高中数学一轮复习课题.抛物线导学案

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抛物线课件-2025届高三数学一轮复习

A. 2
B. 3
[解析]

2
C. 4
2
D. 8

由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1

S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜

2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2

α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋

高考数学一轮复习第八章解析几何第七讲抛物线学案含解析新人教版

第七讲抛物线知识梳理·双基自测知识梳理知识点一抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __．知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F __⎝⎛⎭⎫p 2，0__F __⎝⎛⎭⎫－p2，0__ F __⎝⎛⎭⎫0，p2__ F __⎝⎛⎭⎫0，－p2__ 离心率 e ＝__1__准线方程 __x ＝－p2____x ＝p2____y ＝－p2____y ＝p 2__范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下焦半径 (其中P (x 0，y 0))|PF |＝ __x 0＋p 2__|PF |＝ __－x 0＋p2__|PF |＝ __y 0＋p 2__|PF |＝ __－y 0＋p2__归纳拓展抛物线焦点弦的处理规律直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p． (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4．( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a ．( √ )题组二走进教材2．(必修2P 69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( B )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．3．(2021·河南郑州名校调研)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B )A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516[解析] 由抛物线的方程y ＝－4x 2，可得标准方程为x 2＝－14y ，则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116，准线方程为y ＝116，设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1，解得y 0＝－1516．故选B ．题组三走向高考4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( D )A ．2B ．3C ．4D ．8[解析] ∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∴椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∴3p －p ＝p 24，∴p ＝8．故选D ．5．(2020·新课标Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( C )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9＋p2＝12⇒p ＝6；故选C ．考点突破·互动探究考点一抛物线的定义及应用——多维探究角度1 轨迹问题例1 (1)动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(D)A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线[解析]设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2距离为r＋1，即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D．角度2到焦点与到定点距离之和最小问题(2)①(2021·河北保定七校联考)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x ＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为(B)A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，O为原点，点P是抛物线C 的准线上的一动点，点A在抛物线C上，且|AF|＝4，则|P A|＋|PO|的最小值为(B) A．4 2 B．213C．313 D．4 6[解析]①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1,2)，过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以问题求|MF|＋|MC|的最小值，就转化为求|ME|＋|MC|的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值为|CE|＝2－(－1)＝3，故选B．②由抛物线的定义知|AF|＝y A＋p2＝y A＋2＝4，∴y A＝2，代入x2＝8y，得x A＝±4，不妨取A(4,2)，又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0，－4)，∴|P A|＋|PO|＝|P A|＋|PO′|≥|AO′|＝(－4－2)2＋(0－4)2＝213，当且仅当A、P、O′共线时取等号，故选B．[引申]本例(2)①中，(ⅰ)|MC |－|MF |的最大值为__2__；最小值为__－2__；(ⅱ)若N 为⊙C 上任一点，则|MF |＋|MN |的最小值为__2__．角度3 到准线与到定点距离之和最小问题(3)已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PC |的最小值为( A )A ．41B ．7C ．6D ．9[解析] 由题意得圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，圆心C 的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当d ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41．角度4 到两定直线的距离之和最小问题(4)(2021·北京人大附中测试)点P 在曲线y 2＝4x 上，过P 分别作直线x ＝－1及y ＝x ＋3的垂线，垂足分别为G ，H ，则|PG |＋|PH |的最小值为( B )A ．322B ．2 2C ．322＋1D ．2＋2[解析] 由题可知x ＝－1是抛物线的准线，焦点F (1,0)，由抛物线的性质可知|PG |＝|PF |，∴|PG |＋|PH |＝|PF |＋|PH |≤|FH |＝|1－0＋3|2＝22，当且仅当H 、P 、F 三点共线时取等号，∴|PG |＋|PH |的最小值为22．故选B ．名师点拨利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．〔变式训练1〕(1)(角度1)到定点A (0,2)的距离比到定直线l ：y ＝－1大1的动点P 的轨迹方程为__x 2＝8y __．(2)(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，点A (4,3)，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△P AF 周长取最小值时，线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214(3)(角度2)(2021·山西大学附中模拟)已知点Q (22，0)及抛物线y ＝x 24上一动点P (x ，y )，则y ＋|PQ |的最小值是__2__．(4)(角度3)(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( C )A ．3716B ．115C ．2D ．74[解析] (1)由题意知P 到A 的距离等于其到直线y ＝－2的距离，故P 的轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝8y ．(2)求△P AF 周长的最小值，即求|P A |＋|PF |的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |，因此，|P A |＋|PF |的最小值，即|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小，此时P ⎝⎛⎭⎫94，3，且|PF |＝94＋1＝134，故选B ．(3)抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ，其焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y ＝－1．因为点Q 的坐标为(22，0)，所以|FQ |＝(22)2＋12＝3．过点P 作准线的垂线PH ，交x 轴于点D ，如图所示．结合抛物线的定义，有y ＋|PQ |＝|PD |＋|PQ |＝|PH |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝3－1＝2，即y ＋|PQ |的最小值是2．(4)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选C ．考点二抛物线的标准方程——自主练透例2 (1)过点P (－3,2)的抛物线的标准方程为__y 2＝－43x 或x 2＝92y __．(2)焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为__y 2＝16x 或x 2＝－8y __，准线方程为__x ＝－4或y ＝2__．(3)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x[解析] (1)设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)． ∵过点(－3,2)，∴4＝－2p ·(－3)或9＝2p ·2． ∴p ＝23或p ＝94．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝4． ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程为y 2＝16x ；当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y ．∴所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ，对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2．(3)如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°．在直角三角形ACE 中，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1．∵BD ∥FG ，∴|BD ||FG |＝|BC ||FC |，即1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．一般焦点在x 轴上的抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)；焦点在y 轴上的抛物线的方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．〔变式训练2〕(1)(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ，若|AF |＝1，则抛物线C 的方程为( A )A ．y 2＝43xB ．y 2＝2xC ．y 2＝3xD ．y 2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点P (m ，－3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为( D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y[解析] (1)由题意知x A ＝p ，又|AF |＝x A ＋p 2＝3p 2＝1，∴p ＝23，∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ，故选A ．(2)由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上，故设其方程为x 2＝－2py (p ＞0)，所以3＋p2＝5，即p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ，故选D ．考点三,抛物线的几何性质——师生共研例3 (1)(2021·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( C )A ．4B ．9C ．10D ．18(2)(理)(2021·四川眉山模拟)点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点(点A 在第一象限)，过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段，垂足分别为M 、N ，若|MF |＝4，|NF |＝3，则直线AB 的斜率为( D )A ．1B ．724C ．2D ．247(文)(2021·四川师大附中期中)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为抛物线上的两点，A ，B 的中点到抛物线准线的距离为5，△ABO 的重心为F ，则p ＝( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C ．(2)(理)由抛物线定义知|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |， ∴∠AFM ＋∠BFM ＝360°－∠MAF －∠NBF2＝90°，∴∠MFN ＝90°，又|MF |＝4，|NF |＝3， ∴|MN |＝5，∴p ＝|KF |＝|MF |·|NF ||MN |＝125，又∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFK ，∴k AB ＝tan(180°－2∠MFK )＝－2tan ∠MFK 1－tan 2∠MFK ＝－831－⎝⎛⎭⎫432＝247．故选D ．(文)x 1＋x 22＋p 2＝5，x 1＋x 2＋03＝p 2，∴10－p ＝3p2，所以p ＝4．故选D ．名师点拨在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．〔变式训练3〕(1)(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0)，过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，若|AF |＝4|BF |，则|AB |＝__254__． (2)(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( C )A ．627B ．1827C ．427D ．227[解析] (1)∵p2＝1，∴p ＝2，不妨设直线AB 方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0， ∴y 1y 2＝－4，又|AF |＝4|BF |，∴y 1＝－4y 2， ∴y 2＝－1，从而x 2＝14，∴|BF |＝1＋14＝54，∴|AB |＝5|BF |＝254． (2)设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ，可知其焦点F 的坐标为(1,0)，故|PM |＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)，所以k PF ＝0－421－8＝427．故选C ．考点四,直线与抛物线的综合问题——师生共研例4 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |等于( B )A ．28B ．32C ．20D ．40(2)(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是( B )A ．y ＝x －1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－x ＋2D ．y ＝－2x ＋3(3)(2021·湖南五市十校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，直线y ＝x －1与C 相交所得的长为8．①求p 的值；②过原点O 的直线l 与抛物线C 交于M 点，与直线x ＝－1交于H 点，过点H 作y 轴的垂线交抛物线C 于N 点，求证：直线MN 过定点．[解析] (1)双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)．因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0，故x 1＋x 2＝24．故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32．故选B ． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，知k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，∴AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选B ．(3)①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －1，消x 可得y 2－2py －2p ＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－2p ， ∴弦长为1＋12·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2·4p 2＋8p ＝8，解得p ＝2或p ＝－4(舍去)， ∴p ＝2，②由①可得y 2＝ 4x ，设M ⎝⎛⎭⎫14y 20，y 0， ∴直线OM 的方程y ＝4y 0x ，当x ＝－1时，∴y H ＝－4y 0，代入抛物线方程y 2＝4x ，可得x N ＝4y 20，∴N ⎝⎛⎭⎫4y2，－4y 0， ∴直线MN 的斜率k ＝y 0＋4y 0y 204－4y 20＝4y 0y 20－4，直线MN 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4⎝⎛⎭⎫x －14y 20，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，故直线MN 过点(1,0)．名师点拨(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解．〔变式训练4〕(1)(2021·甘肃诊断)直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且交抛物线于A ，B 两点，交其准线于C 点，已知|AF |＝4，CB →＝3BF →，则p ＝( C )A ．2B ．43C ．83D ．4(2)(2021·安徽皖南八校模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到直线x －y ＋1＝0的距离为2．①求抛物线C 的方程；②过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点P ．若|AB →|＝3|BP →|，求直线l 的方程． [解析] (1)过A ，B 分别作准线的垂线交准线于E ，D 两点，设|BF |＝a ，根据抛物线的性质可知，|BD |＝a ， |AE |＝4，根据平行线段比例可知|BD ||AE |＝|CB ||AC |，即a 4＝3a 3a ＋a ＋4，解得a ＝2，又|BD ||GF |＝|BC ||CF |，即a p ＝3a4a，解得p ＝43a ＝83，故选C ．(2)①由抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，因为焦点到x －y ＋1＝0的距离为2，即⎪⎪⎪⎪p 2＋12＝2，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程y 2＝4x ．②由①知焦点F (1,0)，设直线l ：y ＝k (x －1)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，①x 1x 2＝1，②又由|AB →|＝3|BP →|，得AB →＝3BP →，可得x 1＝4x 2，③由②③，可得x 1＝2，x 2＝12，代入①，可得2＋4k 2＝52，解得k ＝±22，所以直线l 的方程为22x － y －22＝0或22x ＋y －22＝0．名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例5 (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝(D )A ．316B ．38C ．233D ．433(2)(2019·新课标Ⅲ，节选)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．证明：直线AB 过定点．[解析] (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y ＝－p4(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－p4(x －2)，y ＝12p x 2，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ，易知在M 点处切线的斜率存在，则在点M 处切线的斜率为y ′⎪⎪⎪⎪x ＝m＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′x ＝m ＝m p．又双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，所以m p ＝33，即m ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0，得p ＝433或p ＝0(舍去)．(2)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1，由于y ′＝x ，∴切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1，整理得：2tx 1－2y 1＋1＝0．设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0，即y －12＝tx ．∴直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12．名师点拨利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．〔变式训练5〕(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，过点M ⎝⎛⎭⎫－p2，0作C 的切线，则切线的斜率为__±1__． (2)已知抛物线x 2＝8y ，过点P (b,4)作该抛物线的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB恒过定点，则该定点为( C )A ．(4,0)B ．(3,2)C ．(0，－4)D ．(4,1)[解析] (1)设斜率为k ，则切线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2代入y 2＝2px 中得k 2x 2＋p (k 2－2)x ＋k 2p 24＝0． Δ＝0，即p 2(k 2－2)2－4·k 2·k 2p 24＝0．解得k 2＝1，∴k ＝±1．(2)设A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∵y ＝x 28，y ′＝x4，∴P A ，PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1)，y －y 2＝x 24(x －x 2)，由y 1＝x 218，y 2＝x 228，可得y ＝x 14x －y 1，y ＝x 24x －y 2，∵切线P A ，PB 都过点P (b,4)， ∴4＝x 14×b －y 1,4＝x 24×b －y 2，故可知过A ，B 两点的直线方程为4＝b4x －y ，当x ＝0时，y ＝－4，∴直线AB 恒过定点(0，－4)．故选C ．。

高中数学选修2-1 抛物线导学案加课后作业及参考答案

抛物线及其标准方程导学案【学习要求】1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2．会求简单的抛物线的方程.【学法指导】通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.【知识要点】1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程探究点一抛物线定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.问题1画出的曲线是什么形状？问题2|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？问题3点D在移动过程中，满足什么条件？问题 4在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？例1方程[]22)1()3(2-++yx＝|x－y＋3|表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线跟踪训练1（1）若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是() A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线（2）若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线探究点二抛物线的标准方程问题 1结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？问题2抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？问题3根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.（1）y2＝－6x；（2）3x2＋5y＝0；（3）y＝4x2；（4）y2＝a2x (a≠0).跟踪训练2（1）抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为()A．⎝⎛⎭⎫716，0B．⎝⎛⎭⎫－74，0C．⎝⎛⎭⎫－716，0D．⎝⎛⎭⎫0，－74（2）抛物线y＝－14x2的准线方程是()A．x＝116B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2例3分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）准线方程为2y＋4＝0；（2）过点(3，－4)；（3）焦点在直线x＋3y＋15＝0上.跟踪训练3（1）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()A．y2＝x或x2＝y B．y2＝x或x2＝8yC．x2＝－8y或y2＝x D．x2＝y或y2＝－8x（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程.探究点三抛物线定义的应用例4 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. （1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 跟踪训练4 （1）抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．0（2）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92【当堂检测】1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是 ( )A ．a ＋p2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) A ．2B ．3C ．115D ．37164．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________【课堂小结】1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).【拓展提高】1．若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则P 点的轨迹方程是（） A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x =2．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果621=+x x ，那么AB =（）A ．10B ．8C ．6D ．43．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x4．抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为【课后作业】一、基础过关1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0)2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．44．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线和一条射线C ．椭圆D ．抛物线 5．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.6．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________.7．求经过A (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标. 二、能力提升8．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( )A ．12B ．1C ．32D ．29．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.11．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程.12．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？三、探究与拓展13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.抛物线的简单几何性质（一）导学案【学习要求】1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.【知识要点】1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝2直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴，此时直线与抛物线有个公共点.【问题探究】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？问题 2通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？例1若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．⎝⎛⎭⎫14，±24B．⎝⎛⎭⎫18，±24C．⎝⎛⎭⎫14，24D．⎝⎛⎭⎫18，24跟踪训练1抛物线y2＝2px (p>0)上一点M的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________探究点二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.跟踪训练2已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.探究点三直线与抛物线的位置关系问题结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？例3已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？跟踪训练3过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程.【当堂检测】1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A ．p 2B ．pC ．2pD ．无法确定2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－12，12B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为 ( )A ．(1,2)B ．(0,0)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1,4)4．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_______【课堂小结】1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.【拓展提高】1．若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．422．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4OA AF •=-，则点A 的坐标为（）A ．)22,2(±B ．)2,1(±C ．)2,1(D ．)22,2(3．已知直线l ：y ＝－x ＋1和抛物线C ：x y 42=，设直线与抛物线的交点为B A 、，求AB 的长。

49东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--抛物线学生版

探究三：直线与抛物线的关系
例4：已知A，B是抛物线上两点，O为原点，且OA OB，求证：
（1）A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积都是常数；
（2）、直线AB过定点。
三、方法提升：
1、抛物线的定义是对抛物线考察的重点，往往从几何代数两个方面考察：
2、关于直线与抛物线的交点问题，相对于椭圆与双曲线来说，由于其方程的特点，直接设交点的坐标解决问题简便易行；直线方程也可以根据方程的特点，灵活设为y=kx+b或者x=my+a
4、若抛物线过焦点的弦AB，设A（）B（），则有下列结论：
（1）、|AB|=p+ +
（2）、|AB|= ( =2px (p>0), |AB|= ( =2py (p>0))
（3）、|AB|= ( =2py (p>0))(通径是最短的焦点弦)
（4）、 = , =-
（5）、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB|=2p
（A）（B）（C）（D）
4．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（）
(A)x2＝8y(B)x2＝4y(C)x2＝2y(D)
5．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是
(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，） (D) （1，± ）
则① ，
②PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．
③
④点M平分PQ
⑤
【练习】
（2006年重庆高考（文）22）对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点，
（1）试证：（n≥1）
（2）取，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：（n≥1）

2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(一)》ppt

答案
高考一轮总复习•数学
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解析：(1)∵抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，∴准线为 x＝－p2.
∵点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，∴－p2－2＝4. ∴p＝4(负值舍去)，∴抛物线的标准方程为 y2＝8x.
(2)因为△FPM 为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的准线，设 Pm，m2p2，则点 Mm，－p2.因为焦点为 F0，p2，△FPM 是等边三角形，所以|PM|＝4，
高考一轮总复习•数学
抛物线定义的应用策略
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高考一轮总复习•数学
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对点练 1 (1)(2024·陕西榆林模拟)如图 1，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图 2 所示的抛物线 C：x2＝－2py(p>0)的一部分， P 为抛物线 C 上一点，F 为抛物线 C 的焦点．若∠OFP＝120°，且|OP|＝ 221，则 p＝( )
高考一轮总复习•数学
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2．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2 ＝6，则|PQ|＝( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.根据题意，得|PQ|＝|PF|＋ |QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选 B．
即 px0＝4.又 C 的准线方程为 x＝－p2，易知|FM|＝x0＋p2，显然|DM|＝x0－p2.
由焦点联想准线．
因为 cos∠MFG＝2 3 2，所以 sin∠MFG＝13，因此||DFMM||＝sin∠MFG＝13，即xx00＋－p2p2＝13，整理得 x0＝p，与 px0＝4 联立，解得 p＝x0＝2，

抛物线+讲义高三数学一轮复习

8.7.1 抛物线一、课标要求1.了解抛物线的定义几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.2.通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想.二、知识梳理1.抛物线的定义（1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离_____的点的轨迹.（2）焦点：________叫做抛物线的焦点.（3）准线：________叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=−2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=−2py(p>0)图形顶点对称轴焦点离心率准线方程范围开口方向三、典例探究例1 已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= ( )A. 2B. 3C. 6D. 9变式：已知抛物线y2=8x在第一象限内的一点A到其焦点的距离为8，则点A的纵坐标为( )A. 2√3B. 6C. 4D. 4√3例2设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，则|PB|+|PF|的最小值为 ______.变式：设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，求点P到A(−1,1)的距离与点P到直线x=−1的距离之和的最小值.四、课堂练习1、平面中到点A(1,0)和直线x=−1的距离相等的点的轨迹方程为( )A. y2=2xB. y2=4xC. x2=2yD. x2=4y2、若抛物线x2=my上一点(t,2)到其焦点的距离等于4，则m= ( )A. 8B. 4C. 2D. 123、过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则|PQ|等于( )A. 9B. 8C. 7D. 64、已知△ABC的三个顶点都在抛物线T:y2=2px(p>0)上，C(2,−8)，且抛物线的焦点F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|= ( )A. 40B. 38C. 36D. 345、若F为抛物线C:y2=4x的焦点，点M(m,4)在C上，直线MF交C 的准线于点N，则|FN|= ( )A. 54B. 103C. 5D. 126、设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|= ( )A.2B. 2√2C. 3D. 3√2。

2019-2020学年高考数学一轮复习-抛物线的标准方程教案

2019-2020学年高考数学一轮复习抛物线的标准方程教案教学目标:掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程.教学重点:根据已知条件求抛物线的标准方程.教学过程:一.问题情境通过实例，引入抛物线与前面学过的椭圆、双曲线一样，我们如何确定抛物线的标准方程呢？二、建构数学1.抛物线的定义:抛物线是平面内的到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)距离相等的点的轨迹. 定点F称为抛物线的焦点，直线l 称为抛物线的准线.2.建立抛物线的标准方程:过F点作FN l⊥,垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系其中字母p的几何意义是:焦点到准线的距离类似地，还有其他三种建立坐标系的方法，可得抛物线的标准方程的另外三种形式：2222,2,2(0)y px x py x py p=-==->.内容标准方程22y px=（0p>）22y px=-（0p>）22x py=（0p>）22x py=-（0p>）P的几何意义：图x O FyHNlP(x, y)形对称轴焦点准线方程开口方向(1)一次项系数的正负决定于抛物线的______________；一次项字母决定抛物线的______ (2)注意：2y ax =不是抛物线的标准形式 3.数学应用:例1.求下列抛物线的焦点坐标及准线方程.(1) 24y x = (2)232x y =- (3)2250x y += (4)28y x =例3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M(m ,-3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程.例4.已知点,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线():02p l x p =>,求经过点A 且与直线l 相切的动圆的圆心M 的轨迹方程变式：已知动点(,)M x y 到点(4,0)F 的距离比到直线50x +=的距离小1，试判断点M 的轨迹是什么图形课堂练习:书P51 练习四．课堂小结：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p ，因此只要给出确定p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；有时为了简化运算，可设焦点在x 轴和y 轴上的非常分别为2y mx =和2x my =，避免对抛物线开口方向的讨论数学（理）即时反馈作业编号：029 抛物线的标准方程1.抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离是1,则点M 的纵坐标等于2.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线23x y +=距离相等的点的轨迹是 (1)直线 (2)抛物线 (3)圆 (4)双曲线3.抛物线2y x =上一点P 到焦点的距离是2,则P 点的坐标是4.抛物线24y x =的准线方程是 ,焦点坐标是5.抛物线()20y ax a =<的焦点坐标是 ,准线方程为6.过点()1,2-的抛物线的标准方程是7.抛物线24y x =上一点到焦点的距离是5,则这点的坐标是8.圆心在抛物线22y x =上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是9. 椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=的焦点相同，则a =______ 10.求下列抛物线的焦点和准线方程:(1)20x y += (2)280x y -=(3)()20y ax a => (4)2270y x +=11.求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)焦点是()6,0 (2)焦点是()0,5-(3)准线方程是23y = (4)焦点到准线的距离是512.求以直线2360x y -+=与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程13、已知圆22:(3)1F x y ++=，直线:2l x =，求与直线l 相切且与圆F 外切的圆的圆心M 的轨迹方程14、如图，椭圆的中心为原点O ，已知右准线l 的方程为4x =，右焦点F 到它的距离为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆C 经过点F ，且被直线l 截得的弦长为4，求使OC 长最小时圆C 的方程O FCl。

抛物线学案-2023届高三数学一轮复习

第7节抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知识梳理 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的 .(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py(p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点对称轴焦点离心率准线方程 y ＝p2 范围开口方向向左3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点). 自主检测1.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.2. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.84.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B.1C.54D.745.已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________. 典型例题考点一抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】 (1)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x(2)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，若直线AF 的斜率为－3，则△P AF 的面积为( ) A.2 3 B.4 3 C.8 D.8 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.【训练1】 (1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－4 B.x ＝－3 C.x ＝－2 D.x ＝－1(2)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.考点二与抛物线有关的最值问题角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则： (1)|P A |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|P A |－|PF |的最小值为________，最大值为________. 角度2 到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________.角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C.1 D.2角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B.⎝⎛⎭⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 考点三直线与抛物线的综合问题【例3】已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【训练3】如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率.当堂检测1.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x2.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3 D.π4或3π43.设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________.4.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.5.已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.6.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.7.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.。

第八章 §8.8 抛物线-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§8.8抛物线课标要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l 的一条直线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R焦点p2，0－p2，00，p20，－p2准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F |PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．3．设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，准线x ＝－p2与x 轴相交于点P ，过焦点F l与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，O 为原点，α为AB 与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|，|AB |＝x 1＋x 2＋p ，|AB |＝2p sin 2α.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y ＝4x 2表示焦点在x 轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)标准方程y 2＝2px (p >0)中的p 的几何意义是焦点到准线的距离．(√)(4)焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2＝±2py (p >0)，也可以写成y ＝ax 2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(√)2．(选择性必修第一册P133T2改编)抛物线x 2＝14y 的准线方程为()A ．y ＝－116B ．x ＝－116C ．y ＝116D ．x ＝116答案A解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y 准线方程为y ＝－116.3．(选择性必修第一册P133T3改编)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x答案B解析由题意可得|MF |＝x M ＋p2，则3＋p2＝4，即p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x .4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点到焦点的最短距离为1，则p 的值为()A．0B．1C．2D．3答案C解析由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，则最短距离为p2＝1，所以p＝2.题型一抛物线的定义及应用例1(1)(2024·南昌模拟)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为() A．x2＝8y B．x2＝16yC．y2＝8x D．y2＝16x答案A解析因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，所以A(0,2)，B(0，－2)，又因为过点B作圆O的切线l，所以切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0,2)，准线为y＝－2，所以P的轨迹方程为x2＝8y.(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．答案42或22解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p＝42；当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为4141，解得p ＝22或p ＝58.当p ＝58时，y 2＝116x ，点M (20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p ＝42或p ＝22.①②思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．跟踪训练1(1)已知抛物线y ＝mx 2(m >0)上的点(x 0,2)到该抛物线焦点F 的距离为114，则m 等于()A ．4B ．3 C.14D.13答案D解析由题意知，抛物线y ＝mx 2(m >0)的准线方程为y ＝－14m，根据抛物线的定义，可得点(x 0,2)到焦点F 的距离等于到准线y ＝－14m的距离，可得2＋14m ＝114，解得m ＝13.(2)已知点P 为抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到l ：x ＝1的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是()A.52B.522C ．2D.2答案B解析直线l ：x ＝1为抛物线y 2＝－4x 的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，如图所示，当点P 为所作直线与抛物线的交点时，d 1＋d 2的值最小，为点F 到直线x ＋y －4＝0的距离．∵F (－1,0)，∴(d 1＋d 2)min ＝|－1＋0－4|2＝522.题型二抛物线的标准方程例2(1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________．答案y 2＝163x 或x 2＝－94y解析∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y 中，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，则2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，点A ，B 在抛物线上，且直线AB 过点D －p2，0F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |＝6，则抛物线C 的标准方程为________．答案y 2＝8x解析如图，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线的定义可知，|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，∵2|FB |＝|FA |，∴2|BB 1|＝|AA 1|，则易知B 为AD 的中点．连接OB ，则OB 为△DFA 的中位线，∴2|OB |＝|FA |，∴|OB |＝|FB |，∴点B 在线段OF 的垂直平分线上，∴点B 的横坐标为p4，∴|FB |＝p 2＋p4＝3，∴p ＝4，∴抛物线C 的标准方程为y 2＝8x .思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练2(1)(2023·临汾统考)抛物线C 的焦点F 关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C 的方程为()A ．x 2＝6yB ．x 2＝12yC ．x 2＝18yD ．x 2＝36y答案B解析由题可知，抛物线开口向上，设方程为x 2＝2py (p >0)，y ＝－p2，所以p2＋(－9)2＝－p 2，解得p ＝6，所以抛物线C 的方程为x 2＝12y .(2)设抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上，点P 在抛物线C 上，|PF |＝52，若以线段PF 为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，则该抛物线C 的方程为________．答案x 2＝2y 或x 2＝8y解析由题意设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，P (x 0，y 0)，，圆的半径为54，由焦半径公式可知y 0＋p 2＝52，得y 0＝5－p 2，并且线段PF 中点的纵坐标是y 0＋p22＝54，所以以线段PF 为直径的圆与x 轴相切，切点坐标为(－1,0)或(1,0)，所以x 0＝±2，即点P 代入抛物线方程x 2＝2py (p >0)，得4＝2p ·5－p2，解得p ＝1或p ＝4，即当点F 在y 轴正半轴时，抛物线方程是x 2＝2y 或x 2＝8y .题型三抛物线的几何性质例3(1)(2023·兰州一中模拟)已知圆x 2＋y 2＝1与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则p 等于()A.52B.25C.522D.255答案D解析因为四边形ABCD 是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知，弦AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的通径，因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p ，所以有＋p 2＝1，解得p ＝255.(2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线交于点D .若|AF |＝8，则以下结论正确的是()A ．p ＝4 B.DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4答案ABC解析如图所示，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p .因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.因为AE ∥x 轴，所以∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形，所以∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，所以|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，得p ＝4，故A 正确；因为|AE |＝|EF |＝2|PF |，且PF ∥AE ，所以F 为AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确；因为∠DAE ＝60°，所以∠ADE ＝30°，所以|BD |＝2|BM |＝2|BF |，故C 正确；因为|BD |＝2|BF |，所以|BF |＝13|DF |＝13|AF |＝83，故D 错误．思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为______．答案x ＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3(p ＝0舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)已知F 是抛物线y 2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM →＝2MN →，则|NF |＝________.答案16解析易知焦点F 的坐标为(4,0)，准线l 的方程为x ＝－4，如图，抛物线准线与x 轴的交点为A ，作MB ⊥l 于点B ，NC ⊥l 于点C ，AF ∥MB ∥NC ，则|MN ||NF |＝|BM |－|CN ||OF |，由3FM →＝2MN →，得|MN ||NF |＝35，又|CN |＝4，|OF |＝4，所以|BM |－44＝35，|BM |＝325，|MF |＝|BM |＝325，|MF ||NF |＝25，所以|NF |＝16.课时精练一、单项选择题1．在平面内，已知定点A 及定直线l ，记动点P 到l 的距离为d ，则“|PA |＝d ”是“点P 的轨迹是以点A 为焦点，直线l 为准线的抛物线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析“点P 的轨迹是以点A 为焦点，直线l 为准线的抛物线”⇒“|PA |＝d ”，反之不成立，当直线经过定点A 时，轨迹不是抛物线．因此“|PA |＝d ”是“点P 的轨迹是以点A 为焦点，直线l 为准线的抛物线”的必要不充分条件．2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)上的一点M (x 0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A ．6B ．4C ．3D ．2答案D解析由题可知，抛物线准线为y ＝－p 2，可得1＋p2＝2，解得p ＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p ＝2.3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy 中，动点P (x ，y )到直线x ＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝－8x答案D解析由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.4．(2023·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于()A．3B．4 C.43D.7 3答案B解析过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.5．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，则|PQ|＋|PF|的最小值为()A．4B．6C．8D．10答案C解析如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则|PF|＝|PA|，当CP垂直于抛物线的准线时，|CP|＋|PA|最小，此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C(6,2)，半径为2，所以|PQ|＋|PF|的最小值为|AQ|＝|CA|－2＝10－2＝8.6．(2024·许昌模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为()A ．π B.π2C.π3D.π4答案B解析由题意，作图如图所示，设P (t 2,2t )(不妨令t >0)，由已知可得F (1,0)，则所以直线OM 的方程为y ＝2t t 2＋1x ，设k ＝2t t 2＋1，则k ＝2t ＋1t ≤1，当且仅当t ＝1时取等号，所以点F 到直线OM 的距离为|k |k 2＋1＝11＋1k 2≤22，即圆F 的半径最大值为22，面积最大值为π2.二、多项选择题7．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，点F 是抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点，点B (a ，b )(b >0)在抛物线C 上，则下列结论正确的是()A ．C 的准线方程为x ＝24B ．b ＝2C.OA →·OB →＝2D.1|AF |＋1|BF |＝16215答案BD解析点a >0)，B (a ，b )(b >0)在抛物线C 2＝a 22，2＝a 2，＝2，＝2，则抛物线C ：y 2＝2x ，B (2，2)，抛物线C 的准线方程为x ＝－24，故A 错误，B 正确；OA →·OB →＝22×2＋1×2＝1＋2，故C 错误；抛物线C 的焦点则|AF |＝324，|BF |＝524，则1|AF |＋1|BF |＝223＋225＝16215，故D 正确．8．(2024·大庆模拟)已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是抛物线上的两点，下列结论正确的是()A ．|MF |的最小值为2B ．若|MF |＋|NF |＝12，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为6C ．若直线MN 过点F ，则x 1x 2＝4D ．若MF →＝λNF →，则|MN |的最小值为8答案AD解析对于A ，x 2＝8y ，则p ＝4，焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2，∴|MF |＝y 1＋2，∵y 1≥0，∴|MF |≥2，当且仅当y 1＝0时等号成立，故A 正确；对于B ，∵|MF |＋|NF |＝12，根据抛物线定义得y 1＋2＋y 2＋2＝12，则y 1＋y 2＝8，而由中点坐标公式得点P 的纵坐标y P ＝y 1＋y 22＝4，即点P 到x 轴的距离为4，故B 错误；对于C ，由题意可知直线MN 斜率存在，∵直线MN 过点F ，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋2，代入抛物线方程整理得x 2－8kx －16＝0，∴x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16，故C 错误；对于D ，若MF →＝λNF →，则M ，F ，N 三点共线，由题得|MF |＋|NF |＝y 1＋2＋y 2＋2＝y 1＋y 2＋4＝x 21＋x 228＋4＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 28＋4＝64k 2＋328＋4，当k ＝0时，|MN |的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D 正确．三、填空题9．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，若点A 到x 轴的距离是|AF |－2，则p ＝________.答案4解析由抛物线的方程可得设A (x 0，y 0)，则y 0≥0，则|AF |＝y 0＋p2，又点A 到x 轴的距离是|AF |－2，故y 0＝y 0＋p2－2，故p ＝4.10．(2023·洛阳模拟)清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm ，碗盖口直径为8cm ，碗体口直径为10cm ，碗体深6.25cm ，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗体和碗盖的厚度忽略不计)________．答案7cm解析以碗体的最低点为原点，向上的方向为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设碗体的抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，将点(5,6.25)代入，得52＝2p ×6.25，解得p ＝2，则x 2＝4y ，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm ，则两抛物线在第一象限的交点为(4，h －3)，代入到x 2＝4y ，得42＝4(h －3)，解得h ＝7.11．A ，B 是抛物线x 2＝2y 上的两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为123，则∠AOB ＝________.答案60°解析如图，∵|OA |＝|OB |，∴A ，B 两点关于y 轴对称，设A －a ，a 22B a ，a 22∴S △AOB ＝12×2a ×a 22＝123，解得a ＝23，∴B (23，6)，∴tan θ＝236＝33，∴θ＝30°，∴∠AOB ＝2θ＝60°.12．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上，若|AF |＋|BF |＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，则p 的值为________．答案1或3解析分别过点A ，B 作准线l ：x ＝－p2的垂线，垂足分别为C ，D ，设AB 的中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，根据抛物线的定义，得|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝4，所以在梯形ACDB 中，中位线|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝2，可得x 0＝2－p2，因为线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，所以|x 0－p2|＝1，所以|2－p |＝1，解得p ＝1或p ＝3.四、解答题13．已知动点M 与点F (2,0)的距离与其到直线x ＝－2的距离相等．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)求点M 与点A (6,0)的距离的最小值，并指出此时M 的坐标．解(1)由题意知动点M 到F (2,0)的距离与它到直线x ＝－2的距离相等，所以动点M 的轨迹为以F (2,0)为焦点，以直线x ＝－2为准线的抛物线，因此动点M 的轨迹方程为y 2＝8x .(2)设由两点间的距离公式得|MA |＝m 464－m 22＋36＝164(m 2－16)2＋32，当m 2＝16，即m ＝±4时，|MA |min ＝42，即当M (2,4)或M (2，－4)时，点M 与点A 的距离最小，最小值为4 2.14．已知动圆过定点(4,0)，且在y 轴上截得的弦长为8.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)已知P 为轨迹C 上的一动点，求点P 到直线y ＝x ＋4和y 轴的距离之和的最小值．解(1)设圆心C 的坐标为(x ，y )，则半径r ＝(x －4)2＋y 2，又动圆在y 轴上截得的弦长为8，所以42＋x 2＝(x －4)2＋y 2，化简得y 2＝8x ，即动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝8x .(2)如图，设轨迹C 的焦点为F ，点P 到直线y ＝x ＋4的距离为|PP 1|，到y 轴的距离为|PP 2|，点F 到直线y ＝x ＋4的距离为|FF 1|，由抛物线的定义，可知|PP 2|＝|PF |－2，所以|PP 1|＋|PP 2|＝|PP 1|＋|PF |－2，由图可知|PP 1|＋|PF |的最小值为点F 到直线y ＝x ＋4的距离，所以(|PP 1|＋|PF |)min ＝|FF 1|＝61＋1＝32，所以|PP 1|＋|PP 2|的最小值为32－2.15.小明同学在一个宽口半径为1，高度为1的抛物面杯子中做小球放入实验，如图所示，要求小球能与杯底接触，则他能放入小球的最大半径是()A.14B.12C.22D ．1答案B解析作杯子的截面得一抛物线，如图，建立平面直角坐标系，则点(1,1)在抛物线上，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，则1＝2p ，p ＝12，抛物线方程为x 2＝y ，设球心为A (0，a )(a >0)，球半径为r ，P (x ，y )是抛物线上任一点，|AP |＝x 2＋(y －a )2＝y 2＋(1－2a )y ＋a 2，则r ＝|AP |min ，小球与杯底接触，则上式在y ＝0时取得最小值，|AP |＝y －2a －122＋4a －14，此时2a －12≤0，即0<a ≤12，r ＝|AP |min ＝a ，所以r max ＝a max ＝12.16．(2024·宣城模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在准线上的射影分别为M ，N ，S △MNF S △MAF ＝λ，S △NBF S △MNF＝μ，则λμ＝____________.答案4解析如图，设∠MAF ＝θ，|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线定义可得|AM |＝a ，|BN |＝b ，∠MFO ＋∠NFO ＝∠MFA ＋∠NFB ＝π2，在△MAF 中，由余弦定理可得|MF |2＝2a 2(1－cos θ)，同理|NF |2＝2b 2(1＋cos θ)，故S △MAF ＝12a 2sin θ，S △NBF ＝12b 2sin θ，(S △MNF )2＝14|MF |2·|NF |2＝a 2b 2sin 2θ，故λμ＝(S △MNF )2S △MAF ·S △NBF＝4.。

抛物线复习数学教案教学设计

抛物线复习数学教案教学设计【标准格式文本】教案教学设计：抛物线复习数学一、教学目标1. 知识目标：复习抛物线的基本概念、性质和相关公式，巩固学生对抛物线的理解。

2. 能力目标：培养学生观察、分析和解决抛物线相关问题的能力，提高其数学思维和解题能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学学习兴趣和自信心。

二、教学重点与难点1. 重点：抛物线的基本概念、性质和相关公式的复习。

2. 难点：运用抛物线的相关知识解决实际问题。

三、教学准备1. 教学工具：投影仪、电脑、教学PPT。

2. 教学素材：抛物线的相关例题和练习题。

四、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一张抛物线的图片，引导学生回顾抛物线的基本形状和特点，并与学生进行简要的讨论。

2. 复习抛物线的基本概念（15分钟）通过教学PPT，复习抛物线的定义、顶点、对称轴、焦点和准线等基本概念，并与学生一起解析相关概念的含义和特点。

3. 复习抛物线的性质（20分钟）a. 复习抛物线的对称性：通过教学PPT，引导学生回顾抛物线的对称性，并通过具体例题进行巩固。

b. 复习抛物线的焦点和准线：通过教学PPT，讲解焦点和准线的定义和性质，并通过实例演示焦点和准线的求解方法。

4. 复习抛物线的相关公式（20分钟）a. 复习抛物线的顶点坐标：通过教学PPT，复习抛物线顶点坐标的计算方法，并通过例题进行巩固。

b. 复习抛物线的焦点坐标：通过教学PPT，讲解焦点坐标的计算方法，并通过实例演示焦点坐标的求解过程。

c. 复习抛物线的准线方程：通过教学PPT，复习准线方程的推导和计算方法，并通过例题进行巩固。

5. 运用抛物线解决实际问题（25分钟）通过教学PPT，给出一些实际问题，引导学生运用抛物线的相关知识进行分析和解决。

教师可以提供一些具体实例，如抛物线的应用于建造设计、物理运动等领域，激发学生的学习兴趣和思量能力。

6. 小结与反思（10分钟）对本节课的内容进行小结，并与学生进行互动交流。

高考数学一轮复习第七章第七讲抛物线课件

解析：如图 D81，分别过 P，Q 两点作准线 x＝－2p的垂线，
垂足分别为 P1，Q1.分别过 P，Q 两点ห้องสมุดไป่ตู้ x 轴
的垂线，垂足分别为 P2，Q2.准线 x＝－p2交
x 轴于点 D－p2，0.
∵|PP1|＝|PF|＝4，|FP2|＝12|PF|＝2，
图 D81
∴|DF|＝|DP2|－|FP2|＝4－2＝2. ∵|FQ2|＝21|QF|＝12|QQ1|， ∴|DF|＝|QQ1|＋|FQ2|＝23|QF|. ∴32|QF|＝2，|QF|＝43. 答案：34
A.直线 AB 的斜率为 2 6 B.|OB|＝|OF| C.|AB|＞4|OF| D.∠OAM＋∠OBM＜180°
解析：如图 7-7-5，
图 7-7-5 ∵Fp2，0，M(p，0)，且|AF|＝|AM|，
∴A34p， 26p，由抛物线焦点弦的性质可得 xA·xB＝p42，则 xB＝p3，
则 Bp3，－ 36p，
F0，－p2 y≤0，x∈R
(续表) 准线方程开口方向
焦半径通径长
x＝－p2 向右 x0＋p2
x＝p2 向左－x0＋2p
2p
y＝－p2 向上 y0＋p2
y＝p2 向下－y0＋2p
【名师点睛】如图 7-7-1，设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由yy＝ 2＝k4(xx－，1)，得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得 xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得 xA＋1＝2(xB＋1)，即 xA＝2xB＋1，② 由①②解得 xA＝2，xB＝21，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝29. 答案：B

高考数学一轮复习第9章平面解析几何 7 第7讲抛物线教案理-高三全册数学教案

第7讲抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向向右向左向上向下焦半径 (其中P (x 0， y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝ y 0＋p 2|PF |＝－y 0＋p23.与焦点弦有关的常用结论 (以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p.(4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)若一抛物线过点P (－2，3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)抛物线y ＝－14x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－1)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(－1，0)解析：选A.抛物线y ＝－14x 2的标准方程为x 2＝－4y ，开口向下，p＝2，p2＝1，故焦点为(0，－1)．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y解析：选D.设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .(教材习题改编)焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．解析：抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上，直线2x ＋y ＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－1，0)与(0，－2)，故所求的抛物线的焦点为(－1，0)或(0，－2)，当焦点为(－1，0)时，易得抛物线标准方程为y 2＝－4x .当焦点为(0，－2)时，易得抛物线标准方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．解析：如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2，由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6. 答案：6抛物线的定义(高频考点)抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线的标准方程；(2)求抛物线上的点与焦点的距离； (3)求距离和的最值．[典例引领]角度一求抛物线的标准方程(2018·天津模拟)已知动圆过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，且与直线x ＝－p2相切，其中p >0，则动圆圆心的轨迹E 的方程为________________．【解析】依题意得，圆心到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离与到直线x ＝－p2的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E 为抛物线，其方程为y 2＝2px . 【答案】 y 2＝2px角度二求抛物线上的点与焦点的距离(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M 是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝____________．【解析】法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝22，所以N(0，42)，|FN|＝4＋32＝6.法二：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.【答案】6角度三求距离和的最值已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【答案】4若本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2. [通关练习]1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选A.由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.2．已知动点P 的坐标(x ，y )满足方程5（x －1）2＋（y －2）2＝|3x ＋4y ＋12|，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选 D.由5（x －1）2＋（y －2）2＝|3x ＋4y ＋12|⇒（x －1）2＋（y －2）2＝|3x ＋4y ＋12|5，所以动点P 到定点(1，2)的距离等于其到直线l ：3x ＋4y ＋12＝0的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，MM 1⊥l 于M 1，由抛物线的定义知p ＝12，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.故选C.抛物线的性质[典例引领](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2018·东北四市模拟)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.12 C.14D.18【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)由题意知x 2＝12y ，则F ⎝⎛⎭⎪⎫0，18，设P (x 0，2x 20)，则|PF |＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x 20－182＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18，所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18.【答案】 (1)B (2)D抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数．[通关练习]1．(2018·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝15x 2解析：选 B.设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .2.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．当水面宽为2 6 m 时，水位下降了________ m.解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2＝－2y .将x ＝6代入x 2＝－2y 得：y ＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m.答案：1直线与抛物线的位置关系[典例引领](2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．直线与抛物线位置关系的判断直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与抛物线y 2＝2px (p >0)联立方程组，消去y ，得到k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0的形式．当k ＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，设其判别式为Δ，(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点； (2)相切；Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点； (3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．[提醒] 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．[通关练习]1．过点(－2，1)斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则由k 的值组成的集合为________．解析：设l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋（2k ＋1）y 2＝4x，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，①当k ＝0时，y ＝1，此时x ＝14，l 与抛物线仅有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. ②当k ≠0时，由Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝0，得k ＝－1或k ＝12，所以k的值组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，122.(2018·湖南长沙四县联考)如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线．解：(1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E 上，所以m 2＝4×2，解得m ＝22，即A (2，22)，又F (1，0)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝223，k GB ＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，所以∠AGF ＝∠BGF ，所以GF 为∠AGB 的平分线．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”；一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．抛物线最值问题的求法(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．易错防范(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C.由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34.2．若点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 是坐标原点，若正三角形OAB 的面积为43，则该抛物线方程是( ) A ．y 2＝233xB ．y 2＝3x C ．y 2＝23xD ．y 2＝33x解析：选 A.根据对称性，AB ⊥x 轴，由于正三角形的面积是43，故34AB 2＝43，故AB ＝4，正三角形的高为23，故可以设点A 的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p ，解得p ＝33，故所求的抛物线方程为y 2＝233x .故选A. 3．(2018·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2y D ．x 2＝y解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0，0)和(4p ，8p )，则（4p ）2＋（8p ）2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2018·湖南省五市十校联考)已知抛物线y 2＝2x 上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF |>2，则点A 到原点的距离为( ) A.41 B ．22 C ．4D ．8解析：选B.令点A 到点F 的距离为5a ，点A 到x 轴的距离为4a ，则点A的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a －12，4a ，代入y 2＝2x 中，解得a ＝12或a ＝18(舍)，此时A (2，2)，故点A 到原点的距离为2 2.5．(2018·太原模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3D ．2解析：选C.因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.6．(2018·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy 中，有一定点M (－1，2)，若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析：依题意可得线段OM 的垂直平分线的方程为2x －4y ＋5＝0，把焦点坐标⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2代入可求得p ＝52，所以准线方程为y ＝－54.答案：y ＝－547．(2018·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．解析：设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上，又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，所以p 4＝6－p2，解得p ＝8.所以抛物线方程为y 2＝16x .答案：y 2＝16x8．已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________．解析：抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2yp＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得y 0＝16p ，由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以36p ＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43＝433.答案：4339．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线方程．解：设所求的抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线y ＝2x －4代入y 2＝ax ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，所以|AB |＝（1＋22）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝35，所以5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝45，所以a ＝4或a ＝－36.故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.1．(2018·甘肃兰州模拟)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22D ．1解析：选C.由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，显然当y 0<0时，k OM <0；当y 0>0时，k OM >0.要求k OM 的最大值，则y 0>0，则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，所以k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤22y 0p ·2p y 0＝22，当且仅当y 20＝2p 2时，取得等号．2．(2018·福建省普通高中质量检查)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，且A ，C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.设抛物线的准线与x 轴交于点D ，则由题意，知F (1，0)，D (－1，0)，分别作AA 1，BB 1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A 1，B 1，则有|AC ||FC |＝|AA 1||FD |，所以|AA 1|＝43，故|AF |＝43.又|AC ||BC |＝|AA 1||BB 1|，即|AC ||AC |＋|AF |＋|BF |＝|AF ||BF |，亦即2|AF |3|AF |＋|BF |＝|AF ||BF |，解得|BF |＝4，故选C.3．(2017·高考北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)．过点(0，12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解：(1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，得p ＝12.所以抛物线C的方程为y 2＝x . 抛物线C的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1. 故A 为线段BM 的中点．4．(2018·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M . (1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝xp，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2.所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)，用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33.。

2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 8.8 抛物线 (含解析)

§8.8抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质概念方法微思考1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F 且与l 垂直的直线．2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A ．2 B.135 C.145 D ．3答案 A解析由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________．答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 题组三易错自纠5．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x答案 D解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p 2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.6．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离可以是( ) A.6564 B.54 C.94 D.98答案 AB解析若抛物线的焦点在x 轴上，则设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，由点A 在抛物线上，得⎝⎛⎭⎫142＝a ，即a ＝116，得y 2＝116x ，由抛物线的定义可知，点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线焦点的距离为x A ＋164＝1＋164＝6564；若抛物线的焦点在y 轴上，则设抛物线的方程为x 2＝by (b ≠0)，由点A 在抛物线上，得1＝14b ，即b ＝4，得x 2＝4y ，由抛物线的定义可知，点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线焦点的距离为y A ＋1＝14＋1＝54.7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3,2)，则PB＋PF的最小值为________．答案 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则P1Q＝P1F.则有PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即PB＋PF的最小值为4.本例中的B点坐标改为(3,4)，则PB＋PF的最小值为________．答案2 5解析由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴PB＋PF≥BF＝22＋42＝25，即PB＋PF的最小值为2 5.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．答案32－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝PF－1，所以d1＋d2＝d2＋PF－1.易知d 2＋PF 的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋PF 的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1. 命题点2 求标准方程例2 (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－12y 或y 2＝16x B ．x 2＝12y 或y 2＝－16x C ．x 2＝9y 或y 2＝12x D ．x 2＝－9y 或y 2＝－12x答案 A解析对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析由题意知，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．跟踪训练1 (1)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案5解析如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.(2)(2019·衡水中学调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x 答案 C解析因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.②由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .抛物线的几何性质例3 (1)(2019·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．9 C ．10 D ．18 答案 C解析抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2. 由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.(2)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.方法一联立直线方程与抛物线方程化简得 4y 2－123y －9＝0，则y A ＋y B ＝33，y A y B ＝－94，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12OF ·|y A －y B |＝12×34×6＝94. 方法二联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212. 根据抛物线的定义有AB ＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为d ＝|－3|42＋(－43)2＝38，因此S △OAB ＝12AB ·d ＝94. (3)(2020·华中师大附中月考)如图，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则△ABF 的周长的取值范围是________．答案 (8,12)解析设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，由抛物线定义可得AF ＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4，∴△F AB 的周长为AF ＋AB ＋BF ＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12)．∴△ABF 的周长的取值范围是(8,12)．思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练2 (1)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( ) A.627 B.1827 C.427 D.227答案 C解析设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ，可知其焦点F 的坐标为(1,0)，故PM ＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)，所以k PF ＝0－421－8＝427. (2)(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A 是抛物线y ＝14x 2的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF ＝m ·P A ，则m 的最小值为________．答案 22解析过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得PN ＝PF ，∵PF ＝m ·P A ，∴PN ＝m ·P A ，则PN P A＝m ，设P A 的倾斜角为α，则sin α＝m ，当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线P A 与抛物线相切，设直线P A 的方程为y ＝kx －1，代入x 2＝4y ，可得x 2＝4(kx －1)，即x 2－4kx ＋4＝0，∴Δ＝16k 2－16＝0，∴k ＝±1，∴m 的最小值为22. 直线与抛物线例4 (2019·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若AF ＋BF ＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求AB .解设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由题设可得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋32，又AF ＋BF ＝4，所以x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，令Δ>0，得t <12，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9. 从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78，即12x －8y －7＝0.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3，代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1，故AB ＝4133. 思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. ②弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． ③以弦AB 为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．跟踪训练3 (2020·汉中模拟)已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程．解 (1)由已知可得，PN ＝PM ，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离，故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝2－km k 2， y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝⎛⎭⎫2－km k 2，2k ， ∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴DE 2＝6，且DE ⊥l 2，从而⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，k DE ·k ＝－1，即⎩⎨⎧ 2－km k 2－3＝－2，⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，整理可得⎝⎛⎭⎫2k 2＝2，即k ＝±2，∴m ＝0，故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.。

【导与练】(新课标)2019届高三数学一轮复习第8篇抛物线学案理

第五十四课时抛物线课前预习案1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；会求抛物线的标准方程，能运用抛物线的定义、标准方程处理一些简单的实际问题。

2.熟练掌握抛物线的范围、对称性、顶点等简单几何性质，并能运用性质解决相关问题.3.能解决直线与抛物线的相交问题.1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的，直线l 叫做抛物线的，定点F 定直线l 上。

3.根据抛物线的定义，可知22(0)y px p =>上一点11(,)M x y 到焦点的距离为。

4. 抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则有如下结论：（1）｜AB ｜＝；（2）12y y ＝；12x x ＝。

5. 在抛物线22(0)y px p =>中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，连结这两点的线段叫做，它的长为。

1. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F （0，－3）；（2）准线方程是x = 14；（3）焦点到准线的距离是2。

2. 过点A （4，－2）的抛物线的标准方程为（）A ．2y x =或28x y =-B ．2y x =或28y x =C ．28y x =-D ． 28x y =- 3. 抛物线214x y a=的焦点坐标为（） A ．1(,0)a - B ．(,0)a - C ．1(,0)aD ． (,0)a 4. 抛物线214y x =上点P 的纵坐标是4，则其焦点F 到点P 的距离为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ． 65.点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．课堂探究案考点1求抛物线的标准方程【典例1】根据下列条件求抛物线的标准方程（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点；（2）过点P （2，－4）；（3）抛物线的焦点在x 轴上，直线3y =-与抛物线交于点A ，||5AF =.【变式1】【2018陕西】如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.考点2 抛物线定义的应用【典例2】已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A （3，2），求｜PA ｜+｜PF ｜的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．【变式2】（1）在22y x = 上有一点P ，它到A （2，10）的距离与它到焦点F 的距离之和最小，则P 的坐标为（）A ．（－2，8）B ．（2，8）C ．(2,8)--D ．（ 2，－8）（2）已知抛物线24y x =，点P 是抛物线上的动点，又有点A （6，3），｜PA ｜+｜PF ｜的最小值是__________.考点3 抛物线几何性质的应用【典例3】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（）A 、、、4 D 、【变式3】已知A 、B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|，且AOB ∆的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（）A.x=3pB.x=pC.x=52p D.x=32p1.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A ．2B ．3CD ．922. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则11A FB ∠为（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为．课后拓展案组全员必做题1．（2019年四川（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（）A ．12B ．1 D 2．（2018辽宁理3）已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB的中点到y 轴的距离为( ). A ．34 B ．1 C ．54 D ．743．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.115 D.37164．（2019年课标Ⅰ（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（）A ．2B ．C ．D ．4组提高选做题 1．（2018山东文）抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（）A ．163B ．83C ．332D ．334 2．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =参考答案1.（1）212x y =-；（2）2y x =-；（3）24x y =，24x y =-，24y x =，24y x =-.2.A3.D4.C5. 216y x =【典例1】（1）212y x =-；（2）28y x =或2x y =-；（3）x y 22±=或x y 182±=【变式1】【典例2】最小值为72；(2,2)P . 【变式2】（1）B ；（2）7.【典例3】B【变式3】C1.A2.C3. 28y x =组全员必做题1.B2.C3.A4.C组提高选做题1.D2.C。

2022届高考数学统考一轮复习第九章抛物线学案文含解析新人教版

高考数学统考一轮复习：第七节抛物线【知识重温】一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质 (p ＞0) ________ ________ ________x 轴 ⑤________ y 轴 ⑥________ 设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p . 二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )二、教材改编2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个三、易错易混4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．四、走进高考 6．[2020·全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9考点一抛物线的定义和标准方程[自主练透型] 1．[2020·北京卷]设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP 2．[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若|AF |＝4，则p ＝( )A ．2B ．1 C.3 D ．4 3．[2021·成都高三摸底考试]已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，－2)，则此抛物线的标准方程为________．4．[2021·郑州一中高三摸底考试]从抛物线y ＝14x 2上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5.设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．悟·技法应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.考点二抛物线的几何性质[互动讲练型] [例1] (1)[2021·合肥市第二次质量检测]已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．±3B ．±1C ．±34D ．±33(2)[2021·福州市高三毕业班适应性练习卷]抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点P 为C 上的动点，点M 为C 的准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其周长为( )A. 2 B ．2 C ．3 2 D ．6 悟·技法1.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解. [变式练]——(着眼于举一反三) 1．[2021·山西晋城一模]已知P 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点．若|PF |＝2，∠PFO ＝π3，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝2xC ．y 2＝xD ．y 2＝4x 2．[2021·东北四市模拟]若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为________．考点三直线与抛物线的位置关系 [互动讲练型][例2] [2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.悟·技法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法1．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．第七节抛物线【知识重温】①相等 ②y 2＝－2px (p ＞0) ③x 2＝－2py (p ＞0) ④x 2＝2py (p ＞0) ⑤x 轴 ⑥y 轴⑦F (－p 2，0) ⑧F (0，－p 2) ⑨F (0，p 2)⑩e ＝1 ⑪x ＝－p 2 ⑫y ＝－p 2 ⑬－y 0＋p 2 ⑭y 0＋p2 ⑮y ≤0 ⑯y ≥0【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43.∴y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案：A3．解析：抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，则抛物线顶点到准线的距离为2，因为抛物线到焦点的距离和到准线的距离相等，则根据抛物线的对称性可知抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点有2个．答案：C 4．解析：由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x ，故选D. 答案：D5．解析：Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.答案：[－1,1]6．解析：设焦点为F ，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，∵点A 到y 轴距离为9，∴x 0＝9，∴9＋p2＝12，∴p ＝6.故选C. 答案：C 课堂考点突破考点一1．解析：解法一不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，P (x 0，y 0)(x 0>0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－p2，y 0，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为py 0，又线段FQ 的中点为⎝⎛⎭⎫0，y 02，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02＝py 0(x －0)，即2px －2y 0y ＋y 20＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20＝0，又2px 0＝y 20，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上，故选B.解法二连接PF ，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.答案：B2．解析：过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，则在Rt △ABF 中，∠AFB ＝π3，|AF |＝4，∴|BF |＝12|AF |＝2，则x A ＝2＋p 2，∴|AF |＝x A ＋p2＝2＋p ＝4，得p ＝2，故选A. 答案：A3．解析：依题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为焦点坐标为(0，－2)，所以－p2＝－2，解得p ＝4.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y . 答案：x 2＝－8y4．解析：由题意，得x 2＝4y ，则抛物线的准线方程为y ＝－1.从抛物线上一点P 引抛物线准线的垂线，设P (x 0，y 0)，则由抛物线的定义知|PM |＝y 0＋1，所以y 0＝4，所以|x 0|＝4，所以S △MPF ＝12×|PM |×|x 0|＝12×5×4＝10.答案：10 考点二例1 解析：(1)设M (x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF |＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y M x M －p 2＝±3pp ＝±3，选项A 正确．(2)解法一作出图形如图所示，因为△FPM 为等边三角形，所以PM 垂直C 的准线于M ，易知|PM |＝4|OF |，因为|OF |＝12，所以|PM |＝2，所以△FPM 的周长为3×2＝6，故选D.解法二因为△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |，所以PM 垂直C 的准线于M ，设P ⎝⎛⎭⎫m 22，m ，则M ⎝⎛⎭⎫－12，m ，所以|PM |＝12＋m 22，又F ⎝⎛⎭⎫12，0，且|PM |＝|MF |，所以12＋m 22＝⎝⎛⎭⎫12＋122＋m 2，解得m 2＝3，所以|PM |＝2，所以△FPM 的周长为3×2＝6，故选D. 答案：(1)A (2)D 变式练 1．解析：过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q .∵∠PFO ＝π3，|PF |＝2，∴|PQ |＝3，|QF |＝1，不妨令点P 坐标为⎝⎛⎭⎫p 2－1，3，将点P 的坐标代入y 2＝2px ，得3＝2p ⎝⎛⎭⎫p2－1，解得p ＝3(负值舍去)，故抛物线C 的方程为y 2＝6x .故选A.答案：A2．解析：由题意知x 2＝12y ，则F ⎝⎛⎭⎫0，18，设P (x 0,2x 20)，则|PF |＝x 20＋⎝⎛⎭⎫2x 20－182 ＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18，所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18. 答案：18考点三例2 解析：设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.变式练3．解析：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又因为F (1,0)，所以k F A ＝43.因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。

2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第7讲抛物线学案(含解析)北师大版

第7讲抛物线基础知识整合1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的02准线.其数学表达式：03|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离). 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴04y ＝005x ＝0焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F 06⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0F 07⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，p 2F 08⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝091准线方程 10x ＝－p211x ＝p212y ＝－p213y ＝p2范围 14x ≥0，y ∈R 15x ≤0，y ∈R 16y ≥0，x ∈R 17y ≤0，x ∈R 开口方向向18右向19左向20上向21下抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)若A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p .1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( ) A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－1答案 A解析由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，故选A ．2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194B ．92C ．3D ．4答案 D解析抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n ＋1，解得n ＝4.故选D ．3．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A解析设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A ．4．已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2C ．4D ．±4答案 D解析由y ＝x 28，得x 2＝8y ，∴抛物线C 的准线方程为y ＝－2，焦点为F (0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF |＝2y 0＝y 0＋2.解得y 0＝2，∴x 0＝±4.故选D ．5．(2019·广东中山统测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10答案 B解析由题意知，抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1.∵过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2.又x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B ．6．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4答案 C解析利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝32， ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.故选C ．核心考向突破角度1 例1 (2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)答案 D解析过M 点作准线的垂线，垂足为N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．角度2 到点与准线的距离之和最小问题例2 (2020·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．答案 5解析依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度3 到定直线的距离最小问题例3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3答案 B解析由题意可知l 2：x ＝－1 是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，如图所示，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．[即时训练] 1.(2019·潍坊质检)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)答案 B解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同，即为1，则可排除A，C，D，故选B．2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )A． 3 B． 5C．2 D．5－1答案 D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.考向二抛物线的方程例4 (1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是( )A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16x答案 D解析∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M 的轨迹方程为y2＝16x.(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.答案 x 2＝4y解析因为△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线的方程为x 2＝4y .抛物线标准方程的求法求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定，也就是说，不必设为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．[即时训练] 3.(2019·衡水中学调研卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36x D ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以设该点为P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p 2＝10①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .4．(2019·运城模拟)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案 D解析设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y . 考向三抛物线的性质例5 (1)过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条答案 B解析若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，代入抛物线y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x＋14k 2＝0，因为A ，B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两条． (2)(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析如图，由题意可得，点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax ，解得a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得，2p ＝4，p ＝2，p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．[即时训练] 5.(2019·长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 A解析过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D ．因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1，故选A ．6．在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案 x ＝－52解析 OA 的中点的坐标为(2,1)，斜率k OA ＝12，OA 的垂直平分线的方程为y －1＝－2(x－2)，即y ＝－2x ＋5.又抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在x 轴上，即y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝－2x ＋5，得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∴52＝p 2，∴抛物线的准线方程为x ＝－52.考向四直线与抛物线的位置关系例6 (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．解 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4；当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.综上，圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4或x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点在x 轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时训练] 7.(2020·福建泉州第一次质量检测)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A ，B 在C 上，F 为线段AB 的中点，|AB |＝4.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点．若C 上仅存在三个点K i (i ＝1,2,3)，使得△MNK i的面积等于16，求l 的方程．解解法一：(1)由抛物线的对称性，可知AB ∥x 轴，且A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－2，p 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，p 2，所以4＝2p ·p 2，解得p ＝2，故C 的方程为x 2＝4y .(2)如图，作与l 平行且与C 相切的直线l ′，切点为K .由题意，可知△MNK 的面积等于16.设l 的方程为y ＝kx ＋1，方程x 2＝4y 可化为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，令y ′＝k ，解得x ＝2k ，将x ＝2k 代入x 2＝4y ，得y ＝k 2，故K (2k ，k 2)，所以K 到l 的距离d ＝|2k 2－k 2＋1|k 2＋1＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以|MN |＝k 2＋1x 1＋x 22－4x 1x 2＝4(k 2＋1)，故△MNK 的面积为12|MN |·d ＝2(k 2＋1)k 2＋1，从而2(k 2＋1)k 2＋1＝16，解得k ＝3或k ＝－ 3.所以l 的方程为y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋1.解法二：(1)设A (x 0，y 0)，B (x 0′，y 0′)，则x 20＝2py 0，x 0′2＝2py 0′，因为F 为AB 的中点，所以x 0＋x 0′＝0，y 0＋y 0′＝p ，故y 0＝y 0′＝p2，从而|AB |＝2|x 0|，故|x 0|＝2，所以4＝2p ·p2，解得p ＝2，故C 的方程为x 2＝4y .(2)直线l 斜率显然存在，设直线l的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1消去y ，得x 2－4kx －4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以|MN |＝k 2＋1x 1＋x 22－4x 1x 2＝4(k 2＋1)，因为点K 在C 上，设K ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14m 2，则点K 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1k 2＋1，△MNK 的面积等于16，所以关于m 的方程12×4(k 2＋1)×⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1k 2＋1＝2k 2＋1⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1＝16恰有三个不同实根，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪14m 2－km －1＝8k 2＋1恰有三个不同实根，所以m ＝2k ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪142k2－k ·2k －1＝k 2＋1＝8k 2＋1，解得k ＝3或k ＝－ 3.所以l 的方程为y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋1.1．(2019·长沙模拟)已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于________.答案 2解析依题意，得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义，知|MF |＝|MK |，由|FM ||MN |＝55，则|KN |∶|KM |＝2∶1，即k FN ＝0－2p 2－0＝－4p ，得－4p＝－2，解得p＝2.2．(2019·山东临沂三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线m 与C 交于A ，B 两点，AF ⊥BF ，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 准线的垂线，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________．答案2解析如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ ⊥l 于点Q ，BP ⊥l 于点P ，由抛物线的定义可设|AF |＝|AQ |＝a ，|BF |＝|BP |＝b ，由勾股定理可知|AB |＝|AF |2＋|BF |2＝a 2＋b 2，由梯形中位线的性质可得|MN |＝a ＋b2，则|AB ||MN |＝a 2＋b2a ＋b2≥12a ＋b 2a ＋b 2＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，即|AB ||MN |的最小值为 2.答题启示圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解．对点训练1．(2019·安徽宣城第二次调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AF |>|BF |，则|AF ||BF |＝________. 答案 3解析抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∵直线l 的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，设直线l 与抛物线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，联立方程组，消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p 6，∴|AF |＝x 1＋p 2＝2p ，|BF |＝x 2＋p 2＝2p 3，∴|AF |∶|BF |＝3∶1，∴|AF ||BF |的值为3.2．(2019·湖北八校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过F 作斜率大于0的直线与抛物线C 交于M ，N 两点(M 在x 轴上方)，且与直线l 交于点Q .若|FN ||NQ |＝34，|MF |＝16，则p 的值为________．答案 4解析过M ，N 分别作l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，过F 作MM 1的垂线，垂足为P .∵|FN ||NQ |＝34，∴|NN 1||NQ |＝34，∴|MP ||MF |＝34， ∴|MP |＝34|MF |，∴|MF |＝|MM 1|＝|MP |＋p ＝34|MF |＋p ，∴p ＝4.。

高中数学《抛物线的焦点弦性质》导学案

抛物线的特殊性质及应用11.已知抛物线 y= x2 的焦点为 F，定点 M（1，2），点 A 为抛物线上的动点，则|AF|+|AM|的最小值为（）焦半径公式及应用如图，抛物线 y2 2 px 与直线 y kx m 交于 A、B 两点，且 AB 过抛物线焦点 F（ p ,0 ）， 2M（ x0 , y0 ）为线段 AB 的中点，A． B． C．3 D．5 12.已知抛物线 C：y2=8x 焦点为 F，点 P 是 C 上一点，若△ POF 的面积为 2，则|PF|=（） A． B．3 C． D．4根据抛物线的定义：AFx1 p; 2BF x2p; 2ABx1 x2p 2 MN2 x0p 2最值问题：根据两点之间线段最短定理，可以知道：P 为抛物线上一点，（1）当 Q（ xQ , yQ ）为抛物线内任意一点，则存在 PF PQ 的最小值,当 P、Q 两点的纵坐标相等时，即PFPQ minEQxQp 2（内部连准线）（2）当 Q（ xQ , yQ ）为抛物线外任意一点，存在 d PQ 最小值，当 Q、P、F 三点共线时， d PQ FQ minxQp 22yQ 2（外部连焦点）由此类比抛物线 x2 2 py 的最值问题，把握内连准线，外找焦点。

抛物线焦长公式及性质1. AF p ； BF p ；1 cos1+ cosABp 2px12.x2ABpx12( xx3 22p)2s(inx32 p；)3. 22p SsinAO2Bp2 2 sin ；4.设 AF ,则 cos 1； AF 1 pBF 125.设 AB 交准线于点 P，则 AF cos；BF cosPAPB例 1：已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2，－1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和的最小值为解：过点 P 作准线的垂线 l 交准线于点 R，由抛物线的定义知， PQ PF PQ PR ，当 P 点为抛物线与垂线 l 的交点时， PQ PR取得最小值，最小值为点 Q 到准线的距离 ,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3例 2：已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是（） A.B. 4 C.D. 5 解：PMPAmin d p 2PA minAF P 2xAp 22y2 A1 29 2，选C。

人教版高中数学全套教案导学案231抛物线及其标准方程

2. 3.1 抛物线及其标准方程一、学习目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、学习重点抛物线的定义及标准方程三、学习难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、学习过程（一）复习旧知2cbx??y?ax在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线22x??4yy?4x 的图象（自己画出函数图像）21例如：（），（）（二）学习新课 1.抛物线的定义1观察抛物线的作图过程，探究抛物线的定义：探究抛物线的定义：l上呢？（学生思考、讨论、画图）思考：若F在 2.抛物线的标准方程.要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系l0)?p(p你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方探究2 设焦点F的距离为，到准线.程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程讨论：小组讨论建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？推导过程：20)?pxy?2(p叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是我们把方程pp??,0x??，准线方程是。

??22??在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）(三)例题??2F?0,. （）已2x?6y, ）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程1例（1知抛物线的焦点是，求它的标准方程2解： 1：变式训练1—. =，求它的标准方程(1)已知抛物线的准线方程是x42+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程y已知抛物线的标准方程是2. (2)解：例2 点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.解：变式训练2：2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A在抛物线y（3，2）的距离之和最小.解：(四)小结1、抛物线的定义；2、抛物线的四种标准方程；3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义.课后练习)五(2=ax(a≠0)的准线方程是 1.抛物线y ( )aa|a||a|x????x)=x=；(C) (A ；(D)；(B)x444412xy?（）m2.抛物线≠0）的焦点坐标是（mmmm? 0，），(A) （0）或（0，；）(B) （444111?，）；(D) （0，）00(C) （，）或（m4mm443.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(0,3)，(2)焦点到准线的距离是2.22+8y(2)；x=0.4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y=20x5.点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，求M点的轨迹方程.2.3.1 抛物线及其标准方程一、教学目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

江苏省海门市包场高级中学高考数学一轮复习抛物线11教学案

江苏省海门市包场高级中学高中数学一轮复习教学案：抛物线113、顶点抛物线和它对称轴的交点叫抛物线的顶点，即坐标原点。

二、例题评析例1：求满足下列条件的抛物线方程：（1）顶点在坐标原点，焦点为F(5，0)；（2）顶点在坐标原点，关于y 轴对称，且经过M(2, 22 )；（3）顶点在坐标原点，准线方程为x=3例2．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm 。

由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线。

为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)例3．设过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为y 1、y 2，求证：221p y y -=。

变式：（1）过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P,Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别为p 、q ,则=+qp 11 。

（2）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的一条直线与抛物线相交与21,P P 两点，以线段21P P 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系为（相交、相切、相离）。

例4．斜率为1的直线经过抛物线x y 42=的焦点，与抛物线交于A 、B 两点，求线段AB 的长。

.变式：（1）若P （x 0，y 0）是抛物线y 2=-32x 上一点，F 为抛物线的焦点，则PF= 。

（2）过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，若621=+x x ，则=AB 。

四、基础达标1、以x 轴为对称轴，顶点在原点，通径长为8的抛物线的标准方程是。

2、对称轴为x 轴，且过点（4，-2）的抛物线的标准方程为。

3、一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，求水面宽度。

4、已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = 。