一次绝对值函数的最值问题
微专题24 绝对值函数问题(解析版)
微专题24 绝对值函数问题【题型归纳目录】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题 题型二：含两个绝对值的和的问题 题型三：含两个绝对值的差的问题 题型四：含多个绝对值的问题 【典型例题】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题 例1．不等式|23|5x -<的解集为( ) A ．(1,4)- B ．(-∞，1)(4-⋃，)+∞C ．(,4)-∞D ．(1,)-+∞【解析】解：|23|5x -<， 5235x ∴-<-<，解得：14x -<<， 故选：A ．例2．不等式|1|3x -<的解集是( ) A ．(-∞，2)(4-⋃，)+∞ B ．(2,4)-C ．(1,4)D ．(-∞，1)(4⋃，)+∞【解析】解：|1|3x -<，313x ∴-<-<，24x ∴-<<， 故不等式的解集是(2,4)-， 故选：B ．例3．若不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈，2]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)-B ．[1-，3]C ．(1,3)D ．[1，3]【解析】解：由不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈，2]上恒成立，可得()|2|f x a x =-的图象在[0x ∈，2]上恒位于直线3y x =+的下方或在直线3y x =+上， 如图所示：∴02(2)|4|5af a ⎧<⎪⎨⎪=-⎩①，或02(2)|4|5(0)||3a f a f a ⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩②．由①可得10a -<，由②可得03a ，故实数a 的取值范围是{|10a a -<，或者03}[1a =-，3]，故选：B ．变式1．已知t 为常数，函数2|4|y x x t =--在区间[0，6]上的最大值为10，则t = 2或6 ． 【解析】解：函数22|4||(2)4|y x x t x t =--=---在区间[0，6]上的最大值为10， 故有2(62)410t ---=，或410t +=，求得2t =，或6t =， 故答案为：2或6．变式2．已知不等式|3|1x a x ->-对任意(0,2)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 (,3)[7-∞，)+∞【解析】解：|3|1x a x ->-等价于31x a x ->-或31x a x -<-，解得12a x ->或14a x +<， 当1124a a -+<，即3a <时，不等式解集为R ，显然符合题意． 当3a 时，(0，2)(⊆-∞，11)(42a a +-⋃，)+∞， 所以124a +或102a -，解得7a 或1a （舍去）， 综上，实数a 的取值范围是7a 或3a <． 故答案为：(,3)[7-∞，)+∞．变式3．已知a R ∈，函数4()||f x x a a x =+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 (-∞，9]2． 【解析】解：由题可知4||5x a a x +-+，即4||5x a a x+--，所以5a ， 又因为4||5x a a x+--， 所以455a x a a x -+--， 所以4255a x x-+，又因为14x ，445x x +， 所以254a -，解得92a， 故答案为：(-∞，9]2．变式4．若函数4||y a x a x=-+-在区间[1，4]上的最小值是4，实数a 的取值范围是 [4.5，)+∞ ． 【解析】解：由4y x x=+在[1，2)递减，[2，4]递增， 可得4y x x=+的最小值为4，最大值为5， 函数4||y a x a x=-+-的最值在顶点或区间的端点处取得， 若f （1）取得最小值4，即|5|4a a --=，可得 4.5a =， 即有4() 4.5| 4.5|f x x x=-+-，且此时f （1）f =（2）f =（4）取得最小值，成立； 若f （2）取得最小值4，即|4|4a a --=，即有4a ；此时f （1）|5|a a =--，f （4）|5|a a =--，f （2）4=，由f （2）f （1），解得 4.5a ； 当f （4）取得最小值4，即|5|4a a --=，解得 4.5a =，成立． 综上可得a 的范围是[4.5，)+∞． 故答案为：[4.5，)+∞．题型二：含两个绝对值的和的问题例4．不等式|1||2|4x x -++的解集是( ) A ．53(,)22-B ．53[,]22-C ．3[2,]2-D ．5[,1)2-【解析】解：令()|1||2|f x x x =-++， 则21,2()3,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<<⎨⎪+⎩，∴当2x -时，|2||1|4214x x x ++-⇔--，522x ∴--； 当21x -<<时，有34恒成立，当1x 时，|2||1|4214x x x ++-⇔+，312x∴． 综上所述，不等式|2||1|4x x ++-的解集为5[2-，3]2．故选：B ．例5．不等式2|1||2|2x x a a ++--恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞B ．(3,)+∞C ．[1-，3]D ．(-∞，1][3-，)+∞【解析】解：|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-++-=，|1||2|x x ∴++-的最小值为3，2|1||2|2x x a a ++--恒成立，∴只需223a a -，13a ∴-，a ∴的取值范围为[1-，3]．故选：C ．例6．若关于x 的不等式|2||1|x x a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值是( ) A ．0B ．1C ．1-D ．2【解析】解：由绝对值的性质得()|2||1||(2)(1)|1f x x x x x =-+----=，所以()f x 最小值为1，从而1a ，解得1a ， 因此a 的最大值为1． 故选：B ．变式5．若关于x 的不等式|2|||x x a a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．1-D ．2【解析】解：化简得：|2||||(2)()||2|x x a x x a a a -+----=-，当20a -，即2a 时，上式化为2a a -，实数a 无解；当20a -，即2a 时，上式化为2a a -，解得22a ，解得1a ， 综上，实数a 的范围为1a ， 则实数a 的最大值为1． 故选：B ．变式6．不等式|1||24|6x x ++->的解集为 (-∞，1)(3-⋃，)+∞ ． 【解析】解：由于33,1|1||24|5,1233,2x x x x x x x x -<-⎧⎪++-=--<⎨⎪-⎩，故当1x <-时，不等式即336x ->，解得1x <-． 当12x -<时，不等式即56x ->，解得x 无解．当2x 时，不等式即336x ->，解得3x >． 综上可得，不等式的解集为(-∞，1)(3-⋃，)+∞， 故答案为(-∞，1)(3-⋃，)+∞．变式7．关于x 的不等式|2||8|x x a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值为 6 ． 【解析】解：由绝对值的性质得()|2||8||(2)(8)|6f x x x x x =-+----=，所以()f x 最小值为6，从而6a ，解得6a ， 因此a 的最大值为6． 故答案为：6．变式8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--．若集合{|(1)()0x f x f x -->，}x R ∈=∅，则实数a 的取值范围为 1(,]6-∞ ．【解析】解：若{|(1)()0x f x f x -->，}x R ∈=∅， 则等价为(1)()0f x f x --恒成立，即(1)()f x f x -恒成立， 当0x 时，1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--．若0a ，则当0x 时，1()(23)2f x x a x a a x =-+-+=，()f x 是奇函数，∴若0x <，则0x ->，则()()f x x f x -=-=-，则()f x x =，0x <，综上()f x x =，此时函数为增函数，则(1)()f x f x -恒成立， 若0a >，若0x a 时，1()[(2)3]2f x x a x a a x =-+---=-；当2a x a <时，1()[(2)3]2f x x a x a a a =----=-；当2x a >时，1()(23)32f x x a x a a x a =-+--=-．即当0x 时，函数的最小值为a -， 由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 当0x <时，()f x 的最大值为a ， 作出函数的图象如图： 由于x R ∀∈，(1)()f x f x -，故函数(1)f x -的图象不能在函数()f x 的图象的上方，结合图可得133a a -，即61a ，求得106a <， 综上16a， 故答案为：(-∞，1]6题型三：含两个绝对值的差的问题例7．若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞317317][2-+，)+∞ B ．(-∞，2][1-，)+∞C ．[1，2]D ．(-∞，1][2，)+∞【解析】解：令2,1()|1||1|2,112,1x f x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪⎩，则2()2f x -，即2|1||1|2x x -+--，若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立， 则232a a --， 解得2a 或1a ． 故选：D ．例8．若关于x 的不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(-∞，3)(1-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【解析】解：|1||2||(1)(2)|3x x x x +--+--=，3|1||2|3x x ∴-+--，由不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解， 知232a a >+，解得31a -<<．故选：A ．例9．若关于x 的不等式2|1||2|4x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1)(3⋃，)+∞B ．(1,3)C ．(-∞，3)(1--⋃，)+∞D ．(3,1)--【解析】解：|1||2|x x +--表示数轴上的x 对应点到1-的距离减去它到2的距离，它的最大值为3，最小值等于3-，243a a ->-，2430a a -+>，3a ∴>，或1a <，故实数a 的取值范围为(-∞，1)(3⋃，)+∞，故选：A ．变式9．对所有的x R ∈，不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立，实数a 的取值范围是 (-∞，5][3-，)+∞【解析】解：|20||5|15x x ---，对所有的x R ∈，不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立，则2215a a +，解得5a -或3a ．故答案为(-∞，5][3-，)+∞．变式10．关于x 的不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅，则实数a 的取值范围为 (-∞，1][4，)+∞ ．【解析】解：|3||1||(3)(1)|4x x x x +---+--=-， (|3||1|)4min x x ∴+--=-．不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅，∴只需25(|3||1|)4min a a x x -+--=-，2540a a ∴-+，4a ∴或1a ，a ∴的取值范围为(-∞，1][4，)+∞．故答案为：(-∞，1][4，)+∞． 题型四：含多个绝对值的问题例10．设函数()|1||2||2018||1||2||2018|()f x x x x x x x x R =++++⋯+++-+-+⋯+-∈，下列四个命题中真命题的序号是( ) （1）()f x 是偶函数；（2）当且仅当0x =时，()f x 有最小值； （3）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（4）方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根 A ．（1）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（2）（3）（4）【解析】解：()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =++++⋯+++-+-+⋯+-，()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x ∴-=-++-++⋯+-++--+--+⋯+-- |1||2||2018||1||2||2018|()x x x x x x f x =-+-+⋯+-+++++⋯++=， ()f x ∴为偶函数，故（1）正确．根据绝对值的几何意义可得()(|1||1|)(|2||2|)(|3||3|)(|2018||2018|)f x x x x x x x x x =++-+++-+++-+⋯+++- 2018(24036)2464036201820192++++⋯+==⨯，当且仅当11x -时，取等号．故（2）错误；由于1()2f f =（1），显然函数()f x 在(0,)+∞上不是增函数，故（3）不正确；由于2(55)(2)f a a f a -+=-，且函数()f x 为偶函数，2552a a a ∴-+=-，或255(2)a a a -+=--，或21551121a a a ⎧--+⎨--⎩． 解得1a =，或3a =，或32a =或13a ，故方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根，故（4）正确． 故答案为：（1）（4） 故选：A ．例11．若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 (-∞，18] ． 【解析】解：244,(1)222,(12)|1||2||10||11|18,(210)22,(1011)424,(11)x x x x x x x x x x x x x -⎧⎪-<⎪⎪-+-+-+-=<⎨⎪-<⎪->⎪⎩，可得|1||2||10||11|18x x x x -+-+-+-，若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为(-∞，18]． 故答案为：(-∞，18]．例12．已知函数()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+-，则当x = 171时，()f x 取得最小值． 【解析】解：()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+- 111|1|2||3||100||23100x x x x =-+-+-+⋯+-111111|1|||||||||||||22333100x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+⋯+-共有1(1100)10050502+⨯⨯=项 又||||||x a x b a b -+--（注:||x a -为x 到a 的距离⋯||||x a x b -+-即为x 到a 的距离加上x 到b 的距离，当x 在a ，b 之间时，||||x a x b -+-最小且值为a 到b 的距离） 所以()f x 的5050项 前后对应每两项相加，使用公式||||||x a x b a b -+--111()(1)()1002100f x -+-+⋯+⋯当x 在每一对a ，b 之间时，等号成立 由于170(170)24852⨯+⨯= 171(711)25562⨯+⨯= 所以()f x 最中间的两项（第2525，2526项）是1||71x - 所以11111()(1)()()10021007171f x -+-+⋯+- 当171x =时等号成立 则当171x =时()f x 取得最小值 变式11．已知函数()|1||21||31|f x x x x =-+-+-．则f （2）= 9 ，()f x 的最小值为 ． 【解析】解：（1）f （2）|21||221||321|9=-+⨯-+⨯-= （2）136,3111,()32141,1263,1x x x f x x x x x ⎧-⎪⎪⎪<⎪=⎨⎪-<⎪⎪⎪->⎩， 由()f x 单调性知，最小值为1．变式12．已知函数()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-，x N +∈且120x ．（1）分别计算f （1），f （5），(20)f 的值；（2）当x 为何值时，()f x 取得最小值？最小值是多少？ 【解析】解：（1）由()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-， 得f （1）19(119)012191902⨯+=+++⋯+==；f （5）15(115)43210121510101201302⨯+=+++++++⋯+=+=+=； 19(191)(20)19181732101902f ⨯+=+++⋯++++==． （2）设x 是1~20中的某一整数，则()(1)(2)321012(20)f x x x x =-+-+⋯+++++++⋯+- (1)[1(1)](20)[1(20)]22x x x x -+--+-=+222121399(242420)21210()224x x x x x =-+=-+=-+． 因为x N +∈，所以当10x =或11时，()f x 取最小值， (10)(11)100f f ==，即最小值是100．【过关测试】 一、单选题1．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合{}21A x x =-≤，{}1,2,3,4B =，则A B =（ ） A ．{}4 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3【答案】D【解析】因为{}{}{}2112113A x x x x x x =-≤=-≤-≤=≤≤，故{}1,2,3A B =. 故选：D.2．（2022·江苏·扬州市邗江区蒋王中学高一阶段练习）设a ∈R ，若不等式22112480x x ax x x x-+++-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,5- B ．[]1,6- C ．[]2,6- D ．[]2,2-【答案】C【解析】由题意可得()221142+++8a x x x x x-≤-，且0x ≠. 当0x >时，可得2211842+++a x x x x x-≤-， 由绝对值三角不等式可得222211811888++++++=2+22x x x x x x x x x x x x x x-≥-≥⋅， 当且仅当=2x 时，等号成立，所以，428a -≤，可得2a ≥-；当<0x 时，可得222211811842++a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥--+---=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()222211811888++2228x x x x x x x x x x x x x x--≥-++-=-+≥-⋅=--， 当且仅当=2x -时，等号成立，故428a -≥-，解得6a ≤.综上所述，26a -≤≤.故选：C.3．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（ ）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】D【解析】集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+ 又A B ⊆，所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥，即4a b -≥所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选：D4．（2022·浙江·温州中学高一期中）已知函数()()122021122021f x x x x x x x x R =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-∈，且实数a 满足()()221f a a f a --=+，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a =或1a =11315a --≤≤B ．3a =或1a =C ．3a =或1a =-D ．3a =或1a =或1a =-【答案】A【解析】因为函数()f x 的定义域为R ，而()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，又112x x ++-≥，当且仅当11x -≤≤时取等号， 224x x ++-≥，当且仅当22x -≤≤时取等号，……202120214042x x ++-≥，当且仅当20212021x -≤≤时取等号，所以()()1220211220212122021f x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-≥+++，当且仅当11x -≤≤时取等号，当12x ≤≤时，()()122021122021=2222021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++，当23x ≤≤时，()()122021122021=4232021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++，…… 当20202021x ≤≤时，()122021122021=404022021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+⨯， 当2021x >时，()122021122021=4042f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-，故函数()f x 在[)1,+∞上递增，再根据函数()f x 为偶函数，所以()f x 在(],1-∞-上递增，因此()()221f a a f a --=+可等价于221a a a --=+或()221a a a --=-+或2121111a a a ⎧-≤--≤⎨-≤+≤⎩，解得1a =-或3a =或1a =11315a --≤≤ 故选：A ．5．（2022·江苏·海安高级中学高一阶段练习）若不等式21x x a +--≤对一切x R ∈恒成立．则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3a <C ．3a ≥D ．3a ≤【答案】C 【解析】设21y x x =+--，当21x -≤≤时，()2121y x x x =++-=+；当1x >时，()()213y x x =+--=；当<2x -时，()()213y x x =-++-=-， 故21y x x =+--有最大值3． 21x x a +--≤对一切x ∈R 恒成立，则a 必大于等于21y x x =+--的最大值3．故取值范围为[)3,+∞．故选：C ．6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ， 可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++，11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++ 211124113363332a b a b a b ≥+++++---=， 即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为14， 故选：B 7．（2022·浙江杭州·高一期末）当[1,1]x ∈-时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a b c ++的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】B【解析】因为[1,1]x ∈-， 所以[0,1]x ∈， 当0x =时，可得1c ≤①， 当12x =时，可得142a b c ++≤②， 当1x =时，可得1a b c ++≤③， 由①②③可得114()()84222a b a c a b c c =++-++-≤， 134()()84244a b b c a b c c =++-++-≤， 所以88117a b c ++≤++=，故选：B8．（2022·江苏省太湖高级中学高一期中）设{}|22A x x =-≥，{}|1B x x a =-<，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ）A ．1a <B ．01a <≤C ．1a ≤D ．03a <≤【答案】C 【解析】由22x -≥得22x -≤-或22x -≥，解得0x ≤或4x ≥，所以(][),04,A =-∞⋃+∞， 由1x a -<得1a x a -<-<，解得11a x a -<<+，所以()1,1B a a =-+.当0a ≤时，B =∅，A B ⋂=∅，符合题意. 当0a >时，由于A B ⋂=∅，所以1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤. 综上所述，a 的取值范围是1a ≤.故选：C9．（2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）已知函数()1f x mx x =--（0m >），若关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）A ．01m <≤B ．4332m ≤<C ．312m <<D ．322m ≤< 【答案】B【解析】()0f x <可化为1mx x <-，作函数y mx =与函数1y x =-的图象如下，结合图象可知，关于x 的不等式()0f x <的解集中的3个整数解为0，1-，2-； 故只需使221331m m ⎧-<--⎪⎨-≥--⎪⎩，解得4332m ≤<； 故选：B ．二、多选题10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（ ） A ．74B ．72C ．114D ．1【答案】AD 【解析】令23333x x x -+≤--+①，当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求，当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<，所以不等式①的解为13x ≤≤； 由上可得，不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >，所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或， 令23334x x -+=，解得32x =，令27334x x -+=，解得52x =或12，令3334x --+=，解得34x =或214，令7334x --+=，解得74x =或174，所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为74. 故选：AD.11．（2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）若R x ∃∈，使得|21||32|x x m +--<成立是假命题，则实数m 可能取值是（ ）A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】CD【解析】因为R x ∃∈，使得|21||32|x x m +--<成立是假命题，所以R x ∀∈，都有|21||32|x x m +--≥.记()|21||32|f x x x =+--，只需()min m f x ≤. ()34,213=|2+1||32|=42,<2214,<2x f x x x x x x ≥----≤--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩， 所以()min 4f x =-，所以4m ≤-.对照四个选项，C 、D 符合题意.故选：CD12．（2022·辽宁·沈阳市第五中学高一阶段练习）下面命题中正确的为（ ）A ．不等式|1||2|3x x ++->的解集为RB ．不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为RC ．不等式|1||2|5++->x x 的解集为(2,3)x ∈-D ．不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞【答案】BD【解析】对于A ，当0x =时，|1||2|3x x ++-=，故选项A 错误；对于B ，因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥---=，即不等式|1||2|3x x ++-≥恒成立，所以不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为R ，故选项B 正确；对于C ，不等式|1||2|5++->x x ，当1x <-时，则125x x --+->，解得<2x -；当12x -≤≤时，则125x x ++->，解得x ∈∅；当2x >时，则125x x ++->，解得3x >.综上所述，不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，故选项C 错误,D 正确.. 故选：BD.三、填空题13．（2022·天津市汇文中学高一阶段练习）关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋1|≤10的解集为___________．【答案】911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】当x ＞2时，原不等式可化为：(x －2)＋x ＋1≤10，解得2＜x ≤112；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为：－(x －2)＋x ＋1≤10，即3≤10，所以－1≤x ≤2；当x ＜－1时，原不等式可化为：－(x －2)－(x ＋1)≤10，即－2x ≤9，解得92-≤x ＜－1． 综上所述，原不等式的解集是911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．14．（2022·全国·高一专题练习）不等式122x x x -+-<+的解集为_________. 【答案】153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 【解析】23,2121,1223,1x x x x x x x ->⎧⎪-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩，|1||2|2x x x ∴-+-<+化为：2232x x x >⎧⎨-<+⎩或1212x x ≤≤⎧⎨<+⎩或1232x x x <⎧⎨-+<+⎩解得：25x <<或12x ≤≤或113x <<.∴不等式|1||2|2x x x -+-<+的解集为：153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故答案为：153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭15．（2022·全国·高一专题练习）设1234T x x x x =-+-+-+-，如果x 可取任意实数值，那么T 的最小值是_____.【答案】4【解析】根据绝对值的几何意义可知，可转化为在数轴上有A B C D ，，，四点，其对应的值分别为1234，，，，求一点M ，使得MA MB MC MD +++最小，当M 在线段AD 上时，MA MD +的最小值为3，当M 在线段BC 上时，MB MC +的最小值为1， 故当M 在线段BC 上时，MA MB MC MD +++的最小值是4.故答案为：4.16．（2022·全国·高一专题练习）不等式12x x m -++≥恒成立，则m 的取值范围是_________.【答案】3m ≤ 【解析】12123y x x x x =-++≥---=,即函数的最小值是3，若不等式12x x m -++≥恒成立，则3m ≤.故答案为：3m ≤四、解答题17．（2022·广东实验中学附属天河学校高一阶段练习）已知集合{}|123A x x x =-+-<，{}2|4B x x ax =+≤，A B ⋂=∅，求a 的取值范围． 【解析】123x x -+-<表示数轴上的点x 到1与2的距离之和小于3，∴03x <<，∴()0,3A =，{}2|4B x x ax =+≤，A B ⋂=∅，∴24x ax +≤在()0,3上无解，即4≥+a x x 在()0,3上无解， ∴ ()0,3x ∀∈，4a x x <+恒成立， 444x x x x+≥⋅，当且仅当2x =时，等号成立，4a <， ∴a 的取值范围为(),4-∞18．（2022·湖北武汉·高一期中）已知函数()21f x x x =-++.(1)求不等式()4f x ≥的解集；(2)当R x ∈时，若()2f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由于()21,1213,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，当1x <-时，214x -+≥，解得32x ≤-，此时32x ≤-； 当12x -≤<时，34≥不成立，此时无解；当2x ≥时，214x -≥，解得52x ≥，此时52x ≥. 综上：()4f x ≥的解集为35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）∵()()()21213f x x x x x =-++≥--+=，当且仅当[]1,2x ∈-时等号成立∴23m m -≤，即230m m --≤113113m -+≤≤ ∴m 的取值范围是113113⎡-+⎢⎣⎦. 19．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数()|1|||f x x x a =-+-(1)若函数()f x 的值域为[2，)+∞，求实数a 的值(2)若(2)(2)f a f -≥，求实数a 的取值范围．【解析】（1）函数()|1||||1()||1|f x x x a x x a a =-+----=-，当()()10x x a --≤时，等号成立，|1|2a ∴-=，解得=3a 或1a =-．（2）由(2)(2)f a f -≥，可得3121a a ---≥，则13(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或1<23(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或>23(1)(2)1a a a ⎧⎨---≥⎩， 解得：0a ≤或322a ≤≤或2a >．综上，a 的范围是：3(,0],2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭． 20．（2022·浙江·高一阶段练习）已知a ，b ，c ∈R ，函数2y ax bx c =++．(1)若1a =，关于x 的不等式222430ax bx c x x ++≤--对任意x ∈R 恒成立，求b ，c 的值； (2)若a ，*b ∈N ，1c =，关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，且均大于1-小于0，求a b +的最小值．【解析】（1）由224300x x --=，解得5x =或3x =-，则当5x =或3x =-时，2550930a b c a b c ⎧++≤⎪⎨-+≤⎪⎩，即2550930a b c a b c ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，由1a =，解得215b c =-⎧⎨=-⎩，∴2b =-，15c =-；（2）由题意得2Δ4010200b ac b a a b c c ⎧=->⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-+>⎪>⎪⎩，∴2241ba b a a b⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，由244b a >≥得3b ≥，若3b =，∴329413a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，则924<<a ，无解，若4b =，∴2414aa a >⎧⎪<⎨⎪+>⎩，则34a <<，无解，若5b =，∴5225415a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，则2544a <<，∴5a =或6a =，显然5a =时，a b +更小，为10，若6b ≥，由1a b +>，得2111a b b +>-≥，∴a b +的最小值为10，当5a =，5b =时取得．21．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）（1）求不等式2421x x x -++≥-的解集；（2）若不等式2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1，求实数m 的取值范围；（3）已知2214x a x a -+-+≥在R x ∈时恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）①当1x ≥时不等式为2422x x x -++≥-解得：12x ≤≤②当1x <时，不等式为2422x x x -++≥-3171x -≤≤ 综上得：不等式的解集为：3172x x ⎧⎫-⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭∣（2）2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1，故原不等式转化为：231x x mx ++≥在(]0,1恒成立，即13x m x ++≥在(]0,1恒成立，而对勾函数13y x x =++在区间(]0,1上单调递减，∴当1x =时，13y x x =++有最小值5，5m ∴≤.（3）()()222212121x a x a x a x a a a -+-+≥---+=-+， 2214x a x a ∴-+-+≥恒成立化为：2214a a -+≥，解得3a ≥或1a ≤-.。
一类绝对值函数的最值问题
在上述推广中， 我们甚至不必强调｛ ａ ｎ ｝ 是递增
数列． 对任意数列｛ ｂ ． ） ， 我们只需由小到大用ａ ： 记录 之， 生成的数列｛ ａ｝ 必满足上述要求． 现在的问题 是若ｌ ａ ． ｝ 中出现了一些重复的数字该怎么办？
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图１
（ ２ ） 由于匕Ｐ Ｃ Ｑ的平分线垂直于Ａ Ｏ， 设Ｐ Ｃ的 斜率为ｋ ， 则Ｑ Ｃ的斜率为一ｋ ， 因此 Ｐ Ｃ ， Ｑ Ｃ的直线 方程分别为ｙ＝ｋ （ ｘ 一１ ） ＋１ ， ｙ“一ｋ （ ｘ 一１ ） ＋１ ．
数学通报Βιβλιοθήκη ２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第４ 期
一类绝对值函数的最值问题
贺航飞
（ 海南中学 ５ ７ １ １ ５ ８ ）
对于全体实数ｘ 引例１ ， 使｝ ｘ －１ １ ＋１ ｘ －２ Ｉ ＋ ｘ 一１ ０ ｝ ＋｝ ｘ －１ １ １ ，ｍ ＞ 恒成立， 则ｍ的 最大值为 引例２ 某城镇环形路有五所小学， 依次为一 小， 二小， 三小， 四小， 五小， 他们分别有电脑 １ ５ ， ７ ， １ １ ， ３ ， １ ４ 台， 现在为使各校台数相等， 各调出几台给 邻校 ： 一小给二小， 二小给三小， 三小给四小， 四小 给五小， 五小给一小． 若甲小给乙小一３ 台， 即为乙 小给甲小３ 台， 要使电脑移动的总台数最小， 应作怎
由一道题目谈求含绝对值的函数最值问题的解法
解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42解题宝典最值问题.但运用该方法解题，过程比较繁琐，容易出现重复和遗漏分类的情况.方法二：利用数轴利用数轴也是解答含绝对值问题的基本方法.在解题时，需利用绝对值的几何意义，将绝对值里面的式子看作是数轴上任意点到定点的距离，从而确定取.图1解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=||t -a +a ，t ∈[4,5]，如图1所示，当a ≤0时，f (t )=||t -a +a =t ≤5成立；当0<a ≤t 时，f (t )=||t -a +a =||a -t +||a -0=t ≤5成立；当a >t 时，f (t )=||t -a +a =a -t +a ≤5恒成立，即a ≤4.5，则a 的范围是(-∞,92].这里首先确定t 的范围，将t 看作数轴上的任意一点，结合数轴找出f (t )的最值，使其小于或等于5，便可求得a 的取值范围.方法三：利用V 型函数V 型函数是一类常见的含绝对值的函数模型.在解题时，可将含绝对值函数转化为分段函数，借助函数的图象来分析函数的最值，将代数问题几何化，运用数形结合思想来解题.axyO 图2解：当f (x )取最大值时|t -a |取最大值，为5-a ，如图2，结合V 型函数图象可得：①当a ≤92时，f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5，符合题意；②当a >92时，f (x )max =|4-a |+a =a -4+a =5，∴a =92（矛盾），舍去；故a 的取值范围是(-∞,92].我们将含绝对值函数转换为分段函数，结合函数的图象便能快速求得a 的取值范围，这样可以获得事半功倍的效果.方法四：分离参数法运用分离参数法解题的基本思路是通过将参数进行分离，将问题转化为不等式恒成立问题来求解，在分离参数后求出函数的值域，验证取等号的条件，便可求出参数的取值范围.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则问题可转化为g (t )=|t -a |+a 在t ∈[4,5]上的最大值是5，则问题等价于ìíî∀t ∈[4,5],|t -a |+a ≤5， ①∃t 0∈[4,5],|t 0-a |+a =5. ② 由①得∀t ∈[4,5], a -5≤t -a ≤5-a ，即a ≤t +52恒成立，所以a ≤æèöøt +52 min =92；由②知，当t 0=5时，|t 0-a |+a =5；综上所述a ≤92.我们先分析对勾函数y =x +4x在x ∈[1,4]上的值域，然后将其看成一个整体，解一次绝对值不等式即可使问题快速获解，这样避免了繁琐的分类讨论，能有效地提高解题的速度和准确性.方法五：以值代参本方法是通过用函数值来代替参数，使问题获解的方法.以值代参既起到了消参作用，又构建了变量与函数值之间的关系.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=|t -a |+a ，t ∈[4,5]，则f (t )的最大值为f (t )max =max{f (4),f (5)}，即ìíîf (4)=|4-a |+a =5，f ()5=|5-a |+a ≤5，或ìíîf (4)=|4-a |+a ≤5，f ()5=|5-a |+a =5，解得{a =4.5，a ≤5，或{a ≤4.5，a ≤5，则a 的取值范围是(-∞,92].我们借助函数值的范围，建立不等式，便求得参数的范围.运用以值代参方法解题,能获得出奇制胜的效果.含绝对值的函数最值问题是一类常考的题目，也是很多同学感觉困难的题目.因此，掌握一些解题的技巧是很有必要的.在解答含绝对值的最值问题时，同学们要注意从绝对值和函数两个角度，通过处理绝对值、分析函数的图象和性质来破解难题.（作者单位：浙江省诸暨市学勉中学）43。
利用图像解一类绝对值函数的最值问题
利用图像解一类绝对值函数的最值问题
一类绝对值函数的最值问题可以通过图像解决。
首先，要确定函数的图像。
如果函数是一个单变量函数，则可以绘制函数的图像。
如果函数是一个二元函数，则可以使用三维坐标系绘制函数的图像。
对于一类绝对值函数，图像通常是一条直线，可能会在某个点处断开。
图像的断点通常对应着函数的极值点。
因此，可以通过观察图像的断点来确定函数的极值点。
接下来，可以观察图像上的点，以确定函数的最大值和最小值。
如果图像是一条直线，则可以通过观察图像上点的顺序来确定函数的最大值和最小值。
例如，如果图像是从左到右单调递增的，则函数的最小值在图像的左端，函数的最大值在图像的右端。
如果图像是从右到左单调递减的，则函数的最小值在图像的右端，函数的最大值在图像的左端。
如果图像是一个三维图形，则可以通过观察图像的形状来确定函数的最大值和最小值。
例如，如果图像是一个锥形，则函数的最大值在图像的顶点处，函数的最小值在图像的底部。
如果图像是一个凸包，则函数的最大值在图像的外围，函数的最小值在图像的内部。
另外，还可以使用导数的概念来确定函数的最值。
导数表示函数在某一点处的斜率。
如果函数在某一点处的导数为正，则函数在该点处单调递增；如果函数在某一点处的导数为负，则函数在该点处单调递减。
如果函数在某一点处的导数为零，则该点可能是函数的极值点。
因此，可以通过计算函数的导数，并根据导数的正负性来确定函数的极值点。
总的来说，通过观察函数图像和计算函数的导数，可以确定一类绝对值函数的最值问题。
一次函数绝对值和最值问题
含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。
（2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。
一类含有绝对值的函数最小值的求法
一类含有绝对值的函数最小值的求法第22卷第4期集宁师专年12月”Joun~of-l_mi1hersvo1.22No.4Dee.20o0文章编号:1007—7171(2OOO}O4—0089—02一类含有绝对值的函数最小值的求法㈨…中学…川C/z摘要讨论含有绝对值号函数的最小值求法.关键调塞型堕塑\}数,求l本文拟就形如,()=b1J:nJI+b2I一.2∈Q.,=1,2,…)的函数的最小值的求法作一些探讨.为研究上述问题,我们先来证明下面的结论.命题1若n≤6,则当n≤z≤6时,函数,(z)=l且最小值为b一..+…+bJz—nI(其中bI一nIJz一6I取最,J,值,证明,():I—nI+Iz—bI=『一.『+Ib—zI≥I(一.)+(6一z),I=b—n当(一.)(6一z)≥0即n≤z≤6时,”=“成立.所以当.≤≤6时.,()取到最小值b —n.本命题的结论包括两部分:若.≤z≤b时,)有最小值b—n.若.=b当z=.时,z)有最小值0.利用命题1的结论,我们可以得到如下更一般的结论.命题2若nJ口2…Ⅱ,函数f(z)=一Ⅱ『l+l∈R)的最小值.则当n为偶数时,m=_,(z),其中d/2≤≤.(,2)+l当为奇数时,rYt=,((/2)证明为了叙述问题的方便,我们作如下规定:若i=,则[q,q]=Ia设为偶数时.由命题1可知当xE[nI,”]时,I一”】I+一%I取到小值89当∈[Ⅱ2,Ⅱ一1]时,l一口2+一一ll取到最小值当∈[aa]2,.(12)+-]时,一Ⅱ,2l+l一.(,2)一jl取到最小值以上各区间的公共区间是[“,()+-],则对任意实数t∈[.,.()+1],()=—all+1—n2+…+l一l取到最小值卅=f(t),(an/2≤≤.(,2)+1)(2)当n为奇数时,同理可证m=f(a(+1],2)现在我们来考虑本文开头提出的问题,我们把它归结炽如下三种类型:1当bl=b2一～b时,可直接用命题,我们把它归结为如下三种类型: 2当bib2…b不尽相同或两两不等,且均为正整数时,可转化为命题2中当,n2,…,‰不尽相异的情形予以解决.(如本文倒3)3当blb2…不尽相同或两两不等,且不都是正整数时,可先提取其分母的晟小公倍数,从而转化为第2.类型处理.下面我们来看一下以下结论在解决具体问题中的应用.例120台机器人排成一直线做流水作业,它们都要从位于该直线上的一个固定的工具箱中拿工具,问工具箱放在哪里可使其到各机器人距离总的最小? 解取机器人所在流水为数轴,建立一维坐标系,设这20个机器人所在的坐标由小而大依次为nn,…,n.,工具箱所在点的坐标为z,则该问题转化为求函数. ff):1一口l1+1一.21+…+1一.201取最小值.根据命题2可知:al O≤≤n11例2解方程l一1l+一2l+…+l一1999l=9.99×10解由命题可知,函数f(x)=l一1l+l一2l+…+1.f一1999l当=1000时,取到最小值厂(10CO)=999+998+---+1+0+1+2+?--+999=9.99×105 故该方程的解为=1000例3求函数f(x)=l+1l+2一1l+3lz一2的最小值解f(x)=l+1+2一1+31一2l=+1+l一1l+l一11+一1f+一2+l一2l+l一2由命题2可知,当1≤z≤2时,,(z)取到最小值5例4解不等式l+2l+3x一1l+l一1l+3一7l>9 解:令f(x)=+21+一1l+一11+l3一7,则由命题2f(x)=+2l+3l一(1/3)+l一1l+3(7/3)l:lz+2l+l一(1/3)l+(一(1/3)l+一(t/3)l+l一1l+.一(7/3)+lz一(7/3)l+lz一(7/3)≥9当1/3≤≤1时,”=“成立.所以,原不等式解为>1或z<1/3。
绝对值问题的某些特殊解法
绝对值问题的某些特殊解法作者：罗小青来源：《中学生数理化·教研版》2010年第02期高中数学里经常要解决一些跟绝对值有关的方程和不等式.本文就来谈谈由一类绝对值方程和绝对值不等式推广而得的与函数-有关的绝对值函数和方程及不等式的一些特殊解法.对于函数-其中我们知道,当时,f(x)=-;当时时--…---当时时-所以,函数y=f(x)=Σni--的图象是由左右两侧两条射线和中间的(n-1)条线段依次连接而成的“折线形”.当时,两射线分别由点和向上无限延伸.当Σn当时,两射线分别由点和沿水平方向向左右无限延伸.由此可得如下的定理.一、绝对值函数的最值定理1:函数y=f(x)=Σni=1|x-当时,f(x)有最小值;当推论1:函数-其中(2)当时时其中推论2:函数y=f(x)=Σni=1|x-其中(1)若n=2k-则---1-…-(2)若则---…-其中.二、含有绝对值的一元方程定理2:设f(x)=Σni=1|x-其中对于方程f(x)=c,若或时,方程f(x)=c才有解,否则无解.或时,方程在内必有一解.三、解集结论法定理3:设=1,2,…n时,不等式Σni=1|x-证明:因f(x)的图象在区间-1)上都是线段,又则在区间上,f(x)的图象都处于直线y=A的下方.又在区间上上,f(x)的图象是一条射线y=-同理,f(x)在上是一条射线y=nx-且x→+∞时,f(x)→+∞.从而函数y=Σni=1|x-的图象与直线y=A的交点只能在(-与内,将y=A与y=-和y=nx-分别联立求得交点横坐标为-A)与由此定理得证.一些特殊形式的含绝对值的不等式,有的可用此解集公式法.例解不等式|x-1|+|x-3|+|x+4|解:令f(x)=|x-(-4)|+|x-1|+|x-3|,∵f(-4)=12,f(1)=7,f(3)=9,∴max{f(-4),f(1),f(3)}=12∴原不等式的解集为[13(-4+1+3-18),13(-4+1+3+18)]=(-6,6).反思:高中数学中,类似的不等式有很多,但当绝对值个数增多时,用零点分区间法比较复杂,用解集结论法就简单多了。
绝对值一次函数相加最小值
绝对值一次函数相加最小值在数学中，绝对值一次函数是一种特殊的一次函数，它的图像呈现出V型的形状，而且没有斜率。
绝对值一次函数的常用形式为f(x) = |ax + b|，其中a和b为实数，a不等于0。
而绝对值一次函数相加是指将两个绝对值一次函数相加在一起，并求得其最小值。
在解决绝对值一次函数相加最小值的问题时，我们需要先了解一些基本的概念和性质。
首先，我们需要知道绝对值函数的图像特点。
通常来说，绝对值函数的图像呈现出V型的形状，当a大于0时，V型开口向上；而当a小于0时，V型开口向下。
其次，我们需要了解绝对值函数的性质。
绝对值函数的最小值一般发生在函数的折线拐点上。
那么，当我们将两个绝对值一次函数相加在一起时，我们需要找到这两个函数的折线拐点，然后求得其最小值。
为了更好地理解绝对值一次函数相加最小值的概念，让我们来看一个简单的例子。
假设我们有两个绝对值一次函数f(x) = |2x - 3|和g(x) = |3x + 1|，我们需要求得它们相加的最小值。
首先，我们需要分别画出这两个函数的图像。
对于f(x) = |2x - 3|，我们可以通过找到其折线拐点来求得其最小值。
由于2x - 3 = 0时，x = 3/2，所以函数f(x)的折线拐点为(3/2, 0)。
同样地，对于g(x) = |3x + 1|，我们可以求得其折线拐点为(-1/3, 0)。
接下来，我们将这两个函数的图像画在同一个坐标轴上，并求得它们相加的最小值。
通过分析这两个函数的图像，我们可以发现它们的最小值恰好发生在它们的折线拐点上。
因此，这两个函数相加的最小值为0。
在实际应用中，绝对值一次函数相加最小值的概念可以用于解决一些实际问题。
比如，在经济学中，我们可以将两个相关的经济指标的变化模型化为绝对值一次函数，然后通过求得这两个函数相加的最小值来找到它们的最小偏差。
同样地，在工程学中，我们也可以利用绝对值一次函数相加最小值的概念来求得一些工程问题的最优解。
一次函数的最大值和最小值
P , Q 是小矩形纸片上的任意
min f ( x ) 分别表示 f ( x ) 在 [α,β] 上的最大值和最
小值 , 那么根据上面的讨论 , 我们可以得到以下结 论. ①若 a ≠ 0 ,则
α≤x ≤ β α≤x ≤ β
) , f (β )) , max f ( x) = max ( f (α ) , f (β )) , min f ( x) = min ( f (α
x n) ) .
我们考察由 ( 2 ) 中的不等 式所限定的区域 . 由 ( 2 ) 中前二 个不等式可以看出 , 满足 ( 2 ) 的 点 ( x , y ) 必须在直线 5 x + 2 y
= 2000 的 下 方 , 在 直 线 y = 1 . 5 x 的下方 , 在直线 y = x 的
同理 S ( 1 , x 2 , …, x n ) ≥ min ( S ( 1 , 1 , x 3 , …, x n ) , S
哪些点 , 三 角 形 PQ R 之 面 积 都 不 会 超 过 四 边 形
DD′ B′ C′ 的面积 . 而 S DD′ B′ C′= S △D′ B′ C′+ S △D′ C′ D
证 建立 x Oy 坐标系 , 使 B C 在 x 轴上 , B 即 O ( 0 , 0) , 线段 EF 在上半平面 ( 如图 1) , 又设 C ( l , 0) , E ( x 1 , y 1 ) , F ( x 2 , y 2 ) , 那么当 A 点在 EF 上变动 时 , △A B C 的高 h 等于 A 点的 y 坐标 . 因此 ,
1 1 λ μ ). ab (λ+ μ - λ ab < 2 2 当 P = A , Q = D′ 时,
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题绝对值求最大值和最小值的例题一、概念解释在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
它表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数或者负数。
绝对值通常用来表示距离的绝对量，它的定义如下：如果 x 是一个实数，那么 x 的绝对值表示为 |x|，它的计算公式如下：当x ≥ 0 时，|x| = x；当 x < 0 时，|x| = -x。
举例来说，-5 的绝对值是 |-5| = 5；而 5 的绝对值还是 5。
在实际问题中，经常会遇到需要对绝对值求最大值和最小值的情况，特别是在优化问题中，这个方法非常有用。
二、求最大值和最小值的例题接下来，我们通过例题来演示如何利用绝对值求最大值和最小值。
例题1：已知函数 f(x) = |2x - 3|，求 f(x) 的最大值和最小值。
解析：我们知道 |2x - 3| 表示一个关于 x 的带绝对值的函数。
要求最大值和最小值，可以考虑当 |2x - 3| 取得极值时的 x 值。
由于 |2x - 3| 的图像是关于 x 轴对称的，因此我们只需要考虑 |2x - 3| 在x ≥ 0 区间的情况。
当 2x - 3 ≥ 0 时，有 |2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，有 |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x。
我们可以得到两个函数：f1(x) = 2x - 3，x ≥ 0；f2(x) = 3 - 2x，x ≥ 0。
接下来，我们分别对 f1(x) 和 f2(x) 求导，找到导数为 0 的点，并判断极值的情况。
f1'(x) = 2；f2'(x) = -2。
由此我们可以知道，f1(x) 在x ≥ 0 时是单调递增的，而 f2(x) 在x ≥ 0 时是单调递减的。
f(x) = |2x - 3| 在x ≥ 0 区间上的最小值出现在 x = 0 处，最大值是 x 趋向无穷时的极限值。
经过计算和分析，我们可以得出最小值为 3，最大值为正无穷。
含有绝对值函数的取值范围问题
含有绝对值函数的取值范围问题在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，而绝对值函数是函数中较为困难的一例题：已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m>0.(1)当m＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的值域为[0，4]，求实数m的取值范围．变式1已知函数f(x)＝x|x－a|在[0，2]上的值域为[0，4]，求实数a的取值范围．变式2设函数f(x)＝x|x－a|，若对于任意的x1，x2∈[2 ，＋∞)，x1≠x2，不等式f（x1）－f（x2）＞0恒成立，求实数a的取值范围．x1－x2串讲1若函数f(x)＝x 2|x －a|在区间[0，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．串讲2若不等式|x －2a|≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________________．(2018·南京二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax －1， x ≤0，x 3－ax ＋|x －2|，x ＞0的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________________．已知函数f (x )＝e x |x 2－a |(a ≥0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调减区间；(2)若方程f (x )＝m 恰好有一正根和一负根，求实数m 的最大值．答案：(1)f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1]；(2)4e2.解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2－1），|x |＞1，e x （1－x 2），|x |≤1.当|x |＞1时，f ′(x )＝e x (x 2＋2x －1)，由f ′(x )≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋ 2.所以f (x )的单调减区间为[－1－2，－1)，3分 当|x |≤1，f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －1)，由f ′(x )≤0，解得x ≤－1－2或x ≥－1＋2， 所以f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，4分综上：f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1].6分 (2)当a ＝0时，f (x )＝e x ·x 2，则f ′(x )＝e x ·x 2＋2x ·e x ＝e x x (x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，所以f (x )有极大值f (－2)＝4e 2，极小值f (0)＝0，当a ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2－a ），|x |＞a ，e x （a －x 2），|x |≤a .同(1)讨论得f (x )在(－∞，－a ＋1－1)上单调递增，在(－a ＋1－1，－a )上单调递减， 在(－a ，a ＋1－1)上单调递增，在(a ＋1－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．且函数y ＝f (x )有两个极大值点，9分f (－a ＋1－1)＝2e －a ＋1－1(a ＋1＋1)＝2e －a ＋1（a ＋1＋1）e.f (a ＋1－1)＝2ea ＋1－1(a ＋1－1)＝2e a ＋1（a ＋1－1）e.11分且当x ＝a ＋1时，f (a ＋1)＝e a ＋1(a 2＋a ＋1)＞ea ＋1(a ＋1－1)＞2ea ＋1（a ＋1－1）e.所以若方程f (x )＝m 恰好有正根，则m ＞f (a ＋1－1)(否则至少有两个正根)． 又方程f (x )＝m 恰好有一负根，则m ＝f (－a ＋1－1).13分令g (x )＝e －x (x ＋1)，x ≥1，则g ′(x )＝－x e －x ＜0，所以g (x )＝e －x (x ＋1)在[1，＋∞)上单调递减，即g (x )≤g (1)＝2e.等号当且仅当x ＝1时取到.14分所以f (－a ＋1－1)≤⎝⎛⎭⎫2e 2，等号当且仅当a ＝0时取到．且此时f (a ＋1－1)＝ 2ea ＋1－1(a ＋1－1)＝0，即f (－a ＋1－1)＞f (a ＋1－1)，所以要使方程f (x )＝m 恰好有一个正根和一个负根，m 的最大值为4e2.16分例题1答案：(1)[0，4]；(2)[2，2＋22]．解析：(1)当m ＝2时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，当x∈[0，2]时，f(x)单调递增，所以f(x)的值域为[0，4]．(2)由函数f(x)＝x|x －4|图象可知，当x>4时，令x|x －4|＝4，即x 2－4x －4＝0，解得x ＝2＋22，若函数f(x)的值域为[0，4]，所以实数m 的取值范围是[2，2＋22]．变式联想变式1答案：a ＝0或a ＝4.解析：(1)当a<0时，f(x)＝x(x －a)，f(2)＝2(2－a)＞4，显然不满足条件；(2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，在[0，2]上的值域为[0，4]，满足条件；(3)当a>0时，①当0<a≤2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 24－a 22＝a 24≤1，f(x)＝|x 2－ax|，f(0)＝0，f(2)＝|4－2a|＝4－2a ＜4，不满足条件；②当2<a<4时，f(x)＝－x 2＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24≤a24＜4，不满足条件；③当a ＝4时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，满足条件；④当a>4时，f(x)＝－x 2＋ax ，f(2)＝－4＋2a>4，不满足条件． 综上所述，a ＝0或a ＝4. 变式2答案：(－∞，2]． 解析：作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x ＜a ，的图象，当a 变化时，易得a 的取值范围为(－∞，2]． 说明：变式1和2都是抓住形如y ＝x|x －a|函数的图象特征，抓住图象关键，从而解决问题．串讲激活串讲1答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)．解析：(1)当a≤0时，f(x)＝x 3－ax 2，显然在区间[0，2]上是增函数；(2)当a ＞0时，记g(x)＝x 3－ax 2，令g′(x)＝3x 2－2ax ＝0，解得x ＝0，x ＝2a 3，g(x)在(－∞，0)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞上单调递增，又g(0)＝g(a)＝0，所以f(x)＝|g(x)|在(－∞，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使f(x)在区间[0，2]上是增函数，只要2a3≥2，即a≥3.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．串讲2答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 解析：作出y ＝|x －2a|和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a≤2－2a ，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.新题在线答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)．解析：因为f(0)＝－1，x →＋∞时，f(x)→＋∞，所以，函数f(x)过第一、三象限，①若a ＜0，显然成立；②若a≥0，只需x ＞0时，f(x)min ＜0即可，即存在x ＞0，使得f(x)＜0分离参数，得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋|x －2|x min ＜a ，易求得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋|x －2|x min ＝2，所以，此时a ＞2，综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．。
含绝对值函数的最值问题.docx
专题三：含绝对值函数的最值问题1.已矢II函a f(x) = x2-2\x-a\ ( a>0 ),若对任意的兀w［0,+oo),不等式/(x-l)>2/(x)恒成立，求实数d的取值范围.不等式 / (兀_ 1) n 2/(兀)化为(x —1) —2 x — \ — ci n 2兀2 _ 4 x _ G即：4 x-a -2 x-(l + «)| < x2 +2%-1 (*)对任意的xw［0,+oo)恒成立因为d〉0,所以分如下情况讨论：①当0<x<a时,不等式(*) x2+4x+l-2a>0X^Vxe［O,a］恒成立•・・g(兀)=/ +牡+1 _2G n 0在［0,町上单调递增•••只需g(兀)mb = g(0) = 1 - 2a A 00 V Q W —2②当acxSa + l 时，不等式(*)即x2 -4x + l + 66t>0对\/xw(a,d + l］恒成立由①知0 < a W ,二/?(x) = x2 -4x + l + 6d在(d,a4-1］上单调递减/.只需"(x)min =力(1 +。
)= a? + 4G— 2 » 0 /. a —2 —或a n V6 — 2vV6-2<- A V6-2<tz<-2 2③当x>a + l时，不等式(*)化为即H + 2a-3巴0对V"(a+,+8)恒成立a 兰-2 - 或a 工- 22.己知函数f［x)=\x—a\y g(x)=x+2ax+\(a为正数)，且函数/(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.⑴求a的值；(2)求函数⑴的最值.【解析］⑴由题意/(0) = g(0),・・・圈=1.又・.・a>0, .S I.⑵由题意几¥)+ g(x) = |x - 11 + x2 3 + 2x + 1.当兀2 1时，/(x) + g(Q = / + 3兀在［1, +oo)上单调递增，当*1时，/W + g(x)=/ +兀+ 2在-* 1)上单调递增，在(-co,3 7所以，当乳=——时，函数fix) + g(x)的最小值为一；函数无最大值. 一丄］上单调递减.2因此，函数./(X)+ £(/)在(- 00,-丄］上单调递减，在-*2 L -+ 00 上单调递增.a < 0 时?Z(a)是方程 a/ + 8x+ 3=5的较小根，故Z(a)=—8 + \/64 4- 8a — 4 + \/16 + 2a②当3 - — ^5即a W-8时丿(a)是方程a/ a+ 8咒+ 3=-5的较大根，故1(a)=—8 — v^64 ~ 32fl. — 4 — J16 ~ 8a , /z 、 -------------------------------- •综上,Z(a)=•\ 当 a V — 8-4--71^2Q ,(-8 < a <0).时丿(°)= - J"-8a =.，在亠 74 - 2a - 2(-a , - 8］上单调递增，当一 8 < a < 0时,/(«)= -4 + >/16 + 2。
求函数最值问题常用的10种方法
1 最大值与最小值之差为2，则 a＝________.
分析 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函 数的最值，然后利用条件求得参数a的值．
解析 ∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增 函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为
又两边平方，得y2＝4＋2 1－x· x＋3
＝4＋2 (1－x)(x＋3).
所以当x＝－1时，y取得最大值M ＝2 2；当x＝－3或
1时，y取得最小值m
m ＝2，∴
M
＝
22.故选C.
分析 对于形如y＝ a－cx＋ cx＋b的无理函数的最 值问题，可以利用平方法将问题化为函数y2＝(a＋b) ＋2 (a－cx)(cx＋b)的最值问题，这只需利用二次函 数的最值即可求得．
七、判别式法
把函数转化为 x 的二次方程 F (x，y)＝0，通过方程
有实根，判别式 Δ≥0，从而求得函数的最值．判
ax2＋bx＋c
别式法多用于求形如 y＝
(a，d 不同时为 0)
dx2＋ex＋f
的分式函数的最值．
x2－3x＋4
【例 7】求函数 y＝
的最大值和最小值．
x2＋3x＋4
分析 本题是分式函数的最值问题，因为分式函数的分
解析 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2 ＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2. ∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定 义域为[2，＋∞)． ∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a， ∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2. 点评 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量 的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置 关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时 要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据 不同情况分类解决．
对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的
对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的一点疑惑和探究联丰中学 王培良 315000在一次偶然的机会，我去上海听了这么一节课，但听课过程中遇到了一点疑问：就是用代数法解一类含绝对值的函数问题最小值的等价性问题， 并作了一些思考，具体如下：问题1：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值。
方法一（一般解法）：数形结合 将函数f(x)=|x-1|+|x-2|化为：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-=)2(,32)21(,1)1(,23)(x x x x x x f 然后作图，由图易知，f(x)的最小值为1。
方法二：几何法（1）在数轴上取点A(1，0)和点B(2，0)； （2）在数轴上取动点P(x ，0)；即|PA|+|PB|的最小值为所求。
则f(x)≥1（当且仅当1≤x ≤2时，取“=”号）。
方法三：代数法0)1(|1|2≥-=-x x最小，要使|2||1|)(-+-=x x x f 最小，只需22)2()1()(-+-=x x x g，由21)23(2562)(22+-=+-=x x x x g 。
最小，即时，当1)()(23min ==x f x g x 问题2：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。
也有类似的三种解法 其中方法三：代数法0)1(|1|2≥-=-x x最小，要使|3||2||1|)(-+-+-=x x x x f 最小，只需222)3()2()1()(-+-+-=x x x x g ，由2)2(314123)(22+-=+-=x x x x g。
最小，即时，当2)()(2min ==x f x g x类比推广问题3：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19|的最小值。
方法二：由画数轴可知：|x-10|≥0，|x-9|+|x-11|≥2，… …|x-1|+|x-19|≥18，当且仅当x=10时，它们的和最小。
即f(x)≥0+2+4+…+18=90。
初一数学绝对值的最值问题
绝对值的最值问题x -a +x -b 的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．如计算x -1+x -2的最小值．（1）将使两个绝对值分别为0时的x 值标在数轴上（如图），数轴被分为3个区域；（2）假设代表动点x 的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即S 1+S 2．（3）在3个区域中分别画出线段并比较，可以发现当1≤x ≤2时，两线段和最小，为定值1．若将题目改为计算x -1+x -2+x -3的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当x =2时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．经过总结归纳我们发现了这样的规律：①对于代数式：x -a 1+x -a 2+x -a 3+ +x -a n （a 1≤a 2≤a 3≤ ≤a n ）：当n 为奇数时，在12n x a +=处取最小值，即在n 个点的中心点处；当n 为偶数时，在区域122n n a x a +≤≤取最小值，即数轴被n 个点分成1n +段的中心区域．②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++- 的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++- （123n a a a a ≤≤≤≤L ），然后通过上述方法求解．如：111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++．常见题型：绝对值的最值问题易错点：混淆两种情况中考回顾：拓展知识点例1计算下列式子的最小值：（1）212x x -+-（2）241x x -++例2已知759x -≤≤，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值．参考答案1.【答案】（1）当1x =时，212x x -+-取得最小值1（2）当2x =时，241x x -++取得最小值3【考点】绝对值最值问题【解析】结合数轴，利用绝对值的几何意义求解；也可以利用零点分段法．（1）当1x =时，212x x -+-取得最小值1；（2）当2x =时，241x x -++取得最小值3．2.【答案】当53x -≤≤-时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-【考点】绝对值最值问题【解析】①数形结合，利用几何意义：13x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴我们会发现当79x =时两者的距离差最小为329-，即()min 32139x x --+=-；当53x -≤≤-时，两者的距离差最大为4，即()max 134x x --+=．②零点分段法：先找零点，根据零点分段，当53x -≤<-时，134x x --+=；当739x -≤≤时，1322x x x --+=--，当79x =有最小值329-；当3x =-有最大值4．综上所得，当53x -≤≤-时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-．。
函数绝对值(DOC)
辅导讲义154年高三第二次模拟文科）函数D ）( 2.+∞对任意两个不相等的正数a、b22+|a b ab22+a b ab[3,)+∞……………………………………………………时，在区间[12]，上，1当2当∴综上，解：8 、（2012届高三一模徐汇区理23）对定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[],a b D ⊆和常数C ，使得对任意的[],x a b ∈都有()f x C =，且对任意的[],x a b ∉都有()f x C >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“U 型”函数。
（1）求证：函数()13f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数；（2）设()f x 是（1）中的“U 型”函数，若不等式12()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（3）若函数2()2g x mx x x n =+++是区间[)2,-+∞上的“U 型”函数，求实数m 和n 的值.解：（1）当[]1,3x ∈时，1()132f x x x =-+-= 当[]1,3x ∉时，1()|1||3||13|2f x x x x x =-+->-+-=故存在闭区间[][],1,3a b R =⊆和常数C=2符合条件，…………………………4分 所以函数1()13f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数…………………………5分 （2）因为不等式12()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立， 所以min 12()t t f x -+-≤…………………………7分 由（1）可知min min ()(13)2f x x x =-+-=…………………8分所以122,t t -+-≤…………………………9分 解得：1522t ≤≤…………………………11分 （3）由“U 型”函数定义知，存在闭区间[][),2,a b ⊆-+∞和常数C ，使得对任意的[],x a b ∈，(23)a -23a =-；,)+∞上递增；21,2aa =当且仅当时，函数y =时，函数(y f x =时，函数y =因为2>a ，所以a a <+22，所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减．…………（5分）综上，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a ， 单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22．………………（6分） （3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，022≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a a a t ．…………（5分） 令aa a g 4)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ．…………（7分）所以，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛89,1．…………（8分）13 已知函数()(),f x x a x a R =⋅-∈。
中学常见绝对值问题解法的探析
中学常见绝对值问题解法的探析作者：李玲来源：《新教育时代·教师版》2018年第14期摘要：在中学数学中，绝对值是非常常见的一种概念，绝对值通过和其他多种数学知识进行相连后，便能够衍生出更多新型绝对值问题，在中学阶段，存在很多常见的绝对值问题，因此，本文对中学常见绝对值问题解法进行深入研究，具有重要意义。
关键词：中学绝对值问题解法关于中学常见的绝对值问题，包括绝对值定义运用问题、一元一次绝对值不等式问题、一次绝对值函数问题、一元一次绝对值方程问题等，针对这些问题，本文分别给出了对应问题的解法，同时为便于理解，本文进行了例题分析。
因此，本文对中学常见绝对值问题解法进行深入研究，具有重要意义。
[1]一、绝对值的几何意义IaI的几何意义为：在数轴中，表示原点O和点a之间的距离。
Ia-bI的几何意义为：在数轴中，点a和点b之间的距离。
针对一些问题，如果采用绝对值的几何意义来进行解决，更为简单、直观，能够快速解决问题。
[2]二、一元一次绝对值方程的解法（1）针对Ia+bI=c（a≠0）型的绝对值方程，其解法为：②当c②当c=0时，原方程变为Iax+bI=0，即ax+b=0，则；③当c>0时，原方程变为ax+b=c或ax+b=-c，解得或者。
例1：求解I2x+3I=5解：根据（1）可得，由于5>0，则原方程可以变形为2x+3=5或者2x+3=-5，解得x=1或者x=-4。
（2）针对Iax+bI=cx+d（ac≠0）型的绝对值方程，其解法为：①将绝对值的非负性作为主要依据，可得cx+d≥0，进而能够将x的取值范围计算出来；②将绝对值的定义作为主要依据，能够将原方程进行转型，变为两个方程，即ax+b=cx+d 和ax+b=-（cx+d）；③对方程ax+b=cx+d和ax+b=-（cx+d）分别进行求解；④将计算出来的解，代入cx+d≧0中，对其进行检验，将不合条件的解进行舍去。
例2：解方程：I4x+3I=2x+9解：根据（2）可得，将绝对值的定义作为主要依据，对原方程进行变型，变为两个方程：4x+3=2x+9和4x+3=-（2x+9）；分别解得x=3和x=-2；通过检验后，其结果都是成立的。
绝对值函数最值
绝对值函数最值
绝对值函数，通常简称为它英文名字|abslute value functions|，是处理有关不可知数学中大量复杂数据及信息时常用的一种实用工具。
它可用求解一些典型数学问题，比如求极大值、极小值和极值点。
其中最重要的特征就是其处理的数据均为绝对值，也就是函数的值只与自变量的绝对值有关而与其符号无关。
它的最大值即为函数值最大的绝对值，也称为绝对最值，而其最小值就是函数值最小的绝对值，也被称为绝对最值。
另外，这种数学工具在多元函数求最值等应用中也有更多的作用，可以用来分析多元函数的最大、最小值及最大最小值的变化趋势。
也可以用它判断多元函数的极值点，换言之，就是求解多元函数的极大值、极小值以及（无）极值点。
因此，绝对值函数与现实中的复杂系统密切相关，是数学中最重要的概念和工具之一。
它可以帮助我们找出最优状态，提供精准的分析结果，有利于我们提高工作效率，提升改进生产能力。
一次绝对值函数的最小值问题的探讨
一次绝对值函数的最小值问题的探讨问题引入：如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P ，使这5台机床到供应站P 的距离总和最小，点P 建在哪？最小值为多少？8421-1E D C B A相关概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
两个数的差的绝对值的几何意义：b a -是指数轴上表示数a 的点到表示数b 的点的距离。
绝对值的零点：使得绝对值为零的未知数x 的取值。
如3x -的零点是3x =．典型例题：例1：求当x 取何值时，函数1y x =-取得最小值。
例2：求当x 取何值时，函数12y x x =-+-取得最小值。
例3：求当x 取何值时，函数123y x x x =-+-+-取得最小值。
例4：求当x 取何值时，函数1234y x x x x =-+-+-+-取得最小值。
例5：求当x 取何值时，函数123...19y x x x x =-+-+-++-取得最小值。
例6：求当x 取何值时，函数123...1920y x x x x x =-+-+-++-+-取得最小值。
例7：求当x 取何值时，函数42611y x x x x x =-+++-+++-取得最小值。
例8：求当x 取何值时，函数426311y x x x x x x =-+++-+++++-取得最小值。
小结:①求当x 取何值时，函数()y x a x b a b =-+-≤取得最小值。
分析：()(),20=,,,,2,,2,==a b y x a b a x a b a b a x b x x a y x a b x a x b x a x b x b a b x x a y b a a x b x a b x b a b y x a x b b a a x b a b y x a x b b a a x b ==-≥=-==<-+-<⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+->⎩+-<⎧⎪=-≤≤⎨⎪-->⎩∴<=--≥-≤≤≤=--≥-≤≤当时其中“”当且仅当时成立；当时，，当时函数+其中“”当且仅当时成立综上，若，则函数+其中“”当且仅当时成()立②已知：1231n n a a a a a -≤≤≤≤≤，求当x 取何值时，函数1231n n y x a x a x a x a x a -=-+-+-++-+-取得最小值。