苏教版数学高二 选修2-1测评3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

学业分层测评

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[学业达标]

一、填空题

1．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.

【解析】 由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3

y ，解得x ＝12，y ＝9. 【答案】 12 9

2．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.

【解析】 ∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0，∴m ＝－1

2. 【答案】 －1

2

3．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．

【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x －2－8＝0，所以x ＝－10.

【答案】 －10

4．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM →

·n ＝0的点M 的轨迹是________．

【解析】 AM →·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念． 【答案】 过点A 且与向量n 垂直的平面

5．已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是________．

【解析】 因为|a |＝6，所以4＋16＋x 2＝36，即x ＝±4，当x ＝4时，a ＝(2,4,4)，由a·b ＝0，得4＋4y ＋8＝0，解得y ＝－3，此时x ＋y ＝4－3＝1；当x ＝－4时，

a ＝(2,4，－4)，由a·

b ＝0，得4＋4y －8＝0，解得y ＝1，此时x ＋y ＝－4＋1＝－3.

综上，得x ＋y ＝－3或x ＋y ＝1. 【答案】 －3或1

6．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________. 【导学号：09390081】

【解析】 设单位法向量n 0＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1,1,0)，AC →

＝(－1,0,1)．

由n 0·AB →＝0，且n 0·AC →

＝0得⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋y 2＋z 2＝1，

y －x ＝0，

z －x ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝33，

y ＝33，

z ＝33

，或

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－3

3，

y ＝－33，z ＝－33

.

【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33

，33，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫

－33，－33，－33

7．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．

【解析】 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →

＝(2，－4，－3)． 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →

＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2y ，z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.

∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 【答案】 (2,1,0)

8．已知点A ，B ，C 的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →

，则点P 的坐标为________．

【解析】 ∵A (0,1,0)，B (－1,0,1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )， ∴AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，PA →

＝(－x,1，－z )． ∵PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，

∴PA →·AB →＝(－x,1，－z )·(－1，－1,1)＝0， PA →·AC →＝(－x,1，－z )·(2,0,1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

x －1－z ＝0，－2x －z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝13，z ＝－23，

∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1

3，0，－23.

【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－23 二、解答题

9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，证明：DB 1→

是平面A 1BC 1的法向量． 【证明】 建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为1，

则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，于是DB 1→

＝(1,1,1)，BA 1→＝(0，－1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)，由于DB 1→·BA 1→＝－1＋1＝0，DB 1→·BC 1→＝－1＋1＝0.

∴DB 1→⊥BA 1→，DB 1→⊥BC 1→，∵BA 1∩BC 1＝B ，∴DB 1⊥平面A 1BC 1，即DB 1→

是平面A 1BC 1的法向量．

10．已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，建立空间直角坐标系如图3-2-5.AB ＝3，BC ＝4，AA 1 ＝2，

图3-2-5

(1)求平面B 1CD 1的一个法向量；

(2)设M (x ，y ，z )是平面B 1CD 1内的任意一点，求x ，y ，z 满足的关系式． 【解】 (1)在题图所示的空间直角坐标系A -xyz 中各点坐标为B 1(3,0,2)，C (3,4,0)，D 1(0,4,2)，

由此得B 1C →＝(0,4，－2)，CD 1→

＝(－3,0,2)， 设平面B 1CD 1的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )， 则a ⊥B 1C →，a ⊥CD 1→，从而a ·B 1C →＝0，a ·CD 1→

＝0， 所以0·x ＋4·y －2·z ＝0，－3·x ＋0·y ＋2·z ＝0， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧

2y －z ＝0，3x －2z ＝0，

得⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝z 2，x ＝2z 3.