信号分析与处理基本公式

X p (k ) = X p (k ) e
N −1 n =0
jθ p ( k )
nk 离散傅里叶变换： 离散傅里叶变换 X( k ) = DFT[ x ( n )] = ∑ x ( n ) WN ； x (n ) = IDFT[X ( k )] =
1 N −1 − ∑ X(k ) WN nk N k =0
N −1 N −1 − nk 离散傅里叶级数： 离散傅里叶级数 X p (k ) = DFS[ x p (n )] = ∑ x p (n ) W N ； x p (n ) = IDFS[ X p (k )] = 1 ∑ X p (k ) W N nk N k =0 n =0
WN = e
−j
里叶变换
X ( e jω ) =
n = −∞
∑ x ( n )e
； x (n ) =
1 π X (e jω )e jnω dω ； X (e jω ) = X (e jω ) e jϕ ( ω) 2π ∫− π
系统函数： 系统函数
H(z) =
Y ( z) = X ( z)
s s

信号的分解： 信号的分解
m = −∞
∑ x (m )δ(n − m )
y p (n )
形式： 三种激励 x (n ) 对应的特解 y p (n ) 形式：
x (n )
nm Pm n m + Pm−1n m −1 + … + P1n + P0
a （常数）
P0
P0 a n ，a不是特征方程的根 n ，a是特征方程的单根 (P1 n + P0 )a P n m + P n m −1 + … + P n + P a n ，a是特征方程的m阶重根 m −1 1 0 m
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ωc
窗函数 矩形 巴特利特 海宁 哈明 布莱克曼
过渡带宽 A/N
4π / N 8π / N 8π / N 8π / N 12π / N
最小阻带衰减(dB) -21 -25 -44 -53 -74
截止频率为 ωc 理想低通滤波器 h d ( n ) = 带限周期信号： 带限周期信号 X p ( jkΩ 0 ) =
z = e jω
= H(e jω ) e jϕ( ω) ， H(e jω ) = H 0
Π (e jω − z r ) Π (e jω − p i )
i =1 r =1 N
M
H (e ) = H
jω
r =1 0 N
Π Ar Π Bi
i =1
M
j(
∑ ψ r − ∑ θi )
r =1 i =1
M
N
e
jω j( 2 π − ω ) ) ， ϕ(ω) = −ϕ(2π − ω) = H (e jω ) e jϕ ( ω) ＝> H (e ) = H (e
∑b z ∑a z
i =0 i r =0 N r
M
−r
−i
； H(z) = H 0
Π 1 − z r z −1
r =1 N i =1 −1 i
( ) Π (1 − p z )
M
Y ( z) = X ( z) H ( z) ； y( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) ； H (z) = ∑ h (n )z − n
N −1 偶对称 2
h ( n ) = h ( N − 1 − n ) ， θ(ω) = − τω τ = N −1 2
具有线性相位 线性相位特性时，其单位采样响应 h(n) 应该关于 线性相位
N −1 奇对称。 2
h ( n ) = − h ( N − 1 − n ) N −1 τ= ， θ (ω ) = θ 0 − τω 2 π π θ0 = + 或 − 2 2
DFT 时域循环卷积定理 y (n ) = IDFT[Y (k )] = x (n ) ⊗ h ( n ) ； x (n ) ⊗ h (n ) = ∑ x (m )h ((n − m)) N R N (n ) 时域循环卷积定理：
m =0
N −1
离散傅里叶变换与 Z 变换的关系： X ( k ) = DFT[ x ( n )] = X ( z) 变换的关系 FFT： W
+∞
z = esTs
； X ( z ) = X s (s)
s=
1 ln z Ts
；z = e
sTs
；
X(z) =
1 Ts
m = −∞
∑ X(s − jmΩ )
s
1 s = ln z Ts
+∞
；
X(s) = ∑
− jnω
N N Ak Ak Akz ＝> X(z) = ∑ =∑ s k Ts −1 s k Ts z k =1 s − s k k =1 1 − e k =1 z − e
窗口法： 窗口法 H d (e jω ) =
∑h
n =0
N −1
d
(n )e − jωn ，h d (n ) =
1 π N −1 jnω ∫− π Hd (ω)e dω ，hN (n) = hd (n)w(n) ，h(n) = hN (n − 2 ) 2π
最大旁瓣衰减(dB) -13 -25 -31 -41 -57
nk N
− z = WN k
周期性 W
( nk + lN ) N
=e
−j
2π ( nk + lN ) N
=e
−j
2π nk N
=W
nk N ，对称性
WN
( nk +
N ) 2
nk = − WN
时间抽取算法： 时间抽取算法 x 1 ( r ) = x ( 2r ) ， x 2 ( r ) = x ( 2r + 1) ， r = 0, 1, L ,
H a (s) = ∑
p =1
N
Ap s − sp
， H (z) =
∑ 1− e
p =1
N
Ap
s p Ts
z −1
， ω = ΩTs
双线性变换法
H ( z ) = H a (s)
2 z −1 s= Ts z +1
， ω = 2 arctan
ΩTs 2 ω tan ，Ω = 2 Ts 2
数字滤波器：具有严格线性相位 严格线性相位 FIR 数字滤波器 严格线性相位特性时，其单位采样响应 h(n) 应该关于
X(e jωk )
ωk =
2π k N
= ∑ x ( n )e
n =0
N −1
− jn
2π k N
nk = ∑ x ( n ) WN = X ( k ) n =0
N −1
− DFT 时域循环移位性质 y(n ) = x ((n + m)) N R N (n ) ； DFT[ x (( n + m)) N R N ( n )] = W N km DFT[ x ( n )] 时域循环移位性质：
1 2 p −1
2
jπ ( + ) 1 巴特沃思型模拟低通滤波器的模方函数： ，s p = Ω c e 2 2 N ，H a (s) = 巴特沃思型模拟低通滤波器的模方函数 H a ( jΩ) = Ω 1 + ( )2N Ωc
Ωc
N p =1
N
∏ (s − s
p
)
数字滤波器：冲激响 冲激响应不变法 IIR 数字滤波器 冲激响应不变法
信号分析与处理基本公式
冲激采样信号的频谱： 冲激采样信号的频谱
X s ( jΩ ) =
x (t ) =
x (n ) =
+∞
1 Ts
k = −∞
∑ X[j(Ω − kΩ )]
s
s
+∞
冲激采样信号的恢复： 冲激采样信号的恢复
n = −∞
+∞
π ∑ x (nT )Sa T (t − nT )
1 sin (nωc ) N −1 N −1 jnω ∫−ωce dω = πn ， h(n ) = h d (n − 2 )w (n − 2 ) 2π
Ts 1 X(k ) = X(k ) ， T0 = NTs ； T0 N
2π Ω Ts = k s = kΩ 0 ； ω = ΩTs N N
带限非周期信号： 带限非周期信号 X ( jΩ) |Ω = Ω k = Ts X ( k ) ， Ω k = k
变换的位移性质： 单边 Z 变换的位移性质：
时域卷积定理： 时域卷积定理：
若 X ( z) = Z[x ( n )], R x1 < z < R x 2 ， H ( z) = Z[h ( n )], R h1 < z < R h 2 则 Z[x ( n ) ∗ h (n ) ] = X ( z) H( z) ,
系统因果性的的充分必要条件： 系统因果性的的充分必要条件：
Z 变换 变换：
X(z) =
n = −∞
∑ x ( n )z
−n
+∞
−n
Z a n u (n ) =
[
]
z ,z > a ; z−a
Z[δ(n )] =
n = −∞
∑ δ( n ) z
+∞
= 1 ; Z[u (n )] =
z , z > 1; z −1
Z 反变换 ：
x (n ) =
1 X(z)z n −1dz j2π ∫C
Z 变换的基本性质 变换的基本性质： 变换的位移性质： 双边 Z 变换的位移性质
Z[ax (n ) + by(n )] = aZ[x (n )] + bZ[y(n )]