泛函分析在力学和工程中的应用

泛函分析在力学和工程中的应用陆章基（复旦大学应用力学系）摘要本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。

并介绍当前非线性分析中部分动态。

$ 1 泛函分析概述泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。

所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。

其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。

根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。

力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。

对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。

从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。

同时带有拓扑和代数结构。

所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。

有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。

这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。

由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。

泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。

线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。

但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。

每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。

线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。

就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。

于是，具有这两个空间中所有概念。

例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。

即任何柯西序列是否为收敛序列。

（iv）Banach空间。

它是完备的线性赋范空间。

完备性使该空间具有十分良好的性质。

例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。

（v）内积空间。

内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。

内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。

例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。

使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。

力学家和工程师对此尤感兴趣。

由于内积可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。

与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。

它是完备的内积空间，内容最丰富。

例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。

由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。

（vii）Sobolev空间W m,p（Ω）（p ≥1，m≥0）[3]。

它是由L p（Ω）空间中可以连续求m阶分布导数的函数u组成的子空间，并配上Sobolev空间。

它是特殊的线性赋范空间。

其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。

因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。

由于Sobolev嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。

p=2这类Sobolev空间特别重要，它是特殊的Hilbert空间，记之为H m（Ω），称作Hilbert-Sobolev空间。

泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。

它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。

对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。

对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。

其中对偶（共轭）空间尤为重要。

据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。

在初等分析中卓见成效的微分运算也可推广于泛函或算子。

例如ˆGatean 微分，Fr échet 微分和次微分等。

为了剖析算子的结构和特性，谱分析是重要的手段，全连续和正常算子的谱分析已成熟。

除了上述各类泛函空间和算子理论外，目前仍在不断深入发展，有关新的尤其适用于非线性问题的函数空间可参阅[4] 。

综上所述，泛函分析是测度论、代数、几何和分析（拓扑）的综合性学科，它的高度抽象性使该学科更深刻、更广泛地反应各种复杂的力学、工程和其它实用学科的规律。

然而，借助几何工具，它们在Banach 空间，尤其在Hilbert 空间获得直观几何解释，使力学和工程人员较易接受。

因此，该学科不仅为应用数学家所欣赏，也为广大力学人员所重视。

后者的队伍中不仅包括理论工作者，也包括实验和设计人员。

但由于泛函分析的难度，正如[5]所述，若把应用数学家和实用科学工作者（力学家和工程师等）比拟为两支队伍，分别从山的两端挖地道，他们应该在精确解那个位置相遇。

从目前状况而言，后面这支队伍人员严重不足。

基于这一情况，本文打算从力学和工程角度，对泛函方法的特点及实际应用作不全面的介绍，以引起抛砖引玉的作用。

$ 2 泛函观点下的近代结构理论众所周知，为研究固体平衡与变形，已提出多种模型（三维、二维、一维和离散模型等）。

经典固体理论（弹性、板壳和杆等）立足于上述诸模型求解平衡与变形的种种具体问题。

Oliveira [6][7]以有限元和板壳理论为背景提出“结构的数学理论（The Matrematical Theory of Structures ）”。

该理论不涉及具体解法，而是用近代泛函工具建立一般的响应模型，考察各具体模型的类同性，并研究由一个模型生成另一模型的可能性和合理性。

固体响应的一般模型举例1. 给定某弹性结构，把满足应力-应变方程的任一对应力场和应变场 X = （e ，σ）称为结构场。

若还满足-- 应变位移方程、初应变条件、位移边界条件（非协调系统）力应力方程，力边界条件（外力系统）称之为 协调场平衡场既协调又平衡的场称为精确场。

记全体结构场的集为X ，按应变和应力分别引入线性运算，然后配上如下范数X = X = X 成为Banach 空间。

对于任给的 协调场外力系统，X 中与之协调平衡的所有结构场构成X 的等协调等平衡子集。

X 的全体等协调等平衡子集类记为I E ∈Γ∈N 。

通常，假定等协调和等平衡子集之交仅包含一个元。

于是，可建立X 的元与笛卡尔积 Γ⨯N （记为A ）的元之间的一一对应，X = x （I ，E ）。

称A X 为外部作用响应空间。

由功原理得到的总势余能原理表明：精确解使总E *I T X T X 势能（）余能（）在I E 协调场集平衡场集上表达到驻值。

临近两个结构场X 和X+h 的距离除了用范数定义外，更方便地另行定义为d （X+h ，X ）= 1ed 2δΩΩ⎰，因为此时满足 22**[(,)]()()[(,)]()()E E I I d x h x T x h T x d x h x T x h T x +=+-+=+- 2. 把结构场空间X 中满足协调方程、位移边界条件平衡方程、力边界条件的子集C 称为X 的约束子集。

在X 上有连续泛函类Φ={ϕ}，其中泛函ϕ在每个约束子集C 上有极小点s 。

对给定的ϕ，各种约束子集C 的这种s 之全体构成X 的最小子集M 。

若两个结构场属同一约束最小子集，称它们是等约束等最小的。

通常，每个最小子集和约束子集之交仅一个元，就是精确解。

3. 在弹性体各种可能状态集中，若配上弹性能（f ，f ）作为范数，得到Banach 空间。

若配上两个状态的“相互作用能”（ˆf ，ˆˆf ）（例如（（ˆf ，ˆˆf ）= 2ij e d σΩΩ⎰1ij ）作为内积，得到Hilbert 空间H ，称为状态空间。

有两条途径产生非零状态：（i ）外力系p 在位移系u 上做功，产生“载荷应力状态f ´，即（f ´，f ´）=p u 。

全体f ´构成“载荷应力状态空间”H ´；（ii ）因材料缺陷（例如位错等）或热应力等使弹性系统不再与内蕴欧几里德几何或刚性支撑协调，即使无外力仍呈现非零状态，称为“自应力状态”f ´´。

若η表示几何非协调测度（例如非协调张量、Burgers 向量或刚性支撑偏差），x 表示相应的应力函数，则（f ´´，f ´´）= x η。

全体f ´´构成“自应力状态空间”H ´´。

于是，状态空间H = H ´⊕H ´´。

其中⊕是直和，意味着载荷应力和自应力直交：（f ´，f ´）=0 。

这构成Prager 和Synge [8]超圆方法的基础。

利用一般响应模型（例如以上第2种）可以描述结构分析的模型生成理论（例如有限元中由连续模型生成离散模型，板壳中由三维模型生成二维模型）。

过程如下：利用势余能方法，参照原模型定义新模型的应变和位移应力和接触力，并把--应力位移力应力方程和位移力边界条件移植于新模型。

据此在原结构场与新结构场之间建立对应关系——现行算子B 1：y=B 1x ，x ∈X ，y ∈Y 。

从而在Y 中（和X 一样）也可考虑平衡协调方程。

作某种限制（例如板壳的Kirchboff 假定，杆的Bernoulli 假定，有限元的允许场）使Y 的元和子集X ´⊂X 的元之间建立又一对应关系——线性算子B 2：x ´ = B 2y ，x ´∈X ´，称X ´为允许场空间。

称算子B= B 1 B 2：X -> X ´为内插算子。

X 中等约束等最小元的B 象在X ´中也等约束等最小。

然而，一般讲这些象元在X 中不一定等约束等最小。

特殊地，若内插算子B 使X ´中任二个等约束等最小元的B 象在X 中也等约束等最小，称B 是共形算子。

另引入算子X -> X ´ ，它把X 的每个约束与最小子集之交x 对应于X ´中相应的约束与最小子集之交x a ，称算子A 为近似算子。

把上述x ∈X 的A 象元x a ´∈X ´称为x 在X ´中的近似元。

有限元（和板壳）理论相当于把求泛函ϕ在C 上的最小值s 这个变分问题，近似为求ϕ在C ´上的最小值s a ´。

由于一般地C´⊄C ，它和Ritz 法不同。

因此得寻求新的收敛定理，以鉴别由有限元生成的离散模型或由板壳理论生成的低维模型的合理性，即须作收敛分析。

Oliveira [7]曾给出估计近似值的基本定理d 2（s ，s a ’）≤δϕ+a δϕ。

在Ritz 法中则为d （s ，s a ’） ≤ d （s ，s ’）。

因此，收敛分析归为两步：（i ）确定与精确解等约束的场s a ，并用近似解内插；（ii ）对精确解和近似解的泛函变分δϕ和a δϕ作量级估计。