二级结论——抛物线
抛物线知识点二级结论
抛物线知识点二级结论嘿，朋友！咱今天来聊聊抛物线这神奇的家伙，特别是那些超有用的二级结论。
你想啊，抛物线就像一个会跳舞的精灵，在数学的大舞台上展现着独特的魅力。
先说抛物线的对称轴，那可是它的脊梁骨！你知道吗，对称轴决定了抛物线的对称美。
就好比人的脊梁，直挺挺地撑起了整个身体的平衡。
再看看抛物线的焦点，这可是个关键角色。
它就像一个聚光灯，把所有的光芒都聚集在一点。
如果把抛物线比作一场演出，那焦点就是舞台中央最耀眼的明星，吸引着所有人的目光。
还有抛物线的准线，那简直就是给抛物线划定边界的尺子。
它让抛物线知道自己的活动范围，不能越界。
这就好像是给调皮的孩子画了个圈，让他在圈内玩耍。
说到抛物线的顶点，那可是它的标志性位置。
就如同山峰的顶点，是最高、最独特的存在。
你想想，要是没有这些二级结论，我们在解决抛物线相关的问题时，不就像在黑暗中摸索，找不到方向吗？比如说，知道了抛物线焦点到准线的距离，解题的时候是不是就能一下子找到突破口？这就好像在迷宫中突然有了一盏明灯，照亮了前进的道路。
还有抛物线的焦半径公式，那可真是解题的利器。
它能让我们迅速算出抛物线上一点到焦点的距离，省了多少麻烦呀！再比如说，抛物线的切线方程，这就像是给抛物线披上了一层神秘的外衣，让我们能更深入地了解它的特性。
朋友，掌握这些抛物线的二级结论，就如同拥有了一把神奇的钥匙，能轻松打开数学难题的大门。
难道你不想拥有这把钥匙，在数学的世界里畅游吗？别再犹豫啦，赶紧把这些结论牢记于心，让它们成为你解题的得力助手！。
微重点 抛物线的二级结论的应用
微重点 抛物线的二级结论的应用抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 抛物线的焦点弦核心提炼与抛物线的焦点弦有关的二级结论若倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>y 2)两点，则(1)焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α，(2)焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α，(3)S △OAB ＝p 22sin α(O 为坐标原点)，(4)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，(5)1|AF |＋1|BF |＝2p， (6)以AB 为直径的圆与准线相切，以F A 为直径的圆与y 轴相切．考向1 焦半径、弦长问题例1 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，直线l 2与C 相交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 答案 A解析 如图，设直线l 1的倾斜角为θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则直线l 2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ， |DE |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝4cos 2θ，∴|AB |＋|DE |＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当且仅当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时取等号．∴|AB |＋|DE |的最小值为16.(2)斜率为3的直线经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与抛物线交于A ，B 两点，A 在第一象限且|AF |＝4，则|AB |＝________. 答案163解析 直线l 的倾斜角α＝60°，由|AF |＝p1－cos α＝4，得p ＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB |＝2p sin 2α＝434＝163. 考向2 面积问题例2 (2022·长沙模拟)已知抛物线C ：y 2＝16x ，倾斜角为π6的直线l 过焦点F 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△ABO 的面积为________． 答案 64解析 方法一 (常规解法)依题意， 抛物线C ：y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，直线l 的方程为x ＝3y ＋4.由⎩⎨⎧x ＝3y ＋4，y 2＝16x ，消去x ， 得y 2－163y －64＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝163，y 1y 2＝－64. S △OAB ＝12|y 1－y 2|·|OF |＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2(163)2－4×(－64)＝64. 方法二 (活用结论)依题意知， 抛物线y 2＝16x ，p ＝8. 又l 的倾斜角α＝π6.所以S △OAB ＝p 22sin α＝822sinπ6＝64.考向31|AF |＋1|BF |＝2p的应用 例3 (2022·“四省八校”联考)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则2|AF |＋|BF |最小值为( ) A ．2 B ．26＋3 C ．4 D ．3＋2 2答案 D解析 因为p ＝2， 所以1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1，所以2|AF |＋|BF |＝(2|AF |＋|BF |)·⎝⎛⎭⎫1|AF |＋1|BF | ＝3＋2|AF ||BF |＋|BF ||AF |≥3＋22|AF ||BF |·|BF ||AF |＝3＋22， 当且仅当|BF |＝2|AF |时，等号成立， 因此，2|AF |＋|BF |的最小值为3＋2 2.考向4 利用平面几何知识例4 (2022·遂宁模拟)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，直线l 与抛物线的准线l 1交于点M ，若PM →＝2FP →，则|FQ ||PQ |等于( )A.13B.34C.43 D ．3 答案 B解析 如图，过点P 作准线的垂线交于点H ，由抛物线的定义有|PF |＝|PH |＝m (m >0)，过点Q 作准线的垂线交于点E ，则|EQ |＝|QF |， ∵PM →＝2FP →， ∴|PM |＝2m ，根据△PHM ∽△QEM ， 可得|PH ||PM |＝|QE ||QM |＝12，∴2|EQ |＝|QM |＝|FQ |＋3m . ∴|EQ |＝3m ，即|FQ |＝3m ， ∴|FQ ||PQ |＝3m 3m ＋m ＝34. 易错提醒 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．跟踪演练1 (1)已知A ，B 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AB →＝3FB →，S △OAB ＝23|AB |，则|AB |的值为( )A.92B.29 C ．4 D ．2 答案 A解析 如图，不妨令直线AB 的倾斜角为α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∵AB →＝3FB →∴F 为AB 的三等分点， 令|BF |＝t ，则|AF |＝2t ， 由1|BF |＋1|AF |＝2p， 得1t ＋12t ＝2p ⇒t ＝34p ， ∴|AB |＝3t ＝94p ，又|AB |＝2psin 2α， ∴2p sin 2α＝94p ⇒sin α＝223， 又S △AOB ＝23|AB |， ∴p 22sin α＝23|AB |， 即p 2423＝23·94p ⇒p ＝2， ∴|AB |＝92.(2)(多选)已知抛物线C ：x 2＝4y ，焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，该抛物线的准线与y 轴交于点M ，过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为H ，G ，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．线段AB 长度的最小值为2B ．以AB 为直径的圆与直线y ＝－1相切C ．∠HFG ＝90°D ．∠AMO ＝∠BMO答案 BCD解析 如图，取AB 的中点为C ，作CD ⊥GH ，垂足为D ，当线段AB 为通径时长度最小，为2p ＝4，故A 不正确； ∵直线y ＝－1为准线， ∴|CD |＝12(|AH |＋|BG |)＝12|AB |，故以AB 为直径的圆与准线y ＝－1相切， 故B 正确；又|BF |＝|BG |，∴∠BFG ＝∠BGF ， 又BG ∥FM ， ∴∠BGF ＝∠MFG ， ∴∠BFG ＝∠MFG ， 同理可得∠AFH ＝∠MFH ，又∠BFG ＋∠MFG ＋∠MFH ＋∠AFH ＝180°， ∴FG ⊥FH .即∠HFG ＝90°，故C 正确； 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴直线AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0， ∴x 1x 2＝－4，x 1＋x 2＝4k ， k AM ＋k BM ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋2·4k－4＝0，∴∠AMO ＝∠BMO ，故D 正确．考点二 定点问题核心提炼抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过(2p ，0)的直线与之交于A ，B 两点，则OA ⊥OB ，反之，也成立．例5 如图，已知直线与抛物线x 2＝2py 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为( )A ．2B ．4 C.32 D.52答案 D解析 如图，令AB 与y 轴交于点C ，∵OA ⊥OB ，∴AB 过定点C (0,2p )， 又D (2,4)，∴CD →＝(2,4－2p )，OD →＝(2,4)， ∵OD ⊥AB ， ∴CD →·OD →＝0， 即4＋4(4－2p )＝0， 解得p ＝52.易错提醒 要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需证明该结论．跟踪演练2 已知抛物线y 2＝4x ，A ，B 为抛物线上不同两点，若OA ⊥OB ，则△AOB 的面积的最小值为________． 答案 16解析 如图，∵OA ⊥OB ，∴直线AB 过定点(2p ，0)， 即点C 坐标为(4,0)，设直线AB ：x ＝ty ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋4，y 2＝4x ⇒y 2－4ty －16＝0，Δ＝16t 2＋64>0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－16， ∴S △AOB ＝12|OC ||y 1－y 2|＝2|y 1－y 2|＝216t 2＋64，∴当t ＝0时，S min ＝16.专题强化练1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝4x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3 答案 D解析 方法一 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0， Δ＝16t 2＋16>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 214·y 224＋y 1y 2＝1616＋(－4)＝－3. 方法二 因为AB 过抛物线的焦点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝1，y 1y 2＝－p 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.2.如图，过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |等于( )A ．8B ．9C ．10D ．12答案 B解析 如图所示，令|BF |＝t ， 则|BB ′|＝t ， 又B 为AC 的中点， ∴|AA ′|＝|AF |＝2t ， ∴|BC |＝|AB | ＝|AF |＋|BF |＝3t ， 又△CBB ′∽△CFE ， ∴|BC ||CF |＝|BB ′||FE |， 即3t 3t ＋t ＝t p⇒t ＝34p ，∴|AB |＝3t ＝94p ＝9.3．倾斜角为π4的直线l 交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，S △AOB ＝85，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝42xD ．y 2＝8x答案 B解析 ∵OA ⊥OB ， ∴直线过定点(2p ，0) 设直线l 的方程为x ＝y ＋2p ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋2p ，y 2＝2px ，得y 2－2py －4p 2＝0，Δ＝4p 2－4×(－4p 2)＝20p 2>0， ∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－4p 2， S △AOB ＝12·2p ·|y 1－y 2|＝p (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p ·4p 2＋16p 2＝25p 2＝85， ∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .4．直线l 过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则四边形ABB ′A ′的面积为( ) A ．4 3 B ．8 3 C ．16 3 D ．32 3 答案 C解析 不妨令直线l 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ＝31－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ＝31＋cos θ，又|AF |＝3|BF |， ∴31－cos θ＝3·31＋cos θ，解得cos θ＝12，又θ∈[0，π)，∴θ＝π3，∴|AF |＝31－cos θ＝6，|BF |＝31＋cos θ＝2， ∴|AA ′|＝6，|BB ′|＝2，∴|A ′B ′|＝|AB |sin θ＝8×32＝43， ∴S 四边形ABB ′A ′＝12×(2＋6)×43＝16 3. 5．(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则( )A ．C 的准线方程为x ＝－2B ．若|AF |＝4，则|OA |＝21C ．若|AF |·|BF |＝4p 2，则l 的斜率为±33D ．过点A 作准线的垂线，垂足为H ，若x 轴平分∠HFB ，则|AF |＝4答案 BCD解析 因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线为x ＝－1，故A 错误；若|AF |＝4，则x A ＝3，所以y 2A ＝4x A＝12， 所以|OA |＝x 2A ＋y 2A ＝21，故B 正确；设直线AB 的倾斜角为α，α∈(0，π)，|AF ||BF |＝p 1－cos α·p 1＋cos α＝p 2sin 2α＝4p 2， ∴sin 2α＝14， ∴sin α＝12， ∴α＝30°或150°，∴tan α＝±33，故C 正确； 对于D ，若x 轴平分∠HFB ，则∠OFH ＝∠OFB ，又AH ∥x 轴，所以∠AHF ＝∠OFH ＝∠OFB ＝∠AFH ，所以HF ＝AF ＝AH ，所以x A ＋x H 2＝x F ，即x A ＝3， 所以|AF |＝x A ＋1＝4，故D 正确．6．(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点M (－1，－1)是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是( )A ．p ＝2B ．k ＝－2C ．MF ⊥ABD.|F A ||FB |＝25 答案 ABC解析 由题意知，抛物线C 的准线为x ＝－1，即p 2＝1，解得p ＝2， 故选项A 正确；∵p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，∵以AB 为直径的圆与准线相切，∴点M (－1，－1)为切点，∴圆心的纵坐标为－1，即AB 中点的纵坐标为－1，设AB ：x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ， 得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，∴y 1＋y 2＝4t ＝－2，∴t ＝－12，即k ＝－2，故选项B 正确； ∵k ＝－2，k MF ＝－1－0－1－1＝12，k MF·k ＝－1， ∴MF ⊥AB ，故选项C 正确；过A 作AA 1⊥x 轴，过B 作BB 1⊥x 轴，抛物线的准线交x 轴于点C ，设∠BFB 1＝θ，∴|BF |＝p 1－cos θ， |AF |＝p 1＋cos θ， 又p ＝2，k ＝－2，则cos θ＝55， ∴|F A ||FB |＝5－55＋5＝(5－5)225－5＝30－10520＝3－52， 故选项D 错误．7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且|MF |＝2|NF |，则直线l 的斜率为______．答案 ±2 2解析 由抛物线的焦点弦的性质知1|MF |＋1|NF |＝2p＝1， 又|MF |＝2|NF |，解得|NF |＝32，|MF |＝3， ∴|MN |＝92， 设直线l 的倾斜角为θ，∴k ＝tan θ，又|MN |＝2p sin 2θ， ∴4sin 2θ＝92， ∴sin 2θ＝89，∴cos 2θ＝19， ∴tan 2θ＝8，∴tan θ＝±22，故k ＝±2 2.8.(2022·攀枝花模拟)如图所示，已知抛物线C 1：y 2＝2px 过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0.过圆心C 2的直线l 与抛物线C 1和圆C 2分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PM |＋4|QN |的最小值为________．答案 13解析 由题设知，16＝2p ×2，则2p ＝8，故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，则焦点F (2,0)， 由直线PQ 过抛物线的焦点，则1|PF |＋1|QF |＝2p ＝12， 圆C 2：(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1， |PM |＋4|QN |＝|PF |－1＋4(|QF |－1)＝|PF |＋4|QF |－5＝2(|PF |＋4|QF |)⎝⎛⎭⎫1|PF |＋1|QF |－5＝2×⎝⎛⎭⎫|PF ||QF |＋4|QF ||PF |＋5≥4|PF ||QF |·4|QF ||PF |＋5＝13， 当且仅当|PF |＝2|QF |时，等号成立，故|PM |＋4|QN |的最小值为13.。
抛物线的二级结论及推导
抛物线的二级结论及推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线始终是数学中一个重要的概念，它具有很多重要的性质和实际应用。
在高中数学学习的过程中，我们经常会接触到关于抛物线的二级结论及推导。
在这篇文章中，我们将详细介绍抛物线的二级结论，并推导相关的内容。
抛物线是一条平面曲线，它的数学定义是平面上到一个定点的距离等于到一直线的距离的点的集合。
在直角坐标系中，抛物线的标准方程是：y = ax^2 + bx + c其中a、b、c都是常数，a ≠ 0。
在这个方程中，a决定了抛物线的开口方向（向上还是向下）、b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
抛物线的二级结论是指关于抛物线上的二次项的系数a的性质。
具体来说，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
在我们的推导中，我们将证明这一结论的有效性。
我们来看当a > 0时，抛物线开口向上的情况。
我们假设抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
我们知道抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
由于a > 0，所以当x取任意值时，ax^2的值都大于等于0。
整个方程的值都不会小于c（当x取顶点坐标时，ax^2 = 0）。
这说明抛物线的图象是向上开口的。
除了抛物线的开口方向之外，二级结论还包括了抛物线的顶点、焦点等重要性质。
在实际问题中，我们可以利用这些结论来解决一些与抛物线相关的问题，比如确定一个抛物线的开口方向、求解最值等。
抛物线的二级结论是抛物线研究中一个非常重要的内容，它帮助我们理解和利用抛物线的各种性质，为我们的数学学习和实际问题的解决提供了有力的支持。
希望通过本文的介绍，读者能够对抛物线的二级结论有更深入的理解，并能够灵活运用这些知识。
第二篇示例：抛物线是代数表达式的一种特殊形式，常见于数学课程中。
学习抛物线的二级结论及推导可以帮助我们更深入地了解这个概念，并应用于实际问题的求解中。
【NO.187】二级结论，谨慎
【NO.187】二级结论，谨慎
之前推送过一些关于抛物线的二级结论，这几次考试有学生反馈恰巧都用上了，比如说这次的大连一模考试。
掌握好一些重要的二级结论确实非常方便，对于在考试中遇到圆锥曲线的小题目。
但是这让我想起了另外一件事。
在2018年全国2卷高考数学中，也是考察了抛物线的问题。
但是有的人因为没有把二级结论记牢固而出现了错误，比较可惜。
所以，二级结论，要记，一定要记清楚，如果记得模糊，那反而会适得其反。
结论1、两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切；（2）过抛物线焦点弦的两个端点向准线作垂线，以两垂足端点为直径的圆与焦点弦相切。
下面是详细的证明过程：
好了，来看看去年的考试试题。
所以说如果这个题目的二级结论记得不清楚，答案将会算成一个，可惜了。
这一期，没有推送【NO.185】高考标准答案里的“点”是怎么想出来的？（解析1）
【NO.186】高考标准答案里的“点”是怎么想出来的？（解析2）这个系列的专题，下面就给几个例题作为分析，后期继续推送。
好了，这一期先分享到这里。
抛物线二级定理
抛物线二级定理抛物线二级定理引言在平面几何中，抛物线是一种重要的曲线，具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍抛物线二级定理，该定理是关于抛物线的一个基本性质，对于理解抛物线的性质和应用具有重要意义。
一、基本概念1. 抛物线：抛物线是一种平面曲线，由一个固定点（焦点）F和一条直线（准线）L组成，定义为到焦点距离与到准线距离相等的点的轨迹。
2. 焦距：焦距是指焦点到准线的距离。
3. 对称轴：对称轴是指过焦点垂直于准线的直线。
4. 顶点：顶点是指抛物线上离对称轴最近的点。
5. 参数方程：参数方程是指用参数表示曲线上每个点坐标的方程。
6. 标准方程：标准方程是指将抛物线移到以对称轴为x轴、以顶点为原点的坐标系中后得到的方程。
7. 切线：切线是指与曲面相切于一点且在该点处与曲面重合的直线。
8. 法线：法线是指与切线垂直的直线。
二、抛物线二级定理的表述抛物线二级定理又称为焦点定理，它表述了一个点到抛物线焦点的距离等于这个点到抛物线准线距离的平方与这个点到抛物线顶点距离的平方之和的一半。
具体地说，设P(x,y)为抛物线上任意一点，F为焦点，L为准线，V为顶点，则有：PF² = (x-a)² + (y-b)²PL = |y-c|PV² = (x-a)² + (y-b+c)²其中a,b,c分别是标准方程y²=2px中的参数。
则有：PF² = (PL² + PV²)/2三、证明过程1. 基本思路：首先将抛物线移到以对称轴为x轴、以顶点为原点的坐标系中，并将焦点F移到原点O处。
然后通过参数方程求出P(x,y)到O和L的距离，并利用勾股定理和代数运算得到PF²、PL和PV²。
最后代入公式中进行简化即可得到结论。
2. 具体步骤：（1）将抛物线移到以对称轴为x轴、以顶点为原点的坐标系中，此时抛物线的标准方程为y²=2px。
【二级结论】专题12 解析几何3
＝，＝（图1 图2 图3①以为直径的圆与准线相切；②以为直径的圆与轴相切；③以为直径的圆与轴相切；④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，⼜与圆相内切．结合圆的⼏何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3有，①以为直径的圆的圆⼼在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；②以为直径的圆的圆⼼在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；③以为直径的圆的圆⼼在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；④以为直径的圆必过原点，即；⑤．【应⽤场景】AB M AF C y BF D y AB ,AF ,BF C D C D y M AB M 1A ,B A ⊥B M 1M 1AF y C 1A ,F A ⊥F C 1C 1BF y D 1B ,F B ⊥F D 1D 1A 1B 1F ⊥F A 1B 1F ⊥AB M 1运⽤焦点弦与圆有关的结论可以很⽅便的解决直线、圆、抛物线有关综合题，解题中要注意抛物线的定义、⼏何性质以及圆的⼏何性质的应⽤．【典例指引1】【反思】本题考查了抛物线的标准⽅程，抛物线的⼏何性质，以及直线和圆，直线和抛物线的位置关系的相关问题，当题设涉及直线，圆，圆锥曲线时，⼀般是直线与圆锥曲线相交于两点，需联⽴⽅程，得到根与系数的关系，⽽直线与圆经常利⽤圆的⼏何性质，得到⼀些常量，这些不变的量和圆锥曲线建⽴联系，从⽽进⼀步求解．【典例指引2】【针对训练】⼀、单选题：11. 在平⾯直⻆坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线交于点，设的轨迹为.(1)求曲线的⽅程；(2)以曲线上的点为切点作曲线的切线，设 分别与，轴交于，两点，且恰与以定点为圆⼼的圆相切. 当圆的⾯积最⼩时，求与⾯积的⽐.12. 已知抛物线的准线为l ，记l 与y 轴交于点M ，过点M 作直线与C 相切，切点为N ，则以MN 为直径的圆的⽅程为（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或13. 阿基⽶德（公元前287年---212年）是古希腊伟⼤的物理学家、数学家、天⽂学家，不仅在物理学⽅⾯贡献巨⼤，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称△为“阿基⽶德三⻆形”，当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△具有以下特征：（1）P 点必在抛物线的准线上；（2）△为直⻆三⻆形，且;（3）.若经过抛物线焦点的⼀条弦为AB ，阿基⽶德三⻆形为△，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的⽅程为（ ）A ．x -2y -1=0B ．2x +y -2=0C ．x+2y -1=0D ．2x -y -2=0(1)若的⾯积为，求的值及圆的⽅程(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围.。
抛物线的二级结论高中
抛物线的二级结论高中抛物线是高中数学中以描述物体经过重力加速下落或弹射而上升运动的曲线。
本文将主要介绍抛物线的几何定义和特点，以及抛物线的几何求解、性质及典型问题的分析思路。
抛物线的几何定义抛物线是满足某一关系式的曲线，这个关系式通常是一元二次方程：y＝ax2＋bx＋c或者是参数方程：x＝at2，y＝bt3其中a、b、c为常数，t为参数。
它是空间曲线，但在数学中，它以二维平面形式存在。
抛物线的特点抛物线有以下几个特点：首先，它是由多条直线段拼接成的，因此，它是一种连续的曲线；其次，它的几何形状是“半椭圆”形的，它的凸度满足：根据椭圆的特性，它的形状有明显的不对称性，它的一边是凸起的，相反的一边是凹下的；此外，抛物线具有可积性，可以求解出它的积分；最后，抛物线两条轴线对称，在数学上抛物线的方程也是对称的。
抛物线的几何求解1、夹角法抛物线的求解，可以利用夹角法，即不断地找到与x轴、y轴、抛物线有夹角的线段，从而确定抛物线的形状。
由于抛物线的组成为多条直线段，因此，当把这些线段根据它们的夹角来确定，就可以求解抛物线的形状了。
2、椭圆法根据抛物线的几何性质，可以把它看做由多条椭圆段拼接而成，可以用椭圆法来求解抛物线。
即根据椭圆线段的几何性质，首先求解出椭圆段的长短轴，再把椭圆段拼接起来，即可组成抛物线。
抛物线的性质抛物线的形状决定了它的性质，最明显的是连续性：抛物线的曲线性使它的性质可以连续地变化。
另外，抛物线的可积性也使它具有可计算性，可以求出它的积分，也可以求出其极限。
此外，抛物线的二次函数形式也是其比较显著的性质，使它在数学上有着几何意义，也正是基于此，可以对抛物线进行更多有效的分析，了解它的其他几何性质。
抛物线切线方程二级结论
抛物线切线方程二级结论抛物线是一种二次函数，其曲线能够准确描述各种物理现象。
抛物线切线方程是在二次函数曲线上求出曲线和抛物线切线的结果，这可以改善我们对各种物理现象的理解。
抛物线的法线是抛物线的切线，也就是在抛物线上的点P处的切线方程，当定点变化时，抛物线的切线方程也会发生变化。
一般来说，抛物线的切线方程的求解可以分为两种：一种是一级求解，也就是求出抛物线的法向量；另一种是二级求解，也就是求出抛物线的切线方程。
本文将重点关注抛物线切线方程二级求解的结论。
首先，我们来看看抛物线一级求解的结论。
抛物线切线的一级求解，指的是求出抛物线的法向量。
这个法向量是一个单位向量，它的方向恰好与抛物线的切线方向相反。
当抛物线的定点改变时，抛物线的法向量也会发生变化，而只有当抛物线的定点改变后，才能求出抛物线的法向量。
接下来，我们来看看抛物线二级求解的结论。
二级求解就指的是求出抛物线的切线方程。
在求出抛物线的切线方程之前，需要先求出它的法向量，也就是一级求解的结果。
只有当我们知道抛物线的法向量后，才能求出抛物线的切线方程。
这里最重要的是根据法向量的方向，转换到一般方程的形式，即y=ax+b，其中a为斜率，b为常数项，最后可以求出抛物线的切线方程。
最后，我们来总结一下抛物线切线方程二级结论：抛物线切线方程的二级求解，指的是求出抛物线的切线方程。
当抛物线的定点改变时，抛物线的切线方程也会发生变化。
要求出抛物线的切线方程，首先需要求出它的法向量，根据法向量的方向，转换到一般方程的形式，最后可以求出抛物线的切线方程。
抛物线切线方程的求解，是数学中非常重要的一个研究方向，它能够更加准确地描述各种物理现象，能够更好地帮助我们解决实际问题。
因此，要想更好地理解抛物线切线方程，我们需要充分的研究和讨论，以此来发掘出更多的结论。
抛物线焦点弦二级结论分比模型
抛物线焦点弦二级结论分比模型一、概述抛物线是数学中常见的一种曲线，它具有许多特殊的性质和规律。
其中，抛物线焦点弦二级结论分比模型是描述抛物线特征的重要模型之一。
本文将着重探讨抛物线焦点弦二级结论分比模型的相关内容，包括定义、公式推导、应用等方面。
二、抛物线基础知识1. 抛物线的定义抛物线是平面上的一条曲线，它是所有到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹。
数学上，抛物线可以用一般式方程表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
2. 抛物线焦点和直径定义抛物线的焦点是到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的准线的距离相等的点。
直径是垂直于准线且过焦点的直线段。
三、抛物线焦点弦二级结论分比模型1. 定理表述设抛物线的焦点为F，抛物线上一点为P，直径的中点为M，过P点作抛物线的直径的垂线交直径于垂足H，则有PF:PH=2:1。
2. 证明过程（1）假设抛物线方程为y=ax^2+bx+c，直径的中点M为（0，c-a/4），焦点F为（0，c+1/4a）。
（2）过P点作抛物线的直径的垂线交直径于垂足H，可得PH的坐标为（x,ax^2+bx+c）。
（3）根据两点距离公式可得PF:PH的比值为2:1。
3. 应用举例抛物线焦点弦二级结论分比模型在几何问题中有着重要的应用。
在确定抛物线上的一点到焦点和直径的垂线的比例时，可以利用该定理简化问题的求解过程。
该定理也可以拓展到工程实践中，用于设计抛物线相关形状的构造。
四、结论抛物线焦点弦二级结论分比模型是抛物线性质的重要定理之一，它描述了抛物线焦点和直径上一点之间的比例关系。
通过本文的介绍，读者对该模型的定义、证明过程和应用有了更深入的了解。
相信随着对抛物线性质的不断研究，抛物线焦点弦二级结论分比模型的应用将会更加广泛和深入。
抛物线是数学中重要的曲线之一，它在许多领域都具有重要的应用价值。
抛物线焦点弦二级结论分比模型作为抛物线性质的重要定理之一，不仅具有理论意义，更在实际问题中发挥着重要作用。
(邪神)抛物线必备二级结论
追根溯源之抛物线相当长一段时间，各大群出现了怪题怪解：将固有结论嵌入到题设中（又不作提示）构成“难题”。
这些题让人一时难以下手，有些解法悄然用了相关结论，以致于我们百思不得其解。
正所谓“城门失火，殃及池鱼”，二次函数题也不例外，受到了很大影响。
本专题就是要追根溯源，把关于抛物线的相关结论晒给大家，并引导大家理清结论的来由，从而认清那些“难题”的真面目及命题者的“大法本质”。
可以用这些“题根”命制新题还是不错的，但是要做好引导，让学生更好地思考并解答问题。
要得到这些结论，不得不提“平移思想”。
有时候根据函数图像的定性，利用平移手段，很容易解决一些看似复杂的问题。
当以下问题穿插在一些综合题里面的时候，我们就可以采用平移的方式来处理，将抛物线顶点移动至原点处，以便减少运算量。
解决此类问题，着重用设参消参来处理。
问题一：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 是此抛物线上一点，连接AO ，并过点A 作AO 的垂线与y 轴相交于点B ，再过点B 作y 轴的垂线，与此抛物线相交于点C 、点D .求证：AB=CB=DB .证明：辅助线如图所示，不妨令A (-m ，am 2)，则BE =a EO AE 12=.从而，a BOBO BE AB =∙=2.又a BODB CB ==22，故AB=CB=DB .练习题：已知，如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴交于点A 、点B ，点A 在点B 左侧，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，过点C 作CE ∥x 轴交抛物线的对称轴于点E ，点F 在此对称轴左侧的抛物线上，且∠EFD =90°.求点F 的坐标.问题二：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且AB 平行于x 轴.点C 在此抛物线上，且满足∠ACB =90°，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D .求证：aCD 1=.证明：不妨令AB=2m ，AD =n ，则C (n-m ，a (m-n )2)，A (-m ，am 2).从而，CD =am 2-a (m-n )2=an (2m-n ).又CD 2=BD AD ∙=n (2m-n ).由以上两式相除，得aCD 1=.练习题：已知，如图，抛物线y =x 2-1交x 轴于点A 、点B ，直线y =a (a ＞0)交抛物线于点C 、点D ，点E 在此抛物线上，且∠CED =90°，点E 到CD 的距离是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.结合问题一和问题二，你发现了什么？已知，如图，抛物线2ax y ，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且位于y 轴同侧，过点A 作y 轴的垂线，垂足为C .(1)若AC=BC ，求证：∠CBO =90°；(2)若∠CBO =90°，求证：AC=BC .问题三：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，连接AB 与y 轴相交于点C .在y 轴负半轴上一点D ，满足∠ADC =∠BDC .求证：CO =DO .证明：不妨令A (x 1，ax 12)，B(x 2，ax 22)，D (0，b )，则bax x b ax x-=--222211，即b x ax =21.试问：这一步怎么来？及AB ：2121)(x ax x x x a y -+=，即C (0，-b ).故CO=DO .练习题1：已知，抛物线y =52x 2+1433顶点为D ，直线l 交抛物线于点A 、点B ，交y 轴于点C .若∠AOC =∠BOC ，求证：直线l 过定点.练习题2：2011年武汉市中考数学压轴题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A (－3，0)，B (－1，0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为M ，直线y ＝－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现在将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD (含端点C )只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；(3)如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q (0，3)作不平行于x 轴的直线交抛物线于E 、F 两点.问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使△PEF 的内心在y 轴上.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.A BCOx yDM 图1Q EO x y F图2问题四：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 是此抛物线上一点，过点A 的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于点C .求证：AC=BC .证明：令AB ：y=kx+b ，联立抛物线2ax y =，得一元二次方程ax 2-kx -b =0有两个相等的实数根，即此方程的判别式△=k 2+4ab =0，且此实数根为a k 2=kb 2-，即点A 的坐标为(kb 2-，-b ).又B (0，b )，故AC=BC .变式：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 是此抛物线上一点，过点A 的直线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于点C .若AC=BC ，试说明直线AB 与抛物线的位置关系.点，且在y 轴异侧，连接AB 交y 轴于点C (0，a )，AB 不与x 轴平行.又点D 在y 轴上，且AD=BD .求证：AB =2CD .证明：不妨令AB ：y=kx+a ，与抛物线241x ay =联立，得x 2-4kax -4a 2=0，即ka x x B A 4=+，24a x x B A -=∙，故a a k y y B A 242+=+，2a y y B A =∙，及AB =∆∙+12k =4a (k 2+1).令D (0，D y )，由AD=BD ，得))(()(4)(22222B A B A B A B A B A B A D y y y y y y a y y x x y y y -++-=-+-=-，即a a k y D 322+=，故CD =2a (k 2+1)，所以，AB =2CD .练习题：已知，如图，抛物线241x y =+1，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且在y 轴异侧，连接AB 交y 轴于点C (0，2)，AB 不与x 轴平行.又点D 在y 轴上，且AD=BD .求证：AB =2CD .点，且在y 轴同侧，连接AB 并延长交y 轴于点C (0，-a )，分别过点A 、点B 作y 轴的垂线，垂足分别为点D 、点E .求证：a CE CD 111=+.证明：不妨令AB ：y=kx-a ，与抛物线241x ay =联立，得x 2-4kax +4a 2=0，即ka x x B A 4=+，24a x x B A =∙，从而，a a k a x x k y y y y B A B A E D 242)(2-=-+=+=+，2222161a x x ay y y y B A B A E D =∙∙=∙=∙.故aa y y a y y a y y a y a y CE CD E D E D E D E D 1)(211112=+++∙++=+++=+.练习题：已知，如图，抛物线2--412x x y =与直线y=kx -2k -4相交于点A 、点B ，过点C (2，-4)作y 轴的平行线，再分别过点A 、点B 作此平行线的垂线，垂足分别为点D 、点E .问：CECD 11+是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.问题七：已知，A、B、C、D均是抛物线y=ax2+bx+c上的点，且CD∥AB，E、F在CD上，且AE∥BF∥抛物线对称轴.求证：CE=DF.证明：将抛物线的顶点移动至原点处，则抛物线解析式变为y=ax2.令直线AB的解析式为y=kx+b1，并与抛物线y=ax2联立，得x A+x B=a k，令直线CD的解析式为y=kx+b2，并与抛物线y=ax2联立，得x C+x D=a k，故x A+x B=x C+x D，即CE=DF.变式：已知，A 、B 、C 、D 均是抛物线y=ax 2+bx+c 上的点，且E 、F 在CD 上，且AE ∥BF ∥抛物线对称轴.若CE=DF ，求证：四边形ABFE 是平行四边形.练习题1：已知，如图，抛物线2ax y ，其中a ＞0.点A 、点B 、点C 均是此抛物线上的点(如图所示)，且BC ∥OA ，BC 与y 轴相交于点D .求证：BC-OA =2BD .练习题2：2018年益阳市中考数学压轴题如图，抛物线y＝12x2－32x－n(n＞0)与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点点C．(1)如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值；(2)如图1，在(1)的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上．若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E．若AE∶ED＝1∶4，求n的值．yB A OC图1yBA OCED图2问题八：已知，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，连接AB 与y 轴相交于点C ，且∠AOB =90°.若△AOB 的面积为S ，求证：(1)CO =a1；(2)直线AB 的解析式为ax a y 11S 224+∙-±=.证明：令A (x 1，ax 12)，B (x 2，ax 22)，则a 2x 1x 2=-1，AB ：y =a (x 1+x 2)x -ax 1x 2，即C (0，a1)，故ax x 1)(21S 12∙-=，x 2-x 1=2a S ，及x 1x 2=21a -，故a (x 1+x 2)=1S 24)(2421221-±=+-±a x x x x a ，从而，AB ：ax a y 11S 224+∙-±=.练习题1：已知，直线y=kx-2与抛物线y=ax 2(a ＜0)交于点A 、点B ，连接AO 、BO ，若∠AOB =90°，则a 的值为.变式：已知，如图，直线y=kx-k 与抛物线y=ax 2-2ax +a +2(a ＜0)交于点A 、点B ，C 为此抛物线的顶点，连接CA 、CB ，若CA ⊥CB ，则a 的值为.练习题2：已知，抛物线221x y ，点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，且∠AOB =90°.若△AOB 的面积为17，求直线AB 的解析式.问题九：已知，如图，抛物线241x ay =，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且在y 轴异侧，连接AB 交y 轴于点C (0，a ).请证明以下结论：(1)24a x x B A -=∙；(2)2a y y B A =∙；(3)θ2sin aAB =，其中θ是直线AB 与x 轴的夹角度数；(4)aBC AC 111=+；(5)△AOB 的面积为θsin 22a ，其中θ是直线AB 与x 轴的夹角度数；(6)△AOB 的面积的平方为3a AB ∙.练习题1：已知，抛物线2--412x x y =与直线y=kx -2k -2相交于点A 、点B .(1)求B A x x ∙和B A y y ∙的值；(2)若点C 的坐标为(2，-2)，求BCAC 11+的值；(3)AB 的长度和△AOB 的面积(用含k 的式子表示).已知，如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝54x ＋m 与x 轴交于点A (－3，0)，与y 轴交于点C ．以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c经过A 、C 两点，与x 轴的正半轴交于点B ．(1)求m 的值及抛物线的函数表达式；(2)设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于F ．是否存在这样的点E ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；(3)若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)两点，试探究1212M P M PM M 是否为定值，并写出探究过程．O A B xyCx ＝1已知，如图，抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、C(0，54)两点，与x轴正半轴交于点B，对称轴为直线x＝2．(1)求抛物线C1的函数表达式；(2)设点D(0，2512)，若F是抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1(x1，y1)，M2(x2，y2)两点，试探究1M1F＋1M2F是否为定值，请说明理由；(3)将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y＝－14(x－h)2，其中h＞1．若当1＜x≤m时，y≥－x恒成立，试求m的最大值．线与抛物线只有一个交点B ，且与y 轴相交于点C .求证：AB=AC .证明：令B (x B ，y B )，则AB =a x aB +241.由问题四可知y C +y B =0，即AC =a x aB +241，故AB=AC .变式1：已知，如图，抛物线241x ay =，其中a ＞0.点A 的坐标为(0，a )，点B 是此抛物线上一点，点C 是y 轴负半轴上一点.若AB=AC ，试判断直线BC 与此抛物线的位置关系.是此抛物线上一点，点C是y轴正半轴上一点且AB=AC，过点B作BC的垂线，试判断此直线与抛物线的位置关系.问题十一：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 在抛物线内部，过点A 作x 轴的垂线，与此抛物线相交于点B ，垂足为点C .若∠BOC=∠BAO ，求点A 的轨迹.解：令B (m ，am 2)，则OC=m ，BC=am 2.易知，△BCO ∽△OCA ，即aBC OC AC 12==，故点A 的轨迹为ay 1=.练习题：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 在抛物线内部，且点A 的纵坐标为a1，过点A 作x 轴的垂线，与此抛物线相交于点B ，垂足为点C .求证：∠BOC=∠BAO .问题十二：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，连接AB 与y 轴相交于点C .过点B 作x 轴的垂线，垂足为点D ，并与AO 的延长线交于点E .求证：DE=CO .证明：构造如图所示辅助线.令A (x 1，ax 12)，B (x 2，ax 22)，则AB ：y =a (x 1+x 2)x -ax 1x 2，即C (0，-ax 1x 2)，1ax DO CO -=.又1ax OF AF -=，故OF AF DO CO =，即△COD ∽△AFO .从而，AE ∥CD ，即四边形CODE 是平行四边形，故DE=CO .练习题：已知，如图，抛物线241x y =，直线AB ：y=kx +2与抛物线相交于点A 、点B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为点C ，并与AO 的延长线交于点D .求CD .问题十三：已知，如图，抛物线241x py =.过点A (0，p )作x 轴的平行线与此抛物线相交于点B ，点C 位于点O 与点B 之间的抛物线上，再过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为点D .若∠E =∠CAB ，求证：△BDE 的周长为定值.证明：令p=a 2，易知，B (2a 2，a 2).令C (2ka ，k 2)，则D (2ka ，a 2)，即AD =2ka ，CD =a 2-k 2，BD =2a (a-k )，故AC =a 2+k 2，即△CDA 的周长为2a (a+k ).又△BDE ∽△CDA ，即△BDE 的周长=∙CD BD △CDA 的周长=p a k a a ka k a a 44)(2)(2222==+∙--，故△BDE 的周长为定值.注：用巧设减轻计算量，以达事半功倍之效.练习题1：已知，如图，抛物线241x y ，过点A (0，1)作x 轴的平行线与此抛物线相交于点B ，点C 位于点O 与点B 之间的抛物线上，再过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为点D .若∠E =∠CAB ，求△BDE 的周长.练习题2：2015年武汉市中考数学压轴题已知，抛物线y ＝12x 2＋c 与x 轴交于点A (－1，0)、点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点E (m ，n )是第二象限内一点，过点E 作EF ⊥x 轴交抛物线于点F ，过点F 作FG ⊥y 轴于点G ，连接CE ，CF ．若∠CEF ＝∠CFG ，求n 的值并直接写出m 的取值范围(利用图1完成你的探宄)；(3)如图2，点P 是线段OB 上一动点(不包括点O ，B )，PM ⊥x 轴交抛物线于点M ，∠OBQ ＝∠OMP ，BQ 交直线PM 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，求△PBQ 的周长．。
2025年高考数学总复习课件68第八章微专题抛物线二级结论的应用
x－
p
2
与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A，B两点(其中
A位于第一象限)．若|BF|＝3|FA|，则k＝( )
√A．－ 3
B．－
3 3
C．－1
D．－13
A 解析：由题意，直线l过抛物线的焦点，且k<0，设直线l的倾斜角为α，
因为|BF|＝3|FA|，所以1+
p
cos
α
＝
3p
1－ cos
α，解得cos
抛物线C的准线上一点M(－1，－1)满足MA·MB＝0，则|AB|＝( )
A．6 C．4 2
√B．5
D．3 2
B 解析：由抛物线C的准线上一点M(－1，－1)，
知p2＝1，解得p＝2，故F(1，0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，y1y2＝－4，
MA＝(x1＋1，y1＋1)，MB＝(x2＋1，y2＋1)． 因为MA·MB＝0，所以(x1＋1)(x2＋1)＋(y1＋1)(y2＋1)＝0，
【例6】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，过点F作直线l交抛物线于
M，N两点，则p＝________，
NF
9
－
4
MF
的最小值为________.
8
1 3
解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，所以p＝8，抛物线的方
程为y2＝16x.
因为
1
NF
+
1
MF
＝
2
p
＝
化简得x1＋x2＋y1＋y2＝1.
设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，直线l的斜率为k， 则x0＋y0＝12①，
抛物线切线方程二级结论
抛物线切线方程二级结论抛物线是几何学研究中的一个重要研究内容，它是由曲线和凸出的半月轮组成的，这种曲线是从右边开始的。
抛物线的形状，在任何给定的点上，都能够定义一条切线。
切线也称作渐近线，它是表示两个点之间的连线。
因此，抛物线切线方程是关于两点之间切线方程结论的一个重要研究内容。
要定义一条抛物线切线方程，我们首先需要定义一个抛物线，可以把它写成 y=ax2 + bx + c形式，其中 a，b，c 为常数。
接着，我们可以求出该抛物线上两个点（x1，y1）和（x2，y2）之间的切线方程结论。
首先，我们可以把切线方程写成 y-y1=m(x-x1)形式，其中 m示斜率。
把 x=x1 x=x2 代入方程，可以得到 m = (y2-y1)/(x2-x1)。
m 值代入切线方程 y-y1=m (x-x1)，就可以得到该抛物线上两个点（x1，y1）和（x2，y2）之间的切线方程结论：y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) (x - x1)维基百科中，抛物线切线方程的定义是：如果两个点(x1,y1)和(x2,y2)在抛物线上，那么，他们之间的一条切线方程就可以写成 y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) (x - x1)。
接下来，我们可以讨论抛物线切线方程的一些更复杂的应用。
比如我们可以用抛物线切线方程来进行线性规划，以便实现最优的解决方案。
比如说，我们有一个包含三个变量的优化问题。
如果我们使用抛物线切线方程，可以用抛物线来连接这三个变量，再在抛物线上找到极值，以此来求解问题。
此外，抛物线切线方程还可以用来研究多个抛物线之间的关系，从而找出最适合的结论。
例如，我们可以用抛物线切线方程来研究两个抛物线之间的交点，进而得出最佳的结论。
总之，抛物线切线方程是一个重要的数学概念，可以用来解决多种问题，进而帮助人们更好地理解抛物线的特性和研究它们之间的关系。
抛物线的弦长公式二级结论
抛物线的弦长公式二级结论抛物线是数学中一种优美的曲线，它在物理、工程等领域中有着广泛的应用。
而抛物线的弦长公式是研究抛物线性质的重要工具之一，在二级结论中有着重要的作用。
抛物线的弦长公式可以通过以下步骤得到。
首先，我们需要了解什么是抛物线的弦。
抛物线的弦是连接抛物线上任意两个点的线段，它在抛物线上方形成一个弯曲的形状。
弦长则是衡量这个弯曲的长度。
为了推导出抛物线的弦长公式，我们首先需要确定两个点的坐标。
假设抛物线的方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
我们选择两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)来计算弦长。
接下来，我们可以使用勾股定理来计算弦长。
根据坐标系中两点之间的距离公式，我们可以得到弦长的表达式。
这个表达式中包含了两个点的坐标，以及一些基本的数学运算。
在推导过程中，我们需要注意一些细节。
首先，我们需要确定抛物线上两个点的位置。
其次，我们需要使用正确的数学公式来计算弦长。
最后，我们需要将结果进行简化，并确保没有任何计算错误。
抛物线的弦长公式是研究抛物线性质的重要工具之一。
它可以帮助我们计算抛物线上任意两点之间的距离，从而更好地理解抛物线的形状和性质。
通过了解和应用抛物线的弦长公式，我们可以在物理、工程等领域中更好地解决问题。
抛物线的弦长公式是研究抛物线的重要工具之一。
它可以帮助我们计算抛物线上任意两点之间的距离，从而更好地理解抛物线的形状和性质。
通过了解和应用抛物线的弦长公式，我们可以在实际问题中更好地应用抛物线的特性。
抛物线的弦长公式是数学中的一个重要概念，它在实际应用中有着广泛的应用前景。
(邪神)抛物线必备二级结论
追根溯源之抛物线相当长一段时间，各大群出现了怪题怪解：将固有结论嵌入到题设中 (又不作提示) 构成“难题” 。
这些题让人一时难以下手，有些解法悄然用了相关结论，以致于我们百思不得其解。
正所谓“城门失火，殃及池鱼”，二次函数题也不例外，受到了很大影响。
本专题就是要追根溯源，把关于抛物线的相关结论晒给大家，并引导大家理清结论的来由，从而认清那些“难题”的真面目及命题者的“大法本质”。
可以用这些“题根”命制新题还是不错的，但是要做好引导，让学生更好地思考并解答问题。
要得到这些结论，不得不提“平移思想”。
有时候根据函数图像的定性，利用平移手段，很容易解决一些看似复杂的问题。
当以下问题穿插在一些综合题里面的时候，我们就可以采用平移的方式来处理，将抛物线顶点移动至原点处，以便减少运算量。
解决此类问题，着重用设参消参来处理。
问题一： 已知，如图，抛物线 y = ax 2 ，其中 a ＞0. 点 A 是此抛物线上一点，连 接 AO ， 并过点 A 作 AO 的垂线与 y 轴相交于点 B ， 再过点 B 作 y 轴的垂线， 与此抛物线相交于点 C 、点 D .求证： AB=CB=DB .证明：辅助线如图所示，不妨令 A(-m ， am 2)，则 BE= 从而， AB 2 = BE . BO = BO a .又 CB 2 = DB 2 = BO ，故 AB=CB=DB .a AE 2 1EO = a .练习题：已知，如图，抛物线 y=x2-4x+3 与 x 轴交于点 A 、点 B，点 A 在点 B左侧，与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点，过点 C 作CE∥x 轴交抛物线的对称轴于点 E，点 F 在此对称轴左侧的抛物线上，且∠EFD=90°.求点 F 的坐标.问题二：已知，如图，抛物线y = ax2，其中 a＞0. 点 A 、点 B 是此抛物线上两点，且 AB 平行于 x 轴. 点 C 在此抛物线上，且满足∠ACB=90°，过点 C 作AB的垂线，垂足为点 D.求证：CD = 1 .a证明：不妨令 AB=2m， AD=n，则 C(n-m， a(m-n)2)， A(-m， am2).从而， CD=am2-a(m-n)2 =an(2m-n).又 CD2= AD . BD =n(2m-n).由以上两式相除，得1CD =.a练习题：已知，如图，抛物线 y=x2- 1 交 x 轴于点 A 、点 B，直线 y=a(a＞0)交抛物线于点 C、点 D，点 E 在此抛物线上，且∠CED=90°，点 E 到 CD 的距离是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.结合问题一和问题二，你发现了什么？已知，如图，抛物线y = ax2，其中 a＞0. 点 A 、点 B 是此抛物线上两点，且位于 y 轴同侧，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为 C.(1)若 AC=BC，求证：∠CBO=90°；(2)若∠CBO=90°，求证： AC=BC.问题三： 已知， 如图， 抛物线y = ax 2， 其中 a ＞0. 点 A 、点 B 均是此抛物线上 的点，且分属于 y 轴两侧， 连接 AB 与 y 轴相交于点 C .在 y 轴负半轴上一点 D ， 满足∠ADC =∠BDC .求证： CO =DO .证明：不妨令 A(x 1， ax 12)， B(x 2， ax 22)， D(0， b)，则 一 x 1ax 12一b = x 2ax 2一b 2 ，即 ax 1x 2 = b .试问：这一步怎么来？及 AB ： y = a(x 1 + x 2 )x 一 ax 1x 2 ，即 C(0， -b).故 CO=DO.练习题 1：已知，抛物线 y= 2 x 2+ 33 顶点为 D ， 直线 l 交抛物线于点 A 、点 B ， 5 14交 y 轴于点 C.若∠AOC =∠BOC ，求证：直线 l 过定点.练习题 2： 201 年武汉市中考数学压轴题1如图 1，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋3 经过 A(－3， 0)， B(－1， 0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为 M ，直线 y ＝－2x ＋9 与 y 轴交于点 C ，与直线 OM 交于 点 D ． 现在将抛物线平移， 保持顶点在直线 OD 上， 若平移的抛物线与射线 CD(含端点 C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；(3)如图 2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过 Q(0， 3)作不平行于 x 轴的直 线交抛物线于 E 、F 两点. 问在 y 轴的负半轴上是否存在点 P ， 使△PEF 的内心 在 y 轴上.若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .图 1图 2yFQE xyC D问题四：已知，如图，抛物线y = ax2 ，其中 a＞0. 点 A 是此抛物线上一点，过点 A 的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与 y 轴相交于点 B，与 x 轴相交于点 C.求证： AC=BC.证明：令 AB： y=kx+b，联立抛物线y = ax2 ，得一元二次方程 ax2-kx-b=0 有两个相等的实数根，即此方程的判别式△=k2+4ab=0，且此实数根为k = 一2b，即点 A 的坐标为( 一2b， -b).2a k k 又 B(0， b)，故 AC=BC.变式：已知，如图，抛物线y = ax2，其中 a＞0.点 A 是此抛物线上一点，过点A 的直线与 y 轴相交于点 B，与 x 轴相交于点 C.若 AC=BC，试说明直线 AB 与抛物线的位置关系.第 7 页共 23 页问题五： 已知， 如图， 抛物线y =14ax 2， 其中 a ＞0. 点 A 、点 B 是此抛物线上两 点， 且在 y 轴异侧， 连接 AB 交 y 轴于点 C(0， a)， AB 不与 x 轴平行.又点 D 在 y 轴上，且 AD=BD .求证： AB=2CD .证明：不妨令 AB ： y=kx+a ，与抛物线 y = 1 x 2 联立，得4ax 2-4kax-4a 2=0，即 x A + x B = 4ka ， x A . x B = 一4a 2，故 y A + y B = 4k 2 a + 2a ， y A . y B = a 2 ，及 AB= k 2 +1. =4a(k 2+1). 令 D(0， y D )，由 AD=BD ，得2y D (y A 一 y B ) = x A 2 一 x B 2 + y A 2 一 y B 2 = 4a(y A 一 y B ) + (y A + y B )(y A 一 y B )，即 y D = 2k 2 a + 3a ，故 CD=2a(k 2+1)， 所以， AB=2CD.练习题： 已知， 如图， 抛物线y = 1 x 2 +1， 其中 a ＞0.点 A 、点 B 是此抛物线上4两点， 且在 y 轴异侧， 连接 AB 交 y 轴于点 C(0， 2)， AB 不与 x 轴平行.又点 D在 y 轴上，且 AD=BD.求证： AB=2CD.问题六： 已知， 如图， 抛物线y =14ax 2， 其中 a ＞0. 点 A 、点 B 是此抛物线上两 点， 且在 y 轴同侧， 连接 AB 并延长交 y 轴于点 C(0， -a)， 分别过点 A 、点 B 作 y 轴的垂线，垂足分别为点 D 、点 E .求证： 1 + 1 = 1 .CD CE a证明：不妨令 AB ： y=kx-a ，与抛物线 y = 1 x 2 联立，得4ax 2-4kax+4a 2=0，即 x A + x B = 4ka ， x A . x B = 4a 2 ，从而，y D + y E = y A + y B = k(x A + x B ) 2a = 4k 2a 2a ， y D . y E = y A . y B =116a 2. x A 2 . x B 2 = a 2 .故 1 + 1 = 1 + 1 = y D + y E + 2a = 1 .CD CE y D + a y E + a y D . y E + a(y D + y E ) + a 2 a练习题： 已知， 如图， 抛物线 y = 1 x 2 - x - 2 与直线 y=kx-2k-4 相交于点 A 、点 B ，4过点 C(2， -4)作 y 轴的平行线， 再分别过点 A 、点 B 作此平行线的垂线， 垂足 分别为点 D 、点 E . 问： 1 1是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.+CD CEF 在 CD 上， 且 AE ∥BF ∥抛物线对称轴.求证： CE=DF .证明：将抛物线的顶点移动至原点处，则抛物线解析式变为 y=ax 2.令直线 AB 的解析式为 y=kx+b 1，并与抛物线 y=ax 2 联立，得 令直线 CD 的解析式为y=kx+b 2，并与抛物线y=ax 2 联立，得 故 x A +x B =x C +x D ，即 CE=DF .x A +x B = k ，ax C +x D = k ，且AE∥BF∥抛物线对称轴.若CE=DF，求证：四边形ABFE 是平行四边形.练习题1：已知，如图，抛物线y = ax2，其中a＞0. 点A 、点B 、点C 均是此抛物线上的点(如图所示)，且BC∥OA，BC 与y 轴相交于点D.求证：BC-OA=2BD.练习题 2： 2018 年益阳市中考数学压轴题如图， 抛物线 y ＝ 12x 2 － 32x －n(n ＞0)与 x 轴交于点 A 、点 B(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点点 C ．(1)如图 1， 若△ABC 为直角三角形，求 n 的值；(2)如图 1， 在(1)的条件下，点 P 在抛物线上， 点 Q 在抛物线的对称轴上． 若 以 BC 为边， 以点 B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， 求点 P 的坐标； (3)如图 2，过点 A 作直线 BC 的平行线交抛物线于另一点 D ，交 y 轴于点 E ．若 AE ∶ED ＝1 ∶4，求 n 的值．图 1图 2yDE A OBy问题八： 已知， 抛物线y = ax 2， 其中 a ＞0. 点 A 、点 B 均是此抛物线上的点， 且分属于 y 轴两侧， 连接 AB 与 y 轴相交于点 C ， 且∠AOB=90° .若△AOB 的面 积为 S ，求证： (1)CO= 1； (2)直线 AB 的解析式为 y = 士2 a 4 S 2 1 . x + 1a a .证明：令 A(x 1， ax 12)， B(x 2， ax 22)，则 a 2x 1x 2= - 1， AB ： y=a(x 1+x 2)x-ax 1x 2，即 C(0， a 1)，故 S = 21(x 2 x 1 ) . a1， x 2-x 1=2aS ，及 x 1x 2=1a 2，故 a(x 1+x 2)= 士 a (x 1 x 2 )2 + 4x 1x 2 = 士2 a 4 S 2 1，从而， AB ： y = 士2 a 4 S 2 1 . x + 1 .a练习题 1： 已知， 直线 y=kx-2 与抛物线 y=ax 2(a ＜0)交于点 A 、点 B ， 连接 AO 、 BO ，若∠AOB=90°，则 a 的值为.变式：已知，如图，直线y=kx-k 与抛物线y=ax2-2ax+a+2(a＜0)交于点A、点B，C 为此抛物线的顶点，连接CA 、CB，若CA⊥CB，则a 的值为.练习题2：已知，抛物线y = 1 x2，点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于2y 轴两侧，且∠AOB=90°.若△AOB 的面积为17 ，求直线AB 的解析式.问题九： 已知， 如图， 抛物线y 14ax 2， 其中 a ＞0. 点 A 、点 B 是此抛物线上两 点，且在 y 轴异侧，连接 AB 交 y 轴于点 C(0， a).请证明以下结论：(1) x A x B 4a 2；(2) y A y B a 2；(3) AB a ， 其中 是直线 AB 与 x 轴的夹角度数；sin 2(4) 1 1 1； AC BC a(5)△AOB 的面积为 2a 2 ， 其中 是直线 AB 与 x 轴的夹角度数；sin(6)△AOB 的面积的平方为 AB a 3 .练习题 1：已知，抛物线 y 1 x 2 - x - 2 与直线 y=kx-2k-2 相交于点 A 、点 B .4(1) 求 x A x B 和 y A y B 的值；(2) 若点 C 的坐标为(2， -2)，求 1 1 的值； AC BC(3)AB 的长度和△AOB 的面积(用含 k 的式子表示).第15 页共23 页5已知，如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝ x＋m 与 x 轴交于点4A (－3， 0)，与 y 轴交于点 C．以直线x ＝1 为对称轴的抛物线 y ＝ax 2＋bx＋c 经过 A 、C 两点，与 x 轴的正半轴交于点 B．(1)求 m 的值及抛物线的函数表达式；(2)设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于 F．是否存在这样的点 E，使得以 A 、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；(3)若 P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点 P 任意作一条与 y 轴不平行的直线交抛物线于 M1(x1，y1)，M2(x2，y2)两点，试探究M P . M P12M M1 2 是否为定值，并写出探究过程．yCA OB x已知， 如图， 抛物线 C 1： y ＝ax 2＋bx ＋c 经过 A(－1， 0) 、C(0， )两点， 与 x4轴正半轴交于点 B ，对称轴为直线 x ＝2．(1)求抛物线 C 1 的函数表达式；(2)设点 D(0， 2512)， 若 F 是抛物线 C 1： y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过 F 任意作一条与 y 轴不平行的直线交抛物线 C 1 于M 1(x 1， y 1)， M 2(x 2， y 2)两点，试探究 1M 1F ＋ 1M 2F是否为定值，请说明理由； (3)将抛物线 C 1 作适当平移， 得到抛物线 C 2： y ＝－ 14(x －h )2， 其中 h ＞1． 若 当 1＜x ≤m 时， y≥－x 恒成立，试求 m 的最大值．5线与抛物线只有一个交点 B ， 且与 y 轴相交于点 C.求证： AB=AC.证明：令 B(x B ， y B )，则 AB=14a x B 2 + a . 由问题四可知故 AB=AC. y C +y B =0，即 AC= 41ax B 2 + a ， 变式 1：已知，如图，抛物线 y = 1 x 2， 其中 a ＞0. 点 A 的坐标为(0， a)，点 B 4a是此抛物线上一点， 点 C 是 y 轴负半轴上一点.若 AB=AC ， 试判断直线 BC 与 此抛物线的位置关系.是此抛物线上一点，点 C 是 y 轴正半轴上一点且 AB=AC，过点 B 作 BC 的垂线，试判断此直线与抛物线的位置关系.问题十一：已知，如图，抛物线y = ax2，其中 a＞0. 点 A 在抛物线内部，过点A 作 x 轴的垂线，与此抛物线相交于点 B，垂足为点 C.若∠BOC=∠BAO，求点 A 的轨迹.解：令 B(m， am2)，则 OC=m， BC=am2.易知，△BCO∽△OCA，即AC = OC2 = 1，BC a故点 A 的轨迹为1y =.a练习题：已知，如图，抛物线y = ax2，其中 a＞0. 点 A 在抛物线内部，且点 A 的纵坐标为1 ，过点 A 作 x 轴的垂线，与此抛物线相交于点 B，垂足为点 C.a求证：∠BOC=∠BAO.问题十二： 已知， 如图， 抛物线y = ax 2， 其中 a ＞0. 点 A 、点 B 均是此抛物线 上的点， 且分属于 y 轴两侧， 连接 AB 与 y 轴相交于点 C .过点 B 作 x 轴的垂线， 垂足为点 D ， 并与 AO 的延长线交于点 E .求证： DE=CO .证明：构造如图所示辅助线 .令 A(x 1， ax 12)， B(x 2， ax 22)，则 AB ： y=a(x 1+x 2)x-ax 1x 2，即 C(0， -ax 1x 2)，CO DO = 一ax 1 . 又 AF OF = 一ax 1 ，故 CO DO = AF OF， 即△COD∽△AFO . 从而， AE ∥CD ，即四边形 CODE 是平行四边形，故 DE=CO . 练习题： 已知， 如图， 抛物线y = 1 x 2， 直线 AB ： y=kx+2 与抛物线相交于点 A 、4点 B ， 过点 B 作 x 轴的垂线， 垂足为点 C ， 并与AO 的延长线交于点 D .求 CD .问题十三： 已知，如图，抛物线 y = 1 x 2 .过点 A(0， p)作 x 轴的平行线与此抛4p物线相交于点 B ， 点 C 位于点 O 与点 B 之间的抛物线上， 再过点 C 作 AB 的 垂线 CE ，垂足为点 D .若∠E =∠CAB ，求证：△BDE 的周长为定值.证明：令 p=a 2，易知， B(2a 2， a 2).令 C(2ka ， k 2)，则 D(2ka ， a 2)，即 AD=2ka ， CD=a 2-k 2， BD=2a(a-k)， 故 AC=a 2+k 2， 即△CDA 的周长为 2a(a+k) .又△BDE ∽△CDA ，即△BDE 的周长=BD CD. △CDA 的周长=2a(a k)a 2k 2. 2a(a + k) = 4a 2 = 4p ， 故△BDE 的周长为定值.注：用巧设减轻计算量，以达事半功倍之效 .练习题 1：已知，如图，抛物线y = 1 x2，过点 A(0， 1)作 x 轴的平行线与此抛物4线相交于点 B，点 C 位于点 O 与点 B 之间的抛物线上，再过点 C 作 AB 的垂线 CE，垂足为点 D.若∠E=∠CAB，求△BDE 的周长.练习题 2： 2015 年武汉市中考数学压轴题1已知，抛物线 y＝ x 2＋c 与 x 轴交于点 A(－1， 0)、点 B，交 y 轴于点 C．2(1)求抛物线的解析式；(2)点 E(m， n)是第二象限内一点，过点E 作EF⊥x 轴交抛物线于点 F，过点 F 作FG⊥y 轴于点 G，连接 CE， CF．若∠CEF＝∠CFG，求 n 的值并直接写出m 的取值范围(利用图 1 完成你的探宄)；(3)如图 2，点 P 是线段 OB 上一动点(不包括点 O， B)， PM⊥x 轴交抛物线于点 M，∠OBQ＝∠OMP，BQ 交直线 PM 于点 Q．设点 P 的横坐标为 t，求△PBQ 的周长．。
抛物线性质二级结论
1抛物线性质主讲：乔明抛物线性质 11. 焦半径 22. 焦点弦 33. 焦点三角形面积 44. 四个圆 55. 三个直角 66. 角平分线 77. 焦点弦垂直平分线 88. 切线与阿基米德三角形 99. 三点共线 1010. 定点 1211. 定值 2112. 中点弦结论 3213. 抛物线与等差数列 3314. 蝴蝶定理 4115.最值 4216.其他 46Z 1. 焦半径1已知抛物线y 2=2px (p >0)，过焦点F 的直线与抛物线交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点,直线AB 与焦点所在轴所成的较小角为θ0<θ≤90∘ ,则AF =x 1+p 2=p 1-θcos ；BF =x 2+p 2=p 1+θcos .证明：Z 2. 焦点弦1已知抛物线y 2=2px (p >0)，过焦点F 的直线与抛物线交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点,直线AB 与焦点所在轴所成的较小角为θ0<θ≤90∘ ,则AB =x 1+x 2+p =2p 2θsin .证明：Z3. 焦点三角形面积1已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A x1,y1两点,直线AB,B x2,y2与焦点所在轴所成的较小角为θ0<θ≤90∘,O为坐标原点，则△OAB的面积为S△OAB= p2sin.2θ证明：Z4. 四个圆1已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A x1,y1两点,直线AB,B x2,y2与焦点所在轴所成的较小角为θ0<θ≤90∘,则1 以焦点弦AB为直径的圆与准线相切.2 以焦半径AF或BF为直径的圆与y轴相切.3 以A1B1为直径的圆与焦点弦AB相切于F.4 以OA2为直径的圆与焦焦半径AF相切于T.证明：Z5. 三个直角1已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A x1,y1两点,直线AB,B x2,y2与焦点所在轴所成的较小角为θ0<θ≤90∘,AB的中点为M且点A,B,M在准线上的投影分别为A1,B1,M1则1 AM1⏊BM1．2 A1F⏊B1F．3 M1F⊥AB证明：Z6. 角平分线1已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A x1,y1两点,直线AB,B x2,y2与焦点所在轴所成的较小角为θ0<θ≤90∘,A,B,M在准线上的投影分别为A1,B1,准线A1B1与x轴的交点为F1,则∠AF1F=∠BF1F.证明：Z7. 焦点弦垂直平分线1已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A x1,y1,B x2,y2两点,直线AB 与焦点所在轴所成的较小角为θ0<θ≤90∘,AB的中点为M且点A,B,M在准线上的投影分别为A1,B1,M1,AB的垂直平分线与x轴交于点G,则1 FG=12AB．2 MG=12A1B1.拓展：已知圆锥曲线C，过焦点F且不垂直于坐标轴的直线与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点E，则EFAB=e2e为圆锥曲线的离心率.证明：Z8. 切线与阿基米德三角形1已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A x1,y1,B x2,y2两点,A,B两点处的切线交于一点M1，我们把△ABM1称为阿基米德三角形，则1 M1一定在准线上且M1为AB的中点M在准线上的投影．2 AM1⏊BM1.3 点A处的切线AM1为y1y=p(x+x1)，点B处的切线BM1为y2y=p(x+x2).推论：抛物线y2=2px(p>0)上一点A处切线的斜率k若存在，则k=p y1.反之，过抛物线准线上任一点M1作抛物线的切线，则过两切点A、B的弦必过焦点F且AM1⏊BM1.证明：Z9. 三点共线1已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A x1,y1两点,A,B,在准,B x2,y2线上的投影分别为A1,B1,O为坐标原点，则1 A1,O,B三点共线；2 A,O,B1三点共线.证明：2点P(a，0)(a≠0)是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上的一点，过P的直线l与抛物线相交于两点A、B，A关于x轴的对称的点为A ，又点Q(-a，0)，那么A 、B、Q三点共线.Z10. 定点1已知P(x0，y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一定点，直线AB与抛物线相交于A、B两点(都异于P)，若直线PA、PB的斜率分别为k PA、k PB.1 k PA∙k PB=λλ≠0，那么直线AB过定点x0-2p λ，-y0.2 k PA+k PB=λλ≠0，那么直线AB过定点x0-2y0λ，2pλ-y0.拓展：曲线C：y²=2px p>0，点P x0，y0为曲线C上的一定点，过点P作斜率分别为k1，k2两条直线交曲线C于A,B两点，若k1，k2满足λk1+k2+μk1k2+t=0t≠0，则直线AB恒过定点2λy0+2μpt+x0,-2pλt-y0证明：2已知抛物线y2=2px(p>0)，O为坐标原点,A x1,y1是抛物线上除坐标原点O外的,B x2,y2任意两点，则OA⏊OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0).证明：3已知抛物线y2=2px(p>0)，点G x0,y0作两条互相是抛物线内部的任意一点，过点G x0,y0垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N，则直线MN恒过定点P(x0+p，0).证明：4点T是直线l：x=-t t>0上任一点(除与x轴交点)，直线TM⎳x轴且和抛物线y2=2px(p >0)交于点M，TO和抛物线交于点N．则直线MN过定点P(t，0)．拓展：点T是直线l：Ax+By+C=0上任一点(除与x轴交点)，直线l与抛物线y2=2px(p>0)没有交点，直线TM⎳x轴且和抛物线y2=2px(p>0)交于点M，与l平行的直线与抛物线切于点Q,TQ和抛物线交于点N．则直线MN恒过定点P(CA，-pBA)．证明：5已知抛物线C：y²=2px p>0，点D(n,0),E(m,0)(m>0,n>0)是抛物线对称轴上两个定点，M是抛物线C异于原点O的动点，直线ME交抛物线C于点N，直线MD，ND分别交抛物线C于点P、Q，则直线PQ恒过定点Gn2 m,0 .证明：6已知抛物线y 2=2px (p >0),直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF +BF =λ(λ>p )，则线段AB 的垂直平分线恒过定点G λ+p 2,0．拓展：已知抛物线y 2=2px (p >0)的弦AB 的中点D 恰好在定直线l ：x =m (m >0)上，则线段AB 的垂直平分线恒过定点G (m +p ，0).证明：7已知抛物线y 2=2px (p >0),直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA ∙OB =λ(λ≥-p 2)，则直线AB 恒过定点G p ±p 2+λ,0 ．证明：8已知P(x0，y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一定点，直线AB与抛物线相交于A、B两点(都异于P)，若直线PA、PB的倾斜角分别为α、β.若α+β=θ0<θ<π,那么直线AB过定点x0-2p-2y0∙θcot,2pθcot-y0.推论：已知抛物线y2=2px(p>0)，O为坐标原点，直线AB与抛物线相交于A、B两点(都异于O)，若直线OA、OB的倾斜角分别为α、β.若α+β=θ0<θ<π,那么直线AB恒过定点-2p,2pθtan.证明：9已知抛物线y2=2px(p>0),直线l与抛物线C交于A，B两点，点P(t，0)(a≠0)是抛物线C 的对称轴上的一定点,若直线PA，PB的倾斜角互补，则直线AB恒过定点Q-t,0．证明：10已知定点P m ，0 m <0 ，设直线l ：y =k x +m 与抛物线y ²=2px p >0 相交于点A 、B ，射线PA 、PB 与抛物线的另一个交点分别为C 、D ，则CD 恒过定点-m ，0 .拓展：已知定点P m ，0 m <0 ，设直线l ：y =kx +t t ≠0 与抛物线y ²=2px p >0 相交于点A 、B ，射线PA 、PB 与抛物线的另一个交点分别为C 、D ，则CD 恒过定点0，-km 证明：11已知抛物线y2=2px(p>0),点M为直线y0y=p x+x0上的动点,过点M作抛物线y2=2px 的两条切线MA,MB，切点分别为A,B,则直线AB恒过定点N x0,y0.拓展：如果点M的极线通过点N，则点N的极线也通过点M.(共线点的极线必共点，共点线的极点必共线)证明：Z 11. 定值1已知抛物线y 2=2px (p >0)，过焦点F 的直线与抛物线交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点,则①x 1∙x 2=p 24；②y 1y 2=-p 2；③OA ∙OB =-34p 2.2已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A x1,y1,B x2,y2两点,则1 AF +1BF=2p.证明：3已知AB、CD是抛物线y2=2px(p>0)经过焦点F的两条相互垂直的弦，则1AB+1CD=12p.证明：4在抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上存在一个定点M p,0，使得过该点的任意弦AB恒有1 MA 2+1MB2=1p2.5过抛物线y 2=2px (p >0)上定点P x 0,y 0 的动弦PA ,PB 所在直线的斜率存在且倾斜角互补，则直线AB 的斜率为定值，该定值等于抛物线在点P 处切线的斜率的相反数．k AB =-p y 0拓展：过抛物线y 2=2px (p >0)上定点P x 0,y 0 的动弦PA ,PB 所在直线的斜率分别为k 1,k 2,若1k 1+1k 2=λ，则直线AB 的斜率为定值k AB =p λp -y 0.证明：6若直线l 过定点M (m ，0)m ≠0 且与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ，B 两点，则直线OA ，OB 的斜率之积k OA ∙k OB 为定值-2p m．证明：7若直线l 过定点N (0，n )n ≠0 且与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ，B 两点，则直线OA ，OB 的斜率之和k OA +k OB 为定值2p n．证明：8设O为坐标原点，过点P(0，t)(t≠0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于不同的两点M, N,过点N作x轴的垂线与直线OM交于点D,E为线段DN的中点则直线OE的斜率为定值p t.证明：9已知抛物线y 2=2px (p >0)和点T (t ,0)(t ≠0),过点T 的直线交抛物线于A ,B 两点,交y 轴于点P ,若PA =λAT ,PB =μBT 则λ+μ=-1.证明：10已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,交准线于点P ,若PA =λAF ,PB =μBF 则λ+μ=0证明：11已知抛物线y 2=2px (p >0)和点M (m ,0)(m ≠0),过点M 的直线交抛物线于A ,B 两点,交直线x =n 点P ,若PA =λAM ,PB =μBM 则λ+μ=-1-n m.证明：12已知抛物线y 2=2px (p >0)在点P (x 0,y 0)处的切线与y 轴交于点Q ,过点Q 的直线与抛物线有两个不同交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N ,O 为坐标原点，QM =λQO ,QN =μQO ,则1λ+1μ=2.证明：Z12. 中点弦结论1已知抛物线y2=2px(p>0)，斜率存在的直线与抛物线交于A x1,y1,B x2,y2两点,AB的中点为M x0,y0,则k AB∙y0=p.推论：抛物线y2=2px(p>0)上两点A x1,y1,B x2,y2连线斜率若存在，则k AB=2py1+y2.证明：Z13. 抛物线与等差数列1过点M m，0m>0于A、B两点，T为直线x=-m上任 的直线交抛物线y²=2px p>0意一点，则TA、TM、TB的斜率成等差数列.证明：2过焦点F的直线交抛物线y²=2px p>0于A、B两点，T为准线x=-p2上任意一点，则TA、TF、TB的斜率成等差数列.证明：3设M -m ，0 m >0 为抛物线y ²=2px p >0 的对称轴上任一点，点M 是点M 关于原点的对称点，点P 在抛物线上，设直线PM 、PO 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则有1k 1,1k 2,1k 3成等差数列.证明：4过抛物线y²=2px p>0的对称轴上一点P作抛物线的切线PA(A为切点)，过点P作直线交抛物线于B、C两点，则直线AB、AP、AC的斜率成等差数列.证明：5抛物线y²=2px p>0上不同的三个点的焦半径成等差数列的的充要条件是这三个点对应的横坐标成等差数列．证明：6已知抛物线y²=2px p>0,T-p 2,y0为准线上任意一点，过T做抛物线的两条切线TA、TB分别交抛物线于A x1,y1,B x2,y2两点，则A、T、B三点的纵坐标y1,y0,y2成等差数列.证明：7过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P x0,y0两,B x2,y2作两条直线分别交抛物线于A x1,y1点，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则y1,-y0,y2成等差数列．证明：8过点M(m，0)的直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点，过点M (-m，0)的直线交抛物线y2=2px(p>0)于C、D两点，过抛物线顶点O的直线交抛物线于P点，若直线AB,CD,OP相互平行，则AB2,OP2,CD2成等差数列．证明：Z14. 蝴蝶定理1已知抛物线C：y²=2px p>0，点D(n,0),E(m,0)(m>0,n>0)是抛物线对称轴上两个定点，M是抛物线C异于原点O的动点，直线ME交抛物线C于点N，直线MD，ND分别交抛物线C于点P、Q，则直线PQ恒过定点Gn2m,0，且若直线MN、PQ的斜率存在，则k MN kPQ=GD DE.证明：Z 15.最值1已知抛物线y 2=2px (p >0)，F 为焦点,A x A ,y A 为抛物线内一点,点P x 0,y 0 为抛物线上一点，则PF +PA 的最小值为AA =x A +p 2.证明：2已知抛物线y2=2px(p>0)，F为焦点,A x A,y A为抛物线外一点,点P x0,y0为抛物线上一点，点P到准线的距离记为d，则PA+d的最小值为AF=x A-p 22+y A2证明：3已知抛物线y2=2px(p>0)，F为焦点,直线l：Ax+By+C=0与抛物线没有交点，点P x0,y0为抛物线上一点，点P到准线的距离记为d1，点P到直线l的距离记为d2则d1+d2的最小值为FH=A∙p2+C A2+B2.证明：4已知AB、CD是抛物线y2=2px(p>0)经过焦点F的两条相互垂直的弦，则AB的最+CD小值为8p.证明：5已知抛物线y2=2px(p>0)，F为焦点,AB、CD是过焦点F的两条相互垂直的弦，则蝶形ADFCB面积的最小值为2p2.证明：Z16.其他1若抛物线上有四点A，B，C，D共圆，则四点中任意两点相连所得直线的斜率（存在的前提下）与另两点连线的斜率必然互为相反数；反之，若直线AB，CD的斜率互为相反数且与抛物线分别交于四点A，B，C，D，则该四点必然共圆．证明：。