线性系统的状态空间描述

第一章线性系统的状态空间描述

1.内容

系统的状态空间描述

化输入—输出描述为状态空间描述

由状态空间描述导出传递函数矩阵

线性系统的坐标转换

组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵

2.基本概念

系统的状态和状态变量

状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组

状态变量：构成系统状态的变量

状态向量

设系统状态变量为X i(t),X2(t)厂，X n(t)写成向量形式称为状态向量，记为

_X i

(t)

x(t)=

_X n(t)

状态空间

状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n维空间

状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条

轨迹。

3. 状态空间表达式

设系统r 个输入变量：U i (

t ),

u 2(

t )

^ ,

u r (

t )

m 个输出：

yQM), ,y m (t)

n 个状态变量：X i (t),X 2(t), ,X n (t)

例：图示RLC 电路，建立状态空间描述

i L

C

电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量, 方程为

如图中所注,

L

di L (t)

dt

Ri L (t) U c (t) =u(t)

C 沁 “L (t)

dt

X i (t)二 L(t), X 2(t)二 U c (t)

二 LX i (t) RX i (t) X 2(t)二 u(t)

Cx (t)二 X (t) N(t) - R/L 殳⑴门1/C

0 匚X 2(— O

u(t)

U c

输出方程

一般定义

状态方程：状态变量与输入变量之间的关系

dX i (t) dt = X i (t)二 f i 〔X i (t),X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t);tl dX 2(t) dt = X 2(t)二 f 2'X i (t),X 2(t)^ ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t 】

dX n (t) dt 二 X n (t)二 f n 〔X i (t),X 2(t), ^⑴小⑴心⑴,,U 「(t)；t 】

用向量表示，得到一阶的向量微分方程

x(t)二 f 'X(t),u(t), t 1

其中

X i (t)

U ](t)

fQ) “、 X 2(t) -

U 2(t) .

f 2(・)・Qn

X(t) -

c R ,u(t)戶；c

R , f (•) ^^

： c

R N(t) 一

JU r (t) 一

-f n (叽

输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即

%(t)二 g i X i (t),X 2(t),

,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t ]

y 2(t)二 g 2 X i (t), X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t),

,U r (t)；t 〔

y(t)二 ％(t)二 1

01 X i (t) 殳(t).

y m(t)二g m X i(t),X2(t), ,X n(t)；U i(t),U2(t),

,U r(t)；t】

用向量表示为

y(t)二gX(t),U(t),t]

4系统分类：

1) 非线性时变系统

：x(t) = f

〔x(t),u(t),t 】

y(t)二 g

〔x(t),u(t),t 〕

2) 非线性定常系统

x(t)二 f 〔x(t),u(t)】 y(t)二 g'x(t),u(t)]

3) 线性时变系统

‘X i =a“(t)X i + …+a in (t)X n +bn(t)u i + …+匕「住)山 jX n =a ni (t)X i + …+a nn (t)X n +b ni (t)U i + …+0「住)山

写成向量形式即为

：x(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) y(t)=C(t)x(t) + D(t)u(t)

其中：

4) 线性定常系统

a ii (t) a i2(t)

a 2i (t) a 22 (t) A

(t)—: :

a in (t) bn(t)

b i2 (t) a2n ⑴，B(t)=b ⑴ b22(t) _a ni (t)

a n2(t) a nn (t) 「Gi(t)

C(t)二

C 2i (t) c

mi (t )

G2(t) C 22(t )

a

_b ni (t) b n2(t)

C in (t)〕

"dn(t) d i2(t)

C 2n (t) d 2i (t) d 22(t)

，D(t)=

C

mn

(t)_

-d

mi

(t)

d

m2(t)

d ir (t

) d 2r (t )

b ir (t) b 2r (t)

a

b nr (t)