立体几何证明题练习

立体几何

1．（2014•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD⊥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，

PC的中点．

（⊥）求证：AP⊥平面BEF；

（⊥）求证：BE⊥平面PAC．

2．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形

（⊥）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；

（⊥）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE⊥平面A1MC？请证明你的结论．

3．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：

（1）直线PA⊥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．

4．（2014•黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点．

（1）求证：AF⊥平面PCE；

（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；

（3）求四面体PEFC的体积．

5．（2014•南海区模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB⊥CD，AB⊥AD，⊥PAB和⊥PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．

（⊥）求证：PO⊥平面ABCD；

（⊥）求证：OE⊥平面PDC；

（⊥）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

6．（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

（⊥）证明：EF⊥平面A1CD；

（⊥）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；

（⊥）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

7．（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，

⊥ABC=120°，G为线段PC上的点．

（⊥）证明：BD⊥平面PAC；

（⊥）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；

（⊥）若G满足PC⊥面BGD，求的值．

8．（2013•湖南）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，⊥BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．

（1）证明：AD⊥C1E；

（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．

9．（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，⊥ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．

（⊥）证明：PB⊥平面ACM；

（⊥）证明：AD⊥平面PAC；

（⊥）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

10．（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，⊥BAD=60°．（⊥）求证：BD⊥平面PAC；

（⊥）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；

（⊥）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

11．（2010•深圳模拟）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别AB、SC的中点

（1）求证：EF⊥平面SAD

（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．

12．（2010•重庆）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．

（1）求证：AB⊥平面PCB；

（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．