高中数学一轮复习课题.抛物线导学案

课题：抛物线

一、新考纲：备考动向

1．抛物线的标准方程

掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程． 2．抛物线的几何性质 掌握抛物线的简单性质． 二、抓主干：知识回顾

知识点一 抛物线定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．

(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等． (3)定点不在定直线上．

易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．

知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程

y 2＝2px (p >0)

y 2＝－2px (p >0)

x 2＝2py (p >0)

x 2＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 )0,2

(p

F )0,2(p F -

)

2

,0(p F )

2

,0(p F -离心率 e ＝1

准线方程 2

p x -

=2

p x =

2

p y -

=2

p y =

范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

开口方向 向右

向左

向上

向下

焦半径(其中P (x 0，y 0)) 2

0p x PF +

=2

0p x PF +

-=2

0p y PF +

=2

0p y PF +

-=易误提醒 抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F

到准线l 的距离，否则无几何意义．

必记结论 抛物线焦点弦的几个常用结论：

设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则

(1) 4

2

21p x x =，y 1y 2＝－p 2.

(2)弦长α

221sin 2p

p x x AB =++= (α为弦AB 的倾斜角)． (3)

p

FB FA 211=+. (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切．

[自测练习]

1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( )

A ．y ＝4x 2

B ．y ＝8x 2

C ．y 2＝4x

D ．y 2＝8x

解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知

32

1=+

p

，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，故选D. 答案：D

2．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的

中点M 的横坐标为3，则线段AB 的长度为( )

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2×3＝6，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1

＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝8，故选B.

答案：B

三、研考向：考点研究

考点一 抛物线的标准方程及几何性质

1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是

2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－x B ．x 2＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y

D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y

3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

求抛物线方程的三个注意点

(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．

(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．

考点二 抛物线的定义及应用

抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：

1．到焦点与动点的距离之和最小问题． 2．到准线与动点的距离之和最小问题． 3．到两定直线距离之和最小问题． 4．到焦点与定点距离之和最小问题． 探究一 到焦点与动点的距离之和最小问题

1．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．

探究二 到准线与动点的距离之和最小问题

2．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PC |的最小值为( )

A.

B ．7

C ．6

D ．9

探究三 到两定直线距离之和最小问题

3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1

和l 2的距离之和的最小值为( )

A.

16

37

B.

5

11

C ．3

D ．2

探究四 到焦点与定点距离之和最小问题

4．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为

求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

考点三 直线与抛物线的位置关系

已知：过抛物线x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两个