新课标人教版高中数学必修一 1.2函数及其表示 教学设计

1.2 函数及其表示

[教学目标]

1．在初中学习函数的基础上，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．

2．能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，了解映射的概念，并了解构成函数的要素．

3．会求一些简单函数的定义域和值域．

4．会用区间表示函数的定义域和值域．

5．理解表示函数的图象法、列表法和解析法，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

6．通过具体实例了解简单的分段函数，并能简单应用．

[教学要求]

函数是高中数学的重要内容，函数现象大量存在于学生周围，初中学生已经学习过函数，那时把函数看成变量之间的依赖关系．我们教材要求能够从具体的实例中抽象概括出用集合与对应的语言定义的函数．因此教学过程中要把握住用丰富的实例分析归纳出函数的本质属性，要在这一过程中注重培养学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．

与传统的处理方式不同，本节将映射作为函数的一种推广，这样做是为了较好与初中衔接，让学生更好地理解函数的概念，体现思维从特殊到一般的过程．

本节的主要内容是函数的表示．在初中学生习惯于用解析式表示函数，本节注意在这一基础之上，注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法．通过这些丰富多彩的表示方法，丰富学生对函数的认识，特别是帮助学生理解抽象的函数概念．

可以借助信息技术环境使函数在数与形两方面的结合得到更为充分的表现．学生通过函数的学习能够更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．在教学过程中，要充分发挥图象直观的作用，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．

[教学重点]

在初中把函数看成变量之间的依赖关系的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概

念，认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型．

[教学难点]

1．对函数概念整体性的认识； 2．对函数符号内涵的理解． [教学时数] 4课时 [教学过程]

第一课时

1.2.1函数的概念（1） 新课导入

一、回顾初中学习的函数概念

我们在初中曾学习过函数，它的定义是：

“设在一个变化过程中，有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量．”

请你举出这样的例子．

二、三个实例

1．呈现课本第15页——16页的三个实例．

2．讨论：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？ 3．在讨论的基础上，得出三个实例中变量之间关系的共性： （1）都涉及两个数集；

（2）对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作：B A f :

新课进展 一、函数定义 1．函数

（课本第16页）设B A ,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合

A 中的任意一个数x ，在集合

B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：A x x f y ∈=),

(．

其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域（domain ）；与x 的值对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{}

A x x f ∈)(叫作函数的值域（range ）．

值域是集合B 的子集． 2．对函数概念的理解

（1）定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体．一般来说值域由定义域和对应关系所确定，因为对于定义域中的数x ，按照确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和x 对应．

（2）记住)(x f y =的内涵．例如对于2

)(x x f =，对应关系f 就是“取平方”，而对于x x f =

)(，对应关系f 就是“开平方”，f 就是函数符号，对于具体的函数它有具体的

涵义．函数符号还可以记作(),y g x =()y u x =等．

3．用函数定义理解初中学习过的函数 问：我们已经学过了那些函数？ 答：一次函数、二次函数和反比例函数． 请填写下表：

4．请具体写出一个一次函数、二次函数和反比例函数，并作出图象． 二、求函数的定义域和函数值 例1 已知函数2

1

3)(++

+=

x x x f ， （1）求函数的定义域；

（2）求)3(-f ，)3

2(f 的值；

（3）当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值． 解：课本第17页——18页．

注意：)(x f y =与)(a f y =的区别．

例2 求函数y =和1

31

y x =

-的定义域．

解：函数y =的定义域应满足310,x -≥解得1.3

x ≥ 所以定义域为1.3x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭

函数131y x =

-的定义域应满足310,x -≠解得1

.3

x ≠ 所以定义域为1,.3x x x ⎧⎫

≠

∈⎨⎬⎩⎭

R 课堂练习

课本第19页练习1，2

三、本课总结

1．用集合与对应的语言定义的函数．

2．如何求简单函数定义域和函数值．求定义域时通常要注意以下几点：（1）开偶次方根需非负；（2）分母不等于零；（3）具体函数的定义域要求．

四、布置作业

课本第24页习题1.2A 组第1题（1）（2）（3）（4）． 课本第44页复习参考题A 组第6题．

第二课时

1.2.1函数的概念（2） 复习导入

通过提问复习上节课主要学习内容． 问：什么是函数？