解析洛必达法则在复变函数极限中应用

解析洛必达法则在复变函数极限中的应用【摘要】有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。基于此，本文以洛必达法则为研究对象，分别从复变函数极限计算、孤立奇点类型判定以及未定式极限转化入手，详细研究了洛必达法则在复变函数极限研究中的应用情况，旨在于引起关注与重视。

【关键词】洛必达法则；复变函数；极限；计算；孤立奇点；未定式；分析

有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。本文结合实例，在分析应用原理的基础之上，总结相关解题思路，对于求解正确答案而言至关重要。现做详细分析与说明。

一、洛必达法则在复变函数极限计算中的应用分析

在有关复变函数取值的计算过程当中，借助于对洛必达法则的合理应用，能够使一部分不太容易解决，或者是计算步骤过于繁琐的问题变得更加的简单，解题思路更加清晰，计算时间更短，且计

算失误可得到有效控制。可以说是洛必达法则在应用于复变函数极限过程中最主要的一点表现。现举例对其进行说明。

例一：求解ln（1+a）-a/（cosa-1）

在对该式进行分析的过程当中，应当予以确定的基本解题思路在于：首先需要对“ln（1+a）-a”这一式进行变形处理，通过与“（cosa-1）”这一部分的配合，将cos转化为sin。在此基础之上，以代入“1+a”的方式，再次将sin格式转变成为cos格式，最终通过对基本定理的合理应用，达到高速解出正确答案的目的。此过程中，主要分两个步骤对该计算式进行处理。具体如下：

二、洛必达法则在复变函数孤立奇点类型中的应用分析

在有关复变函数研究过程当中，对于a0而言，其作为f（a）可去奇点、可去极点以及本性奇点的充分必要条件主要涉及到以下两个方面的内容：①f（a）应当属于有限复常数数值；②f（a）倾向于无穷大；③f（a）并不存在。结合上述充要条件来看，若题目当中已经给出“a0与 f（a）之间存在孤立奇点对应关系”这一基本条件，那么，a0作为孤立奇点，其奇点类型可以说与f（a）取值之间有着极为密切的关系。为此，在有关上述结构题目求解的过程当中，可通过对此项法则的合理应用，达到简化题目解题步骤，提高解题速度与解题准确性的目的。现举例对其进行详细说明。

例二：判定函数“（a-sina）/a2”孤立奇点的基本类型。

在对该表达式进行分析的过程当中，应当予以确定的基本解题

思路在于：首先可通过“a0与 f（a）之间存在孤立奇点对应关系”这一基本法则的应用，判定“（a-sina）/a2”所对应的孤立奇点应当为“a=0”。在此基础之上，可借助于对复变函数洛必达法则的应用，按照如下步骤进行求解处理。具体如下：

在求解得出（a-sina）/a2最终取值为1/6的基础之上，可进一步思考得出：因1/6属于有限复常数，结合对本文前述可去奇点充分必要条件的分析，可推定得出：函数“（a-sina）/a2”孤立奇点属于可去奇点类型。

三、洛必达法则在复变函数未定式极限转化中的应用分析

在当前技术条件支持下，有关洛必达定理的应用在解决未定时复变函数极限问题的过程当中存在一定的局限性，即：通过对洛必达定理的应用，仅能够直接应用于对以下两类复变函数极限问题的求解过程：①0/0模式；②∞/∞模式。然而，对于其他类型的复变函数极限求解而言，需要在经过一定变化与处理作业的基础之上，将其转化成为基本类型，再将其适用于常规洛必达法则定理当中。在这一过程当中，所涉及到的非常规性复变函数极限形式主要包括以下几个类型：①对于表现为“0·∞”形式的复变函数而言，可采取将乘积转化为除商的方式，将其处理成为常规形式；②对于表现为“∞-∞”形式的复变函数而言，可采取通分转化的方式，将其转化成为常规“0/0”形式；③对于“00”形式、”∞0”形式以及“1∞”形式的复变函数而言，可借助于转化为指数函数极限的

方式，直接求解指数极限，利用指数极限的基本形式特点，最终将其转化成为相应的常规形式。现举例对其进行说明。

例三：求解“[1/（a-1）-1/lna]”

在对该表达式进行分析的过程当中，应当予以确定的基本解题思路在于：该计算式属于复变函数不定式极限中的“∞-∞”类型，即需要采取通分转化的方式，将其转化成为常规“0/0”形式。按照上述思路，可确定的操作步骤为：

[1/（a-1）-1/lna]

↓拆分格式，形成简化求解表达式

[lna-a-1/（a-1）lna]

↓借助于“0/0”形式，将其转变成为只代有“x”形式表达式﹣1/x2/（1/x+1/x2）

↓结合洛必达法则，计算得出最终取值数值正解为“1/2”

四、结束语

有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大。而通过对洛必达法则及相关定理的合理应用，不但可以降低复变函数极限处理的难度，同时也降低了处理过程中的失误率，因而有着重要意义。总而言之，本文针对有关洛必达法则在应用于复变函数极限处理过程中所涉

及到的相关问题做出了简要分析与说明，希望能够引起各方人员的

特别关注与重视。

参考文献：

[1]卞星明，文远芳，黄斐然等.基于泛复变函数求解maxwell

方程的方法[j].高电压技术，2006，32（4）：34-36

[2]李明，茅献彪.基于复变函数的矩形巷道围岩应力与变形粘弹性分析[j].力学季刊，2011，32（2）：195-202

[3]谢娟，邱剑锋.复变函数与积分变换教学改革研究与实践[j].合肥师范学院学报，2009，（3）：26-28，44

[4]王三定.等价无穷小在求函数极限中的应用[j].信阳农业高等专科学校学报，2003，13（2）：84-85

[5]陆毅.导函数极限的存在性与函数可导性关系初探[j].锦州师范学院学报（自然科学版），2001，22（4）：18-19