材料力学第七章__应力和应变分析__强度理论

'''
xy
dl sin
2 xy
(x y)s2 in xc y 2 o
xysi2 nxyco2s
22
2
二、应变圆
x 2yx 2yc2 o s2 xy si2 n
xysi2 nxy co 2 s
22
2
(x 2y)2 (2 )2x 2ys2 in (2 x)y
t x'y'
R1 2
sxsy t 242 xy
R c
s x'
应
力
圆
sx s y
2
应2
变 圆
C( x y ,0) 2
R C
R ( x
) ( ) y 2
xy 2
2
2
三、最大应变与主应变
m m a in x1 2[(xy)(xy)2x 2y ]
Tan2
xy
0
x
y
1 ()22]
（2）求变形后的筒壁厚度 由于k点处的径向方向即为z方向，且 sz=s2=0，所以
z [sz (sx sy)/]E 0
薄壁圆筒纯扭转变形时，筒内任一点 都处在纯剪切应力状态。用类似方法 可推知筒壁中任一点处（该点到圆心 的距离为 ）的径向应变为
εzρE(τρτρ)0
因此，该薄壁圆筒变形后 的厚度并无变化，仍然为 t=10mm.
在此情况下，弹性体储存的应变能在数值上仍与外力所作的功相等。 但在计算复杂应力状态的应变能时，需要注意以下两点。
（1）应变能的大小只决定于外力和变形的最终数值，而与加力次序无关。这 是因为若应变能与加力次序有关，那么，按一个储存能量较多的次序加力， 而按另一个储存能量较小的次序卸载，完成一个循环后，弹性体内将增加能 量，显然，这与能量守恒原理相矛盾。 （2）应变能的计算不能采用叠加原理 这是因为应变能与载荷不是线性关系 ，而是载荷的二次函数。从而不满足叠加原理的应用条件。
• 然后，再进行叠加。
正应力分量在不同方向对应的应变
sx
s y
sz
x
1 E
s
x
E
s
y
E
s
z
y
E
s
x
1 E
s
y
E
s
z
z
E
s
x
E
s
y
1 E
s
z
得出 x、y和 z方向的线应变表达式为
x
1 E
sx
(s y
s
z
)
y
1 E
s
y
(s z
s
x
)
z
1 E
sz
(s x
s
y)
根据剪切虎克定律，在 x y、yz和zx三个面内的
s1 s2 64.5MPa
s3 150MPa
对于各向同性材料
一、横向变形与泊松比
x
sx
E
y x sEx
sx
--泊松比
二、三向应力状态的广义胡克定律
－叠加法
s2
1E 1s1s2s3
s 1 2E 1s2s3s1
s3
3E 1s3s1s2
sy
x E 1[sx(sysz)
y z
x
s
y
x
E 1[sy(szsx)
材料的弹性常数E、μ均为已知。
此题有实际意义，传动轴上所受的外力偶矩m的 大小，有时采用实验方法。测得轴上某个方向的 正应变，再由应变值计算出外力偶矩大小。
解题思路：寻找已知量ε-45o和未知量m间的联
系。
1.本题已知正应变ε-45o,通过广义胡克定律可将 ε 正应变 -45o和正应力σ-45o (σ45o)联系起来。
2、应变比能(Strain-Energy Density)
ud dW V1 2s11s2d x 2d ysdz33dxdydz 1 2s11s22s33
3、体积改变比能与形状改变比能
s2
s
s2 s
s1
s+
s1 s
s3
s
s3 s
令s1 3(s1s2s3)
uud uv
ud
: Strain-Energy Density Corresponding to the Distortion
立方体的上表面受到均布压力 P=150 MPa。试求
列各种情况时钢质立方体中的三个主应力。设钢
材的弹性模量E=200GPa,泊松比μ=0.3。
解： sy P15M 0 P; a
x z 0
x
1 E
[s x
(s
y
s z )]
0
(a)
z
1 E
[s z
(s
x
s
y )]
0
(b)
sxsz 1 sy6.45MPa
2.再通过应力状态分析，找到正应力σ-45o (σ45o)和横截面上的剪应力τ的关系。 3.而τ是由外力偶矩引起的，由此即可求出外力
偶矩m的大小。
s s t 解:
405405
45o
1 E
[s
45o
s 45o ]
τ
1 t
E
由此得
t
E
1
4 50
由圆轴扭转应力公式: t T m
Wt Wt
引起横向变形
E
2． 纯剪切应力状态的虎克定律
t G 或
1t
G
3．复杂应力状态的广义 虎克定律
一般情况 下，描述 一点处的 应力状态 需要九个 应力分量
• 在小变形及线弹性范围内，线应变 只与正应力有关，而与剪应力无关；
• 剪应变只与剪应力有关，而与正应 力无关，满足应用叠加原理的条件。
• 所以，我们利用单向应力状态和纯 剪切应力状态的虎克定律，分别求 出各应力分量相对应的应变，
3
1 E
s 3
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(s 1
s 2 )
sss ssssss u 2 1 E1 2 2 2 3 3 2(12 23 31 )
二、体积改变比能和形状改变比能 u 对于单元体的应变能 也可认为是由以下两部分组成：①因体
积改变而储存的比能 u V 。称作体积改变比能。②体积不变，只
因形状改变而储存的比能 u f 。称作形状改变比能（或歪形能）
解: (1)求 x、 y
取单元体如（b）所示。易知k点处于纯剪切 状态。对k点进行应力状态分析知，在45度和 135度方向上分别作用着s3和 s1 ，且
s1sy s3 sxt
s2 sz 0
于是由广义胡克定律知：
sss x [x(yz)/] E 5 .2 1 4
sss y [y(zx)/] E 5 .2 1 4 0
剪应变分别为
xy
1 G
t
xy
yz
1 G
t yz
zx
1 G
t zx
三、三个弹性常数之间的关系
G
E
21
4． 主单元体时的广义虎克定律
当单元体为主单元体时，且使 x、 y和 z
的方向分别与s 这时 sx
1 、s s1
2 和s 3 的方向一致。 s y s2 sz s3
t xy 0
t yz
一、任意方位的应变分析
研究正应变
( O)x B xdcxo s
(O)B y ydsyin
( O)x B yxd y cyo
(d)l(O)B
( O )x B ( O )y B ( O )xy B
( d ) ld cx o d s s y i n d cy o
x
y
xy
(d)l
dl
uuV uf
对于图所示的应力状态（只发生体积改变），将平均应力s m 代
入公式，得到单元体的体积改变比能为
dxcos dysin dycos
x dl
y dl
xy dl
xc2o y s s2i n xs y icno
x 2yx 2yc2 o s2 xy si2 n
研究剪应变
' xdd sxl in xcossin
'' ydd cylo syco ssin
dsyin
例 壁厚t=10mm、外径D=60mm的圆筒，在
表面上k点与其轴线成45度角和135度角，x、
y两方向上分别贴上应变片，然后使其承受外 力矩m的作用，发生扭转变形，如图所示。 已知圆筒材料的弹性模量为E=200GPa， v=0.3。若该圆筒的变形在弹性范围内，且k 点横截面上的剪应力为t =80MPa，试求圆筒 k点处的线应变 x、 y及变形后的筒壁厚度。
所以 mWtt1d361E45o
例 边长为10mm的铝质方块，紧密无隙 地嵌入一个深度和宽度都是10mm的钢槽 中，如图所示。当铝块受到P=60MPa的
作用时，设钢块不变形。若铝的弹性模量 E=70GPa，v=0.3.求铝块的三个主应力、 三个主应变。
P
10 10 10
y
x z
解：（1）求主应力及主应变
u v : Strain-Energy Density Corresponding to the Change of Volume
ud
ss ss ss 1 6 E1 2 2 23 2 31 2
uv 16E 2s1s2s32
ud uv u
作业
7．19（a）、（b） 7．26 7．28
例每边长均为10mm的钢质立方体放入一个四周为 刚性的立方孔（立方孔的宽度正好是10mm），若
2 max
x
y
xy
四、通常采用测定一点处沿εa、εb、 εc三个方向的线应变的方法，来确定该点处 的主应变εl、ε2及其方向。
εa、εb、εc εx、εy、γxy
ε1、ε2
§7．8 广义胡克定律
一、广义胡克定律
1． 单向应力状态的虎克定律
轴向拉伸 sE 或
或压缩时
由于轴向变形还
1s
E
s
铝块在压力P作用下，上、下两个面及y面 上受到压应力为
σyA P6 016 0 Nm 260MP 铝块在前、后两个面不受约束，在P的
作用下，z方向的变形是自由的，所以
εz 0σ,z 0
铝块在左、右两个面上，由于是刚体，所以 在P力作用下，x方向受到约束力不能变形，故
εx0σ,x0.
由广义胡克定律及上述可得
t xy z E 1[sz(sxsy)
xy
t xy
G
yz
t yz
G
zx
t zx
G
三、三个弹性常数之间的关系
G
E
21
第六节 复杂应力状态的应变比能
一、应变比能
在轴向拉伸或压缩时，根据外力功 和应变能在数值上相等的关系，导 出比能的计算公式为
u 1s s2
2 2E
本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能
tyx sy
tyx sy
sx
sz
txy
sx
sz txy
s2 s1
s3
200 50
300 s "
s'
50
t s''' s
t
300 s " s '''
50
s
s'
*§7．6位移与应变分量
自学
*§7．7 平面应变分析
当构件内某 点处的变形 均平行于某 一平面时， 则称该点处 于平面应变 状态。
由于是单元体，变形后三个棱边仍互相 垂直，所以，变形后的体积为
V 1(11)1 (2)1 (3)dxdyd
V1(1123)dxdydz
于是，单元体单位体积的改变
V1V V123
2．体积应变与应力的关系
1 2 3 1 E 2 (s1 s2 s3)
3(12)s1s2s3sm
E
3K
K E
3(1 2)
0
t zx 0
1
1 E
s 1
(s 2
s
3
)
2
1 E
s 2
(s 3
s 1 )
3
1 E
s 3
(s 1
s 2 )
二、体积应变及应力的关系 1．体积应变
变形前单元体的体积为
V dxdydz
变形后，三个棱边的长度变为
dx1dx (11)dx dy2dy (12)dy dz3dz (13)dz
王培荣
2020年4月18日
教学要求 •1.了解三向应力状态的应力圆画法，熟练掌 握单元体最大剪应力计算方法。 •2.掌握广义胡克定律及其应用。 •3.了解关于复杂应力状态下变形比能、形状 改变比能和体积改变比能的一些主要结论和 公式。
§7．5 三向应力状态
三向应力状态特例的一般情形
至少有一个主应力及其主方向已知
εxE 1[σx(σyσz)]0
所以 σx(σyσz)σy18MP
因此 σ10σ ,2 18M σ3 P 6a 0,M
主应变由下式求出
ε 1 ε z [ σ 1 ( σ 2 σ 3 )] 3 /E 3 1 6 4 0
ε2 εx 0
ε 3 ε y [ σ 3 ( σ 1 σ 2 )] / 7 E 8 1 6 0 0
§7．9 复杂应力状态的应 变密度
变形(应变)比能
1、微元应变能(Strain Energy)
s2
s1dydz~1dx
dy
s 1 s2dxdz~2dy
dz
s 3 dx
s3dydx~3dz
dW=
1 2
s
1d
yd
z
1d
x
1 2
s
2d xd z
2d y
1 2
s
3dxdy
3d z
s 1 1 s 2 2 s 3 3 d x d yd z
sm13(s1s2s3)
称为体积弹性模量
是三个主应力的平均值
体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之 和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与 平均应力成正比，称为体积虎克定律。
例题：图示直径为d的圆截面轴，承受力偶 矩m的作用。设由实验测得轴表面上与轴线
成-45o方向正应变ε-45o，试求力偶矩m之值。
假定应力按 s 1：s 2 ：s 3的比例同时从零增加至最终值
，在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线
u 1 s
性关系，因而与每一主应力相应的比能仍可按 计算，于是，复杂应力状态下的比能是
2
u1 2s111 2s221 2s33
1
1 E
s 1
(s 2
s
3
)
2
1 E
s 2
(s 3
s 1 )