C
1 n
1…
…
C
r n 1
n
… … Cn1
1
(a+b)1 ___
11
(a+b)2 ___
121
(a+b)3 ___
1331
(a+b)4 ___
14641
(a+b)5 ___
1 5 10 10 5 1
二、新课
(a+b)1=
a+b
(a+b)2=
a2+2ab+b2
(a+b)3=
a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5= a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(a+b)6= a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
(a+b)6 ___
……
1 6 15 20 15 6 1
……
(a+b)n ___
1
1
Cn
… Cnr 1
r
Cn
……
C
n 1
n
1
(a+b)n+1__
1
r
n
1 Cn1… … C n1 … … Cn1 1
杨辉三角
《
详
这样的二项
解 九 章
式系数表，早在我 国南宋数学家杨辉
算
1261 年所著的
法
《详解九章算法》