第三章-力系的平衡.
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力系的平衡静定与超静定的概念
C
FBx =0
F
FAy P
B
ix
0, FAx FBx F cos sin 0
A FAx
D x
F
C
FBx y
FAz
3 F 86.6 N 4
从而得到以下规律： （1）可以用力矩形式的平衡方程投影式来替代力形式的平 衡方程的投影式，即有3－6个力矩投影式，也就是说力矩投 影形式的平衡方程不得少于三个，至多可以有六个。 （2）力的投影轴与矩轴不一定重合，但投影轴及矩轴必须 受到如下限制：①不全相平行；②不全在同一平面内。
第三章 力系的平衡 静定与超静定的概念
第一节 平衡方程的解析形式
一、空间任意力系的平衡方程 FR 0 MO 0 平衡的必要、充分条件。
FR Fixi Fiy j Fiz k
F 0 F 0 Fiz 0
ix
iy
M O M ixi M iy j M iz k
合力偶矩恒为零，即
M
ix
0
M
iy
0
M F F F
iz
0 0 0 0
ix
空间汇交力系平衡方程
iy iz
例3-3：结构如图所示，杆重不计，已知
力P，试求两杆的内力和绳BD的拉力。 解：研究铰链B D
z
F3
z
D
C
C
y
B
A
F2
y
F1
B
A
x
P
0
x
F
z
0
P
F
x
F3 sin P 0
第三章 力系的平衡(陆)
解得:
FAx 316.4kN
FAy P F cos 60 0 FAy 300kN
Fy 0
解得:
M
A
0
MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得:
MA 1188kN m
固定端
HOHAI UNIVERSITY
=
=
=
返回
HOHAI UNIVERSITY
二、物体系的平衡· 静定和超静定问题
Fx Fy
M
q
Fx
M
q
FB
Fy
HOHAI UNIVERSITY
如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的 数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静 定问题（statically determinate problem）。
F 0 F 0
ix iy
3、研究对象选取次序。
HOHAI UNIVERSITY
例题： 对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。 F2 FR
o
F1 F3
HOHAI UNIVERSITY
例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
M 0
c
l FB sin 60 l ql F cos 300 2l 0 2
0
解得: FB=45.77kN
HOHAI UNIVERSITY
② 取整体,画受力图.
F 0
ix
FAx FB cos 600 F sin 300 0
解得： FAx 32.89kN
FAx 316.4kN
FAy P F cos 60 0 FAy 300kN
Fy 0
解得:
M
A
0
MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得:
MA 1188kN m
固定端
HOHAI UNIVERSITY
=
=
=
返回
HOHAI UNIVERSITY
二、物体系的平衡· 静定和超静定问题
Fx Fy
M
q
Fx
M
q
FB
Fy
HOHAI UNIVERSITY
如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的 数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静 定问题（statically determinate problem）。
F 0 F 0
ix iy
3、研究对象选取次序。
HOHAI UNIVERSITY
例题： 对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。 F2 FR
o
F1 F3
HOHAI UNIVERSITY
例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
M 0
c
l FB sin 60 l ql F cos 300 2l 0 2
0
解得: FB=45.77kN
HOHAI UNIVERSITY
② 取整体,画受力图.
F 0
ix
FAx FB cos 600 F sin 300 0
解得： FAx 32.89kN
《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析
工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
第三章力系的平衡介绍
工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
F x0:F A xq b0
P a A
q
b
F y0:F A yP0
P
MA(F)0:
MA
MAPa12q b2 0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
MAPa 1 2qb 2
例2 例2 求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 平行力系的平衡方程为：
O
F2
x
F y 0 ; M O ( F ) 0
平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：
M A ( F ) 0 ; M B ( F ) 0
其中AB连线不能与各力的作用线平行。
[例5] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)， 尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q 2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝ FPlxs＋ iF nQ2 l＝ 2FlWxFQ
FAx F TBco ＝ s0
Fy＝0
F A ＝ x 2 F W x l F Q l co＝ s3 3 F lW 0xF 2 Q
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
工程力学力系平衡
D
FC
l
A B
l
FP
D
第 三 种 情 形
l
C FA A l FCy l B l FP D
FCx
C
FA A
l
B
l
FP
D
第 三 种 情 形
FCy
FCx C
E
MA ( F ) = 0 : FCx l -FP 2l = 0 MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0 ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
A
F ＝0
x
l －FQ －FW x FTB lsin＝0 2 l FP x＋FQ 2 ＝ 2 FW x F FTB＝ Q lsin l
F ＝0
y
FAx FTB cos＝0 FQ 2 FW x FQl FW FAx＝ x cos30 ＝ 3 l 2 l FAy－FQ－FP＋FTB sin＝0
例题
均质方板由六根杆支 撑于水平位臵，直杆 两端各用球铰链与扳 和地面连接。板重为 P，在A 处作用一水 平 力 F ， 且 F=2P ， 不计杆重。求各杆的 内力。
简单的刚体系统平衡问题
前面实际上已经遇到过一些简单刚体系统 的问题，只不过由于其约束与受力都比较简单， 比较容易分析和处理。 分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理 单个刚体的平衡问题是一致的，但有其特点， 其中很重要的是要正确判断刚体系统的静定性 质，并选择合适的研究对象
平衡方程
根据平衡的充要条件
F1 M1 O
z
F2
M2
y Mn
FR ＝0 ， MO＝0
C·A上传 【理论力学】第三章 力系的平衡
BE CE FDC =0 0; ∑ Fix =FDB DB DC
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
第三章 力系的平衡条件
解： 取AB梁，画受力图。 梁 画受力图。
∑F =0 x
F + F cos450 = 0 Ax c
F + F sin450 −F = 0 Ay c
∑Fy =0
MA = 0 F cos450 ⋅l − F ⋅ 2l = 0 ∑ c
解得
F = 28.28kN FAx = −20kN FAy = −10kN , , C
例3 - 8
M 已知: F=20kN, q=10kN/m, = 20kN⋅m, L=1m; 已知:
求: A,B处的约束力. 处的约束力. 解: 取CD梁,画受力图. 画受力图.
∑M =0
c
l F sin 60 ⋅l −ql ⋅ − F cos300 ⋅ 2l = 0 B 2
0
解得
FB=45.77kN
∑MA = 0
F ⋅ 2a + F x ⋅ a = 0 Bx D
得
F =−F Bx
例3-19 已知： 荷载与尺寸如图； 已知： 荷载与尺寸如图； 每根杆所受力。 求： 每根杆所受力。 取整体，画受力图。 解： 取整体，画受力图。
∑F = 0 ix
F =0 Ax
F = 20kN Ay
∑MB = 0 −8FAy +5*8+10*6+10*4+10*2 = 0
q= 20kN , m
l =1 ; F = 400kN, m
解得 F = 316.4kN Ax
o F =0 FAy − P−Fcos60 = 0 ∑ y
解得 FAy =300kN
∑M
A
=0
A 解得 M = −1188kN⋅ m
M − M − F1⋅l + F cos60o ⋅l + Fsin 60o ⋅3l = 0 A
工程力学 第3章 力系的平衡
6
解 ：1. 受力分析, 确定平衡对象 圆弧杆两端 A 、 B 均为铰链，中间无外力作用，因此圆弧杆为二力杆。 A 、 B 二处的 约束力 FA 和 FB 大小相等、 方向相反并且作用线与 AB 连线重合。 其受力图如图 3－6b 所示。 若 以圆弧杆作为平衡对象，不能确定未知力的数值。所以，只能以折杆 BCD 作为平衡对象。 ' 折杆 BCD ， 在 B 处的约束力 FB 与圆弧杆上 B 处的约束力 FB 互为作用与反作用力， 故 二者方向相反； C 处为固定铰支座，本有一个方向待定的约束力，但由于作用在折杆上的 ' 只有一个外加力偶，因此，为保持折杆平衡，约束力 FC 和 FB 必须组成一力偶，与外加力 偶平衡。于是折杆的受力如图 3－6c 所示。 2．应用平衡方程确定约束力 根据平面力偶系平衡方程（3－10） ，对于折杆有 M + M BC = 0 （a） 其中 M BC 为力偶（ FB , FC ）的力偶矩代数值
图 3－8 例 3－3 图
解 ：1. 选择平衡对象 本例中只有平面刚架 ABCD 一个刚体（折杆） ，因而是唯一的平衡对象。 2 受力分析 刚架 A 处为固定端约束， 又因为是平面受力， 故有 3 个同处于刚架平面内的约束力 FAx、 FAy 和 MA 。 刚架的隔离体受力图如图 3－8b 所示。 其中作用在 CD 部分的均布荷载已简化为一集中 力 ql 作用在 CD 杆的中点。 3. 建立平衡方程求解未
习 题
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2
第 3 章 力系的平衡
§３－１ 平衡与平衡条件
３－１－１ 平衡的概念
物体静止或作等速直线运动，这种状态称为平衡。平衡是运动的一种特殊情形。
平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球上平衡的物体是相对于地球上固定参 考系的， 相对于太阳系的参考系则是不平衡的。 本章所讨论的平衡问题都是以地球作为固定 参考系的。 工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚体，也可能是由若干个刚体组成的系统， 这种系统称为刚体系统。 刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。
最新完美版建筑力学第三章力系的平衡
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
3－1－1 力的平移定理
平面力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。 设在刚体上A点作用一个力F，现要将其平行移动到 刚体内任一点O (图a)，但不能改变力对刚体的作用效应。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
根据加减平衡力系公理，可在O点加上一对平衡力F、 F，力F 和F的作用线与原力F的作用线平行，且F ＝ F ＝F (图b)。 力F 和F 组成一个力偶M，其力偶矩等于原力F对O 点之矩。
b2 A y B
F
a2
a1、b1和a2、b2，线段a1b1、a2b2
a1 冠以适当的正负号称为力F在x 轴和y轴上的投影，分别记作Fx、Fy，即
Fx
b1
x
Fx=±a1b1
Fy=±a2b2
式中的正负号规定为：从a1到b1（或a2到b2）的指向与坐 标轴正向相同时取正，相反时取负。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
中心O的主矩。其大小和转向与简化中心的选择有关。 如果选取的简化中心不同，主矢不会改变，故它与 简化中心的位置无关；但力系中各力对不同简化中心的矩 一般是不相等的，因而主矩一般与简化中心的位置有关。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
3－1－3 力在坐标轴上的投影
在力F作用的平面内建立直角 坐标系Oxy。 Fy 由力F的起点A和终点B分别 向坐标轴作垂线，设垂足分别为
y
由图可知，若已知力F的大 小及力F与x、y轴正向间的夹角 分别为和，则有
b2
B
Fy
a2 A
F
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
3－1－1 力的平移定理
平面力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。 设在刚体上A点作用一个力F，现要将其平行移动到 刚体内任一点O (图a)，但不能改变力对刚体的作用效应。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
根据加减平衡力系公理，可在O点加上一对平衡力F、 F，力F 和F的作用线与原力F的作用线平行，且F ＝ F ＝F (图b)。 力F 和F 组成一个力偶M，其力偶矩等于原力F对O 点之矩。
b2 A y B
F
a2
a1、b1和a2、b2，线段a1b1、a2b2
a1 冠以适当的正负号称为力F在x 轴和y轴上的投影，分别记作Fx、Fy，即
Fx
b1
x
Fx=±a1b1
Fy=±a2b2
式中的正负号规定为：从a1到b1（或a2到b2）的指向与坐 标轴正向相同时取正，相反时取负。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
中心O的主矩。其大小和转向与简化中心的选择有关。 如果选取的简化中心不同，主矢不会改变，故它与 简化中心的位置无关；但力系中各力对不同简化中心的矩 一般是不相等的，因而主矩一般与简化中心的位置有关。
目录
第3章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
3－1－3 力在坐标轴上的投影
在力F作用的平面内建立直角 坐标系Oxy。 Fy 由力F的起点A和终点B分别 向坐标轴作垂线，设垂足分别为
y
由图可知，若已知力F的大 小及力F与x、y轴正向间的夹角 分别为和，则有
b2
B
Fy
a2 A
F
第3章力系的平衡条件与平衡方程
第3章 力系的平衡条件与平衡方程3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程如果一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零，物体将不会移动也不会转动，则该物体处于平衡状态。
力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于零，即 110()0i n R i n O O ii F F M M F ==⎫==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑平衡条件的解析式：11100()0nix i niy i n O i i F F M F ===⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 或 00()0x y O F F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑ 平面一般力系的平衡方程该式表明，平面一般力系的平衡条件也可叙述为：力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面汇交力系：平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零，即恒满足()0O M F ≡∑物体在平面汇交力系作用下平衡方程：00x yF F ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑例题3-1 图所示为悬臂式吊车结构图。
其中AB 为吊车大梁，BC为钢索，A 处为固定铰支座，B 处为铰链约束。
已知起重电动机E 与重物的总重量为PF （因为两滑轮之间的距离很小，PF 可视为集中力作用在大梁上）梁的重力为QF 已知角度30θ=。
求：1、电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和支座A处的约束力；2、分析电动机处于什么位置时。
钢索受力最大，并确定其数值。
解：1、选择研究对象以大梁为研究对象，对其作受力分析，并建立图示坐标系。
建立平衡方程 取A 为矩心。
根据()0A M F =∑sin 02Q P TB lF F x F l θ-⨯-⨯+⨯=222sin 2sin30P Q P Q P TB QlF x F F x F l F x F F l l l θ⨯+⨯+===+由xF =∑cos 0Ax TB F F θ-=2()cos303()2Q P P Ax Q F F x F x F F l l =+=+由yF =∑sin 0Ay Q P TB F F F F θ---+=122[()]2Q P Ay Q P TB Q P Q P F F x F F F F F F l F l xF l =--+=--++-=-+由 2P TB QF x F F l =+ 可知当x l =时钢索受力最大， 其最大值为 22P TB Q P QF lF F F F l =+=+在平面力系的情形下，力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直，从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这样可减少力的平衡方程中未知力的数目。
工程力学第3章空间力系的平衡
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
第三章 力系的平衡
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例1： 作AB和CD示力图
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解： AB示力图 FAx FAy
A D C B
F
A
B F'RD FRD D
F
CD示力图
FRD D C C FRC
FRC
C
4.物体间的内约束力不应该画出。
§3-3 汇交力系的平衡
一、汇交力系平衡的充分必要条件
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FR F1 F2 Fn 0
二、汇交力系的平衡方程
空间汇交力系： 平面汇交力系：
FRx =Fix=0
FRy =Fiy=0
两个构件用光滑圆 柱形销钉连接起来，称 为铰链连接（铰接）
四、活动铰支座
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上摆
组成分析
销钉 底板 只能限制物体与支座接触处向着支承面或 离开支承面的运动。 运动分析
滚轮
受力分析
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（A、B的连线不垂直于x轴）
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连杆的约束力沿着连杆 中心线，指向不定
F'B
空间铰
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六、球铰
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力系的平衡
•画支座反力NA与NB。令NA=50 kN。列平衡方程：
ΣmB (F) = 0
G×0.5+W ×8− NA ×4 − P×10 = 0
P=200 kN
•如为空载，仍应处 于平衡状态，故
ΣmA(F) = 0, NB ×4 +W ×4 −G×3.5 = 0
符合题意要求。
例3-7 图示为可沿铁路行驶的 起重机，本身自重G=250 kN， 其重心在 E 点。最大载荷P=200 kN，在 C 点起吊。为防止机身 向右翻倒，在左端D有一平衡重 W，W的重心距支点A的水平距 离为 x。W 与 x 必须计划适当， 使得既能在C点满载时防止机身 向右翻倒，又能在空载时机身 不致向左翻倒。为保证安全， 必须使任一侧轮（ A 或 B）的向 上反力，不得小于50 kN。设 b=1.5 m，e=0.5 m，l=3 m，求 W与x的适当值。
例3-4 一容器如图示，连同盛装物共重W=10 kN， 作用在容器上的风荷载q=1 kN/m，在容器的受力 平面内有三根杆件支承。求各杆所受的力。 解：
杆件AD、AC和BC都 是二力杆，其约束反 力SAD、SAC和SBC沿各 杆的中心线，因指向 未定，故暂都假设各 杆受拉力 研究容器受力图如图
ΣmA(F) = 0
解： 列力矩方程，矩心应 选在两个未知力的交 点，如图中 A 点或 B 点。 在单个物体上遇有分 布载荷时，可先将分 布 载 荷 简 化 为 合 力 Q=Σq 来 计 算 ， 本 题 Q=q×4=40 kN，作用线在AB的中点。
投影方程中，不用考虑任何力偶的投影； 在力矩方程中，不问矩心何在，只要将所 有力偶矩的代数值统统列入即可 。
第三章 力系的平衡
第一节 平面力系的平衡 第二节 静定问题与超静定问题 第三节 物系平衡问题的应用 第四节 空间力系的平衡
力系的平衡ppt课件
A
x
A、B 连线不垂直于x 轴
（两矩式）
MA（F）= 0 MB（F）= 0 MC（F）= 0 （三矩式）
C B
A
C
A、B、C三点不
在同一条直线上 17
平面任意力系平衡方程讨论：
Fx = 0 Fy = 0 MO= 0
平面任意力系：三个独立的平衡方程，可解3个未知量 平面汇交力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量 平面平行力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
y
F’Cy
F
F’Cx C
E
G
O FBx
B x
FBy
Fx 0,
FCx FBx 0
Fy 0,
FCy FBy F G 0
MC F 0,
FAx 32.89 kN, FAy 2.32 kN, M A 10.37 kN 3m9
例9 图示三铰拱桥，由左右两段借铰链C连
接，又用铰链A，B与基础相连接。已知每 段重G = 40 kN，重心分别在D，E处，且桥 面受一集中载荷F =10 kN。设各铰链都是光 滑的，试求平衡时各铰链约束力。
注意：对任意一点的主矩为零。
平衡方程：
Fx 0
Mx(F )0
Fy 0
My(F )0
Fz 0
Mz( F ) 0
3
一、平面汇交力系
力系的平衡条件：主矢为零
平面汇交力系平衡方程：
Fx 0
平衡几何条件：
Fy 0
汇交力系的力多边形自行封闭
求解方法： 1、 几何法：利用力多边形自行封闭求解 2、 解析法：利用平衡方程求解
第三章 力系的平衡
本章重点：
1、力系平衡方程及其应用 2、物体系统平衡问题分析 3、桁架内力分析
力系的平衡条件与平衡方程资料
mB (F ) 0
X 0
可否求出T、YA、XA；
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
思考题2
C
（2）由下图所示的受力图，试按
mA(F) 0 mB (F) 0 mc (F ) 0
可否求出T、YA、XA。
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
由下图所示的受力图，可否列出下列四 思考题3 个独立的平衡方程？
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
P 1m
q
C
XA
2m
2m
A
YA
Fy = 0 YA - 20 + 19.5 = 0
XB B YB
YA = 0.5 kN
( 2 ) 取 BC 为研究对象画受力图
P 1m
XC
C
YC
XB B
YB
MC ( F ) = 0
Fy 0
FN P cos j 0 FN P cos j
考虑极限平衡状态有： F Fmax fs FN
从而得到： FT P ( fs cos j sin j). 当 FT P ( fs cos j sin j) 时, 物块才能下滑。
(3) 画受力图如右 列平衡方程
P
(c) j
解： 取起重机，画受力图.
Fx 0 FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
•利用“力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方 便：
X 0
可否求出T、YA、XA；
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
思考题2
C
（2）由下图所示的受力图，试按
mA(F) 0 mB (F) 0 mc (F ) 0
可否求出T、YA、XA。
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
由下图所示的受力图，可否列出下列四 思考题3 个独立的平衡方程？
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
P 1m
q
C
XA
2m
2m
A
YA
Fy = 0 YA - 20 + 19.5 = 0
XB B YB
YA = 0.5 kN
( 2 ) 取 BC 为研究对象画受力图
P 1m
XC
C
YC
XB B
YB
MC ( F ) = 0
Fy 0
FN P cos j 0 FN P cos j
考虑极限平衡状态有： F Fmax fs FN
从而得到： FT P ( fs cos j sin j). 当 FT P ( fs cos j sin j) 时, 物块才能下滑。
(3) 画受力图如右 列平衡方程
P
(c) j
解： 取起重机，画受力图.
Fx 0 FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
•利用“力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方 便：
理论力学第3章力系平衡方程及应用
a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（ 图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】 杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx
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力系的平衡
• 平面平行力系 选y轴或者x轴与力系的作用线平行，则
有 X 0或者Y 0, 只有两个独立的平衡方程.
一般式，
二力矩式
M M
( F ) 0 或 B ( F ) 0
A
F 0 M ( F ) 0
y O
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
力系的平衡
• 二力矩的形式
F 0 M ( F ) 0 M (F ) 0
x A B
限制条件：力矩中心A、B 两点的连线不能与投影轴x轴垂 直 y
F2 Fi
o x F1 Fn B A o x
力系的平衡
• 三力矩的形式
M M M
(F ) 0 ( F ) 0 B ( F ) 0 C
2、取汇交点 X = 0 B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解： Y= 0
- TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0 - TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 0 FAB = 45 kN TBC = 9.65 kN y C
600 150 300
B B T E
300 150 0 BC 15 300
x TBD=G
D
A
TBD
FAB
G
E
解二：
X = 0 - TBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0 Y= 0
TBC = 9.65 kN - TBD sin150+ FAB sin300-Gsin600= 0
M A 0 M B 0 M C 0
FT sin 30 6 4 P2 3P 1 0 6 FAy 3P 1 2P 2 0 FAx AC 3P 1 4P 2 0
能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？
例题
图示结构 ，若 F P 和l 已知， 确定下面结构的约束力
A
限制条件：力矩中心A、B 、C 三点不在同一条直线上。
B A C
B A C
例题
已知：P1=4KN，P2=10KN，尺寸如图，求：BC杆受力及铰 链A受力。
P1 =4kN,
例题
解： 取AB 梁，画受力图。
0 F P P F sin30 0 Fiy 0 Ay 1 2 T 0 F sin 30 6 4 P2 3P MA 0 T 1 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
力系的平衡
• 3.4.2 物体平衡方程的应用
（1）静定问题与静不定问题的概念 1.静定问题 未知量的个数≤独立平衡方程数 2.超静定问题（或静不定问题） 未知量的个数＞独立平衡方程数 • 超静定次数=未知量的个数-独立平衡方程数
力系的平衡
判断下面结构是否静定？
判断下面结构是否静定？
力系的平衡
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
（2）物体系的平衡问题 • 物体系统（物系）：由若干个物体通过适当的约束 相互连接而成的系统 。
物系平衡问题的应用
求解过程中应注意以下几点
首先判断物体系统是否属于静定问题
恰当地选择研究对象
在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这样则
不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出未知量时 应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究对象，一般应 先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求出部分 未知量后，再研究其他物体。
的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC
支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。
C
D
600
150
B
B
T E
0 150 BC 15 300
300
TBD=G
A
TBD
FAB G
E
解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
FAB = 45 kN
C
600 150
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
B
300
TBD=G E
D
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说
明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如
果求出负值，说明物体受压力。
独立平衡方程数
单个物体
平面一般力系 平面平行力系 平面汇交力系 平面力偶系 3 2 2 1
n个物体组成的物 体系统
3n 2n 2n n
M M
x y
(F ) 0 (F ) 0
O z
y
平面任意力系的平衡方程（一般形式）：
F 0 F 0 F 0 F 0 M ( F ) 0 M ( F ) 0
x x y y z 0
可以求解3个未知量
G3 a e
G 3a FNBb G1(b e) 0 G1(b e) G 3a FNB 5 b 由(4)、(5)式 得：
G1
G1(b e) G3 a
A FN A b
B FN B
6
由式(3)和(6)可得，起重机满载和空载均不致 翻倒时， 平衡重的重量G3所应满足的条件为：
DE 0.25 OE
C O B D E
6
O
B
SB
arctg 0.25 142'
ND
D
(b)
由力三角形可得：S sin 180 P B
(a)
sin
P
J
I
ND
K
（5）代入数据求得：
SB
(c)
SB=750 N。
例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B
A
24
P
P
A
C O B D
(a)
E
6
O
B
SB
J
P
I
ND
ND
K
D
(b)
SB
(c)
解： (1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、SB 和ND 的闭和力三角形。
例题
（4）由几何关系得： OE EA 24 P A
24
cm
P
A
tg
NB
BC杆三个反力
→可解
故先分析BC杆，再分析整体或AC杆，可解。
解：1、取BC杆为研究对象
X 0
XC YC
NB
mC
0 XC
0 N B 2a Pa 0
例题
均质杆AB和BC在B端固结成60°角，A端用绳悬挂，已知 BC=2AB,求当刚杆ABC平衡时，BC与水平面的倾角ɑ。
塔式起重机
已知: G1, G2, a,b,e,L 求：起重机满载时不向右和空 载时不向左翻倒时，平衡重的 重量G3所应满足的条件。 解：以起重机为研究对象
(1)满载时 不翻倒条件：FNA≥0 (1) 由 mB 0 得：
FR 0
MO 0
将上式向x、y、z 轴投影，可得空间任意力系的平衡方程
F F F
x y
z
0 0 0
M M M
(F ) 0 ( F ) 0 y ( F ) 0 z
x
可以求解6个未知量。
力系的平衡
• 空间平行力系
1
FB 8 4 q 6 F 2 0
代入（1）式 FB 375N
M
A
0
FAy 325 N
例题
求图示伸出梁的支座反力。
F1 =5KN F2 =20KN 2m m o =8KN· m q =2KN/m q 1 =4KN/m
A 2m 3m 2m
B 2m
例题
求如图所示悬臂梁的支座反力.
Theoretical Mechanics
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物系平衡问题的应用
受力分析，画隔离体的受力图
①首先从二力构件入手，可使受力图较简单，有利于解题。 ②解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约 束力，切忌凭主观想象画力。 ③画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构 件外，通常用二分力表示铰链反力。 ④不画研究对象的内力。