苏教版数学高二 选修2-1测评3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1学业分层测评3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
【解析】 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
∴A→B＝(1，－2，－4)，A→C＝(2，－4，－3)．
设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)， 依题意，应有 n·A→B＝0，n·A→C＝0， 即Error!解得Error!
令 y＝1，则 x＝2.
∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．
A→D
A→P
＝(4,2,0)， ＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：
A→P
A→P B→D
①AP⊥AB；②AP⊥AD；③ 是平面 ABCD 的一个法向量；④ ∥ .其中正
确的结论是________. 【导学号：09390082】
【解析】 A→B·A→P＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则 A→B⊥A→P，即 AP⊥AB；
∴D→B1⊥B→A1，D→B1⊥B→C1，∵BA1∩BC1＝B，∴DB1⊥平面 A1BC1，即D→B1是
平面 A1BC1 的法向量．
10．已知 ABCDA1B1C1D1 是长方体，建立空间直角坐标系如图 325.AB＝3，BC＝4，AA1 ＝2，
2
1
图 325 (1)求平面 B1CD1 的一个法向量； (2)设 M(x，y，z)是平面 B1CD1 内的任意一点，求 x，y，z 满足的关系式． 【解】 (1)在题图所示的空间直角坐标系 Axyz 中各点坐标为 B1(3,0,2)， C(3,4,0)，D1(0,4,2)， 由此得B→1C＝(0,4，－2)，C→D1＝(－3,0,2)， 设平面 B1CD1 的一个法向量为 a＝(x，y，z)， 则 a⊥B→1C，a⊥C→D1，从而 a·B→1C＝0，a·C→D1＝0， 所以 0·x＋4·y－2·z＝0，－3·x＋0·y＋2·z＝0， 解方程组Error! 得Error! 不妨取 z＝6，则 y＝3，x＝4. 所以 a＝(4,3,6)就是平面 B1CD1 的一个法向量． (2)由题意可得，B→1M＝(x－3，y，z－2)， 因为 a＝(4,3,6)是平面 B1CD1 的一个法向量， 所以 a⊥B→1M，从而 a·B→1M＝0， 即 4(x－3)＋3y＋6(z－2)＝0,4x＋3y＋6z＝24， 所以满足题意的关系式是 4x＋3y＋6z＝24.
2017年春季学期苏教版高中数学选修2-1：3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 Word版含答案
1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则l 1与l 2的关系是__________．2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝__________，y ＝__________.3．若空间中A (1,2,3)，B (－1,0,5)，C (3,0,4)，D (4,1,3)，则直线AB 与CD 的关系是______．4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量可作为平面ABC 的法向量的是__________．(1)(1,1，－1)；(2)(1，－1,1)；(3)(－1,1,1)；(4)(－1，－1，－1)．5．已知直线l 的方向向量u ＝(2，－1,3)，且l 经过点A (0，y,3)和B (－1,2，z )，则y ，z 的值分别为__________，__________.6．已知A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，D (1,1，x )，若AD 平面ABC ，则实数x 的值是__________．7．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)且BP⊥平面ABC ，BP 等于__________．8．若直线a 和b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a 和b 的公垂线的一个方向向量是__________．9．(1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件分别判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)；②a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)若u ＝a ，v ＝b ，u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据上述条件分别判断α，β的位置关系．(3)若u ＝a 是平面α的法向量，b 是直线l 的方向向量，根据上述条件分别判断α和l 的位置关系．10．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，分别求平面SCD 与平面SAB 的一个法向量．参考答案1.答案：垂直 解析：∵a·b ＝0，∴l 1⊥l2.2.答案：6152 解析：∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，∴2453x y==，∴x ＝6，y ＝152. 3.答案：平行 解析：AB ＝(－2，－2,2)，CD ＝(1,1，－1).故AB ＝－2CD .所以AB ∥CD . 又AB 与CD 不重合，所以AB 与CD 平行.4.答案：(4) 解析：AB ＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,1).设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有0,0,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.故一个法向量是(－1，－1，－1).5.答案：32 32解析：AB ＝(－1,2－y ，z －3)，由于l 经过A ，B 两点， 所以u ∥AB ，故213123y z -==---， 解得32y =，32z =. 6.答案：0 解析：易求得平面ABC 的法向量u ＝(0,0,1)，而AD ＝(1,1，x )，∴当AD ⊂平面ABC 时，AD ·u ＝0.∴1×0＋1×0＋x ＝0.∴x ＝0.7.答案：3315,,377⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 解析：由条件知0,0,0AB BC BP AB BP BC ⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩即3520,1560,3(1)30.z x y x y z +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+-⎩ 解得407x =，157y =-，z ＝4. 8.答案：(1,4，－5) 解析：设a ＝(1,1,1)，b ＝(2，－3，－2)， 两直线公垂线的一个方向向量n ＝(x ，y ，z )，由题意有0,0.⋅⎧⎨⋅⎩a n =b n =即0,2320,x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩∴4,5.y x z x =⎧⎨=-⎩令x ＝1得n ＝(1,4，－5).9.答案：解：(1)①∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，∴a·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.②∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3).∴a 与b 不共线，也不垂直，∴l 1与l 2相交或异面.(2)u ＝a ，v ＝b .①∵a ⊥b ，∴u ⊥v ，∴α⊥β.②∵a 与b 不共线，也不垂直，∴u 与v 不共线，也不垂直.∴α与β相交，但不垂直.(3)由u ＝a 得：①∵a ⊥b ，∴u ⊥b ，∴l ⊂α或l ∥α；②∵a 与b 不共线，也不垂直，∴u 与b 不共线，也不垂直，∴l 与平面α斜交.10.答案：解：∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD ，AB ，AS 为正交基底建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D 1,0,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD ＝1,0,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是平面SAB 的一个法向量． 设平面SCD 的一个法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC ＝(1，λ，u )·1,1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12＋λ＝0， ∴12λ=-. n ·DS ＝(1，λ，u )·1,0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12-＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝111,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
高中数学苏教版选修2-1课件： 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 课件
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
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谢谢欣赏！
2019/7/9
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12
___充__要_____条件。
例1证、求明在证：正：{D 方DA,BD 体1C A ,是DD平1}B 面为 A单C CA 位1 DB 正1D 1C 的交1法基D 1 向底中量，，．建立如图所D1Ｚ E
C1
示的空间直角坐标系，
A1
D （ 0， 0， 0）B （ 1 ， 1， 1， 1 ）
B1
DB1 （1， 1， 1）
解 ：由题意得 PM （ xx0,yy0,zz0 ）
因为 e 是平面的法向量，所以 e PM 从而 e PM0即（ A ， B ， C ） （ x x 0 ,y y 0 ,z z 0 ） 0
得到 A （ x x 0 ） B （ y y 0 ） C （ z z 0 ） 0平面可以
高中数学（选修）
高二年级
江苏凤凰教育出版社
一、问题情境（1）
在平面内我们可以用向量来 刻画直线的方向，在空间能 否也能用向量来表示直线的 方向？
z aaaa
答：能，我们把这样的向量 k 称之为直线的方向向量。 i O j
A(x,y,z) y
x
问题：什么叫做直线的方向向量？
直线的方向向 量唯一吗？
直线的方向向量的定义：直线 l 上的向量 e 及 与 e 共线 的向量叫直线 l 的方向向量。
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
高中数学 3-2-1空间向量的应用直线的方向向量与平面的法向量课件 苏教版选修2-1
【变式2】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，
DD1的中点，试求平面ABEF的一个法向量． 解 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 1，则 A(1，0，0)， 1 1 B(1，1，0)，E(0， 1， ) ， F(0， 0 ， )， 2 2 → → 1 所以AB＝ (0，1，0)，AF＝ (－ 1，0， )，设平面 ABEF 的一个 2
【例3】 (14 分)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，
CD 的中点．求证：D1F是平面 ADE 的法向量．
审题指导 根据法向量的定义，只要证明D1F与平面ADE
垂直，即证D1F与平面ADE中两条相交直线垂直．
[规范解答] 如图，以D为坐标原点， DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立 空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则
[思路探索] 先设向量a的坐标，再用待定系数法求解．
解 → (1)设向量 a＝(x，y，z)，由题意知 a· AB＝0，a· AC＝0，
→
又AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，|a|＝ 3，
→
→
－ 2x－ y＋ 3z＝ 0， x＝ 1， x＝－ 1， 所以有x－ 3y＋ 2z＝ 0， 解得y＝ 1， 或y＝－ 1， x2＋ y2＋ z2＝ 3， z＝ 1 z＝－ 1， 即向量 a 的坐标为 (1， 1， 1)或(－ 1，－ 1，－ 1)． (2)由题意知AM＝ (x， y－ 2， z－ 3)，所以 a· AM＝ 0. 不妨设向量 a 的坐标为 (1， 1， 1)，则 x＋ y－ 2＋ z－ 3＝ 0， 即 x＋ y＋ z－ 5＝ 0.
→
→
→
2． 平面的法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角
苏教版数学高二- 选修2-1试题 3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量一、填空题1．下面命题中，正确命题的序号为________．①若n 1、n 2分别是平面α、β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1、n 2分别是平面α、β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量且a 与α共面，则n·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．【解析】 画图可知，四个命题均正确．【答案】 ①②③④2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则平面α，β的位置关系是________(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)．【解析】 ∵u·v ＝1×2＋2×3＋(－1)×8＝0，∴u ⊥v ， ∴α⊥β.【答案】 垂直3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,3，z)，向量b ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.【解析】 由题意知a·b ＝0，∴(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，∴1×3＋3×(－2)＋z×1＝0，∴z ＝3.【答案】 3图3－2－134．如图3－2－13，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是________．【解析】 AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝CC 1→＋12(C 1D 1→＋C 1B 1→)＝12BA →＋12CB →＋CC 1→ ∴AC 1→·CE →＝(AB →＋BC →＋CC 1→)(12BA →＋12CB →＋CC 1→)＝－12AB →2－12BC →2＋CC 1→2＝0， ∴AC 1→⊥CE →，∴AC 1⊥CE.【答案】 垂直5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．【解析】 建立空间坐标系如图，设正方体棱长为2，则M(1,0,1)，N(1,1,2)，∴MN →＝(0,1,1)．∵平面BB 1C 1C 的一个法向量为B 1A 1→＝(2,0,0)，∴B 1A 1→·MN →＝0＋0＋0＝0.∴MN ∥平面BB 1C 1C.【答案】 平行6．已知空间两点A(－1,1,2)，B(－3,0,4)，直线l 的方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB →平行，则a ＝________.【解析】 设a ＝(x ，y ，z)，∵AB →＝(－2，－1,2)，且l 与AB 平行，∴a ∥AB →，∴x －2＝y －1＝z 2，∴x ＝2y ，z ＝－2y ， 又∵|a |＝3，∴|a |2＝x 2＋y 2＋z 2＝4y 2＋y 2＋4y 2＝9，∴y ＝±1，∴a ＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．【答案】 (2,1，－2)或(－2，－1,2)7．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________.【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4，∴BC →＝(3,1,4)，∵BP →⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，由⎩⎪⎨⎪⎧ BP →·AB →＝0BP →·BC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝03x －1＋y －12＝0，∴⎩⎨⎧ x ＝407y ＝－157，∴BP →＝(337，－157，－3)． 【答案】 (337，－157，－3) 8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)， AD →＝(4,2,0)， AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．【解析】 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB →⊥AP →，AD →⊥AP →，则①②正确．又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，③正确．由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)∴BD →与AP →不平行，故④错误．【答案】 ①②③二、解答题图3－2－149．如图3－2－14，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．(1)求证：EF ∥平面CB 1D 1；(2)求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.【证明】 (1)以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则E(1,0,0)，F(2,1,0)，∴EF →＝(1,1,0)．又∵C(0,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)，设平面CB 1D 1的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)．∵CD 1→＝(0，－2,2)，CB 1→＝(2,0,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·CD 1→＝0n ·CB 1→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＋2＝02x ＋2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＝－1. ∴n 1＝(－1,1,1)，∴EF →·n 1＝0.又因EF ⊄平面CB 1D 1，∴EF ∥平面CB 1D 1.(2)∵DB ⊥AC ，DB ⊥AA 1，∴DB ⊥平面CAA 1C 1，∴DB →＝(2,2,0)是平面CAA 1C 1的一个法向量．∵n 1·DB →＝0，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.图3－2－1510．如图3－2－15，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．求证：(1)直线EE 1∥平面FCC 1；(2)平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.【证明】 因为AB ＝4，BC ＝CD ＝2，F 是棱AB 的中点，所以BF ＝BC ＝CF ，则△BCF为正三角形．因为底面ABCD 为等腰梯形，所以∠BAD ＝∠ABC ＝60°.取AF 的中点M ，连结DM ，则DM ⊥AB ，所以DM ⊥CD.以DM →，DC →，DD 1→为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，D 1(0,0,2)，A(3，－1,0)，F(3，1,0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(32，－12，0)，E 1(3，－1,1)． 所以DA →＝(3，－1,0)，DD 1→＝(0,0,2)，EE 1→＝(32，－12，1)，CF →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,2)．(1)设平面FCC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CF →＝3x －y ＝0n ·CC 1→＝2z ＝0，令x ＝1，可得n＝(1，3，0)，则n ·EE 1→＝1×32＋3×(－12)＋0×1＝0，所以n ⊥EE 1→，又直线EE 1⊄平面FCC 1，所以直线EE 1∥平面FCC 1.(2)设平面ADD 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DA →＝3x －y ＝0m ·DD 1→＝2z ＝0，令x ＝1，可得m ＝(1，3，0)，由(1)知m ＝n ，即m ∥n ，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.图3－2－1611．如图3－2－16，在四棱锥P －ABCD 中，底面是矩形且AD ＝2，AB ＝PA ＝2，PA ⊥底面ABCD ，E 是AD 的中点，F 在PC 上．(1)求F 在何处时，EF ⊥平面PBC ；(2)在(1)的条件下，EF 是否是PC 与AD 的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度，若不是，说明理由．【解】 (1)以A 为坐标原点，以射线AD 、AB 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则P(0，0，2)，A(0,0,0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(2,0,0)，E(1,0,0)．∵F 在PC 上，∴可令PF →＝λPC →，设F(x ，y ，z)．则BC →＝(2,0,0)，PC →＝(2，2，－2)，EF →＝(x －1，y ，z)．∵EF ⊥平面PBC ，∴EF →·PC →＝0，且EF →·BC →＝0.又PF →＝λPC →，可得λ＝12，x ＝1，y ＝z ＝22. 故F 为PC 的中点．(2)由(1)可知：EF ⊥PC ，且EF ⊥BC ，∴EF ⊥AD.∴EF 是PC 与AD 的公垂线段，其长为|EF →|＝1.。
苏教版数学选修2-1同步练习：3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 巩固提升
[A 基础达标]1．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 答案：D2.若n ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，下列所给向量中，能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3，1)B ．(2，0，1)C ．(－2，－3，1)D ．(－2，3，－1)解析：选D.所有与n ＝(2，－3，1)共线的向量都是平面α的法向量，只有D 项与n ＝(2，－3，1)共线．3．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1，2，52，b ＝⎝⎛⎭⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝3，y ＝154解析：选D.因为l 1∥l 2， 所以321＝x 2＝y 52，所以x ＝3，y ＝154，故选D.4．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝⎛⎭⎫1，3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 解析：选B.要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验． 对于选项A ，P A →＝(1，0，1)，则P A →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ； 对于选项B ，P A →＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12， 则P A →·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3，1，2)＝0，故B 正确； 同理可排除C ，D. 故选B.5.已知A (1，1，－1)，B (2，3，1)，则直线AB 的模为1的方向向量是________． 解析：AB →＝(1，2，2)，|AB →|＝3，直线AB 的模为1的方向向量是±AB →|AB →|＝±13(1，2，2)．答案：⎝⎛⎭⎫13，23，23，⎝⎛⎭⎫－13，－23，－23 6.若A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的一个法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________．解析：因为AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74， AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74，a ·AB →＝0, a ·AC →＝0， 所以⎩⎨⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，故⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，所以x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 答案：2∶3∶(－4)7.若直线a 和b 是异面直线，它们的方向向量分别是(1，1，1)和(2，－3，－2)，则直线a 和b 的公垂线的一个方向向量是__________．解析：设公垂线的一个方向向量是(x ，y ，z )，则有(x ，y ，z )·(1，1，1)＝0且(x ，y ，z )·(2，－3，－2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝0，2x －3y －2z ＝0.令x ＝1，得y ＝4，z ＝－5.答案：(1，4，－5)(答案不惟一)8.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 为AB 的中点，试建立适当的坐标系，并求平面CD 1E 的一个法向量．解：如图，建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，D 1(0，0，1)．所以E (1，1，0)．所以CE →＝(1，－1，0)，CD 1→＝(0，－2，1)．设平面CD 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·CE →＝0，n ·CD 1→＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－2y ＋z ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，z ＝2y .令y ＝1，则x ＝1，z ＝2.所以平面CD 1E 的一个法向量为(1，1，2)． 9.已知A (2，2，2)，B (2，0，0)，C (0，2，－2)． (1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC 是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内的任意一点，试写出x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)因为B (2，0，0)，C (0，2，－2)，所以BC →＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC 的一个方向向量．(2)由题意AM →＝(x －2，y －2，z －2)， 因为BC →⊥平面α，AM ⊂α，所以BC →⊥AM →. 所以(－2，2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0. 所以－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0. 化简得x －y ＋z －2＝0.[B 能力提升]1.已知直线l 1的方向向量为a ＝(2，4，x )，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是________．解析：因为|a |＝6，所以4＋16＋x 2＝36，即x ＝±4，当x ＝4时，a ＝(2，4，4)，由a ·b ＝0得4＋4y ＋8＝0，解得y ＝－3，此时x ＋y ＝4－3＝1；当x ＝－4时，a ＝(2，4，－4)，由a ·b ＝0得4＋4y －8＝0，解得y ＝1，此时x ＋y ＝－4＋1＝－3.综上，得x ＋y ＝－3或1.答案：－3或12.已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，BP →＝(x －1，y ，－3)，若AB →⊥BC →，且BP →⊥平面ABC ，则BP →等于________．解析：AB →⊥BC →⇒AB →·BC →＝0⇒1×3＋5×1－2z ＝0⇒z ＝4，BP →⊥平面ABC ⇒⎩⎪⎨⎪⎧BP →⊥AB →，BP →⊥BC→⇒⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －12＝0⇒⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157，所以BP →＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3. 答案：⎝⎛⎭⎫337，－157，－3 3.如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1，1，0)，S (0，0，1)， 所以DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 由题意，易知向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SCD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .令x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，所以平面SCD 的一个法向量为(2，－1，1)．4.(选做题)如图所示，四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，(1)求直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有：AB →、BA →、CD →、DC →四个．(2)因为底面ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC . 因为VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥VA ，又AC ∩VA ＝A ， 所以BD ⊥平面VAC ，所以平面VAC 的法向量有BD →、DB →两个．由Ruize收集整理。
高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章3.23.2.1直线的方向向量与平面的法向量Word版含
1a ia2a3 a n1 a2 a3 a n2 a i a 2 a nlla i a 2l e ( e 0) e ______________，、口審弭l 1ll 1 l212 lll 1 121nnn2［归纳*升华・领悟］3 2.1rm摘象问题情境化，新知无师自通P63]2. 平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量.3. 给定一点A和一个向量a，那么过点A,以向量a为法向量的平面是惟一的.［对应学生用书P63］［例1］根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系：⑴平面a, B的法向量分别是u = (—1,1,—2), v=(3, 2,—1；(2)直线I的方向向量 a = (—6,8,4)，平面a的法向量u= (2,2, —1).［思路点拨］利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系.［精解详析］⑴I u= (—1,1,—2), v = 3, 2,—1 ,••• u v= (—1,1,—2) -3, 2, —1=—3+ 2+ 1 = 0,••• u丄V,故a丄B(2) •- u = (2,2 , —1), a = (—6,8,4),•u a= (2,2, —1) (•—6,8,4) = —12+ 16 —4= 0,•u 丄a,故I? a 或I //a［一点通］1 .两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直).2. 直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行.3. 两个平面的法向量共线时，两平面平行.1•若两条直线11、12的方向向量分别为a= (1,2 , —2), b= (—2,—4,4)，^V “与l2的位置关系为_________ .解析：■/ b=—2a,「. a / b,即I// I2 或 e 与e2重合.答案：平行或重合2. 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1) 直线11, 12的方向向量分别是a= (1, —3,—1), b= (8,2,2);(2) 平面a, B 的法向量分别是u = (1,3,0), v = (—3,—9, 0);⑶ I a (1 4 3) u (2,0,3)⑷ I a (3,2,1) u ( 1,2 1)(1) a (1 3 1) b (8,2,2)a b 8 6 2 0a b l1 l2.⑵u (1,3,0) v ( 3 9,0)v 3uv u .⑶a (1 4 3) u (2,0,3)a u 0 a k u(k R)a u I⑷a (3,2,1) u ( 1,2 1)a u 3 4 10a u I? I .[2] A(3,0,0) B(0,4,0) C(0,0,5)[ ]ABC] AB (A(3,0,0) B(0,4,0) C(0,0,5) 3,4,0) AC ( 3,0,5)ABC n AB 0n (x y z) n •AC 03x 4y 03x 5z 0.5 5 1. |n|譬f20 15 12 、n0^769 ^769 V769丿T T (1)AC AB⑵n (x y z)『-AB = 0.(4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其 他坐标.(常数不能为0)3. 已知平面a 经过三点 A(1,2,3), B(2,0 , - 1), C(3, - 2,0)，试求平面 a 的一个法向 量.解：•/ A(1,2,3), B(2,0,- 1), C(3,- 2,0),设平面a 的一个法向量是 n = (x , y , z).则 A(0,0,0), D(2 , 0,0), C(1,1,0), S(0,0,1),DC = - , 1 , 0 , DS =1由题意易知向量 AD =(扌,0,0)是平面SAB 的一个法向量. 设n = (x , y , z)为平面SDC的法向量, 1 n -DC = *+ y = 0 , 则 1n -DS =—只+ z =0.(3)联立方程组n -AC = 0,并解答.AB = (1，一 2,— 4),AC = (2，一 4，一 3).依题意应有AB = 0 且 n • AC = 0.x — 2y — 4z = 0, 即F 解得z = 0，且x = 2y.2x — 4y — 3z = 0. 令 x = 2,贝U y = 1•••平面a 的一个法向量是 n = (2,1,0).4•如图所示，在四棱锥 S — ABCD 中，底面是直角梯形，/ ABC = 90 ° 1SA 丄底面ABCD ，且SA = AB = BC = 1 , AD = ，求平面 SCD 与平面SBA 的一个法向量.解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系i z 2X.(1)⑵1 i 1 (m,2,4)(2 12) mlm 1 2 4 1 2.m 1.21T2AnAM n 0MA M n 0An311a (2 1,2) l 2b (1,1 m) h I 2课下训练经典化.贵衽触类旁邇 ［ （）］SDC(2ABCD1,1)5.VABCDVAABCD(1) AB⑵BDVACVAC(1)AB BA TCD⑵ABCDBD AC.VAABCD BD? ABCDBD VAAC VA ABD VACVACBD DBx 2 y 1 z 1［方法・规律•小结］AB1解析：T 丨1 丄 I ?,： 2 — 1 + 2m = O.「. m =—1答案：—14. 在空间中，已知平面a 过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z 轴上一点 面a 与平面xOy 的夹角为45°贝U a= ___________ .解析：平面xOy 的法向量为n = (0,0,1), AB = (— 3,4,0), —3x + 4y = 0,U = (X ，y ，Z)，则 I 3x + az = 0,则 3x = 4y = az ,取 z = 1,则 u = 3, £, 1 ,12 答案：乎55. 已知a = (1,4,3), b = (3, x , y)分别是直线l 「I 2的方向向量，若14 3解析：由 l 1 II 12,得3 = 4 =3,解得 x = 12, y = 9.3 x y 答案：1296•已知 A(2,2,2), B(2,0,0) , C(0,2,— 2),(1)写出直线BC 的一个方向向量；-I⑵设平面a 经过点A ，且BC 是a 的法向量，M(x , y , z)是平面 y 、z 满足的关系式.解：(1) •/ B(2,0,0), C(0,2 , — 2),BC = (— 2,2,— 2),即(—2,2 , — 2)为直线BC 的一个方向向量.⑵由题意 AM = (x — 2 , y — 2 , z — 2),BC 丄 AM•••(— 2,2 , — 2) •x — 2 , y — 2 , z — 2)= 0. •••— 2(x — 2)+ 2(y — 2) — 2(z — 2) = 0. 化简得 x — y + z — 2 = 0.又•/ a>0, 故 cos 〈 n ,u >12C(0,0 , a)(a>0),如果平=(—3,0 , a),设平面 a的法向量为 I 1 i I 2 ,贝 y x = ______a 内任一点，试写出 X 、•/ BC 丄平面 a, AM? a,x0 x 4 y 2 z 03 • 0 y 2 z 0ABCD A 1B 1C 1D 1(1) ABCD (2) A i BC 1(3) M CDAAMD 1AB A D A A!y za(1) ABCDxOym (0,0,1)(2) B 1DA 1BC 1TB 1D (0 a,0) (a,0 a) ( a aa)1n 2 a B 1D( 1,1 1) A 1BC 1(3) n (x oA M ay o az o ) AMD 1ADJX 0 y z 0a 0a於0ay 。
优化方案数学精品课件(苏教选修2-1)：3.2.1 直线的方向向量
自我挑战1 在空间直角坐标系中，已知点 A(2,4,0)，B(1，3,3)，P是线段AB上的一点 ，且满足AP∶PB＝1∶2，试求点P的坐标．
解：A→B＝(－1，－1,3)是直线 AB 的方向 向量． 由 AP∶PB＝1∶2，得A→P＝13A→B.
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设点 P 坐标为(x，y，z)， 则(x－2，y－4，z)＝13(－1，－1,3)， 即 x－2＝－13，y－4＝－13，z＝1，
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【思路点拨】 设n＝(x，y，z)是平面A1AD 的一个法向量，根据n⊥平面A1AD，在平面 中找到两个不共线的向量与法向量垂直，利 用向量数量积找出x、y、z之间的关系，从 而确定n的坐标．
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【规范解答】取 BC 的中点 O、B1C1 的中点 O1，连结 AO、OO1，易证 AO⊥平面 BCC1B1.以 O 为原点，以 向量O→B、O→O1、O→A的方向为 x、y、z 轴的正方向建立 空间直角坐标系，则 D(－1,1,0)，A(0,0， 3)，A1(0,2，
3．2 空间向量的应用
3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量
学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概 念及求法． 2．理解平面的方程及求法． 3．能综合有关知识解决问题．
3Байду номын сангаас2.1
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．已知两个非零向量a，b，则a⊥b⇔a·b＝0. 若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|； 若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 2．直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的 斜率为_－__AB_，与该直线垂直的直线的斜率为 B _A__.
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3．在立体几何解题时，直线的方向向量一 般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算 或向量的坐标运算．在给出的几何体比较特 殊(能构建空间直角坐标系)时，坐标运算更 为简便． 4．确定平面的法向量通常有两种方法：(1) 几何体中已经给出有向线段，只需证明线面 垂直．(2)几何体中没有具体的直线，此时可 以采用待定系数法求解平面的法向量．
2018版高中数学苏教版选修2-1学案3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
．直线的方向向量与平面的法向量
[学习目标].理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.会用待定系数法求平面的法向量．
知识点一直线的方向向量
直线上的向量(≠)以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量．
知识点二平面的法向量
如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记作⊥α，此时，我们把向量叫做平面α的法向量．
思考
．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？
答案相互平行．
．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？
答案不惟一，它们相互平行，但不一定相等．
题型一直线的方向向量及其应用
例设直线的方向向量为＝(，－)，直线的方向向量为＝(－，)，若⊥，则＝.
答案
解析由题意，得⊥，所以·＝(，－)·(－，)＝－＋－＝－＝，所以＝.
反思与感悟若⊥，则与的方向向量垂直；若∥，则与的方向向量平行．
跟踪训练若直线，的方向向量分别是＝(，－，－)，＝()，则与的位置关系是．
答案垂直
解析因为·＝(，－，－)·()＝－－＝，所以⊥，从而⊥.
题型二求平面的法向量
例
如图所示，在四棱锥－中，底面是直角梯形，∠＝°，⊥底面，且＝＝＝，＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面与平面的一个法向量．
解如图，以为原点，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐
标系，
则()，(，)，
()，()，
则＝(，)，
＝(－，)．
易知向量＝(，)是平面的一个法向量．
设＝(，，)为平面的法向量，
则即
取＝，则＝－，＝，
∴平面的一个法向量为(，－)．
反思与感悟求平面法向量的方法与步骤：。
苏教版数学高二选修2-1试题 3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量一、基础过关1． 已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝______；y ＝__________________________________________________________________.2． 设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k ＝_____.3． 已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝________.4． 从点A(2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为___．5． 若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．6． 已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x)，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是______．7． 若a ＝(1，－1,1)，b ＝(2，－1，－3)，则与a ，b 都垂直的单位向量为________________________________________________________________________．二、能力提升8．在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点，则平面AEF 的一个法向量是______________________．9． 已知直线l 的方向向量u ＝(2，－1,3)，且l 经过点A(0，y,3)和B(－1,2，z)，则y ＝______，z ＝________________________________________________________________.10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1F 的法向量．11．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，(1)试求平面α的一个法向量；(2)若M(x ，y ，z)是平面α内任意一点，求x ，y ，z 的关系式．12．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝2AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，D 是CC 1的中点，试求平面AB 1D 的一个法向量．三、探究与拓展13．如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求BA 1→与CB 1→夹角的余弦值；(3)求证：BN →是平面C 1MN 的一个法向量．答案 1．6152 2．4 3．－8 4．(18,17，－17) 5．l ⊥α 6．1或－3 7．⎝⎛⎭⎫22142，54242，4242或⎝⎛⎭⎫－22142，－54242，－4242 8．(4，－1,2)(不唯一) 9．32 3210．证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， D 1(0,0,1)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1(1,0,1)， AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， A 1D 1→＝(－1,0,0)．∵AE →·D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，12，－1 ＝12－12＝0， AE →·A 1D 1→＝0，∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→.又A 1D 1∩D 1F ＝D 1，∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴AE →是平面A 1D 1F 的法向量．11．解 (1)∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．(2)∵AM →＝(x －1，y －2，z －3)，∴n ·AM →＝0.∴2(x －1)＋(y －2)＝0，即2x ＋y －4＝0.12．解 方法一 不妨设AC ＝1，以A 点为原点，以AC 、AB 、AA 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz.则A(0,0,0)，D(1,0,1)，B 1(0,2,2)．则AD →＝(1,0,1)，AB 1→＝(0,2,2)．设n ＝(x ，y ，z)是平面AB 1D 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0n ·AB 1→＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋z ＝02y ＋2z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－z y ＝－z . 令z ＝1，得平面AB 1D 的一个法向量为n ＝(－1，－1,1)．方法二 由AD →＝(1,0,1)，可设平面AB 1D 的一个法向量为n ＝(－1，y,1)．由n ·AB 1→＝0，得2y ＋2＝0，∴y ＝－1.∴平面ABD 的一个法向量为(－1，－1，1)．13．(1)解 如图所示，以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C —xyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴|BN →|＝ 1－02＋0－12＋1－02＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)解 依题意得A 1(1,0,2)，C(0,0,0)，B 1(0,1,2)，∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉 ＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. (3)证明 依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，N(1,0,1)．∴M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)，BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋1×0＝0， C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →，又C 1M∩C 1N ＝C 1，∴BN →⊥平面C 1MN.∴BN →是平面C 1MN 的一个法向量．。
2013-2014学年高中数学 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量课后知能检测 苏教版选修2-1
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量课后知能检测 苏教版选修2-1一、填空题1．若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则l 的一个单位方向向量为________． 【解析】 ∵AB →＝(2,4,6)，|AB →|＝4＋16＋36＝214. ∴l 的一个单位方向向量为 AB→|AB →|＝1214(2,4,6)＝(1414，147，31414)．【答案】 (1414，147，31414) 2．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量的坐标为________． 【解析】 设n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，|n |＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝1.∴n ＝(13，－23，23)或(－13，23，－23)．【答案】 (13，－23，23)或(－13，23，－23)3．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一直线上，那么a ＝________，b ＝________.【解析】 AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)． ∵A ，B ，C 三点在同一条直线上，∴AB →＝λBC →.∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ a －2 －1＝－λ3＝λ b ＋1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2.【答案】 3 24．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，若点P (x,3,3)也在平面α内，则x ＝________.【解析】 MP →＝(x －1,4,1)，∵n ·MP →＝0，∴6(x －1)－12＋6＝0，x ＝2. 【答案】 25．已知A (0,1,0)，B (－1,0,1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为________．【解析】 PA →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，因为PA ⊥平面ABC ，所以⎩⎨⎧PA →⊥AB →PA →⊥AC→，即⎩⎨⎧PA →·AB →＝0PA →·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0－2x －z ＝0，解得x ＝13，z ＝－23.【答案】 (13，0，－23)6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的结论是________．【解析】 AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ；AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴2－1≠32≠4－1，所以AP →与BD →不平行． 【答案】 ①②③7．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】AB →＝(1，－3，－74)，AC →＝(－2，－1，－74)，由⎩⎨⎧a ·AB →＝0a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －74z ＝0－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y z ＝－43y，则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶(－43y )＝2∶3∶(－4)．【答案】 2∶3∶(－4)8．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点中，在平面α内的是________．(把所有正确的序号都填上)①(1，－1,1)；②(1,3，32)；③(1，－3，32)；④(－1,3，－32)．【解析】 平面α的方程为3(x －2)＋(y ＋1)＋2(z －2)＝0即3x ＋y ＋2z －9＝0，代入检验可知②符合．【答案】 ② 二、解答题9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB 1→是平面PAC 的法向量．【证明】 如图，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2,0,1)．由于OB 1→·AC →＝－2＋2＝0及OB 1→·AP →＝－2＋2＝0，∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →. ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ， 即OB 1→是平面PAC 的法向量．图3－2－410．如图3－2－4，已知点A (a,0,0)，B (0，b,0)，C (0,0，c )．求平面ABC 的一个法向量．【解】 由已知可得 AB →＝OB →－OA →＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a ，b,0)， AC →＝OC →－OA →＝(0,0，c )－(a,0,0)＝(－a,0，c )． 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·AB →＝(x ，y ，z )·(－a ，b,0)＝－ax ＋by ＝0，n ·AC →＝(x ，y ，z )·(－a,0，c )＝－ax ＋cz ＝0，于是得y ＝a b x ，z ＝a cx .不妨令x ＝bc ，则y ＝ac ，z ＝ab .因此，可取n ＝(bc ，ac ，ab )为平面ABC 的一个法向量．图3－2－511．如图3－2－5，四棱锥P —ABCD 中，PD ＝AD ＝DC ，底面ABCD 为正方形，E 为PC 的中点，F 在PB 上，问F 在何位置时，PB →为平面DEF 的一个法向量？【解】 建系如图，设DA ＝2，则D (0,0,0)，P (0,0,2)，C (0,2,0)．∴E (0,1,1)，∵B (2,2,0)， ∴PB →＝(2,2，－2)， 设PF →＝λPB →，F (x ，y ，z )，∴(x ，y ，z －2)＝λ(2,2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ，y ＝2λ，z －2＝－2λ，∴F (2λ，2λ，2－2λ)， ∴DF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．∵PB →·DF →＝0，∴4λ＋4λ－2(2－2λ)＝0，∴λ＝13，∴F 为PB 的一个三等分点(靠近P 点).。
苏教版高二数学选修2-1讲义(含答案)：第1部分 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
_3.2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量[对应学生用书P63]直线的方向向量a1，a2，a3…a n是一组非零共线向量，表示向量a1的有向线段所在直线与直线l平行．问题1：表示向量a2，a3，…a n的有向线段所在直线与直线l的关系怎样？提示：平行或重合．问题2：如何表示a1，a2…a n与直线l的关系呢？提示：利用一个向量来表示直线l的方向，a1，a2，…a n与该向量共线．直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.平面的法向量直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线．问题1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直？提示：垂直．因为这些直线与l平行或重合．问题2：直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？提示：垂直．1．如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．2．与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量，它们共线．一个平面有无数个法向量，它们也共线． 2．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．3．给定一点A 和一个向量a ，那么过点A ，以向量a 为法向量的平面是惟一的．[对应学生用书P63]利用直线方向向量和平面的法向量判定线面位置关系[例1] 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系： (1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； (2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝(2,2，－1)． [思路点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [精解详析] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝(－1,1，－2)·⎝⎛⎭⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥v ，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [一点通]1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．1．若两条直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．解析：∵b ＝－2a ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2或e 1与e 2重合． 答案：平行或重合2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解：(1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a ·b ＝8－6－2＝0， ∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)， ∴v ＝－3u ， ∴v ∥u ，即α∥β.(3)∵a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)， ∴a ·u ≠0且a ≠k u (k ∈R )，∴a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直． (4)∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)， ∴a ·u ＝－3＋4－1＝0， ∴a ⊥u ，即l ⊂α或l ∥α.平面的法向量的求解及应用[例2] 已知点A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，求平面ABC 的一个单位法向量． [思路点拨] 可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量． [精解详析] 由于A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，所以AB u u u r＝(－3,4,0)，AC u u u r ＝(－3,0,5)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ·AB u u u r＝0，且n ·AC u u u r ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋5z ＝0.取z ＝1，得x ＝53，y ＝54，于是n ＝⎝⎛⎭⎫53，54，1.又|n |＝76912，所以平面α的单位法向量是n 0＝±⎝⎛⎭⎫20769，15769，12769. [一点通]求平面的法向量的方法与步骤：(1)求平面的法向量时，要选取两相交向量AC u u u r 、AB u u u r.(2)设平面法向量的坐标为n ＝(x ，y ，z )．(3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC u u u r ＝0，n ·AB u u u r＝0.并解答． (4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标．(常数不能为0)3．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解：∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB u u u r＝(1，－2，－4)，AC u u u r ＝(2，－4，－3)．设平面α的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )．依题意应有n ·AB u u u r＝0且n ·AC u u u r ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0，且x ＝2y . 令x ＝2，则y ＝1∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．4.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且 SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC u u u r ＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS u u u r＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 由题意易知向量AD u u u r ＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC u u u r ＝12x ＋y ＝0，n ·DS u u u r ＝－12x ＋z ＝0.即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．5.如图所示，四棱锥V －ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有：AB u u u r 、BA u u u r 、CD u u ur 、DC u u u r 四个．(2)∵底面ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC . ∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA ，又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC ，所以平面VAC 的法向量有BD u u u r 、DB u u u r两个．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直．(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量．[对应课时跟踪训练(二十三)]1．若直线l ⊥平面α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫12，1，2，则m 为________．解析：∵l 的方向向量与平面α的法向量平行．∴m 12＝21＝42.∴m ＝1.答案：12．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM u u u u r·n ＝0的点M 的轨迹是________．解析：AM u u u u r ·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．答案：过点A 且与向量n 垂直的平面3．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.解析：∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0.∴m ＝－12.答案：－124．在空间中，已知平面α过点A (3,0,0)和B (0,4,0)及z 轴上一点C (0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.解析：平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，AB u u u r＝(－3,4,0)，AC u u u r ＝(－3,0，a )，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1， 故cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22. 又∵a >0，∴a ＝125.答案：1255．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.解析：由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3y ，解得x ＝12，y ＝9.答案：12 96．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2，－2)， (1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC u u u r是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任一点，试写出x 、y 、z 满足的关系式．解：(1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)，∴BC u u u r＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量．(2)由题意AM u u u u r＝(x －2，y －2，z －2)， ∵BC u u u r ⊥平面α，AM ⊂α，∴BC u u u r ⊥AM u u u u r .∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0. ∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0. 化简得x －y ＋z －2＝0.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面A 1BC 1的一个法向量；(3)若M 为CD 的中点，求平面AMD 1的一个法向量．解：以A 为坐标原点，分别以AB u u u r ，AD u u u r ，1AA u u uu r 所在直线为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a .(1)∵平面ABCD 即为坐标平面xOy ，∴n 1＝(0,0,1)为其一个法向量． (2)∵B 1D ⊥平面A 1BC 1，又∵1B D u u u u r＝(0，a,0)－(a,0，a )＝(－a ，a ，－a )， ∴n 2＝1a1B D uu u u r ＝(－1,1，－1)为平面A 1BC 1的一个法向量．(3)设n ＝(x 0，y 0，z 0)为平面AMD 1的一个法向量，∵AM u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，1AD u u u u r＝(0，a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM u u u u r ＝(x 0，y 0，z 0)·⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0＝a 2x 0＋ay 0＝0，n ·1AD u u u u r ＝(x 0，y 0，z 0)·(0，a ，a )＝ay 0＋az 0＝0.令x 0＝2，则y 0＝－1，z 0＝1，∴n ＝(2，－1,1)为平面AMD 1的一个法向量．8.如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示．AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝2.(1)求平面B 1CD 1的一个法向量；(2)设M (x ，y ，z )是平面B 1CD 1内的任意一点，求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系A －xyz 中，各点坐标为B 1(3,0,2)，C (3,4,0)，D 1(0,4,2)，由此得1B C u u u u r ＝(0,4，－2)，1CD u u u r＝(－3,0,2)；设平面B 1CD 1的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥1B C u u u u r ，a ⊥1CD u u u r ，从而a ·1B C u u u u r ＝0，a ·1CD u u u r ＝0，所以0·x ＋4·y －2·z ＝0，－3·x ＋0·y ＋2·z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，3x －2z ＝0，得到⎩⎨⎧y ＝z2，x ＝2z 3.不妨取z ＝6，则y ＝3，x ＝4.所以a ＝(4,3,6)就是平面B 1C 1D 的一个法向量．(2)由题意可得1B M u u u u r＝(x －3，y ，z －2)，因为a ＝(4,3,6)是平面B 1CD 1的一个法向量，所以a ⊥1B M u u u u r ，从而a ·1B M u u u u r＝0，即4(x －3)＋3y ＋6(z －2)＝0,4x ＋3y ＋6z ＝24， 所以满足题意的关系式是4x ＋3y ＋6z ＝24.。
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量 作业2 2017-2018学年选修2-1 苏教版 word版(含参考答案)
主动成长夯基达标1.若直线l 1、l 2的方向向量分别为a =(1,2,-2),b =(-2,3,2),则( )A.l 1∥l 2B.l 1⊥l 2C.l 1、l 2相交不平行D.不能确定解析：a ·b =-2+6-4=0.∴l 1⊥l 2.答案：B2.若平面α、β的法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则( )A.α∥βB.α⊥βC.α、β相交但不垂直D.以上均不正确解析：∵v =-3u ,∴α∥β.答案：A3.已知直线l 1的方向向量a =(2,4,x),直线l 2的方向向量b =(2,y,2),若｜a ｜=6,且a ⊥b ,则x+y 的值是( )A.-3或1B.3或-1C.-3D.1解析：由｜a ｜=6,a ⊥b 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0244642222x y x ∴⎩⎨⎧==-3y 4x 或⎩⎨⎧==1y -4x ∴x+y=-3或1答案：A4.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为u =(-2,0,-4),则直线l 与平面α的关系为( )A.垂直B.平行C.斜交D.l 在α内解析：∵u =-2a ∴a ∥u即直线的方向向量与平面的法向量平行,∴l ⊥α.答案：A5.若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n,则能使l ∥α的是( )A.a =(1,0,0) n =(-2,0,0)B.a =(1,3,5) n =(1,0,1)C.a =(0,2,1) n =(-1,0,-1)D.a =(1,-1,3) n =(0,3,1)解析：在D 中,a ·n =(1,-1,3)·(0,3,1)=0∴a ⊥n ∴l ∥α答案：D6.已知三点A(2,3,-3),B(4,5,-2),C(6,8,0),则△ABC 所在平面的单位法向量为______________. 解析：∵=(2,2,1),=(4,5,3)设平面ABC 的法向量为n =(x,y,z) 由·n =·n =0,令t=1得n =(21,-1,1) ｜n ｜=23.故所求单位法向量为||n n =(31,-32,32)同时,由于差一个符号仍为单位法向量,故所求法向量应有两个n 0=±(31,-32,32). 7.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),点D 满足条件：DB ⊥AC,DC ⊥AB,AD=BC,则点D 的坐标为______________________.解析：设D(x,y,z)则BD =(x,y-1,z),CD =(x,y,z-1),AD =(x-1,y,z),AC =(-1,0,1),AB =(-1,1,0),BC =(0,-1,1). 又DB ⊥AC ,DC ⊥AB ,且｜AD ｜=｜BC ｜.∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=+-.2)1(,0,0222z y x y x z x解得,x=y=z=1,或x=y=z=-31. 故D(1,1,1)或D(-31,-31,-31). 答案：(1,1,1)或(-31,-31,-31). 8.已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,AB=1,AA 1=2,点E 为CC 1的中点,求平面BDE 的法向量. 解析：如图：建立空间直角坐标系.则D(0,0,0) B(1,1,0)D 1(0,0,2) E(0,1,1).设平面DBE 的法向量为η=(x,y,z) 由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥ηη⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00ηη 又=(1,1,0),=(0,1,1) 知⎩⎨⎧=+=+0z y 0y x 故⎩⎨⎧==x z -x y ∴η=(x,-x,x)令x=1 则η=(1,-1,1)就是平面DBE 的一个法向量.9.设u ,v 分别是平面α,β的法向量,根据下列条件判断α,β的位置关系：(1)u =(1,-1,2),v =(3,2,21-)； (2)u =(0,3,0),v =(0,-5,0)；(3)u =(2,-3,4),v =(4,-2,1).答案:(1)α⊥β (2)α∥β (3)平面α和平面β相交(不垂直)10.设u 是平面α的法向量,a 是直线l 的方向向量,根据下列条件判断α和l 的位置关系：(1)u =(2,2,-1),a =(-3,4,2)；(2)u =(0,2,-3),a =(0,-8,12)；(3)u =(4,1,5),a =(2,-1,0).答案:(1)l ⊂α或l ∥α (2)l ⊥α(3)l 与α相交(斜交).。
2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.2.1直线的方向向量与平面的法向量-3.2.2空间线面关
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2空间线面关系的判定（一）【学习目标丨1•掌握空间点、线、面的向量表示2理解直线的方向向量与平面的法向量的意义; 会用待定系数法求平面的法向量 3能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的 平行问题•IT 问题导学 ----------------------------知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？梳理（1）用向量表示直线的位置条件直线l 上一点A表示直线l 方向的向量a （即直线的）形式在直线l 上取AB = a ,那么对于直线1上任意 点P , 定存在头数t , 使得AP =作用 疋位置 点A 和向量a 可以确疋直线的3章空间向量与立体几何 32空间向量的应用(2) 用向量表示平面的位置①通过平面a上的一个定点0和两个向量a和b来确定:②通过平面a上的一个定点A和法向量来确定:(3) 直线的方向向量和平面的法向量(4) 空间中平行关系的向量表示设直线I, m的方向向量分别为a, b,平面a, B的法向量分别为v,则知识点二利用空间向量处理平行问题思考⑴设V i = (a i, b i, C i), V2 = @2, b2, C2)分别是直线l i, 12的方向向量若直线l i// I2,则向量v i, v2应满足什么关系.(2) 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3) 用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论题型探究类型一求直线的方向向量、平面的法向量例i如图，四棱锥P —ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD , E为PD的中点.AB=AP = i, AD = 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(i) 设向量：设平面的法向量为n = (x, y, z).⑵选向量：在平面内选取两个不共线向量AB, A C.n AB= 0,(3) 列方程组：由f - 列出方程组•n AC= 0n AB=0,(4) 解方程组：f —n AC= 0.(5) 赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).(6) 得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB丄平面ABCD , △ PAB 是边长为1的正三角形，ABCD是菱形./ ABC = 60° E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.类型二利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCD-A I B I C I D I的棱长为2, E、F分别是BB i、DD 1的中点，求证:(1) FCj/ 平面ADE ;(2) 平面ADE //平面B i C i F.反思与感悟禾U用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练2 如图，在四棱锥P —ABCD中，FA丄平面ABCD , PB与底面所成的角为45° 底面ABCD 为直角梯形，/ ABC = Z BAD = 90° FA= BC= ^AD = 1,问在棱PD上是否存在当堂训练一点E,使CE//平面PAB?若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由1•若点A( —1,0,1), B(1,4,7)在直线I上，则直线I的一个方向向量的坐标可以是____________ .2. 已知向量n= (2,—3,1)是平面a的一个法向量，则下列向量中能作为平面a的法向量的是_______ •(填序号)① n 1= (0, —3,1);② n = ( —2,0,4);③n3= (—2,—3,1):④ n4= (—2,3,—1).3. 已知向量n= (—1,3,1)为平面a的法向量，点M(0,1,1)为平面内一定点P(x, y, z)为平面内任一点，贝U x, y, z满足的关系式是________ .4. 若直线I / a,且I的方向向量为(2, m,1)，平面a的法向量为1, 1, 2，则m为_________________5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为__________ .厂《规律与方法■------------------------------- 11 .应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直⑵证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3) 证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.2.证明面面平行的方法设平面a的法向量为n1 = (a1, b1, c”，平面B的法向量为n2=他,b2, C2)，贝U a//价nJ n2(a1, b1, &)= k(a2, b2, C2)(k€ R).答案精析问题导学知识点一思考(1)点：在空间中，我们取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量0P来表示•我们把向量0P称为点P的位置向量.⑵直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量②对于直线I上的任一点P,在直线上取AB = a,则存在实数t，使得AP = tAB.(3)平面：①空间中平面a的位置可以由a内两条相交直线来确定•对于平面a上的任一点P ,a, b是平面a内两个不共线向量，则存在有序实数对(x, y)，使得OP = x a + y b.②空间中平面a的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示梳理⑴方向向量tAB位置一点(2) ②方向向量(3)非零方向向量n⑷a // b a 卫=0 kv(k€ R)知识点二思考(1)由直线方向向量的定义知若直线l i/ I2,则直线I l, I2的方向向量共线，即丨1〃12?V1 // V2? V i = ”2(入€ R).(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行(3) 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行题型探究例1解因为PA丄平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB, AD , AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0, . 3, 0),3 1E(0, 2，2)，B(1,0,0), C(1, 3, 0),f：：、: 3 1 f 一于是AE = (0, —, 2), AC = (1 , .3, 0). 设n = (x , y , z)为平面ACE 的法向量，n A C = 0, x+ 3y = 0，则-即3 1 nn AE = 0,2『+ 2= 0，，一萌y , 所以z =- 3y ,令 y =— 1，则 x = z = 3.所以平面ACE 的一个法向量为 n = ( 3,— 1, .3). 引申探究解 如图所示，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,1), C(1, .3, 0),所以 PC = (1 , .3,— 1), 即为直线PC 的一个方向向量• 设平面PCD 的法向量为n = (x , y , z).因为 D(0, 3, 0)，所以 PD = (0, ,3, — 1).n PC = 0, x + ,3y — z = 0,由即n PD = 0,. ■3y— z= 0,|x = 0, 所以令y = 1,则z = .3.z = 3y ,所以平面PCD 的一个法向量为 n = (0,1,. 3). 跟踪训练1 解连结PF , CF , AC.因为PA = PB , F 为AB 的中点，所以 PF 丄AB ,又因为平面PAB丄平面ABCD，平面PAB A平面ABCD = AB, PF?平面PAB. 所以PF丄平面ABCD，因为AB = BC, / ABC = 60°所以△ ABC是等边三角形，所以CF丄AB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示FD = (—1 ,,0).由题意得F(0,0,0)，P(0,0，甲)，D( —1，，0)，C(0,甲，0)，E(0, -^, ¥). 所以FE = (0，屮，^)，设平面DEF的法向量为m = (x, y, z).m FE = 0, 则Tm FD = 0,z=—y,所以」X=尹则x= 3, z= —2.所以平面DEF的一个法向量为m= ( ,3, 2,—2).例2 证明⑴建立如图所示的空间直角坐标系 D —xyz，则有D(0,0,0), A(2, 0,0), C(0,2,0), C i(0,2,2), E(2, 2,1), F(0,0,1), B i(2,2,2),所以FC i= (0,2,1), DA = (2,0,0), AE = (0,2,1).设n 1 = (X1, y1, Z1)是平面ADE的法向量,则m 丄DA, n 1X A E ,[n i DA = 2x i= 0,即f -I n i AE = 2y i + z i = 0,x i = 0,得|z i = —2y i,令z i= 2，则y i=—1,所以n i = (0,—1,2).因为FC i n i = —2+ 2= 0,所以F C i± n i.又因为FC i?平面ADE ,所以FC i〃平面ADE.⑵因为C7S = (2,0,0)，设n2= (X2, y2, z0是平面B i C i F的一个法向量•由血丄FC i,血丄—£,|n2 FC i = 2y2 + z2= 0,得一!n e C i B i= 2x2= 0,(X2= 0,得|z2=—2y2.令Z2= 2，得y2=—i,所以n2= (0,—i,2),因为n i= n2,所以平面ADE //平面B i C i F.跟踪训练2 解分别以AB, AD , AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.••• P(0,0,i), C(i,i,0), D(0,2,0),设存在满足题意的点E(0, y, z),则PE = (0, y, z—1),PD = (0,2, —1),•/ PE // PD, ••• y x (—1) —2(z—1) = 0, ••• Ai) = (0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE = (—1 , y—1, z), CE //平面FAB,•CE 丄AD, ••• (—1, y—1, z) (0,2,0) = 0.1•y = 1,代入①得z=-,•E是PD的中点，•存在E点，当点E为PD中点时，CE //平面PAB.当堂训练1.(2,4,6) 2•④ 3.x—3y—z+ 4= 0 4• —8 5.(1,1,1)(答案不惟一)。
苏教版高中数学选修(2-1)课件3.2.1直线的方向向量和平面的法向量
5.数学应用
例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：
z是平面ACDD1的B1法向量。
D1 A1
C1 B1
D A
x
Cy
B
变式：求平面ACD1的一个法向量。
z
D1 A1
D
A
x
C1 B1
Cy
B
例2在空间直角坐标系内，设平面经 过M(点ex,Py((,Axz,)0B是,,yC0平),z面0)内，任平意面一的 点法，向求量x为，，y， z满足的关系式。
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
e
l
n
在平面向量中，我们借助向量研究了平 面内两条直线平行、垂直等位置关系。
a 0, b // a R,b a
a 0,b 0, a b a b 0
1.问题情境
如何用向量来刻画直线和平面的“方 向”呢？
e
l
n
2.定义直线的方向向量
我们把直线上l 的向量以e及 与共线的e 向量
叫做直线的方向l 向量。
e
l
3.定义平面的方向向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行 的，所以，我们可以考虑用平面的垂线 的方向向量来刻画平面的“方向”。
4.定义平面的法向量
如 垂 记 向果直作量n 表于。。示平此非面时零 ， ，向 那 我n 量 么 们 的 称 把n 有 向 向向 量 量垂线 叫直段 做于所平n 平在面面直的法，线
e
PM
6.思考
已知直线上一点和直线的方向向量， 这条直线就确定。已知平面内一点和 平面的法向量，这个平面是
苏教版数学高二 选修2-1试题 空间线面关系的判定
3.2.2空间线面关系的判定课时目标1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.2.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．1．用直线的方向向量和平面的法向量表示平行、垂直关系设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则平行垂直l1与l2l1与α1α1与α22.三垂线定理文字语言：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条________在这个平面内的________垂直，那么它也和这条________垂直．几何语言：⎭⎪⎬⎪⎫b⊄平面αc是b在平面α内的射影⇒a⊥b3．直线与平面垂直的判定定理文字语言：如果一条直线和平面内的________________________，那么这条直线垂直于这个平面．几何语言：⎭⎪⎬⎪⎫a⊂α，b⊂α⇒l⊥α一、填空题1．平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2＝______.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为__________．3.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．(写出所有正确的序号)4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝________. 5．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是_______________________________________________．6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1，b 2分别为________________．7.已知A （0,2,3），B （-2,1,6），C （1，-1,5），若a ，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则向量a 的坐标为________．8．设平面α、β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，则α、β的位置关系为________．二、解答题9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.如图所示，在六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.能力提升11．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，G、E、F分别是DD1、BB1、D1B1的中点．求证：(1)EF⊥平面A1DC1；(2)EF∥平面GAC.12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，E、F分别是棱B1C1、C1D1的中点．证明：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面AMN∥平面BDFE.1．运用空间向量将几何推理转化为向量运算时，应注意处理和把握以下两大关系：一是一些几何题能用纯几何法和向量法解决，体现了纯几何法和向量法在解题中的相互渗透；二是向量法解题时也有用基向量法和坐标向量法两种选择．2．利用向量法解立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3．2.2 空间线面关系的判定知识梳理1.2.斜线 射影 斜线 a α a ⊥c3．两条相交直线垂直 l ⊥a l ⊥b a∩b ＝A作业设计1．1 2．l ⊥α解析 ∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α. 3．①②③ 4.75解析 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)， 2a －b ＝(3,2，－2)，(k a ＋b )⊥(2a －b )， ∴3(k －1)＋2k －4＝0，即k ＝75.5．垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直． 6．(1,1,0)，(0,0,1)解析 ∵b 1∥a ，∴设b 1＝(λ，λ，0)，b 2＝b －b 1 ＝(1－λ，1－λ，1)，由b 2⊥a ，即a·b 2＝0， ∴1－λ＋1－λ＝0，得λ＝1， ∴b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)． 7．(1,1,1)或(－1，－1，－1)解析 设a ＝(x ，y ，z)，由题意AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.解得x ＝1，y ＝1，z ＝1，或x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1， 即a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)． 8．平行9．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1A 1D ， ∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋D 1D →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得D(0,0,0)，B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)，B 1C →＝(－1,0，－1)， OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1， OC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0n ·OC 1→＝0，得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②.令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴B 1C →⊥n ，∴B 1C ∥平面ODC 1. 10．证明 以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则有A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)， A 1(1,0,2)，B 1(1,1,2)， C 1(0,1,2)，D 1(0,0,2)．(1)∵A 1C 1→＝(－1,1,0)，AC →＝(－2,2,0)， D 1B 1→＝(1,1,0)，DB →＝(2,2,0)， ∴AC →＝2A 1C 1→，DB →＝2D 1B 1→. ∴AC →与A 1C 1→平行，DB →与D 1B 1→平行， 于是A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面． (2)DD 1→·AC →＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0， DB →·AC →＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0， ∴DD 1→⊥AC →，DB →⊥AC →.DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面B 1BDD 1.又平面A 1ACC 1过AC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1. 11．证明设正方体的棱长为2，以DA →、DC →、DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系D —xyz ，如图，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(2,2,1)、F(1,1,2)、G(0,0,1)、A 1(2,0,2)、C(0,2,2)．(1)EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)，A 1D →＝(0,0,0)－(2,0,2)＝(－2,0，－2)， DC 1→＝(0,2,2)－(0,0,0)＝(0,2,2)， ∵EF →·A 1D →＝(－1，－1,1)·(－2,0，－2) ＝(－1)×(－2)＋(－1)×0＋1×(－2)＝0， EF →·DC 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2) ＝－1×0＋(－1)×2＋1×2＝0， ∴EF ⊥A 1D ，EF ⊥DC 1.又A 1D∩DC 1＝D ，A 1D 、DC 1⊂平面A 1DC 1， ∴EF ⊥平面A 1DC 1.(2)取AC 的中点O ，则O(1,1,0)， ∴OG →＝(－1，－1,1)，∴OG ∥EF. 又∵OG ⊂平面GAC ，EF ⊄平面GAC ， ∴EF ∥平面GAC. 12．证明不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，B(2,2,0)，E(1,2,2)，F(0,1,2)．(1)EF →＝(－1，－1,0)， DB →＝(2,2,0)．∵DB →＝－2EF →，∴DB →∥EF →.故E 、F 、B 、D 四点共面．(2)DF →＝(0,1,2)，MN →＝(－1，－1,0)，MA →＝(0，－1，－2)． 设n ＝(x ，y ，z)为平面BDFE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝y ＋2z ＝0，n ·EF →＝－x －y ＝0.令z ＝1，得n ＝(2，－2,1)．∵n ·MN →＝(2，－2,1)·(－1，－1,0)＝0， n ·MA →＝(2，－2,1)·(0，－1，－2)＝0，∴n ⊥MN →，n ⊥MA →，即n 也是平面AMN 的法向量． ∴平面AMN ∥平面BDFE.。
2019年高中苏教版数学选修2-1课件 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 课件(14张)
此时，我们n叫 把做 向平 量 的 面法向 . 量
l
n
几点注意： 1.法向量一定是非零向量;
2.若n 为平面的法向量，则 n( 0)
也为平面的法向量;
3.向量n 是平面的法向量，向量 m 是
与平面平行或在平面内，则有
nm0
例：如图所示，在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1
x
x
y z
X
B
Y
待定系数 法
不x 妨 1 ,则 y 取 zx 1
n(1,1,1)就是平 AC面 1的 D 一个法向量 练习： 求平面 AFD1的一个法向量
待定系数法求法向量的步骤：
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
B1
又 D ( 0 , 0 , 0 ) A ( 2 , , 0 , 0 ) C ( 0 , , 2 , 0 ) D 1 ( 0 , , 0 , 2 ) D
F
C
M
A
A C ( 2 ,2 ,0 )A ,1 D ( 2 ,0 ,2 )
则 ： 22xx 02yy 20zz 00
空间向量的应用 ——直线的方向向量与平面的法向量
思一考、：如直何线用向的量方来表向示向直量线的“方向”？
我们把直线l上的向量 e 以及与 e 共线的非零向
量叫做直线l的方向向量。
l
e
B
e
A
思二考、：平怎样面用的向法量向来表量示平面的“方向”？
平面的法向量： 如果表示非n的 零有 向向 量线段所直 在于 直平 线 ， 面 垂
苏教版高中数学选修(2-1)-3.2《直线的方向向量与平面的法向量》教学教案
直线的方向向量与平面的法向量学习目标：1．理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．会用待定系数法求平面的法向量。
学习重点：直线的方向向量和平面的法向量 学习难点：求平面的法向量 学习过程 一、创设情景1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？ 二、建构数学 1、直线的方向向量我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量。
2、平面的法向量如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量。
三、数学运用1、在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：1DB 是平面1ACD 的法向量。
证：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -。
)1,1,1(1=DB ，)0,1,1(-=，)1,0,1(1-=AD ，01=⋅DB ，所以DB ⊥1。
同理11AD DB ⊥。
所以⊥1DB 平面ACD 。
从而1DB 是平面1ACD 的法向量。
2、在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。
解：由题意可得),,(000z z y y x x PM ---=，0=⋅PM e ，即0),,(),,(000=---⋅z z y y x x C B A ，化简得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 。
3、课堂练习已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--。
（1）求证：AP 是平面ABCD 的法向量； （2）求平行四边形ABCD 的面积。
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一、填空题
1．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.
【解析】 由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3
y ，解得x ＝12，y ＝9. 【答案】 12 9
2．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.
【解析】 ∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0，∴m ＝－1
2. 【答案】 －1
2
3．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．
【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x －2－8＝0，所以x ＝－10.
【答案】 －10
4．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM →
·n ＝0的点M 的轨迹是________．
【解析】 AM →·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念． 【答案】 过点A 且与向量n 垂直的平面
5．已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是________．
【解析】 因为|a |＝6，所以4＋16＋x 2＝36，即x ＝±4，当x ＝4时，a ＝(2,4,4)，由a·b ＝0，得4＋4y ＋8＝0，解得y ＝－3，此时x ＋y ＝4－3＝1；当x ＝－4时，
a ＝(2,4，－4)，由a·
b ＝0，得4＋4y －8＝0，解得y ＝1，此时x ＋y ＝－4＋1＝－3.
综上，得x ＋y ＝－3或x ＋y ＝1. 【答案】 －3或1
6．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________. 【导学号：09390081】
【解析】 设单位法向量n 0＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1,1,0)，AC →
＝(－1,0,1)．
由n 0·AB →＝0，且n 0·AC →
＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＋z 2＝1，
y －x ＝0，
z －x ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝33，
y ＝33，
z ＝33
，或
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3
3，
y ＝－33，z ＝－33
.
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33
，33，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫
－33，－33，－33
7．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．
【解析】 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →
＝(2，－4，－3)． 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →
＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2y ，z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.
∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 【答案】 (2,1,0)
8．已知点A ，B ，C 的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →
，则点P 的坐标为________．
【解析】 ∵A (0,1,0)，B (－1,0,1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )， ∴AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，PA →
＝(－x,1，－z )． ∵PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，
∴PA →·AB →＝(－x,1，－z )·(－1，－1,1)＝0， PA →·AC →＝(－x,1，－z )·(2,0,1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －1－z ＝0，－2x －z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝13，z ＝－23，
∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3，0，－23.
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－23 二、解答题
9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，证明：DB 1→
是平面A 1BC 1的法向量． 【证明】 建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为1，
则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，于是DB 1→
＝(1,1,1)，BA 1→＝(0，－1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)，由于DB 1→·BA 1→＝－1＋1＝0，DB 1→·BC 1→＝－1＋1＝0.
∴DB 1→⊥BA 1→，DB 1→⊥BC 1→，∵BA 1∩BC 1＝B ，∴DB 1⊥平面A 1BC 1，即DB 1→
是平面A 1BC 1的法向量．
10．已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，建立空间直角坐标系如图3-2-5.AB ＝3，BC ＝4，AA 1 ＝2，
图3-2-5
(1)求平面B 1CD 1的一个法向量；
(2)设M (x ，y ，z )是平面B 1CD 1内的任意一点，求x ，y ，z 满足的关系式． 【解】 (1)在题图所示的空间直角坐标系A -xyz 中各点坐标为B 1(3,0,2)，C (3,4,0)，D 1(0,4,2)，
由此得B 1C →＝(0,4，－2)，CD 1→
＝(－3,0,2)， 设平面B 1CD 1的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )， 则a ⊥B 1C →，a ⊥CD 1→，从而a ·B 1C →＝0，a ·CD 1→
＝0， 所以0·x ＋4·y －2·z ＝0，－3·x ＋0·y ＋2·z ＝0， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
2y －z ＝0，3x －2z ＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝z 2，x ＝2z 3.
不妨取z ＝6，则y ＝3，x ＝4.
所以a ＝(4,3,6)就是平面B 1CD 1的一个法向量． (2)由题意可得，B 1M →
＝(x －3，y ，z －2)， 因为a ＝(4,3,6)是平面B 1CD 1的一个法向量， 所以a ⊥B 1M →，从而a ·B 1M →
＝0，
即4(x －3)＋3y ＋6(z －2)＝0,4x ＋3y ＋6z ＝24， 所以满足题意的关系式是4x ＋3y ＋6z ＝24.
[能力提升]
1．若不重合的两个平面的法向量分别是a ＝(3，－3，－3)，b ＝(－1,1,1)，则这两个平面的位置关系是________．
【解析】 ∵a ＝(3，－3，－3)，b ＝(－1,1,1)， ∴a ＝－3b ，a ∥b . ∴这两个平面平行． 【答案】 平行
2．已知平面α内有一个点A (－1,1,0)，α的一个法向量为n ＝(－1,1,1)，则下列各点中，在平面α内的是________(填序号)．
①(1,3,2)；②(0,0,2)；③(1,2,1)；④⎝ ⎛
⎭
⎪⎫5，13，23.
【解析】 设平面α内任意点P (x ，y ，z )，则AP →＝(x ＋1，y －1，z )，故n ·AP →
＝－x －1＋y －1＋z ＝0，即x －y －z ＋2＝0，把各点坐标代入检验，可知②③符合．
【答案】 ②③
3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →
＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →
＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③
AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →
.其中正确的结论是________. 【导学号：09390082】
【解析】 AB →·AP →
＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →
，即AP ⊥AB ；
AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →
＝(－1,2，－1)，
∴2－1≠32≠4－1，所以AP →与BD →
不平行． 【答案】 ①②③
4．如图3-2-6，四棱锥P -ABCD 中，PD ＝AD ＝DC ，底面ABCD 为正方形，E 为PC 的中点，F 在PB 上，问F 在何位置时，PB →
为平面DEF 的一个法向量？
图3-2-6
【解】 建系如图，设DA ＝2， 则D (0,0,0)，P (0,0,2)，C (0,2,0)． ∴E (0,1,1)，∵B (2,2,0)， ∴PB →
＝(2,2，－2)． 设F (x ，y ，z )，PF →＝λPB →
， ∴(x ，y ，z －2)＝λ(2,2，－2)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2λ，y ＝2λ，z －2＝－2λ，
∴F (2λ，2λ，2－2λ)， ∴DF →
＝(2λ，2λ，2－2λ)．
∵PB →·DF →
＝0，∴4λ＋4λ－2(2－2λ)＝0，∴λ＝13， ∴F 为PB 的一个三等分点(靠近P 点)．。