若1 的系数行列式 D≠0 则它有唯一解 若齐次方程组的系数行列式 D≠0 则它有唯一零解

ka 1n ka 2n
ka mn
用实数的运算定义 矩阵间相应的运算
称为数 k 与矩阵 A 的乘法, 简称为数乘. 记作：kA
k 1 1A A
k 1 A 0A O
k ( l A ) = ( k l )A , ( k + l ) A = k A + l A ,
k(A+B)=kA+kB,
!!!
a
m1
am2
a mn
a ij 称为矩阵的第i 行j 列的元素.
元素为实数的矩阵 称为实矩阵,
我们只讨论实矩阵.
矩阵通常用大写字母A、B、C 等表示
简记为 A (aij )mn (a1 a2 an )
行矩阵
a1 a2
列矩阵
am
当 m=n 时, 即矩阵
a11
的行数与列数相同
时, 称矩阵为方阵 Ann
这些正是矩阵与数的不同
例5
A
2 3
46 ,
B
1 2
41,
C
1 1
0 1
AB
6 9
4 6
,
但是 B C
AC
6 9
46
AB AC
这又是矩阵
不满足消去律
与数的不同
请记住：1. 矩阵乘法不满足交换律；
2. 不满足消去律； 3. 有非零的零因子。
乘法满足的运算规律 ?
乘法的运算规律
1. ( Ams Bst )Ctn Ams (Bst Ctn ) 2. Ams (Bsn Csn ) Ams Bst AmsCst
cos( n sin(n
1) 1)
sin(n 1) cos(n 1)
则An
An1 A
cos(n sin(n
1) 1)
sin(n 1) cos(n 1)
cos sin
sin cos
cos n sinn
sinn cos n
An
cos sin
n n
sin n cos n
将OP 旋转 n2 角
a21
a
m1
a22
am2
a2n
a
mn
1 0
00
投影变换
x1 y1
1xx 0 y 0x 0y
P( x, y) P1 ( x1 , y1 )P1 ( x,0)
点 P1( x,0)是点 P( x, y)在 x 轴上的投影
y
向量OP1( x,0) 是向量 OP ( x, y)在 x 轴上的投影向量
v1
1
1
0
②
v2 1 0 1
aii = 0
2•
•3
v4 1 0
v5
2
1
4•
•5
④
③
v3 v4 v5
0 1 2
1 0 1
0
1
0
1 0 0
0
0
0
例3(P.38 例2)
从 n 个变量 x1, x2 ,…, x n 到 m 个变量 y1, y2 ,…, ym 的 线性变换.
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn ,
若(1)无解或有两不同的解, 则它的系数行列式 D 必为零
若齐次方程组的系数行列式 D≠0 , 则它有唯一零解
若齐次方程组有非零解，则它的系数行列式 D = 0
§1 矩阵的概念
一. 矩阵定义
由mn个数按一定次序排成
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
的m 行n 列的矩形数表 称为 mn 阶矩阵, 简称矩阵.
y2
a21 x1
a22 x2
a2n xn
,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn
Aa11 (a1i2j ) , a1n x1
Xa21
Y a
m1
((aayxm21212,,yx22,,aam2,nn,yxmnxx))n2TT.,
Y AX
投影变换
OP
x y
1 0
0 0
ai2
ais )
b2 j
bsj
C mn Ams Bsn
P. 44 例4 请自读
例4 (P. 44 例5)
A
2 1
4 2
,
B 23
46
BA 0 0
0 0 =
0
AB 16 32 8 16
显然 AB BA
矩阵乘法不满足交换律
A 0, B 0
有非零的零因子
但 BA 0
p
cos sin
sin cos
旋转 变换
y p1
O
p1 x
x1 cos x sin y
y1
sin
x
cos
y
φx rp cos
O
θ
y
r
sixn
P( x, y)P(r cos , r sin)
P1( x1 , y1 ) P1(r cos( ),r sin( ))
二1xxx、零.1n2O阵 几myyy12n种n 特单殊位001阵形式的00恒矩等阵变换对角2(.方)阵dkiag(11
显然 A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C)
A+O=O+A=A A–A=O
负矩阵
A
a ij
的负矩阵为
mn
a ij
mn
!!!
记作 –A , 即 A aij mn
2.
数乘
kA
ka 11 ka 21
ka m1
ka12 ka 22
ka m 2
y2 a21 x2 a22 x2 a2n xn ,
系数矩阵
ym am1 x1 am2 x2 am一n xn
一
表达了两组变量x1 , x2 , , xn
对应 a11 a12 a1n
与 y1 , y2 , , ym之间的变换关系
可利用矩阵理论研究线性变换问题
看几个具体的线性变换的例子
线性运算： k1 A k2 B (k1aij k2bij )
二、矩阵与矩阵相乘 1、乘法
A
a11 a 21
a12 a 22
a a
13 23
y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3
b11
y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3
B b21 b31
b12
b22与
b32
则发送的数量可用矩阵A
A
表示：
a11 a21 a31
a12 a22 a32
用bi1表示第i 种产品的单价， bi2表示第i 种产品的单件重量 则四种产品的单价和单件重量
可表示为矩阵B ：
，
B
b11 b21 b31 b41
a13 a14
a23 a24
a33
a34
b12
b22
b32 b42
例9 (P. 48 例6)
A
cos sin
sin cos
求矩阵的幂 An ?
解
A2
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
cos sin
2 2
sin 2 cos 2
cos2 sin2 2sin cos
2sin cos cos2 sin2
设 An1
a 11 b12 a 21b12
a12 b22 a 22b22
a13 b32 a 23 b32
一般地有 A (aij )ms B (bij ) sn C AB (cij )mn b 1 j
c ij ai1b1 j ai2b2 j ais bsj (ai1 s aik bkj k 1
a31 a32 a33 a34
aaa132111总aaa值132222和aaa总132333 重aaa量132444 的矩bbbb14321111阵bbbb14322222
4
a1j b j1
j 1
4
a2j bj1
j 1 4
4 a1j b j2
j 1
4
a2j bj2
j 1
复习 特殊行列式
对角、三角行列式
每行(列)之和相等的对称行列式 奇数阶反对称行列式
范德蒙行列式
代数余子式的性质
n
aij Asj
j 1
D
0
is is
克莱姆法则 D 0 时, 线性方程组(1)有唯一解:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
.
若(1) 的系数行列式 D≠0 , 则它有唯一解
cos n2 sin n2
sin 2n cos 2n
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2n
x y
则称这两个矩阵相等。即
= A aij mn
B bij mn aij bij
§2 矩阵的运算
一、线性运算
同型阵
1. 加、减法
设矩阵 A
a ij
与 B
mn
bij
, 定义
mn
A B (aij bij )mn A B (aij bij )mn
用实元数素间的运算定义矩阵间相应的运算
x1 x2
b11 t 1 b21 t 1
b12t 2 b22t 2
x3 b31t1 b32t 2
y1 (a11b11 a12b21 a13b31 )t1 (a11b12 a12b22 a13b32 )t2 y2 (a21b11 a22b21 a23b31 )t1 (a21b12 a22b22 a23b32 )t2
x1 1 y1
x2 2 y2
xn n yn
n
,2 , ,
n
)
3. En 4.
1
k
a11 a12
5.
a 22
上三角阵
a1n
a11
a a
n2nn 三 角(方)阵 aan211
下三角阵
a 22
an2
ann
三、矩阵的相等
定义 若两个矩阵的行数与列数相同，且对应元素相等，
线性变换把变量X 变为Y 其系数矩阵A与B作相应乘法
2、方阵的正整数幂 Ak AA A
A0 E ,
问题 ( AB)k ≠
ABA B AB
k个
Akl Ak Al , (Ak )l Akl
Ak Bk
!!!
A AB B
k个
k个
成立的条件?AB=BA
例8 上节例2 四城市间的单向通航图
①
④
0 1 1 1
2 1 1 0
A
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 00
,
A2
0
1 0
1 0 2
1 0 1
1 10
(bij
),
②
③
4
bij aik akj
k 1
0—— i 市到 k 市, 或 k 市到 j 市无单向航线
非0即1
1— ∴—i 市i 市与到j 市k之市间和有k航市线到时j 市ai都k a有kj单1向航线从j 市i的市单经向一航次线中条转数到
ym am1 x1 am2 x2 amn xn
x1 b11t1 b12t 2 b1s t s
x
2
b21t1
b22t 2
b2s t s
xn bn1t1 bn2t2 bns t s
Y AX
X BT T (t1 , t 2 , , t s )T
Y A(BT ) ABT
(B C)A BA CA 3. k( AB) (kA)B A(kB) 4. Em Amn A Amn En
!!!
例6 上节例1,
a11 a12
四种产品的单价
发a13送数a1量4 的矩向阵三：个和店单所发件送重的量矩阵：
B
A a21 a22 a23 a24 第 j 种产品的总值
3 a1i bi1
C 1
a2i bi1
3 a1i bi2
1
a2i bi2
a11 a 21
a12 a 22
a13 a 23
b11 b21 b31
b12
b22
b32
3
= ?aikbkj
k1
a 11 b11 a 21b11
a12 b21 a 22 b21
a 13 b31 a 23 b31
两个矩阵A与B 的行数与列 数相同时, 称A与B为同型阵
a21
a n1
a12 a22
an2
a1n
a2n
a
nn
主对角线
不一样！矩阵是一个数表, 而行列式是一个实数！
看一些矩阵的应用例子
例1(P. 37 例1) 某厂向三个商店发送四种产品
a i j 表示向第 i 店发送 第 j 种产品的数量
例2 (P.38 例2) 四城市间的通航图如右图 ①
a ij
1,
0
,
从 i市到 j市有单向航线; 从 i市到 j市无单向航线。
①②
① ②
0 1
1 0
③ ④
0 1
1 0
a12 = 1
③④
1 0
1 0
0 1
0 0
a34 = 0
方阵
(a ij
1•
称方阵 D 为图的 邻接矩阵
) 对称阵
v1
v2
D55 v3
x y
x 0
将OP 投影到
x
轴上
x1 y1
x 0
旋转变换
x1 y1
cos sin
sin cos
x y
将OP 旋转角
x1 y1
cos x sin sin x cos
y y
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn
y2
a21 x2
a22 x2
a2n xn
4
b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42
向三个 店所发
送的 第 j 种产 品的总
重量
向三个店发送的
a3j bj1
a3j bj3
第 j 种产品的数量
j1
j 1
第 j 种产品的单价
例7 上节例3 线性变换
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn ,