高教出版社第三版实变函数论打印版

1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ⊂.

证明：若()

B A A B -=，则()A B A A B ⊂-⊂，故A B ⊂成立.

反之，若A B ⊂，则()()B A A B A B B -⊂-⊂，

又x B ∀∈，若x A ∈，则

()x B A A ∈-，若x A ∉，则()x B A B A A ∈-⊂-.总有

()

x B A A ∈-.故

()B B A A ⊂-，从而有()

B A A B -=。 证毕

2. 证明c A B A

B -=.

证明：x A B ∀∈-，从而,x A x B ∈∉，故,c

x A x B ∈∈，从而x A B ∀∈-， 所以c A B A

B -⊂.

另一方面，c x A

B ∀∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈∉，从而

x A B ∈-，

所以 c A

B A B ⊂-.

综合上两个包含式得c A B A

B -=. 证毕

3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定

理9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ⊂（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧

∈∧

⊂

.

证：若x A λλ∈∧

∈

，

则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ⊂（∀λ∈∧）成立

知x A B λλ∈⊂，故x B λλ∈∧

∈，这说明

A B λλλλ∈∧

∈∧

⊂

.

定理4中的（4）：

()()(

)A B A B λ

λλλλλλ∈∧

∈∧

∈∧

=.

证

：

若

()

x A B λ

λλ∈∧

∈

，则

有

'λ∈∧

，使

''()(

)()x A B A B λλλλλλ∈∧

∈∧

∈⊂.

反过来，若()(

)x A B λλλλ∈∧

∈∧

∈则x A λλ∈∧

∈或者x B λλ∈∧

∈

. 不妨设x A λλ∈∧

∈，则有'λ∈∧使''

'()x A A B A B λ

λλλλλ∈∧

∈⊂⊂

.

故(

)()()A B A B λλλ

λλλλ∈∧

∈∧

∈∧

⊂

.

综上所述有

()(

)(

)A B A B λ

λλλλλλ∈∧

∈∧

∈∧

=.

定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧

∈∧

=

.

证：(

)c x A λλ∈∧

∀∈，则x A λλ∈∧

∉

，故存在'λ∈∧ ，'x A λ∉所以

'c c x A A λλλ∈∧

∉⊂

从而有(

)c c A A λλλλ∈∧

∈∧

⊂

.

反过来，若c x A λλ∈∧

∈

，则'λ∃∈∧使'c x A λ∉，故'x A λ∉，

x A λλ∈∧

∴∉

，从而(

)c x A λλ∈∧

∈

(

)c c A A λλλλ∈∧

∈∧

∴⊃

. 证毕

定理9：若集合序列12,,,,

n A A A 单调上升，即1n n A A +⊂（相应地

1n n A A +⊃）对一切n 都成立，则 1lim n n n A ∞→∞

==

（相应地）1

lim n n n A ∞→∞

==

.

证明：若1n n A A +⊂对n N ∀∈成立，则

i m i m

A A ∞==.故从定理8知

11

liminf n i m n m i m

m A A A ∞∞

∞→∞

====

=

另一方面,m n ∀，令m i i m

S A ∞

==

，从1m m A A +⊂对m N ∀∈成立知

1

11

1

1

(

)(

)m i m

i m i i m i m

i m i m i m S A A A A A A S ∞∞∞∞++==+=+=+=

=⊂=

=.故定理8表

明

111

1limsup liminf n i m m n n n m i m

m m A A S S A A ∞

∞

∞

∞→∞

→∞

=====

=

==

=

故1

lim limsup liminf n n n m n n n m A A A A ∞→∞

→∞

→∞

====

.

4. 证明()()A B B A B B -=-的充要条件是B =∅.

证

：

充

分

性

若

B =∅

，

则

()()A B B A A A A A -=-∅∅=-∅==∅=∅-∅

必要性 若()()A B B A B B -=-，而B ≠∅则存在x B ∈.

所以()()x A B B A B B ∈-=-即所以,x A B x B ∈∉这与x B ∈矛

盾，

所以x B ∈. 4. 设

{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,求()F A .又如果

1

;1,2,3,

,S n n ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭

01;A n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为奇数,{}1111,,

,,321A i ⎧⎫

⎧⎫

⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩

⎭

,问()()01,F A F A 是什么.

解:若{}{}{}{}

1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,则

(){}{}{}{},1,2,3,4,1,2,3,4F A =∅.

若011111

;1,2,3,

,;1,,,,35

21

S n A n n i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭

为奇数, 则从1111111,,,

,,,,3521242c

i i ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭

, 易知()111111,,1,,,

,,,,,3521242F A S i i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩

⎭

. {}1111,,

,,321A i ⎧⎫

⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩

⎭

. 令1

1

;1,2,,;1,2,21

2B i C i i i

⎧⎫⎧⎫

====⎨

⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭

. {}{}

{}

1,F A S A

K A B K C K A =∅==∅

为的子集，或.

证明: 因为{}111,,

,,,321A B i ⎧⎫

⎧⎫∈⎨⎬⎨⎬-⎩⎭

⎩⎭

的任何子集()1F A .