全国高考文科数学立体几何综合题型汇总

新课标立体几何常考证明题汇总ABCDE,F,G,HAB,BC,CD,DA的中点分别是边1、

已知四边形是空间四边形，（1）求证：EFGH是平行四边形

23，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和（2）若EGBD=、BD所成的角。

1BD?,EHEH//BD ABD?AD,E,HAB中，∵证明：在分别是的中点∴

21EFGHBDFG?FG//BD,FG?FG,EHEH//是平行四边形。同理，∴四边形∴2°(2) 90 30 °考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角ABCD ABE BD?BCAC,AD?是、如图，已知空间四边形2，中，的中点。?AB CDE;

平面求证：（1）ABC?CDE平面。（2）平面BC?AC??CE?AB证明：（1）

?AE?BE?AD?BD??DE?AB同理，?AE?BE?CE?DE?ECDE?AB平面又∵∴CDE?AB 1）有平面2（）由（AB?ABCCDE?ABC∴平面平面又∵平面，考点：线面垂直，面面垂直的判定

ABCD?ABCDAA E中，的中点，是3、如图，在正方体11111AC//BDE平面求证：。1ACOEO BD，于证明：连接交，连接OAC AA E的中点的中点，∵为为1EO AACEO//AC为三角形∴的中位线∴11EO AC BDEBDE在平面在平面内，外又1AC//BDE平面。∴1考点：线面平行的

判定

AD?SBCAD?SC?ABCSA?ABC90??ACB．,面,面4、已知求证：,中

∵?ACB?90?BC?AC证明：°

SA?ABC?SA?BC又面

?BC?SAC面

?BC?AD

SC?AD,SC?BC?C?AD?SBC又面

考点：线面垂直的判定

ABCD?ABCD OABCD对角线的交点5、已知正方体是底，. 1111ABDAC?ABD．O C∥面面；

(2) 求证：(１)111111AC?BD?OAOAC，设1）连结证明：，连结（11111111DBCABCD?AACCA?是平行四边形是正方体∵111111ACAC?且∴AC∥AC 1111O?AOCACOAC,O,且O的中点，∴C又∥分别是AO1111111OAOC?

是平行四边形11??CO∥AO,AODABABABDDCO?面∴

CO∥面面，11111111111D?BDABC?CC?CC

2（）面111!1111D∵AC?BDB即CAC???BD面

AC，又1111

1111111D??DBAC?ADAD同理可证又，111111?ABDAC?面111考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

AC?平面B'D'DBBD'?平面ACB''B'C'DABCD?A'. ）（2）；6、正方体中，求证：（1

考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD—ABCD中．(1)求证：平面ABD∥平面BDC；1111111 (2)若E、F分别是AA，CC的中点，求证：平面EBD∥平面FBD．1111证明：(1)由BB∥DD，得四边形BBDD是平行四边形，∴BD∥BD，111111?平面BDDC，BD ?平面BDC，B又111111∴BD ∥平面BDC．11

同理AD∥平面BDC．111而AD∩BD＝D，∴平面ABD∥平面BCD．111 (2)由BD∥BD，得BD∥平面EBD．取BB中点G，∴AE∥BG．111111从而得BE∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴BE∥DF．∴DF∥平面EBD．∴平面EBD∥平面FBD．111111考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

2AC?EF ABCDBC,E,FAD,AC?BD，的中点，8、四面体中，且分别为

2?BDC?90BD?ACD平面，求证：1

//ACCDGEGBC,,FGADEGF,E的中点，∴，连结的中点，∵证明：取分别为?

2111//2222FGFGEF?BDFG??ACEGAC?EFG?,AC?BD，又，∴在∴中，?222 AC?CD?C90??BDCCD?ACBD?FGBD?EG，又，∴∴，即，BD?ACD

∴平面

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

PPABMABN?ABCPC?,CBPA?PB上的点，9、如图是是平面是所在平面外一点，，的中点，AN?3NB

?APB?90AB?2?ABBC?4MNMN的长。；（2（1）求证：）当，时，求PB

MPANQQMQ,的中点，，连结，∵1证明：（）取是

的中点PABPAB?CB?MQ//BCMQ平面，∴平面∴，∵PD?ABPABABDPDAN?NBMN3P?PB,AQN又，的中点∵，，∴连结是在平面内的射影，，取∴

BN?ND∴[来源学§科§网]AB?MNAB?QN//PDQN，∴∴，由三垂线定理得

12PD?AB?90?APB?PABNQPBPA?,?MQ1QN?MQ?，且2 （）∵.，，∵∴平面∴，∴2

11BC??MQ2MN?，∴2考点：三垂线定理．

ABCD?ABCDEFDDC ADABFG E中，的中点.求证：平面、10、、如图，在正方体分别是、∥、1111111BDG.平面

?EFADBDFAB E 证明：∵的中点，、、分别是∥?EFBD?BDGBDG?BDGEF平面又∥平面，平面GDGBEDDE?GBEB为平行四边形，∵∥四边形111DE?DE?BDGGB?BDGBDG∥平面平面又平面，11EF?DE?EDEF?BDG平面∥平面，11考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

ABCD?ABCDAA E中，是、如图，在正方体的中点.1111111AC//BDE平面（1）求证：；

1AAC?BDE.（2）求证：平面平面1AC?BD?O，证明：（1）设

ACAA?EOOAC E 分别是的中点，、∵∥、11AC?AC?BDEBDEBDEEO?∥平面，平面又平面，11AA?AA?BD ABCD?ABCDBD（2）∵，平面平面，

11AC?AA?AAACAAC???BD?ACBD?BDEBDEBD?，平面平面平面平面，又，，111考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

PA?AB?2PA?AD?4EBCABCDABCD的中点．，、已知12，是矩形，为，平面

DE?PAEDPPAE所成的角．与平面（1）求证：2）求直线平面；（222AD?AE?DE?AE?ADE?DE 中，，证明：在?PA???DEDEPAABCDABCD平面平面∵，，PA?AE?A?DE?PAE平面，又?DPEDPPAE所成的角为（2）与平面DE?22PD?42DCEPAD??RtRt中，，在，在030DPE???DE?2PDDEPRt?中，在， ,构造直角三角形考点：线面垂直的判定

0a60?DAB?PADABCD?ABCDP是等边三角形，的菱形，是13、如图，在四棱锥侧面且边长为中，底面PADABCD垂直于底面．且平面PADAD?BGG的中点，求证：为平面；（1）若PBAD?；（2）求证：PBC?A?的大小．（3）求二面角?AD?ABDAD?BGG）为为等边三角形且的中点，（证明：1?PADPAD??BGABCD平面，又平面平面?ADPADPGAD?G为的中点，2（）是等边三角形且GBGPG????ADPBG?BGAD，平面，，且．

?AD??PBGPBPB平面，?ADPBAD?BC?BCPB∥，（3）由，?ADBG?BCBCBG?AD∥，又，??PBGA?BC?P的平面角为二面角

045??PBG?BG??PBGPGRt在，中，面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）构造直角三角形,考点：线面垂直的判定,CCAOABCD?A?BCD M中，．于点O，求证：平面14、如图1,在正方体MBD为的中点，AC交BD111111AA?AC?AAMAA，⊥，DB⊥，证明：连结MOAC，，∵DB111A?AACCAOACCAO．⊥平面，而∴DB∴DB⊥平面

a a?AO?aMO．设正方体棱长为，则，

111111332222

124922222AO?OMACM a?AM?MO?AOAM，∴中，△．．∵在Rt1111114AO⊥平面MBD．DB=O，∴OM∵∩1考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直

ＡBCDBCACADBD，＝、如图２，在三棱锥15＝－，中，BECDＥAHBEＨAHBCD．⊥于，⊥平面为垂