数学建模 最佳击球点

Finding the “Sweet Spot”: A PhysicalCollision ModelLi Jia , Wang Zheng and Li PengCollege of Science,Hebei United University,Tangshan,HeBei,ChinaKeywords: Baseball; Sweet spot; Collision model; Recovery coefficientAbstract通过对棒球击球过程进行深入分析，建立简单的物理学非弹性碰撞模型，来研究棒球棒上“最佳击球点“的问题。

根据动量守恒定律和角动量守恒定律，对模型进行动力学分析，获得关于棒球击出速度的方程式，并通过求解得到相应数值解。

最终，模型结果不仅说明了棒球棒上的“最佳击球点”并不是球棒末端，还解释了一些棒球手在“最佳击球点”添充上软木塞的做法是不可取的，因为这并未提高打击效果，棒球联盟应予以否定。

同时，模型还解释了在其他条件相同的情况下，金属球棒确实比木质球棒打击效果好，但由于这对防守的一方不利，处于公平性的考虑，在正式比赛中，联盟会禁止金属球棒。

Introduction棒球是一项世界性的体育项目，其高度的观赏性和竞技性令世人为之倾倒。

“今日美国”节目曾对运动项目难度做了一个评选，棒球的击球被选为最难的动作。

同时棒球运动中还有一种有趣的现象——“甜点”效应。

当球击在球棒上一个特定的小区域时（亦称为最佳击球点），击球效果最好，球飞得又快又远。

控制击球点在最佳击球点附近是棒球击球手的一项极为重要的技术。

我们研究的主要目的是寻求最佳击球点。

我们基于物理学中动量守恒和角动量守恒知识，结合影响最佳击球点的主要因素，建立起球与棒的碰撞模型。

模型结果确定了最佳击球点与各因素之间的关系，并解释了最佳击球点不是球棒最末端，同时我们还研究分析了增加适当填充物以及球棒材质的不同对击球效果的影响。

以上研究结果，不仅对球员控制最佳击球点的技术提供理论依据，还对棒球运动训练、棒球选择以及避免运动伤害具有实际的指导作用。

Assumptions and Definitions●球棒是一个刚体，在碰撞过程中不发生形变.●棒球视为一个弹性体，然而内部有摩擦.●球与棒的碰撞时非弹性碰撞.●由于碰撞时间很短，手握棒的力相对于撞击力很小，予以忽略.●碰撞发生在水平面内.●碰前球的速度恰好垂直于棒.Table 1.Part 1: Finding the “Sweet Spot”The Center of Mass在研究球棒时，为方便起见，我们不对球棒整体进行研究，而是选择对球棒质心进行研究。

首先，我们进行以下假设：●球棒的密度ρ是均匀的.●棒球球棒可以等效成一个圆柱台.然后，我们以美国一知名品牌棒球棒为研究对象，来确定其质心具体位置，如图1所示。

Figure 1 The equivalent schematic diagram of the bat该球棒相应的等效圆柱台上下圆形横截面的半径分别为R=0.035m 和r=0.0125m ，球棒长度l=0.84m 。

设质心处圆形横截面的半径为x ，质心到上横截面圆心的距离为y ，则到下横截面圆心的距离为l y -，质心横截面处以上和以下部分体积分别为up V 和down V 。

将圆柱台向下延伸，便得到一个圆锥，设下横截面圆心到顶点距离为z 。

根据质心的特点可得如下关系式：up down V V ρρ= 即22221111()()()3333x l y z r z R l z x l y z ππππ-+-=+--+ 其中，(),l y rl x R r r z l R r -=-+=-带入相应数据，求解可得y=0.2542m ，即得到质心到上横截面圆心的距离为0.254m 。

A Simple Collision Model由于球与球棒碰撞作用时间极短，作用以很大，所以碰撞过程中球与棒组成的系统服从动量守恒定律和角动量守恒定律。

为方便起见，以球棒质心的碰前速度为参照建立参考系；并作正负号约定：绕质心顺时针旋转为转动的正向。

以球的初速度为平动的正向，如图1所示。

Figure 2 The schematic diagram of baseball batting.我们可以得到下面两个方程：0120011,(1).(2)mv mv Mv dmv J dmv J ωω=++=+为定量描述球的非弹性属性，也就是球在碰撞过程中消耗动能产生热能的大小，需要使用恢复系数这一物理量。

两个碰撞物体的恢复系数定义为：=碰撞后的相对远离速度恢复系数碰撞前的相对接近速度， 恢复系数是一个0到1之间的数，它反映了碰撞物体的弹性性质的好差。

弹性越好，碰撞过程中的热损耗就越小，恢复系数就越大。

例如，理想弹性体发生完全弹性碰撞，恢复系数等于1。

按照恢复系数的定义有：1100e .(3)fV d v v d ωω+⋅-=-⋅求解以上三个方程，就可以得出棒球弹出时的速度：00102(1)().(4)1/(/)e v d V v M m M d I ω+⋅-⋅=-++⋅ 观察（4）可知，在其他条件一定的情况下，球的碰后速度由击球点的位置决定。

而且由函数形式可以看出1v 有一个极大值点，这个点就是我们要寻找的“甜点”。

将1v 对d 求导，再令导数值为零，就能得到球的弹出速度1v 的最大值点也就是“甜点”的位置。

最终得出“甜点”到球棒质心的距离：20000.(5)v v m M d J m M ωω⎛⎫+=++ ⎪⋅⎝⎭ 所以，“甜点”位置不仅取决于球和棒本身的性质，还与碰撞时球与棒的速度比有关。

为了获得一个直观的认识，下面给出棒球与球棒的实际参数，看看“甜点”的位置大致在什么地方。

同时比较球与棒的不同速度比对“甜点”位置的影响。

表1是相关物理量的实际值。

Table 2.Related physical variables of the actual numerical valuePhysical variable Numerical value UnitsBall quality /m0.145 kg Bat quality /M 0.9 kgThe rotational inertia of the bat /J 0.051 2kg m ⋅The length of the bat 0.84m根据公式（5）作出了球棒的碰前角速度恒为43/rad s -（球棒对质心做逆时针转动）时，“甜点”位置随棒球的碰前速度的变化关系曲线，并在纵轴上做出棒球棒的简图以便对照，如图3所示。

Figure 3. The relationship between specific positions of the “sweet point ” anddifferent ballspeed under the certain angular velocity.观察图3可知，球速越大，“甜点”到质心距离就越小。

通过搜集资料我们得到职业选手的投球速度为120140/km h，根据（5）可求得质心到“甜点”距离为0.20300.2295m，那么“甜点”到球棒末端的距离为-=。

这样我们的模型结果便解释了棒球棒上的“最佳击球y d m0.02470.0512点”并不在棒球棒的最末端。

Part 2: “Corking” a bat or not “corking” a bat Pitching speed and recovery coefficient通过查阅和搜集资料，我们分别得到了职业选手不同投球速度，如表3，以及木质球棒和填充软木塞球棒的恢复系数，如表4。

Table 3.Table 4.这里我们取木质球棒和填充软木塞球棒的恢复系数分别为0.26和0.18。

根据公式（5），我们可以得到不同击球速度下，两种材质球棒击出的球速，作出图像，如图4所示。

Figure 4. Batting speed of the wooden bat and corking bat 由图可知，在相同的投球速度下，木质球棒比填充了软木塞球棒击出球的速度要大，击球效果更佳。

我们的模型结果说明了在最佳击球点添充上软木塞并没有提高打击效果，所以这种做法是不可取的。

由于这种做法并没有提高打击效果，所以棒球联盟完全可以否定该方法。

Part3:通过查阅和搜集资料，我们将木质和铝质球棒不同性质进行对比，如表5所示。

Table 5.Material Length Weight Distance MaximumDiameterRecoverycoefficientWood 84cm 900g 25.42cm 70mm 0.26Aluminum 84cm 900g 30.12cm 70mm 0.39木棒与铝棒的有两点区别需要明确：●质心位置不同。

铝棒较木棒更靠近底端，距离分别为30.12cn,25.42cm；●内部构造不同。

铝棒内部是空心的，而木棒采用实心全木制，虽然两者密度不同，但可以达到相同的质量。

●铝棒与木棒的转动惯量也不一样，从而造成最佳击球点位置也不一样，对击球速度产生影响。

根据转动惯量的计算公式2220*x l lJ m r x r dr πρ==⎰其中 =0.0225(l-y)/+0.0125 可得铝棒的转动惯量，从而可以得到铝棒击球速度与最佳击球点之间的关系 根据公式（5）计算，我们可以得到不同击球速度下，两种材质球棒击出的球速，作出图像，如图5所示。

Figure 5. Batting speed of the wooden bat and aluminum bat由图像可知，铝质球棒比木质球棒击出球的速度更大，打击效果更加。

但从双方队员角度考虑，这样打破了双方的攻守平衡，对守方更加不利，降低了棒球的耐观赏性，也有失公平。

所以，正式比赛中棒球联盟会禁止使用金属棒球。

Conclusion通过上述物理碰撞模型及计算，我们得出结论：棒球棒上的“最佳击球点”不仅与本身性质参数有关，还与碰撞时棒球与球棒转动的速度比有关，其规律为球速与球棒转速的速度比越大，“最佳击球点”就越靠近质心。

同时，在球棒“最佳击球点”处添充软木塞的做法从理论上说并没有提高打击效果，应否定这种做法。

金属球棒的打击效果确实比木质球棒好，但在正式比赛中它打破了攻守平衡，使比赛失去它公平竞争的意义，故应在正式比赛中禁止使用金属球棒。

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