拿破仑定论、勾股定理、数论与密码
数学传奇知识点总结
数学传奇知识点总结一、勾股定理勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的一条至关重要的定理。
它表明：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即a²+b²=c²，其中a、b分别为直角三角形两直角边的长度，c为斜边的长度。
这一简洁而精妙的公式，不仅在几何学中具有广泛的应用，而且还为后人提供了许多启发和灵感。
勾股定理的数学传奇之处在于，它是数学历史上最早的一次证明几何学的示例，同时也是几何学与代数学结合的先驱。
勾股定理的证明方法多种多样，其中既有几何证明，也有代数证明，甚至还有概率证明。
通过这些证明，人们不仅了解了数学世界的多样性，也感受到了数学思维的广阔与深邃。
此外，勾股定理还开拓了数学领域的研究思路，为后人提供了许多研究方向和方法。
尤其是在三角函数的发展中，勾股定理为人们提供了一个重要的理论基础，使得三角函数的研究得到了深入的发展和丰富的内涵。
可以说，勾股定理是数学传奇中的佼佼者，它不仅为我们提供了一个优秀的几何工具，还极大地丰富了数学的内涵和理论体系。
二、黄金比例黄金比例是数学中一个神秘而美丽的比例。
它是古希腊数学家欧几里得发现的，表现为a/b=(a+b)/a=Φ(希腊字母phi)，其中a/b即为黄金比例。
而黄金比例常常出现在数学和自然界中，它不仅在建筑、绘画、音乐等方面发挥了重要作用，而且还在生物学中有着深刻的内涵。
黄金比例的数学传奇之处在于，它不仅是一个神秘而美丽的比例，而且还是一种有着深刻内涵和丰富历史的文化符号。
黄金比例所散发出的美感和神秘感吸引着无数数学家和艺术家，他们将黄金比例运用到自己的研究和创作中，使得黄金比例成为了数学与艺术的完美结合。
此外，黄金比例还在几何学、代数学和数论学中发挥了重要作用。
例如，在几何学中，黄金比例可以用来构造黄金长方形和黄金三角形，从而丰富了几何学的理论体系。
在代数学和数论学中，黄金比例可以用连分数法和斐波那契数列来表示，从而为后人提供了一个重要的研究方向和方法。
千古第一定理--勾股定理
千古第一定理——勾股定理在西方，毕达哥拉斯的名字可以说尽人皆知，这主要来自所谓毕达哥拉斯定理，即直角三角形的三条边长度为a、b、c，则a2+b2=c2反过来，如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2则它是个直角三角形．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的，可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理．不管怎么说，勾股定理是数学中头一个最伟大的定理，它的重要性怎么说也不为过：(1)勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理．(2)勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数”与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机．(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学．(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式．3.1 勾股定理的历史世界上各个民族通过他们的实践都或多或少地知道勾股定理．而号称四大文明古国的中国、印度、埃及、巴比伦则更有丰富的数学文化，距今都有5000年的历史了．中国的《周髀算经》中明确地记载着“勾三，股四，弦五”，并且清楚地讨论了它们与直角三角形的关系．其后的著作中也有其他的勾股数．如《九章算术》中还有(5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)等7组，《缉古算经》中有(287，984，102)，是明显表出的最大一组勾股数．埃及是几何学的发源地，埃及的“拉绳者”就是测量员，他们利用有结的绳子进行测量，两结之间的距离都是一样的，比如说都是1米．他们可以利用一条12米的绳子拉出一个直角三角形来．这条绳子算上首尾的结共有13个结，这样，把第一个结同第13个结连在一起，用桩子固定下来，然后再把第4个结同第8个结也分别用桩子固定，同时绷紧绳子．这三个桩子构成边长分别为3米、4米、5米的三角形，而两短边形成直角(图3.1)．根据现有的材料推测，埃及人可能只是考虑实用的目的，而对进一步研究数论不感兴趣．印度人也考虑过直角三角形，他们比埃及人进了一步，得出了满足a2+b2=c2的三整数组(a，b，c)，在西方称为毕达哥拉斯三数组，我们不妨称之为勾股数组．印度人发现的新的勾股数组还有12，16，20； 15，20，25；5，12，13； 15，36，39；8，15，17； 12，35，37．不过，他们也没有进一步的结果．现有材料中最令人吃惊的是，公元前两千年左右的巴比伦的泥板文书上有着许多勾股数组(表3.1)，其中有的数很大，表明他们也许已掌握了一般的规律．3.2 勾股定理的几何方面勾股定理包含几何与数论两个方面．首先是几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积，实际上这时我们并不考虑边长是否为整数．只有毕达哥拉斯学派认为万物皆数，才把边长及面积都看成整数或分数，而最终导致矛盾．但是，勾股定理并没有必要考虑得如此深刻，我们只是考虑面积的相等就够了．第一个发表了的证明——欧几里得《几何原本》中的证明就是这样的．欧几里得的证明(参见图3.3)出现在第二篇命题47中，这个证明在所有证明中其实是比较复杂的．证明的要点如下：△ABD≌△FBC，矩形BDLI=2△ABD，正方形GFBA=2△FBC，因此矩形BDLI=正方形GFBA，同样可证矩形CILE=正方形ACKH，两式相加即得定理.第二篇命题48是勾股定理的逆定理：如果三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角．欧几里得的证明是这样的(参见图3.4)：作AD垂直于AC且等于AB．由题设AB2+AC2=BC2对直角三角形ACD有AD2+AC2=DC2∵ AB=AD，∴BC2=DC2从而BC=DC由于△ABC与△ADC三边对应相等，从而两三角形全等，所以∠CAB为直角．关于毕达哥拉斯定理已有几百个证明，在某本书中已收集了370多种不同的证明，这些证明中有的非常简单和直观，甚至从图上马上可以看出，下面仅举两例．如图3.5，把四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，那么大正方形面积等于(a+b)2=a2+2ab+b2；另一方面，大正方形面积又等于因此 a2+b2=c2另一种拼法如图3.6所示．由图可见，边长为c的大正方形的面积为3.3 勾股定理的数论方面勾股定理的数论方面虽然可以包括在几何方面之内，但是比几何方面更为重要．这是由于它是第一个充分研究过的不定方程，并且得到了完整的解答，并且数论所代表的离散数学与几何所代表的连续数学之间的奇妙关系一直是数学发展的一条主线．毕达哥拉斯的公式x2+y2=z2 (3.1)并不是最简单的不定方程，然而却容易下手．你如果有兴趣，也可以尝试去求它的解．不过，现代人虽然有个人计算机的帮助，也不一定能得出巴比伦人的一些解来．不管怎么样，碰到一个不定方程，首先就要试一试求它的解，这显然是求解不定方程的初级阶段．近代数学给我们带来许多新东西，其中之一就是寻找求解的规律，而不是一味地盲目摸索．在考虑满足方程(3.1)的解之后，很容易发现，(3，4，5)是一组解，它们的倍数，比如(6，8，10)，(9，12，15)，(12，16，20)等等也都是解．这些解在巴比伦的泥板文书上也有，例如(45，60，75)．这样我们便得到第一个规律：定理3.1 如果(a，b，c)是方程x2+y2=z2的一组解，则(ka，kb，kc)也是一组解，其中k是任意整数．这个定理的证明并不难，只要代入验证一下就可以了．这样我们从初级阶段进入了代数阶段．我们只去求a，b，c互素(详见4．1．3节)的解，也就是它们的最大公因数(a，b，c)=1的解，这种解我们可以称为素勾股数组．显然(3，4，5)是一个素勾股数组，可是勾股方程的素勾股数组远不止这一个，例如(5，12，13)，(7，24，25)等也都是素勾股数组．下一个问题就是这些素勾股数组能不能用一个简单公式来概括呢？从数学发展史来看，这是一个飞跃，它真正显示了代数的威力．毕达哥拉斯学派已经找到了这个公式，这就是当m为奇数时，它们就代表素勾股数组，如表3.2所示．表3.2要证它们并不难，只须做一个代数练习即可：但是要证它们互素，也许不太容易，不过由具体的数字可以发现，股与弦都相差1，这也不难证明(你不妨试试看)，从这点出发不难推出它们互素．对于不定方程(3.1)来说，我们已走到了最后一步，那就是，找出所有可能的解，一个不剩．这一步十分困难，一般不是像上面那样进行代数验证就行了．为了解决这个问题，首先要问是否所有素勾股数组都可以表示为(3.2)的形式？答案是否定的，因为82+152=172，不过，它们可以纳入(2m,m2-1,m2+1) (3.3)的系列，其中m为偶数．显然，这里股与弦相差为2．这两组公式还不能完全表示所有素勾股数组．经过一千多年的努力，我们的确找到了表示勾股方程的所有解，也就是素勾股数组的明显表达式，即(m2-n2,2mn,m2+n2) (3.4)其中m，n互素，一奇一偶，m＞n＞0．不难验证，这组数满足勾股方程，现在需要证明，方程x2+y2=z2的每组满足(x,y)=1的解，均可表示为(3.4)的形式．因x，y互素，可证x,y 一为奇数，一为偶数．设x为偶数，y为奇数，z也是奇数，因此都是整数，而且它们互素．因为即得 z=m2+n2, y=m2-n2, x=2mn最后还需要证明，m，n一奇一偶，这由z是奇数可以看出．而且可以证明，不同的m，n表示不同的解．由此勾股方程(3.1)的所有解，都可以通过一奇一偶的m,n如式(3.4)表示出来．当然它们还可以每一个乘以k，这样一来，我们对于勾股方程的数论研究就大功告成了．勾股定理是数学中第一个伟大的定理，它首先把分属几何和数论的问题联系在一起，它是第一个完全求解的不定方程，为以后的不定方程树立了典范，而更重要的是，把它的指数2换成n以后，得出了令数学家神往的费尔马大定理．在研究费尔马大定理之前，首先要对勾股定理的数论方面进行充分的讨论，看一看有什么经验能够吸取．虽然这两个定理的结果完全不一样：x2+y2=z2有无穷多组解，而xn+yn=zn (3.5)没有非平凡解(关于平凡解，下面就要讲到)．但是，它们却有许多共同的东西，例如：(1)它们都是三个变元的齐次不定方程．(2)由于齐次性，如果(a，b，c)是一组解，那么(ma，mb，mc)也是一组解，这里m是任何一个整数(正数、负数或零)．因此，求解时，我们感兴趣的是(a，b，c)=1的解，这样的解我们称为本原解．(3)无论是本原解还是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但没有意思的解，这就是a，b，c中一个或三个是零的解，这样方程(3.5)就成为on+yn=znxn+on=zn,或者 xn+yn=on，这样满足y=z，x=z的任何整数都是原方程的解，对于n为偶数的情况，有(0，-a，a)及(a，0，-a)，其中a为任何整数．这种有零的解，我们称之为平凡解，因此我们以后讨论解时，都是考虑非平凡解，即xyz≠0的解．为了确定起见，我们不妨只考虑x＞0，y＞0，z＞0的本原解．(4)对于齐次方程，求整数解与求有理数解的方法并没有本质的不同．实际上，是任意整数但k≠0．因此若不定方程xn+yn=zn存在整数解，也就存在有理数解；反之，存在有理数解，也就存在整数解．实际上，所有齐次不定方程都有这种特性．而非齐次方程，求整数解与求有理数解的差别就非常大，一般需要分别加以处理．(5)为了使用几何方法，我们可以把三个变元的齐次方程变为两个变元的非齐次方程，这只要用方程(3.5)中的zn(假定z≠0)除方程的每一项即可：我们还可以用(x′)n+(y′)n=1 (3.6)表示，这个非齐次方程的有理数解正好对应原齐次方程的整数解，这样求解方程(3．5)的数论问题就可以变成方程(3．6)的几何问题．我们不妨把方程(3.6)仍写为x，y的方程xn+yn=1 (3.7)它代表一条平面代数曲线．这样，求不定方程(3．5)的整数解问题也就成为求这条曲线上的有理点问题，所谓有理点，就是x，y坐标均为有理数的点．现在，我们研究勾股方程的整数解的完全组，看看对费尔马大定理的证明有没有启发．首先，我们叙述一下勾股方程的基本定理：满足不定方程x2+y2=z2的本原整数解，都可以表示为x=a2-b2,y=2ab,z=a2+b2其中a，b是任意满足下述条件的整数．反之，满足上述条件的x，y，z都是勾股方程的一组本原解．由于我们感兴趣的是非平凡的本原解，不失一般性，可以证明其条件为a＞b，(a,b)=1且a与b奇偶性不同，另外，x，y的位置可以互换，即x=2ab，y=a2-b2，z=a2+b2也是一组解．根据中学掌握的知识，我们在研究勾股方程的整数解的完全组时有四种方法：(1)初等方法，即初等的代数方法——因子分解以及初等数论的方法；(2)几何方法；(3)三角方法；(4)复数方法．现分别讲述如下．1．初等方法初等方法分为下面四步．第一步，奇偶性分析．如果(x，y，z)是一组本原解，那么它们的奇、偶性有三种可能：(1)x，y均为偶数．这时z也是偶数，因此，(x，y，z)不是本原解，它们可以化为更简单的情形．(2)x，y均为奇数．这种情况不可能出现，因为设x=2m+1，y=2n+1，则x2=4m2+4m+1，y2=4n2+4n+1x2+y2=4(m2+m+n2+n)+2，但无论是奇数平方还是偶数平方，均不能表示为4k+2的形式，因此x与y不能均为奇数．(3)x，y一个为奇数，一个为偶数．由于x，y的位置可以互换，我们不妨假定x是奇数，y是偶数，这样z也是奇数．第二步，因子分解．由于x2+y2=z2那么，y2=z2-x2=(z+x)(z-x)由于z，x均为奇数，所以z+x和z-x均为偶数，因此都是正整数．整除z+x和z-x，也就可以整除z和x(读者想想为什么)，而由式(3.8)，p也可以整除y，第四步，利用因子唯一分解定理．由因子唯一分解定理(参见4.3节)可以得出：如果整数n2可以表示为两互素整数p,q的乘积，即n2=p·q则p,q也都是完全平方．这个结论极为重要，以后也要反复使用．现在z+x=2a2，z-x=2b2，这样，我们就证明了勾股方程的本原解均可表示为x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2而本原条件为a＞b，(a，b)=1，a，b奇偶性不同．反过来，不难验证，由满足上述条件的a，b可得到勾股方程的一组本原解．这样勾股方程的求解问题就大功告成了．这个初等方法中，本原性是次要的，关键是因子唯一分解定理，费尔马大定理的成败就在于此．2．几何方法前面讲过，几何方法的关键是把勾股方程x2+y2=z2的整数解问题，变成平面代数曲线x2+y2=1上的有理点问题．这个曲线是一个单位圆，而每个有理点均可以表示为过点(1,0)的直线与单位圆的交点，而这条直线的方程可写为x+ty=1， (3.9)如果x,y均要求是有理数，显然t也是有理数．把直线方程代入单位圆方程，得(ty-1)2+y2=(1+t2)y2-2ty+1=1，(1+t2)y2-2ty=0.如y不等于0，则有它所对应的正是勾股方程的本原解x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2.3．三角方法现在我们的问题还是求单位圆x2+y2=1上的有理点问题．三角中第一个重要公式是cos2θ+sin2θ=1，因此，x，y可用三角函数cosθ，sinθ来表示．由cosθ及sinθ的倍角公式sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos2θ-sin2θ可得这同样可得x2+y2=1的有理解它对应勾股方程x2+y2=z2的原本解为x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b24．复数方法论．它对费尔马大定理的突破也至关重要．这里我们只讨论最简单的复数──复整数，由于它是高斯引进的，故又称高斯整数，详细的证明请参看第8章．。
拿破仑三角形的证明
拿破仑三角形的证明拿破仑三角形，又称费尔马三角形，是指一个满足以下条件的等腰三角形：两个底边之和等于斜边的平方。
设等腰三角形的两条底边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们知道在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
将等腰三角形的两条底边分别作为直角三角形的两个直角边，斜边为斜边，则可得到两个直角三角形，记为三角形ABC和三角形CDE。
我们需要证明AB + BC = CD。
根据勾股定理，我们可以得到：AC^2 = AB^2 + BC^2 (1)CE^2 = CD^2 + DE^2 (2)由等腰三角形的性质可知，AB = BC。
因为CD为斜边，则根据勾股定理有AC = CD。
结合(1)(2)两式，我们可以将等式左边的CD替换为AC，得：AC^2 = AB^2 + BC^2 (1')CE^2 = AC^2 + DE^2 (2')我们可以观察到，(1')和(2')的右侧分别是AB^2 + BC^2和AC^2 + DE^2。
由等腰三角形的性质可知，AB^2 + BC^2 = AC^2，即：AB^2 + BC^2 = AC^2 (3)将(3)式代入(2')式，得：CE^2 = AB^2 + BC^2 + DE^2 (2'')我们将AB和BC进行合并，设其和为x，即：x = AB + BC将x代入(2'')，得：CE^2 = x^2 + DE^2我们知道，在三角形CDE中，CE为斜边，DE为直角边。
可见，CE^2等于直角边DE的平方加上斜边CE的平方，与拿破仑三角形的定义相符。
综上所述，拿破仑三角形的性质成立。
平面几何基础知识基本定理基本性质
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (CB A yC c y B b y A a C B A x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,． 旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）； （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT 交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件．罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而且还是一个很有趣的三角形．在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙、的圆心构成的△——外拿破仑的三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图．△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙的圆心构成的△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1821年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣的性质,例如:1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。
拿破仑定论、勾股定理、数论与密码
一、简述拿破仑定理及其证明方法拿破仑定理:以任意三角形的三边为边向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心的连线是一个等边三角形。
如图8-27所示。
在△ABC的各边上向外各作等边△ABD，等边△ACF，等边△BCE。
求证：这3个等边三角形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形？思路：利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。
证明：设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P相交于O；连AO、CO、BO。
∵ A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆B、E、C、O四点共圆∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°；∵ NP、MP、MN是连心线；BO、CO、AO是公共弦；∴ BO⊥NP于X；CO⊥MP于Y；CO⊥MP于Z。
∴ X、P、Y、O四点共圆；Y、M、Z、O四点共圆；Z、N、X、O四点共圆；∴∠N=∠M=∠P=60°；即△MNP是等边三角形。
结论：图中本没有圆，为了方便读图，我特地画出了三个等边三角形的外接圆：⊙N、⊙M、⊙P，而且还有三个四点共圆之辅助圆。
一共六个圆。
这是多么奇妙的构思啊！二、美国总统garfield如何证明勾股定理的以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积相等 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 25.0c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ‖BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2)(5.0b a +.∴2)(5.0b a + =25.0c .∴222c b a =+ 三、简介数论与密码 数论密码，顾名思义，就是基于数论的密码。
高中数学竞赛平面几何定理
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：．4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 与其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB 于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以与垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和． 23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++；③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，．29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ====.1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 ．（逆定理也成立）31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．33． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA =1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P 的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P 关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，与该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R 关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC 的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC 的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点与M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点与M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L 两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点与M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C 和F，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和F A的（或延长线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne）点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：．平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件．罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃与的亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日与拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而且还是一个很有趣的三角形．在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD 三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙、的圆心构成的△——外拿破仑的三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图．△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙的圆心构成的△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形与其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1821年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣的性质,例如:1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。
2023年高中数学竞赛平面几何定理
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边旳平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中旳一边和另一边在这边上旳射影乘积旳两倍． (2)钝角对边旳平方等于其他两边旳平方和，加上这两边中旳一边与另一边在这边上旳射影乘积旳两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 旳边BC 旳中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一种角旳平分线分对边所成旳两条线段与这个角旳两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长二分之一）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间旳一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对旳圆周角相等，等于圆心角旳二分之一．（圆外角怎样转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对旳圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线旳交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆旳幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O旳半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O旳幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则P A·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂旳点旳轨迹是与此二圆旳连心线垂直旳一条直线，假如此二圆相交，则该轨迹是此二圆旳公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆旳“根轴”．三个圆两两旳根轴假如不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆旳“根心”．三个圆旳根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两旳根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O旳弦，M是其中点，弦CD、EF通过点M，CF、DE交AB 于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点旳距离；不在等边三角形外接圆上旳点，到该三角形两顶点距离之和不小于到另一点旳距离．定理2三角形每一内角都不不小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张旳角都是120°，该点到三顶点距离和到达最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不不不小于120°时，此角旳顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC旳外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC旳三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们旳外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1旳圆心构成旳△——外拿破仑旳三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一种等边三角形；△ABC 旳三条边分别向△ABC 旳内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们旳外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2旳圆心构成旳△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一种等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相似旳中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线旳垂足，以及垂心与各顶点连线旳中点，这九个点在同一种圆上，九点圆具有许多有趣旳性质,例如:（1）三角形旳九点圆旳半径是三角形旳外接圆半径之半;（2）九点圆旳圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线旳中点;（3）三角形旳九点圆与三角形旳内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形旳外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形旳外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心旳距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形旳外接圆半径与内切圆半径旳和等于外心到各边距离旳和． 23．重心：三角形旳三条中线交于一点，并且各中线被这个点提成2：1旳两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 旳重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 旳中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 旳重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 旳重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 旳重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++；③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离旳平方和最小旳点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大旳点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 旳重心）．24． 垂心：三角形旳三条高线旳交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心旳距离，等于外心到对边旳距离旳2倍；（2）垂心H 有关△ABC 旳三边旳对称点，均在△ABC 旳外接圆上；（3）△ABC 旳垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 旳外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 旳外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形旳三条角分线旳交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 旳内心，则I 到△ABC 三边旳距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 旳内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆旳交点到另两顶点旳距离与到内心旳距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上旳点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 旳内心；（4）设I 为△ABC 旳内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则a c b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 旳内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上旳射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形旳三条中垂线旳交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 旳外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形旳外心到三边旳距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 旳三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切旳旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似旳式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 旳连线交△ABC 旳外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样旳结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 旳垂足三角形，且△I A I B I C 旳外接圆半径'R 等于△ABC 旳直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表达BC 边上旳高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径旳互相关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 旳三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不通过它们任一顶点旳直线旳交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RB AR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理旳应用定理1：设△ABC旳∠A旳外角平分线交边CA于Q，∠C旳平分线交边AB于R，∠B旳平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理旳应用定理2：过任意△ABC旳三个顶点A、B、C作它旳外接圆旳切线，分别和BC、CA、AB旳延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC旳边BC、CA、AB上旳一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点旳充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理旳应用定理：设平行于△ABC旳边BC旳直线与两边AB、AC旳交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC旳中点M．35．塞瓦定理旳逆定理：（略）36．塞瓦定理旳逆定理旳应用定理1：三角形旳三条中线交于一点，三角形旳三条高线交于一点，三角形旳三条角分线交于一点．37．塞瓦定理旳逆定理旳应用定理2：设△ABC旳内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC旳外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理旳逆定理：（略）40．有关西摩松线旳定理1：△ABC旳外接圆旳两个端点P、Q有关该三角形旳西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．有关西摩松线旳定理2（安宁定理）：在一种圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其他一点旳有关该三角形旳西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC旳垂心为H，其外接圆旳任意点P，这时有关△ABC旳点P 旳西摩松线通过线段PH旳中心．43．史坦纳定理旳应用定理：△ABC旳外接圆上旳一点P旳有关边BC、CA、AB旳对称点和△ABC旳垂心H同在一条（与西摩松线平行旳）直线上．这条直线被叫做点P 有关△ABC旳镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边旳延长线旳交点所连线段旳中点和两条对角线旳中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形旳牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形旳两条对角线旳中点，及该圆旳圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们旳对应顶点（A和D、B和E、C和F）旳连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们旳对应顶点（A 和D、B和E、C和F）旳连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC旳外接圆上旳三点为P、Q、R，则P、Q、R有关△ABC 交于一点旳充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC旳外接圆上旳三点，若P、Q、R 有关△ABC旳西摩松线交于一点，则A、B、C三点有关△PQR旳旳西摩松线交于与前相似旳一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线旳交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作旳三角形旳垂心和其他三点所作旳三角形旳垂心旳连线段旳中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考察△ABC旳外接圆上旳一点P旳有关△ABC旳西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆旳弦，则三点P、Q、R旳有关△ABC 旳西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC旳顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB旳中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一种圆上，这时L、M、N点有关有关△ABC旳西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC旳外接圆旳一点P，引与△ABC旳三边BC、CA、AB分别成同向旳等角旳直线PD、PE、PF，与三边旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC旳三个顶点引互相平行旳三条直线，设它们与△ABC旳外接圆旳交点分别是L、M、N，在△ABC旳外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC 旳三边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC旳外接圆旳异于A、B、C旳两点，P点旳有关三边BC、CA、AB旳对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为有关△ABC旳外接圆旳一对反点，点P旳有关三边BC、CA、AB旳对称点分别是U、V、W，这时，假如QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O旳半径OC和其延长线旳两点，假如OC2=OQ×OP则称P、Q两点有关圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点旳有关这4个三角形旳西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边旳中点，向这条边所对旳顶点处旳外接圆旳切线引垂线，这些垂线交于该三角形旳九点圆旳圆心．59．一种圆周上有n个点，从其中任意n－1个点旳重心，向该圆周旳在其他一点处旳切线所引旳垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一种圆周上有n个点，从其中任意n－2个点旳重心向余下两点旳连线所引旳垂线共点．61．康托尔定理2：一种圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点有关四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中旳每一种旳两条西摩松线旳交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点有关四边形ABCD旳康托尔线．62．康托尔定理3：一种圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线、L、N两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线、M、L 两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点有关四边形ABCD旳康托尔点．63．康托尔定理4：一种圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点有关四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中旳每一种康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点有关五边形A、B、C、D、E旳康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形旳九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形旳三个内角三等分，靠近某边旳两条三分角线相得到一种交点，则这样旳三个交点可以构成一种正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆旳六边形ABCDEF相对旳顶点A和D、B和E、C 和F，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对旳边AB和DE、BC和EF、CD和F A旳（或延长线旳）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B旳距离之比为定比m：n（值不为1）旳点P，位于将线段AB提成m：n旳内分点C和外分点D为直径两端点旳定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形旳九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形旳九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心旳圆叫做圆内接四边形旳九点圆．70．密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形旳外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne）点：△ABC旳内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉有关垂足三角形旳面积公式：O是三角形旳外心，M是三角形中旳任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成旳三角形旳面积，其公式：222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何旳意义 就个人经验而言，我相信人旳智力懵懂旳大门获得开悟往往缘于某些不经意旳偶尔事件．罗素说过：“一种人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之因此这样说，是由于平面几何曾经救了他一命旳缘故．天懂得是什么缘故，这个养尊处优旳贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家旳孩子巴望一辈子都够不到旳幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发旳小子想到做最终一件事情，那就是理解一下平面几何究竟有多大迷人旳魅力．而这个魅力是之前他旳哥哥向他吹嘘旳．估计他旳哥哥将平面几何与人生旳意义搅和在一起向他做了推介，否则万念俱灰旳旳头脑怎么会在离开之前想到去做最终旳光顾？而罗素真旳一下被迷住了，厌世旳念头由于沉湎于平面几何而被淡化，最终竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我旳意义只是发掘了一种成绩本来不错旳中学生旳潜力，为我解开了智力上旳扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来旳伟大旳怀疑论者显露了执拗旳本性．他反对不加考察就接受平面几何旳公理，在与哥哥旳反复争论之后，只是他旳哥哥使他确信不也许用其他旳措施一步步由这样旳公理来构建庞大旳平面几何旳体系旳后来，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻旳亚历山大从马其顿麾师东进，短短旳时间就建立了一种从尼罗河到印度河旳庞大帝国．伴随他旳征服，希腊文明传播到了东方，开始了一种新旳文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明旳中心也从希腊本土转移到了东方，精确地说，是从雅典转移到了埃及旳亚历山大城．正是在这个都市，诞生了“希腊化时代”最为杰出旳科学成就，其中就包括欧几里德旳几何学．由于他旳成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比旳完美体系一直被视为演绎知识旳典范，哲学史家更乐意把它看作是古代希腊文化旳结晶．它由人类理性不可反驳旳几种极其简朴旳“自明性公理”出发，通过严密旳逻辑推理，演绎出一连串旳定理，这些在构造上紧密依存旳定理和作为基础旳几种公理一起构筑了一种庞大旳知识体系．世间事物旳简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出有关三角形旳一种有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一种历史名题，近几年仍有不少文献对此简介．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．尚有三角形用拿破仑这个名子来命名旳呢！拿破仑与我们旳几何图形三角形有什么关系？少年朋友懂得拿破仑是法国著名旳军事家、政治家、大革命旳领导者、法兰西共和国旳缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关旳几何等知识素有研究，却懂得得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值旳文献，包括欧几里德旳名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“怎样用圆规将圆周四等分”旳问题，被法国数学家曼彻罗尼所处理．听说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上旳真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一种规定：“将军，我们最终有个祈求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相称造诣旳数学爱好者吧！不少几何史上有名旳题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过旳三角形称为“拿破仑三角形”，并且还是一种很有趣旳三角形．在任意△ABC旳外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD 三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC旳三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们旳外接圆⊙、⊙、⊙、旳圆心构成旳△——外拿破仑旳三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一种等边三角形，如下图．△ABC旳三条边分别向△ABC旳内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们旳外接圆⊙、⊙、⊙旳圆心构成旳△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一种等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相似旳中心．少年朋友，你与否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同步还是一位受异书籍、热爱知识旳数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质与否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边旳中点,三高旳垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段旳中点〕九点共圆〔一般称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上旳一种著名问题,最早提出九点圆旳是英国旳培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题刊登在1823年旳一本英国杂志上.第一种完全证明此定理旳是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1823年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先刊登旳.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他旳证明刊登在1823年旳《直边三角形旳某些特殊点旳性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆旳某些重要性质〔如下列旳性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣旳性质,例如:1.三角形旳九点圆旳半径是三角形旳外接圆半径之半;2.九点圆旳圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线旳中点;3.三角形旳九点圆与三角形旳内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。
数学历史小故事
数学历史小故事在数学的世界里，有许许多多的故事，这些故事或许不如传奇故事那般引人入胜，但却是数学发展历程中不可或缺的一部分。
让我们一起来听听这些数学历史小故事吧。
故事一，毕达哥拉斯和勾股定理。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊的一位伟大数学家，他创立了毕达哥拉斯学派，提出了许多重要的数学定理。
而最为人熟知的便是勾股定理。
传说中，毕达哥拉斯发现了勾股定理，是因为他在一天散步时，发现了一群牛在三角形的草地上吃草。
他观察到，当三角形的两条直角边的长度分别为3和4时，斜边的长度恰好为5。
这个发现让毕达哥拉斯兴奋不已，他意识到了这个规律的重要性，并开始研究勾股定理。
最终，他得出了勾股定理的数学表达式，a² + b² = c²。
这个故事告诉我们，数学常常隐藏在我们日常生活的细节中，只要我们用心观察，就能发现数学的美妙之处。
故事二，费马大定理的解答。
费尔马大定理，又称费马最后定理，是17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个数论问题。
这个问题一直困扰着数学界，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯终于找到了证明这一定理的方法。
怀尔斯的解答让整个数学界为之震惊，费马大定理终于被证明。
这个故事告诉我们，数学是一个充满挑战和谜团的领域，但只要我们不断努力，就有可能找到解答。
故事三，黎曼猜想的证明。
黎曼猜想是19世纪德国数学家伯纳德·黎曼提出的一个数论问题，至今仍未被证明。
然而，数学家们一直在努力寻找证明这一猜想的方法。
直到最近，一位年轻的数学家通过创新的方法，终于找到了证明黎曼猜想的途径。
这个故事告诉我们，数学的发展离不开数学家们的不懈努力和创新思维。
故事四，图灵的机器。
艾伦·图灵是20世纪英国的一位杰出数学家和计算机科学家，他提出了著名的图灵机概念，为计算机科学的发展奠定了基础。
图灵机概念是一种理论上的计算模型，它能够模拟任何可计算的问题。
勾股定理的历史及证明
勾股定理的历史及证明勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理：英文译法：Pythagoras' Theorem在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过4000 年！中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,就有这条定理的相关内容：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。
夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。
既方其外，半之一矩，环而共盘。
得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。
故禹之所以治天下者，此数之所由生也。
”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。
在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。
据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。
故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。
遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。
实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。
除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。
但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。
比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。
我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。
”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。
千古第一定理--勾股定理
千古第一定理——勾股定理在西方，毕达哥拉斯的名字可以说尽人皆知，这主要来自所谓毕达哥拉斯定理，即直角三角形的三条边长度为a、b、c，则a2+b2=c2反过来，如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2则它是个直角三角形．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的，可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理．不管怎么说，勾股定理是数学中头一个最伟大的定理，它的重要性怎么说也不为过：(1)勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理．(2)勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数”与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机．(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学．(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式．3.1 勾股定理的历史世界上各个民族通过他们的实践都或多或少地知道勾股定理．而号称四大文明古国的中国、印度、埃及、巴比伦则更有丰富的数学文化，距今都有5000年的历史了．中国的《周髀算经》中明确地记载着“勾三，股四，弦五”，并且清楚地讨论了它们与直角三角形的关系．其后的著作中也有其他的勾股数．如《九章算术》中还有(5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)等7组，《缉古算经》中有(287，984，102)，是明显表出的最大一组勾股数．埃及是几何学的发源地，埃及的“拉绳者”就是测量员，他们利用有结的绳子进行测量，两结之间的距离都是一样的，比如说都是1米．他们可以利用一条12米的绳子拉出一个直角三角形来．这条绳子算上首尾的结共有13个结，这样，把第一个结同第13个结连在一起，用桩子固定下来，然后再把第4个结同第8个结也分别用桩子固定，同时绷紧绳子．这三个桩子构成边长分别为3米、4米、5米的三角形，而两短边形成直角(图3.1)．根据现有的材料推测，埃及人可能只是考虑实用的目的，而对进一步研究数论不感兴趣．印度人也考虑过直角三角形，他们比埃及人进了一步，得出了满足a2+b2=c2的三整数组(a，b，c)，在西方称为毕达哥拉斯三数组，我们不妨称之为勾股数组．印度人发现的新的勾股数组还有12，16，20；15，20，25；5，12，13；15，36，39；8，15，17；12，35，37．不过，他们也没有进一步的结果．现有材料中最令人吃惊的是，公元前两千年左右的巴比伦的泥板文书上有着许多勾股数组(表3.1)，其中有的数很大，表明他们也许已掌握了一般的规律．3.2 勾股定理的几何方面勾股定理包含几何与数论两个方面．首先是几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积，实际上这时我们并不考虑边长是否为整数．只有毕达哥拉斯学派认为万物皆数，才把边长及面积都看成整数或分数，而最终导致矛盾．但是，勾股定理并没有必要考虑得如此深刻，我们只是考虑面积的相等就够了．第一个发表了的证明——欧几里得《几何原本》中的证明就是这样的．欧几里得的证明(参见图3.3)出现在第二篇命题47中，这个证明在所有证明中其实是比较复杂的．证明的要点如下：△ABD≌△FBC，矩形BDLI=2△ABD，正方形GFBA=2△FBC，因此矩形BDLI=正方形GFBA，同样可证矩形CILE=正方形ACKH，两式相加即得定理.第二篇命题48是勾股定理的逆定理：如果三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角．欧几里得的证明是这样的(参见图3.4)：作AD垂直于AC且等于AB．由题设AB2+AC2=BC2对直角三角形ACD有AD2+AC2=DC2∵AB=AD，∴BC2=DC2从而BC=DC由于△ABC与△ADC三边对应相等，从而两三角形全等，所以∠CAB 为直角．关于毕达哥拉斯定理已有几百个证明，在某本书中已收集了370多种不同的证明，这些证明中有的非常简单和直观，甚至从图上马上可以看出，下面仅举两例．如图3.5，把四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，那么大正方形面积等于(a+b)2=a2+2ab+b2；另一方面，大正方形面积又等于因此a2+b2=c2另一种拼法如图3.6所示．由图可见，边长为c的大正方形的面积为3.3 勾股定理的数论方面勾股定理的数论方面虽然可以包括在几何方面之内，但是比几何方面更为重要．这是由于它是第一个充分研究过的不定方程，并且得到了完整的解答，并且数论所代表的离散数学与几何所代表的连续数学之间的奇妙关系一直是数学发展的一条主线．毕达哥拉斯的公式x2+y2=z2 (3.1)并不是最简单的不定方程，然而却容易下手．你如果有兴趣，也可以尝试去求它的解．不过，现代人虽然有个人计算机的帮助，也不一定能得出巴比伦人的一些解来．不管怎么样，碰到一个不定方程，首先就要试一试求它的解，这显然是求解不定方程的初级阶段．近代数学给我们带来许多新东西，其中之一就是寻找求解的规律，而不是一味地盲目摸索．在考虑满足方程(3.1)的解之后，很容易发现，(3，4，5)是一组解，它们的倍数，比如(6，8，10)，(9，12，15)，(12，16，20)等等也都是解．这些解在巴比伦的泥板文书上也有，例如(45，60，75)．这样我们便得到第一个规律：定理3.1如果(a，b，c)是方程x2+y2=z2的一组解，则(ka，kb，kc)也是一组解，其中k是任意整数．这个定理的证明并不难，只要代入验证一下就可以了．这样我们从初级阶段进入了代数阶段．我们只去求a，b，c互素(详见4．1．3节)的解，也就是它们的最大公因数(a，b，c)=1的解，这种解我们可以称为素勾股数组．显然(3，4，5)是一个素勾股数组，可是勾股方程的素勾股数组远不止这一个，例如(5，12，13)，(7，24，25)等也都是素勾股数组．下一个问题就是这些素勾股数组能不能用一个简单公式来概括呢？从数学发展史来看，这是一个飞跃，它真正显示了代数的威力．毕达哥拉斯学派已经找到了这个公式，这就是当m为奇数时，它们就代表素勾股数组，如表3.2所示．表3.2要证它们并不难，只须做一个代数练习即可：但是要证它们互素，也许不太容易，不过由具体的数字可以发现，股与弦都相差1，这也不难证明(你不妨试试看)，从这点出发不难推出它们互素．对于不定方程(3.1)来说，我们已走到了最后一步，那就是，找出所有可能的解，一个不剩．这一步十分困难，一般不是像上面那样进行代数验证就行了．为了解决这个问题，首先要问是否所有素勾股数组都可以表示为(3.2)的形式？答案是否定的，因为82+152=172，不过，它们可以纳入(2m,m2-1,m2+1) (3.3)的系列，其中m为偶数．显然，这里股与弦相差为2．这两组公式还不能完全表示所有素勾股数组．经过一千多年的努力，我们的确找到了表示勾股方程的所有解，也就是素勾股数组的明显表达式，即(m2-n2,2mn,m2+n2) (3.4)其中m，n互素，一奇一偶，m＞n＞0．不难验证，这组数满足勾股方程，现在需要证明，方程x2+y2=z2的每组满足(x,y)=1的解，均可表示为(3.4)的形式．因x，y互素，可证x,y 一为奇数，一为偶数．设x为偶数，y为奇数，z也是奇数，因此都是整数，而且它们互素．因为即得z=m2+n2, y=m2-n2, x=2mn最后还需要证明，m，n一奇一偶，这由z是奇数可以看出．而且可以证明，不同的m，n表示不同的解．由此勾股方程(3.1)的所有解，都可以通过一奇一偶的m,n如式(3.4)表示出来．当然它们还可以每一个乘以k，这样一来，我们对于勾股方程的数论研究就大功告成了．勾股定理是数学中第一个伟大的定理，它首先把分属几何和数论的问题联系在一起，它是第一个完全求解的不定方程，为以后的不定方程树立了典范，而更重要的是，把它的指数2换成n以后，得出了令数学家神往的费尔马大定理．在研究费尔马大定理之前，首先要对勾股定理的数论方面进行充分的讨论，看一看有什么经验能够吸取．虽然这两个定理的结果完全不一样：x2+y2=z2有无穷多组解，而x n+y n=z n (3.5)没有非平凡解(关于平凡解，下面就要讲到)．但是，它们却有许多共同的东西，例如：(1)它们都是三个变元的齐次不定方程．(2)由于齐次性，如果(a，b，c)是一组解，那么(ma，mb，mc)也是一组解，这里m是任何一个整数(正数、负数或零)．因此，求解时，我们感兴趣的是(a，b，c)=1的解，这样的解我们称为本原解．(3)无论是本原解还是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但没有意思的解，这就是a，b，c中一个或三个是零的解，这样方程(3.5)就成为o n+y n=z nx n+o n=z n,或者x n+y n=o n，这样满足y=z，x=z的任何整数都是原方程的解，对于n为偶数的情况，有(0，-a，a)及(a，0，-a)，其中a为任何整数．这种有零的解，我们称之为平凡解，因此我们以后讨论解时，都是考虑非平凡解，即xyz≠0的解．为了确定起见，我们不妨只考虑x＞0，y＞0，z＞0的本原解．(4)对于齐次方程，求整数解与求有理数解的方法并没有本质的不同．实际上，是任意整数但k≠0．因此若不定方程x n+y n=z n存在整数解，也就存在有理数解；反之，存在有理数解，也就存在整数解．实际上，所有齐次不定方程都有这种特性．而非齐次方程，求整数解与求有理数解的差别就非常大，一般需要分别加以处理．(5)为了使用几何方法，我们可以把三个变元的齐次方程变为两个变元的非齐次方程，这只要用方程(3.5)中的z n(假定z≠0)除方程的每一项即可：我们还可以用(x′)n+(y′)n=1 (3.6)表示，这个非齐次方程的有理数解正好对应原齐次方程的整数解，这样求解方程(3．5)的数论问题就可以变成方程(3．6)的几何问题．我们不妨把方程(3.6)仍写为x，y的方程x n+y n=1 (3.7)它代表一条平面代数曲线．这样，求不定方程(3．5)的整数解问题也就成为求这条曲线上的有理点问题，所谓有理点，就是x，y坐标均为有理数的点．现在，我们研究勾股方程的整数解的完全组，看看对费尔马大定理的证明有没有启发．首先，我们叙述一下勾股方程的基本定理：满足不定方程x2+y2=z2的本原整数解，都可以表示为x=a2-b2,y=2ab,z=a2+b2其中a，b是任意满足下述条件的整数．反之，满足上述条件的x，y，z都是勾股方程的一组本原解．由于我们感兴趣的是非平凡的本原解，不失一般性，可以证明其条件为a＞b，(a,b)=1且a与b奇偶性不同，另外，x，y的位置可以互换，即x=2ab，y=a2-b2，z=a2+b2也是一组解．根据中学掌握的知识，我们在研究勾股方程的整数解的完全组时有四种方法：(1)初等方法，即初等的代数方法——因子分解以及初等数论的方法；(2)几何方法；(3)三角方法；(4)复数方法．现分别讲述如下．1．初等方法初等方法分为下面四步．第一步，奇偶性分析．如果(x，y，z)是一组本原解，那么它们的奇、偶性有三种可能：(1)x，y均为偶数．这时z也是偶数，因此，(x，y，z)不是本原解，它们可以化为更简单的情形．(2)x，y均为奇数．这种情况不可能出现，因为设x=2m+1，y=2n+1，则x2=4m2+4m+1，y2=4n2+4n+1x2+y2=4(m2+m+n2+n)+2，但无论是奇数平方还是偶数平方，均不能表示为4k+2的形式，因此x与y不能均为奇数．(3)x，y一个为奇数，一个为偶数．由于x，y的位置可以互换，我们不妨假定x是奇数，y是偶数，这样z也是奇数．第二步，因子分解．由于x2+y2=z2那么，y2=z2-x2=(z+x)(z-x)由于z，x均为奇数，所以z+x和z-x均为偶数，因此都是正整数．整除z+x和z-x，也就可以整除z和x(读者想想为什么)，而由式(3.8)，p也可以整除y，第四步，利用因子唯一分解定理．由因子唯一分解定理(参见4.3节)可以得出：如果整数n2可以表示为两互素整数p,q的乘积，即n2=p·q则p,q也都是完全平方．这个结论极为重要，以后也要反复使用．现在z+x=2a2，z-x=2b2，这样，我们就证明了勾股方程的本原解均可表示为x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2而本原条件为a＞b，(a，b)=1，a，b奇偶性不同．反过来，不难验证，由满足上述条件的a，b可得到勾股方程的一组本原解．这样勾股方程的求解问题就大功告成了．这个初等方法中，本原性是次要的，关键是因子唯一分解定理，费尔马大定理的成败就在于此．2．几何方法前面讲过，几何方法的关键是把勾股方程x2+y2=z2的整数解问题，变成平面代数曲线x2+y2=1上的有理点问题．这个曲线是一个单位圆，而每个有理点均可以表示为过点(1,0)的直线与单位圆的交点，而这条直线的方程可写为x+ty=1，(3.9)如果x,y均要求是有理数，显然t也是有理数．把直线方程代入单位圆方程，得(ty-1)2+y2=(1+t2)y2-2ty+1=1，(1+t2)y2-2ty=0.如y不等于0，则有它所对应的正是勾股方程的本原解x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2.3．三角方法现在我们的问题还是求单位圆x2+y2=1上的有理点问题．三角中第一个重要公式是cos2θ+sin2θ=1，因此，x，y可用三角函数cosθ，sinθ来表示．由cosθ及sinθ的倍角公式sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos2θ-sin2θ可得这同样可得x2+y2=1的有理解它对应勾股方程x2+y2=z2的原本解为x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b24．复数方法论．它对费尔马大定理的突破也至关重要．这里我们只讨论最简单的复数──复整数，由于它是高斯引进的，故又称高斯整数，详细的证明请参看第8章．。
高中数学竞赛平面几何基本定理(非常全面)
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,． 旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）； （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）； （4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT 交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件．罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而且还是一个很有趣的三角形．在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙、的圆心构成的△——外拿破仑的三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图．△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙的圆心构成的△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1821年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣的性质,例如:1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。
平面几何基本定理
一．平面几何1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥高线长：C b B c A abcc p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定理）角平分线长：2cos 2)(2Ac b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）6． 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径） 7． 余弦定理：C ab b a ccos 2222-+=8． 角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆接四边形ABCD中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一角都小于120°时，在三角形必存在一点，它对三条边所的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一角不小于120°时，此角的顶点即为费马点18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点（3）三角形的九点圆与三角形的切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，切圆半径为r ，外心与心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G为△ABC的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKHCA FP BC DE AB KH CA FP BC DE （4）设G 为△ABC 的重心，则222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H CB AC B A ++++++++垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,25． 心：三角形的三条角分线的交点—接圆圆心，即心到三角形各边距离相等),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I CB AC B A ++++++++心性质：（1）设I 为△ABC 的心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然 （2）设I为△ABC的心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190（3）三角形一角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的心（4）设I 为△ABC 的心，,,,c AB b AC a BC ===A∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则acb KD IK KI AK ID AI +=== （5）设I 为△ABC 的心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (B A By AyC B A Cx Bx Ax O BA CB A +++++++外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其切圆与外接圆半径之和27． 旁心：一角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子） （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠ （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ． 28． 三角形面积公式C B A R Rabc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为切圆半径，)(21c b a p ++=29． 三角形中切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4CB A R rC B A R r C B A R r C B A R r c b a ====.1111;2tan2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++===30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线33． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY Y A=1 34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点M 35． 塞瓦定理的逆定理：（略）36． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37． 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点． 38． 西摩松（Simson ）定理：从△ABC 的外接圆上任意一点P向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D 、E 、R ，则D 、E 、R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line ） 39． 西摩松定理的逆定理：（略）40． 关于西摩松线的定理1：△ABC 的外接圆的两个端点P 、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上 41． 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点42． 史坦纳定理：设△ABC 的垂心为H ，其外接圆的任意点P ，这时关于△ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中心． 43． 史坦纳定理的应用定理：△ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC 、CA 、AB 的对称点和△ABC 的垂心H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P 关于△ABC 的镜象线．44． 牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线． 45． 牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线． 46． 笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 47． 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 48． 波朗杰、腾下定理：设△ABC 的外接圆上的三点为P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP +弧BQ +弧CR =0(mod2π) ．49． 波朗杰、腾下定理推论1：设P 、Q 、R 为△ABC 的外接圆上的三点，若P 、Q 、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点，则A 、B 、C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点． 50． 波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A 、B 、C 、P 、Q 、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点． 51． 波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC 的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P 、Q 、R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点．52． 波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC 的顶点向边BC 、CA 、AB 引垂线，设垂足分别是D 、E 、F ，且设边BC 、CA 、AB 的中点分别是L 、M 、N ，则D 、E 、F 、L 、M 、N 六点在同一个圆上，这时L 、M 、N 点关于关于△ABC 的西摩松线交于一点 53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线． 54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心 59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点 60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线． 62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线． 64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与切圆和旁切圆相切． 65． 莫利定理：将三角形的三个角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆接六边形ABCDEF 相对的边AB和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线． 68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的切圆分别切边AB 、BC 、CA于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．二．集合1.元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B==3.包含关系A B A A B B=⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.5.集合A 中有M 个元素，集合B 中有N 个元素，则可以构造M*N 个从集合A 到集合B 的映射；6.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+.三．二次函数，二次方程 1·二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 2·解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 3·方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根.在),(21k k ,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 4·闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2bf x f f x f p f q a =-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.5·一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q pm ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩； （2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n>⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .6·定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3))(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是00a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.四．简易逻辑1·真值表234·充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.五．函数1· 函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2·如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.3·奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;在对称区间上，奇函数的单调性相同，欧函数相反；，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0，则必有f(0)=0;4若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 5· 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 6·若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.7 多项式函数110()n n n n P x a x a xa --=+++的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 8函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a=对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.9两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.10 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.11 互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.12若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.13 几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x→==.14 几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.六 指数与对数1·分数指数幂(1)m na=（0,,a m n N*>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,am n N *>∈，且1n >）.2·根式的性质（1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.3·有理指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈.(2)()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 4·指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.5·对数的换底公式log log log m a m N N a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠,0N >).推论 log log m na anb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).6·对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N=+;(2)log log log a a a M M N N=-;(3)log log ()na a M n M n R =∈.7·设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.8·对数换底不等式及其推广若0a>,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为增函数.，(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n++<.（2）2log log log 2a a a m nm n +<. 9·平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).七 数列1·等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 2·等比数列的通项公式1*11()n nna a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.3·等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩.八 三角函数1·常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.2·同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.3·正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).5·半角正余切公式：sin sin tan ,cot 21cos 1cos αααααα==+- 6·二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 7·最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Zππ>≤⇔∈-+∈cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Zπππ<≤⇔∈++-∈tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Zπππ>∈⇒∈++∈tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈角的变形：2()()2()()()ααβαββαβαβααββ=-++=+--=+-8·三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-9·三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.10·正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C===.11余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B=+-;2222cos c a b ab C =+-.12·面积定理（1）111222a b c Sah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222Sab C bc A ca B ===. (3)OABS ∆=.13·在三角形中有下列恒等式：①sin()sin A B C +=② tan tan tan tan .tan .tan A B C A B C ++=14·简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.15·三角形角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+八 向量1·实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .2·向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b=λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 3·平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面所有向量的一组基底． 4·向量平行的坐标表示 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.5·a 与b 的数量积(或积)a ·b =|a ||b |cos θ． 6·a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7·平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A11(,)x y ，B22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.8·两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9·平面两点间的距离公式,A Bd =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).10·向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11·线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 12·三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.13·点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)Px y ，且'PP 的坐标为(,)h k .14·“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .15·三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==.（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=. （3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.九 不等式1·常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).ab c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.2·极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.3·一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2axbx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.4·含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 5·指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩十 直线方程1·斜率公式①2121y y kx x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.② k=tanα(α为直线倾斜角）2·直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).5·两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②两直线垂直的充要条件是12120A A B B +=；即：12l l ⊥⇔12120A A B B +=6·夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 7·1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.8·四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．9·点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l：0Ax By C ++=).10·0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，若A>0,则在坐标平面从左至右的区域依次表示 0Ax By C ++<，0Ax By C ++>，若A<0,则在坐标平面从左至右的区域依次表示0Ax By C ++>，0Ax By C ++<，可记为“x 为正开口对，X 为负背靠背“。
数学课外书
001——《从单位圆谈起》华罗庚002——丘成桐中学数学奖推荐参考书（英文版的都没有传，以下同）由高等教育出版社出版，目前已出版了5本：1.《莫斯科智力游戏 359 道数学趣味题》(俄)Б. А. 柯尔捷姆斯基著2.《趣味密码术与密写术》M·加德纳著3.《著名几何问题及其解法尺规作图的历史》B. 波尔德(Benjamin Bold)著4.《第一届丘成桐中学数学奖获奖论文集(英文版)》5.《恒隆数学奖获奖论文集(英文版)》003——好玩的数学，目前已经出了13种：1.《不可思议的e》2.《幻方及其他》第二版3.《乐在其中的数学》4.《七巧板、九连环和华容道》5.《趣味随机问题》6.《数学聊斋》7.《数学美拾趣》8.《数学演义》9.《说不尽的π》10.《中国古算解趣》11.《数学志异》12.《进位制与数学**》13.《古算诗题探源》14.《幻方与素数》第三版注：前10本xuguoyun 于“数学丛书”帖上传；《幻方及其他》第二版已经改成《幻方与素数》第三版004——科普作家别莱利曼，三类一、中国青年出版社最近出版的1.《趣味代数学第4版》（俄）别莱利曼著丁寿田朱美琨译2.《趣味几何学第3版》（俄）别莱利曼著符其珣译（将2个压缩文件放在一起解压！）3.《趣味物理学第5版》（俄）别莱利曼著符其珣译4.《趣味物理学：续编第3版》（俄）别莱利曼著滕砥平译二、中国青年出版社5、60年代出版的（有的是繁体字）5.《趣味代数学》（俄）别莱利曼著丁寿田朱美琨译（无）6.《趣味几何学（上册）》（俄）别莱利曼著符其珣译（无）7.《趣味几何学（下册）》（俄）别莱利曼著符其珣译（无）8.《趣味力学》（苏）别莱利曼著；符其珣译9.《趣味天文学》（苏）别列利曼撰；滕砥平，唐克译10.《趣味物理学》（苏）别莱利曼撰；符其珣译（无）11.《趣味物理学续编》（苏）别莱利曼撰；腾砥平译（无）12.《行星际的旅行》（苏）别莱利曼著；符其珣译三、其他出版社出版的13.《物理万花筒》（苏）别莱利曼著；王昌茂译14.《趣味思考题》（苏）别莱利曼著；符其珣译15.《有趣的游戏》（苏）别莱利曼原著；王昌茂翻译005——《数学试卷分析方法》华东师范大学出版社，许世红，胡中锋编著006——《七彩数学》专辑，科学出版社第一批1.《数学走进化学与生物》姜伯驹钱敏平龚光鲁著2.《数论与密码》冯克勤著3.《迭代浑沌分形》李忠著4.《数学的力量——漫话数学的价值》李文林任辛喜著5.《古希腊名题与现代数学》张贤科著第二批6.《离散几何欣赏》宗传明著7.《通信纠错中的数学》冯克勤著8.《趣话概率》安鸿志著9.《画图的数学》齐东旭著10.《整数分解》颜松远著007——《中学数学教学参考书》，1956年新知识出版社编辑出版，初中部分一、算术：1.《整数》2.《分数》3.《小数与百分数》4.《比例》二、代数5.《有理数》6.《有理整式的恒等变换》7.《分式与比例》8.《一元一次方程》9.《一次方程组及开平方》三、几何10.《体面线点》11.《全等三角形》12.《基本轨迹与作图》13.《平行四边形》14.《圆》（缺）008——《中学数学教学参考书》，1956年新知识出版社编辑出版，高中部分一、代数：1.《无理数与无理式》2.《一元二次方程》3.《函数图象及二元二次联立方程》4.《数列与极限》（缺）5.《指数与对数》6.《联合二项式定理及复数》7.《不等式》8.《高次方程》二、几何9.《相似形》10.《勾股定理》11.《多边形面积》12.《正多边形与圆》13.《直线与平面》14.《多面体》（缺）15.《回转体》（缺）三、三角16.《三角函数》17.《加法定理》18.《解三角形》19.《三角方程》（缺）注：部分书籍以内容完全相同的上教版代替009——《中学数学教学参考丛书》，上海教育出版社1.《多项式的乘法和因式分解》茅成栋编2.《一元二次方程》赵宪初编3.《绝对值》陈汝作编（缺，这里该书的封面用附件传上）4.《代数方程组》李大元武成章等编5.《指数函数和对数函数》徐美琴许三保编6.《三角函数》姚晶编7.《幂的运算和幂函数》顾鸿达朱成杰王致平编8.《解不等式》张福生赵国礼编9.《实数》张镜清霍纪良编10.《直线形》陶成铨编11.《圆与正多边形》黄承宏编12.《相似形和比例线段》杨荣祥黄荣基编13.《轨迹》毛鸿翔左铨如编14.《解三角形》黄汉禹编15.《直线与平面》夏明德编16.《排列和组合》翟宗荫编17.《高次方程》李传芳陈汝作陈永明编18.《复数》顾忠德管锡培编19.《数列与极限》刘文编20.《直线和圆》陈森林揭方琢编21.《二次曲线》张泽湘编22.《参数方程和极坐标方程》刘世伟编23.《概率初步》上海师范大学数学系应用数学组编24.《矩阵初步》张弛编25.《集合论初步》沈石山俞鑫泰编010——教学工具书1.《代数学辞典问题解法上》笹部贞市郎编蒋声等译2.《代数学辞典问题解法下》笹部贞市郎编张明梁等译3.《三角学辞典问题解法》笹部贞市郎编肖乐编译4.《几何学辞典问题解法》笹部贞市郎编高清仁等译5.《解析几何辞典问题解法》笹部贞市郎编关桐书等译6.《微积分辞典问题解法》笹部贞市郎编蒋声等译011——《中学生数学课外读物》，上海教育出版社1．《速算与验算》姚人杰著2．《数学归纳法》华罗庚著3．《不等式》张驰著4.《谈谈怎样学好数学》苏步青著5．《π和е》夏道行著6．《复数的应用》莫由著7．《怎样用复数解题》程其坚著8．《圆和二次方程》马明著9．《怎样列方程解应用题》赵宪初著10．《怎样应用数学归纳法》洪波著11．《最大值和最小值》谷超豪著12．《图上作业法》管梅谷著13．《谈谈怎样编数学墙报》华东师范大学第一附属中学数学教研组编012——上海教育出版社1978年12月到2002年5月出版一套初等数学小丛书，一共29本，如下：1.《抽屉原则及其他》常庚哲2.《谈谈怎样学好数学》苏步青3.《函数方程》田增伦4.《几何不等式》单壿5.《一百个数学问题》 [波兰]史坦因豪斯6.《又一百个数学问题》[波兰]史坦因豪斯7.《从单位根谈起》蒋声8.《从正五边形谈起》严镇军9.《集合论与连续统假设浅说》张锦文10.《矩阵对策初步》张盛开11.《趣味的图论问题》单壿12.《母函数》史济怀13.《代数方程与置换群》李世雄14.《中学生数学分析》[苏]庞特里亚金15.《覆盖》单壿16.《计数》黄国勋李炯生17.《对称和群》朱水林18.《平方和》冯克勤19.《不定方程》单壿余红兵20.《凸函数与琴生不等式》黄宣国21.《有趣的差分方程》李克大李尹裕22.《柯西不等式与排序不等式》南山23.《组合几何》单壿24.《奇数、偶数、完全平方数》南秀全余石25.《棋盘上的组合数学》冯跃峰26.《十个有趣的数学问题》单壿27.《染色:从**到数学》柳柏濂28.《集合及其子集》单壿29.《平面几何中的小花》单壿013——《中学生文库》数学部分：1.《怎样列方程解应用题》赵宪初2.《面积关系帮你解题》张景中3.《怎样用配方法解题》奚定华4.《根与系数的关系及其应用》毛鸿翔5.《怎样添辅助线》余振棠谢传芳6.《圆和二次方程》马明7.《几何作图不能问题》邱贤忠沈宗华8.《从勾股定理谈起》盛立人严镇军9.《从√2谈起》张景中10.《不等式》张弛11.《不等式的证明》吴承鄫李绍宗12.《奇数和偶数》常庚哲苏淳13.《射影几何趣谈》冯克勤14.《数学万花镜》[波]史坦因豪斯著裘光明译15.《递归数列》陈家声徐惠芳16.《从平面到空间》蒋声17.《平面向量和空间向量》吕学礼18.《几何变换》蒋声19.《一些不像“几何”的几何学》沈信耀20.《复合推理与真值表》戴月仙21.《数学归纳法》华罗庚22.《凸图形》吴立生庄亚栋23.《三角恒等式及应用》张运筹24.《三角不等式及应用》张运筹25.《抽屉原则及其他》常庚哲26.《初等极值问题》程龙27.《图论中的几个极值问题》管梅谷28.《趣味的图论问题》单墫29.《矩阵对策初步》张盛开30.《从单位根谈起》蒋声31.《形形色色的曲线》蒋声32.《反射和反演》严镇军33.《极坐标与三角函数》陈福泰34.《反证法》孙玉清35.《棋盘上的数学》单墫程龙36.《谈谈数学中的无限》谷超豪37.《模糊数学》刘应明任平38.《人造卫星轨道的分析和计算》俞文陈守吉39.《谈谈怎样学好数学》苏步青40.《世界数学名题选》陆乃超袁小明41.《生物数学趣谈》李金平苏淳42.《漫话电子计算机》张根法43.《运动场上的数学》黄国勋李炯生44.《ＳＯＳ编码纵横谈》谈祥柏45.《数学探奇》(西班牙)米盖尔.德.古斯曼著周克希译46.《三角形趣谈》杨世明47.《思维的技巧》吴宣文48.《魔方》朱兆毅沈庆海著014——《初中学生课外阅读系列》，上海教育出版社1．《漫游勾股世界》吴深德2．《绝对值》陈汝作3．《多项式的乘法和因式分解》刘渝瑛4．《怎样列方程解应用题》赵宪初5．《怎样解不等式》张福生赵国礼6．《怎样用配方法解题》奚定华7．《面积关系帮你解题》张景中8．《怎样添辅助线》余振棠射传芳9．《根与系数的关系及其应用》毛鸿翔10．《反证法》孙玉清015——《高中学生课外阅读系列》，上海教育出版社1.《从平面到空间》蒋声2.《三角恒等式及其应用》张运筹3.《直线和平面》夏明德4.《不等式的证明》吴承鄫李绍宗5.《参数方程和极坐标方程》刘世伟6.《从单位根谈起》蒋声7.《二次曲线》张泽湘8.《排列与组合》翟宗荫9.《数列与极限》刘文10.《集合和映射》康士凯张海森（缺）11.《随机世界探秘概率统计初步》茆诗松魏振军016——《自然科学小丛书》，北京出版社出版1.《轨迹》赵慈庚编著2.《三角形内角和等于180°吗？》梅向明著3.《谈勾股定理》严以诚孟广烈编著4.《有趣的偶然世界》张文忠著5.《中学数学中的对称》张文忠著017——《北京市中学生数学竞赛辅导报告汇集》，北京出版社1.《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》华罗庚著2.《无限的数学》秦元勋著3.《谈谈解答数学问题》赵慈庚著018——数学中译本，科学普及出版社1.《高次方程解法》程乃栋编译2.《力学在数学上的一些应用》高天青编译3.《怎样作图象》刘远图编译4.《逐次逼近法》赵根榕编译5.《最简单的极值问题》潘德松编译019——趣味数学书籍，上海教育出版社1.《趣味算术》蒋声陈瑞琛编2.《趣味代数》蒋声陈瑞琛编3.《趣味几何》蒋声陈瑞琛编4.《趣味代数（续）》蒋声陈瑞琛编5.《趣味立体几何》蒋声陈瑞琛编6.《趣味解析几何》蒋声陈瑞琛编020——《数学精品库》，民主与建设出版社1.《决策致胜思维训练》郑应文著2.《难题精解思维训练》王志雄汪启泰余文竑詹方玮著3.《平面几何思维训练》余文竑詹方玮著4.《数学宫趣游》王志雄著5.《数学竞赛题的背景》王志雄汪启泰著6.《组合几何思维训练》林常著7.《诺贝尔奖中的数学方法》高鸿桢等著（缺）021——由一些数学专家写的小册子，上海教育出版社1.《初等数论100例》柯召孙琦编著2.《复数计算与几何证题》常庚哲编著3.《运动群》张远达编著022——《数学奥林匹克命题人讲座》，上海科技教育出版社1.《解析几何》陆洪文著（缺）2.《代数函数与多项式》施咸亮著（缺）3.《函数迭代与函数方程》王伟叶熊斌著（缺）4.《代数不等式》陈计季潮丞著（缺）5.《重心坐标与平面几何》曹纲叶中豪著（缺）6.《初等数论》冯志刚著7.《集合与对应》单壿著8.《数列与数学归纳法》单壿著9.《组合问题》刘培杰，张永芹著著（缺）10.《图论·组合几何》任韩田廷彦著（缺）11.《向量与立体几何》唐立华著（缺）12.《复数·三角函数》邵嘉林著（缺）023——反例相关书籍1.《初中数学中的反例》朱锡华编2.《高中数学中的反例》马克杰编3.《从反面考虑问题反例·反证·反推及其他》严镇军陈吉范编4.《代数中的反例》胡崇慧编5.《高等代数的265个反例》李玉文编著6.《高等数学中的反例》朱勇编7.《数学分析中的问题和反例》汪林编8.《数学分析中的反例》王俊青编著9.《分析中的反例》（美）盖尔鲍姆（美）奥姆斯特德著高枚译10.《实分析中的反例》汪林编11.《实变函数论中的反例》程庆汪远征编著12.《泛函分析中的反例》汪林编13.《概率统计中的反例》张文忠但冰如编14.《概率论与数理统计中的反例》陈俊雅王秀花编著15.《概率统计中的反例》张尚志刘锦萼编著16.《概率论中的反例》张朝金编17.《图论的例和反例》（美）卡波边柯（美）莫鲁卓著聂祖安译18.《拓扑空间中的反例》汪林杨富春编著19.《点集拓扑学题解与反例》陈肇姜编著024——精品书系第一批，哈尔滨工业大学出版社1．《最新世界各国数学奥林匹克中的平面几何试题》刘培杰主编2．《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解上》沈文选主编杨清桃步凡昊凡副主编3．《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解下》沈文选主编杨清桃步凡昊凡副主编4．《世界著名平面几何经典著作钩沉几何作图专题卷上》刘培杰主编5．《世界著名平面几何经典著作钩沉几何作图专题卷下》刘培杰主编（缺）6．《历届CMO中国数学奥林匹克试题集 1986-2009》刘培杰主编7．《历届IMO试题集》刘培杰主编8．《全国大学生数学夏令营数学竞赛试题及解答》许以超陆柱家编著9．《历届PTN美国大学生数学竞赛试题集 1938-2007》冯贝叶许康侯晋川等编译10．《历届俄罗斯大学生数学竞赛试题及解答》（即将出版）11．《数学奥林匹克与数学文化第1辑》刘培杰主编12．《数学奥林匹克与数学文化第2辑文化卷》刘培杰主编13．《数学奥林匹克与数学文化第2辑竞赛卷》刘培杰主编14．《数学奥林匹克与数学文化第3辑竞赛卷》刘培杰主编（即将出版）15．《500个最新世界著名数学智力趣题》刘培杰马国选主编16．《400个最新世界著名数学最值问题》刘培杰主编17．《500个世界著名数学征解问题》冯贝叶编译18．《400个中国最佳初等数学征解老问题》刘培杰主编（缺）19．《500个世界著名几何名题及1000个著名几何定理》（即将出版）20．《从毕达哥拉斯到怀尔斯》刘培杰主编21．《从迪利克雷到维斯卡尔迪》刘培杰主编22．《从哥德巴赫到陈景润中国解析数论群英谱》刘培杰主编23．《从庞加莱到佩雷尔曼》刘培杰主编（即将出版）24．《精神的圣徒别样的人生：60位中国数学家成长的历程》刘培杰主编25．《数学我爱你大数学家的故事》（美）吕塔·赖默尔维尔贝特·赖默尔著26．《俄罗斯平面几何问题集原书第6版》波拉索洛夫编著025——精品书系第二批，哈尔滨工业大学出版社1.《初等数学研究Ⅰ》甘志国著—数学·统计学系列2.《初等数学研究Ⅱ 上》甘志国著—数学·统计学系列3.《初等数学研究Ⅱ 下》甘志国著—数学·统计学系列4.《数学眼光透视》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书5.《数学思想领悟》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书6.《数学应用展观》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书7.《数学建模导引》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书8.《数学方法溯源》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书9.《数学史话览胜》沈文选杨清桃编著—中学数学拓展丛书10.《博弈论精粹》刘培杰执行主编11.《初等数论难题集第1卷》刘培杰主编12.《多项式和无理数》冯贝叶著—数学·统计学系列13.《数学奥林匹克不等式研究》杨学枝著—数学·统计学系列14.《解析不等式新论》张小明，褚玉明著—数学·统计学系列15.《模糊数据统计学》王忠玉吴柏林著—数学·统计学系列16.《三角形的五心》贺功保叶美雄编著17.《中国初等数学研究 2009卷第1辑》杨学枝主编18.《高等数学试题精选与答题技巧》杨克劭主编19.《运筹学试题精选与答题技巧》徐永仁主编20.《空间解析几何及其应用》徐阳，杨兴云编著026——精品书系第三批，哈尔滨工业大学出版社1.《中考数学专题总复习》陈晓莉主编2.《中考几何综合拔高题解法精粹》李双臻李春艳编著3.《数学奥林匹克超级题库初中卷上》刘培杰数学工作室编著（缺）4.《新编中学数学解题方法全书初中版上》刘培杰主编5.《新编中学数学解题方法全书高中版上》刘培杰主编6.《新编中学数学解题方法全书高中版中》刘培杰主编7.《新编中学数学解题方法全书高中版下 1》刘培杰主编8.《新编中学数学解题方法全书高中版下 2》刘培杰主编9.《新编中学数学解题方法全书高考真题卷》张广民王世堑主编（缺）10.《新编中学数学解题方法全书高考复习卷》张永辉主编（缺）11.《最新全国及各省市高考数学试卷解法研究及点拨评析》邵德彪主编12.《高考数学真题分类解读第1册》刘松丽张坯东杨婷婷等本册主编13.《高考数学真题分类解读第2册》高考真题研究组编14.《高考数学真题分类解读第3册》阎丽红孙宏宇牟晓永等本册主编15.《高考数学真题分类解读第4册》王小波董亮本册主编16.《高考数学真题分类解读第5册》高考真题研究组编17.《向量法巧解数学高考题》赵南平编著18.《高考数学的理论与实践》高慧明著19.《中学数学解题方法》吕凤祥主编20.《中学数学方法论》鲍曼主编027——《当代数学园地》，科学出版社出版1.《Kac-Moody代数导引》万哲先著2.《哈密顿系统的指标理论及其应用》龙以明著3.《分形-美的科学复动力系统图形化》（德）派特根（德）P.H.里希特著井竹君章祥荪译4.《哈密顿系统与时滞微分方程的周期解》刘正荣李继彬著5.《群类论》郭文彬著6.《代数几何码》冯贵良吴新文著7.《正规形理论及其应用》李伟固著8.《测度值分枝过程引论》赵学雷著9.《完备李代数》孟道骥朱林生姜翠波著028——《通俗数学名著译丛》，上海教育出版社出版1.《数学：新的黄金时代》2.《数论妙趣：数学女王的盛情款待》3.《数学娱乐问题》4.《数学趣闻集锦》上、下册5.《数学与联想》6.《计算出人意料：从开普勒到托姆的时间图景》7.《当代数学为了人类心智的荣耀》8.《近代欧氏几何学》9.《站在巨人的肩膀上》10.《无穷之旅：关于无穷大的文化史》11.《数：科学的语言》12.《20世纪数学的五大指导理论》13.《数学**与欣赏》14.《数学旅行家：漫游数王国》15.《蚁迹寻踪及其他数学探索》16.《圆锥曲线的几何性质》17.《拓扑实验》18.《数学*国界：国际数学联盟的历史》19.《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》20.《稳操胜券》上、下册21.《现代世界中的数学》22.《**：自然规律支配偶然性》23.《解决问题的策略》24.《东西数学物语》25.《黎曼博士的零点》26.《奇妙而有趣的几何》27.《虚数的故事》28.《悭悭宇宙：自然界里的形态和造型》029——《走进教育数学丛书》，科学出版社1.《数学的神韵》李尚志著（缺）2.《数学不了情》谈祥柏著（缺）3.《微积分快餐》林群著4.《走进教育数学》沈文选著5.《数学解题策略》朱华伟钱展望著（缺）6.《绕来绕去的向量法》（缺）7.《直来直去的微积分》张景中著（缺）8.《一线串通的初等数学》张景中著9.《几何新方法和新体系》张景中著10.《从数学竞赛到竞赛数学》朱华伟编030——关于匈牙利奥林匹克数学竞赛的几本书，后两本是台湾出的繁体字书：1.《匈牙利奥林匹克数学竞赛题解》（匈）库尔沙克（Й.Кюршак）等编胡湘陵译2.《匈牙利数学问题详解第1册》王昌锐译（将2个压缩文件放在一起解压！）3.《匈牙利数学问题详解第2册》王昌锐译（将2个压缩文件放在一起解压！）031——原新知识出版社出版的一些老书，书目如下：1.《平面几何作图题解法中的讨论》金品编著2.《上海市1956-57年中学生数学竞赛习题汇编》中国数学会上海分会中学数学研究委员会编3.《什么是非欧几何》吴宗初著4.《数学试题汇集·附解法》（苏）沙赫诺（Шахно.К.У.）编著赵越李伯尘译5.《同解方程》程志国编6.《统计平均数》邹依仁编著7.《因式分解及其应用》郁李编8.《有趣的算术题》（苏）巴梁克（Г.Б.Поляк）编盛帆译9.《整式与分式》郁李编10.《整数四则和分数四则》刘永政著11.《正定理和逆定理》（苏）格拉施坦（И.С.Градштейн）著许梅译12.《中学课程中的无理方程》（苏）吉布什（И.А.Гибш）著管承仲译13.《中学数学课外活动》张运钧编著032——《中学数学奥林匹克丛书》，北京师范学院出版社1.《立体几何向量及其变换》何裕新孙维刚著2.《平面几何及变换》梅向明主编唐大昌等编写3.《代数恒等变形》梅向明主编4.《初等数论初中册》梅向明主编5.《北京市中学生数学竞赛试题解析》梅向明主编6.《数学奥林匹克解题研究初中册》梅向明主编7.《数学奥林匹克解题研究高中册》周春荔等编8.《组合基础》周沛耕张宁生著9.《初等数论高中册》米道生吴建平编写033——《数理化竞赛丛书》数学部分，科学普及出版社1．《北京市中学数学竞赛题解 1956-1964》北京市数学会编2．《全国中学数学竞赛题解 1978》全国数学竞赛委员会编3．《美国及国际数学竞赛题解 1976-1978》（美）格雷特编中国科学院应用数学研究推广办公室译4．《匈牙利奥林匹克数学竞赛题解》（匈）库尔沙克（Й.Кюршак）等编胡湘陵译5．《北京市中学数学竞赛题解 1956-1979》北京市数学会6．《全国中学数学竞赛题解 1979》科学普及出版社编034——《数学奥林匹克题库》，新蕾出版社1.《美国中学生数学竞赛题解 1》（缺）2.《美国中学生数学竞赛题解 2》3.《国际中学生数学竞赛题解》4.《中国中学生数学竞赛题解 1》（缺）5.《中国中学生数学竞赛题解 2》（缺）6.《加拿大中学生数学竞赛题解》7.《苏联中学生数学竞赛题解》035——《中学数学》丛书，湖北省暨武汉市数学会组织编写、湖北人民出版社1.《代数解题引导》杨挥陈传理编2.《初等几何解题引导》江志著3.《三角解题引导》车新发编4.《解析几何解题引导》刘佛清张硕才编5.《国际数学竞赛试题讲解Ⅰ》江仁俊编6.《国际数学竞赛试题讲解Ⅱ》江仁俊等编036——《数学圈丛书》，湖南科技出版社1.《数学圈》1 【美】H.W.伊佛斯2.《数学圈》2 【美】H.W.伊佛斯3.《数学圈》3 【美】H.W.伊佛斯4.《数学爵士乐》【美】爱德华.伯格、迈克尔.斯塔伯德5.《素数的音乐》【英】马科斯.杜.索托伊6.《无法解出的方程》【美】马里奥.利维奥7.《数学家读报》【美】约翰·艾伦·保罗斯037——一套数学竞赛书籍，上海科学技术出版社1.《初中数学竞赛妙题巧解》常庚哲编2.《初中数学竞赛辅导讲座》严镇军等编3.《高中数学竞赛辅导讲座》常庚哲等编4.《中、美历届数学竞赛试题精解》刘鸿坤等编038——国外数学奥林匹克俱乐部丛书，湖北教育出版社1.《美国数学邀请赛试题解答与评注》朱华伟编译2.《俄国青少年数学俱乐部》苏淳朱华伟译039——《国内外数学竞赛题解》，陕西师范大学图书馆编辑组编写《国内外数学竞赛题解》上、中、下三册040——开明出版社出版由中国数学奥林匹克委员会编译的两本书，书目如下：1.《环球城市数学竞赛问题与解答第1册》2.《环球城市数学竞赛问题与解答第2册》041——数学奥林匹克试题集锦，华东师范大学出版社，IMO中国国家集训队教练组编写1.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2003》2003年IMO中国国家集训队教练组编2.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2004》2004年IMO中国国家集训队教练组，选拔考试命题组编3.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2005》2005中国国家集训队教练组、选拔考试命题组编4.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2006》2006年IMO中国国家集训队教练组编5.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2007》2007年IMO中国国家集训队教练组编6.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2008》2008年IMO中国国家集训队教练组编（缺）7.《走向IMO 数学奥林匹克试题集锦 2009》2009年IMO中国国家集训队教练组编（缺）042——国外、国际数学竞赛试题方面的书籍1.《奥林匹克数学竞赛题集》（苏）罗什柯夫等编著张兴烈刘承明译2.《波兰数学竞赛题解 1-27届》（波）耶·勃罗夫金（波）斯·斯特拉谢维奇著朱尧辰译3.《初中中外数学竞赛集锦》刘鸿坤编著4.《第26届国际数学奥林匹克》中国数学会普及工作委员会编5.《第一届至第二十二届国际中学生数学竞赛题解 1959-1981》杨森茂陈圣德编译6.《国际奥林匹克数学竞赛题及解答 1978-1986》中国科协青少年工作部中国数学会编译7.《国际数学奥林匹克 1-20届》江苏师范学院数学系编译8.《国际数学竞赛题解》（德）H.D.霍恩舒赫编潘振亚等译9.《国际数学竞赛选载》江西省中小学教材编写组编10.《国内外高中数学竞赛汇编》杭州市第一中学高中数学教研组编11.《基辅数学奥林匹克试题集》（苏）维申斯基等编著刘鸿坤等译12.《加拿大美国历届中学生数学竞赛题解》福建师范大学数学系资料室编译13.《历届奥林匹克数学竞赛试题分析》闫建平编14.《美国历届数学竞赛题解 1950-1972》梁伟强编15.《美国中学数学竞赛试题及题解》朱鉴清编译16.《普特南数学竞赛 1938-1980》刘裔宏译17.《苏联中学数学竞赛题汇编》（苏）别尔尼克编仁毅志译18.《1981年国内外数学竞赛题解选集》顾可敬编19.《通用数学竞赛100题附：第27届国际数学奥林匹克试题》张运筹刘一宏左宗琰编译20.《最新国外数学竞赛分类题解》王连笑编著21.《国际数学奥林匹克30年为迎接1990年第31届IMO在我国举办》梅向明主编。
高中数学竞赛平面几何定理
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边及另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：．4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段及这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线及⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是及此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB 于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心及各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心及外心连线的中点;（3）三角形的九点圆及三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心及内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径及内切圆半径的和等于外心到各边距离的和． 23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++；③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线及其外接圆的交点到另两顶点的距离及到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆及外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线及两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令，分别及AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，．29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 ．（逆定理也成立）31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．33． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA =1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线及两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P 的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（及西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P 关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R 关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于及前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC 的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引及△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，及三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们及△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN及△ABC 的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L 两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆及内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C 和F，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和F A的（或延长线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne）点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：．平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件．罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何及人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就接受平面几何的公理，在及哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无及伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑及我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对及射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法国之前，曾及法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而且还是一个很有趣的三角形．在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD 三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙、的圆心构成的△——外拿破仑的三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图．△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙的圆心构成的△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点及垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1821年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕及彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣的性质,例如:1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心及外心连线的中点;3.三角形的九点圆及三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。
数学著名的17个定理
数学著名的17个定理数学是一门复杂而有趣的学科，其核心是通过推理和证明来探究各种数学定理。
这些定理不仅在数学领域具有重要地位，也在其他学科和现实生活中发挥着巨大的作用。
本文将介绍17个数学领域中著名的定理，展示它们的重要性和影响。
1. 费马大定理费马大定理是数论中最著名的问题之一。
这个问题来自于费马提出的一个简单的猜想：对于大于2的整数n，x n+y n=z^n没有正整数解。
这个猜想在数学界引起了广泛的关注和辩论，直到1994年安德鲁·怀尔斯发表了其证明。
2. 欧拉公式欧拉公式是数学中最优雅和最重要的等式之一。
它将五个基本数学常数（e、i、π、1和0）联系在一起：e^iπ + 1 = 0。
这个等式展示了数学中的美丽和奇妙，并在许多数学领域中扮演着重要的角色。
3. 庞加莱猜想庞加莱猜想是数学中最具挑战性的难题之一，它来自于拓扑学中的一个问题：在三维空间中的任何封闭曲面都可以通过连续变形变为一个球面。
这个猜想在数学界激起了巨大的兴趣，直到2003年格里戈里·佩雷尔曼发表了其证明。
4. 轮回进展猜想轮回进展猜想是一个有关于自然数中的轮回进展的猜想。
它的表述是：对于任意一个正整数k，都存在一个正整数n，使得在自然数中，数字n、n2、n3、…、n^k的末尾是以“123456789”显示的。
尽管这个猜想还没有被证明，但它引发了许多数学家的兴趣。
5. 黎曼猜想黎曼猜想是数论中的一个未解决问题，它与复数的特殊函数——黎曼ζ函数有关。
该猜想认为，黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部都等于1/2。
尽管黎曼猜想至今未被证明，但它对数论的发展产生了深远的影响。
6. 贝尔塔拉米-万德·哥塞特猜想贝尔塔拉米-万德·哥塞特猜想是数论中的一个问题，涉及到模形式和椭圆曲线的关系。
该猜想声称，一个模形式的系数可以通过一个椭圆曲线纤维的自交点的性质来确定。
虽然这个猜想已经被部分证明，但它仍然是一个引人注目且具有挑战性的数学问题。
拿破仑定理背后的故事
拿破仑定理背后的故事
拿破仑定理，也叫勾股定理，是数学中最基本的定理之一。
它由古希腊数学家毕达哥拉斯发现，但由于他们不愿意将其公之于众，这个定理被称为毕达哥拉斯定理。
而拿破仑定理之所以得名，是因为法国皇帝拿破仑·波拿巴（Napoleon Bonaparte）对它产生了浓厚的兴趣。
拿破仑是一个热爱数学的统帅，他认为数学是一项非常重要的军事资源。
在他的统治下，法国成为了世界上领先的数学研究中心之一。
为了让法国成为最强大的国家之一，拿破仑鼓励科学家研究战争中需要的数学知识，比如射击、弹道、导航和地图制作等。
据说，拿破仑第一次听到勾股定理是在他在战场上的一次间歇期间。
当时，他和他的将军们在研究如何瞄准大炮时，他的数学顾问告诉他这个定理可以用来计算角度和距离。
于是，拿破仑对这个定理产生了浓厚的兴趣，开始深入研究它。
拿破仑甚至邀请了一位叫作皮埃尔·德·费尔马的数学家来帮他解决勾股定理中的一些问题。
在德·费尔马的帮助下，拿破仑终于掌握了这个定理，而这个定理也因此得到了他的名字。
拿破仑定理不仅在军事中得到了广泛应用，也在其他领域中得到了应用，比如建筑、航空和汽车制造等。
它的发现和应用不仅是数学史上的一大里程碑，也是人类理性思维能力的一个重要标志。
- 1 -。
勾股定理与数论的关系
勾股定理与数论的关系在数学领域中，勾股定理和数论是两个独立但却有着密切关联的概念。
勾股定理是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形中三边长度之间的关系。
而数论则是研究整数性质及其相互关系的分支学科。
本文将探讨勾股定理与数论之间的关系，并分析这种关系对数学研究和应用的重要性。
一、勾股定理的基本概念勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，并以他的名字命名。
勾股定理陈述如下：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
具体表达式如下所示：a² + b² = c²其中，c为斜边（也称为弦长），a和b为直角边。
二、数论的基本概念数论是研究整数及其性质的数学分支学科。
数论由欧几里得创立，是最古老和最基础的数学分支之一。
数论涉及的主要概念包括质数、整除性、同余等。
数论是许多数学领域的基础，如密码学、编码理论和计算机科学等。
三、勾股定理与数论的关系勾股定理与数论之间存在着重要的关系。
具体而言，勾股定理中的平方数和数论中的整数有着紧密的联系。
勾股定理表明，两个整数的平方和可以等于另一个整数的平方。
这在数论中被认为是勾股定理的一个特例。
更具体地说，如果a、b、c均为正整数，且满足勾股定理的条件，即a² + b² = c²那么a、b、c就构成一个所谓的勾股数。
四、勾股数与数论之间的关联勾股定理中的勾股数和数论中的一些重要概念有着直接的联系。
其中一个重要的关联是：若a和b是互质的勾股数（即a和b没有公因子），那么a和b必定是一个奇数和一个偶数。
这一关系是根据奇偶性的数论性质推导得出的。
例如，3和4就是一个互质的勾股数对，其中3为奇数，4为偶数。
此外，勾股定理还与素数有着密切的联系。
素数即大于1且不能被其他数整除的自然数。
数学家皮亚诺猜想了两个和勾股定理有关的问题，即存在无穷多个素数可以表示成a² + b²的形式，以及存在无穷多个素数可以表示成a² + 2b²的形式。
勾股定理的历史
勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。
那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。
所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。
但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。
著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。
（右图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。
其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。
这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。
”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。
其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。
所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。
书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。
勾股定理的来源和历史
勾股定理的来源和历史毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
埃及称为埃及三角形。
实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查。
相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。
可以说真伪难辨。
这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。
他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了。
至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究。
因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。
不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。
中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
别名勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。
正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五，是谓积矩。
”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。
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一、简述拿破仑定理及其证明方法拿破仑定理:以任意三角形的三边为边向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心的连线是一个等边三角形。
如图8-27所示。
在△ABC的各边上向外各作等边△ABD，等边△ACF，等边△BCE。
求证：这3个等边三角形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形？思路：利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。
证明：设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P相交于O；连AO、CO、BO。
∵ A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆B、E、C、O四点共圆∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°；∵ NP、MP、MN是连心线；BO、CO、AO是公共弦；∴ BO⊥NP于X；CO⊥MP于Y；CO⊥MP于Z。
∴ X、P、Y、O四点共圆；Y、M、Z、O四点共圆；Z、N、X、O四点共圆；∴∠N=∠M=∠P=60°；即△MNP是等边三角形。
结论：图中本没有圆，为了方便读图，我特地画出了三个等边三角形的外接圆：⊙N、⊙M、⊙P，而且还有三个四点共圆之辅助圆。
一共六个圆。
这是多么奇妙的构思啊！二、美国总统garfield如何证明勾股定理的以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积相等 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 25.0c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ‖BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2)(5.0b a +.∴2)(5.0b a + =25.0c .∴222c b a =+ 三、简介数论与密码 数论密码，顾名思义，就是基于数论的密码。
密码是相对于明码而言的。
这是一个矛盾的两个方面。
所谓明码（plaintext ），就是人们可以直接识别或使用的代码（也就是人们通常所说的信息，如文字、声像等）；所谓密码（ciphertext ），就是将明码经过了一定处理，变换成一种外人（与此无关的人员）无法直接识别或使用的信息。
数论是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支。
素有“数学王子”之称的19世纪德国数学大师高斯就曾说过，数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。
数论的一个主要任务，就是研究整数（尤其是正整数）的性质（包括代数方程的整数解）。
由于在研究这些整数的过程中，人们往往要用到别的数学分支的知识与技巧，这样就诞生出了解析数论、代数数论、组合数论、概率数论、几何数论甚至计算数论等分支学科。
由于整数的性质复杂深刻，难以琢磨，因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮、纯之又纯的数学学科。
美国芝加哥大学著名数学家迪克森（L.E.Dickson ）就曾说过：感谢神使得数论没有被任何应用所玷污。
20世纪世界级数学大师、剑桥大学的哈代也曾说过：数论是一门与现实、与战争无缘的纯数学学科。
哈代本人也则因主要从事数论的研究而被尊称为“纯之又纯的纯粹数学家”。
当然，上述两位大数学家所说的并不完全符合今天的现实。
事实上，在计算机科学与电子技术深入发展的今天，数论已经不仅仅是一门纯数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，比如在今天，数论已经在诸如物理、化学、生物、声学、电子、通讯，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用。
大家知道，密码设计长期以来一直是困扰军方的一个问题。
要保证军方的密码不被敌方破译，不是件容易的事情。
比如在第二次世界大战期间，德军设计了一种性能优良的编制密码的机器，称之为爱尼格玛机器。
德军指挥机关向其部队发布的军令都是通过爱尼格玛机器加密之后再往下发布的。
当时英军就想到，要打败德军，就必须要破译德军的密码，掌握德军的军事动向（即所谓的知彼知己）。
因此，英军迅速在伦敦北边不到一百公里处征集了一块空旷的土地（该地名为布莱克利公园，后也成了该秘密机构的名字），并在那里集结起一大批杰出的数学家、语言学家和象棋大师等，包括现代计算机科学的开山鼻祖图灵和后来在爱丁堡大学创办世界上第一个人工智能系的米基（D.Michie）。
他们专门负责截获、破译爱尼格玛密码。
由于这个组的努力，特别是图灵出色的工作，他们掌握了破译该密码的一整套方法，从而了解德军的军事动向，掌握了战争的主动权，为英美联军击败德军作出了突出的贡献。
有人估算，如果没有图灵等人的贡献，第二次世界大战至少还要再打十年。
当然，上述两位大数学家所说的并不完全符合今天的现实。
事实上，在计算机科学与电子技术深入发展的今天，数论已经不仅仅是一门纯数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，比如在今天，数论已经在诸如物理、化学、生物、声学、电子、通讯，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用。
DHM的提出目前，由于商用计算机网络的广泛应用，尤其是电子商务的普及与深入，密码设计在民间也大有用武之地。
传统的密码体制，称之为“密钥密码体制”，在加密、解密的过程中都采用同一个钥，简称为“密钥”(secretkey)。
所谓同一个钥，就是说知道了其中的一个钥，另一个钥就可以很容易地计算出来。
具体到军用通讯，就是军事指挥机关要事先用密钥把军令加密，之后再下达到部队，与此同时（甚至是事先）还要将密钥也下达到部队，否则其部下解不开其军令。
显然，密钥的管理与保护是个问题。
一般而言，密钥比密码本身还重要，因为一旦敌方掌握了密钥，那么所有用此密钥加密的密码就成了人所皆知的明码。
因此，在军事与外交等部门，都是不惜代价而派专人专管专送密钥。
显然，这在电子商务方面是行不通的，因为代价太高。
1976年，美国斯坦福大学教授赫尔曼(E.Hellman)和他的研究助理迪菲(W.Diffie)，以及博士生默克勒(R.C.Merkle)（简称为DHM）首先创立并发表了所谓的“公钥密码体制”，即加密、解密用两个不同的钥，加密用公钥，即可以公开，不必保密，任何人都可以用；解密用私钥，此钥必须严加管理，不能泄漏。
更为称绝的是，他们还发明了所谓的数字签名技术，即用私钥签名，再用公钥验证。
当然，DHM只是提出了一种关于公钥密码体制与数字签名的思想，而没有真正实现。
不过，他们确实是实现了一种体现公钥密码体制思想、基于离散对数问题的、在不安全的通道上进行密钥形成与交换的新技术。
这里必须先介绍一下什么叫离散对数。
一种基于整数分解困难性的公钥密码体制（RSA）1978年，仅在DHM发明公钥密码体制的两年后，美国MIT的三位科学家里维斯特(R.L.Rivest)，沙米尔(A.Shamir)和阿德尔曼(L.Adleman)（简称RSA）就提出了一种基于整数分解困难性的实用的公钥密码体制，现通称为RSA体制。
所谓整数分解，可以认为是给定大于1的正整数n，求出正整数a和b，使之满足n=ab，其中a和b可以是素数，也可以是合数。
根据算术基本定理，只要能够快速求出a，b，那么就能递归地快速求出n的素数分解式n=p1p2…pk，其中n,为正整数，pi为素数，i=1,2,…,k。
现在的问题是，人们根本就没有满意的快速整数分解算法，目前世界上最快的整数分解算法是波拉德（J.Pollard）首创的数域筛法（NFS）。
波拉德是英国的数学奇才，曾在剑桥大学念数学本科，但因毕业考试不及格而肄业，后来因在计算数论中作出突出贡献而被剑桥免试授予博士学位。
无独有偶，剑桥出身的另一位著名数学家罗斯（K.Ruth）也是因为在念本科时考试成绩不好而勉强毕业，后来却因在数论研究中取得杰出成就而获得菲尔兹奖，剑桥则因此而授予其名誉博士学位。
现在，具体地谈一谈RSA的思想。
加密C≡Me(modn)；解密M≡Cd(modn)；其中M为明码，C为密码，(n，e)为公钥（加密钥），d为私钥（解密钥），并且要满足：n=pq，其中p和q为两个至少100位的素数；ed≡1(mod(n))，其中为欧拉函数，其计算公式为：如果n的标准分解为n=p，则准(n)=n(1-)。
(e，n)要公开出去，以便别人能用来对信息进行加密，但p和q（当然包括d）必须保护好，不能泄漏。
RSA体制之所以能工作，是因为Cd≡(Me)d≡Med≡M1+k(n)≡M(M(n))k≡M(modn)；对于合法用户而言，因为他知道n=pq，故计算出(n)=(p-1)(q-1)，从而算出d≡1/e(mod(n))，这样他就可以对信息进行解密计算。
上述计算的关键是欧拉函数。
整数分解是个很困难的问题，事实上，在现有的计算条件下，当n为一个一般的大于200位的整数时，要分解n往往需要数亿年的时间。
可以想像，任何一项秘密，过了数亿年的时间，其秘密性已不复存在了。
因此，用RSA方法来加密信息还是很安全的。
椭圆曲线密码体制目前，国际上公认的比较安全实用的公钥密码体制是所谓的椭圆曲线密码体制。
其思想是在基于有限域的椭圆曲线上对信息进行加密解密。
由于有限域上椭圆曲线的离散对数实际上是一般有限域上的离散对数在椭圆曲线上的一种类比物，因此它至少在实用上比一般有限域上的离散对数的计算要困难些，因此其安全性也要强一些，当然目前人们还不能证明这一点。
椭圆曲线上的离散对数，可以认为是：给定有限域Fq（q=pr为素数幂）上的一条椭圆曲线y2=x3+ax+b，并给定这条曲线上的两点P和Q，求出正整数k（如果存在的话），使之满足Q=kP，目前关于椭圆曲线离散对数问题还没有找到一种甚至是子指数（subexponential）复杂性的算法（对于整数分解与离散对数，已有子指数复杂性的算法）。
西尔弗曼（J.H.Silverman）等人于2000年提出了一种称之为XedniCalculus的计算椭圆曲线离散对数的算法，但该法过于复杂，并用了很多未被证明的数学结果，因此该法一是没有实用价值，二是连个复杂性的度量都提不出来。
故而寻求快速实用的计算椭圆曲线离散对数的算法（哪怕是子指数复杂性的算法）是当前计算数论中的一项刻不容缓的艰巨任务。
椭圆曲线密码体制与其他公钥密码体制相比，在钥的长度相同的情况下，它的安全性要更高些。
正是基于上述这些原因，目前人们才会对椭圆曲线密码体制更感兴趣。
上面介绍的三种具有代表性的现代公钥密码体制，就是基于三种各不相同的数论难题的（即整数分解、离散对数以及椭圆曲线上的离散对数）；目前世界上几乎所有具有实用价值的公钥密码体制，基本上都是基于这三种数论难题的。
也就是说，事实上是将密码的加密、解密、破译等问题与数论难题的求解联系在一块了。