流体应变率张量

线变形： xx yy 0
（无线变形） 角变形：
xy 0
（无角变形） 1 旋转角速度： z k k k 2
（逆时针的旋转）
刚体旋转流动
有旋流动和无旋流动
1.有旋流动 2.无旋流动
0 0
w v y z u w z x v u x y
3.流体微团旋转分析（旋转角速度）
经过dt时刻，abcd 将运动到a1b1c1d1, 对角线ac经 t 时间转动了角度


4
Байду номын сангаас
由于δx＝δy，a1b1c1d1近似为菱形， 则有
2
v u 从而 / 2 x y t / 2 1 v u 转动角速度为 z lim / t x y t 0 2
z
δz
O
a x
d
c
x y z
y
δy
δx b
研究其一侧面abcd，若a点速度为u、v，则
c1 d1
b1
a1 (a) t时刻
(b) t＋△t时刻
1.线变形分析（相对伸长速度） 首先设只有应变率张量中的
u 0, u u ( x) 其它均为0， x
u u x t ut a1b1 ab bb1 aa1 u x xx ab t ab t x t x u 因此， 表示线段 x 的相对伸长率（相对伸长速度） x v w 同理 yy zz 分别表示y、z方向线段的相对伸长率 y z
1.7 运动流体应变率张量
du 前面提到过速度梯度 dy ，它是流体作一维平行 流动时，流体的剪切应变率分量，本节将讨论流 体做任意运动时的运动学特性，重点介绍运动流 体的应变率张量及其各分量的物理意义。
刚体运动可分解成：平动和转动 流体运动：除平动、转动外还有变形

1.7.1 亥姆霍兹速度分解定理
x
写成分量形式：
u u u u x y z x y z v v v v x y z x y z w w w w x y z x y z
用矩阵形式：
u x u v v x w w x u y v y w y u z x v y z w z z
xy xz 0 yy yz z zy zz － y
z 0 x
y x － x y 0 z
u xxx xyy xzz yz zy v yxx yyy yzz zx xz w zxx zyy zzz xy yx
是流体的转动角速度矢量
V ( M ) V0 V V0 ( M 0 ) E r r
与M0点相同的平动速度 绕M0点转动在M点引起的速度
流体变形在M点引起的速度 这就是亥姆霍兹速度分解定理。
1.7.2 流体微团运动分析
为了方便分析，考虑一些流体的特殊运动。t时刻，选 正六面体微团，如下图
例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运
动特征
解：流线方程：
线变形：
（流线是平行与x轴的直线族） v u yy 0 （无线变形） xx 0 y x
1 v u k xy 2 x y 2
yc
1 u v 2 y x v y 1 w v y z 2 1 u v 2 y x 0 1 w v y z 2
1 u w 2 z x xx 1 v w z y yx 2 zx w z 1 u w 2 z x 0 1 v w z y z 2 y 0
即： x 0
y 0
z 0
例：速度场u=ay（a为常数），v=0，流线是平行于x轴的直
线，此流动是有旋流动还是无旋流动？ 解： 1 v u 1 (0 a) 1 a 0 z x y 2 2 2 是有旋流
y ux o x
存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因
经过dt时刻，abcd 将运动到a1b1c1d1,如 左图,ab边的相对伸长率
各边的相对伸长，将引起流体微团体积膨胀，在△t时 刻后，正方形体积 xyz，已变为
u v w x1y1z1 x xt y xt z xt x y z
流体微团的相对体积膨胀率为：
x1y1z1 xyz u v w lim xx yy zz t 0 xyzt x y z u v w divV V x y z
如果 V 0 ，表示流体相对体积膨胀率为0，流体是不 可压缩流体。 密度不变可简单地记做 常数 （时时，处处）
yx zx yy yz yz zz
z 0 x
y x 0
各分量都有明确的物理意义，其中三个代表线段的相对伸长率 （速度），三个代表角变形率（速度），三个代表流体本身的自 转角速度，另外速度散度 V 代表流体体积相对膨胀率。
平均角变形（剪切）变形率为
1 1 u v lim ( ) / t xy yx 直角的平均减小率 t 0 2 2 y x 1 v w 1 u w xz zx yz zy 意义类似。 2 z y 2 z x
xy
xz
1 u v 1 u w z y 0 对称 y x 2 z x 2 1 v u 1 v w z 0 x y z y x 2 2 1 w u yw v 1 2 x z 2 y z x 0 反对称
2
表示流体微团以（x，y，z）为瞬心，绕平行于z轴旋转的角 速度
1 w v 也有类似的意义。 1 u w y x y z 2 z x 2 它们三者一起组成了角速度矢量 ，且有 1 rotV 2
u x u v v x w w x
u y v y w y
u z x xx v y yx z z zx w z
相当于微元绕瞬心运动
或
V E r r
xy xz 流体的应变率张量或变形速率张 yy yz 量，对称的； zy zz
xx 其中 E yx zx
而 xi y j z k
角变形：
（有角变形）
旋转角速度： 1 v u k （顺时针方向为负） z x y 2 2
y
o
x
例：平面流场ux=－ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析流 场运动特征
dx dy x 2 y 2 c （流线是同心圆族） 解：流线方程： ky kx
2.角变形分析(角变形速度)
u v 考虑应变率张量中只有 和 0 y x
( )
v xt v x tan( ) t x x u yt u y tan( ) t y y
经过dt时刻，abcd 将运动到a1b1c1d1, 产生了角变形，∠bad的减少量为
存在不在质点连线方向的速度梯
度是产生旋转和角变形的原因
u x 1 v u E 2 x y 1 w u 2 x z 0 1 v u A 2 x y 1 w u 2 x z
流体运动虽复杂，但取一微元体，分析其中的运动，将得到 一些规律性认识。 在时刻t的流场中取一点 M 0 (r ) M 0 ( x, y, z ) 邻域中的任意 M 一点 (r r ) M ( x x, y y, z z ) ，设M0点的速度为 V0 由泰勒展开，邻点M的速度 V0＋δ V z V M V V V ( M ) V0 x y z V0 V δ r x y z V0 M0 r 显然， V 是M点相对于M0点的相对速度 O y V V V V x y z x y z
根据矩阵运算法则
u x v x w x
u y v y w y
u 1 u v 1 u w u xx x 2 y x 2 z x z v 1 v u v 1 v w yx yy yz x y z 2 y 2 z y w 1 w u 1 w v w zy zz z 2 x z 2 y z zx z