2019年第十八届华杯赛决赛小高年级(A)卷-试题及解析word版
第十八届华杯赛决赛答案_小高B
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（小学高年级组）一、填空题（每题10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9.答案：106解答. 图中共有5条最长的水平线段和7条最长的垂直线段, 任意两条水平与任意两条垂直的就构成一个长方形, 一共有2102110)123456()1234(=⨯=+++++⨯+++(个).其中含“*”号有4×15+4×15－4×4＝120－16＝104 (个).所以不含含“*”号有210－104＝106个.10.答案：9解答. 由于三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等, 可得出三角形AEC 的面积等于三角形BDC的面积. 由BD:DA = 1:2, 得三角形BDC的面积等于三角形ABC面积的13, 即三角形AEC的面积等于三角形ABC面积的13. 那么EC等于BC的13, 得出EC = 6, 进而AD = 6, BD = 3, 最终AB = 9.11.答案：61解答. 设有n 个人, 每人植树x 棵, 则611132013⨯⨯==nx .可以说明：113⨯>n . 若33=n , 则每人植树61棵. 如果5人不参加植树, 则有305棵树, 其余28人每人多植3棵, 才种84棵树, 完不成任务. 可见, 113⨯>n .考虑n = 61. 此时, x = 33. 如果5人不参加植树, 则有165棵树要让56人多植树. 若每人多植2棵, 则56人多植了112256=⨯（棵）树, 完不成植树任务; 若每人多植3棵, 则56人多植了168356=⨯（棵）, 完成了植树任务. 所以, n = 61符合要求.12. 答案：59解答.① 观察立体右面的正方体, 标有1个黑点的侧面到标有2个黑点的面, 再到标有4个黑点的面是以逆时针方向围绕这三个面的交点.② 观察中间上面的正方体, 既然从1个黑点到2个黑点, 再到4个黑点是逆时针, 则该正方体标有6个黑点的面的对面标有1个黑点.③ 观察立体左面的正方体, 正方体标有3个黑点的面紧邻标有2个黑点的面, 结合观察立体中间上面的正方体, 可知该正方体中, 标有4个黑点的侧面的对面的黑点有3个, 且底面标有5个黑点. 并且可知, 从1个黑点到2个黑点, 再到3个黑点是顺时针.所以, 四个完全相同的正方体, 黑点为1、2和3的三个侧面顺时针围绕公共顶点, 1对6, 2对5, 3对4. 所以, 立体中右面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中左面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中间上面的正方体紧邻下方正方体的侧面有5个黑点; 立体中间下面的正方体后面的侧面有2个黑点, 底面有可能是有1个黑点. 所以立体中间下面的正方体紧贴其他3个正方体的3个侧面黑点总数最少是8个.4个正方体黑点总数是84, 3对紧贴的侧面黑点总数最多是25, 所以, 立体的侧面（包括底面）所有黑点的总数最多是59.三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13.答案：4解答. 用右图代替题目中的12⨯小长方形. 对于拼成的正方形图形, 记过左上顶点的对角线为甲对角线, 另一条对角线为乙对角线.图A首先, 有如下观察:1) 当甲对角线是对称轴时,a)左上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (3), (4) 中之一;b)右下角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (5), (6) 中之一;c)若右上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (7), (8) 中的一个, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A中的(1), (2), (9), (10);2) 当乙对角线是对称轴时,a)右上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (7), (8) 中之一;b)左下角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (9), (10) 中之一;c)若左上角的22⨯小正方形是图A中的(1), (2), (3), (4) 之一, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A中的(1), (2), (5), (6).根据上述观察, 注意到拼出的正方形中恰有八个星, 再去掉旋转重合的, 得到以下4种图形:14.解答. 记第一种、第二种和第三种分类分别分了i , j , k 类, 每类的盒子数目分别为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 ,令k j i n ++=.1) 因为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 包含了1到30的所有整数, 所以 30≥n . 另一方面,,15534652313030211553212121⨯==⨯=+++≥+++++++++++=⨯ kj i c c c b b b a a a所以 30=++=k j i n , 三种分类各自分类的类数之和是30.2) 不妨设301=a , 记这30个盒子的类为A 类. 因为30=++k j i , 必有14≤j 或14≤k , 不妨设14≤j . A 类的30个盒子分到这不超过14个类中去, 必有一类至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.。
2020年第十八届华杯赛决赛小高年级(A)卷-试题及解析word版
总分第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题A（小学高年级组）（时间2013年4月20日10：00～11：30）一、填空题（每小题10分,共80分）1．计算:19×0.125+281×81-12.5=________.解析：原式=（19+281-100）×0.125=200×0.125=252．农谚‘逢冬数九’讲的是,从冬至之日起,每九天分为一段,依次称之为一九,二九,……,九九,冬至那天是一九的第一天.2012年12月21日是冬至,那么2013年的元旦是________九的第________天.解析：31-21+1+1=12,12÷9=1…3，2013年的元旦是二九的第3天.3．某些整数分别被119977553，，，除后,所得的商化作带分数时,分数部分分别是92725232，，，,则满足条件且大于1的最小整数是________.解析：设整数为A,分别被119977553，，，除后,所得的商分别为A A A A 911795735，，，;)1(911921911)1(7972179)1(5752157)1(3532135-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[3，5，7，9]的时候满足题意。
所以A-1=315，A=316。
4．如右图,在边长为12厘米的正方形ABCD 中,以AB 为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB .则三角形PAC 的面积等于________平方厘米.解析:过P点做PE⊥AB,由于三角形PAB为等腰三角形，所以AE=EB=6cm。
根据勾股定理：PE 2=102-62=64=82，所以PE=8cm。
S△PAB=12×8÷2=48cm 2，S△PCB=12×6÷2=36cm 2，S△PAC=48+36-12×12÷2=12cm 2。
第18届华杯赛决赛真题答案(小高组a卷)
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案（小学高年级组）一、填空题（每题 10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案25 2, 3 316 12 62 74 94 54二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9.解答.例如(4 + 4 + 4) ÷ 4 = 3 ,4 - (4 - 4) ⨯ 4 = 4 ,(4 ⨯ 4 + 4) ÷ 4 = 5 ,(4 + 4) ÷ 4 + 4 = 6 .10.答案：25解答. 设比小明小的学生为x人,比小华小的学生为y人.因为比小明大的学生为2x人,所以全班学生共 N =3x +1人;又因为比小华大的学生为3y人,所以全班学生共N=4y+1人. 这样, N-1既是 3 的倍数, 又是 4 的倍数, 因此N-1是3⨯4=12的倍数. 这个班学生人数大于 20 而小于 30, 所以N-1只可能是 24. 因此这个班共有学生N=24+1=25人.11.答案：1.375解答.小虎划船的全部时间为120分钟,他每划行30分钟,休息10分钟,周期为40分钟, “华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解所以一共可分为 3 个 30 分钟划行时间段, 有 3 个 10 分钟休息划船时, 顺水的船速与逆水的船速之比为 4.5:1.5=3:1. 因为小虎要把船划到离租船处尽可能远, 他在划船的过程中只能换一次划船的方向, 而且是在尽可能远处. 分两种情况讨论.1)开始向下游划船, 设最远离租船处x千米. 因为回到租船处是逆水, 所以小虎只有 110 分钟可用. 由于划船时顺流速度是逆流速度的 3 倍, 所以用在向下游划船的时间不能超过半小时. 另外两次休息时间只能用在返程, 在休息期间内船向下游漂流了13⨯1.5 , 所以⎛ 1 ⎫x ÷4.5+ x + ⨯1.5⎪ ÷1.5 = 1.5 .3⎝ ⎭整理上式得x +3x +1.5=6.75,4x= 5.25,x =1.3125(千米).2)开始向上游划, 设最远离租船处y千米. 小虎可用 120 分钟, 有两次休息时间用在向上游. 所以⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫y + ⨯1.5⎪ ÷1.5 + y - ⨯1.5⎪ ÷ 4.5 = 1.5 .3 6⎝ ⎭ ⎝ ⎭整理上式得4 y+5 ⨯1.5 = 6.75 , 4 y= 5.5 , y =1.375(千米).6综合 1) 和 2) 的讨论, 小虎的船最多离租船处 1.375 千米.12.答案：不能解答. 设放的最小自然数为a,则放的最大自然数为a+23.于是这24个数的和为A= 12(2a+ 23).假设可能, 设每个正方形边上的数之和为S . 因为共有5个正方形, 这些和的和为5S . 因为每个数在这些和中出现两次, 所以有5S= 2A.“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解记最小的 16 个数的和为B , 则B=8(2a+15) . 下面分两种情形讨论:(1)若 B ≤ S ,则S = 2 A = 24 (2a+ 23) ≥ 8(2a+15) , 9.8a+110.4 ≥16a+120 ,5 5不存在自然数 a 使得不等式成立.(2)情形 B > S 也是不可能的,因为此时不可能选择最大正方形边上的16个数使得这16 个数的和等于S .三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13.答案：5解答. 用右图代替题目中的2⨯1小长方形.因为题目所给的小长方形上下不对称,所以同一个小长方形在拼成的上下对称的正方形中, 不会既在上半部分也在下半部分. 这样, 就可以只考虑上半部分的不同情形.1)相邻的空白格在第一行最左边或最右边. 因为要排除旋转相同的, 所以只考虑相邻空白格在最右边的情况, 有下图所示的 2 种图形,2)相邻的空白格在第一行中间. 去掉旋转重合的, 有下图所示的 3 种图形,所有不同的图形为 5 种.14.答案：6036“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解解答. 令n = a1+ a2++ a2010 = b1 + b2 + + b2012 = c1 + c2 ++ c2013 ,其中, 所有的a i数字和相同, 所有的b j数字和相同, 所有的c k数字和相同. 两个自然数数字的和相同, 则它们除以 9 的余数相同, 即a i = 9u i + r, i =1, 2, , 2010,bj = 9v j + s, j =1, 2, , 2012,c k = 9w k + t, k =1, 2, , 2013.则n= 9 ⨯ (u1+u2+ +u2010 ) + 2010⨯r= 9 ⨯ (v1+v2+ +v2012 ) + 2012⨯s (1)= 9 ⨯ (w1+w2+ +w2013 ) + 2013⨯t,由上面的等式可得,9 ⨯ (u1+u2++ u2010 + 223 ⨯ r) + 3r = 9 ⨯ (v1 + v2 ++ v2012 + 223 ⨯ s) + 5 ⨯ s ,(2)9 ⨯ (w1+w2++ w2013 + 223 ⨯ t) + 6 ⨯ t = 9 ⨯ (v1 + v2 ++ v2012 + 223 ⨯ s) + 5 ⨯ s ,(3) 由 (2) 可以得出s是 3 的倍数, 只能是 0, 3 或 6. 下面三种情况讨论:1)s =0.此时,对j=1, 2,, 2012 ,因为b j=9v j的数字和不为零,所以v j≥1. 则n =9⨯(v1+ v2++ v2012 ) ≥ 9 ⨯ 2012 = 18108 .2)s =6.此时“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解客服电话：400 650 0888 n =9(v1+ v2++ v2012 ) + 2012 ⨯ 6 ≥ 12072 .3)s =3,此时n= 9(v1+v2+ +v2012 ) + 2012 ⨯ 3 ≥ 6036 .可以取 r =2, t =1.而6036 = 3 + 3 + + 3 = 2 + 2 + + 2 +11 +11 + +112012 个x 个y 个=10 +10 + +10 +1 +1 + +1.=m 个n 个下面计算 x, y 与 m, n,⎧x + y =2010, ⎨ ⎧m + n =2013,⎨⎩10m+n= 6 0 3,6即6036 = 2⨯1786 +11⨯224 =10⨯447 +1566 = 3⨯2012.最终, 满足条件的最小自然数是 6036.“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解第 5 页共5页。
2019年华杯赛高年级(A)卷详细解析word版
第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题A（小学高年级组）（时间2019年3月23日10：00～11：00）一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1．2019.25×2019.75－2010.25×2015.75＝（）。
A．5 B．6 C．7 D．8解析：巧算问题原式=（2010.25+2）×（2015.75-2）－2010.25×2015.75=2015.75×2－2010.25×2－4=7答案为C。
2．2019年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说: 这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份。
已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2019年小明哥哥的年龄是（）岁。
A．16 B．18 C．20 D．22解析：简单数论。
从1990年～2019年，年份中都有重复数字，其中是19的倍数的数只有1900+95=1995，2019—1995=18（岁），所以选B。
3．一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一。
8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟。
A．22 B．20 C．17 D．16解析：周期问题。
下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三；爬一米和滑一米的时间相同，以爬三米，滑一米为一个周期；（3-1）×3+3=9m,青蛙第一次爬至离井口3米之处，（3-1）×4+1=9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬了4个周期加1米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟。
（12—3）÷（3-1）=4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2=22分钟，选A。
小学奥数华杯赛试题及答案(第十八届第二期)
小学奥数华杯赛试题及答案（第十八届第二期）教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.这篇关于小学奥数华杯赛试题及答案（第十八届第二期），是小编特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！试题一某公司有一项运动——爬楼上班，该公司正好在__大厦_楼办公。
一天编辑箫菲爬楼上班，她数了一下楼梯，每段有_级台阶，每层有2段。
她想我每一步走一级或二级。
那么我到公司走楼梯共有多少种走法呢？亲爱的小朋友你能帮萧菲解决这个难题吗？解析：如果用n表示台阶的级数，an表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到：①当n＝1时，显然只要1种走法，即a1＝1。
②当n＝2时，可以一步一级走，也可以一步走二级上楼，因此，共有2种不同的走法，即a2＝2。
③当n＝3时，如果第一步走一级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有a2＝2（种）走法。
如果第一步走二级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有a1＝1（种）走法。
根据加法原理，有a3＝a1＋a2＝1＋2＝3（种）类推，有：a4＝a2＋a3＝2＋3＝5（种）a5＝a3＋a4＝3＋5＝8（种）a6＝a4＋a5＝5＋8＝_（种）a7＝a5＋a6＝8＋_＝_（种）a8＝a6＋a7＝_＋_＝34（种）a9＝a7＋a8＝_＋34＝55（种）a_＝a8＋a9＝34＋55＝89（种）a_＝a9＋a_＝55＋89＝_4（种）a_＝a_＋a_＝89＋_4＝233（种）a_＝a_＋a_＝_4＋233＝377（种）a_＝a_＋a_＝233＋377＝6_（种）一般地，有an＝an－1＋an－2走一段共有6_种走法。
共有（_－1）_2＝34（段）。
2019华杯赛决赛小学高年级组试题A答案详解
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （小学高年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）1. 如右图, 边长为12米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A , B , C , D 处各有一根木桩, 且AB =BC =CD =3米. 现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上. 为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在 处的木桩上. 【考点】圆与扇形 【答案】B【解析】拴在B 处活动区域最大，为43圆。
2. 在所有是20的倍数的正整数中, 不超过2019并且是14的倍数的数之和是 . 【考点】最小公倍数，等差数列 【答案】14700【解析】[]14014,20=，141402014=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，()1470014321140=+++⨯Λ.3. 从1～8这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有 种. 【考点】计数 【答案】20【解析】解法一：枚举法（1）三奇数：135、137、157、357，4个； （2）三偶数：246、248、268、468，4个；（3）两奇一偶：136、138、158、147、358、257，6个； （4）两偶一奇：247、258、146、148、168、368，6个； 共4+4+6+6=20种.解法二：排除法1~8中任取三个数，有5638 C 种不同的取法其中三个连续数有6种（123~678）两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种（如124、125、126、127、128等） 则满足题意的取法有56—6—30=20种.4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为 平方厘米.【考点】格点与面积 【答案】56.5【解析】如图（见下页），通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米。
第十八届华杯赛决赛答案_小中B
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（小学中年级组）一、填空题（每题10 分, 共80分）二、简答题（每题15 分, 共60分, 要求写出简要过程）9.答案：192解答. 因为（长方形ABFE的面积-蔬菜大棚的面积）-（长方形EFCD的面积-鸡场的面积）= 96,又, 蔬菜大棚的面积=鸡场的面积, 所以长方形ABFE的面积-长方形EFCD的面积= 96 ……（5分）因为BF=3CF, 即长方形ABFE的面积=3×长方形EFCD的面积,所以3×长方形EFCD的面积-长方形EFCD的面积= 96,即2×长方形EFCD的面积= 96. ……（10分）因此,长方形ABCD的面积= 长方形ABFE的面积+长方形EFCD的面积= 3⨯长方形EFCD的面积+长方形EFCD的面积= 4⨯长方形EFCD的面积= 2×96 = 192.……（15分）解答.U 车行驶 (5020)100250÷⨯=（千米）, V 车行驶 (5025)100200÷⨯=（千米）, W 车行驶 (505)1001000÷⨯=（千米）, X 车行驶 (5010)100500÷⨯=（千米）.4辆车最多可行驶的路程总计是250+200+1000+500=1950（千米）. （说明：本题共5步, 每个式子做对得3分）. 11. 答案：990解答. 由甲是乙的2倍多10块, 是丙的3倍多18块, 是丁的5倍少55块, 得甲102-=⨯乙, 甲183-=⨯丙, 甲555+=⨯丁,即15×甲15030-=⨯乙, 10×甲18030-=⨯丙, 6×甲33030+=⨯丁. ……（5分） 三式相加得31303030⨯=⨯+⨯+⨯甲乙丙丁,即6130303030⨯=⨯+⨯+⨯+⨯甲甲乙丙丁. ①又甲 + 乙 + 丙 + 丁 = 2013,所以30303030⨯+⨯+⨯+⨯甲乙丙丁302013=⨯. ②……（10分）将 ② 代入 ① 得61302013303361.⨯=⨯=⨯⨯甲所以, 3033990.=⨯=甲 ……（15分）解答. 设被染色的每两个球中的小号码为k, 则k取值1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 另一个被染色的球的号码可能是3,4,,10.++……（3分）k k采用列举法：k=1时, (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), 共7种;k=2时, (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), 共6种;k=3时, (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (3, 10), 共5种;k=4时, (4, 7), (4, 8), (4, 9), (4, 10), 共4种;k=5时, (5, 8), (5, 9), (5, 10), 共3种;k=6时, (6, 9), (6, 10), 共2种;k=7时, (7, 10). 共1种.不同的染法数为1+2+3+4+5+6+7 = 28 (种). ……（15分）。
第十八届华杯赛总决赛试题
第十八届华杯赛总决赛试题——必答题A 组试题组试题必答题A1 左下图是一个等腰梯形，左下图是一个等腰梯形，上底和两腰的长度是上底和两腰的长度是2，下底长度是4；右下图是一个正六角星形，面积和等腰梯形的面积相等，问：正六角星形的周长是多少？个正六角星形，面积和等腰梯形的面积相等，问：正六角星形的周长是多少？必答题A2 将1，2，3，4分别填入下面的方格中，使得等式分别填入下面的方格中，使得等式+2× +3× +4× =22 成立，那么第一个方格填的数与第四个方格填的数之积是多少？成立，那么第一个方格填的数与第四个方格填的数之积是多少？必答题A3 右图的三角形ABC 中，D ，E 分别是所在边的中点，BC=6MN ，三角形GMN 的面积等于3平方厘米。
求三角形ABC 的面积。
的面积。
等腰梯形正六角星形面积相等，五个地块栽种四种不同颜色不能同色，不相邻的地块可以同色。
问共有多少种不同的栽种方案？E D C B A A黑板上写有数字1到9.请你擦掉其中的几个数字，使得剩下的数字的两两相这十个数字，你从黑板上最多能擦掉几个数字？乘积中，个位出现由0到9这十个数字，你从黑板上最多能擦掉几个数字？第十八届华杯赛总决赛试题——必答题B组试题组试题 必答题B1 在100至200之间有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能整除。
写出这样的三个连续自然数。
被5整除，最大的能被7整除。
写出这样的三个连续自然数。
必答题B2 边长分别为6厘米和8厘米的两张正方形纸板，放在一个边长为10厘米的大正方形内，大正方形内未被两小正方形纸板盖住的部分的面积最小值是多少平方厘米？厘米？必答题B3 自然数n是两个质数的乘积，它的包含1但不包含n的所有因数的和等于100，那么n=? 必答题B4 如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm，AB=2cm.以B为中心，将三角形ACB顺时针旋转，使得点A落在边CB的延长线上A1点，此时点C落在点C1的位置。
18~22届华杯赛【小高组】决赛试题打印版
18~22届华杯赛决赛试题【小高组】目录计算篇 (1)计数篇 (6)几何篇 (16)数论篇 (30)应用题 (40)行程篇 (46)组合篇 (50)第一部分：计算篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第1题】 计算:______5.1281281125.019=-⨯+⨯.2、【第18届华杯赛决赛C 卷第1题】计算:______2785111111131322=÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯.3、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第5题】 如果54□711○<<成立，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为______.4、【第19届华杯赛决赛C 卷第1题】 计算:______5213.23.0241225.095.22.3=-⨯++⨯-.5、【第20届华杯赛决赛B 卷第1题】 计算：______2110804.1451848.28586.57=+⨯-⨯+⨯.6、【第20届华杯赛决赛C 卷第1题】 计算：______528.11.03.0441225.175.01=-+⨯++-.7、【第20届华杯赛决赛D 卷第1题】 计算：______8.0195105375.119484=⨯+⨯.8、【第21届华杯赛决赛A 卷第1题】计算:______107143214.2317=÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-.9、【第21届华杯赛决赛B 卷第1题】计算:_____4.213453611753971=-÷⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.10、【第21届华杯赛决赛B 卷第8题】现有算式:甲数□乙数○１，其中□，○是符号+，-，×，÷中的某两个.李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见右表，那么，A ○B =______.11、【第21届华杯赛决赛B 卷第9题】 计算:201620152016201420152014201635343201624232201613121+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++12、【第21届华杯赛决赛C 卷第1题】计算:______525125.022143225.0412=-⨯+-+.13、【第21届华杯赛决赛C 卷第3题】 大于20161且小于20151的真分数有______个.14、【第22届华杯赛决赛A 卷第1题】用][x 表示不超过x 的最大整数，例如3]14.3[=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯118201711720171162017115201711420171132017的值为_____.15、【第22届华杯赛决赛A 卷第2题】从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8，12，3210和319，则原来给定的4个整数的和为______.16、【第22届华杯赛决赛B 卷第1题】______2017120161201512017120151514131513131211311=⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⨯⨯-.第二部分：计数篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第13题】用八个右图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形.若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同.问:在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？2、【第18届华杯赛决赛B 卷第9题】 右图中，不含“*”的长方形有多少个？3、【第18届华杯赛决赛C 卷第3题】 最简单分数b a 满足4151<<b a ，且b 不超过19，那么b a +的最大可能值与最小可能值之积为______.4、【第18届华杯赛决赛C 卷第12题】一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0分，3分和5分三种可能.比赛结束时，有三个队的总得分之和为32分.若任何一个队的总得分都可能达到32分，那么这三个队的总得分共有多少种不同的情况？5、【第18届华杯赛决赛C 卷第14题】用八个右图所示的1×2的小长方形可以拼成一个4×4的正方形.若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同.问:有几种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴？6、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第3题】从1～8这八个自然数中任取三个数,其中没有连续自然数的取法有______种.7、【第19届华杯赛决赛A 卷第9题】把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上.下图给出了6=n 时所有的不同放置方法，那么9=n 时有多少种不同放置方法？8、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第9题】把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上.下图给出了6=n 时所有的不同放置方法，那么8=n 时有多少种不同放置方法？9、【第19届华杯赛决赛C卷第7题】1的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有用八块棱长为cm种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）.10、【第19届华杯赛决赛C卷第11题】a、和c.现有5块上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的b一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？(下图d是其中一种摆放方式).（a）（b）（c）（d）11、【第20届华杯赛决赛B卷第5题】贝塔星球有7个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成______个两两都是友国的三国联盟.12、【第20届华杯赛决赛B卷第12题】两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后，多得两分者胜，两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局且赢得比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？13、【第20届华杯赛决赛C卷第2题】将自然数1至8分成两组，使两组的自然数各自之和的差等于16，共有______种不同的分法.14、【第20届华杯赛决赛C卷第5题】如图，3×4的长方形网格纸片，长方形纸片正面是灰色，反面是红色，网格是相同的小正方形，沿网格线将长方形裁剪为两个形状相同的卡片，如果形状和正反面颜色相同，则视为相同类型的卡片，则能裁剪出______种不同类型的卡片.15、【第20届华杯赛决赛D 卷第7题】一次数学竞赛有C B A 、、三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题，在答对A 的人中，只答对A 的比还答对其他题目的多5人，在没答对A 的人中，答对B 的是答对C 的2倍；又知道只答对A 的等于只答对B 的 与只答对C 的人数之和，那么答对A 的最多有______人.16、【第20届华杯赛决赛D 卷第8题】甲，乙两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后，多得两分者胜，两人的得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有______种情况.17、【第21届华杯赛决赛A 卷第4题】在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点.如右图，三角形ABC 的三个顶点都是格点.若一个格点P 使得三角形PAB 与三角形PAC 的面积相等，就称P 点为“好点”.那么在这张格子纸上共有______个“好点”.18、【第21届华杯赛决赛A 卷第5题】对于任意一个三位数n ，用 表示删掉n 中为0的数位得到的数，例如 102=n 时， 12=那么满足 n <，且 是n 的约数的三位数n 有 ______个.19、【第21届华杯赛决赛A 卷第9题】复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额.投票人数 固定，每票必须投给甲乙二人之一.最后，乙的得票数为甲的得票数的2120，甲胜出.但是，若乙得票数至少增加4票，则可胜甲.请计算甲乙所得的票数.20、【第21届华杯赛决赛A 卷第13题】如右图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字形纸片和一张5×6的方格纸.现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？(两图形经旋转后相同看作相同图形)21、【第21届华杯赛决赛C 卷第11题】如图，是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色.涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？22、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第3题】在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子最多放一枚棋子，共有______种不同的摆放方法.(如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）.23、【第22届华杯赛决赛A 卷第5题】某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组，已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的72，是只参加朗诵小组人数的51，那么书法小组与朗诵小组的人数比是______.24、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第8题】如右图，六边形的六个顶点分别标志为F E D C B A 、、、、、.开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于F E D C B A 、、、、、顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有______种．25、【第22届华杯赛决赛A 卷第10题】某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐.每名学生至少选择一种，也可以多选.统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选了香蕉，30%的学生选了梨.那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几.26、【第22届华杯赛决赛B 卷第4题】小于1000的自然数中，有______个数的数字组成中最多有两个不同的数字．27、【第22届华杯赛决赛B卷第7题】一个两位数，其数字和是它的约数，数字差（较大数减去较小数）也是它的约数，这样的两位数的个数共有______个.28、【第22届华杯赛决赛B卷第11题】从1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009中任意选出四个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法.第三部分：几何篇1、【第18届华杯赛决赛A卷第4题】如右图，在边长为12厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB.则三角形PAC的面积等于______平方厘米.2、【第18届华杯赛决赛A卷第4题、B卷第6题】两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成右图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点.如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为______.3、【第18届华杯赛决赛A卷第8题，B卷第12题】由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是______.4、【第18届华杯赛决赛B 卷第4题】如图所示，Q P 、分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 上的点，且4:1:=PD AP ，2:3:=QC AQ ，如果正方形ABCD 的面积为25，那么三角形PBQ 的面积是______.5、【第18届华杯赛决赛B 卷第10题】如右图，三角形ABC 中，BD AD 2=，EC AD =，18=BC ，三角形AFC 的面积和四边形DBEF 的面积相等，那么AB 的长度是多少？6、【第18届华杯赛决赛C 卷第4题】如图所示，Q P 、分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 上的点，且3:1:=PD AP ，1:4:=QC AQ ，如果正方形ABCD 的面积为100，那么三角形PBQ 的面积是______.7、【第18届华杯赛决赛C卷第6题】两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成右图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点．如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，那么这个立体图形的表面积是______.8、【第18届华杯赛决赛C卷第8题】由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是______.9、【第18届华杯赛决赛C卷第9题】右图中，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米.那么，大正方形的面积是多少平方厘米？10、【第18届华杯赛决赛C 卷第13题】在等腰直角三角形ABC 中，90=∠A 度，1==AC AB ，矩形EHGF 在三 角形ABC 内，且H G 、在边BC 上.求矩形EHGF 的最大面积.11、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第1题】如右图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边D C B A 、、、处各有一根木桩，且3===CD BC AB 米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在______处的木桩.12、【第19届华杯赛决赛A 卷第4题】如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米.小明在网格纸上 画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为______平方厘米.13、【第19届华杯赛决赛A 卷第8题】平面上的五个点E D C B A 、、、、满足:8=AB 厘米，4=BC 厘米， 5=AD 厘米，1=DE 厘米，12=AC 厘米，6=AE 厘米.如果三角形EAB 的面积为24平方厘米，则点A 到CD 的距离等于______厘米.14、【第19届华杯赛决赛A 卷第12题】如右图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，BF AF 2=，AE CE 3=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.15、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第4题】如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米.小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为______平方厘米.16、【第19届华杯赛决赛B 卷第8题】平面上的五个点E D C B A 、、、、满足:16=AB 厘米，8=BC 厘米， 10=AD 厘米，2=DE 厘米，24=AC 厘米，12=AE 厘米.如果三角形EAB 的面积为96平方厘米，则点A 到CD 的距离等于______厘米.17、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第12题】如右图，在三角形ABC 中，BF AF 2=，AE CE 3=，BD CD 2=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.18、【第19届华杯赛决赛C 卷第3题】如右图，在直角三角形ABC 中，点F 在AB 上且BF AF 2=，四边形EBCD 是平行四边形，那么EF FD :为______.19、【第19届华杯赛决赛C 卷第4题】右图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点.一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面.如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米，水平爬行的速度为每秒4厘米，则蚂蚁至少爬行了______秒.20、【第19届华杯赛决赛C 卷第8题】如右图，在三角形ABC 中，BF AF 2=，AE CE 3=，BD CD 4=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.21、【第19届华杯赛决赛D 卷第8题】长为4的线段AB 上有一动点C ，等腰三角形ACD 和等腰三角形BEC 在过AB 的直线同侧，DC AD =，EB CE =，则线段DE 的长度最小为______.22、【第20届华杯赛决赛B 卷第7题】如图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角 形DOE 的面积为______.23、【第20届华杯赛决赛B 卷第10题，D 卷第6题】如图，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切割走一块长、宽、高为y ， 5，x 的长方体（y x 、为整数），余下部分的体积为120，求x 和y 的值.24、【第20届华杯赛决赛B 卷第13题】如图，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1:=MC DM ，四边形EBFC 为平行四边形，FM 与BC 交于点G ，若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积？25、【第20届华杯赛决赛C卷第4题】如图，四边形ABCD是边长为11厘米的正方形，G在CD上，四边形CEFG是直角，三角形EDH的是边长为9厘米的正方形，H在AB上，EDH面积是______.26、【第20届华杯赛决赛C卷第6题】一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是88厘米，问这个长方体总的侧面积最大是______平方厘米.27、【第20届华杯赛决赛C卷第13题】如图，ABCD是平行四边形，F在AD上，三角形AEF的面积是8平方厘米，三角形DEF的面积是12平方厘米，四边形BCDF的面积是72平方厘米，求三角形CDE的面积？28、【第20届华杯赛决赛D 卷第2题】如图，用六个正方形，六个三角形，一个正六边形组成的图案，正方形边 长都是cm 2，这个图案的周长是______.29、【第20届华杯赛决赛D 卷第11题】如图，长方形ABCD 的面积为2m 56，cm 3=BE ，cm 2=DF ，求：三角形AEF 的面积是多少？30、【第20届华杯赛决赛D 卷第13题】如图，ABCD 是平行四边形，MB AM =，CN DN =，FC EF BE ==四边形EFGH 的面积是1，求平行四边形ABCD 的面积.31、【第21届华杯赛决赛A 卷第3题】右图中，5=AB 厘米，85=∠ABC °，45=∠BCA °，20=∠DBC °， 则______=AD 厘米.32、【第21届华杯赛决赛A 卷第10题】如右图，三角形ABC 中，180=AB 厘米，204=AC 厘米，F D 、是AB 上的点，G E 、是AC 上的点，连结FG EF DE CD 、、、，将三角形ABC 分 成面积相等的五个小三角形.则AG AF +为多少厘米？33、【第21届华杯赛决赛B 卷第2题】如右图，30个棱长为1的正方体粘成一个四层的立体，这个立体的表面积等于______.34、【第21届华杯赛决赛B 卷第4题】如右图所示，将一个三角形纸片ABC 折叠，使得点C 落在三角形ABC 所在平面上，折痕为DE .已知74=∠ABE °，70=∠DAB °，20=∠CEB °，那么CDA ∠等于______.35、【第21届华杯赛决赛B 卷第1题】如右图，正方形ABCD 的边长为5，F E 、为正方形外两点，满足4==CF AE ，3==DF BE ，那么______2=EF .36、【第21届华杯赛决赛B 卷第11题】如右图，等腰直角三角形ABC 与等腰直角三角形DEF 之间的面积为20，2=BD ，4=EC ，求三角形ABC 的面积.37、【第21届华杯赛决赛B 卷第13题】如右图，正方形ABCD 的面积为1，M 是CD 边的中点，F E 、是BC 边上的两点，且FC EF BE ==.连接DF AE 、分别交BM 分别于G H 、.求四边形EFGH 的面积.38、【第21届华杯赛决赛卷第5题】如图，AD AB =，21=∠DBC °，39=∠ACB °，则______=∠ABC .39、【第21届华杯赛决赛C 卷第1题】如图，ABCD 是直角梯形，上底2=AD ，下底6=BC ，E 是DC 上一点，三角形ABE 的面积是15.6，三角形AED 的面积是4.8，则梯形ABCD 的面积是______.40、【第22届华杯赛决赛A 卷第6题、B 卷第5题】右图中，三角形ABC 的面积为100平方厘米，三角形ABD 的面积为72平方厘米.M 为CD 边的中点，90=∠MHB °.已知20=AB 厘米.则MH 的长度为______厘米.【几何天地】求阴影面积是正方形面积的几分之几？第四部分：数论篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第3题】 某些整数分别被119977553，，，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是92725232，，，，则满足条件且大于1的最小整数是______.2、【第18届华杯赛决赛A 卷第3题】有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这筐苹果至少有______个.3、【第18届华杯赛决赛A 卷第7题】设n 是小于50的自然数，那么使得54+n 和67+n 有大于1的公约数的所有n 的可能值之和为______.4、【第18届华杯赛决赛A 卷第14题】不为零的自然数n 既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数 字和相同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n 最 小是多少？5、【第18届华杯赛决赛B卷第5题】有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这箱苹果至少有______个.6、【第18届华杯赛决赛B卷第8题】用“学”和“习”代表两个不同的数字，四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“学习”所能代表的两位数共有______个.7、【第18届华杯赛决赛B卷第14题】对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法:对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类.若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数.1)求三种分类的类数之和？2)说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同.8、【第18届华杯赛决赛C卷第5题】四位数abcd与cdab的和为3333，差为693，那么四位数abcd为______.9、【第18届华杯赛决赛C 卷第7题】设c b a 、、分别是0～9中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9.将循环小数⋅⋅⋅c b a .0化成最简分数后，分子有______不同情况.10、【第18届华杯赛决赛C 卷第11题】设n 是小于50的自然数，求使得53+n 和45+n 有大于1的公约数的所有n .11、【第19届华杯赛决赛A 卷第2题】在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是______.12、【第19届华杯赛决赛A 卷第13题】从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n 个数，使这n 个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的5倍.求n 的最大值，并说明理由.13、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第2题】在所有是20的倍数的正整数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是______.14、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第14题】从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n 个数，使这n 个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的7倍.求n 的最大值，并说明理由.15、【第19届华杯赛决赛C 卷第5题】设e d c b a 、、、、均是自然数，并且e d c b a <<<<，3005432=++++e d c b a ，则b a +的最大值为______.16、【第19届华杯赛决赛C 卷第10题】 把20142013201420122014220141，，，，⋅⋅⋅中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？17、【第19届华杯赛决赛B 卷第12题】某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数.18、【第19届华杯赛决赛B 卷第14题】 将每个最简分数m n （其中n m 、为互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下:1)将1染成红色；2)相差为1的两个数颜色不同；3)不为1的数与其倒数颜色不同.问:20142013和72分别染成什么颜色？19、【第20届华杯赛决赛B 卷第4题】某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小是______.20、【第20届华杯赛决赛B卷第6题】由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是______，最小的是______.21、【第20届华杯赛决赛B卷第8题】三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么3个数之积的末尾3位数有______种可能数值.22、【第20届华杯赛决赛B卷第9题】将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由.23、【第20届华杯赛决赛B卷第14题】设“一家之言”，“言扬行举”，“举世皆知”，“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？24、【第20届华杯赛决赛C 卷第7题】5321-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x ，这里的[]x 表示不超过x 的最大整数，则______=x .25、【第20届华杯赛决赛C 卷第10题】将2015个分数2016120151413121，，，，，⋅⋅⋅化成小数，共有多少个有限小数？26、【第20届华杯赛决赛C 卷第11题】 b a 、为正整数，小数点后三位经四舍五入后，式子51.175≈+b a ，求 =+b a27、【第20届华杯赛决赛C 卷第12题】 已知原式e aad abcd ⨯=，式中不同字母代表不同的数字，问四位数abcd 的最大值是多少？28、【第20届华杯赛决赛D 卷第5题】由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是______.29、【第20届华杯赛决赛D 卷第9题】两个自然数之和为667，它的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120，求这两个数？30、【第20届华杯赛决赛D 卷第12题】当n 取遍1，2，3，…，2015中的所有的数时，形如33n n 的数中能够被7整除的有多少个？31、【第20届华杯赛决赛D 卷第14题】“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”，且 各个成语中四个汉字所代表的数的和都是21，则“弄”可以代表的数最大 是多少？32、【第21届华杯赛决赛B A 、卷第7题】如果832⨯能表示成k 个连续正整数的和，则k 的最大值为______.33、【第21届华杯赛决赛A 卷第14题】设n 是正整数.若从任意n 个非负整数中一定能找到四个不同的数d c b a 、、、使得d c b a --+能被20整除，则n 的最小值是多少？34、【第21届华杯赛决赛B 卷第12题】试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数.35、【第21届华杯赛决赛C 卷第7题】n 为正整数，形式为12-n 的质数称为梅森数，例如：712,31232=-=-是梅森数.最近，美国学者刷新了最大梅森数，74207281=n ，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数字是______.36、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第12题】 使1523++n n 不为最简分数的三位数n 之和等于多少.37、【第22届华杯赛决赛B 卷第10题】求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数.第五部分：应用题篇1、【第18届华杯赛决赛A卷第10题】小明与小华同在小六(1)班，该班学生人数介于20和30之间，且每个人的出生日期均不相同.小明说:“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说:“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”问这个班的有多少名学生？2、【第18届华杯赛决赛B卷第11题】若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同.如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务.问：共有多少人参加了植树？3、【第18届华杯赛决赛C卷第10题】某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线，录取了四分之一的考生.所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高10分，所有没有被录取的平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是70分.求录取分数线是多少？4、【第19届华杯赛决赛A卷第7题】学校组织1511人去郊游，租用42座大巴和25座中巴两种汽车.如果要求恰好每人一座且每座一人，则有______种租车方案.5、【第19届华杯赛决赛A卷第10题】有一杯子装满了浓度为16%的盐水.有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为10:4:3.首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球；其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出；接着将大球沉入盐水杯中后取出；最后在杯中倒入纯水至杯满为止.此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）B、卷第7题】6、【第19届华杯赛决赛D学校组织482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴两种汽车.如果要求每人一座且每座一人，则有______种租车方案.。
第十八届华杯赛决赛解答_小高B
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B （小学高年级组）（时间: 2013 年4月20日）一、填空题 (每小题 10 分, 共80分)1. 计算: =+⨯+⨯5.1281281125.019________. 【答案】50【解答】原式=505.125.375.12125.0300=+=+⨯.2. 农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年2月10日是________九的第________天.【答案】6(六), 7(七)【解答】从2012年12月21日算起, 2013年2月10日是第52天, 79552+⨯=, 所以是六九的第七天.3. 某些整数分别被1311,119,97,75除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是 112,92,72,52, 则满足条件且大于1的最小整数为________. 【答案】3466【解答】设m 是所求之整数, n 是正整数. 因为nm m n n m n n m 222+=+⨯=+÷ 和题目条件, 所以m 的2倍除以n 的余数必为2, 所以, m 是n 的倍数加1.又因为[]346511,975=，，, 所以, 符合条件的最小整数是3465+1=3466.4. 如图所示, P , Q 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线 AC 上的点,且4:1:=PD AP , 2:3:=QC AQ . 如果正方形ABCD 的面积为25,那么三角形PBQ 的面积是 .【答案】213或6.5 【解答】由三角形面积公式和已知条件, 可知:235153225=⨯⨯=+∆∆PAM PMQ S S , 255121=⨯⨯=+∆∆MAB PAM S S , 215532521=⨯⨯=+∆∆BQM MAB S S . 将第1, 3个等式相加再减第2个等式, 得213=∆PBQ S . 5. 有一箱苹果, 甲班分, 每人3个还剩10个; 乙班分, 每人4个还剩11个; 丙班分, 每人5个还剩12个. 那么这箱苹果至少有________个.【答案】67【解答】 设甲、乙、丙三班分别有x 、y 、z 人. 则有125114103+=+=+z y x .现求出x 、y 、z 的最小整数解:⎩⎨⎧-=-=,235,134x z x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.523,413x z x y 当 x 为 34+k (0≥k ) 时 y 为整数; 当 x 为 45+l (0≥l ) 时 z 为整数. 所以4534+=+l k时, x , y 均为整数. 使得上式成立的最小k 为4, 此时11,14,19===z y x ,6710193103=+⨯=+x （个）,即一箱苹果至少有67个.6. 两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中,小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为4, 则这个立体图形的表面积为________.【答案】136【解答】大正方体的棱长为4, 其每个正方形面的面积为 1644=⨯. 由右图可以看出小正方体的每个正方形面的面积是大正方体的1610, 等于10. 于是 立体图形的表面积 = 136104166=⨯+⨯.7. 甲、乙两车分别从A, B 两地同时出发相向而行, 甲车每小时行40千米, 乙车每小时行60千米. 两车分别到达B 地和A 地后, 立即返回, 返回时, 甲车的速度增加二分之一, 乙车的速度不变. 已知两车两次相遇处的距离是50千米, 则A, B 两地的距离为_______千米.【答案】71000 【解答】设两地的距离为S 千米, 第一次相遇时两车已经行驶t 小时, 故 100S t =. 第一次相遇的地方距离A 地 S 52 千米. 第一次相遇后甲车需行驶 t 23 小时到达B 地, 乙车需行驶t 32小时到达A 地. 因此, 当甲车从B 地开始返回时, 乙车已经以每小时行60千米的速度从A 地到B 地的方向行驶了t t t 653223=- (小时), 距离A 地为26010065S S =⨯⨯(千米). 由于返回时甲、乙两车的速度相同, 第二次相遇距离A 地为S 43千米, 因此505243=⎪⎭⎫ ⎝⎛-S 千米, 得71000=S 千米. 8. 用“学”和“习”代表两个不同的数字, 四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数, 且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同, 那么“学习”所能代表的两位数共有 个.【答案】3【解答】因为 学学学学1111⨯=学, 习习习习1111⨯=习, 123432*********=⨯,所以习学习习习习学学学学⨯⨯=⨯1234321.因为上式左端是个七位数且它的个位数和百万位数字都与“学”所表示的数字相同, 所以习学⨯的乘积不超过4且“习”只能是1. 此时, “学”表示1, 2, 3 和4. 学与习不能相同，所以学只能为2, 3或4, 满足题目要求.所以总共有3种情况.二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 右图中, 不含“*”的长方形有多少个?【答案】106【解答】图中共有5条最长的水平线段和7条最长的垂直线段, 任意两条水平与任意两条垂直的就构成一个长方形, 一共有2102110)123456()1234(=⨯=+++++⨯+++ (个).其中含“*”号有4×15+4×15－4×4＝120－16＝104 (个).所以不含“*”号有210－104＝106个.10. 如右图, 三角形ABC 中, AD = 2BD , AD = EC , BC = 18, 三角形AFC 的面积和四边形DBEF 的面积相等, 那么AB 的长度是_______.【答案】9【解答】由于三角形AFC 的面积和四边形DBEF 的面积相等, 可得出三角形AEC 的面积等于三角形BDC 的面积. 由BD :DA = 1:2, 得三角形BDC 的面积等于三角形ABC 面积的13, 即三角形AEC 的面积等于三角形ABC 面积的13. 那么EC 等于BC 的13, 得出EC = 6, 进而AD = 6, BD = 3, 最终AB = 9.11. 若干人完成了植树2013棵的任务, 每人植树的棵数相同. 如果有5人不参加植树, 其余的人每人多植2棵不能完成任务, 而每人多植3棵可以超额完成任务. 问：共有多少人参加了植树?【答案】61【解答】设有n 个人, 每人植树x 棵, 则611132013⨯⨯==nx .可以说明：113⨯>n . 若33=n , 则每人植树61棵. 如果5人不参加植树, 则有305棵树, 其余28人每人多植3棵, 才种84棵树, 完不成任务. 可见, 113⨯>n .考虑n = 61. 此时, x = 33. 如果5人不参加植树, 则有165棵树要让56人多植树. 若每人多植2棵, 则56人多植了112256=⨯（棵）树, 完不成植树任务; 若每人多植3棵, 则56人多植了168356=⨯（棵）, 完成了植树任务. 所以, n = 61符合要求.12. 由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是多少?【答案】59【解答】① 观察立体右面的正方体, 标有1个黑点的侧面到标有2个黑点的面, 再到标有4个黑点的面是以逆时针方向围绕这三个面的交点.②观察中间上面的正方体, 既然从1个黑点到2个黑点, 再到4个黑点是逆时针, 则该正方体标有6个黑点的面的对面标有1个黑点.③观察立体左面的正方体, 正方体标有3个黑点的面紧邻标有2个黑点的面, 结合观察立体中间上面的正方体, 可知该正方体中, 标有4个黑点的侧面的对面的黑点有3个, 且底面标有5个黑点. 并且可知, 从1个黑点到2个黑点, 再到3个黑点是顺时针.所以, 四个完全相同的正方体, 黑点为1、2和3的三个侧面顺时针围绕公共顶点, 1对6, 2对5, 3对4. 所以, 立体中右面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中左面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中间上面的正方体紧邻下方正方体的侧面有5个黑点; 立体中间下面的正方体后面的侧面有2个黑点, 底面有可能是有1个黑点. 所以立体中间下面的正方体紧贴其他3个正方体的3个侧面黑点总数最少是8个.4个正方体黑点总数是84, 3对紧贴的侧面黑点总数最多是25, 所以, 立体的侧面（包括底面）所有黑点的总数最多是59.三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13.用八个右图所示的14⨯的正方形. 若一个拼成2⨯的小长方形可以拼成一个4的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同, 则认为两个拼成的正方形相同. 问: 可以拼成几种两条对角线都是其对称轴的正方形图形?【答案】4【解答】用右图代替题目中的12⨯小长方形. 对于拼成的正方形图形, 记过左上顶点的对角线为甲对角线, 另一条对角线为乙对角线.图A首先, 有如下观察:1) 当甲对角线是对称轴时,a)左上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (3), (4) 中之一;b)右下角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (5), (6) 中之一;c) 若右上角的22⨯小正方形是图A 的 (1), (2), (7), (8) 中的一个, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A 中的 (1), (2), (9), (10);2) 当乙对角线是对称轴时,a) 右上角的22⨯小正方形是图A 的 (1), (2), (7), (8) 中之一;b) 左下角的22⨯小正方形是图A 的 (1), (2), (9), (10) 中之一;c) 若左上角的22⨯小正方形是图A 中的 (1), (2), (3), (4) 之一, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A 中的 (1), (2), (5), (6).根据上述观察, 注意到拼出的正方形中恰有八个星, 再去掉旋转重合的, 得到以下4种图形:14. 对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子, 有三种分类方法: 对于每种颜色, 将该颜色的球数目相同的盒子归为一类. 若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数, 那么, 1) 三种分类的类数之和是多少? 2) 说明, 至少三个盒子有至少两种颜色的球, 它们的数目分别相同.【解答】记第一种、第二种和第三种分类分别分了i , j , k 类, 每类的盒子数目分别为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 ,令k j i n ++=.1) 因为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 包含了1到30的所有整数, 所以 30≥n . 另一方面,,15534652313030211553212121⨯==⨯=+++≥+++++++++++=⨯ kj i c c c b b b a a a所以 30=++=k j i n , 三种分类各自分类的类数之和是30.2) 不妨设301=a , 记这30个盒子的类为A 类. 因为30=++k j i , 必有14≤j 或14≤k , 不妨设14≤j . A 类的30个盒子分到这不超过14个类中去, 必有一类至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.。
第18届华杯赛决赛小高组(A)、(B)卷试题及参考答案
8.用“学”和“习”代表两个不同的数字,四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数,且它的个位和 百万位数字与“学”所代表的数字相同,那么“学习”所能代表的两位数共有_______个.
7.设 n 是小于 50 的自然数,那么使得 4n+5 和 7n+6 有大于 1 的公约数的所有 n 的可能值之和为________. 8.由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体,则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至 少是________.
二、解答下列各题（每题 10 分,共 40 分要求写出简要过程） 9.用四个数字 4 和一些加、减、乘、除号和括号,写出四个分别等于 3,4,5 和 6 的算式.
6.解析：【知识点】立体几何 求出小积木的棱长即可，如图所示：
小积木的棱长是直角三角形的斜边长度，小积木一个面的面积为12 22 5 ，大积木一个面的面积为 32 9 ，立体图形的表面积为： S 9 5 5 5 (9 5) 74 7.解析：【知识点】数论，余数，因数
设 4n 5 和 7n 6 的公约数为 k ，则 (4n 5) k 为整数，(7n 6) k 也为整数，为了作差消去 n ，前者 乘 7，后者乘 4，则[7(4n 5) 4(7n 6)] k 11 k 为整数，因为 k 1，则11 k 为整数时，只能是 k 11， 即 4n 5 和 7n 6 的公约数为 11； 又因为[(7n 6) (4n 5)] 11为整数，则 3n 1 为整数，
【数学】第十八届华杯赛初赛试卷_小学中年级组解析
第十八届华罗庚金杯少儿数学邀请赛初赛试卷A(小中年级组)试题解析一、选择题1.45与40的积的数字和是（）.（A）9 （B）11 （C）13 （D）15【答案】A【解析】45×40=1800,1+8=9【难度】☆【知识点】两位数乘法计算2.在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形.（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由观察可得：A、C、D都可通过旋转得到，而B是通过原图翻转得到。
【难度】☆☆【知识点】图形的旋转、平移3.小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时, 捡到了一条红领巾, 交给了老师. 老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的也不对. 他们之中只有一个人说对了, 这个人是（）.（A）小东（B）小西（C）小南（D）小北【答案】C【解析】小东：不是小西。
小西：是小南。
小南：小东说的不对。
小北：小南说的也不对。
从对话中可看出小南与小北说的话是相互矛盾的，所以两人中一定有一个人说的是正确的，那么小东必然说的不对，既然小东说的不对，也就是小南说对了。
【难度】☆☆【知识点】逻辑推理4.2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说：这是我有生以来遇到的第一个没有重复数字的年份。
已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁。
（A）16 （B）18 （C）20 （D）22【答案】B【解析】2013÷19=105…18，因为小明哥哥出生的年份是19的倍数，所以小明的哥哥出生年份=2013-18-19n。
当n=0时，小明哥哥出生年份=1995；当n=1时，小明哥哥出生年份=1976，但是显然小明哥哥如果1976年出生，2013绝对不会是他有生以来遇到的第一个没有重复数字的年份，比如1978就是没有重复数字的年份。
所以小明哥哥出生年份只能是1995，那么小明哥哥2013的年龄=2013-1995=18。
18届华杯赛小中组试题及答案详解
一、选择题1.45与40的积的数字和是（）.（A）9 （B）11 （C）13 （D）152.在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形.（A）（B）（C）（D）3.小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时, 捡到了一条红领巾, 交给了老师. 老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的也不对. 他们之中只有一个人说对了, 这个人是（）.（A）小东（B）小西（C）小南（D）小北4.2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说：这是我有生以来遇到的第一个没有重复数字的年份。
已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁。
（A）16 （B）18 （C）20 （D）225.如右图, 一张长方形的纸片, 长20厘米, 宽16厘米. 如果从这张纸上剪下一个长10厘米,宽5厘米的小长方形, 而且至少有一条边在原长方形的边上,那么剩下纸片的周长最大是（）厘米.（A）72 （B）82 （C）92 （D）1026.张老师每周的周一、周六和周日都跑步锻炼20分钟, 而其余日期每日都跳绳20分钟. 某月他总共跑步5小时, 那么这个月的第10天是（）.（A）周日（B）周六（C）周二（D）周一二、填空题7.如右图, 一个正方形被分成了4个相同的长方形, 每个长方形的周长都是20厘米. 则这个正方形的面积是平方厘米。
8.九个同样的直角三角形卡片, 拼成了如右图所示的平面图形. 这种三角形卡片中的两个锐角较大的一个是度.9.幼儿园的老师给班里的小朋友送来55个苹果, 114块饼干, 83块巧克力. 每样都平均分发完毕后, 还剩3个苹果, 10块饼干, 5块巧克力. 这个班最多有位小朋友.10.如下图, 将长度为9的线段AB九等分, 那么图中所有线段的长度的总和是.1、【答案】A【解析】45×40=1800,1+8=9【难度】☆【知识点】两位数乘法计算2、【答案】B【解析】由观察可得：A、C、D都可通过旋转得到，而B是通过原图翻转得到。
2013年第十八届华杯复赛小学高年级组A卷(含解析)
62
8
9
10
11
12
13
(4 4 4) 4 3
4 (4 4) 4 4
54
25
1.375 不能
5
(4 4 4) 4 5
4 (4 4) 4 6
参考解析
一、填空题（每小题 10 分，满分 80 分） 1．计算：19 0.125 281 1 12.5 _______．
14．不为零的自然数 n 既是 2010 个数字和相同的自然数之和，也是 2012 个数字和相同的自 然数之和，还是 2013 个数字和相同的自然数之和，那么 n 最小是多少?
3 / 11
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试卷 A（小学高年级组） 参考答案
1
2
3
4
5
6
25
2,3
316
153
12
10．小明与小华同在小六(1)班，该班学生人数介于 20 和 30 之间，且每个人的出生日期均 不相同．小明说:“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”小华说:“本班比我大的 人数是比我小的人数的的三倍”，问这个班有多少名学生?
11．小虎周末到公园划船，九点从租船处出发，计划不超过十一点回到租船处．已知，租船 处在河的中游，河道笔直，河水流速 1．5 千米/小时; 划船时，船在静水中的速度是 3 千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流．问: 小虎的船最远可 以离租船处多少千米?
5 7 9 11
35
2 ， 2 ，则满足条件且大于 1 的最小整数是_______． 79
【考点】数论——余数+周期问题
【难度】☆☆☆
4 / 11
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第十八届华罗庚金杯少年邀请赛
决赛试题A （小学高年级组）
（时间2019年4月20日10：00～11：30）
一、填空题（每小题 10分, 共80分）
1．计算: 19×0.125+281×8
1-12.5=________. 解析：原式=（19+281-100）×0.125
=200×0.125
=25
2．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2019年12月21日是冬至, 那么2019年的元旦是________九的第________天.
解析：31-21+1+1=12,12÷9=1…3，2019年的元旦是二九的第3天.
3．某些整数分别被119977553，，，除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是92725232，，，, 则满足条件且大于1的最小整数是________.
解析：设整数为A, 分别被119977553，，，除后, 所得的商分别为A A A A 911795735，，，; )1(911921911)1(7972179)1(5752157)1(3532135-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[3，5，7，9]的时候满足题意。
所以A-1=315，A=316。
4．如右图, 在边长为12厘米的正方形ABCD 中, 以AB 为底边作腰长为10厘米的等腰
三角形PAB . 则三角形PAC 的面积等于________平方厘米.
解析:过P 点做PE ⊥AB,由于三角形PAB 为等腰三角形，所以AE=EB=6cm 。
根据勾股定理：PE 2=102-62=64=82，所以PE=8cm 。
S △PAB=12×8÷2=48cm 2，S △PCB=12×6÷2=36cm 2，
S △PAC=48+36-12×12÷2=12 cm 2。
5．有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩11个; 乙班分, 每人4个还剩10个; 丙班分, 每人5个还剩12个. 那么这筐苹果至少有________个.
解析：11≡2（mod3）=2；10≡2（mod4）=2；12≡5（mod5）=2，所以苹果数除以3,4,5都余2，
[3，4，5]=60, 这筐苹果至少有60+2=62个.
6．两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小积木
的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长
为3, 则这个立体图形的表面积为________.
解析：如图所示，四个三角形面积都是1×2÷2=1，
所以小积木一个面的面积是32-1×4=5。
这个立体图形的表面积为大积木的表面积加上小积木四个面的面积。
所以面积为6×32+4×5=74。
7．设n
是小于50
的自然数, 那么使得4n +5和7n +6有大于1
的公约数的所有n 的可能值之和
为 .
E
解析：设4n+5和7n+6大于1的公约数为A,则A∣(4n+5),A∣(7n+6)。
(4n+5)×7，(7n+6)×4
相减消去n，则差能被11整除，(4n+5)×7-(7n+6)×4=11,11是质数，所以A只能是11。
（4n+5），（7n+6）都是11的倍数，为了分别找出所有的n，2×（4n+5）-（7n+6）=n+4，11∣（n+4），所以n=7,18,29,40。
所以答案为7+18+29+40=94。
8．由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则立体的表面上（包
括底面）所有黑点的总数至少是________.
解析：将黑点数转化为1,2,3,4,5,6，根据图可知，2与4,6,3,1相邻，则2与5
相对，4与6,1相邻，则4与3相对，1与6相对。
最左边的正方体左右两个面上是1和6，可以重叠6；
最右边的正方体重叠6；
最上面的正方体重叠5；
正中间左右两个面一起重叠7，上面重叠6。
所以正方体重叠面上的黑点最多是7+6+5+6+6=30，
立体的表面上所有黑点的总数至少是4×7×3—30=54。
二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）
9．用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号, 写出四个分别等于3, 4, 5和6的算式.
解析：（4+4+4）÷4=3，4+（4-4）÷4=4，（4×4+4）÷4=5，4+（4+4）÷4=6
10．小明与小华同在小六(1)班, 该班学生人数介于20和30之间, 且每个人的出生日期均不相同. 小明说: “本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”, 小华说: “本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”. 问这个班有多少名学生?
解析：根据小明，小华的话可知：六(1)班人数-1是3的倍数，也是4的倍数。
[3，4]=12，所以这个班有12×2+1=25名学生
11．小虎周末到公园划船, 九点从租船处出发, 计划不超过十一点回到租船处. 已知, 租船处在河的中游, 河道笔直, 河水流速1.5千米/小时; 船在静水中的速度是3千米/小时, 划船时, 每
划船半小时, 小虎就要休息十分钟让船顺水漂流. 问: 小虎的船最远可以离租船处多少千米? 解析：V顺：V逆：V水=4.5：1.5：1.5=3：1：1；注意逆水速度等于静水速度。
小虎每划船半小时,就要休息十分钟让船顺水漂流，120÷（30+10）=3，小虎休息三次，则船顺水漂流30分钟，则逆水时间里面有30分钟要和他抵消，相当于船没有动。
在剩下120-30-30=60分钟里要船能回到租船处，则逆水时间和顺水时间为V顺：V逆=3:1，所以顺水时间为60÷（3+1）=15分钟。
注意小虎的船最远可以离租船处，还需加上船顺水漂流10分钟的路程，
所以答案为：4.5×15÷60+1.5×10÷60=1.375km
12．由四个相同的小正方形拼成右图. 能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处
（每处放一个, 每个数只使用一次）, 使得图中所有正方形边上所放的数之和都
相等? 若能, 请给出一个例子; 若不能, 请说明理由.
解析：设这24个连续自然数为a，a+1，a+2，…，a+23。
注意：图中有五个正方形，五个正方形上共有16+4×8=48，仔细分析，每个数重
复用了2次。
假设能使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等，且设这个和为A。
则有（a+a+1+a+2+…+a+23）×2=48a+552=5A
48≡3（mod5），552≡2（mod5），要48a+552是5的倍数，则48a除以5余3，即a要是5的倍数多1，不妨设a=5b+1，48a+552=48×5b+48+552=240b+600，所以A=48b+120
我们再来看大正方形上的16个数，即使是这24个数中最小的16个，它们的和是
5b+1+5b+2+5b+3+…5b+16=80b+136> A=48b+120
所以不能使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等。