2014年IYPT题目(中文翻译)

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2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷WORD版)及详细解析

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．2．已知复数2(52)z i =-(i 为虚数单位)，则z 的实部为． 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是．4．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是．6．设抽测的树木的底部周长均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm ．7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是．8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

★此卷上交考点保存★ 姓名准考证号9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为．10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是．11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是．12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，PD CP 3=， 2.=BP AP ，则AB AD ⋅的值是．13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是．14．若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是．二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分14 分)已知()2απ∈π，，5sin 5α=．（1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．20．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．数学II 附加题21．【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．【选修4-1：几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点证明：∠OCB =∠D .B ．【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．C ．【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为212222x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．D ．【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0， y >0，证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数0sin ()(0)x f x x x =>，记()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()124442n n nf f -πππ+=成立．《2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）》参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．{13}-，2．21 3．5 4．135．6π 6．24 7．答案：4 8．答案：329．答案：255510．答案：202⎛⎫- ⎪⎝⎭， 11．答案：3-解析：曲线2b y ax x =+过点P （2,5），则524-=+b a ①，又22xbax y -='，所以2744-=-b a ②，由①②解得⎩⎨⎧-=-=21b a ，所以3-=+b a 导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义等问题，归纳起来常见的命题角度有：1、求切线方程；2、求切点的坐标；3、求参数的值 12．答案：22解析：平面向量的数量积的计算问题，往往有两种形式，一是数量积的定义式；二是利用数量积的坐标运算公式，向量问题常见的解题策略有：数形结合思想；化归转化思想；特殊化思想；坐标化思想；基底法等 13．答案：()102，解析：作出函数21()22f x x x =-+，[03)x ∈，的图象，可见21)0(=f ，当x =1时，21)(=极大x f ，27)3(=f ，方程0)(=-a x f ，在]4,3[-∈x 上有10个零点，即函数)(x f y =的图象与直线y=a ，在区间]4,3[-∈x 上有10个交点，由于函数)(x f 的周期为3，因此直线y=a ，与函数21()22f x x x =-+的交点为4个，则)21,0(∈a研究函数的性质时，一般要借助函数的图象，体现了数形结合的思想；方程的解的问题可以转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题来解决，图象的应用常见的命题有：（1）确定方程的根的个数问题；（2）求参数的取值范围问题；（3）求不等式问题 14．答案：624-解析：二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 15．【解】（1）∵()5sin 25ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin 5αα=--=-()210s i n s i nc o sc o s s i n(c o s s i n)444210αααααπππ+=+=+=-；（2）∵2243sin 22sin cos cos2cos sin 55αααααα==-=-=， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666252510ααα5π5π5π+-=+=-⨯+⨯-=-．16．【解】（1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF（2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．【解】（1）∵()4133C ，，∴22161999a b += ∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b = ∴椭圆方程为2212x y +=（2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，， ∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， ∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a cbc b c b c a b --+=，化简得225c a =，∴55c a =, 故离心率为5518．【解】法1：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . 由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=-- k AB =603,04b a -=-解得a =80，b=120. 所以BC =22(17080)(0120)150-+-=.因此新桥BC 的长是150 m.（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 法2：(1)如图，延长OA , CB 交于点F .因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803.CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=.因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大.所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2ea >+ ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a a a a a ---=-=--+ 设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2e a m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<；当()11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+ 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.21.A.证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC .故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=， C ．【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB = D ．证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy.22．（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==（2）X 的所有可能取值为432，，，则 4449C 1(4)C 126P X === 3131453639C C C C 13(3)C 63P X +=== 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==∴X 的概率分布列为X 2 3 4 P111413631126故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=23．【解】（1）解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- （2）证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.(i )当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+.因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).所以12()()4442n n nf f πππ-+=(n ∈*N ).。

译事三难信达雅

国际青年物理锦标赛（IYPT）历届竞赛题（1988-2016）译事三难信达雅翻译，从来都是一件困难的事情。

比如说，International Young Physicists'Tournament(IYPT)似乎应当翻译为“国际青年物理学家锦标赛”，可是，在中国，物理学家是个很大的词儿，甚至物理学工作者这个谦虚得多的词儿，都不太适合，因为这个竞赛面对的是中学生，而physicist不过就是个“做物理的人”，甚至只是个“做物理题的人”。

所以呢，把它称为“国际青年物理锦标赛”，也许更符合中国国情。

当年把IYPT移植到国内的那些人，想必也考虑过这个问题。

IYPT 在中国的对应物是中国大学生物理学术竞赛（CUPT）和中国高中生物理创新竞赛（CYPT）：T还是同样的T，同样的Tournament，但已经不强调“锦标主义”了；P还是同样的P，但是英文里的Phyisicist 已经变为Physics了。

或许基于类似的考虑，虽然CUPT和CYPT采用的都是IYPT的问题，但是从来都没有正式的中文译本。

参加竞赛的人，当然能读懂英文试题，但是，我确实看到有些人读错了题意，还有更多的人在学术问答阶段争辩具体问题里的微言大义，我觉得这都是白白浪费了时间。

IYPT的问题不同于普通的习题。

普通的习题，你总可以在五分钟里找到思路；IYPT的问题，也许需要你几天乃至更长的时间。

另外，在我看来，IYPT的题目，只是给你个出发点而已，让你大致了解所谓的科研是怎么回事。

真的把它当成习题来做，就浪费了。

解决这些问题，也不需要从文献入手。

IYPT的作用，更主要的是吸引更多的学生对物理感兴趣，让他们了解从哪里下手解决问题。

很多低年级的大学生面临的问题是，他们其实并不一定相信自己学到的知识：答题的时候，尽可以头头是道；真正要自己分析问题的时候，就懵了。

中学生就更不用说了。

还有一个很严重的问题是：现在其实没有什么真正的问题，要么太难，要么太没有意思。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(答案)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ) 14.D将绕在磁铁上的线圈与电流表组成一闭合回路,因线圈中的磁通量没有变化,故不能观察到感应电流,选项A不符合题意;在一通电线圈旁放置一连有电流表的闭合线圈时,如果通电线圈通以恒定电流,产生不变的磁场,则在另一线圈中不会产生感应电流,选项B不符合题意;在线圈中插入条形磁铁后,再到相邻房间去观察电流表时,磁通量已不再变化,因此也不能观察到感应电流,选项C不符合题意;绕在同一铁环上的两个线圈,在给一个线圈通电或断电的瞬间,线圈产生的磁场变化,使穿过另一线圈的磁通量变化,因此,能观察到感应电流,选项D 符合题意。

15.B由左手定则可知,安培力的方向一定与磁场方向和直导线垂直,选项A错、B正确;安培力的大小F=BIL sin θ与直导线和磁场方向的夹角有关,选项C错误;将直导线从中点折成直角,假设原来直导线与磁场方向垂直,若折成直角后一段与磁场仍垂直,另一段与磁场平行,则安培力的大小变为原来的一半,若折成直角后,两段都与磁场垂直,则安培力的大小变为原来的√22,因此安培力大小不一定是原来的一半,选项D错误。

16.D由题图可知,带电粒子在铝板上方的轨迹半径为下方轨迹半径的2倍;由洛伦兹力提供向心力:qvB=mv 2R 得v=qBRm;其动能E k=12mv2=q2B2R22m,故磁感应强度B=√2mE kq2R2,B1B2=√E k1E k2·R2R1=√22,选项D正确。

17.A设橡皮筋原长为l0加速前平衡时橡皮筋伸长了x0则有kx0=mg当加速并稳定时设小球偏离竖直方向θ角,橡皮筋伸长了x 由小球在竖直方向受力平衡有kx cos θ=mg联立得kx cos θ=kx0x cos θ=x0此时小球距悬挂点的竖直高度h=(l0+x)cos θ=l0cos θ+x cos θ=l0cos θ+x0<l0+x0故小球一定升高选项A正确。

评析本题的关键为以小球为研究对象,小球在竖直方向上受力始终平衡,即mg=kx0=kx cos θ,x0=x cos θ。

CUPT题目(IYPT翻译和插图)

201届国际青年物理学家竞赛赛IYPIYPT T 20133年第26届国际青年物理学家竞参考翻译))题目((参考翻译题目1.自己创造如果一张纸被“手风琴式”折叠或者被卷成筒，那么它将更加难以弯曲。

使用一张单一的A4纸和少量胶水，如果需要的话，构建一座跨越280毫米间隙的桥梁。

介绍相关参数，用以描述该桥梁的强度，并优化其中的部分参数或全部参数。

2．弹性空间大球在水平拉伸膜上滚动的动态效果和它们之间明显的相互作用通常用于说明引力场。

进一步探究该系统。

在这样一个“引力场世界”确定和测量明显的“引力常数”是否可能？如果你站在地面上拿着乒乓球，并释放它，它会反弹。

如果乒乓球内含有液体，碰撞的性质会发生变化。

探究碰撞的性质如何取决于球内液体的含量和其他相关参数。

4．孤子沿水平轴等距离安装一链相似的摆，相邻的摆用轻绳相连接。

每一个摆可以绕轴旋转，但不能侧向移动（见图）。

探究沿着这样一条链的一种旋转的传播。

当各摆都经历360º旋转时，孤立波的速度是多少？一个轻球（如乒乓球），可以被向上的气流所支撑。

气流的方向可以倾斜，然而它仍然可以支撑球。

探究气流倾斜的影响，并优化该系统，得出在保持球处于稳定状态的情况下，气流倾斜的最大角度。

6．彩色塑料在明亮光线的照射下，一个透明的塑料物体（如一张空白的CD外壳）有时可以呈现各种不同的颜色（见图）。

研究和解释这种现象。

确定一下，当使用各种不同颜色的光源时，是否也可以看到这些颜色。

7．聆听光的声音将一个罐子内表面的一半涂一层锅灰，并在它的盖子上钻一个孔（见图）。

当连接交流电的灯泡发出的光线射到罐子的黑墙（锅灰层）时，可以听到明显的声音。

解释和探究这种现象。

8．喷射和薄膜喷射的细液体流对肥皂薄膜的作用（见图）。

喷射的液体流可以渗透通过薄膜或者与薄膜合并，产生有趣的形状，这取决于相关参数。

解释和探究这种相互作用，以及由此产生的形状。

9．碳麦克风一个麦克风的设计已经涉及碳颗粒的使用很多年了。

2014美国数学建模竞赛赛题翻译

问题A：右行左超规则在美国、中国和大多数除了英国、澳大利亚和一些前英国殖民地的国家，多车道高速公路常常有这样一种规则。

司机必须尽量在最右的车道行使，只有超车时，司机才可以向左移动一个车道来达成目的。

当司机超车完毕后必须回到原车道继续行使。

建立并分析一个数学模型，使得这个模型能够分析这个规则在交通高负荷和低负荷情况下的表现。

你可以从许多角度来思考这个问题，比如车流量和车辆安全之间的权衡，或者一个过快或过慢的车辆限速带来的影响等等。

这个规则可以使我们获得更好的交通流？如果不可以，请提出并分析一个替代方案使得交通流得到优化、安全得到保障、或者其他你认为重要的因素得到实现。

在靠左行使才是规则的国家，论证你的解决方案是否可以通过简单的变换或者通过增加一些新的要求来解决相同的问题。

最后，以上的规则的实行是建立在人们遵守它的基础上的，然而不是所有人都愿意去遵守。

那么现在我们使同一条道（可以只是一段，也可以是全段公路）上的交通车辆都在一个智能系统的严格控制下，这个变化对你之前的分析结果有多大的影响？问题B：体育画刊是一个为体育爱好者们设计的杂志。

这个杂志正在寻找上世纪女性或者男性的“历来最优秀的大学教练”。

建立一个数学模型，从男性或者女性体育教练中选择最好的大学教练（退役或者在役的都可以）。

这些体育教练可以是大学曲棍球、陆上曲棍球、足球、橄榄球、棒球、排球、篮球的教练。

你选择划分的时间会对你的分析有影响吗？也就是说，1913年的教练方式和2013年的会有什么不同吗？清楚的阐述你的评估方式。

讨论你的模型如何通用于两性教练和所有可能的运动项目上。

用你的模型为三项体育项目分别找到五个最佳教练。

再为体育画刊提供一篇1－2页的不涉及技术性问题解释的通俗易懂的文章来解释你们的结果，你们必须保证体育爱好者们能够理解。

noip2014普及组复赛题解

1.珠心算测验注意看清题意：其中有多少个数，恰好等于集合中另外两个(不同的)数之和。

这样的题意加上100的规模，建议暴力3个for:#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;int n;int a[105];int main(){freopen("count.in","r",stdin);freopen("count.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for(int i=1; i<=n; i++){scanf("%d",&a[i]);}sort(a+1,a+n+1);int res=0;for(int i=1; i<=n; i++){int ok=0;for(int j=1; j<=n && !ok; j++) if(j!=i){for(int k=1; k<=n && !ok; k++) if(a[k]!=a[j]){if(a[j]+a[k]==a[i]) ok=1;}}res+=ok;}printf("%d\n",res);return 0;}2.比例简化L很小，还是枚举，然后比较的话建议用乘法比较，避免精度问题：#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>using namespace std;int A,B,L;int gcd(int a,int b){if(b==0) return a;return gcd(b,a%b);}int main(){freopen("ratio.in","r",stdin);freopen("ratio.out","w",stdout);scanf("%d%d%d",&A,&B,&L);int ba=1000000,bb=1;for(int i=1; i<=L; i++){for(int j=1; j<=L; j++){if(gcd(i,j)==1 && i*B>=j*A){if(ba*j>=bb*i){ba=i, bb=j;}}}}printf("%d %d\n",ba,bb);return 0;}3.螺旋矩阵没一圈的数量有规律的，最外面一圈(n-1)*4，然后每往里n-2，直到后要么只有一个点，要么4个点。

NOIP2014 题解

NOIP2014 题解D1T1 : 生活大爆炸版石头剪刀布(rps)100% : 模拟。

另一种方法，可以先求出na,nb 的最小公倍数l ，在[1,l]的区间里模拟，对于剩下的部分，显然是循环了若干次[1,l]内的胜负情况，并剩余了一小部分，于是只要把两人的分数各自乘n div l,再对剩下的部分模拟即可。

复杂度 : O(na*nb)D1T2 : 联合权值(linp)30% : 穷举三个点，判断是否相邻，再统计权值并更新答案。

复杂度 : O(n^3)60% : 穷举一个点，并以该点为起点搜索，查找距离为2的结点，统计后更新答案。

复杂度 : O(n^2)100% : 记][i fa 为结点i 的父亲, ][i pow 是i 的权值。

题目给出了n 个点，n-1条边，那么这是一棵树。

那么考虑树形dp 。

很显然，距离为2的点在一棵树中有且仅有两种不同的位置，第一种是结点i 与结点]][[i fa fa ，第二种则是结点i 与结点j ，其中][][j fa i fa =。

记∑=][][j pow i sum，]}[{]max[j pow Max i =，其中][j fa i =。

那么有∑∑-+=])[]][[(*][]][[*][*2_j pow j fa sum j pow i fa pow i sum sum ans ，]}[*][]],[[*]{max[max _i y i x i fa pow i Max ans =，其中][],[i y i x 是i 的子节点中权值最大的两个。

复杂度 : O(n)D1T3 : 飞扬的小鸟(bird)30% : 搜索。

70% : 考虑动态规划，记],[j i f 为达到坐标),(j i 至少要点击几次屏幕。

则有]])1[,1[,]]1[*,1[(],[-+-+---=i y j i f k i x k j i f Min j i f ，注意考虑边界情况。

复杂度 : O(nm^2)100% : 上述动态规划超时的原因在于转移复杂度太高，如果能将转移复杂度降为O(1)，那么就可以轻松将此题AC ，仔细想想发现对于所有可以用于更新],[j i f 的状态的高度都与j 同余(mod x[i-1])，那么在实际实现上述动态规划时，我们可以先穷举同余系，并以高度从低到高进行动态规划，在同一同余系中，记一个变量temp 为已经访问的状态中可以用于更新的最小值，每穷举到一个新的状态，把temp 更新为]),1[,1(j i f temp Min -+，并且只用temp+1更新其他状态。

iypt2014

Problems for the 27th IYPT 2014Released by the IOC on August 1st, 2013When throwing pebbles into water, watch the ripples;Otherwise throwing the pebbles becomes a futile pastime.Kozma Prutkov1. Invent yourselfIt is known that some electrical circuits exhibit chaotic behaviour. Build a simple circuit with such a property, and investigate its behaviour.2. HologramIt is argued that a hologram can be hand made by scratching a piece of plastic. Produce such a ‘hologram’ with the letters ‘IYPT’ and investigate how it works.3. Twisted ropeHold a rope and twist one end of it. At some point the rope will form a helix or a loop. Investigate and explain the phenomenon.4. Ball soundWhen two hard steel balls, or similar, are brought gently into contact with each other, an unusual ‘chirping’ sound may be produced. Investigate and explain the nature of the sound. 5. Loaded hoopFasten a small weight to the inside of a hoop and set the hoop in motion by giving it an initial push. Investigate the hoop’s motion.6. Bubble crystalA large number of very small, similar air bubbles float on the surface of a soapy liquid. The bubbles will arrange themselves into a regular pattern similar to a crystalline lattice. Propose a method to obtain bubbles of a consistent size, and investigate the formation of such a bubble crystal.7. Pot-in-pot refrigeratorThe ‘pot-in-pot refrigerator’ is a device that keeps food cool using the principle of evaporative cooling. It consists of a pot placed inside a bigger pot with the space between them filled with a wet porous material, e.g. sand. How might one achieve the best cooling effect?8. Freezing dropletsPlace a water droplet on a plate cooled down to around -20 °C. As it freezes, the shape of the droplet may become cone-like with a sharp top. Investigate this effect.9. Water bombsSome students are ineffective in water balloon fights as the balloons they throw rebound without bursting. Investigate the motion, deformation, and rebound of a balloon filled with fluid. Under what circumstances does the balloon burst? 10. Coefficient of diffusionUsing a microscope, observe the Brownian motion of a particle of the order of micrometre in size. Investigate how the coefficient of diffusion depends on the size and shape of the particle.11. Candle Power PlantDesign a device that converts the heat of a candle flame into electrical energy. Investigate how different aspects of the device affect its efficiency.12. Cold balloonAs air escapes from an inflated rubber balloon, its surface becomes cooler to the touch. Investigate the parameters that affect this cooling. What is the temperature of various parts of the balloon as a function of relevant parameters?13. Rotating saddleA ball is placed in the middle of a rotating saddle. Investigate its dynamics and explain the conditions under which the ball does not fall off the saddle.14. Rubber motorA twisted rubber band stores energy and can be used to power a model aircraft for example. Investigate the properties of such an energy source and how its power output changes with time.15. Oil starsIf a thick layer of a viscous fluid (e.g. silicone oil) is vibrated vertically in a circular reservoir, symmetrical standing waves can be observed. How many lines of symmetry are there in such wave patterns? Investigate and explain the shape and behaviour of the patterns.16. Magnetic brakesWhen a strong magnet falls down a non-ferromagnetic metal tube, it will experience a retarding force. Investigate the phenomenon.17. Chocolate hysteresisChocolate appears to be a solid material at room temperature but melts when heated to around body temperature. When cooled down again, it often stays melted even at room temperature. Investigate the temperature range over which chocolate can exist in both melted and ‘solid’ states and its dependence on relevant parameters.Authors:John Balcombe, Samuel Byland, Łukasz Gładczuk, Wee Wei Hsiung, Valery Koleboshin, Aliaksandr Mamoika, Ilya Martchenko, Othmar Marti, Martin Plesch, Rainer Reichle, Andrei Schetnikov, Erwin Handoko Tanin, Kathryn ZealandProblem selection committee:John Balcombe, Samuel Byland, Ilya MartchenkoEpigraph selected by Evgeny YunosovVerificationNote Date/Time-UTC。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷I)-译者宋媛媛 -审译张琼

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国卷I）英语第二部分阅读理解第一节A剑桥科学节好奇心挑战赛敢于接受好奇心挑战！剑桥科学节(CSF)很高兴通知您第六届年度好奇心挑战大赛的召开。

这次大赛邀请甚至激励那些年龄在5至14岁的在校学生创作艺术品或文章，以此展示他们的好奇心以及如何在好奇心的激发下探索世界。

这次大赛激励学生们通过作画、写文章、拍照、或写诗来表达自己所好奇的事物。

要想参加这次挑战大赛，所有的艺术作品或文章都需要在2月8日星期五之前寄给剑桥艺术节，地址是剑桥区，麦斯大街265号，麻省理工博物馆，邮编02139。

参与好奇心挑战大賽并被选为获胜者的学生将在4月21日剑桥艺术节的一个特殊仪式上接受表彰。

特邀发言人也将为学生们颁发奖品。

获奖作品将出版成书。

同时也将展出学生们的参赛作品并给学生们发放奖品。

参与比赛的学生家人也可以参加庆典活动，并且庆典活动提供早午餐。

3月10日至3月15日期间，将通知每位获奖者有关闭幕式和好奇心挑战大赛庆典活动的具体流程和细节。

活动指南以及其他相关信息可登陆http:// . 进行查询。

B旅鸽曾经在美国大部分地区的上空飞翔过，其数量多得令人难以置信。

18世纪到19世纪的文字记载中曾经描述过成群旅鸽飞行时遮天蔽日长达好几个小时的场景。

据计算，旅鸽数量最多时达30 多亿，占美国鸟类数量总和的24%至40%，甚至可能是当时全世界数量最多的鸟类。

即使是在1870年，旅鸽数量已然减少时，也有人在辛辛那提附近看到有1英里宽、320英里长（大约515千米）覆盖面积的旅鸽群。

不幸的是，可能正是旅鸽巨大的数量导致了它们种群的灭亡。

在旅鸽数量极为庞大的地区，人们认为旅鸽很多，可以源源不断地供应，因此成千上万的旅鸽被捕杀。

商业猎杀者用谷物把它们吸引到小的开阔地，一旦等到旅鸽走过去进食，便向它们洒下大网，这样一次可以捕捉到几百只旅鸽。

这些旅鸽被船运到大城市，接着又被卖到餐厅。

在19世纪的最后几十年，由于美国对木材的需要，人们伐掉了旅鸽曾经筑巢的阔叶林，成群的旅鸽被驱散并被迫飞往更远的北部，那里的低温和春季风暴导致它们数量下降。

2014高考全国卷英语作文及参考翻译.doc

2014·新课标全国卷Ⅰ假定你是李华，计划暑假期间去英国学习英语，为期六周。

下面的广告引起了你的注意，请给该校写封信，询问有关情况(箭头所指内容)。

注意：1.词数100左右；2．可以适当增加细节，以使行文连贯。

参考词汇：住宿accommodation【参考范文】Dear Sir/Madam，I am a student in China and I plan to go to Britain to attend a summer school during the vacation.I've seen your ad，and I'd like to know something more about your six-week English course.First，when will the course start and how many class hours are there per week？Besides，I wish there would not be too many students in a class.I'd also like to know how much I have to pay for the course and whether accommodation is included.Would there be host family or university dormitory?I am looking forward to your early reply.Yours faithfully，Li Hua亲爱的先生/女士，我是一名在中国的学生，我计划在假期期间去英国上暑期学校。

我看过你的广告，我想了解一下你为期六周的英语学习情况。

首先，课程什么时候开始，每周有多少课时？此外，我希望一个班的学生不要太多，我还想知道我要付多少钱是否包括住宿，是否有寄宿家庭或大学宿舍？希望早日得到你的答复。

IYPT2016题目及中文翻译

IYPT2016题目及中文翻译2016年国际青年物理学家锦标赛（IYPT）题目1.真实的随机数真随机数是一种稀缺而珍贵的资源。

设计并制造、测试一个产生真随机数的装置。

研究在干扰下，多长的随机数产生是安全的。

2.滞后摆摆是由摆和重物组成的，当摆的支点开始绕水平圆周运动，摆开始做一个半径更小的圆周运动，研究在特定情况下的摆的运动和稳定时的轨迹。

3.声透镜菲涅耳透镜是一种具有同心螺纹的透镜，声波也有类似于此的原理，设计并制造声学透镜，研究诸如放大率等相关参数。

4.超级蹦蹦球将一个弹性很好的球向两块平板之间扔出，这个球开始弹来弹去，在某些情况甚至能够回到你的手中，研究球的运动轨迹以及影响运动的参数，包括板的方向。

5.疏水性水滴之谜将一个装有肥皂水的盘子放到扬声器或者震动台上。

当震动的时候，可能会出现一些小水滴长时间的保持在盘子上，解释并研究这一现象。

6.电致蜂巢将一个金属针垂直的放到金属板上，将一些油滴到金属板上，通直流高压时会观察到在液体表面会产生类似于细胞的结构，解释并研究这一现象。

7.沸泉将滴定管中装一部分水，用拇指盖住其上端并且盗跖滴定管，可以观察到有喷泉产生。

研究影响喷泉高度的参量，并且研究在何时喷泉能够达到最大高度。

8.磁力列车用纽扣磁铁把柱状的电池两端相连，将其被放到一个铜线圈中，当其与铜线圈接触时，“磁力列车”开始运动。

解释这个现象并且研究相关参量如何影响火车的速度和功率。

9.水波用一个竖直振动的水平圆筒产生水波，当改变激励振幅或者频率时，水波会表现出远离或者靠近圆筒的样子，研究一下这个现象。

10.光之环将液体喷到一个平面上，将激光照到平面与液体接触处，可以看到环绕在旁边的光环，研究这个光环，并确定其与什么系统参量有关。

11.在disc（光盘）上翻滚！如果将一个轻的滚动的物体（例如环，圆盘，球）放到水平放置的旋转的光盘上，物体可以开始运动而不离开光盘。

解释不同参量是如何影响运动的。

12.范德堡测量法只要一个样品无洞并有边界，那么这个材料的电阻率就可以使用范德堡方法被测量出，与其形状无关。

2010年到2023年iypt题目

2010年到2023年iypt题目在近十四年的时间里，国际青年物理学家锦标赛（IYPT）涉及了许多挑战性的题目，这些题目不仅考验着参赛选手们的物理知识，更是激发了他们的创造力和团队合作精神。

本文将对2010年到2023年iypt 题目进行全面评估，并据此撰写有价值的文章，以便读者更深入地理解这些题目所涉及的物理理论和实践。

2010年：“非牛顿流体”2010年iypt的题目围绕着“非牛顿流体”，这是一个充满挑战性和启发性的主题。

非牛顿流体是指受力作用下流动性质发生改变的流体，它的粘度是随着剪切速率的变化而变化的。

在此题目中，讨论了非牛顿流体的特性、应用以及其在日常生活中的实际案例。

我个人对这一主题的理解是，非牛顿流体的研究不仅有助于我们更好地理解流体力学，还能为化工、生物医学等领域的科学研究和工程技术提供重要的理论基础和实际应用价值。

2011年：“尘埃环”2011年iypt的题目是“尘埃环”，这一主题涉及到星际空间中的尘埃环现象及其形成机制。

尘埃环是指恒星周围环绕着大量尘埃颗粒的现象，它不仅对于星际物质的组成和演化具有重要意义，还能够帮助我们更好地理解宇宙的形成和演化过程。

在此题目中，我认为尘埃环的研究不仅需要对天体物理学和宇宙学理论有深入的把握，更需要借助现代天文观测技术和实验手段，以获取更多的观测数据和信息，以便揭示尘埃环的真实面貌和本质特征。

2012年：“磁干涉仪”2012年iypt的题目围绕着“磁干涉仪”，这一主题涉及到光学干涉的磁场版本。

磁干涉仪是一种用于磁场测量的仪器，它利用了磁场对光线传播路径的影响，通过测量干涉条纹的移动来确定磁场的强度和方向。

在此题目中，我个人认为磁干涉仪的研究不仅有助于我们更好地理解光学干涉原理，还能为磁场测量技术和仪器的发展提供理论和实践基础。

2013年：“音频相控阵”2013年iypt的题目是“音频相控阵”，这一主题涉及了声音波的操控和调制技术。

音频相控阵是一种利用声波的干涉和叠加效应来实现声场调制和定向传播的技术，它不仅在音响技术和通信领域具有重要应用价值，还能为生物医学、声纳和声学研究提供新的思路和方法。

2014年美国数学建模比赛试题、翻译和分析(终稿)

ROBLEM A: The Keep-Right-Except-To-Pass Rule问题A：除非超车否则靠右行驶的交通规则In countries where driving automobiles on the right is the rule (that is, USA, China and most other countries except for Great Britain, Australia, and some former British colonies), multi-lane freeways often employ a rule that requires drivers to drive in the right-most lane unless they are passing another vehicle, in which case they move one lane to the left, pass, and return to their former travel lane.在一些汽车靠右行驶的国家（比如美国，中国等等），多车道的高速公路常常遵循以下原则：司机必须在最右侧驾驶，除非他们正在超车，超车时必须先移到左侧车道在超车后再返回。

Build and analyze a mathematical model to analyze the performance of this rule in light and heavy traffic. You may wish to examine tradeoffs between traffic flow and safety, the role of under- or over-posted speed limits (that is, speed limits that are too low or too high), and/or other factors that may not be explicitly called out in this problem statement. Is this rule effective in promoting better traffic flow? If not, suggest and analyze alternatives (to include possibly no rule of this kind at all) that might promote greater traffic flow, safety, and/or other factors that you deem important.建立数学模型来分析这条规则在低负荷和高负荷状态下的交通路况的表现。

IYPT2014题目翻译

8.freezing droplets冰冻液滴
把一滴水放置在盘子上，冷却到约-20℃。它结冰后，液滴的形状会变成带有一个尖顶的圆锥形（cone-like with a sharp top）。研究这个作用效果。
9.water bombs水弹
一些学生的水气球战斗失效了，他们扔出的气球没有爆炸而是反弹回来。研究这个运动，形变，和充满流体（fluid）的气球的反弹。在什么情况下气球会破？
13.rotating saddle旋转的鞍
一个球被放在旋转的鞍上。研究它的动力学，并解释球不会从鞍上落下来的情况。
14.rubber motor橡胶电动机
一个扭曲的橡胶带储存着能量，例如可以用来驱动一个模型飞机。研究这样一个能量来源的特性，以及能量输出是如何随着时间变化的。
15.oil stars油星星
5.loaded hoop负重的环
在环的内部加一个小的重量(fasten a small weight)（呼啦圈的构造），给它一个初始的推动（push）使它运动起来。研究这个环的运动。
6.bubble crystal气泡晶体
大量非常小的相似的气泡浮在肥皂水（a soapy liquid）的表面。泡泡自己会排列成一个类似晶体格子（a crystalline lattice）的整齐图案。提出一个方法来获得大小一致的泡泡（consistent size),并研究这样一个气泡晶体的构造（formation）
10.coefficient of diffusion扩散系数
用显微镜观察一个微米极颗粒的布朗运动的规律（the Brownian motion of a particle of the order of micrometre in size）。研究扩散系数是怎样决定于微粒的大小和形状。

2014协作体A水平考试试题及其解答

2014协作体A 水平考试试题1. 对任意实数,a b ，定义运算“⊕”为：[2]a ba b ?+．在直角坐标系中，设点集{(,)|03,02,)2)2}A x y x yx y y x =??=，求A 所对应的平面区域的面积．2.如图，在ABC ∆中，AB AC >，H 为ABC ∆的垂心，M 为边BC 的中点，点S 在边BC 上且满足BHM CHS ∠=∠，点A 在直线HS 上的射影为P .证明：MPS ∆的外接圆与ABC ∆的外接圆相切.3.整数,,,a b c d 满足1ad bc -=.求2222a b c d ab cd ac bd bc +++++---的最小值,并求出一切达到最小值的四元数组(),,,a b c d .4.设整数2n ≥,{}0,1,,1G n =-，,A B G ⊆，对x G ∈，记()AB f x 为满足(mod )a b x n -≡，a A ∈，b B ∈的数组(,)a b 的个数，类似定义()AA f x ，()BB f x .证明：2()()()AB AA BB x G x Gf x f x f x ∈∈=⋅∑∑.解答1. 对任意实数,a b ，定义运算“ ”为：[2]a ba b ?+．在直角坐标系中，设点集{(,)|03,02,)2)2}A x y x yx y y x =??=，求A 所对应的平面区域的面积．解：根据运算“Åx 为整数，进而)2)2]x y x y =)[2]x y =][2]x y =+2[]2[]{}][2{}]x y x y =+++， ①其中{},{}x y 表示,x y 的小数部分．同理可知)22[]2[]{}][2{}]y x y x y x =+++． ②比较①、②可知，)2)2x y y x =当且仅当{}][2{}]{}][2{}]x y y x +=+．由于[2{}],[2{}]{0,1}x y Î，而{}]x 与{}]y 均是偶数，故上式成立的充分必要条件是{}]{}]x y =，且[2{}][2{}]x y =． ③若{},{}[0,3x y ?，则[2{}][2{}]0x y ==，{}]{}]2x y ==．若1{},{}[3)2x y ?，则[2{}][2{}]0x y ==，{}]{}]3x y ==．若1{},{}[,1)2x y Î，则[2{}][2{}]1x y ==，{}]{}]3x y ==．当{},{}x y 取自[0,3-、1[3)2-、1[,1)2中不同的区间时，③不成立．对{0,1,2},{0,1}m n 挝，记(,){(,)|(,),[],[]}A m n x y x y A x m y n =?=，则根据上述讨论知，(,)A m n 所对应的平面区域面积2221163(,)((30)(31222S m n 骣骣鼢珑=--+--+-=-鼢珑鼢珑桫桫因此点集A所对应的平面区域面积为210063(,)61892m n S m n ==骣ç=?=-çç桫邋 2.如图，在ABC ∆中，AB AC >，H 为ABC ∆的垂心，M 为边BC 的中点，点S 在边BC 上且满足BHM CHS ∠=∠，点A 在直线HS 上的射影为P .证明：MPS ∆的外接圆与ABC ∆的外接圆相切.证明：联接AH 并延长交ABC ∆的外接圆于点D ，作//DE BC 与ABC ∆的外接圆交于点E ，易知,D H 关于BC 对称，故HC B BC D C BE ∠=∠=∠,因此//CH BE ，由此推出EB AB ⊥，故AE 为ABC ∆外接圆的直径.又由CH CD EB ==，结合//CH BE 知四边形CHBE 为平行四边形，所以EH 过点M .设,B C ''为,B C 在,AC BC 上的射影，延长EH 交ABC ∆的外接圆于点Q ，由90AQH AQE APH ∠=∠==∠得，,,,,,A Q B H C P ''共圆，以AH 为直径. 由BHM CHS ∠=∠有B HQ C HP ''∠=∠，所以QB PC ''=（相等的圆周角所对弦长相等），故有//PQ B C ''.由9090EAB B C A AEB ACB ''∠+∠=-∠+∠=得，A E B C ''⊥，所以A E P Q⊥，结合AQ QE ⊥有AQP AEQ ∠=∠，由此推出 SDH SHD AHP AQP AEQ ADQ QDH ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠，所以点,,Q S D 共线，由QPS QPH QAH QAD QED QMS ∠=∠=∠=∠=∠=∠得，,,,P Q S M 四点共圆ω.过点Q 作ABC ∆外接圆的切线，由TQS TQD QED QMS ∠=∠=∠=∠知，TQ 也是圆ω的切线，故MPS ∆的外接圆与ABC ∆的外接圆相切，证毕.3.整数,,,a b c d 满足1ad bc -=.求2222a b c d ab cd ac bd bc +++++---的最小值,并求出一切达到最小值的四元数组(),,,a b c d .解:设原式(),,,f a b c d =,易知:()()()()()22221,,,2f a b c d a b c d a c b d bc ⎡⎤=++++-+--⎣⎦. (1)0bc >,则10ad bc =+>,故b c 、同号, a d 、同号. 由于()(),,,,,,f a b c d f a b c d =----,故只须考虑如下两种情况:(i) ,,,0a b c d >； (ii),0a d >;,0b c <.对于(i),由1a b b +≥+,1c d c +≥+知:()()()()2221,,,111222b c f a b c d b c bc b c -⎡⎤≥+++-=+++>⎣⎦. 对于(ii),由1a c c -=≥+,1b d b -≥+知:()()()()2221,,,111222b c f a b c d c b bc b c -⎡⎤≥+++-=+++>⎣⎦. (2)0bc =.则1ad =,所以1a d ==±.若0b =,则()()()()()22222211,,,111222f a b c d a c d a c d c c ⎡⎤⎡⎤=+++-+=+-++≥⎣⎦⎣⎦, 等号成立当且仅当0c =.同理，若0c =,则(),,,2f a b c d ≥,等号成立当且仅当0b =.(3)0bc <.此时,若3bc ≤-,则(),,,3f a b c d ≥.若2bc =-,则(),,,2f a b c d ≥,取等号时有a b c d =-==-.但此时22b =,与b 为整数矛盾!故等号取不到.若1bc =-,则0ad =,(),,,1f a b c d ≥,取等号时有a b c d =-==-.但0ad =,1bc =-,这不可能!故(),,,2f a b c d ≥,取等号时,()()()()22222a b a c c d b d ++-+++-=. 由1bc =-知:221b c ==.由0ad =知,,a d 中必有0.若0a =,则b c d =-=,故()(),,,0,1,1,1a b c d =-或()0,1,1,1--.同理，若0d =,则a b c =-=,()(),,,1,1,1,0a b c d =-或()1,1,1,0--. 综上所述,(),,,f a b c d 最小值为2,取等号当且仅当(),,,a b c d 为()()()()()()0,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1--------之一.4.设整数2n ≥,{}0,1,,1G n =-，,A B G ⊆，对x G ∈，记()AB f x 为满足(mod )a b x n -≡，a A ∈，b B ∈的数组(,)a b 的个数，类似定义()AA f x ，()BB f x .证明：2()()()AB AA BB x G x Gf x f x f x ∈∈=⋅∑∑.证明：对x G ∈，记{(,)|(mod ),,}x A s t s t x n s t A =-≡∈，{(,)|(mod ),,}x B s t s t x n s t B =-≡∈，{(,)|(mod ),,}x C s t s t x n s A t B =-≡∈∈，则由(),(),()AA BB AB f x f x f x 的定义知，(),(),()AA x BB x AB x f x A f x B f x C ===．又记{(,,,)|(mod ),,,,}x P s t u v s t u v x n s t A u v B =-≡-≡∈∈， {(,,,)|(mod ),,,,}x Q s t u v s u t v x n s t A u v B =-≡-≡∈∈，则()()x x x AA BB P A B f x f x =⋅=⋅，2()x x x AB Q C C f x =⋅=．考虑{(,,,)|(mod ),,,,}S s t u v s t u v n s t A u v B =-≡-∈∈的元素个数S ．一方面，由于x x G S P ∈=，且其中各个x P 两两不交，故()()x AA BB x G x G S P f x f x ∈∈==⋅∑∑．①另一方面，注意到{(,,,)|(mod ),,,,}x x G S s t u v s u t v n s t A u v B Q ∈=-≡-∈∈=，而其中各个x Q 亦两两不交，因此2()x AB x G x G S Q f x ∈∈==∑∑．② 由①、②得，2()()()AB AA BB x G x G f x S f x f x ∈∈==⋅∑∑．。