泛函分析在力学和工程中的应用

泛函分析在力学和工程中的应用

陆章基

（复旦大学应用力学系）

摘要

本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。并介绍当前非线性分析中部分动态。

$ 1 泛函分析概述

泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。同时带有拓扑和代数结构。所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。于是，具有这两个空间中所有概念。例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。即任何柯西序列是否为收敛序列。（iv）Banach空间。它是完备的线性赋范空间。完备性使该空间具有十分良好的性质。例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。（v）内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。（vii）Sobolev空间W m,p（Ω）（p ≥1，m≥0）[3]。它是由L p（Ω）空间中可以连续求m阶分布导数的函数u组成的子空间，并配上Sobolev空间。它是特殊的线性赋范空间。其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。由于Sobolev嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。p=2这类Sobolev空间特别重要，它是特殊的Hilbert空间，记之为H m（Ω），称作Hilbert-Sobolev空间。

泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算

也可推广于泛函或算子。例如ˆGatean 微分，Fr échet 微分和次微分等。为了剖析算子的结构

和特性，谱分析是重要的手段，全连续和正常算子的谱分析已成熟。除了上述各类泛函空间和算子理论外，目前仍在不断深入发展，有关新的尤其适用于非线性问题的函数空间可参阅

[4] 。

综上所述，泛函分析是测度论、代数、几何和分析（拓扑）的综合性学科，它的高度抽象性使该学科更深刻、更广泛地反应各种复杂的力学、工程和其它实用学科的规律。然而，借助几何工具，它们在Banach 空间，尤其在Hilbert 空间获得直观几何解释，使力学和工程人员较易接受。因此，该学科不仅为应用数学家所欣赏，也为广大力学人员所重视。后者的队伍中不仅包括理论工作者，也包括实验和设计人员。但由于泛函分析的难度，正如[5]所述，若把应用数学家和实用科学工作者（力学家和工程师等）比拟为两支队伍，分别从山的两端挖地道，他们应该在精确解那个位置相遇。从目前状况而言，后面这支队伍人员严重不足。基于这一情况，本文打算从力学和工程角度，对泛函方法的特点及实际应用作不全面的介绍，以引起抛砖引玉的作用。

$ 2 泛函观点下的近代结构理论

众所周知，为研究固体平衡与变形，已提出多种模型（三维、二维、一维和离散模型等）。经典固体理论（弹性、板壳和杆等）立足于上述诸模型求解平衡与变形的种种具体问题。Oliveira [6][7]以有限元和板壳理论为背景提出“结构的数学理论（The Matrematical Theory of Structures ）”。该理论不涉及具体解法，而是用近代泛函工具建立一般的响应模型，考察各具体模型的类同性，并研究由一个模型生成另一模型的可能性和合理性。

固体响应的一般模型举例

1. 给定某弹性结构，把满足应力-应变方程的任一对应力场和应变场 X = （e ，σ）称为结构场。若还满足

-- 应变位移方程、初应变条件、位移边界条件（非协调系统）

力应力方程，力边界条件（外力系统）

称之为 协调场

平衡场

既协调又平衡的场称为精确场。记全体结构场的集为X ，按应变和应力分别引入线性运算，然后配上如下范数

X = X = X 成为Banach 空间。对于任给的 协调场

外力系统，X 中与之协调

平衡的所有结构场构成X 的等协调

等平衡子集。X 的全体等协调

等平衡子集类记为I E ∈Γ

∈N 。通常，假定等协调和等平衡子集

之交仅包含一个元。于是，可建立X 的元与笛卡尔积 Γ⨯N （记为A ）的元之间的一一对应，X = x （I ，E ）。称A X 为外部作用响应空间。由功原理得到的总势余

能原理表明：精