数学建模嫦娥三号运行轨迹及着陆点分析

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要：根据题目附录和文献[4]中提供的嫦娥三号的运行参数，利用角动量守恒及向量几何的方法，分别确定了近日点、远日点的位置向量和速度向量。与文献[4]的真实数据比较发现吻合良好。

本文重点关注优化减速控制与着陆点避障两方面：前者燃耗最大，后者决定着陆成败。

首先，在多重坐标变换基础上，建立了飞行器制动的动力学方程。并以燃耗为最优化性能指标、近月点状态为初始条件、着陆点状态为终端条件，利用极值原理求解飞行器的着陆轨迹，及其最优控制参数。

其次，对避障阶段采集的高程图采取水平剖分、比较高程方差的方法，解出最优降落点。

关键词：软着陆；最优轨道；避障

1、问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道，于北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，安装在其下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。嫦娥三号四周安装了姿态调整的发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，为了保证嫦娥三号能准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键的问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求如下：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：

（1）计算其着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于设计的着陆轨道和控制策略进行相应的误差分析和敏感性分析。

2、问题分析

2.1技术背景

月球软着陆的方式有两种，分别是：1）从月球转移轨道直至月球轨道，从而实现软着陆；2）从月球的停泊轨道变轨到近月点，然后实现软着陆。[2]

嫦娥三号要求准确的在月球预定区域内实现软着陆，它降落的过程为如下几个阶段：嫦娥三号先进行霍曼变轨，由高度约100km的停泊轨道进入到近月点高度约15km的椭圆轨道；到达近月点时，探测器的制动发动机点火，进入动力下降阶段，即上图中的DA段；在距离月面约2km时，水平速度减为0，即上图中的AF段，调整姿态后，探测器以自由落体的方式降落到月面，即上图中的FL段。

2.2着陆过程的主要考虑因素

着陆期间主要考虑两大因素：

一、主减速段是用时最长、推进剂消耗最多，因此最小化推进剂消耗是该段制导律的主要设计目标。

二、避障阶段决定飞行器能否顺利着陆，因此统计分析高程数据并采取相应横向推力最关重要。

2.3力学分析

嫦娥三号受力分析图

x

z

y

月球

嫦娥三号

F 推

F 引

O

如上图示，以月心为坐标原点，月球自传轴为OZ 轴，OX 轴过零经度线，利用右手准则确定OY 轴，建立空间直角坐标系。嫦娥三号探测器绕月运动中，受到指向月心的引力，以及相背于速度方向的由发动机产生的推力

两

个力同时作用。

引力是在月心坐标下考虑。

其参数为： ● 为万有引力常量且 ● 为月球的质量， kg 。

● 为航天器的质量

●

是航天器质心的坐标，

发动机推力是在飞行器轨道坐标系下考虑的：

●为发动机的冲力，是由发动机构造、性质、燃料共同决定。飞行过程中是

不变的。

●为探测器中燃烧燃料的质量，

●是秒耗量。表示飞行器燃料每秒燃烧消耗的质量。

●是推力方向，由飞行器的飞行姿态决定。

●因此运动的加速度为：

2.4坐标系

2.4.1直角坐标系的旋转

我们假设月球是一个不旋球体，不考虑侧向运动，我们建立的月球探测器的数学模型，利用燃耗最优原则，依据庞特里亚金最大值原理设计了最优轨道。首先，我们建立了以为原点的月心惯性坐标系，OX轴是月球的0经度线；OZ是月球的自转方向；OY是根据右手坐标来确立的。

要在月心惯性坐标下计算推力，需进行坐标旋转变换。

根据欧拉姿态角的变化过程，经过两次有顺序的坐标轴旋转，得到两个矩阵：

先将轨道坐标沿方向旋转角度，旋转变换的矩阵为：

再将之沿绕方向旋转角度，旋转变换的矩阵为：

因此得到总的旋转矩阵：

为原点在探测器的轨道坐标系,指向从月心到着陆器的延伸线方向，垂直指向运动方向,按右手坐标系确定。制动发动机推力的方向与探测器纵轴重合，为与轴正向所成夹角，为在平面上的投影与轴负向所成夹角。

在月心惯性坐标中，推力为：

●是推力方向，如上图所示。

●是以月心指向飞行器质心的向量。

●推力方向与的夹角。

●是推力在投影于的夹角。

和随飞行器飞行状态而变，那么：

同理，在月心惯性坐标下，总的加速度为：

2.4.2直角坐标系与经纬坐标系的变换

近月点速度方向分析图

0度经线

月心

近月点

着陆点

V

y

x

Z

O

L

N

如上图所示，以月心为坐标原点，月球自转轴为竖轴建立空间直角坐标系OXYZ ，假设近月点的空间直角坐标为

，用和分别表示近月点位置的

经度和纬度，可由以下经纬度转换成为直角坐标系坐标的公式：

3.模型假设

1) 不考虑月球的自转。因为飞行器的速度相比月球自转的速度快、着陆时间快

得多。

2) 不考虑除月球以外其他天体引力对飞行器的扰动。

3) 不考虑着陆区域附近因地形不同而造成的质量不同，进而影响引力场。即假

设引力场在同样高度是均匀的。

4) 假设月球引力场是从月心点发出的，引力指向月心点。 5) 假设飞行器燃料足够使用。

4、符号及字母描述