第11讲函数零点的性质问题

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函数的零点个数问题-含答案

【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：（1）a 的符号；（2）对称轴2bx a=-的位置；（3）判别式的符号；（4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一方程法使用情景方程可以直接解出来. 解题步骤先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.学科@网【例2】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数2()(2)x xf x ae a e x=+--.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.(2) ①若0,a≤由（1）知()f x至多有一个零点.②若0a>，由（1）知当lnx a=-时，()f x取得最小值，1(ln)1lnf a aa-=-+.（i）当1a=时，(ln)f a-=0，故()f x只有一个零点.（ii）当(1,)a∈+∞时，由于11ln aa-+>0，即(ln)0f a->，故()f x没有零点.（iii）当0,1a∈（）时，11ln0aa-+<，即(ln)0f a-<.422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>故()f x在(,ln)a-∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln,()n n n nn n f n e ae a n e n naa f xa>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a∈（）时，要先判断(,ln)a-∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln)0f a-<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>要说明(2)0f->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae--+.(3) 当0,1a∈（）时，要判断(ln,)a-+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； (2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x =,重新构造方程()()g x h x =,再画函数(),()y g x y h x ==的图像分析解答.【例4】函数()lg cos f x x x =-的零点有（） A ．4 个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程f(x)lg cos 0x x =-=也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,再在同一直角坐标系下画出lg y x =和cos y x =的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln ,1,02f x x m xg x x m x m =-=-+>．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：函数零点个数问题的求解方法参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1)2，15(,12+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1)+∞；【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是(),m+∞, 单调递减区间是()0,m；（2）1．学科@网【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x的定义域为()()()()0,,'x m x mf xx+-+∞=．当0x m<<时，()'0f x<,函数()f x单调递减，当x m>时，()'0f x>函数()f x单调递增，综上，函数()f x的单调递增区间是(),m+∞, 单调递减区间是()0,m．（2）令()()()()211ln,02F x f x g x x m x m x x=-=-++->,问题等价于求函数()F x的零点个数，()()()1'x x mF xx--=-,当1m=时，()'0F x≤，函数()F x为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。

方程的根与函数的零点说课课件ppt

设计意图:为 “用二分法求方程的近似解”的学习做准备.
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3板书设计
§3.1 方程的根与函数的零点
1、零点概念：
练习：
…………………………
…………………………
2、方程的根与函数零点的关系 …………………………
函数的图象与x 两个交点轴的交点 (-1,0)，(3,0)
一个交点 (1,0)
没有交点
上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
意图：引起认知冲突；了解本课主旨；通过熟悉情境，形成初步结论．
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正反例证，熟悉定理
5、零点存在性定理的辨析与应用.
函数零点存在性定理：
y
ac O
y
y
ac
O
bx
bx
c Oa
y
c Oa
b x
b x
例1如判果断函正数误y=，f(若x)不在正区确间，[a,请b]上使的用图函象数是图连象续举不出断反的例一条曲线，并（且 1）有已f(知a)函·f(数b)<y=0f，(x那)在么区，间函[数a,by]=上f(连x)在续区，间且(fa(,ab)) ·内f(b有) <零0点，．则
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—— 说课过程 ——
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2023届高考数学一轮复习讲义：第11讲指数与指数函数

第11讲指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域值域性质过定点当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；（2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++.4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：（1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.6．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.➢考点2 指数函数的图象及应用[名师点睛]1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． [典例]1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．➢考点3 指数函数的性质及其应用[名师点睛]1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．a b c <⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值；（2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（）A ．a b c <处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（） A ．[2,3)B ．[1,3)C ．[1,2)D ．(1,3)4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x x f x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围．（3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ （2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围第12讲指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值．【解】（1）120.75013110.027()81()369-----++-=0.3﹣1﹣36+33+111033-=-36+27+113-=-5．（2）若11226x x -+∴x 1x ++2＝6，x 1x+=4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；（2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅. 【解】（1）原式()()21210523500125252-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-+416710*********=++=-；（2）原式11223233311111122633311233a b a b a a b b ab a b +-++---⎛⎫ ⎪⎝⎭===；（3）原式253112536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭1521335233435311010222⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（4）原式111111111533223262361566a b a baba b-----+-⋅==⋅1a=. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+【解】100.256361.5()87-⨯-+1111323334432()1(2)223()23-=⨯+⨯+⨯-， 113322()2427()33=++⨯-， 110=.2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---【解】（1）原式111123()4()4(0.25)34231310112101()[3()]31032333333-⨯-⨯--⨯-⎛⎫=-⨯+=-⨯+=-= ⎪⎝⎭；（2）原式11111111153322132623615661a b aba ba aa b-----+--⋅⋅==⋅==⋅. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++. 【解】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=．（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=．（3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++ 4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．【解】设12x t =，则121x t-=，所以13t t +=，于是，333222321111x xt t t t t t -⎛⎫⎛⎫+=+=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而2224242112x x t t t t -⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭，将13t t+=平方得22129t t ++=，于是2217t t +=，所以原式()2222221272471137131513t t t t t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：（1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.【解】（1）原式()()()11034340.423ππ--=--++-，()110.4123π--=-++-， 1π=-，（2）∵()()()221116x x x xx x x x -----=+-=-， ∴()()2211432,x x x x ---=+-=∵01x <<， ∴1x x --=-∴()2216x x x x ---=-=-又∵21112228x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，∵01x <<，∴1122x x -+= ∴221122x x x x---+=12-.6．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.➢考点2 指数函数的图象及应用1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>【答案】D 【解析】因为(0)f k =-，由图得10k -<-<，所以01k <<，所以排除AB ，因为由图象可知当x →+∞时，()0f x →，所以1a >，所以排除C ，故选：D2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-【答案】B 【解析】因为01a =，所以当10x -=，即1x =时，函数值为定值0，所以点P 坐标为(1,0).另解：因为()11x f x a -=-可以由x y a =向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由x y a =过定点(0,1)，所以()11x f x a -=-过定点(1,0).故选：B[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-【答案】D 【解析】当2x =时，()220255154f aa -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ；故选：AC➢考点3 指数函数的性质及其应用1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．a b c <=，所以1a >，由01b <<，1a >，所以log log 10b b c a =<=，即0c <，所以c b a <<. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（）A ．12B ．13C ．3D ．2【答案】BC【解析】当1a >时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递增函数，当1x =时，max y a =，当1x =-时，1min y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =，因为1a >，所以3a =；当01a <<时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递减函数，当1x =时，min y a =，当1x =-时，1max y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =，因为01a <<，所以13a =.综上可得，实数a 的值为3或13.故选：BC3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<，又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<；综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =，对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值；（2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.【解】解：（1）因为函数4()2x x ag x -=是奇函数，所以(0)0g =得1a =，则41()2x x g x -=，经检验()g x 是奇函数.又()()lg 101xf x bx =++是偶函数，所以(1)(1)f f -=得12b =-，则()1()lg 1012xf x x =+-，经检验()f x 是偶函数，∴112a b ==-，.（2）()()lg 101x h x =+，lg(109)(lg(109))lg[101lg(1010)m h m m +⎤+=+=+⎦，则由已知得，存在(]0,1x ∈，使不等式lg(1010)()m g x >+成立，因为411()222x x x x g x -==-，易知()g x 单调递增，∴max 3()(1)2g x g ==，∴323lg(1010)lg102m +<==∴1010m +<所以1m <，又109010100m m +>⎧⎨+>⎩，解得910m >-，所以9110m -<<.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <=，c a ∴>，c b >；31ln22==，0.8110.50.52>=，b a ∴>；a b c ∴<<.故选：C.2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（）A ．a b c < ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b <.又34331443331444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c <.综上a c b <<，故选B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（） A ．[2,3) B ．[1,3) C ．[1,2) D ．(1,3)【答案】C【解析】由函数()f x 在0(0,)x ∈+∞处取得最小值得()()0f x f x ≥，则0a >且002x a=> 当0x <时1233()2x a a f x +=>，又()20222a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以203222a a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩，得1a ≥．又()03-<f x a ，所以32af a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即12332a a a -+<，整理得1221a -+>，102a -+>，解得2a <．综上，12a ≤<. 故选：C ．4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】解：由()()22f a x f x +-≥，得2222a x x +-≥，两边同除2x ，即2222a x x -≥+⨯，又222x x -+⨯≥222x x -=⨯，即12x =[]0,4∈时取等号,所以3222a ≥=，所以32a ≥.故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________ 【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322x x f x x f x --=--=-，所以函数()f x 是奇函数，并由解析式可知函数()f x 是增函数，原不等式可化为()()213f x f -<-，所以213x -<-，解得1x <-，故x 的取值范围是(),1-∞-．故答案为：(),1-∞-6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．【答案】4,)+∞【解析】由题意得：99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则22100t mt m ∴-++=有解，即2(2)10m t t -=+有解，显然2t =无意义2,2(0)t t y y ∴>-=>令2(2)101444y m y y y ++∴==++≥,当且仅当14y y =，即y4,)m ∴∈+∞故答案为：)4,∞⎡+⎣.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x xf x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值. 【解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()x x x x f x a ka f x a ka ---=+==+，整理得()()10x xk a a ---=，所以1k =，又因为17(1)4f =，可得117(1)4f a a =+=，所以4a =或14a =，所以()44x xf x -=+.（2）由（1）可知()4422x x xm g x m x-=+-⋅+211(2)(2)222x x x xm =---+ 令122xx u =-，则2()2h u u mu =-+. 因为函数122xxu =-在[0,)+∞上是增函数，所以0u ≥，因为函数()()2[0,)2xxmg x f x m =-⋅++∞上的最小值是1，所以函数()h u 在[0,)+∞上的最小值是1. 当0m ≥时，2min()()2124m m h u h ==-+=，解得2m =或2m =-（舍去）；当0m <时，min ()(0)21h u h ==≠，不合题意，舍去. 综上，2m =.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围．（3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．【解】解：（1）对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+，由4(0)102f a =-=+，解得2a =，故42()1122221xxf x =-=-++．（2）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =++=+-+=-+ 有零点，则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，解得1k <．（3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，即212221x xm ->-+恒成立．令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++ 在(1,2)上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m ∴．即7,6m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ 9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞，可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞ 故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤ 可化为0424x x a ≤+⋅≤ 必有20x a +≥且422x x a ≤-，令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈，由20x a +≥恒成立，可得0a ≥，令()()401h t t t t=-<<，可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=，由422x x a ≤-恒成立，可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数，则实数a 的取值范围为[]0,3。

函数图象变换和零点

函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。

2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。

3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。

高考数学2022题型通关21讲第11讲三角函数中的范围最值问题(含答案)

高考数学题型通关：第12讲三角函数中的范围、最值问题【方法总结】以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键．并保持纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,若h(x 1)h(x 2)=-4,其中x 1,x 2∈[-π,π],则|x 1-x 2|【解析】解法一由题意可知h(x)=2sin(2x+π3),所以-2≤h(x)≤2,因为h(x 1)h(x 2)=-4,所以{h(x 1)=2,h(x 2)=-2或{h(x 1)=-2,h(x 2)=2.当{h(x 1)=2,h(x 2)=-2时,2x 1+π3=2k 1π+π2(k 1∈Z),即x 1=k 1π+π12(k 1∈Z),2x 2+π3=2k 2π-π2(k 2∈Z),即x 2=k 2π-5π12(k 2∈Z),因为x 1,x 2∈[-π,π],所以x 1=-11π12或x 1=π12,x 2=-5π12或x 2=7π12,所以当x 1=-11π12,x 2=7π12时,|x 1-x 2|取得最大值,最大值是3π2.同理,当{h(x 1)=-2,h(x 2)=2时,|x 1-x 2|的最大值也是3π2.故选D. 解法二由题意可知h(x)=2sin(2x+π3),所以-2≤h(x)≤2,因为h(x 1)h(x 2)=-4,所以{h(x 1)=2,h(x 2)=-2或{h(x 1)=-2,h(x 2)=2.因为函数h(x)的最小正周期T=π,当x ∈[-π,π]时,h(x)有两个周期,即出现两次最大值和最小值,所以|x 1-x 2|的最大值为32T=32π.故选D.【解析】f(x)=asin ωx+cos(ωx-π6)=asin ωx+cos ωxcos π6+sin ωxsin π6=(12+a)sin ωx+√32cos ωx=(12+a)2+(√32)2·sin(ωx+φ),其中tan φ=√3212+a .对于任意的x 1,x 2∈R,都有f(x 1)+f(x 2)-2√3≤0,即f(x 1)+f(x 2)≤2√3,当且仅当f(x 1)=f(x 2)=f(x)max 时取等号,故2(12+a)2+(√32)2=2√3,解得a=1或a=-2(舍去),故f(x)=32sin ωx+√32cos ωx=√3sin(ωx+π6).因为0≤x ≤π,所以π6≤ωx+π6≤ωπ+π6.又f(x)在[0,π]上的值域为[√32,√3],所以π2≤ωπ+π6≤5π6,解得13≤ω≤23,选B.【解析】将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移a(a>0)个单位长度,可得函数y=sin[2(x+a)-π3]=sin[2x+(2a-π3)]的图象,所以y=sin[2x+(2a-π3)]的图象与g(x)=cos 2x 的图象重合.因为g(x)=cos 2x=sin(2x+π2),所以2a-π3=2k π+π2,k ∈Z,即a=k π+5π12,k ∈Z,当k=0时,可得a min =5π12,故选B.【解析】解法一由题图知, f(-4π9)=0,∴-4π9ω+π6=π2+k π(k ∈Z),解得ω=-3+9k 4(k ∈Z).设f(x)的最小正周期为T,易知T<2π<2T,∴2π|ω|<2π<4π|ω|,∴1<|ω|<2,由ω=-3+9k 4(k ∈Z)知当且仅当k=-1时,符合题意,此时ω=32,∴T=2πω=4π3.故选C.解法二由题图知,f(-4π9)=0且f(-π)<0,f(0)>0,∴-4π9ω+π6=-π2(ω>0),解得ω=32,∴f(x)的最小正周期T=2πω=4π3.故选C.6.[2020全国卷Ⅲ,16,5分][理]关于函数f(x)=sin x+1sinx 有如下四个命题: ①f(x)的图象关于y 轴对称; ②f(x)的图象关于原点对称; ③f(x)的图象关于直线x=π2对称; ④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 .【解析】由题意知f(x)的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z},且关于原点对称.又f(-x)=sin(-x)+1sin (−x)=-(sin x+1sinx )=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以①为假命题,②为真命题.因为f(π2-x)=sin(π2-x)+1sin (π2-x)=cosx+1cosx ,f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin (π2+x)=cos x+1cosx ,所以f(π2+x)=f(π2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=π2对称,③为真命题.当sin x<0时,f(x)<0,所以④为假命题.【解析】由于对任意的实数x 都有f(x)≤f(π4)成立,故当x=π4时,函数f(x)有最大值,故f(π4)=1,∴πω4−π6=2k π(k ∈Z),∴ω=8k+23(k ∈Z),又ω>0,∴ωmin =23.【解析】f(x)=sin 2x+√3cos x-34=-cos 2x+√3cos x+14=-(cos x-√32)2+1.因为x ∈[0,π2],所以cosx ∈[0,1],因此当cos x=√32时,f(x)max =1.(2)[2018全国卷Ⅰ,16,5分][理]已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值③f(x)在[-π,π]上有4个零点;④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是 ( ) A.①②④B.②④C.①④D.①③【解析】因为f(x)=2sin x+sin 2x,所以f '(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x-2=4(cos x-12)·(cos x+1).由f '(x)>0得12<cos x<1,即2k π-π3<x<2k π+π3,k ∈Z,由f '(x)<0得-1<cosx<12,即2k π-5π3<x<2k π-π3,k ∈Z,所以当x=2k π-π3,k ∈Z 时,f(x)取得最小值,且f(x)min =f(2k π-π3)=2sin(2k π-π3)+sin 2(2k π-π3)=-3√32.【解析】f(x)=12(1-cos ωx)+12sin ωx-12=12sin ωx-12cos ωx=√22sin(ωx-π4).解法一因为x ∈(π,2π),所以ωx-π4∈(ωπ-π4,2ωπ-π4).因为f(x)在(π,2π)内无零点,故T 2≥π,即0<ω≤1,且{kπ≤ωπ−π4,2ωπ−π4≤kπ+π(k ∈Z).当k=-1时,解得ω∈(0,18];当k=0时,解得ω∈[14,58],当k ≤-1或k ≥1时,不满足题意,故ω∈(0,18]∪[14,58].故选D.解法二当ω=12时, f(x)=√22sin(12x-π4),x ∈(π,2π)时,f(x)∈(12,√22],无零点,排除A,B;当ω=316时,f(x)=√22sin(316x-π4),x ∈(π,2π)时,当x=43π时,f(x)=0,所以f(x)有零点,排除C.选D.【解析】当0≤x ≤2π3时,π3≤ωx+π3≤2πω3+π3.若f(x)在[0,2π3]上恰有两个零点,则2π≤2πω3+π3<3π,解得52≤ω<4.【解析】由题意知,函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤π2),其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,故函数的最小正周期为T=2πω=π,解得ω=2.所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.由题意,f(x)>1对任意的x ∈(-π12,π3)恒成立,即当x ∈(-π12,π3)时,sin(2x+φ)>0恒成立.令t=2x+φ,因为x ∈(-π12,π3),所以t ∈(φ-π6,φ+2π3).故要使sin t>0恒成立,只需{φ-π6≥2kπ,φ+2π3≤2kπ+π(k ∈Z),解得2k π+π6≤φ≤2k π+π3(k ∈Z).显然,当k=0时,π6≤φ≤π3,故选D.【解析】 y ＝1－cos 2x ＋acos x ＋8a －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12. ∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1.①若a2>1，即a>2，则当cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)；②若0≤a2≤1，即0≤a ≤2，则当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，∴a ＝32或a ＝－4<0(舍去)；③若a2<0，即a<0，则当cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去)．综上可得，a ＝32.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3acos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．【解析】在△ABC 中，因为3acos C ＋b ＝0，所以C 为钝角，由正弦定理得3sin Acos C ＋sin(A ＋C)＝0， 3sin Acos C ＋sin Acos C ＋cos Asin C ＝0，所以4sin Acos C ＝－cos A ·sin C ，即tan C ＝－4tan A. 因为tan A>0，所以tan B ＝－tan(A ＋C)＝－tan A ＋tan C1－tan Atan C＝tan A ＋tan C tan Atan C －1＝－3tan A －4tan 2A －1＝34tan A ＋1tan A≤324＝34，当且仅当tan A ＝12时取等号，故tan B 的最大值是34.【解析】 f(x)＝cos x 向右平移3个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3的图象，再将各点横坐标变为原来的1ω(ω>0)得g(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，ωπ2－2π3，又此时g(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴0≤ωπ2－2π3≤2π3，∴43≤ω≤83.【解析】方法一将f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象，该图象关于y 轴对称，即g(x)为偶函数，因此π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝－k π2－π8(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ的最小正值为3π8. 方法二将f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象，令2x －2φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8＋φ(k ∈Z )，此即为g(x)的对称轴方程，又g(x)的图象关于y 轴对称，所以有k π2＋π8＋φ＝0，k ∈Z ，于是φ＝－k π2－π8(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.【方法总结】(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等．(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象．【解析】函数f(x)的周期T ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＝π，则ω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.【解析】 f(x)＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，由－2＋2k π≤x ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2－φ＋2k π≤x ≤π2－φ＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－φ，π2－φ，所以αmax＝π2－φ，所以当α取最大值时，sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin 2φ＝2sin φcos φsin 2φ＋cos 2φ＝2tan φtan 2φ＋1＝45.【解析】由题意得T ＝ω≤5，∴ω≥10π，∵ω>0，∴ω≥10π.【解析】令ωx ＋3＝k π，k ∈Z ，得x ＝3k π－π3ω，k ∈Z ，∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为5π3ω，8π3ω，∴⎩⎪⎨⎪⎧5π3ω≤2π3，8π3ω>2π3，解得52≤ω<4，令－π2＋2k π≤ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－5π6ω＋2k πω≤x ≤π6ω＋2k πω，k ∈Z ，令k ＝0，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6ω，π6ω上单调递增，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π24⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6ω，π6ω， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－5π6ω≤－π4，π6ω≥π24，ω>0⇒0<ω≤103，综上得ω的取值范围是52≤ω≤103.【解析】.(1)f(x)=cos ωx(sin ωx+√3cos ωx)=12sin 2ωx+√32(1+cos 2ωx)=sin(2ωx+π3)+√32.由-1≤sin(2ωx+π3)≤1,得f(x)的值域是[√32-1,√32+1]. (2)∵0≤x ≤π,ω>0,∴π3≤2ωx+π3≤2ωπ+π3,由正弦函数的图象可知,要使f(x)=√32在区间[0,π]上恰有两个实数解,必须2π≤2ωπ+π3<3π,解得56≤ω<43.6.. 如图4-3-4,点A,点B 分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A 从初位置B 0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动.记t 时刻,点A,点B 的纵坐标分别为y 1,y 2.(1)求t=π4时,A,B 两点间的距离;(2)若y=y 1+y 2,求y 关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t ∈(0,π2]时,y 的取值范围.【答案】(1)连接OA,OB,AB,当t=π4时,∠xOA=π2+π3=5π6,∠xOB=π2,所以在△AOB 中,∠AOB=2π3.又OA=1,OB=2,所以AB 2=12+22-2×1×2cos 2π3=7,所以A,B 两点间的距离为√7.(2)依题意,y 1=sin(2t+π3),y 2=-2sin 2t,所以y=sin(2t+π3)-2sin 2t=√32cos 2t-32sin 2t=√3cos(2t+π3), 即函数关系式为y=√3cos(2t+π3)(t>0), 当t ∈(0,π2]时,2t+π3∈(π3,4π3],所以cos(2t+π3)∈[-1,12),故当t ∈(0,π2]时,y ∈[-√3,√32).。

《函数的零点与方程的解》教案、导学案与同步练习

《第四章指数函数与对数函数》《4.5.1函数的零点与方程的解》教案【教材分析】本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。

【教学目标与核心素养】课程目标1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．数学学科素养1.数学抽象：函数零点的概念；2.逻辑推理：借助图像判断零点个数；3.数学运算：求函数零点或零点所在区间；4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结函数零点概念. 【教学重难点】【教学反思】重点：零点的概念，及零点与方程根的联系；难点：零点的概念的形成．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、情景导入①方程的解为，函数的图象与x 轴有个交点，坐标为.②方程的解为，函数的图象与x 轴有个交点，坐标为.2230x x --=223y x x =--2210x x -+=221y x x =-+③方程的解为，函数的图象与x 轴有个交点，坐标为.根据以上结论，可以得到：一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x 轴交点的.你能将结论进一步推广到吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本142-143页，思考并完成以下问题 1.函数零点的定义是什么？2.函数零点存在性定理要具备哪两个条件？3.方程的根、函数的图象与x 轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么? 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．函数的零点对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． [点睛] 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程、函数、图象之间的关系方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0.那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[点睛] 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a )·f (b )＜0.四、典例分析、举一反三题型一求函数的零点2230x x -+=223y x x =-+20(0)ax bx c a ++=≠20(0)y ax bx c a =++=≠()y f x =例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； (3)f (x )＝2x －3；(4)f (x )＝1－log 3x .【答案】（1）-3（2）不存在（3）log 23（4）3．【解析】(1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x 的零点是－3.(2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x －3＝0，解得x ＝log 23. 所以函数f (x )＝2x －3的零点是log 23. (4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3，所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3. 解题技巧：（函数零点的求法）求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x 轴交点的横坐标即为函数的零点.跟踪训练一1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12 D ．0 【答案】D【解析】当x ≤1时，令2x －1＝0，得x ＝0.当x ＞1时，令1＋log 2x ＝0，得x ＝12，此时无解．综上所述，函数零点为0.题型二判断函数零点所在区间例2函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞)【答案】B【解析】∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－23＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．解题技巧：（判断函数零点所在区间的3个步骤）(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练二1.若函数f(x)＝x＋ax(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )A．－2 B．0 C．1 D．3 【答案】A【解析】f(x)＝x＋ax(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.题型三判断函数零点的个数例3判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．【答案】有一个零点【解析】[法一图象法]函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．[法二判定定理法]由于f (1)＝ln1＋12－3＝－2＜0，f (2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1＞0，∴f (1)·f (2)＜0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．解题技巧：（判断函数存在零点的3种方法）(1)方程法：若方程f (x )＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．(2)图象法：由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一坐标系内作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是一条连续不断的曲线，由f (a )·f (b )＜0即可判断函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是单调函数，则函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个零点．跟踪训练三1.函数f (x )＝⎩⎨⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是________．【答案】3【解析】作出g (x )与f (x )的图象如图，由图知f (x )与g (x )有3个交点．四、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本155页2、3、7、11.【教学反思】本节课结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；通过图像进一步掌握零点存在的判定定理.从而解决本节课的三种题型.《4.5.1 函数的零点与方程的解》导学案【学习目标】知识目标1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．核心素养1.数学抽象：函数零点的概念；2.逻辑推理：借助图像判断零点个数；3.数学运算：求函数零点或零点所在区间；4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结函数零点概念.【重点与难点】重点：零点的概念，及零点与方程根的联系；难点：零点的概念的形成．【学习过程】一、预习导入阅读课本142-143页，填写。

基于数学理解设计概念教学——“函数的零点”教学设计与反思

・4・中学数学月刊2020年第11期基于数学理解设计概念教学——“函数的零点”教学设计与反思"高敏（江苏省睢宁高级中学221200）作者简介：高敏，江苏徐州人#998年毕业于江苏师范大学，在江苏省睢宁高级中学执教至今.江苏省评优课一等奖，江苏省优秀教育工作者#019年被评为中小学正高级教师.在省级以上刊物发表论文三十余篇，其中多篇被中国人民大学报刊资料中心全文转载.1 基本情况1. 1 授课对象学生通题一（预备知识）的学形助直观理解概念,进行逻辑推理和独考、合作流的学1. 2 教材分析“函数的零点％第“函数应用”的第一小节内容（数和运用函数的知识：解重点.教学中要学生在熟悉次函数数学情境中，建立函数零点的概念及函数零点解；引导学流,能够用一般性解释具体，抽象总结出零点存在定理，提升学数学和直观核心素养.教学目标（1）结合学习过的具体二次函数图象及二次根题，建数零点解藩；（2）结合具体连续函数及其特点，总结函数零点存“题海战术”与机械学习，从而也就必然地越来越不喜欢数学（喜欢思考.参考文献陈永明.数学习题教学研究［M,.上海:上海教育出版社,2010：2.［2,郑毓信.数学思维与数学方法论［M,.成都：四川教育出版社,2001.罗增儒.数学解题学引论［M ,.西安：陕西师范大学出版社，1997.罗增儒.中学数学解题的理论与实践［M,.南宁:广西教育出版社,2008:71-73.［5, Polya G. On Solving Mathematical Problem in HighSchool ［M,// Problem Solving in School Mathematics ： 1980 Year booH,Resbon,Va ：NCTM, 1980 ：221-222.+, 波利亚.怎样解题［M ,.北京:科学出版社,1982：2-3.在定理;（3）从函数的观点认识方程，提升数学抽象和直观核心素 .教学重k结合二次函数，通题串引导学生交流、探究得数零点解教学难k零点存在定理理解和应用.2 教学过程2 1 创设情境，提出问题问题1 一元二次方程z 2 —2z —1 $ 0的根与二次函数》$力2 — 2z —1?次函数"江苏省中小学教学研究课第十三期课题“基于'超回归'数学理解模型的高中数学概念教学策略研究”（课题批准号2019JK13-L072）研究力》$ z 2 — 2z — 1 工轴交点之间有怎样 1?与二次函数》$ z 2 — 2z — 1 ?设计说明皮里（Susan Pirie ）和基伦（Thomas Kieren ）提出“超回归”数学理解模型,这个模型是以认知观点全面地认识数学理解的理论，它直观地描述了学生理解数学概念的全，将数学理解分为水平，分别为原始认知、产生表象、形成表象、[7, Schoenfeld A. Learning to Think Mathematically :Problem Solving , Metacognition and Sense Making inMlathematics[M,//Grouws D. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning , MacmillanPublishing Company, 1992 ： 354.+,任樟辉.数学 [M ,.南宁：广西教育出版社，1990：281郑毓信.“数学与思维”之深思[M ,.数学教育学报，20151）：1-5[0,波利亚.数学（一）[M ,.内蒙古：内蒙古人民出版社，1980：213.[11,郑毓信.数学方法论[M ,.南宁：广西教育出版社，2008：[12, Schoenfeld A. What is all the fuss about problemsolving [J]. ZDM, 1991,91（1）：4-&2020年第11期中学数学月刊•5•关注性质、形式化、观察反思、结构化和发明创造.学生已有的知识经验是进行理解性学习的前提条件,这里学生的“原始认知”是一元二次方程和二次函数，让学生从熟悉的具体的一元二次方程和二次函数出发，教师通过问题串不断追问的同时，学生对数学知识间的内在联系也越来越明晰，即二次方程的根就是二次函数图象与"轴交点的横坐标，也即是使二次函数的值为0的实数2.2抽象概括，感知概念问题2—元二次方程a"2十("十)=0!$0)的根与二次函数J=a"+bx+c(a$0)的图象有什么关系？请同学们画出函数图象，结合图象找关系.问题3若一元二次方程没有实数解呢？前面我们学习过，使二次函数J=a"2+b"+c(a$ 0)的值为0的实数"称为二次函数J=a"2+bx+c !$0)的零点.问题4二次函数J =a"2'b"'c!$0)的零点是一个点吗？如果不是，为什么叫做零点？一般地，方程*(")=0有实根、函数j=*(")的图象与"轴有交点、函数J=*(")有零点之间是怎样的关系？通过讨论,学生明确了如下概念与结论：(1)函数零点的概念:使函数J=f")的值为0的实数"称为函数J=f")的零点.它是一个实数,不是一点.(2)函数j=f(")的零点就是方程f(")=0的实数解，也即是函数J=f(")的图象与"轴交点的横坐.(3)方程f")=0有实数解(数值特征)口函数j= f(")有零点口函数J=f(")的图象与"轴有公共点(图形特征).设计说明“产生表象”和“形成表象”都属于“表象阶段”，是最重要和最基本的理解水平之一，表象是指数学学习、思考过程中的“心理图形”,“表象”往往比数学概念更加直观具体、生动形象，形式也丰富多样.那么，讲到“函数零点”时，学生头脑中首先反映的应该是函数的图象与函数零点的对应关系.把具体的二次函数抽象为一般的二次函数，再进一步抽象为一般函数，同时也给出了用函数的方法来解决方程解的方法，让学生体会数形结合和转化与化归的基本思想在研究数学问题中的应用.但学生此时的表象有可能是错误的，比如：有些学生会错误地认为零点是一个点，这就需要教师及时引导发现已有表象存在的问题.在这里，通过设计辨析性的问题，让学生进一步观察、交流、讨论，加深对函数零点概念的理解.2.3操作验证，探求归纳问题5通过前面的探究，我们知道函数f")= "2—2"—1存在零点,那么它在区间(2,3)内是否存在零点？结合之前的研究，我们可以从何种角度来探求这个题？设计说明这里首先从渗透解题策略指导的角度发问,学生很容易规范表述：(1)从数值特征出发，求出方程的根，判断它是否在区间(2,3)内-2)从图形特征入手，作出函数图象，判断函数图象与"轴的交点是否在区间(2()内.问题6怎样判断函数图象与"轴的交点是否在区间(2()内？设计说明这个问题,会有学生回答求出交点的横坐标,但很快会意识到这样做就违背了图形特征入手的初衷，或体现不出从图形角度出发的优势.这势必会促进学生进一步进行数学探究,体现逐步递进,为零点存在定理作铺垫，从而发展学生思维的创新性.放手让学生充分讨论，并结合图象把自己的想法表达出来.教学中出现了形象化的表述：函数图象在区间(2,3)内穿过"轴.“表象”只是用来理解和记忆的一种思维媒介，它不能代替语言的精确概括.精确定义数学概念就是模型的第五水平“形式化”.问题7你能否说说零点附近函数值的变化？能否用数学符号表示？设计说明引导学生用数学符号语言零点附近函数值的变化情况，将图形特征再次转化为代数表示.问题8函数图象与"轴的交点是否在区间(—1, 0"内？设计说明由f(2)<0,f(3)〉0到f(—1)>0, f(0)<0,再进一步过渡到f(2)f(3)<0, f(―1)f(0)<0,由特殊到一般，通过具体的函数抽象概括出共同的特征,初步构建函数零点存在定理.数学理解模型的第六个水平“观察评述”就是学生用自己的语言描述概念、性质.学生先做活动，再做表达,当语言表达有困难或表述不清时，再回到活动，捋顺思路，重新表达，活动与表达互补,完成这个水平的理解.问题9如果函数j=f")满足f(.a)f(.b)<0,那么J=f(.")在区间(a,b)内是否一定存在零点？请举例说明.问题10如果函数j=f(")在区间(a,b)内存在零点，否定f(a f(<0？请举例说明.问题11如果函数J=f(")满足f(a)f(b)>0,那么J=f")在区间(a,b)内是否一定没有零点？请举例说明.问题12如果函'j=f(")在区间(a,b)内满足f(.a)f(b)<0,那么函数j=f(")在(a,b)内有多少个零点？请举例说明.设计说明通过提出思辨性的问题,让学生的思维爬升，进一步理解函数零点存在定理.探究过程中通过问题导引打开学生的视角和思路，逐步明确：要确保函数J=f(")在区间(a b)内有零点,需满足f(a)f(b)<0 (要求图象在［a,b］上连续不断(满足f(a)f(b)<0是函数J=f(")在区间(,b)内有零点的充分条件(函数零点存在定理的逆命题不成立(完善、严谨表达函・6・中学数学月刊2020年第11期数零点存在定理.引导学结构化的分析，即数学理解模型的第六个水平“结构化”.数学理解“一步登天％，它需要反复建构，我们应学生通形特、小心求证、扌，强调学积，点燃学情,让学生在思考流的中完善理解、深化认识，学数学知识：（展理解水平（新能力.2.4练习巩固，反思拓展例1函数+"2+1在区间（-2,-1）内有零点吗？在（一2,1）内呢？若把函数变为》="3+"2 -1呢？变为》="3+"2+3呢？先考题，然后借助图形计验证,说出各自零点数.通过例1的，你能得出结论？设计说明例1的设置可以让学生及时巩固函数零点存在定理，通变区间和函数让学生认识到&0只能说明零点存在（条件要条件，同时也不能判断零点数.可以追问：要想确定零点，还需要说明？引导学生借助函数性.数学理解序，通数变和图形计用，为学生提动学习、主动，促进学理解和记忆；问题学生学会反思,在反思中理解,抓住数学，从而建立全面、准确、完整的数学认知结构.例2判断函数*"）=2乂+2"-3是否有零点？若有（？设计说明例2和例1的区别在于:例1给定了区间，而例2没有.学这题要任要确定间，让学生自己动手,想办法找区间，判零点.（1）学生尝试取值，用零点存在定理解答；（2）引导学生数形结合，通过画出函数》=2和%=3—2"（零点；（3）学生借助图形计算器验证零点存在（以零点追问:如何证明零点？学结合函数调性证明函数零点性.“超回归”数学理解模型强调理解需要“回归”，具有“往复性”，“回归”是数学理解发展中少，通地反思、追问、练习，不断重组、建构知识结构，从直观到严形成规范考问题（、严实的科学.问题13你能将函数*"）=2"+2"—3的零点所在间小吗？设计说明为下节课学习“用二分法求方程近似解”做好，埋下伏笔.2.5课堂总结，归纳升华回顾、梳理*了哪些知识点？用到了哪些数学法和法？设计说明通总结，学生能够对整堂课的内理，建统的知识结构.这个活动很重要，学自理知识的形和助于巩固、内化、迁移所学知识，达到系统的、结构性的理解.值得注意这学，不知回答，这需要教师耐心地加强.3回顾与反思3.1教学设计的思路1简单说明了“超回归”数学理解模型几个水平在中的体现.教学的要教师对学要求,学生学习数学以数学理解为最终；设计中要把知识展和学认知发展合,学理解性学习，实现数学理解性教学.132教学反思（1）基于已有的认知结构，创设有意义的情境一方面从学生熟悉的、具体次和二次函数出发，通过观察解释函数之间的联系，凸显根和函数零点，抽象出函数零点的概念,数和形下,让学生体会知识的自；另一面要借助新旧知识认知冲突，让学，维实质性的参（2）问题串引导探究发现，加深理解数学本质学生经历观察（形特征，抽象概念、定理或结论，突出数学直觉，而要实感性到理性，需要学生自己动手，真和，确保学生清楚弄明，通，让概念表准、定理严!（3）反思知识形成的过程与方法，深化数学理解学数学中数学，对知识的形成进行反思：如何理解函数零点的概念和零点存在定理？认识否完整？表否准合理？没地方容易理解，产能否用符号表述？概念和定理的形体现了数学法？效地学生理解概念,整体把握数学，实现数学能力的展，提升学科核心素参考文献中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M,.北京:人民教育出版社,201$章建跃.章建跃教育随［M,.杭州：浙江教育出版社,2017罗新兵，石雪梅.数学理解性学习的条件分析——基于Piri^Kieren数学理解模型的思考［J,.中学数学教学考,201212）。

高中数学函数零点教案

高中数学函数零点教案
目标:
学生能够掌握函数零点的概念以及求解零点的方法。

教学内容:
1. 函数零点的定义
2. 方程求解的方法（因式分解、配方法、二次函数公式）
3. 利用图像法求解零点
教学步骤:
1. 引导学生了解函数零点的定义，即函数图像与X轴的交点。

2. 讲解如何求解函数的零点，分别介绍因式分解、配方法和二次函数公式的应用。

3. 演示练习，让学生在老师的指导下解决一些函数的零点问题。

4. 引导学生通过作图的方法求解函数的零点，讲解如何在函数图像上找到交点。

5. 练习巩固，让学生自主完成一些函数的零点求解问题。

评价方式:
1. 学生的课堂参与度
2. 课堂练习的正确率
3. 课后作业的完成情况
Homework:
1. 完成课后练习
2. 尝试解决更复杂的函数零点问题
备注:
老师在教学过程中要引导学生注意函数零点的概念理解和求解方法，遇到困难要及时给予帮助和指导。

提倡学生多做练习，加深对函数零点的理解和掌握。

高一数学函数的零点与二分法教案

一. 教学内容：函数的零点与二分法二. 学习目标1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。

2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。

三. 知识要点 1、函数的零点一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。

说明：（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零；（2）对于函数的零点问题我们只在实数X 围内讨论；（3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义：函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标．归纳：方程0)x (f =有实数根⇔函数)x (f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)x (f y =有零点．3、函数零点存在性的判定方法对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f <⋅，那么，函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点.即存在()b ,a c ∈，使得0)c (f =，这个c 也就是方程0)x (f =的根。

说明：（1）函数)x (f y =在区间[]b ,a 上有定义；（2）函数的图象是连续不断的一条曲线；（3）函数)x (f y =在区间[]b ,a 两端点的函数值必须满足0)b (f )a (f <⋅；（4）函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点，但不唯一；（5）用判定方法验证函数2x )x (f =，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。

第11讲函数专题2 (教师)

第11讲函数复习专题2.函数图象与零点（教师）一、教学目标：1.会运用函数图象理解和研究函数的性质．2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．3．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解二、重点难点：1.函数图像及运用2.函数零点与方程关系三、教学方法：“一学二记三应用” 四、知识梳理：（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.的图像的画法：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像. 的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于轴翻折上去. 的图象关于对称；的图象关于点对称.的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象五．课前评估：1．[2022·重庆六校联考]函数f (x )＝sin πxx2的大致图象为( )0(0(()()a a a a f x f x a ><−−−−−−−→+向左平移个单位）向右平移个单位）0(0(()()+k k k f x f x k ><−−−−−−−→向上平移k 个单位）向下平移个单位）11(101(()()(0,1)f x f x w ωωωωωω><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的纵坐标不会，横坐标缩短为原来的）图像上所有点的纵坐标不会，横坐标伸长为原来的）1(01(()()(0,1)A A A f x Af x A A ><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的横坐标不会，纵坐标伸长为原来的）图像上所有点的横坐标不会，纵坐标缩短为原来的A ）()f x 0x ≥()y f x =y y ()f x()y f x =x x x ()()f a x f a x +=-()y f x =x =a ()()f a x f a x +=--()y f x =(a,0）()y f x =x (y f x =-）y (-y f x =）-(-y f x =）1y x x=+xyf x () = x +1x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O答案：D 解析：易知函数f (x )＝sinπxx 2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足， 2．[2022·福州质检]若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －1答案：D 解析：与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度，得y ＝e －x 的图象，∴f (x )的图象是由y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.3．[2022·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )A BCD答案：B 解析：∵ y ＝e x －e －x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e>0，排除D 选项．又e>2，∴ 1e <12，∴ e －1e>1，排除C 选项．故选B.题型一识图与辨图例1（1）（2022年高考浙江卷）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是答：D（2）在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-， ()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（）A. B. C. D.（3）（2022年高考全国3卷）函数3222x xxy -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．答：B（4）（2022年高考全国1卷）函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．答：D课堂练习1：（1）（内江市高中2022届第一次模拟考试题）函数()()21=ln 2x f x x e -+-的图象大致是（）2sin cos ++x xx xA. B C. D.答：C （2）．（2022届吉林省五地六校联考高三考前适应卷）已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .题型二图象初等变换例2 （1）（江西省红色七校2022届高三第一次联考理科数学科试题）设，则函数的图象的大致形状是（）答：B（2）已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案：C 解析：由图②知，图象关于y 轴对称，对应的函数是偶函数．对于A ，当x >00a >()y x x a =-时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C选项是正确的．（3）已知函数，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.解析】，函数在处图象有跳跃点，选项AC错误；当（4）．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．（5）[2022·咸宁模拟]已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是图中的()答案：B解析：通解因为y＝a x与y＝log a x互为反函数，而y＝log a x与y＝log a(－x)的图象关于y轴对称，根据图象特征可知选B.优解首先，曲线y＝a x只可能在x轴上方，曲线y＝log a(－x)只可能在y轴左边，从而排除A，C；其次，y＝a x与y＝log a(－x)的增减性正好相反，排除D，选B.（6）（提高）函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除B 、D ；又由当时，函数，排除C ，故选A.[规律方法] 识图常用方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．课堂练习2.（1）.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【解析】根据函数表达式得到,故函数是奇函数，排除D 选项，当x 趋向于正无穷时，函数值趋向于0，并且大于0，排除B ；当x 从左侧趋向于1时，函数值趋向于负无穷，故排除 C.故答案为:A. （2）函数的图象可能是（）A. B. C. D. 【解析】试题分析：化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可．详解：函数f （x ）==，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A ，B ．当x ＜0时，ln （x ﹣2）2＞0，（x ﹣2）3＜0，函数的图象在x 轴下方，排除D ，故选：C ．题型三零点判断与运用例3 （1）[2022·南昌调研]函数f (x )＝2x ＋ln 1的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)答案：B 解析：易知f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x－ln(x －1)在(1，＋∞)上单调递减且连续，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln1＝1，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83，8＝22≈2.828>e ，所以8>e 2，即ln8>2，所以f (3)<0.所以f (x )的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B.（2）．[2022·山东枣庄模拟]函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝x 12与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，如图所示．由图知，两个函数图象只有一个交点，所以函数f (x )的零点只有1个．故选B. a c 若()2019()()f x x a x b =---的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是（） A ． a c b d >>> B ．a b c d >>> C.c d a b >>> D ．c a b d >>>答：由()2019()()f x x a x b =---，又()()2019f a f b ==，c ，d ，为函数()f x 的零点，且a b >，c d >，所以可在平面直角坐标系中作出函数()f x 的大致图像，如图所示，由图可知c a b d >>>，故选D.（4） [2022·河南省实验中学模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为( )A ．3 B ．2 C ．0 D ．4答案： A 解析：y ＝f (f (x ))－1＝0，即f (f (x ))＝1.当f (x )≤0时，得f (x )＋1＝1，f (x )＝0. 所以log 2x ＝0，得x ＝1；由x ＋1＝0，得x ＝－1.当f (x )>0时，得log 2f (x )＝1，所以f (x )＝2.由x ＋1＝2，得x ＝1(舍去)；由log 2x ＝2，得x ＝4. 综上所述，函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为3.故选A. （5）（提高）已知函数,则函数的零点个数是( ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【解析】分析：令函数的零点个数问题的根的个数问题．结合图象可得的根，方程有1解，有3解，有3解.从而得到函数的零点个数详解：令函数的零点个数问题的根的个数问题．即的图象如图，结合图象可得的根方程有1解，有3解，有3解.综上，函数的零点个数是7．故选A.（6）（提高）定义在实数集上的函数满足，当时，，则函数的零点个数为__________．【解析】分析：先根据函数的奇偶性与周期性画出函数的图象，以及的图象，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点.详解：定义在上的函数，满足，上的偶函数，因为满足，函数为周期为的周期函数，且为上的偶函数，因为时，，所以，在上递增，且值域为，根据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象，如图，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点，故答案为.课堂练习3：(1)已知函数f (x )＝1x －a为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解：由函数f (x )＝1x －a为奇函数，可得a ＝0，则g (x )＝ln x －2f (x )＝ln x －2x ，所以g (2)＝ln2－1<0，g (3)＝ln3－23>0，所以g (2)·g (3)<0，可知函数的零点在(2,3)之间。

函数的性质专题讲义

函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

利用导数解决函数零点问题探秘

利用导数解决函数零点问题探秘在紧张的高三复习备考过程中，笔者通过对导数知识的教学及研究，发现导数与函数零点问题有着非常密切的联系，很多的函数零点问题可以通过利用导数的相关知识来解决。

虽然导数方法不是解决零点问题的唯一方法，也不一定是最简单的方法，但在很多时候是一种较为通用的方法，而在近几年各省的高考题中零点问题出现的频率非常高，形式也逐渐多样化，因此，寻求一种解决此类问题的通法，对于目前的高三备考有着十分重要的意义。

下面笔者就零点问题的导数法谈一些粗浅认识，供大家参考。

函数零点是新课程教材新增的内容之一，根据函数零点的定义：对于函数()(),y f x x D =∈把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()(),y f x x D =∈的零点。

即：方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点（横坐标）⇔函数()y f x =有零点。

由此可见，函数零点、方程的实根和函数图像交点的问题相互等价，本质上属于同一类问题，可以归结为同一题型来研究。

对简单函数的零点求解，可以利用定义或二分法求解，也可以借助函数图像、零点存在定理判断零点存在的情况。

对于三次多项式函数或含有超越函数式的零点求解问题却较为复杂，利用一般方程难以解决，需要求导等方法综合应用才能有效解决。

1. 整式（三次或二次）函数的零点问题问题1：(2014年新课标1第11题)已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为( )A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）问题2：(2012年全国卷第10题)已知函数23y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（）（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1问题3：（2009陕西卷文科第20题节选）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠.()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。

函数的零点复习

知识点二、二分法求方程的近似解
1、二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)· f(b)＜0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2、给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证 f(a)· f(b)＜0，给定精确度 ε； ②求区间(a，b)的中点 c； ③计算 f(c)； (ⅰ)若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； (ⅱ)若 f(a)· f(c)＜0，则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))； (ⅲ)若 f(c)· f(b)＜0，则令 a＝c(此时零点 x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度 ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤 ②③④.
9．某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜ 240，x∈N*)，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 A．100 台 B．120 台 C．150 台 D．180 台 ( )
10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10
)
7．若方程 a x x a 0 有两个解，则实数 a 的取值范围是 A． (1, ) B． (0,1) C． (0, )
8．如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线 l 与 AB 相交且 l⊥AB，直线 l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为 y，点 A 到直线 l 的距离为 x，则 y=f（x）的图象大致为 ( )
D．(3,4)
有关二次函数的零点问题

函数与方程之函数零点的个数问题

函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

函数的零点与方程的解讲义

新教材必修第一册4.5.1：函数的零点与方程的解课标解读：1. 函数零点的概念.（理解）2. 0)(=x f 有解与)(x f y =有零点的关系.（理解）3. 函数零点的判断.（理解）学习指导：在熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图像与性质的基础上，提炼方程0)(=x f 的解与函数)(x f y =的图像与x 轴交点的关系，进而理解并准确把握函数零点的概念，以及函数零点、方程的实数解、函数图像与x 轴交点三者之间的关系，并能从“形”（函数图像）与“数”（函数零点存在定理）两个角度分析解决函数零点有关问题.知识导图知识点1：函数的零点1.函数零点的概念对于一般函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.2.函数的零点与方程的解的关系函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数解，也就是函数)(x f y =的图像与x 轴的公共点的横坐标.所以方程0)(=x f 有实数解⇔函数)(x f y =有零点⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有公共点.3.几种常见函数的零点（1）二次函数的零点一元二次方程）（002≠=++a c bx ax 的实数根也称为函数）（02≠++=a c bx ax y 的零点.当0>a 时，一元二次方程02=++c bx ax 的实数根、二次函数c bx ax y ++=2的零点之间的关系如下表所示： ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆ 02=++c bx ax 的实数根a acb b x 2422,1-±-=（其中21x x <）a b x x 221-== 方程无实数根 c bx ax y ++=2的图像c bx ax y ++=2的零点 aac b b x 2422,1-±-= a b x x 221-== 函数无零点类似可得当0<a 的情形.（2）正比例函数)0(≠=k kx y 仅有一个零点0.（3）一次函数)0(≠+=k b kx y 仅有一个零点.kb -（4）反比例函数)0(≠=k x k y 没有零点.（5）指数函数)10(≠>=a a a y x 且没有零点.（6）对数函数）且（00log ≠>=a a x y a 仅有一个零点1.（7）幂函数,a x y =当0>a 时仅有一个零点0；当0≤a 时，没有零点.例1-1：观察如图所示的四个函数图像，指出在)0,(-∞上哪个函数有零点.例1-2：判断下列说法是否正确：（1）函数)102(1)(≤≤-=x x x f 的零点为1；（2）函数x x x f 2)(2-=的零点为（0,0），（2,0）.例1-3：函数x x x f -=3)(的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3例1-4：”“1<m 是“函数m x x x f ++=2)(有零点”的（） A. 充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件知识点2：函数零点存在定理1.函数零点存在定理如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条连续不断的曲线，且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内至少有一个零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的解.2.函数零点存在定理的几何意义.在闭区间],[b a 上有连续不断的曲线)(x f y =，且曲线的起点))(,(a f a 与终点))(,(b f b 分别在x 轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点.3.函数零点的性质如果函数图像通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点.如图（1）所示，210,,x x x 都是变号零点；如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点，如图（2）所示，二次函数2x y =有一个不变号零点（或叫二重零点）.对于任意函数)(x f y =，只要它的图像是连续不断的，则有：（1）当它的图像听过零点且穿过x 轴时，零点两侧的函数值异号；（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.例2-5：若函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（）A.若0)()(>⋅b f a f ，则不存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fB.若0)()(<⋅b f a f ，则只存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fC.若0)()(>⋅b f a f ，则有可能在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fD.若0)()(<⋅b f a f ，则有可能不存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c f。

备考2020年高考数学一轮专题：第11讲函数与方程

备考2020年高考数学一轮专题：第11讲函数与方程一、单选题（共12题；共24分）1. ( 2分) 函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 32. ( 2分) 函数的零点所在区间是( )A. B. C. D.3. ( 2分) 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是( )A. B. C. D.4. ( 2分) 设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内( )A. (0,1)B. (3,4)C. (2,3)D. (1,2)5. ( 2分) 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6. ( 2分) 已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值(精确度为)，则最少需要将区间等分的次数为( )A. 3B. 4C. 5D. 67. ( 2分) 设函数f（x）=2a x﹣b x，其中b≥2a＞0，则f（x）的零点所在区间为（）A. （0，1）B. （0，1]C. （1，2）D. [1，2）8. ( 2分) 设f（x）= ，则函数y=f（f（x））的零点之和为（）A. 0B. 1C. 2D. 49. ( 2分) 设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A. （1，1.25）B. （1.25，1.5）C. （1.5，2）D. 不能确定10. ( 2分) 函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.11. ( 2分) 已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A. f（x0）=0B. f（x0）＞0C. f（x0）＜0D. f（x0）的符号不确定12. ( 2分) 方程有解，则a的最小值为（）A. 2B.C. 1D.二、填空题（共4题；共4分）13. ( 1分) 设函数f（x）= ，若f（α）=5，则实数α的值为________．14. ( 1分) 若函数f（x）=2x+x﹣7在区间（k，k+1）（k∈Z）上存在零点，则k的值等于________．15. ( 1分) 已知函数f（x）=2x+x﹣5，那么方程f（x）=0的解所在区间是（n，n+1），则n=________．16. ( 1分) 已知函数f（x）=2x+ x﹣5在区间（n，n+1）（n∈N+）内有零点，则n=________．三、解答题（共6题；共55分）17. ( 5分) 关于x的方程2x2﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，求实数k的取值范围．18. ( 5分) 已知函数．（Ⅰ）证明：y=f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=﹣2x+1的根在区间（k，k+1）（k∈Z）内，求k的值．19. ( 10分) 已知函数.（1）证明有且只有一个零点；（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.20. ( 10分) 设函数f（x）=ax2+bx+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的零点；（2）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．21. ( 10分) 已知函数f（x）=2a•4x﹣2x﹣1．（1）若a=1，求当x∈[﹣3，0]时，函数f（x）的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=0有实数根，求实数a的取值范围．22. ( 15分) 已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知R且，，求证：方程在区间上有实数根.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】二分法的定义【解析】【解答】解：∵函数f（x）=e x+x﹣2在区间（0，1）内单调递增，∵f（0）=1+1﹣3=﹣1＜0，且f（1）=e+1﹣3＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点，故答案为：B【分析】利用二分法的定义可得函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点。

函数零点的判定定理-高中数学知识点讲解(含答案)

函数零点的判定定理（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019•海淀区一模）若0x 是函数21()log f x x x=-的零点，则( ) A ．010x -<<B ．001x <<C ．012x <<D ．024x <<2．（2019秋•西城区校级期中）函数3()23f x x x =--一定存在零点的区间是( ) A ．(2,)+∞B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(1,0)-3．（2019秋•海淀区校级期中）已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，具有如下对应表：那么函数()f x 一定存在零点的区间是( ) A ．(,1)-∞B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．（2019秋•海淀区校级期中）若函数()()a f x x a R x=+∈在区间(1,2)上恰有一个零点，则a 的值可以是( )A ．2-B ．0C ．1-D ．35．（2019秋•海淀区校级期中）定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-，则函数()f x 的零点个数为() A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共8小题）6．（2018•大兴区一模）能使函数32()32f x x a x =-+有3个零点的一个a 值为．7．（2018•西城区二模）已知函数2,1()1,12x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩，其中a R ∈．如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是．8．（2017•东城区二模）已知函数()126f x nx x =+-的零点在区间(2k ，1)()2k k Z +∈内，那么k = ．9．（2016秋•大兴区期末）函数2()2f x x x a =-+在区间(2,0)-和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是． 10．（2017秋•西城区校级期中）方程4lgx x +=的根0(,1)x k k ∈+，其中k Z ∈，则k = ． 11．（2017•顺义区二模）已知函数32,(),x x mf x x x m⎧=⎨>⎩，函数()()g x f x k =-．（1）当2m =时，若函数()g x 有两个零点，则k 的取值范围是；（2）若存在实数k 使得函数()g x 有两个零点，则m 的取值范围是． 12．（2017秋•西城区校级期中）函数24x y =-的零点是． 13．（2017•丰台区一模）已知函数(2)(),1()1, 1.x a a x x f x a x --⎧⎪=-> （1）若0a =，[0x ∈，4]，则()f x 的值域是；（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是．三．解答题（共2小题）14．（2016秋•西城区期末）已知函数()3x f x =，()||3g x x a =+-，其中a R ∈．（Ⅰ）若函数()[()]h x f g x =的图象关于直线2x =对称，求a 的值；（Ⅱ）给出函数[()]y g f x =的零点个数，并说明理由．15．（2017秋•海淀区校级月考）已知函数()1f x xlnx =-，()(1)1g x a x =--．（Ⅰ）求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅱ）若曲线()y f x =与()y g x =有两个交点，求实数a 的取值范围．函数零点的判定定理（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019•海淀区一模）若0x 是函数21()log f x x x=-的零点，则( ) A ．010x -<时，是增函数，可得：f （1）10=-<，f （2）1102=->，所以f （1）f （2）0<，函数的零点在：(1,2)．故选：C ．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．2．（2019秋•西城区校级期中）函数3()23f x x x =--一定存在零点的区间是( ) A ．(2,)+∞B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(1,0)-【分析】由已知可检验f （1）40=-<，f （2）10=>，结合零点判定定理即可求解．【解答】解：3()23f x x x =--，f ∴（1）40=-<，f （2）10=>，由函数零点判定定理可知，函数在(1,2)上一定存在零点．故选：B ．【点评】本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题．3．（2019秋•海淀区校级期中）已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，具有如下对应表：那么函数()f x 一定存在零点的区间是( ) A ．(,1)-∞B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【分析】由所给的表格可得f （2）f （3）0<，根据函数零点的判定定理可得函数()f x 一定存在零点的区间．【解答】解：由所给的表格可得f （3） 3.5=-，f （2） 2.9=，f （2）f （3）0<，根据函数零点的判定定理可得函数()f x 一定存在零点的区间是(2,3)，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4．（2019秋•海淀区校级期中）若函数()()af x x a R x=+∈在区间(1,2)上恰有一个零点，则a 的值可以是( )A ．2-B ．0C ．1-D ．3【分析】由已知可转化为2a x =-在(1,2)只有一个零点，然后结合二次函数的性质可求a 的范围．【解答】解：由()0af x x x=+=可得，2a x =-，由函数()()af x x a R x=+∈在区间(1,2)上恰有一个零点，可知2a x =-在(1,2)只有一个零点，当(1,2)x ∈时，2(4,1)y x =-∈--，41a ∴-<<-，结合选项可知，A 符合题意．故选：A ．【点评】本题主要考查了函数零点的简单应用，体现了转化思想的应用．5．（2019秋•海淀区校级期中）定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-，则函数()f x 的零点个数为() A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】先求出当0x 时，2()2f x x x =-的零点，然后根据()f x 为奇函数，图象关于原点对称即可求解．【解答】解：当0x 时，2()20f x x x =-=可得，0x =或2x =， ()f x 为奇函数，(2)f f ∴-=-（2）0=，从而函数()f x 有3个零点：0，2，2-．故选：D ．【点评】本题主要考查了奇函数的对称性及函数零点的求解，属于基础试题．二．填空题（共8小题）6．（2018•大兴区一模）能使函数32()32f x x a x =-+有3个零点的一个a 值为 2 ．【分析】求出()f x 的单调性和极值，令极大值大于0，极小值小于0求出a 的范围即可．【解答】解：2222()333()f x x a x a '=-=-，令()0f x '=可得x a =±，若0a =，则()0f x '，()f x 单调递增， ()f x ∴只有1个零点，不符合题意；若0a >，则()f x 的极大值3()22f a a -=+，()f x 的极小值为f （a ）322a =-+，若()f x 有3个零点，则33220220a a ⎧+>⎨-+<⎩，解得1a >．若0a <，则()f x 的极大值为f （a ）322a =-+，极小值为3()22f a a -=+，若()f x 有3个零点，则33220220a a ⎧-+>⎨+<⎩，解得1a <-．故a 的取值范围是(-∞，1)(1-⋃，)+∞．故答案为：2（不唯一）．【点评】本题考查了函数零点个数与函数单调性、极值的关系，属于中档题．7．（2018•西城区二模）已知函数2,1()1,12x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩，其中a R ∈．如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是 1[2,)2-- ．【分析】通过分段函数，利用指数函数以及一次函数，利用函数的值域，转化求解即可．【解答】解：1x 时，2(x y a a =+∈，2]a +， 1x >时，11(22y x a a =+∈+，)+∞，两个函数都是增函数，函数()f x 恰有两个零点，可得：1220a a ⎧+<⎪⎨⎪+⎩，解得[2a ∈-，1)2-．故答案为：[2-，1)2-．【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的值域，分段函数的应用，考查计算能力． 8．（2017•东城区二模）已知函数()126f x nx x =+-的零点在区间(2k ，1)()2k k Z +∈内，那么k = 5 ．【分析】函数()26f x lnx x =+-在其定义域上连续单调递增，从而利用函数的零点的判定定理求解即可．【解答】解：函数()26f x lnx x =+-在其定义域(0,)+∞上连续单调递增， f （1）12640ln =+-=-< f （2）246220ln ln =+-=-<， f （3）36630ln ln =+-=>；∴根据零点存在定理，0(2,3)x ∃∈，使得0()0f x =．555()10222f ln ln lne =-=-< 05(2x ∴∈，3)∴522k =即5k = 故答案为：5．【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用．注意函数的单调性以及函数的连续性的判断．9．（2016秋•大兴区期末）函数2()2f x x x a =-+在区间(2,0)-和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是 30a -<< ．【分析】函数2()2f x x x a =-+在区间(2,0)-和(2,3)内各有一个零点，由二次函数的性质知(2)0(0)0(2)0(3)0f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩，解此不等式求出实数a 的取值范围【解答】解：函数2()2f x x x a =-+在区间(2,0)-和(2,3)内各有一个零点， ∴由二次函数的性质知(2)0(0)0(2)0(3)0f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩，即400030a a a a +>⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪+>⎩30a ∴-<<故答案为30a -<<【点评】本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．10．（2017秋•西城区校级期中）方程4lgx x +=的根0(,1)x k k ∈+，其中k Z ∈，则k = 3 ．【分析】构造函数，利用函数的单调性以及函数的连续性，通过零点判断定理求解即可．【解答】解：令()4f x lgx x =+-，则由题意0()0f x =，且()f x 在(0,)+∞上单调递增．f （1）11430lg =+-=-<，f （2）220lg =-<，f （3）310lg =-<，f （4）40lg =>，由零点存在定理可知0(3,4)x ∈，故3k =．故答案为：3．【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，是基本知识的考查． 11．（2017•顺义区二模）已知函数32,(),x x mf x x x m ⎧=⎨>⎩，函数()()g x f x k =-．（1）当2m =时，若函数()g x 有两个零点，则k 的取值范围是 (4，8] ；（2）若存在实数k 使得函数()g x 有两个零点，则m 的取值范围是．【分析】（1）分别画出()y f x =与y k =的图象，如图所示，若函数()g x 有两个零点，由图象可得48k <，（2）分类讨论，当0m 时，只要32m m >即可，当0m <都存在【解答】解：（1）当2m =时，分别画出()y f x =与y k =的图象，如图所示，若函数()g x 有两个零点，由图象可得48k <，故k 的取值范围是(4，8]（2）当0m 时，3y x =在(-∞，]m 为增函数，最大值为3m ，2y x =在(,)m +∞为增函数，最小值为2m ，若存在实数k 使得函数()g x 有两个零点，则32m m >，解得1m >，当0m <时，2y x =在(,0)m 上为减函数，在(0,)+∞为增函数，故若存在实数k 使得函数()g x 有两个零点，综上所述m 的取值范围为(-∞，0)(1⋃，)+∞，故答案为：（1）：(4，8]，（2）：(-∞，0)(1⋃，)+∞【点评】本题考查了分度函数以及函数零点的问题，常采用数形结合法，属于中档题 12．（2017秋•西城区校级期中）函数24x y =-的零点是 2 ．【分析】根据题意，由函数的解析式可得240x -=，解可得x 的值，即可得函数的零点，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数24x y =-，令240x -=，解可得：2x =，即函数24x y =-的零点是2；故答案为：2．【点评】本题考查函数的零点，注意函数的零点与方程的根的关系． 13．（2017•丰台区一模）已知函数(2)(),1()1, 1.x a a x x f x a x --⎧⎪=->（1）若0a =，[0x ∈，4]，则()f x 的值域是 [1-，1] ；（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是．【分析】（1）求出()f x 在[4-，4]上的单调性，利用单调性求出最值即可得出值域；（2）对x 讨论，分别求出()f x 的零点，令其零点分别在对应的定义域上即可．【解答】解：（1）0a =时，2,1()1,1x x f x x ⎧-⎪=>，()f x ∴在[0，1]上单调递减，在(1，4]上单调递增， (0)0f =，f （1）1=-，f （4）1=，()f x ∴在[0，1]上的值域是[1-，0]，在(1，4]上的值域是(0，1]， ()f x ∴在[0，4]上的值域是[1-，1]．（2）当1x 时，令()0f x =得2x a =或x a =，当1x >时，令()0f x =1a =-，2(1)(11)x a a ∴=-->， ()f x 恰好有三个解， ∴22112(1)111a a a a a a ⎧⎪⎪⎪≠⎨⎪->⎪->⎪⎩，解得0a <．故答案为：[1-，1]；(,0)-∞．【点评】本题考查了基本初等函数的单调性，函数零点的计算，属于中档题．三．解答题（共2小题）14．（2016秋•西城区期末）已知函数()3x f x =，()||3g x x a =+-，其中a R ∈．（Ⅰ）若函数()[()]h x f g x =的图象关于直线2x =对称，求a 的值；（Ⅱ）给出函数[()]y g f x =的零点个数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）函数||3()[()]3x a h x f g x +-== 的图象关于直线2x =对称，则(4)()|||4|h x h x x a x a -=⇒+=-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数[()]|3|3x y g f x a ==+-的零点个数，就是函数()|3|x G x a =+与3y =的交点，分①当03a <时；②当3a 时；③30a -<时；④当3a <-时，画出图象判断个数．【解答】解：（Ⅰ）函数||3()[()]3x a h x f g x +-== 的图象关于直线2x =对称，则(4)()|||4|h x h x x a x a -=⇒+=-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数[()]|3|3x y g f x a ==+-的零点个数，就是函数()|3|x G x a =+与3y =的交点，①当03a <时，()|3|3x x G x a a =+=+与3y =的交点只有一个，即函数[()]y g f x =的零点个数为1个（如图1)； ②当3a 时，()|3|3x x G x a a =+=+与3y =没有交点，即函数[()]y g f x =的零点个数为0个（如图1)； ③30a -<时，()|3|x G x a =+与3y =的交点只有1个（如图2)； ④当3a <-时，()|3|x G x a =+与3y =的交点有2个（如图2)；【点评】本题考查了函数的零点，把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法，属于中档题． 15．（2017秋•海淀区校级月考）已知函数()1f x xlnx =-，()(1)1g x a x =--．（Ⅰ）求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅱ）若曲线()y f x =与()y g x =有两个交点，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数零点与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数进行判断即可．（Ⅱ）将函数交点个数转化为方程根的个数，构造函数，求出函数的导数求函数的切线，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，由()0f x =得10xlnx -=，即1xlnx =，即1lnx x=，作出两个函数y lnx =和1y x=的图象如图：则两个图象在(0,)+∞上只有一个交点，即()f x 有且只有一个零点．（Ⅱ）若曲线()y f x =与()y g x =有两个交点，即方程()()f x g x =有两个交点，即1(1)1xlnx a x -=--，得(1)xlnx a x =-，有两个根，当1x =时，方程成立，即当1x ≠时，方程还有一个根，设()h x xlnx =， 1()1h x lnx xlnx x'=+=+，由()0h x '>得10lnx +>，得1lnx >-，得1x e>，此时单调递增， ()0h x '<得10lnx +<，得1lnx <-，得10x e<<，此时单调递减，作出函数()h x 的图象如图：则在(1,0)处h '（1）111ln =+=，则过(1,0)且的切线斜率1k =，要使(1)y a x =-与()h x 在1x ≠时，还有一个交点，则0a >且1a ≠即可，即实数a 的取值范围是0a >且1a ≠．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象交点个数问题以及构造函数求出函数的切线，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．第11页（共11页）。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解11---函数的零点与方程的解

高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的零点与方程的解考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．(×)(2)连续函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，则f (a )·f (b )<0.(×)(3)函数y ＝f (x )为R 上的单调函数，则f (x )有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若b 2－4ac <0，则f (x )无零点．(√) 教材改编题1．函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为()A ．－14B ．0C.14D ．0或－14答案D解析当a ＝0时，f (x )＝－x －1，令f (x )＝0得x ＝－1，故f (x )只有一个零点为－1.当a ≠0时，则Δ＝1＋4a ＝0，∴a ＝－14. 综上有a ＝0或－14.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________．答案－2，e解析⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________．答案(3,6)解析设f (x )＝2x ＋x ，∴f (x )在(1,2)上单调递增，又f (1)＝3，f (2)＝6，∴3<k <6.题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点所在的区间为()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3>0，故f (x )在(2,3)上有唯一零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间()A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案A解析函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )() A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点答案D解析f (x )的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e 3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析设f (x )＝log 3x －3＋x ，当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2，又∵f (2)＝log 32－1<0，f(3)＝log33－3＋3＝1>0，故f(2)·f(3)<0，故方程log3x＝3－x在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a<3<b<4，函数y＝log a x与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.答案2解析依题意x0为方程log a x＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝log a x＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log a2＋2－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>0，∴x0∈(2,3)，即n＝2.题型二函数零点个数的判定例2(1)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是()A．9B．10C．11D．18解析由函数y ＝f (x )的性质，画出函数y ＝f (x )的图象，如图，再作出函数y ＝|lg x |的图象，由图可知，y ＝f (x )与y ＝|lg x |共有10个交点，故原函数有10个零点．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______．答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6，∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2. 故f (x )共有6个零点．教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．4解析令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象(图略)，由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象有两个交点，即原函数有2个零点．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是() A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析当x >0时，作出函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0，得x ＝－14.综上，f (x )有3个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln (－x )，x <0，x ＋2x，x >0，若关于x 的方程f (x )－m －1＝0恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，22]B ．(－∞，22－1)C ．(22－1，＋∞)D ．(22，＋∞)答案C解析恰有三个不同的实数解等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ＋1有三个公共点．作出f (x )的图象如图所示．由图可知，y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ＋1有三个公共点时有m ＋1>22，解得m >22－1，所以实数m 的取值范围为(22－1，＋∞)．命题点2根据函数零点范围求参数例4(2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋ax x .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ 答案B解析由f (x )＝3x－1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x ，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x－1x >0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________．答案－1 解析由f (x )＝x x ＋2－kx 2＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2－kx ，函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0. 即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根．显然k ≠0，即1k ＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k >－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k ＝－1，即k ＝－1时满足条件．当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 无交点，不满足条件．2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 解析依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝e x －ax 2(a ∈R )有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 4，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 22，＋∞ 答案C解析令f (x )＝e x －ax 2＝0，显然x ≠0，∴a ＝e xx 2，令g (x )＝e x x 2(x ≠0)，则问题转化为“若y ＝a 的图象与y ＝g (x )的图象有三个交点，求a 的取值范围”．∵g ′(x )＝(x －2)e xx 3，令g ′(x )＝0，解得x ＝2，∴当x <0或x >2时，g ′(x )>0，g (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，当0<x <2时，g ′(x )<0，g (x )在(0,2)上单调递减，g (x )在x ＝2处取极小值g (2)＝e 24，作出y ＝g (x )的简图，由图可知，要使直线y ＝a 与曲线g (x )＝e x x 2有三个交点，则a >e 24，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞. (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0 答案D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎨⎧ m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0. 因此，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0. 课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点所在的区间为() A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案B解析由题意知，f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2， f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3 答案A解析取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4×278＋32－8＝7>0，所以方程近似解x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1－1，x <2，log 3x 2－13，x ≥2，则f (x )的零点为()A ．1,2B ．1，－2C ．2，－2D ．1,2，－2答案A解析当x <2时，令f (x )＝e x －1－1＝0，即e x －1＝1，解得x ＝1，满足x <2；当x ≥2时，令f (x )＝log 3x 2－13＝0，则x 2－13＝1，即x 2＝4，得x ＝－2(舍)或x ＝2.因此，函数y ＝f (x )的零点为1,2.4．若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案C解析由条件可知f (1)·f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.5．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为() A ．[－3,0) B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案A解析因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．6．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，设0<a cC ．x 0<cD ．x 0>b答案B解析f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0，得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．7．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数不可能是()A ．1B ．2C ．4D ．6答案D解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是()A．2B．3C．4D．多于4答案C解析f(x)＝log3|x|的解的个数，等价于y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且f(x)为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点．9．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________.答案x 3－x (答案不唯一)解析f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案(1,2)解析画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1e 解析∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e 2， f (x )＝ln x (x >1)，f ′(x )＝1x ，设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ，解得t ＝e.∴k 2＝1e .则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1e . 12．(2022·安徽名校联盟联考)已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1的零点分别为a ，b ，则a ＋b ＝________.答案－1解析由已知得y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x －1的交点横坐标分别为a ，b ，又y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，且y ＝－x －1与y ＝x 交点横坐标为－12，故a ＋b ＝－1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为()A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案B解析令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案12解析当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝1 2；当x>0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是________．(填序号)①f(x)＝2x＋x；②g(x)＝x2－x－3；③f(x)＝12x＋1；④f(x)＝|log2x|－1.答案②③④解析对于①，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故①中函数不是“不动点”函数；对于②，若g(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故②中函数是“不动点”函数；对于③，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故③中函数是“不动点”函数；对于④，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故④中函数是“不动点”函数．16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2 解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e ，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.。

2024函数的零点说课稿范文

2024函数的零点说课稿范文今天我说课的内容是《2024函数的零点》，下面我将就这个内容从以下几个方面进行阐述。

一、说教材1、《2024函数的零点》是高中数学教材中的一节课，涉及到函数的零点的概念和求解方法。

掌握函数的零点概念和求解方法是理解函数性质和应用的基础，也是数学知识的重要组成部分。

2、教学目标根据课程标准和学生的学情，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解函数的零点的定义和意义，掌握求解函数零点的方法。

②能力目标：能够独立分析和解决与函数零点相关的问题。

③情感目标：培养学生对数学的兴趣和对实际问题的探索精神。

二、说教法学法在教学过程中，我将采用启发式教学法和探究式学习法。

通过引导学生自主思考和探索，培养学生的思维能力和问题解决能力。

同时，我也会采用小组合作学习方法，促进学生之间的交流和合作。

三、说教学准备为了更好地开展教学活动，我准备了多媒体课件和教学素材，以直观呈现教学内容，提高教学效果。

同时，我还准备了相关的练习题和课堂活动，以 cons 加强学生的实际应用能力。

四、说教学过程1、引入我会通过一个生活实例引出函数的零点的概念，比如说让学生想象一辆车在行驶过程中的速度与时间的关系，引导他们思考在什么时间速度为0，这就是函数的零点。

通过引入生活实例，激发学生的兴趣，提高学习的积极性。

2、讲解首先我会简要介绍函数的定义和性质，然后重点讲解函数的零点的概念和求解方法。

我会通过数学公式和图示来说明函数的零点的概念和求解方法，让学生理解函数零点的意义和求解的步骤。

3、探究在讲解的基础上，我会设计一些探究性的问题，让学生通过思考和讨论来发现规律和解决问题。

例如，给出一个函数的表达式，让学生找出它的零点，并讨论函数的图像与零点的关系。

通过探究，学生可以更深入地理解函数的零点的性质和用途。

4、实践应用为了加强学生的应用能力，我会设计一些实际问题让学生应用所学知识来解决。

例如，给出一个实际问题，让学生通过求解函数的零点来解决。

专题11 导数压轴题之隐零点问题(解析版)-2020-2021学年高二数学导数知识题型全归纳

导数章节知识全归纳专题11 导数压轴题中有关隐零点问题一．隐零点问题知识方法讲解：1.“隐零点”概念：隐零点主要指在研究导数试题中遇到的对于导函数f ’(x)=0时，不能够直接运算出来或是不能够估算出来，导致自己知道方程有根存在，但是又不能够找到具体的根是多少，通常都是设x=x 0，使得f ’(x)=0成立，这样的x 0就称为“隐藏零点”。

2.“隐零点”解决方向：针对隐零点问题通常解决步骤：1.求导判定是否为隐零点问题，2.设x=x 0，使得f ’(x)=0成立，3.得到单调性，并找到最值，将x 0带入f(x),得到f(x 0),4.再将x 0的等式代换，再求解（注意：x 0的取值范围）二．隐零点问题中的典型例题：典例1．已知函数()ln f x x =，．（1）求在的极值；（2）证明：在有且只有两个零点．解：（1）由()12cos g x x '=-，()0,x π∈，当时，()0g x '<，此时函数单调递减，当时，()0g x '>，此时函数单调递增，所以，函数的极小值为33g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）证明：，其中02x π<<.则()112cos h x x x '=-+，令()12cos 1x x x ϕ=+-，则()212sin x x xϕ'=--. 当()0,x π∈时，()212sin 0x x x ϕ'=--<，则在上单调递减， 303πϕπ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，2102πϕπ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以，存在，使得()()000x h x ϕ'==.当时，()0h x '>，此时函数在上单调递增，当时，()0h x '<，此时函数在上单调递减.()()0h x h x ∴=极大值,而，，则()003h x h π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，又，令()ln 1m x x x =-+，其中，则()1110x m x x x -'=-=>，所以，函数在上单调递增，则()()10m x m <=，所以，.由零点存在定理可知，函数在上有两个零点；当[),2x ππ∈时，2sin 0x ≤，，设，则对任意的[),2x ππ∈恒成立，所以，，所以，函数在上没有零点，综上所述，函数在上有且只有两个零点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 典例2．已知函数在处的切线与直线：(π)1y a x =-+平行．（1）求的值；（2）若()()2cos p x f x x =-，试讨论在上的零点个数．解：（1）在处的切线与直线：(π)1y a x =-+平行，则有()1πf a '=-，，则（2），，π()2sin p x x a x '=+-，令，则2π()2cos g x x x'=-+，当时，cos 0x ≤且，则2π()2cos 0g x x x '=-+<，则在单调递减，，，当时，且()()p x g x '=在单调递减，则()0p x '≤，在单调递减，，，由于，则，在单调递减，则有一个零点，当时，3π02p ⎛⎫'≥ ⎪⎝⎭，由于()()=p x g x '在单调递减，则()0p x '≥，在单调递增，，则π()02p x p ⎛⎫≥>⎪⎝⎭，则在无零点，当时，，3π02p ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，在单调递减，则存在0π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()0p x '=，当，()0p x '>，单调递增，当，()0p x '<，单调递减，，，若，则由，及的增减性可得：在无零点，此时，若，由，和的增减性可得：在有一个零点，此时，综上，当时，在无零点，当时，在有一个零点．【点睛】关键点点睛：本题第二问考查利用导数分析函数的零点个数问题，解答此问题的关键在于多次求导以及分类讨论思想的运用；当原函数的导函数无法直接判断出正负时，可先通过将原函数的导函数看作新函数，利用导数思想先分析的单调性以及取值正负，由此确定出的单调性并分析其取值正负，从而的正负可分析，则根据的单调性以及取值可讨论零点个数.典例3.已知函数()e sin 1x f x x =+-.（1）判断函数f (x )在上的零点个数，并说明理由；（2）当[0,)x ∈+∞时，()0f x mx +，求实数m 的取值范围.解：（1）解法一：由题意得，()e cos x f x x '=+，当时，易得函数单调递增，而()e 10f ππ--=-<'，2e 02f ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭'，故()00,,02x f x ππ⎛⎫∃∈--= ⎪⎝'⎭，当时，()0f x '<；当时，()0f x '>，而2()e 10,e 202f f ππππ--⎛⎫-=-<-=-< ⎪⎝⎭， ∴函数f (x )在上无零点；当时，()e cos 0x f x x =+>'，∴函数f (x )在上单调递增，而(0)0f =，∴函数f (x )在上有1个零点.综上所述，函数f (x )在上有1个零点.（2）令()()e sin 1x g x f x mx x mx =+=++-，[0,)x ∈+∞，则()e cos x g x x m =++'.，，令()()e cos x h x g x x m +'==+，()e sin x h x x =-'因为时，0()e sin010h x =-=>'，当时，，，()e sin 110x h x x =>-'-=，所以()e sin 0x h x x -'=>在上恒成立，则h (x )为増函数，即为增函数①当，即时，，∴g (x )在上为增函数，()(0)0g x g ∴=，即在上恒成立；②当m +2<0，即m <-2时，(0)20g m =+<'，，使()00g x '=，当为增函数；当为减函数，()0(0)0g x g ∴<=，与在上恒成立相矛盾，不成立.综上所述，实数m 的取值范围是.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．典例4.设函数()2ln x f x e a x =-.（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；（Ⅰ）证明：当时()22ln f x a a a≥+. 解：（∴）的定义域为，()2()=20x a f x e x x '->. 当时,()0f x '>，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又()0f a '>,当b 满足且时，()0f b '<,故当时，存在唯一零点.（∴）由（∴），可设在的唯一零点为，当()00x x ∈，时，()0f x '<;当()0+x x ∈∞，时，()0f x '>. 故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为. 由于，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a++≥+. 故当时，.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.典例5．已知函数()()ln 1x a f x e x x a -=--∈R .（1）若，讨论的单调性；（2）令，讨论的极值点个数.解：（1）若，则()1ln 1x f x ex x -=--，其定义域为，()1ln 1x f x ex -'=--.令，则，易知在上单调递增，且()10m '=，所以当()0,1x ∈时，()0m x '<，在上单调递减，当()1,x ∈+∞时，，在上单调递增，因此()()10m x m ≥=，即()0f x '≥，所以在上单调递增.（2）由题意知，，则()ln x a g x e x a -'=--，由（1）知，1ln 10x e x ---≥，当时，()ln ln 10x a x a g x e x a e x --'=--≥--≥，所以在上单调递增，此时无极值点.当时，令()()ln x a h x g x e x a -'==--，则，易知在上单调递增，又()1110a h e -'=-<，，故存在()01,x a ∈，使得()00010x a h x e x -'=-=，此时有，即，当()00,x x ∈时，()0h x '<，在上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，在上单调递增，所以()()00000min 01ln 2ln x a h x h x e x a x x x -==--=--. 令()12ln x x x xϕ=--，，易知在上单调递减，所以，即()00h x <.因为，，且0013a e x a a -<<<<<，所以存在()10,a x e x -∈，()20,3x x a ∈，满足，所以当()10,x x ∈时，()()0g x h x '=>，在上单调递增，当()12,x x x ∈时，()()0g x h x '=<，在上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()()0g x h x '=>，在上单调递增，所以当时，存在两个极值点.综上，当时，不存在极值点；当时，存在两个极值点.【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键有：（1）当时，合理利用第（1）问中得到的1ln 10x e x ---≥以及不等式的性质得到()0g x '≥；（2）当时，灵活构造函数，并根据等式将代换掉，得到()()090min 12ln nh x h x x x x ==--，最后巧妙取点，利用零点存在定理得到的零点，从而得到结果. 变式1．已知函数()()x f x e ax a =-∈R .（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数()()cos g x f x x =-在上的零点个数. 解：（1）()x f x e ax =-，其定义域为，()x f x e a '=- ①当时，因为()0f x '>，所以在上单调递增， ②当时，令()0f x '>得，令()0f x '<得所以在上单调递减，上单调递增，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，单调递增，（2）已知得()2cos x g x e x x =--，则()sin 2x g x e x '=+-①当时，因为()()1(sin 1)0x g x e x '=-+-< 所以在单调递减，所以()()00g x g >=，所以在上无零点；②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使()00g x '=当()00,x x ∈时，()0g x '<，当时，()0g x '>所以在递减递增，且()00g =，所以()00g x <，又因为所以所以在上存在一个零点，所以在上有两个零点；③当时，，所以在单调递增因为，所以在上无零点；综上所述，在上的零点个数为个.【点睛】方法点睛：函数的零点问题常见的解法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令得到()()g x h x =，再研究函数(),()g x h x 图象性质即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.变式2．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．解：（1）由题意知：定义域为：且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+， ()()21sin 1g x x x '∴=-++，在上单调递减，在上单调递减在上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= 当时，()0g x '>；时，()0g x '<即在上单调递增；在上单调递减则为唯一的极大值点即：在区间上存在唯一的极大值点.（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知在上单调递增 ()()00f x f ''∴≤= 在上单调递减又()00f =为在上的唯一零点②当时，在上单调递增，在上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>在上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '= 在上单调递增，在上单调递减又()()000f x f >=，()0f x ∴>在上恒成立，此时不存在零点③当时，单调递减，单调递减在上单调递减又，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<即，又在上单调递减在上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()sin ln 10x x ∴-+<即在上不存在零点综上所述：有且仅有个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.变式3．已知函数3()sin(),2f x ax x a R=-∈且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明解：(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),对于任意的x∴(0,)，有sinx+xcosx>0,当a=0时,f(x)=− ，不合题意；当a<0时,x∴(0,),f′(x)<0,从而f(x)在(0,)单调递减，又函数f(x)=axsinx− (a∴R)在[0,]上图象是连续不断的，故函数在[0,]上的最大值为f(0)，不合题意；当a>0时,x∴(0,),f′(x)>0,从而f(x)在(0,)单调递增，又函数f(x)=axsinx− (a∴R)在[0,]上图象是连续不断的，故函数在[0,]上上的最大值为f()=a−=，解得a=1，综上所述,得3()sin(),2f x x x a R=-∈；(2)函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。