高斯—马尔可夫定理
高斯-马尔可夫定理
高斯-马尔可夫定理高斯-马尔可夫定理是最著名的金融学定理之一，也是经济学的一个重要概念。
它告诉我们，一种投资如果得到了回报却不能在短时间内收回成本，则一定会亏损。
所以投资必须“以投入为前提”。
具体而言：当投入回报率（年化）等于投入成本增长率（年化）时，则投入总回报（年化）等于投入成本增长率（年化);当投入成本增长率（年化）等于每年投资总回报（年化）的50%时（年化),则该资产不会亏损；当投入产出比（年度）为1时，则当期投资回报（年化）等于当期消费对当期收入（年化）之间之差；当投入产出比（年化）为0时，则该资产不会亏损；当投入产出比为1时，则当周利多或当周利少-周利多、当周利多-周利均、或当周利少-当周利多-周利均属于经济行为上的偏差。
一、经济学与金融学的区别金融学的基本原理是利用各种手段，控制和影响各种资金流。
而经济学的基本原理是运用经济规律分析社会问题、经济现象，运用各种方法影响社会，进而达到控制、影响资源配置。
因此，从理论上讲金融学也可以理解为经济学的一个分支领域。
不同的是金融学与经济学所研究并解释的东西可能会不同。
而高斯-马尔可夫定理则不会，因为这样的定理没有经济波动，也就没有金融领域存在问题。
这也让我们在看到投资机会时不能简单地一竿子打死一船人，更不能一窝蜂地投钱进去。
1、经济学主要研究宏观经济运行的规律和宏观经济运行中的实际问题。
金融学主要研究金融机构和金融市场的行为，包括资金流向，货币流通等。
在这一方面，与经济学相类似。
可以说，金融学对经济有直接影响。
但是，作为一个分支学科经济与金融之间却是完全不同的，二者之间也存在着一定本质上的区别。
例如，在资金流与金融活动之间并不存在直接联系，而只是相互联系，可以通过一些手段，来控制和影响这些资金流。
2、经济学一般不做交易，但从交易中获利。
经济学把经济活动的逻辑研究到理论和概念的层次上，因此理论的应用是与实际应用相结合的。
比如，我们熟悉的巴菲特投资组合价值投资就是一个很好的例子。
计量名词解释
同期内生：内生解释变量与随机干扰项同期相关，两阶段最小二乘法：2SLS, Two Stage Least Squares：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
方差膨胀因子：是指解释变量之间存在多重共线性时的方差与不存在多重共线性时的方差之比，VIF=1⁄1 –r^2。
容忍度的倒数，VIF越大，显示共线性越严重。
经验判断方法表明:当0<VIF<10，不存在多重共线性;当10≤VIF<100，存在较强的多重共线性;当VIF≥100，存在严重多重共线性完全共线性：如果存在不全为零，即某一解释变量可以用其他解释变量的线性组合表示，则称为解释变量间存在完全共线性。
异方差稳健标准误法：极大似然估计：也称为最大概似估计或最大似然估计，是求估计的另一种方法，找到参数θ的一个估计值，使得当前样本出现的可能性最大。
平稳性：是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。
加权最小二乘法：是对原模型进行加权，使之成为一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数的方法。
序列相关性：多元线性回归模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。
如果模型的随机干扰项违背了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
多重共线性：在经典回归模型中总是假设解释变量之间是相互独立的。
如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性，则称为多重共线性。
解释变量的内生性：解释变量与随机误差项之间往往存在某种程度的相关性此时就称模型存在内生性问题，与随机误差项相关的解释变量称为内生解释变量。
虚拟变量：根据定性因素的属性类别，构造的只取“0”或“1”的人工变量，通常称为虚拟变量。
人工构造的作为属性因素代表的变量。
高斯－马尔可夫定理：在给定经典假定下，普通最小二乘（OLS）估计量具有线性性、无偏性和有效性等性质，即OLS 估计量是最佳线性无偏估计量。
异方差性：对于不同的解释向量，被解释变量的随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性。
计量经济学 主要知识点
《计量经济学》《经济计量学》《Econometrics》一、主要知识点第一章绪论第一节计量经济学一、经济计量学的产生过程1930 世界经济计量学会二、经济计量学与其他学科的关系计量经济学的定义第二节建立计量经济学模型的步骤和要点一、数据类型1、时间序列数据2、截面数据3、面板数据二、经济变量与经济参数（一）、经济变量1、内生变量和外生变量内生变量(endogenous variable)：随机变量，模型自身决定；内生变量影响模型中内生变量，同时又受外生变量和其它内生变量影响。
外生变量(exogenous variable)：通常为非随机变量，在模型之外决定。
而外生变量只影响模型中的内生变量，不受模型中任何其它变量影响。
2、解释变量与被解释变量3、滞后变量与前定变量（二）建模步骤和要点。
模型假定把所研究的经济变量之间的关系用适当的数学模型表达出来。
估计参数模型检验：经济意义的检验、统计推断的检验、计量经济的检验、预测的检验第三节计量经济学模型的应用模型应用：政策评价、经济预测、结构分析、检验和发展经济理论第二章一元线性回归模型第一节概述一、相关关系与回归分析1、函数关系与统计相关关系2、相关分析与回归分析的区别和联系二、总体回归模型与样本回归模型1、总体回归模型（PRF）：总体回归函数随机扰动项2、样本回归模型（SRF）：样本回归函数残差第二节简单线性回归模型的参数估计一、对线性回归模型的假设（古典假定）如何表示？1、零均值假定2、同方差假定3、无自相关假定4、 与解释变量不相关5、 正态性假定二、普通最小二乘法（OLS ）1、 OLS 的思想 参数估计式2、Y i 的分布三、普通最小二乘估计量的统计性质 高斯—马尔可夫定理 BLUE1、参数估计量的性质 高斯-马尔科夫定理2、 总体方差/随机扰动项方差的估计式3、 参数估计量的概率分布四、最大似然估计的概念第三节 简单线性回归模型的检验一、对估计值的直观判断（经济意义的检验） 二、拟和优度的检验1、 TSS=ESS+RSS2、 TSS ESS RSS 各自的含义3、 R2的构造4、 ∑∑==22212ˆiyx TSSESS R iβ5、 2R [0，1]三、对1β的显著性检验（T 检验） 检验步骤 四、均值预测与个值预测的置信区间 P49 第三章 多元线性回归模型 第一节 概述一、基本概念偏回归系数及其解释二、多元线性回归的基本假定如何表示和理解？1、零均值假定2、同方差假定3、无自相关假定4、无多重共线性5、扰动项与解释变量不相关6、正态性假定第二节多元线性回归模型的最小二乘估计一、矩阵形式的OLS参数估计式二、总体方差/随机扰动项方差的OLS估计式三、参数估计量的性质：同一元情形四、样本容量问题第三节多元回归模型的检验一、拟和优度检验1、判定系数2、调整后的判定系数二、对单个回归系数的显著性检验（T检验）检验步骤三、总体回归模型的显著性检验（F检验）检验步骤第四节预测对个值预测、区间预测的理解：p74第五节可以线性化的其他函数形式一、线性回归模型的形式：对参数而言是线性的回归系数的含义:边际效应二、几种常见的线性回归模型1、 双对数模型 回归系数的经济含义:弹性2、 半对数模型3、 倒数变换模型第六节 受约束回归 基本思想和检验步骤 第四章 违背经典假设的回归模型第一节 异方差一、异方差1、 异方差，指的是回归模型中的随机误差项的方差不是常数。
计量经济学知识点总结+名词解释重点+简答题
计量经济学知识点总结什么是OLS估计？原理ols估计是指样本回归函数尽可能好的拟合这组织，即样本回归线上的点与真实观测点的总体误差尽可能小的估计方法。
一、什么是计量经济学？答：计量经济学以经济理论为指导，以事实为依据，以数学和统计学为方法，以电脑技术为工具，从事经济关系与及经济活动数量规律的研究，并以建立和应用随机性的经济计量模型为核心的一门经济学科。
计量经济学模型揭示经济活动中各种因素之间的定量关系，用随机性的数量方程加以描述。
二、建立计量经济学模型的步骤和要点1.理论模型的设计（确定模型所包含的变量，确定模型的数量形式，拟定理论模型中的待估参数的理论期望值）2.样本数据的收集（常用的样本数据：时间序列数据，截面数据，虚变量数据）3.模型参数的估计（选择模型参数估计方法，应用软件的使用）4.模型的检验模型的检验包括几个方面？其具体含义是什么？答：模型的检验主要包括：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型的预测检验。
经济意义检验——需要检验模型是否符合经济意义，检验求得的参数估计值的符号与大小是否与根据人们的经验和经济理论所拟订的期望值相符合；统计检验——需要检验模型参数估计值的可靠性，即检验模型的统计学性质；计量经济学检验——需要检验模型的计量经济学性质，包括随机扰动项的序列相关检验、异方差性检验、解释变量的多重共线性检验等；模型的预测检验——主要检验模型参数估计量的稳定性以及对样本容量变化时的灵敏度，以确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围。
5.模型成功的三要素：理论、方法、数据三、计量经济学模型的应用方面（功能）答：结构分析，经济预测，政策评价，检验与发展经济理论四、引入随机干扰项的原因，内容？原因：1.代表未知的影响因素2.代表数据观测误差3.代表残缺数据4.代表模型设定误差5.代表众多细小影响因素6.变量的内在随机性内容：1.被遗漏的影响因素（由于研究者对客观经济现象了解不充分，或是由于经济理论上的不完善，以至于使研究者在建立模型时遗漏了一些对被解释变量有重要影响的变量）；2.变量的测量误差（在观察和测量变量时，种种原因使观测值并不等于他的真实值而造成的误差）；3.随机误差（在影响被解释变量的诸因素中，还有一些不能控制的因素）；4.模型的设定误差（在建立模型时，由于把非线性关系线性化，或者略去模型）五、什么是随机误差项和残差，他们之间的区别是什么随机误差项u=Y-E(Y/X)，而总体回归函数Y=Y^+e，其中e就是残差,利用Y^估计Y时带来的误差e=Y-Y^是对随机变量u的估计六、一元线性回归模型的基本假设主要有哪些？违背基本假设是否就不能进行估计1.回归模型是正确设定的；2.解释变量X是确定性变量不是随机变量；在重复抽样中取固定值。
高斯马尔可夫条件
高斯马尔可夫条件
高斯马尔可夫（Gaussian Markov）条件是一种统计技术，它旨在通过分析连续型变量之间的关系，来估计下一个时刻变量的状态。
在法律领域，它的应用使得司法机构可以评估未来的潜在行为以及做出合理的评估、反馈和处置决定。
例如，当一宗案件发生后，警方可以使用该技术来预测嫌疑人在未来再次犯罪的可能性。
模型分析可以得出嫌疑人本次罪行后重新犯罪的可能性，从而为司法机构提供关于嫌疑人未来犯罪的一定的指导意见。
另一个例子是司法机构可以使用该技术估计未来的拍卖行为，预测在未来可能出现的拍卖高峰，从而便于司法机构有效地为民众服务。
此外，穆尔可夫（Markov）条件也可用于评估未来财务发展趋势，如金融机构利润水平等。
预测未来发展趋势可以根据过去变量之间的联系推断出一定程度上的趋势，使得金融机构能够更好地应对未来风险。
总之，高斯马尔可夫条件提供了一种有效的方法，可以用于律师和司法机构对未来的潜在行为、财务趋势等进行预估，从而更好地履行他们的职责，维护公平正义。
高斯对数学的贡献概括
高斯对数学的贡献概括高斯，德国数学家，被誉为现代数学之父，他对数学做出了卓越的贡献。
以下将从基础数学、最小二乘法、数论、统计学、数学分析、几何学、数值分析和数学教育八个方面来概括高斯对数学的贡献。
1.基础数学高斯在基础数学方面做出了重要贡献，包括代数、几何和分析等领域。
他的工作涉及代数几何、复数、无穷级数和微分方程等。
高斯在代数几何领域的研究为现代代数几何的发展奠定了基础，他研究了二次曲线和曲面，提出了一些重要概念和定理，如高斯-约旦定理和高斯-米泽定理。
2.最小二乘法高斯的最小二乘法是他在数据拟合和预测方面的重大贡献。
最小二乘法是一种数学统计方法，用于通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差，来获得最佳拟合直线或曲线。
高斯在1809年发表了关于最小二乘法的论文，该方法现在广泛应用于各种统计学和数据分析中。
3.数论高斯的数论贡献卓越，他研究了整数分解、素数分布和数论中的一些基本问题。
他在代数和数论方面的研究包括对二次型的计算、对代数数论的贡献以及对质数理论的探索。
此外，高斯还解决了著名的中国剩余定理，并给出了构造正定形式的方法。
4.统计学高斯在统计学方面也具有显著的贡献。
他在数据分析和概率论方面进行了深入的研究，为现代统计学的发展奠定了基础。
高斯研究了概率分布、贝叶斯推断和方差分析等，并在1823年提出了高斯-马尔可夫定理。
此外，他还研究了因果关系，提出了高斯-皮尔逊相关系数，为相关分析和因果分析提供了重要的工具。
5.数学分析高斯的数学分析贡献丰富，他深化了微积分的基本理论，为分析的严谨化做出了重要的贡献。
他在微分学和积分学方面都有很多建树，包括对微分方程、偏微分方程和变分学的研究。
此外，高斯还研究了函数的边界值问题，提出了高斯积分公式和高斯级数展开式等重要概念。
6.几何学高斯的几何学贡献深远，他研究了欧几里得几何和非欧几里得几何的发展。
他的工作涉及平面几何、球面几何和射影几何等领域。
高斯研究了平面几何中的一些基本问题，例如三角形和圆的性质。
计量经济学第3章习题作业
A n ≥ k +1 B n ≤ k +1 C n ≥ 30 D n ≥ 3(k +1)
6. 对于 Yi =βˆ0 + βˆ1Xi +ei ，以σˆ 表示估计标准误差，r 表示相关系数，则有（ ） A σˆ＝0时，r=1
B σˆ＝0时，r=-1
C σˆ＝0时，r=0
7. 简述变量显著性检验的步骤。 8. 简述样本相关系数的性质。 9. 试述判定系数的性质。
五、综合题
1. 为了研究深圳市地方预算内财政收入与国内生产总值的关系，得到以下数据：
年份
地方预算内财政收入 Y
国内生产总值(GDP)X
（亿元）
（亿元）
1990
21.7037
171.6665
1991
27.3291
184.7908
1436.0267
2000
225.0212
1665.4652
2001
265.6532
1954.6539
要求：
（1）建立深圳地方预算内财政收入对 GDP 的回归模型；
（2）估计所建立模型的参数，解释斜率系数的经济意义；
（3）对回归结果进行检验；
（4）若是 2005 年的国内生产总值为 3600 亿元，确定 2005 年财政收入的预测值和预
）
A 可靠性
B 合理性
C 线性
D 无偏性
E 有效性
5. 剩余变差是指（
）
A 随机因素影响所引起的被解释变量的变差
B 解释变量变动所引起的被解释变量的变差
C 被解释变量的变差中，回归方程不能做出解释的部分
D 被解释变量的总变差与回归平方和之差
ghmm核心公式
ghmm核心公式
GHMM（Gaussian Hidden Markov Model，高斯隐马尔可夫模型）是一种统计模型，用于描述一系列随时间变化的状态，其中每个状态都对应一个可观察的输出。
GHMM 的核心公式主要涉及到状态转移概率和输出概率的计算。
1.状态转移概率：
在GHMM中，状态转移概率描述了从一个状态转移到另一个状态的可能性。
假设有N 个隐藏状态，那么状态转移概率可以表示为一个N×N的矩阵，其中每个元素(a_{ij})表示从状态i转移到状态j的概率。
这个矩阵通常称为状态转移矩阵或转移概率矩阵。
2.输出概率：
输出概率描述了给定隐藏状态下，观察到特定输出的可能性。
在GHMM中，由于输出
是连续的，因此通常假设输出概率服从高斯分布（正态分布）。
对于每个隐藏状态，都有一个对应的高斯分布来描述输出的概率。
这个高斯分布的均值和方差可以从训练数据中学习得到。
GHMM的核心公式可以表示为：
•状态转移概率：(a_{ij} = P(q_{t+1} = j | q_t = i))
•输出概率：(b_j(o_t) = P(o_t | q_t = j))
其中，(q_t)表示在时刻t的隐藏状态，(o_t)表示在时刻t的观察输出。
GHMM的学习和推断通常需要使用一些算法，如Baum-Welch算法（用于参数估计）和Viterbi算法（用于状态序列推断）。
这些算法可以帮助我们根据观察到的数据来估计GHMM的参数，以及在给定模型和观察数据的情况下找出最可能的状态序列。
高斯-马尔可夫过程
高斯-马尔可夫过程
高斯-马尔可夫过程介绍如下：
高斯-马尔可夫过程（Gauss-Markov processes）是随时间变化的量，是其先前值和白噪声序列的线性函数。
当高斯-马尔可夫过程的特性已知时，可以在卡尔曼滤波中进行建模。
与更新间隔相比，马尔可夫过程一般变换缓慢。
在卡尔曼滤波中，通常假设其满足高斯分布。
卡尔曼滤波的基本假设：系统中模型化的误差为系统误差、白噪声或高斯-马尔可夫过程，也可以是他们的线性组合或积分。
例如：随机游走过程是白噪声的积分，一个常值加速度误差会导致速度误差随时间积累。
作为被估状态的误差源，一般假设是系统误差、马尔可夫过程或者他们的积分。
所有噪声源都假设为白噪声，需要注意的是马尔可夫过程含有白噪声的成分。
实际的导航系统误差并不完全满足这些分布，但是在许多情况下，可以近似为这几种误差分布形式，只要让模型化的误差充分包含其对应的实际误差即可。
马尔可夫定理
马尔可夫定理马尔可夫定理是一种随机过程及概率论的理论，它可以用来描述一个系统如何在不断变化的环境中维持稳定。
在这种状态下一个系统可能会从一种状态转变为另一种状态，而马尔可夫定理帮助确定了在不同状态间的转换概率，可以用于表示某些过程的概率。
它的应用非常的广泛，其中包括经济学，语言学，数学等等。
一、什么是马尔可夫定理？马尔可夫定理(Malthusian theorem)是一种数学理论，被用来描述系统从一个状态转变到另一个状态的过程，这两个状态可能是一致的，也可能是不一致的。
马尔可夫定理在描述这种转移过程时，以状态与状态之间的转移概率作为参数。
马尔可夫定理最初是由英国经济学家亚伯拉罕·马尔可夫提出的，用于描述某一过程的状态可能的转移概率的概率论模式，随后被应用于其他领域，如生物学，数学，语言学，博弈论和计算机科学等众多领域。
二、马尔可夫定理的基本原理马尔可夫定理基于“状态”的概念，它认为某些活动或者系统会随着时间推移，从一种状态转移到另一种状态，而马尔可夫定理可以用来描述状态间不同转换概率的概率，同时也可以用来描述活动转换的规律。
因此，马尔可夫定理可以表示某一个活动的发展状况，以及活动的发展是否随着时间的推移而有可能转移到另外一种状态。
它也可以用来表示某一个随着时间而改变的系统的发展情况，以及改变是否真正被维持。
三、马尔可夫定理的应用1. 语言学方面：在语言学方面，马尔可夫定理可以用来识别语言中某一特定的字组合，从而更准确的对文本进行分析。
2. 生物学方面：在生物学方面，马尔可夫定理可以用来研究生物分子的活动，例如DNA，能够得出其所拥有的可能状态，以及在不同状态之间的转换概率。
3. 数学方面：马尔可夫定理也可以用来研究模型参数的估计，用于估计在任务完成任务时，每一时刻获得多少奖励，这样可以帮助人们了解模型参数的数值范围，以及在未来每一时刻所处的状态。
4. 计算机科学：此外，马尔可夫定理也可以用于计算机科学，比如用于搜索引擎的语义分析，比如机器学习中的回归分析等。
一阶高斯马尔可夫过程
一阶高斯马尔可夫过程一阶高斯马尔可夫过程（First-order Gaussian Markov process）是时间序列的一种模型。
这种模型的构建基于先前观测点的线性组合和当前的噪声项。
在统计学中，高斯马尔可夫过程是一种随机变量序列，其中每个变量是一个线性组合过去点的值和当前噪声项的高斯白噪声，而且满足某些限制条件。
高斯马尔可夫过程的数学定义非常简洁：如果一个序列{y1, y2, …, yn} 满足以下条件，则该序列是高斯马尔可夫过程：- y1 是一个高斯分布的随机变量。
- 对于 2 ≤ i ≤ n，yi 是一个高斯分布的随机变量，其条件分布在给定它之前的元素时是个线性组合，加上一个以 0 为均值、σ2 为方差的高斯白噪声的和。
严格地说，高斯马尔可夫过程的定义包括三条要求：（1）均值是恒定的；（2）方差是恒定的；（3）协方差与时间差只有相关性，而没有绝对的关系。
在我们推导一阶高斯马尔可夫过程时，要保证每个时间点的均值是常数，而方差必须是相等的。
由于过程中的各元素相互关联且呈一定的随机性，所以需要公式计算，更准确地描述变量间的关系。
现在我们来具体推导一下一阶高斯马尔可夫过程的公式。
假设 Yt 是时间 t 上的变量，它的状态方程可以表示为：Yt = β0 + β1 * Yt-1 + εt其中β0 和β1 是参数，它们经过计算可以得到：β0 = E(Yt) （期望）β1 = Cov(Yt,Yt-1)/Var(Yt-1) （协方差/方差）其中 Var(Yt-1) 表示 Yt-1 的方差。
我们可以从 Yt-2，Yt-3，...，Y0 开始，将最初的 Y0 替换为常数，向前一步一步地计算出上面的两个参数。
同样地，我们也可以计算出时间步长为 k 的一阶高斯马尔可夫过程的方程，具体的计算方法为：Yt = β0 + β1 * Yt-k + εt (1 ≤ k)在实践中，一阶高斯马尔可夫过程已经得到很广泛的应用。
高斯在统计学方面的成就
高斯在统计学方面的成就高斯（Carl Friedrich Gauss）被誉为现代统计学的奠基人之一，他在统计学领域取得了许多重要成就。
本文将从高斯在统计学方面的贡献入手，介绍他的成就和影响。
高斯提出了最小二乘法，这是统计学中一种重要的参数估计方法。
最小二乘法的基本思想是寻找一条曲线（或者直线），使得该曲线与已知数据点之间的误差平方和最小。
这个方法广泛应用于回归分析和数据拟合问题中，成为统计学中不可或缺的工具。
高斯对误差分布进行了深入研究，提出了正态分布（也被称为高斯分布）。
正态分布在统计学中应用广泛，不仅在概率论和数理统计中扮演重要角色，而且在自然科学、社会科学和工程学等领域都有广泛应用。
正态分布具有许多重要性质，如均值、方差和标准差等，使其成为统计学中最常用的分布之一。
高斯还提出了高斯消去法，这是一种用于求解线性方程组的方法。
高斯消去法通过矩阵变换将线性方程组化简为上三角形式，从而方便求解。
这一方法在统计学中的应用广泛，特别是在回归分析和多元统计分析中，为参数估计和假设检验提供了有效的工具。
高斯还研究了误差理论，提出了高斯-马尔可夫定理。
该定理表明，在一些合理的假设下，最小二乘法是对参数进行估计的最优方法。
这一定理为统计学中的参数估计提供了坚实的理论基础，奠定了最小二乘法在统计学中的地位。
高斯的成就不仅限于上述几个方面，他还在随机变量、数理统计和概率论等领域做出了突出贡献。
他提出了高斯过程，这是一种常用的随机过程模型，广泛应用于时间序列分析和空间统计分析等领域。
他还在概率论中提出了高斯-马尔可夫过程，为随机过程的研究提供了重要工具。
高斯的统计学成就对现代科学和工程学产生了深远影响。
他的研究成果不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中发挥了巨大作用。
通过他的贡献，统计学成为现代科学的核心领域之一，为各个学科的发展提供了基础和方法。
总结起来，高斯在统计学方面的成就丰富多样，包括最小二乘法、正态分布、高斯消去法、高斯-马尔可夫定理以及对随机变量和概率论的研究等。
高斯马尔可夫假设条件
高斯马尔可夫假设是指在线性回归模型中，误差项满足高斯分布和马尔可夫性质的条件。
具体来说，高斯马尔可夫假设包括以下条件：
1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2.独立性：误差项ϵi与ϵj在i=j时互相独立。
3.同方差性：误差项ϵi的方差2σ2 在所有样本中是相同
的。
4.正态性：误差项ϵi的分布是正态分布。
5.马尔可夫性：误差项ϵi只与前一个时间点的误差项ϵi−1
相关，即ϵi的值只受到ϵi−1 的影响，而与其他时间点的误差项无关。
这些假设条件是线性回归模型能够进行参数估计和进行推断的重要前提，也是许多现实问题中实际存在的条件。
然而，在实践中，这些假设条件并不总是成立，因此需要对模型进行修正或者使用其他更适合的模型来解决实际问题。
马尔可夫大数定理证明
马尔可夫大数定理证明马尔可夫大数定理是概率论中的一个重要定理，它是指在某些条件下，随着试验次数的增加，随机变量的平均值将会趋近于其期望值。
下面是该定理的证明：假设有一个随机变量序列$X_1, X_2, X_3, \dots$，它们是独立同分布的，且具有相同的期望值$\mu$。
现在定义随机变量$S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n$，表示前$n$ 个随机变量的和。
根据期望的线性性质，我们有$E(S_n) = n\mu$。
接下来，我们需要证明两个引理。
第一个引理是：对于任意的$\epsilon > 0$，有$\lim\limits_{n\to\infty} P\left(\frac{|S_n - n\mu|}{n} \geq \epsilon\right) = 0$。
这个引理的意义是，当$n$ 趋近于无穷大时，$S_n$ 与$n\mu$ 的差距不会太大。
具体来说，当$\epsilon$ 足够小时，$S_n$ 与$n\mu$ 的差距将会在$n$ 的量级内。
证明该引理需要使用切比雪夫不等式。
第二个引理是：$\lim\limits_{n\to\infty} P\left(\frac{S_n}{n} = \mu\right) = 1$。
这个引理的意义是，当$n$ 趋近于无穷大时，$S_n$ 的平均值将会趋近于$\mu$。
证明该引理需要使用大数定律。
结合以上两个引理，我们可以得出马尔可夫大数定理：对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, X_3, \dots$，它们具有相同的期望值$\mu$。
则对于任意的$\epsilon > 0$，有$\lim\limits_{n\to\infty} P\left(\frac{|S_n - n\mu|}{n} \geq \epsilon\right) = 0$，且$\lim\limits_{n\to\infty} P\left(\frac{S_n}{n} = \mu\right) = 1$。
计量经济学名词解释简答
解释变量：是用来解释作为研究对象的变量（即因变量）为什么变动、如何变动的变量。
它对因变量的变动做出解释，表现为方程所描述的因果关系中的“因”。
被解释变量：是作为研究对象的变量。
它的变动是由解释变量做出解释的，表现为方程所描述的因果关系的果。
内生变量：是由模型系统内部因素所决定的变量，表现为具有一定概率分布的随机变量，是模型求解的结果。
外生变量：是由模型系统之外的因素决定的变量，表现为非随机变量。
它影响模型中的内生变量，其数值在模型求解之前就已经确定。
计量经济模型：为了研究分析某个系统中经济变量之间的数量关系而采用的随机代数模型，是以数学形式对客观经济现象所作的描述和概括。
最小二乘法：用使估计的剩余平方和最小的原则确定样本回归函数的方法，称为最小二乘法。
高斯－马尔可夫定理：在古典假定条件下，OLS估计量是模型参数的最佳线性无偏估计量，这一结论即是高斯－马尔可夫定理。
总变差（总离差平方和）：在回归模型中，被解释变量的观测值与其均值的离差平方和。
回归变差（回归平方和）：在回归模型中，因变量的估计值与其均值的离差平方和，也就是由解释变量解释的变差。
剩余变差（残差平方和）：在回归模型中，因变量的观测值与估计值之差的平方和，是不能由解释变量所解释的部分变差。
拟合优度：样本回归直线与样本观测数据之间的拟合程度。
残差：样本回归方程的拟合值与观测值的误差称为回归残差。
显著性检验：利用样本结果，来证实一个虚拟假设的真伪的一种检验程序。
多重决定系数：在多元线性回归模型中，回归平方和与总离差平方和的比值，也就是在被解释变量的总变差中能由解释变量所解释的那部分变差的比重，我们称之为多重决定系数，仍用R2表示。
调整后的决定系数：又称修正后的决定系数，记为，是为了克服多重决定系数会随着解释变量的增加而增大的缺陷提出来的，其公式为：。
偏相关系数:在Y、X1、X2三个变量中，当X1 既定时（即不受X1的影响），表示Y与X2之间相关关系的指标，称为偏相关系数，记做。
河北大学计量经济学名词解释及简答
名词解释及简答三、名词解释（每小题3分）1．经济变量：经济变量是用来描述经济因素数量水平的指标。
（3分）2．解释变量：是用来解释作为研究对象的变量（即因变量）为什么变动、如何变动的变量。
（2分）它对因变量的变动做出解释，表现为方程所描述的因果关系中的“因”。
（1分）3．被解释变量：是作为研究对象的变量。
（1分）它的变动是由解释变量做出解释的，表现为方程所描述的因果关系的果。
（2分）4．内生变量：是由模型系统内部因素所决定的变量，（2分）表现为具有一定概率分布的随机变量，是模型求解的结果。
（1分）5．外生变量：是由模型系统之外的因素决定的变量，表现为非随机变量。
（2分）它影响模型中的内生变量，其数值在模型求解之前就已经确定。
（1分）6．滞后变量：是滞后内生变量和滞后外生变量的合称，（1分）前期的内生变量称为滞后内生变量；（1分）前期的外生变量称为滞后外生变量。
（1分）7．前定变量：通常将外生变量和滞后变量合称为前定变量，（1分）即是在模型求解以前已经确定或需要确定的变量。
（2分）8．控制变量：在计量经济模型中人为设置的反映政策要求、决策者意愿、经济系统运行条件和状态等方面的变量，（2分）它一般属于外生变量。
（1分）9．计量经济模型：为了研究分析某个系统中经济变量之间的数量关系而采用的随机代数模型，（2分）是以数学形式对客观经济现象所作的描述和概括。
（1分）10．函数关系：如果一个变量y 的取值可以通过另一个变量或另一组变量以某种形式惟一地、精确地确定，则y 与这个变量或这组变量之间的关系就是函数关系。
（3分）11．相关关系：如果一个变量y 的取值受另一个变量或另一组变量的影响，但并不由它们惟一确定，则y 与这个变量或这组变量之间的关系就是相关关系。
（3分）12．最小二乘法：用使估计的剩余平方和最小的原则确定样本回归函数的方法，称为最小二乘法。
13．高斯－马尔可夫定理：在古典假定条件下，OLS 估计量是模型参数的最佳线性无偏估计量，这一结论即是高斯－马尔可夫定理。
多元线性回归与最小二乘估计
多元线性回归与最小二乘估计1．假定条件、最小二乘估计量和高斯—马尔可夫定理 多元线性回归模型：y t = β0 +β1x t 1 +β2x t 2 +…+βk - 1x t k -1 + u t(1.1)其中y t 是被解释变量（因变量），x t j 是解释变量（自变量），u t 是随机误差项，βi , i = 0, 1, … , k - 1是回归参数（通常未知）。
对经济问题的实际意义：y t 与x t j 存在线性关系，x t j , j = 0, 1, … , k - 1, 是y t 的重要解释变量。
u t 代表众多影响y t 变化的微小因素。
使y t 的变化偏离了E( y t ) =多元线性回归与最小二乘估计1．假定条件、最小二乘估计量和高斯—马尔可夫定理 多元线性回归模型：y t = β0 +β1x t 1 +β2x t 2 +…+βk - 1x t k -1 + u t(1.1)其中y t 是被解释变量（因变量），x t j 是解释变量（自变量），u t 是随机误差项，βi , i = 0, 1, … , k - 1是回归参数（通常未知）。
对经济问题的实际意义：y t 与x t j 存在线性关系，x t j , j = 0, 1, … , k - 1, 是y t 的重要解释变量。
u t 代表众多影响y t 变化的微小因素。
使y t 的变化偏离了E( y t ) =β0 +β1x t 1 +β2x t 2 +…+βk - 1x t k -1决定的k 维空间平面。
当给定一个样本（y t , x t 1, x t 2 ,…, x t k -1）, t = 1, 2, …, T 时, 上述模型表示为y 1 =β0 +β1x 11 +β2x 12 +…+βk - 1x 1 k -1 + u 1, 经济意义：x t j 是y t 的重要解释变量。
y 2 =β0 +β1x 21 +β2x 22 +…+βk - 1x 2 k -1 + u 2, 代数意义：y t 与x t j 存在线性关系。
《计量经济学(第二版)》习题解答(第1-3章)
《计量经济学（第二版）》习题解答第一章1.1 计量经济学的研究任务是什么？计量经济模型研究的经济关系有哪两个基本特征？ 答：（1）利用计量经济模型定量分析经济变量之间的随机因果关系。
（2）随机关系、因果关系。
1.2 试述计量经济学与经济学和统计学的关系。
答：（1）计量经济学与经济学：经济学为计量经济研究提供理论依据，计量经济学是对经济理论的具体应用，同时可以实证和发展经济理论。
（2）统计数据是建立和评价计量经济模型的事实依据，计量经济研究是对统计数据资源的深层开发和利用。
1.3 试分别举出三个时间序列数据和横截面数据。
1.4 试解释单方程模型和联立方程模型的概念，并举例说明两者之间的联系与区别。
1.5 试结合一个具体经济问题说明计量经济研究的步骤。
1.6 计量经济模型主要有哪些用途？试举例说明。
1.7 下列设定的计量经济模型是否合理，为什么？（1）ε++=∑=31i iiGDP b a GDPε++=3bGDP a GDP其中，GDP i （i =1，2，3）是第i 产业的国内生产总值。
答：第1个方程是一个统计定义方程，不是随机方程；第2个方程是一个相关关系，而不是因果关系，因为不能用分量来解释总量的变化。
（2）ε++=21bS a S其中，S 1、S 2分别为农村居民和城镇居民年末储蓄存款余额。
答：是一个相关关系，而不是因果关系。
（3）ε+++=t t t L b I b a Y 21其中，Y 、I 、L 分别是建筑业产值、建筑业固定资产投资和职工人数。
答：解释变量I 不合理，根据生产函数要求，资本变量应该是总资本，而固定资产投资只能反映当年的新增资本。
（4）ε++=t t bP a Y其中，Y 、P 分别是居民耐用消费品支出和耐用消费品物价指数。
答：模型设定中缺失了对居民耐用消费品支出有重要影响的其他解释变量。
按照所设定的模型，实际上假定这些其他变量的影响是一个常量，居民耐用消费品支出主要取决于耐用消费品价格的变化；所以，模型的经济意义不合理，估计参数时可能会夸大价格因素的影响。
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高斯—马尔可夫定理:
若一元线性模型满足计量经济基本假设，则参数的最小二乘估计(OLS)是最小方差的线性无偏估计。
（BLUE )
最小二乘法估计量OLS 的性质（高斯—马尔可夫定理的初步证明）
1．线性性：0
ˆβ和1ˆβ都是i y 的线性函数
证明：
i
n
i n
j j i n j j
n
i i
i
y x x x x x x y x x
∑
∑∑∑====--=--=1
12
1
2
1
1
)()
()()(ˆβ ；
令
∑=--=
n
j j
i i x x
x x k 1
2)
()
(
则有
i n
i i y k ∑==1
1
ˆβ ，且有
=∑i
k
，
1
=∑i
i x
k ，
∑∑=-=
n
i i
i x x
k 1
2
2)
(1
从而1ˆ
β是i y 的线性函数；
同理，
0ˆβ＝=-x y 1ˆβi i i i n i i y k x n y k x y n ∑∑∑⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=111
令i i k x n
w ⋅-=1
，则有：i i y w ∑=0
ˆβ，即0
ˆβ也是i
y 的线性函数。
另有：1=∑i
w ，
0=∑i
i x
w
2. 无偏性：0
ˆβ和1ˆβ都是0β、1β的无偏估计量； 即有：(),ˆ0
ββ=E ()1
1
ˆββ=E
证明：先证()1
1
ˆββ=E
()i i i i n i i u x k y k ++==∑∑=101
1
ˆβββ， 又
0=∑i
k
，1=∑i i x k
()∑∑∑=++===i i i i i n
i i k u x k y k 0101
1
ˆββββ+∑∑+i i i i u k x k 1β =∑+i i u k 1β
()
()1101ˆββββ=++⋅=∑∑∑i i i i i u E k x k k E
(因为:
0=∑i
k
，1=∑i i x k )
同理，利用1=∑i w 和0=∑i i x w 可证得()
,ˆ0
0ββ=E
3. 最优性或最小方差性：在所有的线性无偏估计中，0
ˆβ和1ˆβ分别是0β、1β的方差最小的有效估计量 证明：
若1~β是原值1β的一个线性无偏估计（方差条件不限），且记∑=i i y c 1~β（∵
线性估计），再根据无偏估计的特性，有：
∑∑==1,0i i i
x c c。
再记()i i i y k c P ∑-=-=1
1ˆ~1ββ，则有11ˆ~ββ+=P ()
()
)ˆ,(2)ˆ()(),ˆ(2)ˆ,ˆ(),()ˆ,ˆ(~,~~1
11111
1111ββββββββββP Cov D P D P Cov Cov P P Cov P P Cov Cov D ++=++=++==
如果能证明0)ˆ,(1
=βP Cov ，则利用方差不小于0的性质，判定)ˆ()ˆ()()~(111βββD D P D D ≥+=，1
ˆβ即为所有无偏的线性估计中方差最小的。
∵
2221
)())((),)(()ˆ,(u i i i u i i i i i i i i k k c k k c y k y k c Cov P Cov σσβ∑∑∑∑∑-=*-=-=
又∵
∑=--=
n
j j
i i x x
x x k 1
2
)
()
(
且有：
0=∑i
k ，1=∑
i i x k ，
∑∑=-=n
i i
i x x
k 1
2
2
)
(1
所以
0)
(1
)
(1
2
1
2
1
1
2
=--
--=
-∑∑∑∑∑∑====n
j j
n
j j
n i n
i i
i
i i
i
i x x
x x
x
c x c k k c ，
0)ˆ,(1
=βP Cov , 有：)ˆ()ˆ()()~
(111βββD D P D D ≥+=，命题得证。
（此处利用了∑∑==1,0i i i x c c ）。