高三数学上学期期中试题1
河南省南阳市2024届高三上学期期中考试数学
2023年秋期高中三年级期中质量评估数学试题注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
第I 卷 选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列集合中，表示空集的是A.{}0 B.{}2,2x x x <->且C.{}210x x ∈-=N D.{}4x x >2.命题“0x ∃∈R ，20010x x ++…”的否定为A.x ∀∈R ，210x x ++> B.x ∃∈R ，210x x ++>C.x ∀∈R ，210x x ++… D.x ∃∈R ，210x x ++<3.若复数z 满足()12z i +=，则z z -=A.2- B.2C.4i- D.4i4.公比不为1的等比数列{}n a 满足574816a a a a +=，若23964m a a a a =，则m 的值为A.8B.9C.10D.115.若函数()()24125xxf x a a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围为A.71,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.(- C.73⎫⎪⎭D.53⎫⎪⎪⎭6.已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin x αα=，()sin cos y αα=，()cos sin z αα=，则A.x y z<< B.x z y << C.y x z << D.z x y<<7.已知a ，b ，c 分别为ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边，若点P 在ABC △的内部，且满足PAB PBC PCA ∠∠∠θ===，则称P 为ABC △的布洛卡（Brocard ）点，θ称为布洛卡角.布洛卡角满足：cot cot cot cot A B C θ=++（注：tan cot 1x x =）.则PA PB PC c a b++=A.2sin θB.2cos θC.2tan θD.2cot θ8.已知()212xf x ae x ax =+-在()0,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为A.(],1-∞- B.(),1-∞- C.()0,+∞ D.[)0,+∞二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.如图是函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象，则函数()f x =A.sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B.sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭C.cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭D.5cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭10.已知n S 是数列{}n a 的前n 32n n S a =+，则A.{}n a 是等比数列 B.9100a a +>C.910110a a a > D.0n S >11.设,x y ∈R ，若2241x y xy ++=，则x y +的值可能为A.2- B.1- C.1D.212.设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极小值点，则下列关系可能成立的是A.0a >且a b >B.0a >且a b <C.0a <且a b< D.0a <且a b>第II 卷 非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是______.14.四边形ABCD 中，2AD =，3CD =，BD 是四边形ABCD 的外接圆的直径，则AC BD ⋅=______.15.奇函数()f x 满足()()21f x f x +=-，()12023f -=，则()2023f =______.16.互不相等且均不为1的正数a ，b ，c 满足b 是a ，c 的等比中项，则函数()2xxx f x a bc -=++的最小值为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为()*n S n ∈N，数列{}nb 为等比数列.已知111ab ==，523a b =，424S S =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）已知函数()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0ω>，若实数1x ，2x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π.（1）求ω的值及()f x 的单调递减区间；（2）若不等式()22cos 22206f x a x a π⎛⎫⎡⎤++--< ⎪⎣⎦⎝⎭对任意,126x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若1a ，3a ，7a 成等比数列，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2024项的和.20.（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足_____.（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）条件①：()()sin sin sin 3sin b c B C a A b C ++=+条件②：25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若ABC △为锐角三角形，1c =，求ABC △面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()3f x x x =-，()2g x x a =+，a ∈R ，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线.（1）若11x =，求a ；（2）求a 的取值范围.22.（本小题满分12分）（1）已知函数()ln f x x x =，判断函数()()()11g x f x f x =++-的单调性并证明；（2）设n 为大于1的整数，证明：()()1111211nnn n n +-+->.2023年秋期高中三年级期中质量评估数学参考答案一.选择题：1-8.BADCCDBA 二.选择题：9.BC10.ABD11.BC12.AC三.填空题：13.43或8314.5-15.2023-16.4四.解答题：17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由424S S =可得()114642a d a d +=+，即()6442d d +=+，解得2d =，所以，()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-，25339b q a ===，∴3q =则1113n n n b b q--==；（2）()1213n n n a b n -=-⋅，则()0121133353213n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅①，可得()()12131333233213n n n T n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅②，①-②得：()()()()1121613212333213121313n n n nn T n n ----=+++⋅⋅⋅+--⋅=+--⋅-()2232n n =-⋅-，因此，()131nn T n =-⋅+18.解：（1）()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+1cos2122x x ωω-=-+1cos22x x ωω=+sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为实数1x ，2x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π.所以()f x 的最小正周期22T ππω==，解得1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）不等式()22cos 22206f x a x a π⎛⎫⎡⎤++--< ⎪⎣⎦⎝⎭对任意,126x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时恒成立，()22cos 2226f x a x a π⎛⎫⎡⎤++-- ⎪⎣⎦⎝⎭2sin 22cos 22266x a x a ππ⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 22166x a x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos 26t x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，20,62x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()cos 20,16x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭22210t at a -+--<，()0,1t ∈()2211a t t -<+，2121t a t +>-恒成立令()11,0m t =-∈-，221222211t m m m t m m+++==++<--∴21a -…，解得：12a ≥-，故实数a 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭19.解：（1）因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且*N n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列.（2）由（1）可得312a a =+，16a a =+又1a ，3a ，7a 成等比数列，所以()()211126a a a +=⋅+，解得12a =，所以1n a n =+∴()()111111212n n a a n n n n +==-++++.∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2024项和为：111111111150623344520252026220261013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20.解：解析：（1）选择条件①：由题意及正弦定理知()223b c a bc +=+，∴222a b c bc =+-，∴2221cos 22b c a A bc +-==∵0A π<<，∴3A π=.选择条件②：因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=（2）由sin sin b cB C=可得sin sin 3sin sin C B b C Cπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==112tan C==+因为ABC △是锐角三角形，由（1）知3A π=，A B C π++=得到23B C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以122b <<.1sin 2ABC S bc A ==△，ABC S ∈△21.解：（1）由题意知，()10f =，()231f x x =-'，()1312f =-='，则()y f x =在点()1,0处的切线方程为()21y x =-，22y x =-设该切线与()g x 切于点()()22,x g x ，()2g x x '=，则()2222g x x =='，解得21x =，则()11220g a =+=-=，解得1a =-；（2）因为()231f x x =-'，则()y f x =在点()()11,x f x 处的切线方程为()()()32111131y x x x x x --=--，整理得()2311312y x x x =--，设该切线与()g x 切于点()()22,x g x ，()2g x x '=，则()222g x x '=，则切线方程为()()22222y x a x x x -+=-，整理得2222y x x x a =-+，则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩，整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭，令()4329312424h x x x x =--+，则()()()329633311h x x x x x x x '=--=+-，令()0h x '>，解得103x -<<或1x >，令()0h x '<，解得13x <-或01x <<，则x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：则()h x 的值域为[)1,-+∞，故a 的取值范围为[)1,-+∞22.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，函数()g x 的定义域为()1,1-函数()()()()()1ln 11ln 1g x x x x x =+++--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增证明：()()()()()1ln 11ln 1g x x x x x -=--+++，∴()()g x g x -=所以()g x 为()1,1-上的偶函数.()()()12ln 1ln 1lnln 1011x g x x x x x '+⎛⎫=+--==--> ⎪--⎝⎭对()0,1x ∀∈恒成立.所以函数()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增（2）（证法一）要证明()()1111211nnn n n +-+->，需证明()()11111111111n nnnn n nn+-+-+⋅->⋅即证明()()1111111111ln 0n n n n n n n n +-+-⎡⎤+-⎢⎥⋅>⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即11111ln 11ln 10n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（1）可知即证10g n ⎛⎫>⎪⎝⎭.∵()10,1n ∈且()g x 在()0,1单调递增，∴()100g g n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭所以()()1111211nnn n n +-+->对*n N ∈，1n >成立.（证法二）要证明()()1111211nnn n n +-+->即证明()()111ln 11ln 12ln n n n n n ⎛⎫⎛⎫+++--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证()()()()1ln 11ln 12ln n n n n n n +++-->，即证()()()()1ln 1ln ln 1ln 1n n n n n n n n ++->---设函数()()()1ln 1ln g x x x x x=++-()()ln 1ln 0g x x x =+->'，故函数()g x 在()0,+∞上单调递增又1n n >-，∴()()1g n g n >-，故原不等式成立.。
山东省青岛第五十八中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
2022级高三调研测试4（期中）数学试题 2024.10注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则A ．{1，2，3} B ．{0，1，2}C ．{1，2，5}D ．{0，1，2，5}2．已知，则|z |＝A ．2B ．1CD3．已知，．若，则A ．B ． CD4．已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5，则此正四棱锥的体积为A．B ．C ．D ．6．已知函数则f （x ）图象上关于原点对称的点有A．1对B ．2对C ．3对D ．4对7．已知函数，函数f （x ）的图象各点的横坐标缩小为原来的6|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|15Q x x =-<≤P Q = i22iz =-||a = ||1b =()2a b a +⊥ cos ,a b ={}n a n S 31S ma =7m ={}n a ()21,0,2|2|,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+<⎩≥()2211cos sin cos 222222x x x x f x =-12（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若方程在上有两个不同的解，，则的值为A ．B ．C ．D ．π8．若关于x 不等式恒成立，则当时，的最小值为A ．B ．C ．eD ．1二．多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．已知平面向量a r ，b r 满足，1b =r ，则向量b r ）a rB ．-14arD共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ）A ．11B ．13C ．14D ．166．已知数列{}n a 为等比数列，,,,m t p q 均为正整数，设甲：m t p q a a a a =；乙：m t p q +=+，则（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件7．在锐角ABC V 中，已知()sin 22sin sin B A A C +=-，则A ，C 的大小关系为（ ）A ．C A >B ．C A=C ．C A<D ．无法确定8．已知函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，且满足①()()32226128f x f x x x x --=-+-，②()f x 为奇函数，令()()3g x f x x =+，则下列说法错误的是（ ）A ．()g x 的图象关于1x =对称B ．()13f ¢=-C ．()320242024f =D ．()2202532025f =-´¢故32322(26128)(260()()128)g x x x x x x g x x -=-+-+-+--+=，则得()g x 的图象关于1x =对称，故A 正确；对于B ，由A 项已得()g x 的图象关于1x =对称，则(1)0g ¢=，由()()3g x f x x =+，可得()()23g x f x x ¢+¢=，则()()1133f g =-¢=-¢，故B 正确；对于C ，因()f x 为奇函数，故()()3g x f x x =+也是奇函数，图象关于(0,0)对称，因()g x 的图象关于1x =对称，故函数()g x 的周期为4|10|4T =-=，又()()3g x f x x =+，则()3(2024)(0)020242024g g f ===+，解得()320242024f =-，故C 错误；对于D ，因()()3g x f x x =+为奇函数，且周期为4，则()()23g x f x x ¢+¢=，由()()23g x f x x ¢¢-=-+，因()[()][()]()f x f x f x f x ¢¢¢¢-=--=--=，故()()g x g x ¢¢-=，即函数()()23g x f x x ¢+¢=为偶函数；由()()344(4)g x f x x +=+++，可得()()2443(4)g x f x x +=+++¢¢，因()()3g x f x x =+的周期为4，则()()4g x g x +=，求导得()4()g x g x +=¢¢，即函数()()23g x f x x ¢+¢=的周期为4.于是，2(2025)(1)0(2025)32025g g f ¢¢¢===+´，故得2(2025)32025f ¢=-´，即D 正确.故选：C.【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数与导函数的奇偶性，周期性，对称性等性质的应用，属于难题.18．(1)1a=2(2)①(]0,1；②证明见解析【分析】（1）求导，根据（2）①对a进行讨论，即数单调性，即可根据单调。
海淀区2024-2025学年第一学期期中高三数学试题
海淀区2024—2025学年第一学期期中练习高三数学2024.11本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则AB =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b aa b> （D ）2b a a b +>（4）已知sin ()cos xf x x=，则π()4f '（A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
山东省德州市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题含答案
★优高联考高三数学试题2023.11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-3页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟．注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合{}2log 0A x x =≥，{}260B x x x =+-<，则()A B R ð等于（）A ．{}31x x -<<B ．{}22x x -<<C ．{}23x x ≤<D ．{}2x x <2．已知实数a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若0a b >>，0c <，则c c a b>C ．若a b c >>，0a b c ++=，则c c a c b c <--D ．若0a b >>，0c <，则b c ba c a-<-3．函数()32sin 1x f x x -=的部分图象是（）A ．B ．C ．D ．4．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长都为1，且1160A AD A AB ︒∠=∠=，30DAB ∠=︒，则1AC 的长为（）A ．5+B ．5C D5．若sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A ．255B ．255-C ．35D ．35-6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数m 满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数m 按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则280n S n+的最小值为（）A ．46B ．42C ．41D ．257．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知8cm AB =，2cm CD =，则该青铜器的体积为（）A ．3cmB ．3cm 4C ．3cm 2D ．3cm8．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 同时满足：()f x 在[],a b 上是单调递增函数，且()f x 在[],a b 上的值域为[],ka kb （0k >），则称区间[],a b 为()f x 的“k 倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（）A ．()cos f x x =，(),0x π∈-B ．()2xf x e =-C ．()21f x x =+D ．()ln f x x=二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知p ：x ∀∈R ，240x ax -+>恒成立；q ：0x ∀>，2ax x+>恒成立，则（）A ．“4a <”是p 成立的充分不必要条件B ．“4a <”是p 成立的必要不充分条件C ．“4a >”是q 成立的充分不必要条件D ．“4a >”是q 成立的必要不充分条件10．已知函数()()3221,0213,0x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，则（）A ．函数()1y f x x =--有三个零点B ．若函数()y f x t =-有两个零点，则{}(]03,7t ∈ C ．若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，则12342x x x x +++=D ．关于x 的方程()()2320fx f x -+=有7个不等实数根11．已知等比数列{}n a 的公比为整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若149a a +=，236a a +=，则（）A ．12a =B ．21nn S =-C ．数列{}na e是公比为2e的等比数列D ．数列{}lg n a 是公差为lg2的等差数列12．关于函数()2ln f x mx x x =-，m 为常数，则（）A ．若1ln22m =，则()()240f f ==B ．当1m >时，方程()2f x x =恰好只有一个实数根C ．若120x x >>，总有()()12f x f x >恒成立，则12m ≥D ．若函数()f x 有两个极值点，则实数10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()212ln 12f x x x x =--+在()()1,1f 处的切线方程为______．（结果写成一般式）14．已知a ，b 都是正数，且220a b ab +-=，则a b +的最小值为______．15．设数列{}n a 满足12a =-，12nn n a a n +=+⋅，则21026log a =______．16．已知平面向量a ，b ，c 满足：()3,0a = ，3b = ，92a b ⋅=- ，2a b c +-=，则向量a ，b 的夹角为______；向量c 在向量a上投影数量的取值范围是______．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）记函数()f x 的导函数为()f x '，已知()32124632k f x x x kx ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，()53f '=．（1）求实数k 的值；（2）求函数()f x 在[]0,5上的值域．18．（本小题满分12分）在①()()2sin 2sin 2sin c C b a B a b A =-+-，②2cos cos b a A c C -=，③274sin cos 222A B C +-=这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，然后解答问题．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足______．（1）求角C ；（2）若ABC △为锐角三角形，且6a =，求ABC △面积的取值范围．（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且22323n n S n na n +=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，记()31n n c n T =+⋅，若对任意正整数n ，不等式1211130n mn c n c n c ++⋅⋅⋅+>+++恒成立，求整数m 的最大值．20．（本小题满分12分）现有一空地，将其修建成如图所示的八边形11AD QBCB PD 形状的公园．已知图中四边形ABCD （AB BC >）是周长为4的矩形，1B 与B ，1D 与D 均关于直线AC 对称，直线1AB 交CD 于点P ，直线1CD 交AB 于点Q ．设AB x =，四边形AQCP 的面积为S ．根据规划，图中四边形AQCP 区域所示的地面将硬化，剩余区域即图中阴影部分将种植树木和草皮．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）当x 取何值时，阴影部分区域面积最大．21．（本小题满分12分）如图，已知几何体ABCDFE ，底面ABCD 为矩形，BC =，//EF 平面ABCD ，平面EFDA ⊥平面ABCD ，点P 在EF 上，且PB PC ⊥，PO AD ⊥，//OQ AB ，2PC =，63PE OQ ==．（1）求证：AE ⊥平面ABCD ；（2）求平面PBA 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．22．（本小题满分12分）已知函数()()2ln f x ax e x =-有两个极值点1x ，2x （12x x <）．其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）求实数a 的取值范围；（2）若()1212ln 2ln ln ln e x e x x x λ+-≥恒成立，求λ的取值范围．高三数学试题参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．A2．B 3．B 4．C5．D6．C7．D8．B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．BC10．ABD11．BD12．ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．4250x y +-=14．32+15．103616．（1）23π（2）17,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解：（1）()()244f x x k x k=-++'因为()53f '=，所以()255443k k -++=，解得2k =4分（2）由（1）可知()()()26824f x x x x x =-+=--'由()0f x '>，解得4x >或2x <；由()0f x '<，解得24x <<所以函数()f x 在[]0,2，[]4,5单调递增；在[]2,4单调递减又()06f =-，()223f =，()243f =-，()253f =．所以()()min 06f x f ==-，()()()max 2253f x f f ===，所以函数()f x 在[]0,5上的值域为26,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．18．解：（1）若选择①：由①及正弦定理得：()()2222c b a b a b a =-+-2即222c a b ab =+-，又2222cos c a b ab C =+-，∴1cos 2C =且C 是三角形内角，∴60C =︒若选择②：由②及正弦定理得2sin sin cos sin cos B A AC C-=，所以2sin cos sin cos cos sin 0B C A C A C --=，即()sin 2cos 10B C -=，由sin 0B ≠，∴1cos 2C =，∴又C 是三角形内角，60C =︒若选择③：由③可知：274cos cos 222C C -=∴()272cos 12cos 12C C +-+=∴()22cos 10C -=，∴1cos 2C =．又C 为三角形内角，∴60C =︒（2）由已知及余弦定理可得2223626cos6363c b b b b π=+-⋅=-+由ABC △为锐角三角形可得2263636b b b +-+>且2236636b b b +-+>，解得312b <<，所以ABC △面积1sin 2322S ab π⎛==∈ ⎝19．解：（1）由22323n n S n na n +=+．当2n ≥时，()()()2112312131n n S n n a n --+-=-+-两式相减得：()12632213n n n a n na n a -+-=--+，整理得：()()()1212161n n n a n a n ----=-所以，13n n a a --=，（2n ≥）所以，{}n a 是以1为首项，公差为3的等差数列．所以32n a n =-（2）由（1）得1111133231n n n b a a n n +⎛⎫==- ⎪-+⎝⎭，所以11111111113447323133131n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭()()313131n n nc n T n n n =+=+⋅=+，则问题转化为对任意正整数n 使不等式1111230mn n n n ++⋅⋅⋅+>+++恒成立．设()1111123f n n n n n n=+++⋅⋅⋅+++++，则()()()()()()111111*********f n f n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+-=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥++++++++++⎣⎦⎣⎦()()11111102122121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++所以()()1f n f n +>，故()f n 的最小值是()112f =．由1230m>，所以15m <，则整数m 可取的最大值为14．20．解：（1）因为1B 与B 关于直线AC 对称，所以1AB C △与ABC △全等，同理由1D 与D 关于直线AC 对称可得1AD C △与ADC △全等所以有ADP △与1CB P △，1AD Q △，CBQ △均全等所以PA PC =，又因AB x =，则2BC AD x ==-在Rt ADP △中，222AD DP AP +=即222AD DP CP +=所以()()2222x DP x DP -+=-，解得22DP x=-又因为0AB BC >>解得12x <<所以()112222322ADP S AD DP x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△所以()242246ADP S x x S x x x=--=-++-△即2446S x x x=-++-（12x <<）（2）由（1）可知用于种植树木和草皮的阴影部分区域面积为4ADP S △而2412412412ADP S x x ⎛⎫=-+≤-⋅- ⎪⎝⎭△当且仅当2x x=，即x =所以当x =时，用于种植树木和草皮的阴影部分区域面积最大21．（1）证明：因为平面EFDA ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面ADFE ，PO AD ⊥所以PO ⊥平面ABCD因为//EF 平面ABCD ，平面ADFE 平面ABCD AD =，EF ⊂平面ADFE 所以//EF AD ，即//EP AO因为四边形ABQO 为矩形，所以AO BQ =，OQ AB=又因为PO ⊥平面ABCD ，OQ BC ⊥，由三垂线定理得PQ BC ⊥在Rt BPC △中，因为2PC =，BC =得PB =由等面积法得233PQ =，所以63BQ =，即63AO =又3PE =，所以//AO ，所以四边形AOPE 为平行四边形，从而//AE PO 又PO ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥平面ABCD（2）解：由（1）可得63AB =，63OP ==以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则有60,0,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，60,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，66,,033B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，626,,033C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,333PB ⎛=-- ⎝⎭，,0,03AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,CB = 设平面PAB 的一个法向量为()1,,x y z n = ，则116036660333n AB x n PB x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩令1y =-得()10,1,1n =-设平面PCB 的一个法向量为()2,,n x y z =，则2200333n CB n PB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩令1x =得()21,0,1n = ，1212121cos 2,n n n n n n ⋅==所以平面PBA 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为12．22．解：（1）由于()ln 2x f x a e x =-⋅'．令()()g x f x ='，则()2ln 12x g x e x-=⋅'解()0g x '≥得x e ≥；解()0g x '≤得0x e<≤所以函数()g x 在(]0,e 上单调递减，在[),e +∞上单调递增，且()2g e a =-当2a ≥时，()g x 在()0,+∞上的最小值()20g e a =-≥，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，没有极值点，与已知不符，不符合题意当0a ≤时，当0x →时，()g x →+∞，()10g a =≤又因为()()g x f x ='在(]0,1上单调递减，所以()0f x '=在(]0,1上有唯一实根，不妨令其根为0x ，所以有()00,x x ∈时，()0f x '>，又因为当1x >时，()ln 202a x f x e e x '⎛⎫=-<⎪⎝⎭恒成立．所以有()0,x x ∈+∞时，()0f x '<，此时有且仅有一个极值点，与已知不符当02a <<时，()f x '在()1,e 上单调递减，()10f a '=>，()20f e a =-<'所以存在唯一实数()11,x e ∈使得()10f x '=即()11,x x ∈时，()0f x '>；()1,x x e ∈时，()0f x '<，所以()f x 有极大值点为1x 又()f x '在(),e +∞上单调递增，()20f e a =-<'，当x →+∞，()0f x a '→>所以存在唯一实数()2,x e ∈+∞使得()20f x '=即当()2,x e x ∈时，()0f x '<；()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 有极小值点为2x 所以此种情况符合题意5分综上所述实数a 的取值范围为()0,2（2）由（1）可知121x x <<，不等式()1212ln 2ln ln ln e x e x x x λ+-≥变为212ln ln e e x x λ-+≥由（1）可得1212ln ln 2x x ax x e ==，令211x t x =>，则有1111ln ln x tx x tx =，解得1ln ln 1t x t =-，2ln ln 1t t x t =-所以212ln ln e e x x λ-+≥可整理为()22ln ee t t tλ+--≥，令()()22ln ee t t h t t+--=（1t >），则()h t λ≥在()1,+∞恒成立，由于()()()22222ln 22ln e t e t t e t e h t t t '⎡⎤-+---+⎣⎦=，令()()()222ln 22t e t e t t e t e ϕ⎡⎤=-+---+⎣⎦，则()()()22ln 22et e t t e t t ϕ=----+'，令()()()22ln 22en t e t t e t t=----+，()()222ln 2en t e t e t'=--+-，显然()n t '在()1,+∞递增，又有()120n '=-<，()1360n e e e=-->'，所以存在()01,t e ∈使得()00n t '=，且易得()t ϕ'在()01,t 递减，()0,t +∞递增，又因为()10ϕ'=，所以()00t ϕ'<，而()2210e e e ϕ=-->'，所以存在()10,t t e ∈使得()10t ϕ'=，且易得()t ϕ在()11,t 递减，()1,t +∞递增，又()()10e ϕϕ==，则1x e <<时，()0t ϕ<，()0h t '<，x e >时，()0t ϕ>，()0h t '>，所以易得()h t 在()1,e 上递减，在(),e +∞上递增，则()()()2min 1h t h e e ==-，所以λ的取值范围为()(2,1e ⎤-∞-⎦。
北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷含答案
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可逐一判断.
【详解】对于 A，函数 y 2x 为指数函数，不具备奇偶性，故 A 错误；
对于 B，函数 y ln | x | 的定义域为{x | x 0}，
由于 f (x) ln | x | ln | x | f (x) 为偶函数，故 B 错误；
所以 A B x 1 x 2 .
故选：A.
2. 若函数 f (x) x 4 (x 0) 在 x a 处取得最小值，则 a （ ） x
A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】因为 x 0 ，所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值点为 x 2 ，得出结果 a 2 . 【详解】∵ x 0 ，∴ 4 0 ，
对于 C，函数 y tan x ，由正切函数的性质可知 y tan x 为奇函数，
且在
π 2
kπ,
π 2
kπ
,
k
Z
单调递增，故
C
错误；
对于 D，函数 y x 2 的定义域为{x | x 0}， x
由
f
(x)
x
2 x
x
2 x
(x
2) x
f
(x)
，故函数
y
x
2 x
为奇函数，
因为
f (x) 1
然后得出 u 的值.
【详解】如图，棱 OA ， OB ， OC 两两垂直， 可以 O 为坐标原点， AO 为 x 轴， OB 为 y 轴， OC 为 z 轴，建立空间直角坐标系.
b2 c2 1
设 P a,b, c ，由题意可得： a2 c2 4 ，∴ a2 b2 c2 9 ，
江苏省徐州市2024-2025学年高三上学期11月期中抽测数学试题(含解析)
2024—2025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将各答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D.2.复数的虚部为（ ）A.1B.C.D.3.若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）A.B. C. D.5.等比数列的各项均为正数，若，则（ ）A.588B.448C.896D.5486.在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（ ）A.1C.27.已知，则（ ）A.B. C. D.{}{}230,3,1,0,1,2,3A xx x B =-≤=--∣A B ⋂={}1,2,3{}0,1,2,3{}3,1--{}3i 11i-+1-i i-()()2,1,3,4a b == ab 68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭65π100π94000π81400π91000π81{}n a 1234327,2a a a a a a ++==+789a a a ++=xOy 1y kx =+224x y +=,A B AOB ()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=22cos cos αβ-=136136-1616-8.已知定义在上的函数满足，且，则（ ）A.B.C.是增函数D.是减函数二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（ ）A.的图象关于点对称B.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到C.在区间单调递减D.当时，的值域为10.已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（ ）A.直线与直线的夹角为B.直线与平面C.点到平面D.三棱锥11.如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（）()0,∞+()f x ()()()f xy xf y yf x =+()e e f =()22e 1ef =()1010e 10e f =()f x ()f x x()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()2sin2g x x =π3()f x ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 2⎤⎦1111ABCD A B C D -,M N 111,CC C D MN 1AD 60MN 11AB D A 1B MN 11C B MN -e e 1x y =-+()ln e 1y x =+-ΓA.有对称轴B.的弦长的最大值为C.直线被D.的面积大于三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从二项分布，若，则__________.13.在四面体中，是正三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上，使得四面体与四面体的体积之比为，则二面角的余弦值为__________.14.已知双曲线上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据：3456标准煤3.5455.5（1）求关于的经验回归方程；（2）已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据（1）中求出的经验回经验回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了多少标准煤.参考公式：ΓΓx y t +=Γ)e 2-Γ2e 4-ξ()10,B p ()3111E ξ+=p =ABCD ABC ACD DA DC =ACD ⊥ABC E BD ACDE ABCD 1:2D AC E--()2222:10,0x y C a b a b-=>>C θ2268x y xy ++=C x t y t /tx /t y y x ˆˆˆy bx a =+100t 90t 100t t 1221ˆ()ˆˆ.ni i i ni i x y nxy b x n x ay bx ==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑16.（15分）已知椭圆，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为4.（1）求的方程；（2）设直线与交于两点，点，求.17.（15分）已知数列满足为常数.（1）若，求；（2）若的各项均为正数，证明：.18.（17分）在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）点分别在边上，且平分平分，.①求证：；②求.19.（17分）设定义在上的函数的导函数为.如果存在实数和函数，使得，其中对任意实数恒成立，则称函数具有性质.（1）求证：函数具有性质；（2）已知函数具有性质，给定实数，，其中.证明：；（3）对于函数和点，令，若点满足在处取得最小值，则称是的“点”.已知函数具有性质，点()2222:10x y C a b a b +=>>C 22y x =+C ,A B 11,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭MA MB ⋅ {}n a (*111,n nd n d a a +-=∈N )1211,3a a ==11nk k k a a +=∑{}n a 212n n n a a a +++≤ABC ,,A B C ,,a b c ()1cos sin b C B +=C ,P Q ,AC AB BP ,ABC CQ ∠ACB ∠BC BQ PB PC +=+AB APBC PC=ABC ∠R ()f x ()f x 'k ()x ϕ()()()244f x x kx x k ϕ=-+'()0x ϕ>x ()f x ()W k ()3212413f x x x x =-++()1W ()g x ()2W ()22121212,,sincos x x x x x x αθθ<=+2212cos sin x x βθθ=+θ∈R ()()()()12g g g x g x αβ-≤-()h x (),P a b ()()22()()L x x a h x b =-+-()()00,Q x h x ()L x 0x x =Q P h ()h x ()W k.若对任意的，都存在曲线上的一点，使得既是的“点”，又是的“点”，求的取值范围.()()()()()()121,,1,P t h t t P t h t t ϕϕ-++-t ∈R ()y h x =Q Q 1P h 2P h k2024—2025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】，，选B.2.【答案】A 【解析】，虚部为1，选A.3.【答案】A【解析】在上的投影向量，选A.4.【答案】C【解析】，内切球半径，选C.5.【答案】B【解析】，则舍或2，选B.6.【答案】D 【解析】D.7.【答案】D【解析】，选D.8.【答案】B【解析】，则，则{}03A xx =≤≤∣{}0,1,2,3A B ⋂=()()1i 1i 1i 1i i 1i 1i 22-+--+-+++===+a b()210683,4,2555||a b b b ⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭π13π65π,5,12rl r r h ==∴==1121021021313103R ⨯⨯⨯==++2100400π4π4π99S R ==⋅=4322a a a =+222,20,1q q q q q =+--==-()6789123764448a a a a a a q ++=++=⨯=111,22AOB d AB S AB d =≤==⋅=⋅ =≤()()()()2211111sin ,sin ,cos cos sin sin 23236αβαβαβαβαβ+=-=-=-+-=-⨯=-()()()f xy xf y yf x =+()()()(),ln f xy f y f x f x x xyyx x=+=，即对.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC 【解析】关于对称，A 对.向左平移个单位变为错.，则的一个单调减区间而在单调递减，C 对.，则.D 错.选AC.10.【答案】ABD【解析】与的夹角为与的夹角即为正三角形，，A 对.面与平面，B 对.设平面的法向量()()1010ln ,ee10f x x x f ==⋅()1010e 10,B ef =()π0,3f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭π,03⎛⎫⎪⎝⎭()g x π3()π2π2sin 2,B 33g x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ3π2232x <+<()π7π,1212x f x <<∴π7π,1212⎛⎫⎪⎝⎭()πππ7π,,,1221212f x ⎛⎫⎛⎫⊂∴⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭π02x <<ππ4ππ02π,2,2sin 223333x x x ⎛⎫<<<+<<+≤ ⎪⎝⎭MN ∥1,CD MN 1AD 1CD 1AD 11,AD C AD C ∠ 160AD C ∠∴= 1CA ⊥()()111111,2,2,2,0,2,2,cos ,AB D CA D C CA D C =-=-==MN ∴11AB D 1B MN ()100,,,,200n MN y z n x y z x z n B M ⎧⋅=-+=⎧⎪=∴⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩不放设，则错.对于D ，的外接圆是以为直径的圆上，设圆心为D 对.11.【答案】ACD【解析】由的反函数为，两者关于对称，A 正确.对于B ，，令在上单调递减；上单调递增，注意掉在和有一个零点，另一个零点为，B 错.对于与曲线对称轴垂直，如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可，找出过与曲线相切且与平行的点即可，令，令，此时到的距离直线被正确.1x =()182,2,1,2,2,,C 3AB n z y n d n ⋅=-=-=--==1C MN MN ,P MN =22222132,,12(2)2OP R R R OP R ⎧+=⎪⎪∴==⎨⎪-+>⎪⎩()e e 1e e 1,ln e 1,e e 1xxxy y x y y =-+⇒=+-∴=+-∴=-+()ln e 1y x =+-y x =e e 1e e 1x x y x y x⎧=-+⇒-=-⎨=⎩()()e e 1,e 1x x h x x h x =+'--=-()h x (),0∞-()0,∞+()()()()120,12e 010,e h h h h x ->-=+-<=∴()2,1--0x ()()001,1,1,,A B x y ∴)01AB x ∴=->∴C,x y t +=ΓAB e e 1x y =-+P y x =P AB P ()e e 1xf x =-+()e 10x f x x ==⇒='()000,2e ,P P -y x =d =∴x y t +=Γ)e 2,C -对于D ，ВD 正确，选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【解析】13.【答案】【解析】设，则，取中点为中点平面平面二面角为.14.【答案】4【解析】设在曲线上，也在曲线上且也在曲线上，曲线的两条对称轴分别为()()()()0Γ0122e 2e 212e 22P AB A B S S x x x ∴>=⋅-⋅-=-->- ( )021,x -<<-∴13()()110,,10,313130111,3B p E p E E p p ξξξξ~=+=+=+=∴=122DA DC ==AC =AC 1,2B ACD E ACD V BF DF BD E V --====∴BD ACD ⊥,ABC BD DE EF ∴===D AC E --1,cos 2DFE DFE ∠∠∴=(),P x y 2268x y xy ++=(),P y x ∴'2268x y xy ++=(),P y x ''--∴2268x y xy ++=y x=±而与曲线没有交点，为曲线实轴所在的直线联立实轴端点为，的虚轴长为4.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）（2），即改造后预测生产能耗为.预测该厂改造后100t产品的生产能耗比技术改造前降低了标准煤.16.【解析】（1）由题意，椭圆：.（2），解得或.17.【解析】（1）.∴y x=-y x∴=221,68y xxx y xy=⎧⇒=±∴⎨++=⎩()()1,1,1,1--a∴=2c b⇒==C∴44114.5, 4.5,84.5,4 3.5i i i ii ix y x y x y xy=====-=∑∑4213.5ˆˆ45,0.7, 4.50.7 4.5 1.355iix x b a=-=∴===-⨯=∑0.7 1.5ˆ3.y x∴=+100,71.35x y==71.35t9071.3518.65-=∴18.65t222124,222ca ab c bca b c⎧=⎪⎧⎪=⎪⎪⋅=∴=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩22184x y+=2222184y xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩2xy=⎧⎨=⎩()1616149,0,2,,14999xA By⎧=-⎪⎪⎛⎫--⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩113514113514637,2,24369436914416MA MB⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯-⨯=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12111111,,2,121213n n na a n na a a+==∴-=∴=+-=-1111111,21(21)(21)22121n nnk kan k k k k==⎛⎫∴=∴=-⎪--+-+⎝⎭∑∑11111111112335212122121nn n n n⎛⎫⎛⎫=⋅-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭（2）整理得显然成立，.18.【解析】（1）.（2）①证明：在和中分别使用正弦定理（2）同理()()1111111,0,0,11n n n d a d a a a n d a =+->≥∴=+-()()21111211111211n n n a a a nd n d n d a a a +++≤⇔≤+++-++2221111nd nd d a a ⎛⎫⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212n n n a a a +++∴≤()sin 1cos sin ,sin 0B C C B B +=> ππcos 12sin 1,63C C C C ⎛⎫-=⇒-== ⎪⎝⎭ABP BCP sin 4sin ,sin 3sin ABAP AB AP BC PC BC PC ∠θ∠θ⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎪=⎪⎩①①②②()sin60sin sin60sin sin 60PB PC BC PB PCθθθ+===++ ()()1sin30sin 230sin 2302BC BQ BC BQθθ+==+++ ()()1sin 2302sin 230BC BQ PB PC θθ+++=+⇒=+19.【解析】（1）取，则具有性质.（2）具有性质函数使得时对恒成立在上单调递增，当且且另一方面，同理（3）设，，()1260sin 302θθ⇒+=<<+()12cos 602θ∴+==- ()()()22cos 3011cos 602cos 602θθθ-∴+=⇒--=()()()2cos 30sin 602602θθθ∴-+-=- ()()2cos 302cos 902θθ⇒-=- 30290,40,80ABC θθθ∠-=-∴==()()2244144f x x x x x '=-+=⋅-+()1x ϕ=()()()()244,f x x x x f x ϕ=⋅-+∴'()1W ()g x ()2,W ∴∃()x ϕ()()()2248g x x x x ϕ=-+'()()22240x x x ϕ=⋅-+>x ∀∈R ()g x ∴R ()()1212,x x g x g x <∴< 2222222111sin cos ,cos sin x x x x x x αθθβθθ≤+=≥+=()()()()()()()()2121,,g g x g g x g g g x g x αβαβ∴≤≥∴-≤-22111sin cos x x x αθθ≥+=2x β≤()()()()()()()()1212,,g g x g g x g g g x g x αβαβ∴≥≤∴-≥-()()()()()()2112g g g x g x g x g x αβ∴-≤-=-()()()()221(1)[]L x x t h x h t t ϕ=-++--()()()()222(1)[]L x x t h x h t t ϕ=--+-+()()()()()()1212L x x t h x h t t h x ϕ⎡⎤=-++--⎦'⎣'对，都存在曲线上的一点，使得既是的点又是的点设既是，也是的最小值点，两函数定义域为也为两函数极小值点，①，②，①-②具有性质恒成立故恒成立综上：的取值范围为.()()()()()()2212L x x t h x h t t h x ϕ⎡⎤=--+-+⋅⎦'⎣' t ∀∈R ()y h x =Q Q 1P h 2P h ()000,,P x y x ∴()1L x ()2L x 0,x ∴R ()()10200L x L x ∴==''()()()()()0002120x t h x h x h t t ϕ⎡⎤⇒-++--=⎣⎦'()()()()()0002120x t h x h x h t t ϕ⎡⎤---+⎣'+=⎦()()()()()00044010h x t h x t h x ϕϕ⇒-⋅='⇒'⋅'⇒=>()h x ()()()0,00W k t h x ϕ∴>⇒>'2440kx x k -+>2116160k k k >⎧⇒⇒>⎨-<⎩k ()1,∞+。
上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．函数的定义域为______．2．计算______．3．已知是1与9的等比中项，则正实数______．4．在的展开式中，的系数为______（用数字作答）．5．在复平面内，复数对应的点位于第______象限。
6．已知，则______．7．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）．9．已知函数．在中，，且，则______．10．如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段y =(4log =a a =4(x -2x 2ii-π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭{}22,,A a a x y x y ==+∈N ,x y A ()f x '()f x ()f x y e '=()f x ,,,a b c d ()22cos 2xf x x =+ABC △()()f A f B =a b ≠C ∠=,AD BC O ,,,AB AD BC CD {}1,3,5,,90x ABO DCO ∠=∠=︒x 24y x =F ,,l A B π3AFB ∠=AB的中点在准线上的投影为，则的最大值是______．12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D14．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）A ．不存在，使得的倾斜角为B ．对任意的与都不垂直C ．存在，使得与重合D ．对任意的与都有公共点15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．M l N MNAB(0,1)λλλ>≠,,a b c 1,2,1a c b a b ===⋅=1122c a c b ++-a 1a a>2211a a a a+≥+12a a+>-≥-1:10l x y --=()()2:10l k x ky k k +-+=∈R k 2l π21,k l 2l k 1l 2l 1,k l 2l 3n ≥12,,,n a a a k k S 1k k S S +>11k n ≤≤-3n ≥12,,,n a a a 3n ≥12,,,n a a a 1111ABCD A B C D -P 1BD 11D PD Bλ=（1）求证：；（2）若异面直线与所成角为，求的值．18．已知点是坐标原点．（1）若，求的值：（2）若实数满足，求的最大值．19．英语学习中学生喜爱用背单词"神器"提升自己的英文水平，为了解上海中学生和大学生对背单词“神器”的使用情况，随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款背单词“神器”，结果如下：百词斩扇贝单词秒词邦沪江开心词场中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对背单词“神器”的喜爱互不影响．（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用“百词斩”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记X 为这3人中最喜爱使用“扇贝单词”的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为的方差为．写出的大小关系．（结论不要求证明）20．在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．（1）求该粗圆的离心率；（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；（3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．21．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为．已知曲线1AP B C ⊥AP 11D B π3λ()())1,1,1,1,,A B CO θθ-BC BA -=sin2θ,m n π,0,2mOA nOB OC θ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭22(3)m n ++1234,,,x x x x 21s 1234,,,y y y y 2212341234;,,,,,,,s x x x x y y y y 23s 222123,,s s s 12,F F 22143x y +=1F l ,A B 2F l d l 2F AB △11,,AF l BF d k 12,l l ():C y f x =12,l l C C 12,l l 12,l l C C k ()d k．（1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；（2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由．（3）对于任意的正实数，函数是否都存在"双夹线"？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．2025届七宝中学高三（上）期中考试参考答案一、填空题1、； 2、； 3、3； 4．18； 5、四；6．；7、； 8、a ； 9、；10、4；11、1； 12、10、【答案】412、【答案】二、选择题13～16、BDBC三、解答题17、（1）证明：如图，连接．由已知可得，平面平面，所以，又是正方形，所以，又平面平面，所以平面，又动点在对角线上，所以平面，所以平面，所以．():sin C f x mx n x =+0,1m n ==C 1,1m n ==-1:1l y x =+2:1l y x =-()y f x =()d k ,m n ()y f x =()d k ()1,+∞3412{}0,1,2,4π311,BC AD AB ⊥111,BCC B B C ⊂11BCC B 1AB B C ⊥11BCC B 11B C BC ⊥1BC ⊂11,ABC D AB ⊂111,ABC D AB BC B = 1B C ⊥11ABC D P 1BD P ∈11ABC D AP ⊂11ABC D 1AP B C ⊥（2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，设，则，则．由已知，可得，设点，则，所以，所以，即，所以，．又异面直线与所成角为，所以，即，解得或0，因为，所以满足条件．18、【答案】（1）； （2）16．19、【答案】（1）； （2）； （3）20．【答案】（1）； （2 （3）．21、【答案】（1）存在；（2）是，3）是，C 1CD CB CC 、、x y z 、、1CD =()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,0C D B C D B A ()11111,1,0,D B D B =-=11D PD Bλ=11D P D B λ= ()000,,P x y z ()10001,,1D P x y z =-- 00011x y z λλλ-=-⎧⎪=⎨⎪-=-⎩00011x y z λλλ=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩()1,,1P λλλ-+-+(),1,1AP λλλ=---+AP ==AP 11D B π311π1cos ,cos 42AP D B 〈==〉 11cos ,2AP D 1λ=01λ<<45λ=12-320[]34E X =222231s s s <<12()d k =()0)d k n =>。
河北省沧州市沧县中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024—2025学年第一学期11月高三期中考试数学考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知平面向量，且∥，则（ ）A ．B ．C．D ．13．已知，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，有以下结论：①②函数为偶函数③④在上单调递增所有正确结论的序号是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④6．若函数在（1，3）上不单调，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1()ln(22)1f x x x =++-(1,)+∞(0,1)(1,)-+∞ (,1)-∞(1,1)(1,)-+∞ (1,2),(1,1)a b λ=+()a b +a λ=12-1-123()2sin 2f x x x =-+()f m a -=()f m =4a-2a -2a +a-tan 3α=3cos 2sin 2cos 3sin αααα-=+511511-311311-()cos()f x A x B ωϕ=++0A >0ω>πϕ<23π()(6f x f ≤π(3f x +()()26f x f x π+-=()f x 4π13π[,]363()2ln f x x t x x=--7)(7,)+∞[7,)+∞7]7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．18．在锐角△中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知下列函数中，最小正周期为的是（）A ．B ． C ．D ．10．在△中，，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ）A ．B ．C ．的最大值为D ．的最小值为911．过点（2，）可以作两条直线与曲线相切，则实数的可能取值为（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数（为虚数单位），若是纯虚数，则实数________．13．已知平面向量，，则在上的投影向量为________（结果用坐标表示）14．在等边三角形的三边上各取一点，满足，，°，则三角形的面积的最大值是________．π()sin()(0)6f x x ωω=+>π3()g x ()g x ω132312ABC a b c A B C 23cos cos b c C A-=3a =b c +(3,6)(3,6]6]6)πcos 2y x=π2sin(213y x =++sin 2y x =tan()4y x π=-ABC 14CD CA = P BD ,,(0,)CP CA CB λμλμ=+∈+∞41λμ+=41λμ+=λμ1911λμ+a xy xe =a e 26e -21e -2e 122,3z a i z i =+=-12z z a =(2,1)a = (1,3)b =-b a ABC ,,M N P MN =4MP =30PMN ∠=ABC四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知向量，满足．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求的值．16．（本题满分15分）（1）已知都是锐角，若，求的值；（2）已知，求的值．17．（本题满分15分）设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，且，求的最小值．18．（本题满分17分）△的内角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若是△边上的中线，且，求△面积的最大值．19．（本题满分17分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；（3）已知为函数的相伴特征向量，若在△中，，，若点为该△的外心，求的最大值．2024-2025学年第一学期11月高三期中考试数学答案1．D 2．D 3．A4．D5．B6．A7．C8．C9．ABD10．AD11．ABDa b 2,3,(2)a b a b b ==-⊥a b2a b -,αβ38sin ,cos()517ααβ=+=sin β1sin cos ,(0,π)3ααα-=∈πsin(26α-21()ln 1()2f x x x ax a R =+-+∈52a =()f x ()f x 12,x x 11(0,]2x ∈12()()f x f x -ABC ,,A B C ,,a b c cos sin 2A Cc b C +=B BE ABC AC 3BE =ABC O ()sin cos f x a x b x =+(,)OM a b =()f x ()f x OM(3,ON =()f x ()3f x =ππ(,33x ∈-x ππ())cos()()36g x x x x R =++-∈()g x OM OM(0,1)OA = ()h x ABC 2AB =πcos ()6C h =G ABC GC AB CA CB ⋅+⋅12． 13． 1415．【解析】（1）设与的夹角为，因为，所以，又，所以，所以所以向量与夹角的余弦值为；（2）由，所以．16．【解析】（1）∵已知、都是锐角，且，∴．∵，∴，∴．（2）因为，所以，即，所以，又，所以，故，故，故，所以，所以，，故17．【解析】（1），则定义域为（0，），23-21,55⎛⎫⎪⎝⎭a b θ(2)a b b -⊥2(2)20a b b a b b -⋅=⋅-=2,3a b == 223cos 90θ⨯⨯⨯-=3cos 4θ=a b 342223244442349224a b a a b b -=-⋅+=-⨯⨯⨯+⨯= 2a b -=αβ3sin 5α=4cos ,0π5ααβ==<+<8cos()17αβ+=15sin()17αβ+==1548336sin sin[()]sin()cos cos()sin 17517585βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=1sin cos 3αα-=21(sin cos )9αα-=112sin cos 9αα-=4sin cos 9αα=(0,π)α∈sin 0α>cos 0α>π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22217(sin cos )sin cos 2sin cos 9αααααα+=++=sin cos αα+=8sin 22sin cos 9ααα==22cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )ααααααα=-=-+-=81sin(2sin 2cos cos 2sin 66692πππααα-=-=+⨯=21()ln 12f x x x ax =+-+()f x +∞211()x ax f x x a x x-+'=+-=当时，，令，解得或，令，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）∵定义域为，由（1）可知当时有两个极值点等价于在上有两个不等实根，∴，∴ ∴设，则，∴在上单调递减，∴，即，∴的最小值为18．【解析】（1）在△中，由，根据正弦定理可得因为为△的内角可知，，且，所以，即因为为△的内角，，故；所以，即（2）由题知是边的中线，所以．两边平方得：52a =2511(2)(21)22()x x x x f x x x -+--'==()0f x '>2x >102x <<()0f x '<122x <<()0f x '>1(0,),(2,)2+∞1(,2)2()f x 211(0,),()x ax f x x a x x-+'+∞=+-=2a >()f x 12,x x 210x ax -+=(0,)+∞12,x x 1212,1x x a x x +==211x x =221211122211()()ln 1ln 122f x f x x x ax x x ax -=+-+--+-22211211112221111111111ln ln ()2ln 2222x x a x x x x x x x x x ==--+-=+-+-21121112ln 22x x x =-+22111()2ln 0222g x x x x x ⎛⎫=-+<≤ ⎪⎝⎭24223332121(1)()0x x x g x x x x x x---'=--==-≤()g x 1(0,]21115()2ln 222ln 2288g x g ⎛⎫≥=--+=-+ ⎪⎝⎭1215()()2ln 28f x f x -≥-+12()()f x f x -152ln 28-+ABC cos sin 2A Cc b C +=sin cos sin sin 2A CC B C+=C ABC sin 0C ≠A B C π++=πsin coscos sin 2222A C B B B +⎛⎫==-= ⎪⎝⎭2sin cos sin222B B B =B ABC sin02B ≠1cos 22B =π23B =2π3B =BE AC 2BE BA BC =+222(2)2cos BE c a ac B =++ 2236c a ac=+-又，故，当且仅当时等号成立．所以面积的最大值为19．【解析】（1）根据题意知，向量的相伴函数为当时，，又，则，所以，故（2）因为，故函数的相伴特征向量，则与同向的单位向量为（3）由题意得，，在△中，，，因此，设△外接圆半径为，根据正弦定理，，故所以，代入可得，所以当时，取得最大值14．222c a ac +≥2236c a ac ac =+-≥6a c ==11sin 3622ABC S ac B =≤⨯=V ABC (3,ON =π()3sin 6f x x x x =+=+π()36f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭πππ,662x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ππ63x +=π6x =ππππππ()cos cos cos sin sin cos cos sin sin363366g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎫=++-=-++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭sin x x =-+()g x (1,OM =-(1,OM =- 11(1,,22OM OM ⎛=-=- ⎝()cos h x x =ABC 2AB =ππcos (cos 66C h ===π6C =ABC R 24sin ABR C==2R =2GA GB GC ===()()()GC AB CA CB GC GB GA GA GC GB GC ⋅+⋅=⋅-+-⋅- =2GC GB GC GA GA GB GA GC GC GB GC⋅-⋅+⋅-⋅-⋅+ 228cos 4cos 4GC GA GA GB GC AGC AGB =-⋅+⋅+=-∠+∠+ πππ1,2,cos cos 6332C AGB C AGB =∠==∠==68cos GC AB CA CB AGC ⋅+⋅=-∠ πAGC ∠=GC AB CA CB ⋅+⋅。
山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}202,0M x x N x x x =∈<<=-≤Z ∣∣，则M N = （）A.{}0,1 B.{}1 C.{}1,1- D.∅2.已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()1f x -的定义域为（）A.[]1,2B.[]4,6 C.[]5,9 D.[]3,73.已知2025π1sin sin 22αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2sin cos ααα=+（）A.12-B.12C.0D.14.“函数()32f x x ax =-在[]2,3-上单调递增”是“3a ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分又不必要条件5.过曲线9log =y x 上一点A 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线3log y x =于点,B C ，若直线BC 过原点，则其斜率为（）A.1B.3log 22C.ln33D.2log 366.函数()11ln sin 21x f x x x+=--的零点个数为（）A.1B.0C.3D.27.自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：τηγ=，其中τ为剪切应力，η为黏度，γ为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变τγ-曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（）A.①和④B.③和④C.③和②D.①和②8.已知函数()()1e xf x x =-，点(),m n 在曲线()y f x =上，则()()f m f n -（）A.有最大值为1e-，最小值为1 B.有最大值为0，最小值为1e-C.有最大值为0，无最小值D.无最大值，有最小值为1e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0c b a <<<，则（）A.ac bc <B.333b c a +< C.a c ab c b+>+D.<10.已知函数()21,2,5,2x x f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则（）A.1a ≤- B.[]1,4c ∈ C.()20,5ad ∈ D.222a b +=11.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x 弧度π02x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，记表面积增加量为()S f x =，则（）A.π663f ⎛⎫=⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线π3x =对称C.S 呈周期变化D.6S ≤-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是______．13.已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象与曲线()y f x =关于原点对称，则()0f =______．14.已知22,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，2log 2axx x ax ≥⋅，则正数a 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin ,63C C b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，ABC V的面积为．（1）求C ；（2）求ABC V 的周长．16.已知函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若ππ,68x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，求()()23-=+f x y f x 的最大值．17.记锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos c CA b B-=．（1）求B ；（2）延长AC 到D ，使2,15AC CD CBD =∠= ，求tan A ．18.已知函数()()2e xf x x a =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）设12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()()()1122,,,A x f x B x f x ．证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ．19.已知函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，（1）证明：21cos 12x x >-；（2）探究()f x 是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】222log e e 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π3C =（2）10+【16题答案】【答案】（1）π5ππ11π,224224k k ⎡⎤++⎢⎣⎦，()k ∈Z （2）0【17题答案】【答案】（1）45B =（2）2+【18题答案】【答案】（1）单调增区间为()(),2,,a a ∞∞--+，单调减区间为(2,)a a -（2）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）没有，理由见解析。
山东省淄博市高青县2024-2025学年高三上学期期中数学质量检测试题(含解析)
山东省淄博市高青县２０２４－２０２５学年高三上学期期中数学质量检测试题第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{|22}U x x =-££，集合{}12A x x =-£<，则UA =ð（ ）A. (2,1)--B. [2,1]-- C. (2,1){2}--U D. [2,1){2}--U 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}U x x =-££，集合{}12A x x =-£<，所以[2,1){2}U A =--U ð.故选：D2. 若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是( )A. 1i -- B. 1i+ C. 1i-+ D. 1i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z 即可求解结果．【详解】解：复数z 满足i 1i z =+，所以()21i 1i 1i1i i i i 1z ++-+====--．所以z 的共轭复数是1i +．故选：B ．3. ，则此正四棱锥的体积为（ ）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】如图所示，正四棱柱为1111ABCD A B C D -，正四棱锥1O ABCD -，设底边边长AB a =，高1OO =则1O E ==，又正四棱柱的侧面积114S AB OO =×=，正四棱锥的侧面积21142S AB O E a =××=，则a =，解得a =，所以正四棱锥体积2113ABCD V S OO =×==，故选：B.4. 在ABC V 中，2,CD DB AE ED ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，则CE =uuu r（ ）A. 1163AB AC -uuur uuu r B. 1263AB AC-uuur uuu r C. 1536AB AC -uuur uuu r D. 1133AB AC -uuur uuu r 【答案】C 【解析】【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量AB uuu r 和AC uuur 表示即得.【详解】如图所示，由题意，1112()2223CE CA CD AC CB=+=-+´uuu r uur uuu r uuu r uuur1115()2336AC AB AC AB AC =-+-=-uuu r uuur uuu r uuu r uuu r .故选：C.5. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ¹=，则m 的值为（ ）A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求出1a 和d 的关系，代入0m S =计算可得m 的值.【详解】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ¹，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去）故选：B.6. 若πcos()4a -=，则sin2a =（ ）A.725B.1625C. 1625-D. 725-【答案】C 【解析】【分析】利用两角差的余弦公式展开，然后平方得到.【详解】由πcos()4a -=得3cos sin 5a a +=，平方得223(cos sin )()5259a a +==，22cos 2sin cos sin 259a a a a ++=即1sin 2295a +=，得16sin225a =-.故选：C7. “3a <”是“函数()()2log 31f x a x éù=--ëû在区间()1,+¥上单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案【详解】令()31u a x =--，2log y u =，当()()2log 31f x a x éù=--ëû在()1,+¥上单调递增时，因为2log y u =是()1,+¥上的增函数，则需使()31u a x =--是()1,+¥上的增函数且0u >，则30a ->且310a --³，解得2a £，必有3a <，故必要性成立；当3a <时，取52a =，可知()13112a x x --=-在()1,+¥上有小于零的情况，此时()f x 无意义，即充分性不成立，故“3a <”是“函数()()2log 31f x a x éù=--ëû在区间()1,+¥上单调递增”的必要不充分条件.故选：C ．8. 设51ln,sin ,0.244a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >> B. b a c >>C. b c a >> D. c b a>>【答案】B 【解析】【分析】将,,a b c 三个数进行恒等变形，使三个数中都出现14，结合三个数据的形式构造定义域在(0,1)上的函数，通过求导分析函数单调性，确定14x =时的函数值与0的大小关系，即可比较三个数的大小.【详解】由题意得，15114ln ln(1),sin ,0.2144414a b c ==+===+.令()sin ln(1),(0,1)f x x x x =-+Î，则1()cos 1f x x x ¢=-+，令()()g x f x ¢=，则21()sin (1)g x x x ¢=-++，令()()h x g x ¢=，则32()cos (1)h x x x ¢=--+，当(0,1)x Î时，()0h x ¢<，∴()h x 在(0,1)上是减函数，且(0)10h =>，11(1)sin1sin 0464πh =-+<-+<，∴0(0,1)x $Î，使得0()0h x =，∴当0(0,)x x Î时，()0h x >，当0(,1)x x Î时，()0h x <，∴()g x 在0(0,)x 上为增函数，在0(),1x 为减函数.∵(0)0g =，11(1)cos1cos 0232πg =->-=，∴当(0,1)x Î时，()0g x >，∴()f x 在(0,1)上为增函数.∵(0)sin 0ln10f =-=，∴11115(sin ln(1)sin ln 044444f =-+=->，∴b a >.②令()ln(1),(0,1)1xx x x x j =+-Î+，则2211()01(1)(1)x x x x x j ¢=-=>+++，∴()j x 在(0,1)上为增函数.∵(0)0j =,∴15()ln0.2044j =->，∴a c >.故选：B.【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数,a b 大小的方法如下：①将,a b 两个数恒等变形，使两数有共同数字m ，②将m 看成变量x ，构造函数，③分析包含m 的某个区域的函数单调性，④根据函数单调性比较大小.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知向量)(),0,1a m b ==r r，则下列说法正确是（ ）的的A. 若2=r a ，则1a b ×=r r B. 不存在实数m ，使得a r∥br C. 若向量()4a a b ^-r r r，则1m =或3m =D. 若向量a r 在b r 向量上的投影向量为b -r ，则,a b rr 的夹角为2π3【答案】BCD 【解析】【分析】运用平面向量的性质定理，即可求解.【详解】A 选项：2a ===r，所以1m =±，所以·1a b =±rr ，故A 错误；B 选项：若得a r∥b r ，则10=，显然不成立，故B正确；C 选项：因为)44a b m -=-r r,若向量()4a a b ^-r r r，则()()·43401a a b m m m -=+-=Þ=r r r或3m =，故C 正确；D 选项：设,a b rr 的夹角为[]()0,πq q Î，则向量a r在b r 向量上的投影向量为··,a b b mb b b b==-r r r r r r r 所以1m =-，又因为向量a r在b r向量上的投影向量为····cos ·2cos ·a b b b a b b b b b bq q q ====-r r r r r r r r r r r ，所以1cos 2q =-则,a b rr 的夹角为2π3，故D 正确.故选：BCD.10. 已知△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c D 为CA 延长线上一点，DAB Ð的平分线交直线CB于E ，若3,2a b c ===，则（）A. sin :sin ;sin 3:2A B C =B. π6A =C. ABCV D. 4AE =【答案】AC 【解析】【分析】A 选项由正弦定理计算判断即可；B 选项由余弦定理计算判断即可；C 选项由三角形面积公式计算判断即可；D 选项利用余弦定理可求得cos C ，进而可得sin AEC Ð，结合正弦定理求解即可.【详解】因为a =，3b =，2c =，所以由正弦定理，得sin :sin :sin :::3:2A B C a b c ==，故A 正确；由余弦定理得，2221cos 22c b a A bc +-==，因为(0,π)A Î，所以π3A =，故B 错误；ABC V 的面积为1sin 2bc A =，故C 正确；由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-==×，因为0πC <<，所以sin C =，因为π3A =，AE 是DAB Ð的角平分线，所以π3EAB Ð=，所以2π2π2πsin sin sin cos cos sin 333AEC C C C æöÐ=+=+=ç÷èø在AEC △中，由正弦定理，得sin sin AE ACC AEC=з解得6AE =，故D 错误.故选：AC.11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()0f x f x +-=，()()130f x f x ++-=，当02x <<时，()22f x x x =-，则（ ）A. ()()8f x f x =+B. ()f x 的图象关于直线2x =对称C. 当46x <£时，()21024f x x x =-+D. 函数()2lg y f x x =-有4个零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据抽象函数关系式可推导得到()()4f x f x +=，由周期性知A 正确；根据()()130f x f x ++-=得到(2,0)为()f x 的对称点，知B 错误；利用()()4f x f x =-可推导得到()f x 在46x <<时的解析式；结合()()620f f ==可知C 正确；将问题转化为y =f (x )，2lg y x =图象交点个数问题，利用数形结合的方式可知D 正确.【详解】对于A ，()()0f x f x +-=Q ，()()33f x f x \-=--，()()()()13130f x f x f x f x \++-=+--=，即()()13f x f x +=-，()()4f x f x \+=，即()f x 是以4为周期周期函数，()()()48f x f x f x \=+=+，A 正确；对于B ，()()130f x f x ++-=Q ，∴f (x )图象关于点(2,0)对称，B 错误；对于C ，当46x <<时，042x <-<，()()()()2244241024f x f x x x x x \=-=---=-+.()f x Q 的图象关于点(2,0)对称，()f x 的定义域为R ，()20f \=.()()2620610624f f \===-´+，满足()21024f x x x =-+，\当46x <£时，()21024f x x x =-+，C 正确；对于D ，由()2lg 0f x x -=得：()2lg f x x =，()f x Q 的值域为[]1,1-，则由2lg 1x £得：)(x éÎÈë，作出y =f (x )，2lg y x =的部分图象，如图所示，由图可知，它们有4个交点，故函数()2lg y f x x =-有4个零点，D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，198a a p +=，67864b b b =，则5410sin 4a b b =-___________.的【答案】【解析】【分析】由等差数列角标和性质求得5a 的值，再由等比数列角标和性质求得410b b 的值，代入即可求得5410sin4a b b -的值.【详解】等差数列{}n a 中，51928a a a p =+=，则54a p =，等比数列{}n b 中，3678764b b b b ==，则74b =，所以2410716b b b ==，所以54104sinsin sin 44163a b b p p æö==-=ç÷--èø.故答案为：13. 已知()sin2g x x =，若()()2lg 1f x g x a x æö=×+ç÷-èø为偶函数，则实数a =__________.【答案】1【解析】【分析】由题可设函数()2lg 1h x a x æö=+ç÷-èø为奇函数，由奇函数的定义结合对数运算即可得实数a 的值.【详解】已知()sin2g x x =为R 上的奇函数，若()()2lg 1f x g x a x æö=×+ç÷-èø为偶函数，则函数()2lg 1h x a x æö=+ç÷-èø为奇函数，又()2lg 1h x a x æö-=+ç÷--èø，则()()2222lg lg lg 01111h x h x a a a a x x x x éùæöæöæöæö+-=+++=++=ç÷ç÷ç÷ç÷êú------èøèøèøèøëû，故22111a a x x æöæö++=ç÷ç÷---èøèø，整理得()222221a a x x --=-，所以()22211a a ì-=ïí=ïî，解得1a =，则()21lg 1lg 11x h x x x +æöæö=+=ç÷ç÷--èøèø，其定义域为()(),11,¥¥--È+符合定义域对称，则函数ℎ(x )为奇函数，所以1a =.故答案为：1.14. 平移()()sin 0,22f x x pp w j w j æö=+>-<<ç÷èø，给出下列4个论断：①图象关于12x p=对称；②图象关于点,03p æöç÷èø对称；③最小正周期是p ；④在,06p éù-êúëû上是增函数；以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题：（1）____________.（2）____________.【答案】 ①. ①②⇒③④；②. ①③⇒②④【解析】【分析】（1）由①得122k ppw j p ´+=+；再由②得3k pwj p +=，k z Î，以及w 、j 的范围，求得w 、j 的值，从而得函数解析式，从而求出周期和单调增区间，可得③④正确，故得①②⇒③④.（2）由③可得2w =，故()()sin 2f x x j =+，再由①得2122k ppj p ´+=+，Z k Î，结合j 的范围可得3pj =，故函数()sin 23f x x p æö=+ç÷èø，由此推出②④成立.【详解】（1）：①②⇒③④.由①得122k ppw j p ´+=+，Z k Î.由②得3k pwj p +=，Z k Î.∴()sin 23f x x p æö=+ç÷èø，其周期为p .故函数()f x 的增区间为3,1212k k p p p p éù-+êúëû，Z k Î.∴()f x 在区间,06p éù-êúëû上是增函数，（2）还可①③⇒②④.由①得2122k ppj p ´+=+，Z k Î.再由22ppj -<<可得2j p =，故函数()sin 23f x x p æö=+ç÷èø.故可得①③⇒②④.故答案为：（1）①②⇒③④；（2）①③⇒②④.【点睛】本题考查三角函数的性质，属于基础题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 如图，已知平面四边形ABCD ，45A Ð=°，75ABC Ð=°，30BDC Ð=°，2BD =，CD =.（1）求CBD Ð；（2）求AB 的值.【答案】（1）60°；（2.【解析】【分析】（1）由余弦定理求2BC ，根据勾股逆定理知90DCB Ð=°，即可求CBD Ð.（2）由（1）得120ADB Ð=°，应用正弦定理即可求AB 的值.【详解】（1）在△BCD 中，由余弦定理，有2222cos301BC BD CD BD CD =+-×°=，222BC CD BD \+=，即90DCB Ð=°，60CBD \Ð=°.（1）在四边形ABCD 中，756015ABD Ð=°-°=°，∴120ADB Ð=°，在△ABD 中，由正弦定理sin120sin 45AB BD =°°，则sin120sin 45BD AB ×°==°16. 已知函数()2ln f x x ax a =-+.（1）若1x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若存在()1,x Î+¥，使得()0f x >，求实数a 的取值范围.【答案】（1）12a =，单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,+¥ （2）1,2æö-¥ç÷èø.【解析】【分析】（1）求导，通过1x =为极值点，求a ，进而确定单调区间；（2）将()0f x >转换成()21ln 0,a x x --<构造函数()()()21ln 1,g x a x x x =-->，通过0a £，12a ³，102a <<三类情况讨论单调性即可求解.【小问1详解】()12,1f x ax x x ¢=-=Q 是()f x 的极值点，故()111202f a a =¢=-Þ=，当12a =时，()()()()111120x x f x ax x x x x x--+=-=-=>¢，()()()()00,1,01,f x x f x x ¥¢¢>ÞÎ<ÞÎ+，可知1x =是()f x 的极大值点，故12a =，()f x 的单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,¥+【小问2详解】由()0f x >得()()21ln 0,1,a x x x ¥--<Î+，易知2ln 0,10,x x -<->当0a £时，()21ln 0,a x x --<满足题意；当12a ³时，令()()()21ln 1g x a x x x =-->，()2210,()ax g x g x x=>¢-在(1,+∞)上单调递增，则()()10g x g >=，不符合题意；当102a <<时，由()0,g x ¢>得x ¥öÎ+÷ø，由()0,g x ¢<得x æÎçè，于是有()g x在æçè递减，在¥ö+÷ø递增，()()min 10g x g g =<=，所以当102a <<，()1,x ¥$Î+，使得g (x )<0，也即()1,x ¥$Î+，使得()0f x >，综上，a 的取值范围时1,2¥æö-ç÷èø17. 记n S 为等差数列{n a }的前n 项和，已知395,81a S ==，数列{n b }满足()1112233133n n n a b a b a b a b n +++++=-×+L .（1）求数列{n a }与数列{n b }的通项公式；（2）数列{n c }满足2,1,n n n n b n c n a a +ìï=íïî为奇数为偶数，n 为偶数，求{n c }前2n 项和2n T .【答案】（1）21,3nn n a n b =-= （2）239178161224n n T n ×=--+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式计算可得11,2a d ==，即可求出n a ；根据1(2)n n n a S S n -=-³可得()213n n n a b n =-×，验证1b ，即可求解；（2）由题意，根据等比数列前n 项求和公式和裂项相消求和法计算即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，39581a S =ìí=îQ ，即1125989812a d a d +=ìïí´+=ïî，11,2a d \==，21n a n \=-.()1112233133n n n a b a b a b a b n +++++=-×+Q L ，①()()1122112332n n n a b a b a b n n --\+++=-×+³L ，②所以①-②得，()213nn n a b n =-×，()32n n b n \=³.当1n =时，1113,3a b b ==，符合3n n b =.3n n b \=.【小问2详解】21232n n T c c c c =++++L ，依题有：()213212446222111n n n n T b b b a a a a a a -+æö=+++++++ç÷èøL L .记1321n T b b b -=+++L 奇，则22123(13)33138n n T +--==-奇.记2446222111n n T a a a a a a +=+++L 偶，则244622211111112n n T d a a a a a a +éùæöæöæö=-+-++-êúç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëûL 偶22211111124343n d a a n +æöæö=-=-ç÷ç÷+èøèø所以212331113917843438161224n n n T n n +-×æö=+-=--ç÷++èø.18. 已知函数()()22sin cos 2sin 1R f x x x x x =-+Î．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，a =A 为锐角，且π8f A æö+=ç÷èø，求ABC V 面积S 的最大值．【答案】（1）最小正周期为π；3ππ[π,π](Z)88k k k -++Î；（2.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数()f x ，再借助正弦函数的性质求解作答.（2）由已知及（1）求出角A ，再利用余弦定理与基本不等式求解作答.【详解】（1）依题意，()sin 2cos 2)4f x x x x p=+=+，所以()f x 的最小正周期为π；.由πππ2π22π,Z 242k x k k -+£+£+Î，得3ππππ,Z 88k x k k -+££+Î，所以函数()f x 的单调递增区间是3ππ[π,π](Z)88k k k -++Î． （2）因π()8f A +=及（1）π)2A +=1cos 23A =，则212cos 13A -=，而A为锐角，因此cos A =，sin A ==，又a =2222cos a b c bc A =+-，即2232b c bc =+-³，当且仅当b c =时取“=”，于是得92bc £+，119sin (222S bc A =£=所以ABC V 面积S．19. 已知函数()()2e 1=-+x f x ax x （a ÎR ，e 为自然对数的底数）．（1）若()f x 在x=0处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当21ea ³时，求证：()2ln 2x x f x x ---³．【答案】（1）1a = （2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解；（2）由于()()(1)e 2x f x x a =+-¢，令()0f x ¢=，得1x =-或2ln x a=，通过比较两个值分类讨论得到单调区间；（3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明.小问1详解】()()(1)e 2x f x x a =+-¢，则(0)2f a ¢=-，由已知(2)1a a -=-，解得1a =【小问2详解】【()()(1)e 2x f x x a =+-¢（ⅰ）当0a £时，e 20x a -<，所以()01f x x ¢>Þ<-，()01f x x ¢<Þ>-，则()f x 在(,1)¥--上单调递增，在(1,)-+¥上单调递减；（ⅱ）当0a >时，令e 20x a -=，得2lnx a =，①02e a <<时，2ln 1a>-，所以()01f x x ¢>Þ<-或2ln x a >，()012ln af x x <Þ-<<¢，则()f x 在(,1)¥--上单调递增，在21,lna æö-ç÷èø上单调递减，在2ln ,a æö+¥ç÷èø上单调递增；②2e a =时，()1()2(1)e 10x f x x +=+¢-³，则()f x 在(,)-¥+¥上单调递增；③2e a >时，2ln 1a<-，所以2ln()0x a f x >Þ<¢或1x >-，2ln ()01f x a x <Þ<<-¢，则()f x 在2,ln a æö-¥ç÷èø上单调递增，在2ln ,1a æö-ç÷èø上单调递减，在(1,)-+¥上单调递增．综上，0a £时，()f x 在(,1)¥--上单调递增，在(1,)-+¥上单调递减；02e a <<时，()f x 在(,1)¥--上单调递增，在21,ln a æö-ç÷èø上单调递减，在2ln ,a æö+¥ç÷èø上单调递增；2e a =时，()f x 在(,)-¥+¥上单调递增；2e a >时，()f x 在2,ln a æö-¥ç÷èø上单调递增，在2ln ,1a æö-ç÷èø上单调递减，在(1,)-+¥上单调递增．【小问3详解】方法一：2()ln 2(0)f x x x x x ³--->等价于e ln 10(0)x ax x x x --+³>当21ea ³时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+³--+>令221()e ln 1,()(1)e x x g x x x x g x x x --æö=--+=+-çè¢÷ø令21()e x h x x-=-，则()h x 在区间(0,)+¥上单调递增 ∵11(1)10,(2)02h h e =-<=>，∴存在0(1,2)x Î，使得()00h x =，即020001e ,2ln x x x x -=-=-当()00,x x Î时，()0g x ¢<，则()g x 在()00,x 上单调递减，当()0,x x Î+¥时，()0g x ¢>，则()g x 在()0,x +¥上单调递增∴()02min 000000001()e ln 1210x g x g x x x x x x x x -==--+=×+--+=∴()0g x ³，故2()ln 2f x x x x ³---方法二：当21a e³时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+³--+>2ln 2()e ln 1e (ln 2)1x x x g x x x x x x -+-=--+=-+--令ln 2t x x =+-，则t R Î，令()e 1t k t t =--，则()e 1t k t =-¢当0t <时，()0k t ¢<；当0t >时，()0k t ¢>∴()k t 在区间(,0)-¥上单调递减，(0,)+¥上单调递增．∴()(0)0k t k ³=，即()0g x ³∴2()ln 2f x x x x ³---，【关键点点睛】解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用.。
重庆市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题
重庆市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
年-2023年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中2019年-2023年对应的代码依次为1-5．
19．已知数列 {}n a ，记集合()(){}*1,,,1,,N .i i j T S i j S i j a a a i j i j +==++¼+£<Î∣
(1)若 n
a n = ，当 1,2,3,4n = ，即 14i j £<£ 时，写出集合 T ;
(2)若 2n
a n = ，是否存在 *,N i j Î ，使得 (),4096S i j = 若存在，求出一组符合条件
的 ,i j ; 若不存在，说明理由;
(3)若 2n a n = ，把集合 T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为： 12,,,,m
b b b ¼¼ ，
若 4100m b £ ，求m 的最大值．
【点睛】关键点点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
辽宁省滨城高中联盟2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高三期中Ⅰ考试数学试卷命题人：大连市第二十高级中学卢永娜校对人：大连市第二十高级中学苑清治第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．“”是“函数在上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在中，点D 在边AB 上，．记，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数的单调递增区间为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7，设是定义域为R 的偶函数，且在单调递增，则（）A ．B ．C ．D ．8．已知向量，，函数．若对于任意的，，且(){}lg 3M x y x ==-{}2N y y =>M N = ∅()2,3()3,+∞()2,+∞π2ϕ=-()sin 2y x ϕ=+π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ABC △2AD DB =CB a = CD b = CA =32a b-32a b+23a b +23a b-+()cos 2cos f x x x =+[]0,3[]1,3-[]1,2-[]0,2()()23log 4f x x =-()0,+∞(),0-∞()2,+∞(),2-∞-()1os 4c αβ+=tan tan 2αβ=()cos αβ-=34-112-11234()f x ()0,+∞233221log 223f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭233221log 223f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23322122log 3f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23322122log 3f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(),1a x = ()sin ,sin cos b x x x =+ ()f x a b =⋅ 1x 2π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，均有成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9）A ．B ．C ．D．10．已知向量，，则（ ）A ．B ．与向量共线的单位向量是C ．D ．向量在向量上的投影向量是11．已知函数，且对，都有，把图象上所有的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得函数的图象向右平移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．为偶函数D ．在上有1个零点第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，若，则实数______．13．已知函数，若，，且，则的最小值是______．14．已知函数，则的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）12x x ≠()()1212x x f x f x t e e ->-[)0,+∞[)1,+∞(],1-∞(],0-∞1tan151tan15+︒-︒tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒︒)sin 503tan10︒+︒22tan151tan 15︒-︒()4,2a = ()6,2b =-20a b +=a ()a b a+⊥ a b 12b-()()π2cos 033f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭x ∀∈R ()π3f x f x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭()f x 12π4()g x 1ω=()2π3g x g x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭π6g x ⎛⎫+⎪⎝⎭()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()4,3a =- (),9b m =-a b ∥m =()323f x x x =+0m >0n >()()()230f m f n f +-=29m n+()2211222024sin log sin 2024cos log cos f x x x x x =+()f x已知．（1）求的值；（2）若，是方程的两个根，求的值．16．（本小题满分15分）已知函数在时取得极大值1．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点与曲线相切的直线方程．17．（本小题满分15分）已知函数为奇函数．（1）求实数a 的值；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求a 的最小值；（3）如果存在实数m 、n ，其中，使得，求的取值范围．19．（本小题满分17分）已知函数的图象如图所示．()()π2sin πsin 323π135cos 3cos 2π2x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭tan x sin x cos x 20x mx n -+=23m n +()323f x x x bx c =-++0x =()y f x =()()3,3f ()0,2()y f x =()221x x af x +=+()22log log 24x xg x m =⋅+(]20,1x ∈[]12,8x ∈()()12g x f x =()ln f x x x =()()1,011,02f x x xg x x x +⎧>⎪⎪+=⎨⎪+≤⎪⎩()f x ()xf x y ae x=-()1,2m n <()()g m g n =n m -()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的最大值和最小值；（3）若函数在内恰有781个零点，求实数m 、n 的值．()f x ()π226x x f f h x =⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2π26π1x x g x f mf ⎛⎫- ⎪⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎭⎝()()*0,πn n ∈N滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高三期中Ⅰ考试数学参考答案题号1234567891011答案CAD BCA BDABCCDABD12．1213．14．101215．（1）∵，∴，解得；（2）由题意可得，∴，，∴．16．（1），则，由题意可得，解得，即，，令，解得或，故在，上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值1，即，符合题意．（写经检验，当，时，在处取得极大值也给分）∵，，则切点坐标为，切线斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即（2）由（1）可得：，，设切点坐标为，切线斜率，323()()π2sin πsin 2sin cos 323π5sin 3cos 135cos 3cos 2π2x x x x x x x x ⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭==+⎛⎫++- ⎪⎝⎭2tan 135tan 313x x -=+tan 2x =sin cos sin cos x x mx x n +=⎧⎨=⎩()223sin cos 3sin cos 15sin cos m n x x x x x x +=++=+222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15x x x x x x x x ===++2231535m n +=+⨯=()323f x x x bx c =-++()236f x x x b '=-+()()0001f b f c '==⎧⎪⎨==⎪⎩01b c =⎧⎨=⎩()3231f x x x =-+()236f x x x '=-()0f x '>2x >0x <()f x (),0-∞()2,+∞()0,2()f x 0x =0b =1c =0b =1c =()f x 0x =()31f =()39f '=()3,19k =()y f x =()()3,3f ()193y x -=-9260x y --=()3231f x x x =-+()236f x x x '=-()32000,31x x x -+20036k x x =-则切线方程为，∵切线过点，则，整理得，即或，∴切线方程为或，即或．17．（1）由题意可得，函数的定义域为R ，因为是奇函数，所以，可得，经检验，对于，成立，所以．（2）由（1）可得因为，所以，，，，，所以当时的值域，（其他方法求值域酌情给分）又，，设，，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即在上的值域，又对任意的，总存在，使得成立，即，所以，解得，即实数m 的取值范围是．18．（1）∵定义域为，，∴当时，；当时，；()()()32200003136y x x x x x x --+=--()0,2()()()322000023136x x x x x --+=--()()2001210x x -+=01x =12-()131y x +=--1151842y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭320x y +-=15480x y -+=()f x ()10011af +==+1a =-x ∀∈R ()()f x f x -=-1a =-()21212121x xx f x -==-++(]0,1x ∈(]21,2x∈(]212,3x+∈111,2132x ⎡⎫∈⎪⎢+⎣⎭221,213x ⎛⎤-∈-- ⎥+⎝⎦2110,213x ⎛⎤-∈ ⎥+⎝⎦(]0,1x ∈()f x 10,3A ⎛=⎤ ⎥⎝⎦()f x ()()()2222log log log 1log 224x xg x m x x m =⋅+=--+[]2,8x ∈2log t x =[]1,3t ∈()()21232y t t m t t m =--+=-++32t =14m -+3x =2m +()g x []2,8x ∈1,24B m m ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦(]20,1x ∈[]12,8x ∈()()12g x f x =A B ⊆104123m m ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩5134m -≤≤51,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ()0,+∞()1ln f x x '=+()10,x e -∈()0f x '<()1,x e -∈+∞()0f x '>∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，无极大值．（2）依题可知，，在上恒成立，显然，所以，设，，，所以在上单调递增，，故，即，即a 的最小值为．（3）方法1：由已知，则函数在、上为增函数，若存在实数m 、n ，其中，使得，则，，由可得，则，故，令，，，可得当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故，，又因为，，且，所以，，因此，的取值范围是．方法2：由已知，则函数在、上为增函数，若存在实数m 、n ，其中，使得，则，，令，则，可得，由可得，令，其中，令可得，()f x ()10,e -()1,e -+∞()f x ()11f e e-=-ln xy ae x =-10x y ae x '=-≥()1,20a >1x xe a≥()xg x xe =()1,2x ∈()()10xg x x e '=+>()g x ()1,2()()1g x g e >=1e a ≥1a e ≥1e()()ln 1,01,02x x g x x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩()g x (],0-∞()0,+∞m n <()()g m g n =20m -<≤01n e <≤-()()g m g n =()1ln 12mn +=+()2ln 12m n =+-()2ln 12n m n n -=-++()()2ln 12x x x ϕ=-++(]0,1x e ∈-()211011x x x x ϕ-'=-==++1x =01x <<()0x ϕ'<()x ϕ11x e <<-()0x ϕ'>()x ϕ()()min 132ln 2x ϕϕ==-()02ϕ=()11e e ϕ-=-12e -<()32ln 22h t -≤<n m -[)32ln 2,2-()()ln 1,01,02x x g x x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩()g x (],0-∞()0,+∞m n <()()g m g n =20m -<≤01n e <≤-()()g m g n t ==()ln 112t n mt ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩122t n e m t ⎧=-⎨=-⎩20m -<≤01t <≤()21th t n m e t =-=-+01t <≤()20th t e '=-=ln 2t =当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故当时，，又因为，，且，所以，，因此，的取值范围是．（其他方法酌情给分）19．（1）由图象可得，最小正周期，则，由，所以，，又，则易求得，所以，由，，得，，所以单调递增区间为，．（2）由题意得，因为，所以，①从而可知，即因此，0ln 2t <<()0h t '<()h t ln 21t <≤()0h t '>()h t 01t <≤()()min ln 232ln 2h t h ==-()02h =()11h e =-12e -<()32ln 22h t -≤<n m -[)32ln 2,2-1A =7ππ2π1212T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭2π2Tω==77πsin 2π11212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π2π3k ϕ=-+k ∈Z π2ϕ≤π3ϕ=()πsin 23x x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2π22π232k x k -+≤+≤+k ∈Z 5ππππ1212k x k -+≤≤+k ∈Z 5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()ππsin sin 2263x x h x f f x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111sin sin 2cos 2244x x x x x ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭1π1sin 2264x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π02x ≤≤ππ5π2666x -≤-≤πππsin sin 2sin 662x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭1π130sin 22644x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭故在上的最大值为，最小值为0．（3），令，可得，令，得，易知，方程必有两个不同的实数根、，由，则、异号，①当且或者且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；②当且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；③当，时，当时，只有一根，有两根，所以关于x 的方程在上有三个根，由于，则方程在上有780个根，由于方程在区间上有两个根，方程在区间上有一个根，因此，不合题意，舍去；④当，时，当时，只有一根，有两根，所以关于x 的方程在上有三个根，由于，则方程在上有780个根，由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上两个根，此时，满足题意；因此，，，得，综上，，．（其他方法酌情给分）()h x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦34()ππcos 2sin 1226x g x f x mf x m x ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0g x =22sin sin 10x m x --=[]sin 1,1t x =∈-2210t mt --=0∆>1t 2t 1212t t =-1t 2t 11t >210t -<<101t <<21t <-1sin x t =2sin x t =()0,πn 101t <<201t <<1sin x t =2sin x t =()0,πn 11t =-212t =()0,2πx ∈sin 1x =-1sin 2x =22sin sin 10x m x --=()0,2πx ∈78132601=⨯+22sin sin 10x m x --=()0,520π1sin 2x =()520π,521πsin 1x =-()521π,522π11t =212t =-()0,2πx ∈sin 1x =1sin 2x =-22sin sin 1x m x --()0,2πx ∈78132601=⨯+22sin sin 10x m x --=()0,520πsin 1x =()520π,521π1sin 2x =-()521π,522π521n =1122m ⎛⎫⎪⎝=+⎭-1m =1m =521n =。
上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=．2．若(1i)23i z +=+，则复数z 的虚部是．3．直线50x +=的倾斜角是．4．已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为．5．已知点(3,4)P -是角α终边上一点，则cos2α=．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21024a a +=，且36a =，则8S =．7．若关于x 的不等式20x x m -+<的解集是∅，则实数m 的取值范围是．8．若函数()e xf x ax =-在区间()0,1上有极值点，则实数a 的取值范围是.9．下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：34.64cm AB =，π10cm,14cm,6AD BE A B ====，则,D E 两点间距离为cm.（精确到1cm ）10．设1A ，2A ，3A ，L ，7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是．11．若函数=的表达式为()()21,2,ax x af x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，且存在最小值，则a 的取值范围为．12．已知等差数列12:,,,,n A a a a ，若存在有穷等比数列12:,,,N B b b b ，其中11b =，公比为q ，满足11k k k b a b --≤≤，其中2,3,,k N = ，则称数列B 为数列A 的长度为N 的“等比伴随数列”．数列A 的通项公式为n a n =，数列B 为数列A 的长度为N 的“等比伴随数列”，则N 的最大值为．二、单选题13．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．若a 、b ∈R ，且0ab >，则下列不等式恒成立的是（）A ．22a b a b +≥+B ．a b +≥C ．2b aa b+≥D ．224a b ab+≥15．若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m .若围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中最接近MN的是（）A ．1033B ．1053C ．1073D ．109316．已知平面向量a 、b 、c满足2b = ，1a b += ，c a b λμ=+r r r ，且21λμ+=．若对每一个确定的向量a，记c 的最小值为m ．现有如下两个命题命题:P 当a变化时，m 的最大值为23；命题Q ：当a变化时，m 可以取到最小值0；则下列选项中，正确的是（）A ．P 为真命题，Q 为假命题B ．P 为假命题，Q 为真命题C ．P 、Q 都为真命题D ．P 、Q 都为假命题三、解答题17．已知()()sin 0f x x ωω=>.(1)函数()y f x =的最小正周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集；(2)已知1ω=，2π()()()()2g x f x x f x =--，求函数()y g x =，π[0,]4x ∈的值域.18．某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为1a ，2a ，3a ，…….(1)写出2a 和3a ，并求出1n a +与n a 之间的递推关系式；(2)求证：数列{}40n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式.19．记代数式()31268log 219,(1)(4)a M x a x a N x x =-+-+-=--++.(1)当2a =时，求使代数式M 有意义的实数x 的集合；(2)若存在实数x 使得代数式M N +有意义，求实数a 的取值范围.20．过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．(1)已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．(2)在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM 与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．(3)已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．21．设函数()y f x =的定义域为开区间I ，若存在0x I ∈，使得()y f x =在0x x =处的切线l 与()y f x =的图像只有唯一的公共点，则称()y f x =为“L 函数”，切线l 为一条“L 切线”．(1)判断1y x =-是否是函数ln y x =的一条“L 切线”，并说明理由；(2)设()2e 6xg x x =-，求证：()y g x =存在无穷多条“L 切线”；(3)设()()3210f x x ax x c =++<<，求证：对任意实数a 和正数()c y f x =，都是“L 函数”。
北京市2025届高三上学期期中考试数学试卷含答案
2024—2025学年度第一学期期中练习题（答案在最后）年级：高三科目：数学考试时间：120分钟，满分：150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{|0}2xB x x =≤-，则A B = （）A.{}01x x ≤≤B.{}12x x -≤≤C.{}12x x -≤< D.{}02x x ≤≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用并集的定义求解即得.【详解】解不等式02xx ≤-，得(2)020x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得02x ≤<，则{|02}B x x =≤<，而{}11A x x =-≤≤，所以{}12A B x x ⋃=-≤<.故选：C2.命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为（）A.()0,x ∃∈+∞，e ln x x >B.()0,x ∀∈+∞，e ln x x <C.()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤D.()0,x ∃∈+∞，e ln x x≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为“()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤”.故选：D ．3.已知复数z 满足i 1z -=，则z 的取值范围是（）A.[]0,1 B.[)0,1 C.[)0,2 D.[]0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z -=表示以 馀य़为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案.【详解】因为在复平面内，i 1z -=表示到点 馀य़距离为1的所有复数对应的点，即i 1z -=表示以 馀य़为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是 馀h .故选：D .4.若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.0y ±= B.0x ±=C.0x y ±=D.y ±=【答案】A 【解析】【分析】根据公式b a ==.【详解】由题意可知，2e =，则b a ==，所以双曲线的渐近线方程为y =0y ±=.故选：A5.直线()1:31210l a x ay ++-=和直线2:330l ax y -+=，则“53a =”是“12l l ⊥”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意先求出12l l ⊥的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】由题设12l l ⊥()()31230a a a ⇔⨯++⨯-=，解得0a =或53a =.故1253a l l =⇒⊥，1253l l a ⊥⇒=/.所以“53a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件.故选：B.6.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该图象对应的函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.函数()y f x =的图象关于直线712x π=对称C.函数()y f x =的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称D.函数()y f x =在区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】B 【解析】【分析】先依据图像求得函数()f x 的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间的说法.【详解】由图象可知2,4312T A ππ==-，即T π=，所以22Tπω==，又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得2sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，又因为||2ϕπ<所以3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 错误；当712x π=时，73sin 2sin 2sin 131232x ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故B 正确；当512π=-x 时，sin 2sin 1032x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；当2,36x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，则2[,0]3ππ+∈-x ，函数()f x 不单调递减.故D 错误．故选：B7.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=，125PF PF =，则C 的离心率为（）A.6B.22C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出21,PF PF ，在12PF F 中，利用余弦定理求得,a c 的关系，从而可得出答案.【详解】解：在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>中，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，因为125PF PF =，所以215,33a aPF PF ==，在12PF F 中，122F F c =，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即222222552149999a a a a c =+-=，所以222136c a =，所以C 的离心率216c e a ==.故选：A .8.函数()2sin 41x x xf x =+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值来确定正确选项.【详解】()()sin ,22x xxf x f x -=+的定义域为R ，()()sin 22x xxf x f x ---==-+，()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 选项.143ππ<<,()sin12201sin115522f <==<+，排除BD 选项.所以A 选项符合.故选：A9.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为30m/s ，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%，若石片接触水面时的速度低于6m/s ，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（）（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈≈）A.5B.6C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x ，根据题意得300.756x ⨯<，即0.750.2x <，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可.【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x ，由题意得300.756x ⨯<，即0.750.2x <，得0.75log 0.2x >.因为0.751lnln0.2lg55log 0.2 5.33ln0.75ln32ln2ln 4-===≈-，所以 5.3x >，即6x =.故选：B.10.已知函数2,0,()ln ,0,x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax =-，若()g x 有4个零点，则a 的取值范围为（）A.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,12e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x ≠0时，21,0a 0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，即y=a 与y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，的图象，即可得出结论．【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当x 0≠时，由题意可得21,0a 0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，即y=a 与y 21,00x x lnxx x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，令h(x)=2x 0lnx x >，,令h′（x ）=312l 0nxx -=，则x=12e ，所以h(x)在（0，12e）单调递增，在（12e ∞+，）上单调递减，∴y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的大致图像如图：又h(12e)=12e，若y=a 与y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，则10a 2e <<，故选B.【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()4,2b = ，若向量a 在b 上的投影向量为12b，且a 与b 不共线，请写出一个符合条件的向量a的坐标________.【答案】()1,3（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，得到12a bb b b b ⋅⋅=，求得10a b ⋅=，进而可写出一个向量，得到答案.【详解】由向量()4,2b =，可得向量b = ，因为向量a 在b 上的投影向量为12b，可得12a b b b b b ⋅⋅=，可得10a b ⋅= ，设(,)a x y =，可得4210x y +=，取1,3x y ==，此时向量a 与向量b 不共线，故()1,3a =.故答案为：()1,3（答案不唯一）.12.已知(2)n x y +展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为___________.【答案】3280x y ##2380y x 【解析】【分析】令1x y ==，即可求出展开式系数和，从而求出n ，再写出展开式的通项，即可得解.【详解】解：令1x y ==，得()21243n+=，解得5n =，所以5(2)x y +的展开式的通项()555155C 22C kkk k k k kk T x y x y ---+==，则展开式的第3项为323232352C 80T x y x y ==．故答案为：3280x y 13.已知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点F 的距离为6，则以线段PF 的中点为圆心，PF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为________．【答案】4【解析】【分析】首先利用抛物线定义确定P 点坐标，进而可得以PF 的中点为圆心， ᬈ长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线为=1x -，由题意得6PF =，结合抛物线定义知P 点到准线的距离为6，则615p x =-=，代入横坐标可得p y =±(5,P ±，所以PF 的中点坐标为或(3,，6PF =，所以以PF 的中点为圆心， ᬈ长度为直径的圆的方程为(22(3)9x y -+-=或(22(3)9x y -++=，圆心到x ，所以与x 截得的弦长为4=，故答案为：4.14.印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________.【答案】(5π+【解析】【分析】根据几何体的结构特征确定其外接球球心位置，根据已知求球体半径，进而求球体表面积.1的正方体的表面上，如图，设其外接球的球心为O ，正方形ABCD 的中心为1O ，则点O 到平面ABCD 的距离1212OO +=，又122O C =，所以该多面体外接球的半径r ===故该球的表面积为(24π5π⨯=+⎝⎭.故答案为：(5π+15.已知数列 中各项均为正数，且211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，给出下列四个结论：①对任意的*N n ∈，都有1n a >；②数列 可能为常数列；③若102a <<，则当2n ≥时，12n a a <<；④若12a >，则数列 为递减数列，其中正确结论是______.【答案】②③④【解析】【分析】对于①，根据一元二次方程有解得情况，利用判别式可得首项的取值范围，可得答案；对于②，将数列每一项设成未知量，根据等式建立方程，可得答案；对于③④，由题意作函数()()0f x x x =≥与函数()()20g x x x x =-≥的图象，利用数形结合的思想，对应数列中项在图象上的位置，可得答案.【详解】对于①，将等式211n n n a a a ++-=看作关于1n a +的一元二次方程，即2110n n n a a a ++--=，该方程有解，则140n a ∆=+≥，所以当14n a ≥-时，方程2110n n n a a a ++--=有解，即当101a <<时，一定存在数列 满足211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，故①错误；对于②，令n a x =，由题意可得2x x x -=，解得0x =（舍去）或2，常数列2,2,2, 满足211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，故②正确；由题意作函数()()0f x x x =≥与函数()()20g x x x x =-≥的图象如下：由211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，则点()1,n n a a +在函数()g x 的图象上，易知(),n n a a 在函数()f x 的图象上，对于③，当102a <<时，由()21,a a 在函数()g x 的图象上，则212a <<，由()11,a a 在函数()f x 的图象上，则122a a <<，当2n ≥时，102n a -<<，由()1,n n a a -在函数()g x 的图象上，则12n a <<，由()11,n n a a --在函数()f x 的图象上，则12n n a a -<<，综上所述，若102a <<，当2n ≥时，12n a a <<，故③正确；对于④，当12a >时，由()21,a a 在函数()g x 的图象上，且()11,a a 在函数()f x 的图象上，则122a a >>，当2n a >时，由()1,n n a a +在函数()g x 的图象上，且(),n n a a 在函数()f x 的图象上，则12n n a a +>>，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步摖或证明过程.16.在ABC V 中，222b c a bc +-=．（1）求A ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积．条件①：11cos 14B =；条件②：12a b +=；条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得sin B ，由正弦定理求得7,5a b ==，再由余弦定理求得8c =，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得sin 14B =，由83sin sin()14C A B =+=，利用正弦定理求得212a =，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b =，不符合题意.【小问1详解】解：因为222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】解：由（1）知π3A =，若选①②：11cos 14B =，12a b +=，由11cos 14B =，可得sin 14B ==，由正弦定理sin sin a bA B=353214=，解得7a =，则125b a =-=，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得249255c c =+-，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍去），所以ABC V的面积为113sin 58222S bc A ==⨯⨯⨯=.若选①③：11cos 14B =且12c =，由11cos 14B =，可得53sin 14B ==，因为πA BC ++=，可得()31115343sin sin 2142147C A B =+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a cA C =34327=，解得212a =，所以ABC V 的面积为112153453sin 12222142S ac b ==⨯⨯⨯=.若选：②③：12a b +=且12c =，因为222b c a bc +-=，可得22212(12)12b b b +--=，整理得2412b b =，解得0b =，不符合题意，（舍去）.17.已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=o，1B D AB ⊥.（1）证明：AB AC ⊥；（2）若侧面11ACC A 是正方形，求平面11ABB A 与平面1ADC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接1AB 、OD 、1OB ，证明出AB ⊥平面1OB D ，//OD AC ，由此可证得AB AC ⊥；（2）以点O 为坐标原点，OB 、OD 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面11ABB A 与平面1ADC 夹角的余弦值.【详解】（1）取AB 的中点O ，连接1AB 、OD 、1OB ，因为160B BA ∠=o，12AB BB ==，故1ABB 为等边三角形，因为O 为AB 的中点，则1OB AB ⊥，因为1AB B D ⊥，111OB B D B ⋂=，故AB ⊥平面1OB D ，OD ⊂ 平面1OB D ，所以，AB OD ⊥，O 、D 分别为AB 、BC 的中点，则//OD AC ，因此，AB AC ⊥；（2）112AA BB == ，则四边形11ACC A 是边长为2的正方形，O 、D 分别为AB 、BC 的中点，则112OD AC ==，由（1）可得11sin 60OB BB == ，//OD AC ，11//BB AA ，故OD 与1BB 所成角为190A AC ∠= ，即1OD BB ⊥，又因为OD AB ⊥，1AB BB B Ç=，OD ∴⊥平面11AA B B ，1OB ⊂ 平面11AA B B ，则1OD OB ⊥，所以，OD 、AB 、1OB 两两垂直，以点O 为坐标原点，OB 、OD 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -、()0,1,0D 、()1,2,0C -、(1B 、()1,0,0B，(1BB =- ，()1,1,0AD =，()0,2,0AC =，(1111,AC AC CC AC BB =+=+=- ，设平面1ADC 的法向量为(),,n x y z =，则1020n AD x y n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，则(1,n =-，易知平面11AA B B 的一个法向量为()0,1,0m =u r，cos ,5m n m n m n⋅<>==-=-⋅.因此，平面11ABB A 与平面1ADC夹角的余弦值为5.18.《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m ）（部分摘抄）：项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员男子跳远8.007.807.30 6.50 5.60女子跳远6.656.355.855.204.50在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，（1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X 的数学期望()E X ；（3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m ）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次试跳的成绩为a ，用2212,s s 分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当2212s s =时，写出a 的值．（结论不要求证明）【答案】（1）25（2）() 1.4E X =（3） 5.81a =或 5.87a =.【解析】【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率；（2）由X 的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望()E X ；（3）当两人成绩满足()1,2,3,4,5,6i i y x b i =+=的模型，方差相等.【小问1详解】甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为42105=；【小问2详解】设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件,,A B C ，以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有()25P A =，()12P B =，()12P C =，X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，则X 可能的取值为0，1，2，3，()()3113052220P X P ABC ===⨯⨯=，()()()()2113113118152252252220P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()()()2113112117252252252220P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()2112352220P X P ABC ===⨯⨯=，估计X 的数学期望()38720123 1.420202020E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】甲的6次试跳成绩从小到大排列为：6.46,6.47,6.48,6.49,6.50,6.51，设这6次试跳成绩依次从小到大为()1,2,3,4,5,6i x i =，丙的5次试跳成绩从小到大排列为：5.82,5.83,5.84,5.85,5.86，设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为()1,2,3,4,5,6i y i =，当 5.81a =时，满足()0.651,2,3,4,5,6i i y x i =-=，2212s s =成立；当 5.87a =时，满足()0.641,2,3,4,5,6i i y x i =-=，2212s s =成立.所以 5.81a =或 5.87a =.19.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，进而可得结果；（2）设直线PQ 的方程，进而可求点,M N 的坐标，结合韦达定理验证2M Ny y +为定值即可.【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段MN 的中点是定点()0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．20.已知函数()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R .（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程.（2）若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的极值.（3）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2a -，求a 的取值范围.【答案】（1）340x y --=（2）极大值15ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值()12f =-；（3）(1],-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）根据()f x 在1x =处取得极值，求出a 的值，从而判断函数的单调性，求得极值；（3）分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a 的取值范围.【小问1详解】若0a =，则()2=-f x x x ，则()21f x x '=-，故()()22,23f f '==，故曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为23(2)y x -=-，即340x y --=；【小问2详解】()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R 定义域为(0),+∞，则()()221af x x a x'=-++，由于()f x 在1x =处取得极值，故()()12210,1f a a a '=-++=∴=，则()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=-+==，令()0f x '>，则102x <<或1x >，函数()f x 在10(1)2,,,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增，令()0f x '<，则112x <<，函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故当12x =时，()f x 取到极大值11315ln ln 224224f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当1x =时，()f x 取到极小值()1132f =-=-；【小问3详解】由于()()()()[],1,e 21221x x a a f x x a x x x--'=-++=∈，当1a ≤时，()0f x '≥，仅在1,1a x ==时等号取得，()f x 在[]1,e 上单调递增，则()min (1)2f x f a ==-，符合题意；当1e a <<时，则1x a <<时，()0f x '<，()f x 在[]1,a 上单调递减，e a x <<时，()0f x '>，()f x 在[],e a 上单调递增，故()min ()(1)2f x f a f a =<=-，不符合题意；当e a ≥时，()0f x '<，()f x 在[]1,e 上单调递减，故()min (e)(1)2f x f f a =<=-，不符合题意；综上，可知a 的取值范围为(1],-∞.【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，从而确定最值，求得参数范围.21.已知有限数列12:,,,m A a a a 为单调递增数列．若存在等差数列121:,,,m B b b b + ，对于A 中任意一项i a ，都有1i i i b a b +≤<，则称数列A 是长为m 的Ω数列．（1）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若(,,)a b c a b c R <<∈，证明：数列a ，b ，c 为Ω数列；（3）设M 是集合{|063}x N x ∈≤≤的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．【答案】（1）①数列1，4，5，8是Ω数列；②数列2，4，8，16是Ω数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案；（2）分当b a c b -=-，b a c b -<-和b a c b ->-三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解；（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，先考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，得到存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ，再考虑集合,{164,1641,k j M k j k j =+++1642,1643}k j k j ++++，得到存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ，进而证得集合M 中至多有27个元素，即可得到结论.【详解】（1）由数列的新定义，可得数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列．（2）①当b a c b -=-时，令1b a =，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤，所以数列a ，b ，c 为Ω数列．②当b a c b -<-时，令12b b c =-，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．③当b a c b ->-时，令1b a =，22a c b +=，3b c =，432c a b -=，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．综上，若a b c <<，数列a ，b ，c 为Ω数列．（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，0k =，1，2，3．因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，所以存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ．对于其余的k ，再考虑集合,{164,1641,1642,1643}k j M k j k j k j k j =+++++++，0j =，1，2，3．因为164k j +，1644k j ++，1648k j ++，16412k j ++，16416k j ++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ．因为,k j M 中4个数成等差数列，所以每个,k j M 中至少有一个元素不属于M ．所以集合{|063}x x ∈N ≤≤中至少有16431937+⨯+⨯=个元素不属于集合M ．所以集合M 中至多有643727-=个元素，这与M 中至少有28个元素矛盾．所以假设不成立．所以M 中的元素必能构成长为4的Ω数列．【点睛】1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。
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河北定州中学2016—2017学年度高三上学期数学期中考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i -2. 已知向量与的夹角为o6052==，则-2在方向上的投影为（ ） A ．32 B ．2 C ．52D ．3 3. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ． 12日B ．16日C ． 8日D ．9日 4. 已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ． 4 B ．16 C ． 9 D ．35. 动点(),P x y 满足1253y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，点Q 为()1,1,O -为原点，OQ OP ⋅=，则λ的最大值是（ ）A ． 1-B ．1C ．2 D6. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．10 B ．10 C．6+．67. 已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ） A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到8. ABC ∆中，若)sin sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+9. 已知数列{}n a 满足()111,2n n n a a a n N a *+==∈+，若))(11()2(1*+∈+⋅-=N n a n b n n λ，λ-=1b ，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ． 23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 10. 如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若BD AM AC μλ+=，则λμ+= （ ） A ． 43 B ．53 C ．158D ．211. 已知函数()3212f x ax x =+在1x =-处取得极大值，记()()1'g x f x =,程序框图如图所示，若输出的结果20142015S >，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是（ ）A ． 2014n ≤？B ．2015n ≤？C ．2014n >？D ．2015n >？12. 已知{}n a 满足()211112311,,44...44nn n n n n a a a n N S a a a a *-+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,m n N *∈都有：n m n m a a a nm +=++，则100a = ． 14. 在ABC ∆中，AC AB A 41,21,21,4,2,2======∠π，则⋅的值为 ．15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos 23C =，且c o s c o s 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．16. 已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos 2cos C b A =. （1）求角A 的大小; （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()211,22n n a S na n n n N *==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式; （2）是否存在自然数n ,使得321...2112423n n S S S S n+++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说明理由; （3）设()()()1232,..7n n n n c n N T c c c cn N n a **=∈=++++∈+,若不等式()32nmTm Z >∈,对n N *∈恒成立, 求m 的最大值.19.（本小题满分12分）如图, 以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴交于点A ,点,B P 在单位圆上, 且α=∠-AOB B ),552,55(. （1）求4cos 3sin 5cos 3sin αααα-+的值;（2）若四边形OAQP 是平行四边形.①当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程; ②设()02POA θθπ∠=≤≤,点(),Q m n ,且()f m θ=,求关于θ的函数()f θ的解析式, 并求其单调增区间.20.（本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈. （1）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围;（2）已知()()()()()2111,2g x x m x m h x f x g x x =+-+≤=+,当1a =时, ()h x 有 两个极值点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值.21.（本小题满分12分）在单调递增数列{}n a 中, 122,4a a ==,且21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列，1,2,3,...n =. （1）①求证：数列为等差数列;②求数列{}n a 通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,证明:()4,33nn S n N n *>∈+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==φφsin cos b y a x （φ,0>>b a 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C上的点(M 对应的参数,34ππϕθ==与曲线2C交于点4D π⎫⎪⎭. （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求221211ρρ+的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()2122f x x x x =-++++. （1）求证:()5f x ≥;（2）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 求实数a 的取值范围.河北定州中学2016-2017学年度高三上学期 期中数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.DADBD DCB 11-12.BB 二、填空题（每小题5分，共20分）13.5050 14.14- 16.20,2e ⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得，cos 2sin cos cos A C B A C A =,从而可得()2sin cos 2sin cos A C B A B B A +==,又B 为三角形的内角, 所以sin 0B ≠,于是cos A =又A 为三角形的内角, 因此6A π=.（2）255cos 2sin sin cos 1sin cos 1226C B B C B B ππ⎛⎫⎛⎫--=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭553sin coscos sin sin 1sin 116626B B B B B B πππ⎛⎫=++-=-=-- ⎪⎝⎭,由6A π=可知,520,,,6663B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,从而1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,因此21162B π⎛⎤⎛⎫--∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围为1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 18. 解：（1）由()222n n S na n n n N *=-+∈,得()()()()211121212n n S n a n n n --=---+-≥,相减得()()()()()111144114142n n n n n n n a na n a n n a n a n a a n ---=---+⇒---=-⇒-=≥.故数列{}n a 是以1为首项，以4为公差的等差数列。
)(344)1(1*∈-=⨯-+=∴N n n n a n)(22)(21*∈-=+=N n n n a a n S n n（2）由（1）知)(12*∈-=N n n nS n()()2321121...2135 (21222232)n nn n n n n S S S S n n n +-⎡⎤⎣⎦∴+++++=++++-+=+=+,由 221124n n +=,得10n =,即存在满足条件的自然数10n =.（3）()()12321111111111,...1...7212122231n n n n c T c c c c n a n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1112121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭,()()()()11110,2121221n n n n n n T T T T n n n n +++-=-=>∴<++++ ,即n T 单调递增, 故()1min 14n T T ==要使32n m T >恒成立, 只需1324m <成立, 即()8m m Z <∈. 故符合条件m 的最大值为7 .19. 解：（1）由三角函数定义得tan 2α=-,所以4cos 3sin 43tan 10105cos 3sin 53tan 1αααααα--===-++-.（2） 四边形OAQP 是平行四边形, 所以PA 与OQ 互相平分.①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+=⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y =-⎧⎛⎫∴⎨⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=.②依题意得11cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,又由①知111cos 1,sin x m m y nn θθ=-=+⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩,()cos 12sin 16f πθθθθ⎛⎫∴=++=++ ⎪⎝⎭, 22,,0262302k k k Zππππθππθθπ⎧-≤+≤+∈⎪∴≤≤⎨⎪≤≤⎩ 或()42,3f πθπθ≤≤∴的增区间为 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20. 解：（1）由已知可得()'0f x ≥在[]1,+∞上恒成立,()222211'1,10a x ax f x x ax x x x ++=++=∴++≥ 恒成立,21x a x--∴≥, 记()2112x x x x x ϕ--⎛⎫==-+≤- ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,2a ∴≥-.（2）()21ln 2h x a x x mx =++，当1a =时，由()()22111ln ,'2x mx h x x x mx h x x m x x++=++=++=，由已知210x mx ++=有两互异实根12,x x ，由根与系数的关系得1212,,1x x m x x +=-=，()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. 令()()2222112121229,0,1,22x t t x x x x x x m x =∴∈+=++-≥ ,2222121212122155151,,,0,2222x x x x x x t t x x x x t +⎛⎫∴+≥∴=+≥+≥∴∈ ⎪⎝⎭,()()()()()2122111ln ,'222t h x h x t t t t tϕϕ-⎛⎫∴-=--=∴=- ⎪⎝⎭,()t ϕ∴单调递减,()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==-⎪⎝⎭. 21. 解：（1）①因为数列{}n a 单调递增数列,()120,0n a a n N *=>∴>∈, 由题意 21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列1,2,3,...n =得. 222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=,于是22n a =化简得=所以数列为等差数列.②又233214226,9a a a a a a =-===,所以数列2=,公差为1,1d n ===+,从而()221n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134n n n a ++=. （2）求数列{}n a 通项公式为:()()()()()()2121327111111,11,242448nn n n n n n a n n +++++-⎡⎤⎡⎤=+-++-=++⎣⎦⎣⎦, 因为()()()22711111234844nn a n n n n n n +-=++≤++<++,所以()()14112323n a n n n n ⎛⎫>=- ⎪++++⎝⎭, 则有123111*********...4...34451223n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++>-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 22. 解：（1）将(m 及时对应的参数,,34ππϕθ==, 代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos 43,2sin 3a a b b ππ⎧=⎪=⎧⎪∴⎨=⎩=, 所以1C 的方程为221164x y +=,设圆2C 的半径R ,则圆2C 的方程为2cos R ρθ=(或()222x R y R -+=),将点4D π⎫⎪⎭代入得:1,R ∴=∴ 圆2C 的方程为:2cos ρθ=( 或()2211x y -+=).（2）设曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=,将()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=,222222cos sin 221164ππρθρθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,所以11 2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 23. 解：（1）()()43,25,21,27,1243,2x x x f x f x x x x x --≤-⎧⎪-<≤-⎪=∴⎨+-<≤⎪⎪+>⎩ 的最小值为()5,5f x ∴≥. （2）由（1）知:()152f x - 的最大值等于5,()222299111511a a a a +=++-≥=++ ,“=” 成立,()22911a a ⇔+=+, 即a=当a =,2291a a ++取得最小值5,当a ≠时,22951a a +>+, 又因为对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 所以a ≠a ∴的取值范围a ≠所以实数a 的取值范围是),2()2,2()2,(+∞⋃-⋃--∞.。