2004至2005年江苏专转本高数真题附答案

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2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案

ex 因为 y (1) = e ， e = e + C ，所以 C = 0 ，故特解为 y = . x
21 、证明：令 f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 ， x ∈ [− 1,1] ，且 f ( −1) = 3 > 0 ， f (1) = −1 < 0 ，
f (−1) ⋅ f (1) < 0 ，
∫∫ f ( x)dσ = ∫ dx ∫
1 D
u
x
1
f ( x)dy = ∫ ( x − 1) f ( x)dx ；
1
u
（2） F ' (u ) = (u − 1) f (u ) ， F ' (2) = ( 2 − 1) f (2) = f ( 2) = 1 .
所求函数为： y = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 2 . 23、（1） S =
∫
1 2 0
1 2 1 y dy = y 3 0 2 6
1
1 0
=
1 6
（2） V x = π
∫
1 π (12 − 2 x)dx = π ( x − x 2 ) 2 = 0 4
24、解：积分区域 D 为： 1 ≤ y ≤ u ， y ≤ x ≤ u （1） F (u ) =
1
=
π π
1 − ln(1 + x 2 ) 1 0 4 2 1 − ln 2 4 2
=
17、
∂z ∂2z '' '' = cos x ⋅ f 1' ， = cos x( f 12 ⋅ 2 y ) = 2 y cos xf12 ∂x ∂x∂y
1 18、 l = {5,2,1} ， B = {4,−3,0} ， AB = { ,−4,2}

2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案

2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1—6 A BC B A D 7、1-e 8、32241-+==-z y x 9、!n 10、C x +4arcsin 4111、dx y x f dy dx y x f dy yy⎰⎰⎰⎰-+2021010),(),( 12、()3,1-13、间断点为πk x =，Z k ∈，当0=x 时，1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ，为可去间断点；当πk x =，0≠k ，Z k ∈时，∞=→xxx sin lim0，为第二类间断点.14、原式=2411221lim 12)sin 1(tan lim 12sin tan lim 3)sin (tan lim320303040=⋅=-=-=-→→→→⎰xx x x x x x x x x dt t t x x x xx 15、0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y y y ，对上式求导并将0=x 、1=y 代入，解得：22''e y =.16、因为)(x f 的一个原函数为x e x，所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， ⎰dx x xf )2('⎰⎰==)2(21)2()2(21'x xdf x d x xf ⎰-=dx x f x xf )2(21)2(21 Cx e x e x x x d x f x xf x x +--=-=⎰88)12()2()2(41)2(21222C e x x x+-=241 17、2arctan 2112)1(2111112122π==+=+-=-∞++∞+∞+∞⎰⎰⎰t dt t dt t t t x t dx x x18、y f f xz⋅+=∂∂'2'1； []x f f y f x f f yx z ⋅+-⋅++⋅+-⋅=∂∂∂''22''21'2''12''112)1()1( ''22''21''12''11'2xyf yf xf f f +-+-=19、原式dy y y dx y y dy dxdy y yy y D⎰⎰⎰⎰⎰-===1010sin )1(sin sin 2 1sin 1cos cos )1(110-=--=⎰ydy y y20、n nn n x x x x f 4)2()1(41421141241)(0--=-+⋅=-+=∑∞=，)42(<-x 21、证明：令x t -=π，⎰⎰⎰-=---=ππππππ0)(sin )()(sin()()(sin dt t f t dt t f t dx x xf⎰⎰-=πππ0)(sin )(sin dx x xf dx x f故⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，证毕.4)arctan(cos 2cos 1sin 2cos 1sin 200202ππππππ=-=+=+⎰⎰x dx x x dx xx x 22、等式两边求导的)(2)('x f x x xf +=即x x xf x f 2)()('=-且1)0(-=f ，x p -=，x q 2=，⎰-=22xpdx ，22e pdxee -=⎰，22x pdxe e =⎰-，222222x x pdxedx xqdx qe ---==⎰⎰⎰所以2222222)2()(x x x Ce eC ex f +-=+-=--，由1)0(-=f ，解得1=C ，222)(x ex f +-=23、设污水厂建在河岸离甲城x 公里处，则22)50(40700500)(x x x M -++=，500≤≤x ，0)50(40)50(22170050022'=-+-⨯⨯+=x x M解得650050-=x （公里），唯一驻点，即为所求.。

2005年普通专升本高等数学真题

2005年普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段考试试题高等数学一、单项选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题不得分。

1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为（）。

A.x>1B.x<5C.1<x<5D.1<x ≤5 2.下列函数中，图形关于y 轴对称的是（）。

A.y=xcosx B.13++=x x y C.222xxy --=D. 222xxy -+=3.当x →0时，12-xe等价的无穷小量是（）。

A.x B.x 2 C.2x D.2x 2 4.∞→n lim 1)21(++n n=( )。

A.eB.e 2C.e 3D.e 45.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--0,0,11x a x xx在x=0处连续，则a=（）。

A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-6.设函数f(x)在点x=1出可导，则21)1()21(lim =--∞→hf h f h ,则=)1('f （）。

A. 21B. 21-C.41 D. 41-7.由方程y x e xy +=确定的隐函数x(y)的导数dxdy 为（）A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x8.设函数f(x)具有任意阶导数，且()()[]x f x f n =)('=（）。

A.()[]1+n x f n B.()[]1!+n x f n C.()[]1)1(++n x f n D.()[]1)!1(++n x f n9.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）。

A.[]1,1,1)(2--=x x f B.[]1,1,)(-=-xxe x fC.[]1,1,11)(2--=xx f D. []1,1,)(-=x x f10.设)12)(1()('+-=x x x f ,),(+∞-∞∈x ,则在(21,1)内,f(x)单调（）。

江苏省专转本高等数学试题题型分类整理

江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真题●函数、极限和连续●一元函数微分学●一元函数积分学●向量代数与空间解析几何●多元函数微积分●无穷级数●常微分方程时间排序与参考答案◆2004年高等数学真题参考答案◆2005年高等数学真题参考答案◆2006年高等数学真题参考答案◆2007年高等数学真题参考答案◆2008年高等数学真题参考答案◆2009年高等数学真题参考答案◆2010年高等数学真题参考答案◆2011年高等数学真题参考答案◆2012年高等数学真题参考答案◆2013年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）知识分类与历年真题一、函数、极限和连续（一）函数（0401）[](]333,0()0,2x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩是（） A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数（0801）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（）A.()y f x =-B.)(43x f x y = C.()y f x =-- D.)()(x f x f y -+= （二）极限（0402）当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（）A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小（0407）设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x ．（0601）若012lim 2x x f x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则0lim 3x xx f →=⎛⎫ ⎪⎝⎭（） A.21 B.2C.3D.31 （0607）已知0→x 时，(1cos )a x ⋅-与x x sin 是等价无穷小，则=a ．（0613)计算x →．（0701）若0(2)lim2x f x x→=，则1lim 2x xf x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A.41B.21 C.2D.4（0702）已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x nsin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （） A.1B.2C.3D.4（0813）求极限：32lim xx x x →∞-⎛⎫⎪⎝⎭．（0901）已知22lim32x x ax bx →++=-，则常数b a ,的取值分别为（） A.2,1-=-=b a B.0,2=-=b aC.0,1=-=b aD.1,2-=-=b a（0907）已知lim 2xx x x C →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数=C ．（1001）设当0x →时，()sin f x x x =-与()ng x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为 ( ) A.1,36a n == B.1,33a n == C.1,412a n == D.1,46a n == （1007） 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭．（1101）当0→x 时，函数1)(--=x e x f x是函数2)(x x g =的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1107）已知22lim kxx x e x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则=k _________．（1201）极限1sin 3lim 2sinx x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.0 B.2 C.3D.5（1301）当0x →时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2()g x x =的（） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1310）设10lim xx a x e a x →+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则常数a = ．（三）连续（0413）求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型．（0501）0=x 是xx x f 1sin )(=的（） A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点（0513）设()2sin 0()0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续，并满足0)0(=f ，(0)6f '=，求a ．（0602）函数21sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（） A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续（0608）若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续．（0707）设函数1(1)0()20x kx x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩，在点0=x 处连续，则常数=k ．（0807）设函数21()(1)x f x x x -=-，则其第一类间断点为．（0808）设函数0()tan 30a x x f x x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪⎩在点0=x 处连续，则a ＝．（0902）已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点（1123）设210arctan ()1010sin 2ax axe x ax x x xf x x e x x ⎧---<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩，问常数为何值时：（1）0=x 是函数)(x f 的连续点？（2）0=x 是函数)(x f 的可去间断点？（3）0=x 是函数)(x f 的跳跃间断点？（1202）设()2(2)sin ()4x xf x x x -⋅=⋅-，则函数)(x f 的第一类间断点的个数为（） A.0 B.1C.2D.3（1207）要使函数()1()12xf x x =-在点0=x 处连续，则需补充定义(0)f =_________．（1303）设sin 20()0xx x f x x ⎧<⎪⎪=⎨>，这点0x =是函数()f x 的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点（1307）设1sin0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则常数a = ．二、一元函数微分学（一）导数与微分（0403）直线L 与x 轴平行且与曲线xe x y -=相切，则切点的坐标是（） A.()1,1B.()1,1-C.()0,1-D.()0,1（0409）设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，N n ∈，则=)0('f ．（0415）设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22d d x yx=的值．（0502）若2=x 是函数1ln 2y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的可导极值点，则常数=a （） A.1-B.21C.21- D.1 （0514）设函数)(x y y =由方程cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0614）若函数)(x y y =是由参数方程2ln (1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0708）若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m ．（0714）设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求d d x yx=、22d d x y x =．（0802）设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是（） A.0(0)()lim(0)x f f x f x →-'=- B.000(2)()lim ()x f x x f x f x x→+-'=C.0000()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆D.0000()()lim 2()x f x x f x x f x x∆→-∆-+∆'=∆ （0814）设函数)(x y y =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩（2t n π≠，n Z ∈）所决定，求d d y x 、22d d y x ．（0903）设函数00()1sin 0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（） A.10<<αB.10≤<αC.1>αD.1≥α（0914）设函数)(x y y =由参数方程2ln (1)23x t y t t =+⎧⎨=+-⎩所确定，d d y x 、22d d yx ．（0923）已知函数0()10x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导．（1008）.若(0)1f '=，则0()()limx f x f x x→--= ．（1014）设函数()y y x =由方程2x yy ex ++=所确定，求d d y x 、22d d yx ．（1022）设()0()1x x f x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数，且(0)0ϕ=，(0)1ϕ'=，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导．（1102）设函数)(x f 在点0x 处可导，且4)()(lim 000=+--→hh x f h x f h ，则=')(0x f ( )A.4-B.2-C.2D.4（1110）设函数x y arctan=，则1d x y==_____________．（1114）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=22ty e tt x y 所确定，求d d y x ．（1208）设函数()22221x y x x x e =⋅+++，则=)0()7(y________．（1209）设xy x =（0x >），则函数y 的微分=dy ___________．（1214）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定，求d d y x 、22d d y x ．（1304）设1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶导数，则22d d y x =（）A.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1306）已知函数()f x 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x →=-，则曲线()f x 在点()1,()f x 处切线方程为（） A.1y x =-B.22y x =-C.33y x =-D.44y x =-（1309）设函数由参数方程2211x t y t ⎧=+⎨=-⎩所确定，则221d d t yx == ．（二）中值定理及导数的应用（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？（0507）02limsin x x x e e xx x-→--=- ．（0508）函数x x f ln )(=在区间[]1,e 上满足拉格郎日中值定理的=ξ ．（0521）证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根．（0603）下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（） A.xe y =B.1y x =+C.21x y -=D.xy 11-= （0621）证明：当2x ≤时，332x x -≤．（0703）设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则方程()0f x '=的实根个数为（） A.1B.2C.3D.4（0713）求极限01lim tan x x e x x x→--．（0722）设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质：（1）在点1-=x 的左侧临近单调减少；（2）在点1-=x 的右侧临近单调增加；（3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变．试确定a ，b ，c 的值．（0724）求证：当0>x 时，22(1)ln (1)x x x -⋅≥-．（0809）已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为．（0821）求曲线1y x=（0x >）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值．（0823）设函数)(x f 在闭区间[]0,2a （0a >）上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间(0,)a 上至少存在一点ξ，使得()()f f a ξξ=+．（0824）对任意实数x ，证明不等式：(1)1xx e -⋅≤．（0904）曲线221(1)x y x +=-的渐近线的条数为（）A.1B.2C.3D.4（0913）求极限30lim sin x x x x→-．（0921）已知函数13)(3+-=x x x f ，试求：（1）函数)(x f 的单调区间与极值；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间[2,3]-上的最大值与最小值．（0924）证明：当12x <<时，24ln 23x x x x >+-．（1002）曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条（1006）设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内 ( ) A.函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B.函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C.函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D.函数()f x 单调减少且其图形是凸的（1013）求极限2|011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭．（1021）证明：当1x >时，121122x e x ->+．（1103）若点(1,2)-是曲线23bx ax y -=的拐点，则（） A.3,1==b aB.1,3-=-=b aC.3,1-=-=b aD.6,4==b a（1113）求极限()()22limln 1xx x eex -→-+．（1121）证明：方程()2ln 12x x ⋅+=有且仅有一个小于2的正实根．（1122）证明：当0>x 时，x x201120102011≥+．（1203）设232152)(x x x f -=，则函数)(x f ( ) A.只有一个最大值 B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值（1213）求极限()2302cos 2lim ln 1x x x x x →+-+．（1223）证明：当10<<x 时，361arcsin x x x +>．（1302）曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条（1313）求极限01lim ln (1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．（1323）证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-．三、一元函数积分学（一）不定积分（0410）求不定积分3x = ．（0416）设)(x f 的一个原函数为xe x，计算(2)d x f x x '⎰．（0503）若()d ()f x x F x C =+⎰，则sin (cos )d x f x x =⎰（）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C F +(cos)D.C x F +-)(cos（0515）计算3tan sec d x x x ⎰．（0522）设函数)(x f y =的图形上有一拐点(2,4)P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数6y x a ''=+，求)(x f ．（0604）已知2()d x f x x e C =+⎰，则()d f x x '-=⎰（）A.C ex+-22B.C e x +-221 C.C e x +--22 D.C e x +--221（0615）计算x ．（0622）已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程．（0704）设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则(2)d f x x '=⎰（）A.C x +4cosB.C x +4cos 21C.C x +4cos 2D.C x +4sin（0715）求不定积分2d x x e x -⎰．（0810）设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分()d f x x =⎰ ．（0815）求不定积分3d 1x x x +⎰．（0905）设()ln (31)F x x =+是函数)(x f 的一个原函数，则(21)d f x x '+=⎰（）A.C x ++461B.C x ++463C.C x ++8121D.C x ++8123（0915）求不定积分x ⎰．（1015）求不定积分arctan d x x x ⎰．（1115）设)(x f 的一个原函数为x x sin 2，求不定积分()d f x x x⎰．（1215）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（1315）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（二）定积分（0404）2228R y x =+设所围的面积为S ，则0x ⎰的值为（）A.SB.4S C.2S D.S 2（0421）证明：0(sin )d (sin )d 2x f x x f x x πππ=⎰⎰，并利用此式求20sin d 1cos xxx xπ+⎰．（0509）1211d 1x x x π-+=+⎰．（0516）计算10arctan d x x ⎰．（0609）设)(x f 在[]0,1上有连续的导数且(1)2f =，10()d 3f x x =⎰，则1()d x f x x '=⎰ ．（0616）计算22cos d x x x π⎰．（0709）定积分)231cos d x x x -+⎰的值为．（0716）计算定积分x ．（0811）定积分1212sin d 1xx x -++⎰的值为．（0816）求定积分10d x ⎰．（0916）求定积分：210⎰．（1009）定积分31211d 1x x x -++⎰的值为．（1016）计算定积分40x ⎰．（1111）定积分()32221sin d xx x ππ-+⋅⎰的值为____________．（1116）计算定积分3⎰　．（1216）计算定积分21⎰．（1316）计算定积分20⎰（1324）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：[]2()d ()()d a b b aaf x x f x f a b x x +=++-⎰⎰．（三）变限积分与广义积分（0417）计算广义积分2+∞⎰（0422）设函数)(x f 可导，且满足方程20()d 1()x t f t t x f x =++⎰，求)(x f ．（0705）设221()sin d x f x t t =⎰，则()f x '=（）A.4sin x B.2sin 2x xC.2cos 2x xD.4sin 2x x（0803）设函数)(x f 122sin d xt t t =⎰，则()f x '等于（）A.x x 2sin 42B.x x 2sin 82C.x x 2sin 42-D.x x 2sin 82-（0908）设函数20()d x t x te t ϕ=⎰，则()x ϕ'＝．（1003）设函数22()cos d t xx e t t Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( )A.222cos x xe x B.222cos x xe x - C.2cos xxe x - D.22cos x e x - （1108）设函数2()ln (1)d x x t t Φ=+⎰　，则=Φ'')1(____________．（1211）设反常积分1d 2x ae x +∞-=⎰，则常数=a ______．（1222）已知定义在(),-∞+∞上的可导函数)(x f 满足方程31()4()d 3xx f x f t t x -=-⎰，试求：（1）函数()f x 的表达式；（2）函数)(x f 的单调区间与极值；（3）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点．（1224）设0()d 0()(0)0x g t t x f x g x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中函数)(x g 在(,)-∞+∞上连续，且3cos 1)(lim 0=-→xx g x ．证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且1(0)2f '=．（1322）已知251320()95d x F x t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰是()f x 的一个原函数，求曲线()y f x =的凹凸区间、拐点．（四）定积分的几何应用（0523）已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）曲边三角形绕x 轴旋转一周的旋转体体积．（0623）已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成．（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积．（0721）设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0822）设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0922）设1D 是由抛物线22x y =和直线x a =，0y =所围成的平面封闭区域，2D 是由抛物线22x y =和直线x a =，2x =及0=y 所围成的平面封闭区域，其中20<<a ．试求：（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V ；（2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等．（1023）设由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值．（1024）设函数()f x 满足方程()()2xf x f x e '+=，且(0)2f =，记由曲线'()()f x y f x =与直线1y =，x t =（0t >）及y 轴所围平面图形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞．（1124）设函数)(x f 满足微分方程()2()(1)x f x f x a x '-=-+（其中a 为正常数），且1)1(=f ，由曲线()y f x =（1x ≤）与直线1x =，0y =所围成的平面图形记为D ．已知D 的面积为32．（1）求函数)(x f 的表达式；（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积x V ；（3）求平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积y V ．（1221）在抛物线2y x =（0x >）上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．（1321）设平面图形D 是由曲线x =y =1y =所围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（0510）设向量{}3,4,2=-a 、{}2,1,k =b ；a 、b 互相垂直，则=k ．（0610）设1=a ，⊥a b ，则()⋅+=a a b ．（0710）已知a 、b 均为单位向量，且12⋅=a b ，则以a 、b 为邻边的平行四边形面积为．（0804）设向量(1,2,3)=a ，(3,2,4)=b ，则⨯a b 等于（）A.(2,5,4)B.(2,5,4)--C.(2,5,4)-D.(2,5,4)--（0909）已知向量{}1,0,1=-a ，{}1,2,1=-b ，则+a b 与a 的夹角为．（1010）设{}1,2,3=a ，{}2,5,k=b ，若a 与b 垂直，则常数k = ．（1109）若1=a ，4=b ，2⋅=a b ，则⨯=a b ____________．（1210）设向量a 、b 互相垂直，且3=a ，2=b ，则2+=a b ________．（1308）已知空间三点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(3,4,5)C ，则ABC ∆的面积为．（二）平面与直线（0518）求过点(3,1,2)A -且通过直线L ：43521x y z-+==的平面方程．（0619）求过点(3,1,2)M -且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程．（0719）求过点(1,2,3)且垂直于直线20210x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的平面方程．（0817）设平面∏经过点(2,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,5)C ，求经过点(1,2,1)P 且与平面∏垂直的直线方程．（0917）求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程．（1017）求通过点(1,1,1)，且与直线23253x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直，又与平面250x z --=平行的直线的方程．（1117）求通过x 轴与直线132zy x ==的平面方程．（1217）已知平面∏通过(1,2,3)M 与x 轴，求通过(1,1,1)N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．（1318）已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩在平面∏上，又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行，求平面∏的方程．五、多元函数微积分（一）多元函数微分学（0418）设(,)z f x y xy =-，且具有二阶连续的偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0505）设yxy x u arctan),(=，(,)v x y =，则下列等式成立的是（）A.yv x u ∂∂=∂∂ B.xvx u ∂∂=∂∂ C.x v y u ∂∂=∂∂ D.y v y u ∂∂=∂∂ （0517）已知函数2(sin ,)z f x y =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0611）设x e u xysin =，=∂∂xu．（0620）设2(,)z x f x xy =⋅其中(,)f u v 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、xy z∂∂∂2．（0711）设yxz =，则全微分d z = ．（0717）设(23,)z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（0805）函数xyz ln =在点(2,2)处的全微分d z 为（）A.11d d 22x y -+B.11d d 22x y +C.11d d 22x y -D.11d d 22x y --（0818）设函数,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（0910）设函数(,)z z x y =由方程12=+yz xz 所确定，则xz∂∂＝．（0919）设函数(sin ,)z f x xy =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（1011）设函数z =，则10d x y z=== ．（1018）设()2,xz y f xy e =⋅，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．（1104）设),(y x f z =为由方程8333=+-x yz z 所确定的函数，则=∂∂==00y x yz （）A.21-B.21C.2-D.2（1118）设)(y xyxf z ，=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（1204）设3ln 2z x y=+在点()1,1处的全微分为 ( )A.d 3d x y -B.d 3d x y +C.1d 3d 2x y +D.1d 3d 2x y -（1218）设函数22(,)()z f x xy x y ϕ=++，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()x ϕ具有二阶连续导数，求yx z∂∂∂2．（1314）设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求d z 及22zx∂∂．（1317）设()223,x yz fx e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zy x∂∂∂．（二）二重积分（0411）交换二次积分的次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰．（0419）计算二重积分sin d d Dyx y y ⎰⎰，其中D 由曲线x y =及x y =2所围成．（0504）设区域D 是xoy 平面上以点(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +=⎰⎰（）A.⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB.⎰⎰12D xydxdyC.⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD. 0（0511）交换二次积分的次序11d (,)d x x f x y y -+=⎰；（0524）设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，1()d ()d uuyF u y f x x =⎰⎰（1u >）．（1）交换)(u F 的积分次序；（2）求(2)F '．（0606）设对一切x 有(,)(,)f x y f x y -=-，22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥，=1D 22{(,)|1,0,0}x y x y x y +≤≥≥，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰（）A. 0B.1(,)d d D f x y x y ⎰⎰C.21(,)d d D f x y x y ⎰⎰D.41(,)d d D f x y x y ⎰⎰（0612）D 为以点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,2)B 为顶点的三角形区域，d d Dx y =⎰⎰ ．（0624）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续．（1）求a 的值使得)(t g连续；（2）求)('t g ．（0720）计算二重积分d Dx y ，其中{}22(,)|2,0D x y x y x y =+≤≥．（0723）设0>>a b ，证明：()232d ()d ()d b b b x y xx a ayay f x e x ee f x x ++⋅=-⎰⎰⎰．（0819）计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线xy 1=，直线y x =，2x =及0=y 所围成的平面区域．（0918）计算二重积分d Dy σ⎰⎰，其中22{(,)02,2,2}D x y x x y x y =≤≤≤≤+≥．（1005）二次积分111d (,)d y y f x y x +⎰⎰交换积分次序后得 ( )A.1101d (,)d x x f x y y +⎰⎰B.2110d (,)d x x f x y y -⎰⎰C.2111d (,)d x x f x y y -⎰⎰D.2111(,)d x dx f x y y -⎰⎰（1019）计算d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线x =y x =及x 轴所围成的闭区域．（1105）若(,)d d Df x y x y ⎰⎰可转化为二次积分1201d (,)d y y f x y x +⎰⎰ ，则积分域D 可表示为（） A.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ B.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤C.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤D.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤-（1119）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =直线x y -=及y 轴所围成的平面闭区域．（1205）二次积分dx y x f dy y),(11⎰⎰ 在极坐标系下可化为（）A.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρ⎰⎰ B.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰C.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρ⎰⎰D .sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρρ⎰⎰ （1220）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =2xy =及x 轴所围成的平面闭区域．（1320）计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =0x >）与三条直线y x =，3x =，0y =所围成的平面闭区域．六、无穷级数（一）数项级数（0506）正项级数（1）∑∞=1n n u 、（2）∑∞=13n n u ，则下列说法正确的是（） A.若（1）发散、则（2）必发散 B.若（2）收敛、则（1）必收敛C.若（1）发散、则（2）不确定D.（1）、（2）敛散性相同（0605）设∑∞=1n nu为正项级数，如下说法正确的是（）A.若0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n nu必收敛 B.若l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛C.若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu必定收敛D.若∑∞=-1)1(n n nu 收敛，则∑∞=1n n u 必定收敛（0706）下列级数收敛的是（）A.∑∞=122n nnB.∑∞=+11n n n C.∑∞=-+1)1(1n nnD.∑∞=-1)1(n nn（0906）设α为非零常数，则数项级数∑∞=+12n n n α（）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与α有关（1004）下列级数收敛的是（）A.11n nn ∞=+∑B.2121n n n n ∞=++∑C.nn ∞= D.212n n n ∞=∑（1206）下列级数中条件收敛的是（）A.1(1)21nn nn ∞=-+∑B.13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C.21(1)nn n ∞=-∑D.1nn ∞=（1305）下列级数中收敛的是（）A.211n n n∞=+∑ B.11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑C.1!2n n n ∞=∑D.1n ∞= （二）幂级数（0412）幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为．（0420）把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间．（0512）幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛区间为．（0519）把函数222)(x x x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间．（0618）将函数()ln (1)f x x x =+展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）．（0812）幂函数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域为．（0911）若幂函数21n nn a x n∞=∑（0a >）的收敛半径为21，则常数=a ．（1012）幂级数0(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为．（1106）若x x f +=21)(的幂级数展开式为0()nn n f x a x ∞==∑（22x -<<），则系数=n a ( )A.n 21B.121+n C.(1)2nn -D.1(1)2nn +-（1112）幂级数0nn ∞=的收敛域为_ _ _________．（1212）幂级数1(1)(3)3nn nn x n ∞=--⋅∑的收敛域为____________．（1312）幂级数1n nn ∞=的收敛域为．七、常微分方程（一）一阶微分方程（0520）求微分方程0'=-+xe y xy 满足1x ye ==的特解．（0617）求微分方程22x y xy y '=-的通解．（0718）求微分方程22007xy y x '-=满足初始条件12008x y==的特解．（0820）求微分方程22xy y x '=+的通解．（0912）微分方程2(1)d (2)d 0x y x y x y +--=的通解为．（1311）微分方程d d y x y x x+=的通解为．（二）二阶线性微分方程（0406）微分方程232xy y y xe '''-+=的特解*y 的形式应为（）A.xAxe 2B.xe B Ax 2)(+C.xeAx 22D.xeB Ax x 2)(+（0712）设x xe C eC y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为．（0806）微分方程321y y y '''++=的通解为（）A.1221++=--x xe c e c yB.21221++=--x xe c ec yC.1221++=-xxec e c yD.21221++=-xxec e c y （0920）求微分方程y y x ''-=的通解．（1020）已知函数xy e =和2xy e-=是二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个解，试确定常数p 、q 的值，并求微分方程xy py qy e '''++=的通解．（1120）已知函数(1)xy x e =+⋅是一阶线性微分方程2()y y f x '+=的解，求二阶常系数线性微分方程)(23x f y y y =+'+''的通解．（1219）已知函数)(x f 的一个原函数为xxe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解．（1319）已知函数()y f x =是一阶微分方程d d yy x=满足初始条件(0)1y =的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解．时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案1、A ．2、B ．3、C ．4、B ．5、A ．6、D ．7、1-e ． 8、32241-+==-z y x ． 9、!n ． 10、C x +4arcsin 41． 11、12201d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰．12、()3,1-．13、解：间断点为πk x =（Z k ∈），当0=x 时，1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ，为可去间断点；当πk x =（0≠k ，Z k ∈）时，∞=→xxx sin lim0，为第二类间断点．14、解：原式0430(tan sin )d tan sin limlim312xx x t t tx xx x →→--==⎰233001tan (1cos )12lim lim 121224x x x x x x x x →→⋅-===． 15、解：0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y yy，对上式求导并将0=x 、1=y 代入，解得：22''e y =．16、解：因为)(x f 的一个原函数为x e x，所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，原式11(2)d(2)d (2)22xf x x x f x '==⎰⎰11(2)(2)d 22x f x f x x =-⎰ 222211(21)1(2)(2)d(2)24884x x xx x e e x x f x f x x C e C x x x--=-=-+=+⎰． 17211122d d 22arctan (1)12t tt tt t t π+∞∞+∞+===++⎰．18、解：12zf f y x∂''=+⋅∂； []21112221221112222(1)(1)()zf f x f y f f x f x y f xy f f x y∂''''''''''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅=-+-⋅+⋅+∂∂．19、解：原式21100sin sin d d d d (1)sin d y y Dyy x y y x y y y y y ===-⎰⎰⎰⎰⎰ 1100(1)cos cos d 1sin1y y y y =--=-⎰．20、解：01111(2)()(1)24244414n n nn x f x x x ∞=-==⋅=--+-+∑)62(<<-x ． 21、证：00(sin )d ()[sin ()]d ()(sin )d t xx f x xt f t t t f t I t πππππππ=-=---=-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d f x x x f x x f x x I πππππ=-=-⎰⎰⎰解得： 0(sin )d (sin )d 2f x x f x x I x πππ==⎰⎰，原命题证毕．222000sin sin d d arctan (cos )1cos 21cos 24x x x x x x x x ππππππ⋅==-=++⎰⎰． 22、解：等式两边求导得()2()x f x x f x '=+，即()()2f x x f x x '-=-，且(0)1f =-，x p -=，x q 2-=，而2()d 2x x xe e --⎰=，由公式求得通解：222222()2d 2x x x f x e xq x C C e -⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰，将初始条件(0)1f =-代入通解，解得：3-=C ，故22()23x f x e =-．23、解：设污水厂建在河岸离甲城x 公里处，则()500M x x =+500≤≤x ），由150070002M '=+⨯=解得：650050-=x （公里），唯一驻点，即为所求．2005年高等数学真题参考答案1、A ．2、C ．3、D ．4、A ．5、A ．6、C ．7、2． 8、1-e ． 9、2π． 10、5． 11、11d (,)d y y f x y x -⎰⎰．12、(1,1)-．13、解：因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，'00()2sin ()(0)lim ()limlim 2(0)28x x x f x x f x f F x f x x→→→+-==+=+=，解得：a F =)0(，故8=a ．14、解：d d cos cos sin d d d sin d yy t t t t t t x x t t-+===--，22d ()csc d (cos )y t t x t '-=='．15、解：原式22tan tan sec d (sec1)d(sec )x x x xx x =⋅-⎰⎰积进去231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰．16、解：原式211120002d 1d(1)arctan 1421x x x x x x x π+=--++⎰⎰积进去 ()12011ln 1ln 24242x ππ⎡⎤=-+=-⎣⎦．17、解：1cos zx f x∂'=⋅∂，()21212cos 22cos z x f y y x f x y ∂''''=⋅⋅=⋅∂∂． 18、解：直线L 的方向向量{}5,2,1=s ，过点()4,3,0B -，{}1,4,2AB =-；所求平面的法向量{}5218,9,22142AB =⨯==---ij kn s ，点法式为8(3)9(1)22(2)0x y z ----+=，即592298=--z y x ．19、解：2222101111(1)()13216313212n nn n x x x x f x x x x x x ∞+=⎡⎤-⎛⎫=+=⋅+⋅=+⋅ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦+∑，收敛域为：11<<-x ．20、解：1x e y y x x '+⋅=，即1p x=，x e q x =，而1d 1x x e x -⎰=；故通解为1d xx e e C y x x C x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰．把初始条件1x y e ==解得：0=C ；故所求特解为：xe y x=．21、证：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1x ∈-，且(1)30f -=>，(1)10f =-<，(1)(1)0f f -⋅<；由连续函数零点定理知：)(x f 在(1,1)-内至少有一实根；对于()1,1x ∈-恒有()22()33310f x x x '=-=-<，即)(x f 在(1,1)-内单调递减，故方程0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根；原命题获证．22、解：设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，(2)3f '=-，(2)0f ''=；由()6f x x a ''=+和(2)0f ''=解得：12-=a ，即()612f x x ''=-，故21()312f x x x C '=-+，由(2)3f '=-解得：91=C ，故22396C x x x y ++-=，由(2)4f =解得：22=C ；所求函数为：29623++-=x x x y ．23、解：（1）112300111d 266S y y y ===⎰；（如图1所示）（2）()()112222012d 4x V x x x xπππ=-=-=⎰．24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤；（1）111()()d d ()d (1)()d u xuDF u f x x f x y x f x x σ===-⎰⎰⎰⎰⎰；（2）()(1)()F u u f u '=-，(2)(21)(2)(2)1F f f '=-==．2006年高等数学真题参考答案1、C ．2、B ．3、C ．4、C ．5、C ．6、A ．7、2． 8、)(0x f ． 9、1-． 10、1． 11、(sin cos )xye y x x +． 12、1．13、解：原式322131lim 21341==--→x xx ．图114、解：2211d 12d 21t t y y t t t x x t-'+==='+，2222d 1d d 122d 41ty x y t t x x t t '⎛⎫ ⎪+⎝⎭==='+． 15、解：原式322ln )(1ln )3x x C =+=++．16、解：原式()2222220d(sin )sin 2sin d x x x xx x πππ=-⎰⎰积进去222220sin 2sin d 2d(cos )4x xx x xx x ππππ-+⎰⎰积进去导出来2222002cos 2cos d 244x x x x ππππ=+-=-⎰．17、解：方程变形为2y y y x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，即得到了形如d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭齐次方程；令y u x =，则d d d d y u u x x x =+，代入得：2d d u x u x =-，分离变量得：211d d u x u x-=；两边积分，得：211d d u x u x -=⎰⎰，1ln x C u=+，故ln x y x C =+． 18、解：令()ln (1)g x x =+，则(0)0g =；由于01()(1)1n n n g x x x ∞='==-+∑（(]1,1x ∈-），所以01(1)((1))d x n n n g x n x g t t ∞+='=+=-∑⎰（(]1,1x ∈-），故20(1)()1n n n f x x n ∞+=-=+∑，收敛域为：11x -<≤．19、解：由题意知：{}11,1,1=-n ，{}24,3,1=-n ；{}12311232,3,1431=⨯=-=++=-i j ks n n i j k ，故所求直线方程的对称式方程为：123123+=-=-z y x ．20、解：22z x f x∂'=∂，2'2'''''3''2''22122221222(2)22z x f x f x f y x f x f x y f y x ∂=+⋅+⋅=++∂∂． 21、证：令33)(x x x f -=，[]2,2x ∈-，由2()330f x x '=-=解得驻点：1±=x ，比较以下函数值的大小：(1)2f -=-，(1)2f =，(2)2f =-，(2)2f -=；所以2min -=f ，2m ax =f ，故2)(2≤≤-x f ，即332x x -≤，原命题获证．22、解：0)0(=y ，2y x y '=+，通解为：xCe x y +--=)22(；将0)0(=y 代入通解解得：2=C ，故所求特解为：xe x y 222+--=．23、解：（1）()2222648d 3S x x x -=--=⎰；（2）224804d d 16y V y y πππ=+=⎰⎰．24、解：()d d d ()d ()d tt tt D f x x y x f x y t f x x ==⎰⎰⎰⎰⎰，0()d 0()0t f x x t g t a t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰；（1）00lim ()lim()d 0t t t g t f x x →→==⎰，由)(t g 的连续性可知：0)(lim )0(0===→t g g a t ；（2）当0≠t 时，()()g t f t '=，当0=t 时，0000()d ()(0)(0)limlim lim ()(0)hh h h f x x g h g g f h f h h→→→-'====⎰；综上，()()g t f t '=．2007年高等数学真题参考答案1、B ．2、C ．3、C ．4、A ．5、D ．6、D ．7、2ln ． 8、1． 9、π2． 10、23． 11、21d d xx y y y-． 12、06'5''=+-y y y ． 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e ． 14、解：当0=x 时，0=y ；。

成人专升本高等数学一真题2004年_真题(含答案与解析)-交互

成人专升本高等数学一真题2004年(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题1.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D2.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B3.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B4.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C5.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A二、填空题6.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:e7.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:8.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:19.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:10.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:11.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:12.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:213.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:14.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:15.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:三、解答题16.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 617.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 618.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 619.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 620.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 621.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 622.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 623.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 624.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 625.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 626.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1027.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1028.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 101。

2004高考数学试题(江苏)及答案

)2004年普通高等学校招生江苏卷数学试题一、选择题(5分×12=60分)1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 ( )(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( )(A)2π(B)π (C)π2 (D)π43.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( )(A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33π3416cm5.若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为 ( ) (A)2 (B)22 (C) 4 (D)246.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( ) (A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时7.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)488.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则(A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)9121610.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( ) (A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-1911.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( )(A)3 (B)32 (C)43 (D)6512.设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 ( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个二、填空题(4分×4=16分)13.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如右表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_____________________.14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16.平面向量b a ,中，已知=(4，-3)=1，且⋅=5，则向量=__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分)17.已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.18.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 20.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k kS S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k kS S =成立.21.已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率. 22.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.· B 1P A C D A 1 C 1D 1 BO H·2004年普通高等学校招生江苏卷数学试题参考答案一、选择题：ABDCA BCADC BA 二、填空题；13、{2x x <-或3}x >； 14、22(1)(1)25x y -+-=； 15、2； 16、43(,)55b =-。

2004年成人高考专升本高等数学二考试真题附参考答案

2004年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案
一、选择题：本大题共5个小题，每题4分，共20分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

第1题
参考答案：A
第2题
参考答案：D
第3题
参考答案：D
第4题
参考答案：B
第5题
参考答案：C
二、填空题：本大题共10个小题，每题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。

第6题
参考答案：1
第7题
参考答案：0
第8题
参考答案：1
第9题
参考答案：2/x3
第10题
参考答案：-1
第11题
参考答案：0
第12题
参考答案：e-1 第13题
参考答案：1
第14题
参考答案：-sinx 第15题
三、解答题：本大题共13个小题，共90分，解容许写出推理、演算步骤. 第16题
第17题
第18题
第19题
第20题
第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题
第27题
第28题。

2004至2005年江苏专转本高数真题附答案

2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）1、[](]⎩⎨⎧∈--∈=2,00,3)(33x xx x x f ，是：（） A 、有界函数B 、奇函数C 、偶函数D 、周期函数2、当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（） A 、高阶无穷小B 、同阶但不是等价无穷小C 、低阶无穷小D 、等价无穷小3、直线L 与x 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点的坐标是（） A 、()1,1B 、()1,1-C 、()1,0-D 、()1,04、2228R y x =+设所围的面积为S ，则dx x R R⎰-220228的值为（）A 、SB 、4SC 、2S D 、S 25、设yx y x u a r c ta n),(=、22ln ),(y x y x v +=，则下列等式成立的是（） A 、y v x u ∂∂=∂∂ B 、xv x u ∂∂=∂∂ C 、xv y u ∂∂=∂∂ D 、yv y u ∂∂=∂∂ 6、微分方程xxe y y y 22'3''=+-的特解*y 的形式应为（） A 、xAxe 2B 、xe B Ax 2)(+C 、xeAx 22 D 、x e B Ax x 2)(+二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）7、设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x 8、过点)2,0,1(-M 且垂直于平面2324=-+z y x 的直线方程为9、设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，N n ∈，则=)0('f 10、求不定积分=-⎰dx xx 231arcsin 11、交换二次积分的次序=⎰⎰-dy y x f dx x x 212),(12、幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为三、解答题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 13、求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型.14、求极限)31ln()1()sin (tan lim22x e dtt t x xx +--⎰→.15、设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22=x dx yd 的值.16、设)(x f 的一个原函数为xe x ，计算⎰dx x xf )2('.17、计算广义积分dx x x ⎰+∞-211.18、设),(xy y x f z -=，且具有二阶连续的偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2.19、计算二重积分dxdy y yD⎰⎰sin ，其中D 由曲线x y =及x y =2所围成.20、把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间.四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）21、证明：⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并利用此式求dx xxx⎰+π2cos 1sin .22、设函数)(x f 可导，且满足方程)(1)(20x f x dt t tf x++=⎰，求)(x f .23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。

2001—2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是（） A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(lim C 、11sinlim =∞→xx x D 、11sinlim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （）A 、211x- B 、c x+-211 C 、x arcsin D 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有（） A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x fD 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示（） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6、设⎩⎨⎧+==22t t y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctanπ+++=xx y ，求dy .12、计算xx dte x x tx sin lim22⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x x x x f 的间断点，并说明其类型.14、已知xy x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy .15、计算dx eexx⎰+12.16、已知⎰∞-=+02211dx xk ，求k 的值.17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b axx f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2yx x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求xz ∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程；（2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

专转本数学历年真题

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学负责人：张源教授装饰11-2一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是（）A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （）A 、211x-B 、c x+-211 C 、x arcsin D 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有（） A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示（） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctanπ+++=x x y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2yx x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、y x z∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程；（2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

专转本高数真题试卷2005

江苏省高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1、x=0是函数xx x f 1sin)(=的（） A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D.连续点2、设x ＝2是函数1ln()2y x ax =-+的可导极值点，则a ＝（） A 、－1 B 、12 C 、12- D 、1 3、若()(),f x dx F x C =+⎰则sin (cos )()xf x dx =⎰A. (sin )F x C +B. (sin )F x C -+C. (cos )F x C +D. (cos )F x C -+4、1lim(1)()xx kx →-= A. k e B . ke- C. 1 D. ∞5、设区域D 是xoy 平面上以点A(1,1)，B(-1,1)，C(-1,-1)为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰＝（）A. 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰B.12D xydxdy ⎰⎰C 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰D. 06、设有正项级数（1）n u ∑与（2）2n u ∑，则下列说法中正确的是（） A ．若（1）发散则（2）必发散。

B.若（2）收敛，则（1）必收敛。

C.若（1）发散，则（2）可能发散也可能收敛。

D.（1），（2）敛散性一致。

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把正确答案的结果填在划线上）。

7、02lim__sin x x x e e xx x-→--=- 8、对函数()ln f x x =在闭区间[1,e]上应用Lagrange 中值定理，求得的ξ＝____。

9、1211______.1x dx xπ-+=+⎰10、设向量{3,4,2},{2,1,},a b k =-=若a 与b 垂直，则k=________.11、交换二次积分的次序：11(,)x dx f x y dy -+⎰＝______________.12、幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛域为_____________.三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。

2001―2021年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2001―2021年江苏专转本高等数学真题（附答案）2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分后，共15分后）1、下列各极限正确的是（）a、lim(1?x?01x)x?eb、lim(1?x??1x1)x?ec、limxsinx??1x?1d、limxsinx?01x?12、不定积分?11?x211?x2dx?（）a、b、11?x2?cc、arcsinxd、arcsinx?c3、若f(x)?f(?x)，且在?0,内f'(x)?0、f''(x)?0，则在(??,0)内必有（）a、f'(x)?0,f''(x)?0c、f'(x)?0,f''(x)?02b、f'(x)?0,f''(x)?0d、f'(x)?0,f''(x)?04、?x?1dx?（）0a、022b、2c、－1d、15、方程x?y?4x在空间直角坐标系则中则表示（）a、圆柱面b、点c、圆d、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分后，共15分后）?x?tetdy6、设立?，则2dxy?2t?t?'''t?0?7、y?6y?13y?0的通解为8、交换积分次序?dx?022xxf(x,y)dy?y9、函数z?x的全微分dz?110、设f(x)为连续函数，则?[f(x)?f(?x)?x]x3dx?11三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知y?arctanx0x?ln(1?2)?cosx?5，求dy.x?12、排序lim?2edtt2x?0xsinx.13、求f(x)?(x?1)sinxx(x?1)2的间断点，并说明其类型.14、未知y?x?15、计算?e2xx2lnyx，求dydxx?1,y?1.1?edx.16、未知?0k1?x2??dx?12，谋k的值.17、求y'?ytanx?secx满足yx?0?0的直和.218、计算??sinydxdy，d是x?1、y?2、y?x?1围成的区域.d19、已知y?f(x)过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线2x?y?3?0，若f(x)?3ax'2?b，且f(x)在x?1处为获得极值，先行确认a、b的值，并算出y?f(x)的表达式.20、设z?f(x,2xy)，其中f具备二阶已连续略偏导数，谋zx、zxy2.2四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分后，第22小题8分后，第23、24小题各6分后，共30分后）21、过p(1,0)并作抛物线y?（1）切线方程；（2）由y?x?2，切线及x轴围起的平面图形面积；x?2的切线，求（3）该平面图形分别拖x轴、y轴转动一周的体积。

2003~2007江苏省专转本数学试题及答案

2003~2007江苏省专转本数学试题及答案2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1已知2)(0'=x f 则=--+→hh x f h x f h )()(lim 000（）A 、2B 、4C 、0D 、2-2、若已知)()('x f x F =，且)(x f 连续，则下列表达式正确的是（）A 、c x f dx x F +=?)()( B 、c x f dx x F dx d+=?)()( C 、c x F dx x f +=?)()(D 、)()(x f dx x F dxd =? 3下列极限中，正确的是（）A 、22sin lim =∞→x x xB 、1arctan lim =∞→xxxC 、∞=--→24lim 22x x xD 、1lim 0=+→xx x4、已知)1ln(2x x y ++=，则下正确的是（） A 、dx x x dy 211++=B 、dx x y 21'+=C 、dx xdy 211+=D 、211'xx y ++=5、在空间直角坐标系下与平面1=++z y x 垂直的直方程为（）A 、?=++=++021z y x z y xB 、31422-=+=+zy x C 、5222=++z y xD 、321-=-=-z y x6 下列说法正确的是（）A 、级数∑∞=11n n收敛B 、级数∑∞=+121n n n 收敛 C 、级数∑∞=-1)1(n nn 绝对收敛D 、级数∑∞=1!n n 收敛7、微分方程0''=+y y 满足00==x y ，1'==x y 的解是（）A 、x c x c y sin cos 21+=B 、x y sin =C 、x y cos =D 、x c y cos =8、若函数<-=>=0)31ln(1020sin )(x x bx x x x axx f 为连续函数，则a 、b 满足（）A 、2=a 、b 为任何实数B 、21=+b aC 、2=a 、23-=b D 、1==b a二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9、设函数)(x y y =由方程xye y x =+)ln(所确定，则==0'x y10、曲线93)(23++-==x x x x f y 的凹区间为 11、=+?-dx x x x )sin (113212、交换积分次序=+?-yydx y x f dy dx y x f dy 3031201),(),(三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13、求极限xx x cos 1120)1(lim -→+14、求函数=y x z tan 的全微分15、求不定积分dx x x ?ln16、计算θθθππd ?-+222cos1sin17、求微分方程xe x y xy 2'=-的通解.18、已知-=+=tt y t x arctan )1ln(2，求dx dy 、22dx yd .19、求函数1)1sin()(--=x x x f 的间断点并判断其类型.20、计算二重积分+-Ddxdy y x )1(22，其中D 是第一象限内由圆x y x 222=+及直线0=y 所围成的区域.四、综合题（本大题共3小题，第21小题9分，第22小题7分，第23小题8分，共24分） 21、设有抛物线24x x y -=，求：（i ）、抛物线上哪一点处的切线平行于X 轴？写出该切线方程；（ii ）、求由抛物线与其水平切线及Y 轴所围平面图形的面积；（iii ）、求该平面图形绕X 轴旋转一周所成的旋转体的体积.22、证明方程2=xxe 在区间()1,0内有且仅有一个实根.23、要设计一个容积为V 立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？五、附加题（2000级考生必做，2001级考生不做） 24、将函数xx f +=41)(展开为x 的幂级数，并指出收敛区间。

2005年专转本考试真题(05)

n n =1 ∞
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2005年专转本考试真题（答案） 2005年专转本考试真题（答案）年专转本考试真题
12.幂级数∑ (2n − 1) x n的收敛区间为？ 4分)(填空题) (
n =1 ∞
答案：x ∈ (−1,1)
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2005年专转本考试真题 2005年专转本考试真题
解答题（ 8分） f ( x ) + 2 sin x x≠0 13 . F ( x ) = 在 x = 0处连续 , x a x=0 其中 f (0) = 0, f ′(0) = 6，求 a的值.
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2005年专转本考试真题(答案) 2005年专转本考试真题(答案) 年专转本考试真题
x−4 y+3 z 18 .求过点 A( 3,1,−2), 且过直线 L : = = 5 2 1 的平面方程．（计算题，分） 8 答案： 8 x − 9 y − 22 z = 59 ( 三种方法 )
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2005年专转本考试真题: 2005年专转本考试真题: 年专转本考试真题
6.设有正项级数(1)∑ un与(2)∑ un ,
3 n =1 n =1 ∞ ∞
则下列说法中正确的是 ( A．若( )发散，则( )必发散１２ B．若( )收敛，则( )必收敛２１
C
)(4分)．
C．若( )发散，则( )可能发散也可能收敛１２ D． ( )( )敛散性一致１２
12
2005年专转本考试真题 2005年专转本考试真题
一．选择题（每题 4分，题共 24分） 6 1 1. x = 0 是函数 f ( x ) = x sin 的（ A ） . x A．可去间断点 B ．跳跃间断点 C．第二类间断点 D．连续点

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问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、=x 是xx x f 1sin)(=的（）A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、第二类间断点D 、连续点2、若2=x 是函数)21ln(ax x y +-=的可导极值点，则常数=a （） A 、1- B 、21 C 、21- D 、13、若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin（） A 、C x F +)(sinB 、C x F +-)(sin C 、C F +(cos)D 、C x F +-)(cos4、设区域D 是xoy 平面上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三角形区域，区域1D 是D在第一象限的部分，则：=+⎰⎰dxdy y x xy D)sin cos (（） A 、⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB 、⎰⎰12D xydxdyC 、⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD 、05、设yxy x u a r c t a n ),(=，22ln ),(y x y x v +=，则下列等式成立的是（）A 、yvx u ∂∂=∂∂ B 、x v x u ∂∂=∂∂ C 、x v y u ∂∂=∂∂ D 、yv y u ∂∂=∂∂ 6、正项级数(1) ∑∞=1n nu、(2)∑∞=13n nu，则下列说法正确的是（）A 、若（1）发散、则（2）必发散B 、若（2）收敛、则（1）必收敛C 、若（1）发散、则（2）可能发散也可能收敛D 、（1）、（2）敛散性相同二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、=----→xx xe e x x x sin 2lim0 ； 8、函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格郎日中值定理的=ξ ； 9、=++⎰-11211x x π ；10、设向量{}2,4,3-=α、{}k ,1,2=β；α、β互相垂直，则=k ； 11、交换二次积分的次序=⎰⎰-+-dy y x f dx x x 2111),( ；12、幂级数∑∞=-1)12(n nxn 的收敛区间为；三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、设函数⎪⎩⎪⎨⎧+=a xx x f x F sin 2)()( 00=≠x x 在R 内连续，并满足：0)0(=f 、6)0('=f ，求a .14、设函数)(x y y =由方程⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos 所确定，求dx dy 、22dx yd .15、计算⎰xdx x sec tan 3.16、计算⎰1arctan xdx17、已知函数),(sin 2y x f z =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂218、求过点)2,1,3(-A 且通过直线12354:zy x L =+=-的平面方程.19、把函数222)(xx x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间.20、求微分方程0'=-+xe y xy 满足e y x ==1的特解.四、证明题（本题8分）21、证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根.五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）22、设函数)(x f y =的图形上有一拐点)4,2(P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数a x y +=6''，求)(x f .23、已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）、曲边三角形的面积；（2）、曲边三角形饶X 轴旋转一周的旋转体体积.24、设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，dx x f dy u F uyu⎰⎰=)()(1，)1(>u（1）、交换)(u F 的积分次序；（2）、求)2('F .2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、B3、C4、B5、A6、D7、1-e 8、32241-+==-z y x 9、!n10、C x +4arcsin 4111、dx y x f dy dx y x f dy yy⎰⎰⎰⎰-+202110),(),(12、()3,1-13、间断点为πk x =，Z k ∈，当0=x 时，1sin lim )(lim 00==→→xxx f x x ，为可去间断点；当πk x =，0≠k ，Z k ∈时，∞=→xxx sin lim 0，为第二类间断点.14、原式2411221lim 12)sin 1(tan lim 12sin tan lim 3)sin (tan lim 3203030400=⋅=-=-=-=→→→→⎰xx x x x x x x x x dt t t x x x xx . 15、0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y yy ，对上式求导并将0=x 、1=y 代入，解得：22''e y =.16、因为)(x f 的一个原函数为x e x，所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， ⎰dx x xf )2('⎰⎰==)2(21)2()2(21'x xdf x d x xf ⎰-=dx x f x xf )2(21)2(21 C x e xe x x x d xf x xf xx +--=-=⎰88)12()2()2(41)2(21222C e x x x +-=241 17、2arctan 2112)1(2111112122π==+=+-=-∞++∞+∞+∞⎰⎰⎰t dt t dt t t t x t dx x x18、y f f xz⋅+=∂∂'2'1； []x f f y f x f f yx z ⋅+-⋅++⋅+-⋅=∂∂∂''22''21'2''12''112)1()1( '2''22''12''11)(f xyf f y x f ++-+-=19、原式dy y y dx y y dy dxdy y yy y D⎰⎰⎰⎰⎰-===1010sin )1(sin sin 2 1sin 1cos cos )1(110-=--=⎰ydy y y20、n nn n x x x x f 4)2()1(41421141241)(0--=-+⋅=-+=∑∞=，)62(<<-x 21、证明：令x t -=π，⎰⎰⎰-=---=ππππππ000)(sin )()(sin()()(sin dt t f t dt t f t dx x xf⎰⎰-=πππ0)(sin )(sin dx x xf dx x f故⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，证毕.4)arctan(cos 2cos 1sin 2cos 1sin 200202ππππππ=-=+=+⎰⎰x dx x x dx xx x22、等式两边求导的)(2)('x f x x xf +=即x x xf x f 2)()('-=-且1)0(-=f ，x p -=，x q 2-=， ⎰-=22x pdx ，22e pdx e e -=⎰，22x pdx e e =⎰-，222222x x pdxedx xqdx qe--=-=⎰⎰⎰所以2222222)2()(x x x Ce e C e x f +=+=--，由1)0(-=f ，解得3-=C ，2232)(x ex f -=23、设污水厂建在河岸离甲城x 公里处，则22)50(40700500)(x x x M -++=，500≤≤x ，0)50(40)50(22170050022'=-+-⨯⨯+=x x M解得650050-=x （公里），唯一驻点，即为所求.2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、C3、D4、A5、A6、C7、28、1-e9、2π10、511、dx y x f dy y y ⎰⎰---11102),( 12、)1,1(-13、因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，8262)0(2)0()(lim sin 2)(lim)(lim '00=+=+=+-=+=→→→f xf x f x x x f x F x x x ， a F =)0(，故8=a .14、t t t t t t dtdx dt dydx dy -=-+-==sin sin cos cos ，t t x y dx y d t t csc sin 1)('''22=--==.15、原式Cx x x x xd x d x xdx x x +-=-=-==⎰⎰⎰sec sec 31sec sec sec sec )1(sec sec tan tan 3222.16、原式⎰⎰++-=+-=102210211)1(2141arctan x x d dx x x x x π 102)1ln(214x +-=π2ln 214-=π 17、'1cos f x x z ⋅=∂∂，''12''122cos 2)2(cos xf y y f x yx z =⋅=∂∂∂ 18、{}1,2,5=l ，{}0,3,4-=B ，{}2,4,1-=AB{}22,9,8241125--=-=⨯=kj i AB l π平面点法式方程为：0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x .19、x x x x x x x x f -⋅++⋅=-++=1132116)1121(3)(222n n n n x x ∑∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=01212)1(3，收敛域为11<<-x . 20、xe y x y x=⋅+1'，通解为x e x C C dx e x e e y x dx x x dx x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-11因为e y =)1(，C e e +=，所以0=C ，故特解为xe y x=.21、证明：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1-∈x ，且03)1(>=-f ，01)1(<-=f ，0)1()1(<⋅-f f ，由连续函数零点定理知，)(x f 在)1,1(-上至少有一实根.22、设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，3)2('-=f ，0)2(''=f .由a x y +=6''，0)2(''=y 得12-=a ，即126''-=x y .因为126''-=x y ，故12'123C x x y +-=，由3)2('-=y ，解得91=C . 故22396C x x x y ++-=，由4)2(=y ，解得22=C . 所求函数为：29623++-=x x x y . 23、（1）61612113102===⎰y dy y S （2）4021)()21(22102πππ=-=-=⎰x x dx x V x24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤ （1）⎰⎰⎰⎰⎰-===uxu Ddx x f x dy x f dx d x f u F 111)()1()()()(σ；（2）)()1()('u f u u F -=，1)2()2()12()2('==-=f f F .。