高二数学单元练习题
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考试高手
11．如图所示，在杨辉三角中，
斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，
…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A．144
B．146
Leabharlann Baidu
C．164
D．461
分析 观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展
开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．
A．第2n＋1项
B．第2n＋2项
C．第2n项
D．第2n＋1项或第2n＋2项
解析 取n＝1验证知， T3＝C，T4＝C(－1)3<0. 答案 A 3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的所有二项式的各项系数和为
( )
A．2n＋1
B．2n＋1＋1
C．2n＋1－1
D．2n＋1－2
解析 由题意知，各项系数的和相当于x＝1时的值，即2＋22＋…
答案 5 10 9．(x－y)4的展开式中x3y3的系数为________． 解析 由Tr＋1＝C(x)4－r(－y)r＝(－1)rCx4－·y2＋r.令4－＝3，得r ＝2. 这时2＋r＝3.故x3y3的系数为(－1)2C＝6. 答案 6 10．在( 1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x的系数为________． (用数字作答) 解析 对于(1＋x)3，展开式中x的系数为C＝3；对于(1＋)3，展开 式的通项为Tr＋1＝C()r＝Cx，由＝1得，r＝2，故展开式中x的系数为C ＝3；对于(1＋)3，展开式中x的系数为1.故所求x的系数为3＋3＋1＝7. 答案 7
＋2n＝＝2n＋1－2.
答案 D 4．在(a＋b)n的展开式中与第k项二项式系数相同的是( )
A．第n－k项
B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项
D．第n－k＋2项
解析 由通项知，Tk＝Can－k＋1bk－1，
而Tn－k＋2＝Cak－1bn－k＋1，
∵C＝C，∴应选D. 答案 D 5．如果是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为 ________．
1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 … … … … … …
解析 由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以an＝2n－1. 答案 2n－1 6．二项式(x－)6展开式的中间项为________． 解析 中间为第4项． T4＝Cx3(－)3＝－8C＝－160. 答案 －160
能力提升
7．(x2－2x＋1)4的展开式中x7的系数是________． 解析 (x2－2x＋1)4＝[(x－1)2]4 ＝(x－1)8.由Tr＋1＝Cx8－r·(－1)r，当r＝1时，x7的系数为－C＝－ 8. 答案 －8 8．若(x2＋)n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开 式中的常数项为________．(用数字作答) 解析 依题意得2n＝32，∴n＝5. ∵Tr＋1＝C(x2)5－r·()r＝Cx10－5r. 令10－5r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C＝10.
解析 由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项
是C，…，第15项是C，第16项是C.
∴S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C ＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C) ＝C＋C－1＝164. 答案 C
梯度训练
基础强化
1．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和是1024
B．展开式中的第6项的二项式系数最大
C．展开式中的第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解析 根据二项式系数的性质知，A、B、D正确．
答案 C 2．二项式(1－x)4n＋1的展开式中系数最大的项是( )
11．如图所示，在杨辉三角中，
斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，
…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A．144
B．146
Leabharlann Baidu
C．164
D．461
分析 观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展
开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．
A．第2n＋1项
B．第2n＋2项
C．第2n项
D．第2n＋1项或第2n＋2项
解析 取n＝1验证知， T3＝C，T4＝C(－1)3<0. 答案 A 3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的所有二项式的各项系数和为
( )
A．2n＋1
B．2n＋1＋1
C．2n＋1－1
D．2n＋1－2
解析 由题意知，各项系数的和相当于x＝1时的值，即2＋22＋…
答案 5 10 9．(x－y)4的展开式中x3y3的系数为________． 解析 由Tr＋1＝C(x)4－r(－y)r＝(－1)rCx4－·y2＋r.令4－＝3，得r ＝2. 这时2＋r＝3.故x3y3的系数为(－1)2C＝6. 答案 6 10．在( 1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x的系数为________． (用数字作答) 解析 对于(1＋x)3，展开式中x的系数为C＝3；对于(1＋)3，展开 式的通项为Tr＋1＝C()r＝Cx，由＝1得，r＝2，故展开式中x的系数为C ＝3；对于(1＋)3，展开式中x的系数为1.故所求x的系数为3＋3＋1＝7. 答案 7
＋2n＝＝2n＋1－2.
答案 D 4．在(a＋b)n的展开式中与第k项二项式系数相同的是( )
A．第n－k项
B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项
D．第n－k＋2项
解析 由通项知，Tk＝Can－k＋1bk－1，
而Tn－k＋2＝Cak－1bn－k＋1，
∵C＝C，∴应选D. 答案 D 5．如果是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为 ________．
1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 … … … … … …
解析 由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以an＝2n－1. 答案 2n－1 6．二项式(x－)6展开式的中间项为________． 解析 中间为第4项． T4＝Cx3(－)3＝－8C＝－160. 答案 －160
能力提升
7．(x2－2x＋1)4的展开式中x7的系数是________． 解析 (x2－2x＋1)4＝[(x－1)2]4 ＝(x－1)8.由Tr＋1＝Cx8－r·(－1)r，当r＝1时，x7的系数为－C＝－ 8. 答案 －8 8．若(x2＋)n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开 式中的常数项为________．(用数字作答) 解析 依题意得2n＝32，∴n＝5. ∵Tr＋1＝C(x2)5－r·()r＝Cx10－5r. 令10－5r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C＝10.
解析 由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项
是C，…，第15项是C，第16项是C.
∴S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C ＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C) ＝C＋C－1＝164. 答案 C
梯度训练
基础强化
1．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和是1024
B．展开式中的第6项的二项式系数最大
C．展开式中的第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解析 根据二项式系数的性质知，A、B、D正确．
答案 C 2．二项式(1－x)4n＋1的展开式中系数最大的项是( )