实数与向量积及几何意义

DB AB AD a - b
A
a
B
平行四边形的两条对角线互相平分
uuur MA


1
uuur AC


1

a
+
b


1
a

1
b
uuur MB

1
2uuur DB

1

2 a
-
b

1
a
2 1
b
2
2
2
22
uuuur MC

1
uuur AC

1
a

1
b
2
22
uuuur MD

uuur MB
A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
解:
uuur uuur uuur AB OB OA
a 2b a b b
C 3b
B
uuur uuur uuur
AC OC OA
2b
A
a 3b a b 2b
uuur uuur AC 2AB
所以,A、B、C三点共线 a
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b.
注意共起点.共线向量不适用
温故知新
r a b
O
二、向量减法法则:
作法：1在平面内任取一点 O
A
2作OA a,OB b
一样进行运算.
问题思考
想一想：
1.a与a有何关系？(a

0)
2.如果b

a,那么a，b是共线向量吗？
3.如果
a与


b是共线向量，那么b

a？
归纳总结
三、共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
Hale Waihona Puke Baidu
3则向量BA a b
B
两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点， 方向指向被减向量终点的向量.
BA OA OB
共起点，连终点， 方向指向被减向量.
问题思考
思考题1:已知向量
ar,如何作出
r a

r a

ar和
r (a)

r (a)

r (a)?
r a
rrr aaa
OA
B
b
b
a
O
例题解析
例 且
u如uur 图,uYuurABCD 的两条对角u线uur 相uuu交r uu于uur 点uMuuur,
AB=a, AD b,你能用a,b表示MA、MB、MC和MD
解：uuur在YuuuAr BuCuuDr 中
AC AB AD a b
D
C
b
M
uuur uuur uuur
C
uuur uuur uuur uuur r r r
OC OA AB BC a a a
r rr a a a
N
M
QP
rrr r
记: a a a 3a
即:
uuur r OC 3a.
同理可得:
uuur r r r r PN (a) (a) (a) 3a


1
uuur BD


1
a

1
b
2
22
课堂小结
1.向量数乘的定义 2.向量数乘的运算律 3.向量共线基本定理 4.定理的应用
课本 P91---92 9, 10, 11
再见！
2当 0时，a的方向与a的方向相同；
当 0时，a的方向与a的方向相反；
特别地，当

0或a

0时，a

0.
归纳总结
二、实数与向量的积的运算律：
设a,

b为任意向量，、为
任意实数，则有：
(1) (a) ()a
(2) ( )a a a
(3)
(a
b)

a

b
例题解析
例1：计算题
(1)
(3) 4a
r 12a
(2) (3)
3( a (2a
b)
3b
2( a
b)
c)

(3ar

r 2abr5cbr)
a 5b 2c
注：向量与实数之间可以像多项式
2.2.3 向 量 数 乘 运 算 及 其 几何意义
温故知新 1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一
个向量的起点指向最后一个向量的终点.
温故知新 2、向量加法的平行四边形法则
Db C
a a a a a a a a a a a+b
r
r
r
思与考向题量2ar:
向量 3a 与向量
有什么关系?
a 有什么关系? 向量
3a
r
r
(的1)3向倍量,即3a3的ar 方3向ar .与 a 的方向相同,
向量
r 3a
的长度是
r a
归纳总结
一、实数与向量的积的定义：
实数与向量 a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定 如下：
1a a
试试身手 判断下列各小题中的向量a与b是否共线
1a 2e,b 2e;
a=-b a,b共线
2a e1 e2,b 2e1 2e2.
a=-2b a,b共线
例题解析
例2.uu如ur 图,已知u任uur意两个非零uuu向r 量 a, b, 试作 OA a + b,OB a 2b,OC a 3b 你能判断