数学建模嫦娥三号运行轨迹及着陆点分析

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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题论文答辩

70.9 48.8 29.9 91.3 2.588 1.056 2.498
75.7 37.4 33.3 90.8 1.838 1.168 1.702
总计
1.347 2.437 2.984 3.784 2.763
求解参数N与P的关系为
N (P 3) 3
P值太大，反而会影响计算效率，因此，取
P 30 为宜。
rpGM 1.6139 103 m / s ra a
沿运动轨迹切线方向
第2页，共15页。
1.问题一：着陆准备轨道近月点和远月点的位置
加速度为：
d 2Z dt 2
e i
d 2r dt 2
r d
dt
2
i
r
d 2
dt 2
2 dr dt
d
dt
对嫦娥三号进行受力分析，由牛顿第二定律得：
mMG ei
2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛
A题：嫦娥三号软着陆轨道设计
与控制策略
第1页，共15页。
1. 问题一：嫦娥三号速度的大小和方向
vp
(1 e )
(1 e )a
(1 e )
va (1 e )a
联立上式可得近月点（近拱点），远月点（远拱点）的速度：
vp
va
raGM 1.6922 103 m / s rp a
当 rp 1752.013 103 m 时，解得 cos ，则-1 ； 180
当 ra 1837.013 103 m 时，解得 cos，则1 。 0
则在近月点的位置是（180，1752.013 103 )
远月点的位置是（0，1837.013 103 )
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嫦娥三号资料

嫦娥(chánɡ é)三号月球车即嫦娥三号。

嫦娥(chánɡ é)三号将是中国发射的第一个地外软着陆探测器和巡视器(月球车)，也是月球24号完毕后重返月球的第一个软着陆探测器,是探月工程二期〔落〕的关键任务，起承上启下的作用。

叶培建介绍，嫦娥三号探测器将打破月球软着陆、月面巡视勘察、月面生存、深空探测通信与遥控操作、运载火箭(yùnzài huǒjiàn)直接进入地月转移轨道等关键技术。

嫦娥三号卫星是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器，嫦娥三号由着陆器和巡视探测器〔即“玉兔号〞月球车〕组成，进展首次月球软着陆和自动巡视勘察，获取月球内部的物质(wùzhì)成分并进展分析，将一期工程的“外表探测〞引申至内部探测。

嫦娥三号其中着陆器定点守候(shǒuhòu)，月球车在月球外表巡游90天，范围可到达5平方公里，并抓取月壤在车内进展分析，得到的数据将直接传回地球。

2022年8月28日，中国国家国防科技工业局对外宣布，探月工程重大专项指导小组当天召开第十一次会议暨嫦娥三号任务进场发动会，审议批准了嫦娥三号任务由研制建立阶段转入发射施行阶段。

嫦娥三号探测器将于今年年底在西昌卫星发射中心择机发射。

据中央电视台报道，经发射场区指挥部决定，“嫦娥三号〞探测器将于12月2日1时30分，在西昌卫星发射中心发射。

“嫦娥三号〞将携“玉兔号〞月球车首次实现月球软着落和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。

2022年9月11日嫦娥三号乘飞机转运，于12日10时抵西昌发射场。

嫦娥三号将于12月2日1时30分由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射。

它将携带中国的第一艘月球车，并实现中国首次月面软着陆。

2022年11月26日月球车正式命名为玉兔号。

发射火箭“嫦娥三号〞探月卫星将使用长征三号乙增强型运载火箭发射。

嫦娥三号

号探测器将首次获现月夜生存。这将是我国探月‘三步走’战略中极为关键的一步，她的表现值得我们期待。
中国的玉兔号月球车是无人驾驶月球车，质量约140kg，与苏联的月球车相比是“小个子”。玉兔号搭载有测月雷达、全景相机、红外成像光谱仪和粒子激发X射线谱仪等先进设备。
。中国探月工程经过10
年的酝酿，最终确定中国的探月工程分为
“绕”、“ 落”、
“回”3个阶段
嫦娥工程的一期工程——绕月飞行第一步为“绕”，即发射中国第一颗月球探测卫星，突破至地外天体的飞行技术，实现首次绕月飞行。嫦娥工程一期工程目标有5项：研制和发射中国第一颗月球探测卫星、初步掌握绕月探测基本技术、首次开展月球科学探测、初步构建月球探测航天工程系统、为月球探测后续工程积累经验。嫦娥工程一期工程科学目标有 4个：获取月球表面三维影像、分析月球表面有用元素含量和物质类型的分布特点、探测月壤特性、探测地月空间环境。目前一期工程的目标已经全部
嫦娥三号任务的具体特点
嫦娥三号任务的具体特点可总结为以下几方面： •选择与以往不同区域着陆； •月面软着陆就位探测与月球车巡视勘察二者同时进行并有机结合，将获得比以前更有意义的探测成果； •在国际上首次利用测月雷达实测月壤厚度（1～30米）和月壳岩石结构 (1～3千米)；
嫦娥三号的难题
各国登月情況
• 1969年7月20日，美国宇航员奥尔德林（如图）和阿姆斯特朗（头盔中影像）乘 “阿波罗”11号飞船首次登上月球。
“嫦娥奔月”是中
国家喻户晓的神话
故事。2004年，中
国正式开展月球探
测工程，并命名为 “嫦娥工程”。
嫦娥”这个美丽的名字，一直以来都寄托着人们对月亮的无限向往，因此“嫦娥奔月”的神话在民间流传了几千年。如今，登九天揽月将不再只是传说

嫦娥三号软着陆过程(数模竞赛附件2)

附件2：嫦娥三号软着陆过程的六个阶段及其状态要求1. 嫦娥三号软着陆过程示意图附图4嫦娥三号软着陆过程示意图2.嫦娥三号软着陆过程分为6个阶段的要求（1）着陆准备轨道：着陆准备轨道的近月点是15KM，远月点是100KM。

近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置。

（2）主减速段：主减速段的区间是距离月面15km到3km。

该阶段的主要是减速，实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。

（3）快速调整段：快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面3km到 2.4km处将水平速度减为0m/s，即使主减速发动机的推力竖直向下，之后进入粗避障阶段。

（4）粗避障段：粗避障段的范围是距离月面2.4km到100m区间，其主要是要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。

嫦娥三号在距离月面2.4km处对正下方月面2300×2300m的范围进行拍照，获得数字高程如附图5所示（相关数据文件见附件3），并嫦娥三号在月面的垂直投影位于预定着陆区域的中心位置。

附图5：距月面2400m处的数字高程图该高程图的水平分辨率是1m/像素，其数值的单位是1m。

例如数字高程图中第1行第1列的数值是102，则表示着陆区域最左上角的高程是102米。

（5）精避障段：精细避障段的区间是距离月面100m到30m。

要求嫦娥三号悬停在距离月面100m 处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。

分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点上方30m处水平方向速度为0m/s。

附图6是在距离月面100m处悬停拍摄到的数字高程图（相关数据文件见附件4）。

附图6：距离月面100m处的数字高程图该数字高程的水平分辨率为0.1m/像素，高度数值的单位是0.1m。

（6）缓速下降阶段：缓速下降阶段的区间是距离月面30m到4m。

该阶段的主要任务控制着陆器在距离月面4m处的速度为0m/s（合速度），即实现在距离月面4m处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦娥三号自由落体到精确有落月点。

数学建模A题经验分享

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8
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6
3.主减速阶段的微分方程组建立了相关参量之间的函数关系，通过解出的结果结合后面阶段的轨道方程可以较为方便地确定变量敏感度的影响曲线，从而确定出对计算结果影响最大的相关变虑适当的简化忽略次要因素：月球自转、地球引力、月球曲率的影响做出合理的假设对于简化计算很有帮助多方位查找资料 matlab等软件辅助分析团队合作、合理分工很重要
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4
第三问
逐个单独考虑之前分析过程中忽略的次要因素，分析对所得优化结果的影响；对主要因素进行适当增减，分析其对结果影响的敏感度
由于之前的讨论中用了很多的近似与简化过程，使得得出的结论难免会与现实状况产生偏差，原有模型基础上再考虑一个之前忽略的变量，如：月球自转对卫星的影响，推力偏差对着陆器的影响，比冲偏差对着陆器的影响，，将其带入模型之中重新计算并与原来的结果比较、分析；敏感性分析，保证其余的变量值不变，单独改变所讨论的这个变量的值，可以得到一系列结果，对结果变化影响最大的变量就是最敏感的。
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2
第二问：
分段对飞船各个减速阶段分别建立微分方程模型、方差分析模型通过题目限制条件进行求解与优化。
主减速阶段与快速调整阶段
依据第一问得出的着陆准备轨道方程，对于登月器主减速段，本文以此为依据建立出减速段登月器运行的抛物线模型，通过发动机沿着登月器运动方向反向喷射及与运动方向或呈一定的夹角等形式分别建立卫星在已有抛物线上减速的力学微分方程模型，并通过该模型，利用发动机最大功率、耗油量最低、运动轨迹起始点等的限制因素对微分方程进行求解并对该阶段进行优化，得出飞行器控制的最优解。对于登月器的快速调整阶段，通过近似计算可以将问题简化为水平方向急剧减少，而运动轨迹接近竖直的运动模型。

2014-高教社杯全国大学生数学建模竞赛AB题评阅要点

2021 高教社杯全国大学生数学建模比赛A 题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。

对本问题应该给出合理的建模假定, 譬如: 惯性坐标、二体问题等, 并加以分析说明。

问题1: 在已知的条件下, 确定嫦娥三号在环月轨道上近月点与远月点的相对位置和速度（1) 建立合理适用的坐标系。

（2) 对嫦娥三号进行受力分析, 建立其运动学和准备轨道的数学模型（譬如: 微分方程等模型) 。

（3) 通过求解数学模型得. 到数值结果。

问题2: 确定软着陆轨道与6 阶段的控制策略由问题对着陆轨道 6 个阶段的要求, 每个阶段都应给出起止状态（速度和位置) 和最优控制策略（推力大小和方向) , 以满足各阶段起止状态的需求。

（1) 建立各阶段的最优控制模型, 明确给出控制变量、状态变量、状态方程、约束条件和目标函数。

（2) 在粗避障和精细避障阶段挑选落点时, 需要综合考虑月面的平整度、光照条件、着陆控制误差等因素, 确定最理想的着陆地点。

（3) 各阶段的控制问题是一个无穷维的优化问题, 可以通过合理的简化（譬如离散化为有限维的优化问题) 求解得. 到合理的数值结果, 即最优的控制策略。

（4) 若未按题目要求按6 阶段设计最优控制策略, 而照抄某些文献的两阶段或三阶段的处理方法, 不能视为较好的论文。

问题3: 着陆轨道设计和控制策略的误差分析与敏感度分析对问题的稳定性有影响的误差包括:（1) 着陆准备轨道参数（近月点位置和速度) 的误差；（2) 分阶段分析发动机推力（大小和方向) 的控制误差；（3) 模型的简化假定、模型的近似与求解过程等综合分析误差；加入能针对以上几个因素对问题结果的影响及程度做相应的敏感度分析, 应给予肯定。

2021高教社杯全国大学生数学建模比赛B题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。

本题主要考查学生对直纹面的描述、建模和计算功底。

2014年数学建模A题-省一等奖

关键词：软着陆、SQP算法、轨道优化、景象匹配
1
一
1.1 问题的背景
问题重述
中国是继美国、前苏联之后的第三个能使卫星登上月球实现软着陆的国家。因此，嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注的焦点。北京时间 12 月 10 日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一次轨道调整。在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在这条近月点高度约 15 公里、远月点高度约 100 公里的椭圆轨道上继续飞行。嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落月”地点的选择仍存在一定难度。但嫦娥三号的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为 -2641m。在大约距离月球 15 公里时，反推发动机就要点火工作；到离月球 100 米时，卫星将暂时处于悬停状态，此时它已不受地球上工程人员的控制，因卫星上携带的着陆器具有很高智能，它会自动选择一块平整的地方降下去，并在离月球表面 4 米的时候关闭推进器，卫星呈自由落体降落，确保软着陆成功。为了确保探测器能够成功在月球表面实现软着陆，需要认真设计降落过程中探测器的发动机的控制方案，使“嫦娥 3 号” 能够顺利完成科研任务，得到最大化的应用。由于月球上没有大气，嫦娥三号无法依靠降落伞着陆，只能靠变推力发动机，才能完成中途修正、近月制动、动力下降、悬停段等软着陆任务。这将是中国航天器首次在地外天体的软着陆和巡视勘探，同时也是 1976 年后人类探测器首次的落月探测。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生 1500N 到 7500N 的可调节推力。在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。 1.2 提出问题根据上述的叙述以及基本要求，提出以下三个问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

数学建模获奖论文A题-嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要随着人类的进步和科技的发展，人类对太空和月球的探索已经取得了很大的进步。

我国的探月工程项目也一直走在世界前列。

嫦娥三号是我国首次实行外天体软着陆任务的飞行器，在世界上首先实现了地外天体软着陆自主避障。

对于嫦娥三号软着陆过程虽然有很多的研究成果，但这仍然是一个永远值得我们研究的问题。

本文首先分析了嫦娥三号运行轨道的近月点和远月点的速度，然后确定了近月点和远月点的位置。

在这基础上，对嫦娥三号软着陆轨道进行拟合确定，通过制导技术分析六个阶段最优控制策略。

最后，对确定的轨道和最优控制策略进行误差分析和敏感性分析。

在对问题一近月点和远月点位置确定和速度分析时，本文建立了动力学模型，通过万有引力定律求得在近月点的飞行速度为1.67km/s，在远月点的速度为1.63km/s，然后用微元迭代的方法，解得近月点的位置19.51W,32.67N,15km，远月点的位置160.49E,32.67S，100km。

在轨道的确定过程中，为了便于研究，将嫦娥三号软着陆的轨道划分为三个阶段。

第一个阶段是从近月点到距月球表面2400米的高空，在这一阶段的研究中，本文建立了基于软着陆二维动力学模型，然后根据所得到的数据确定轨道，进而用MATLAB拟合出轨道。

第二阶段是从距月球表面2400米到4米，考虑到要避开月球表面障碍物，所以，用MATLAB将附件 3中的图像进行平面和三维作图，从而根据所做出的图像确定出此阶段的运行轨道。

在第三阶段的划分是嫦娥三号从4米处开始做自由落体运动，这个阶段的轨迹是一条直线。

在六个阶段运动过程的最优控制策略研究中，首先运用显示制导法进行六个阶段燃料的最优控制，约束条件是嫦娥三号在每个阶段燃料的使用尽量少。

然后用模拟退火遗传算法对六个阶段的轨道最优化进行设计，得出嫦娥三号着陆过程每个阶段最优轨道控制，通过避障制导技术得出嫦娥三号软着陆六个阶段的最优控制策略。

关键词：二维动力学模型最优控制策略显示制导法一. 问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。

数学建模讲座心得体会

数学建模讲座心得体会【篇一：数学建模个人认识和心得体会】数学建模的体会思考经过这段时间的学习，了解了更多的关于这门学科的知识，可以说是见识了很多很多，作为一个数学系的学生，一直都有一个疑问，数学的应用在那里。

对了，就在这里，在这里，我看到了很多，也学到了很多，关于各个学科，各个领域，都少不了数学，都是用建模的思想，来解决实际问题，很神奇。

数学建模给了我很多的感触：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。

它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。

它还让我了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。

数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。

通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。

其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。

例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案??这些问题和建模都有着很大的联系。

而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。

这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。

数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。

嫦娥三号月球探测器资料

嫦娥三号⽉球探测器资料嫦娥三号⽉球探测器资料嫦娥三号⽉球探测器资料北京时间２０１３年１２⽉２⽇１时３０分，我国在西昌卫星发射中⼼⽤“长征三号⼄”运载⽕箭，成功将“嫦娥三号”探测器发射升空。

嫦娥三号⽉球探测器由着陆器和巡视器共同组成。

与嫦娥⼀号、⼆号不同，嫦娥三号不再称为卫星，⽽是称作“探测器”，包括着陆器和⽉⾯巡视器。

２０１３年１１⽉２６⽇嫦娥三号⽉球车得名“⽟兔”在我国⾸辆⽉球车全球征名活动中，近６５万⽹民投票“⽟兔”号。

嫦娥三号⽉球探测器总重近３．８吨。

在⽉球表⾯软着陆后，“⽟兔”号将驶离着陆器进⾏为期约３个⽉的科学探测，着陆器则在着陆地点进⾏就位探测。

按照计划，将于１２⽉中旬择机在⽉球虹湾地区实现软着陆，开展⽉表形貌与地质构造调查、⽉表物质成分和可利⽤资源调查、地球等离⼦体层探测和⽉基光学天⽂观测等科学探测任务。

２０１７前后将开展探⽉⼯程第三期任务，主要是实现⽉球表⾯软着陆并采样返回。

“⼈类探⽉⼀般遵循“探”“登”“驻”三⼤步。

中国探⽉⼯程将第⼀⼤步“探⽉”细分为三期——即“绕”“落”“回”三⼩步。

绕⽉探测⼯程，由嫦娥⼀号卫星承担。

“绕⽉”任务圆满完成后，进⼊探⽉⼯程⼆期“落⽉”阶段，“落⽉”主任务由嫦娥三号承担。

嫦娥⼆号由嫦娥⼀号“备份星”转为嫦娥三号“先导星”。

嫦娥三号是中国⾸个在地球以外天体实施软着陆的航天器，将实现探⽉⼯程⼆期“落”的⼯程⽬标。

与嫦娥⼀号、⼆号相⽐，嫦娥三号探测器的技术跨度⼤、设计约束多，结构也更为复杂，主要包括着陆器和巡视器两⼤部分，其中巡视器，俗称⽉球车，由９个分系统组成；⽽着陆器是为了实现⽉⾯软着陆专门量⾝定做的新型航天平台，具有１１个分系统。

嫦娥三号探测器由运载⽕箭发射升空后，经发射段、地⽉转移段、环⽉段和动⼒下降段等过程，飞⾏⼤约１４天的时间，将以软着陆的⽅式降落在⽉球虹湾地区；之后，着陆器释放巡视器；两器分离后，各⾃独⽴开展⽉⾯探测⼯作。

与以往航天器相⽐，嫦娥三号最⼤的特点就是⾸次在地球以外天体执⾏软着陆及⽉⾯巡视勘察任务，创造了中国航天史上的⼜⼀第⼀。

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略引言嫦娥三号（Chang'e-3）是中国国家航天局（CNSA）于2013年发射的探月任务。

作为中国首个实现月面软着陆的任务，嫦娥三号的轨道设计与控制策略至关重要。

本文将探讨嫦娥三号的软着陆轨道设计以及相应的控制策略。

一、轨道设计1.1 软着陆的定义软着陆是指在着陆过程中，飞船的速度和加速度较小，从而减小着陆冲击力，降低着陆事故的风险。

嫦娥三号软着陆的主要目标是保证飞船及上面搭载的月球车的安全着陆。

1.2 轨道选择嫦娥三号选择了椭圆轨道进行软着陆。

这是因为椭圆轨道在进入月球表面前可以实现速度和加速度的逐渐减小，从而使得软着陆更加稳定和可控。

1.3 轨道参数设计在确定椭圆轨道之后，嫦娥三号需要确定相应的轨道参数。

这些参数包括轨道离心率、轨道倾角和轨道高度等。

通过科学计算和仿真分析，嫦娥三号确定了具体的轨道参数，以便使得软着陆能够满足任务要求。

二、控制策略2.1 控制模式嫦娥三号软着陆的控制策略采取了主动控制模式。

这意味着在着陆过程中，飞船将根据实时数据进行主动调整，以保证软着陆的稳定和安全。

2.2 触发条件在软着陆的控制策略中，触发条件是十分重要的。

嫦娥三号采取了多个触发条件，包括高度、速度和倾斜度等。

当这些条件满足一定的阈值时，控制系统将自动开始软着陆程序。

2.3 控制手段嫦娥三号软着陆采用了多种控制手段，以确保着陆过程的精确控制。

其中包括推力控制、姿态控制和舵控制等。

这些控制手段能够对飞船的速度、姿态和角度进行实时调整，以实现软着陆的最佳效果。

2.4 控制算法为了实现软着陆的精确控制，嫦娥三号采用了高级的控制算法。

这些算法包括PID控制、模糊控制和神经网络控制等。

通过这些算法，嫦娥三号能够根据实时数据进行精确的控制，并及时作出调整，以确保软着陆的成功。

结论嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略在实现月面软着陆任务中起到了重要的作用。

通过适当的轨道设计和精确的控制策略，嫦娥三号成功实现了月球表面的软着陆，并为未来的探月任务提供了宝贵的经验。

数学建模优秀论文嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

公式：DV=C*g*LN(m0/m1)
V0 为比冲（单位 s），g 为地球重力加速度消耗燃料=m1-m0
F*t=C*g*消耗燃料联立这些方程，
Fthrusts
(m
300 0.003tdt )g '
0
1 2
mv
2 2
1 (m 2
m
0
)v
2 3
③
比冲或比冲量是对一个推进系统的燃烧效率的描述。比冲的定义为：火箭发动机单
对于问题一，根据预定的着陆区域，采用倒推、受力分析等物理方法求得嫦娥三好在着陆准备轨道的位置与速度的大小和方向，近月点经纬度为（14.43E,27.14N），近月点速度是 1.677 公里每秒，近月点方向为 arccos0.96 ；远月点速度是 1.637 公里每秒，远月点方向沿环月轨道切线方向。
对于 s 段的长度我们又可以利用积分方法： x (1 y '2 )dx ② 0
在嫦娥三号运动的过程中，既有动力的转化，又伴随着能量的变化。动能定理即可
拟出。但是，运动过程中需要考虑到动力消耗物质，将导致探测器本身质量减少，根据
新闻，已知动力与物质消耗之间的关系为：
推力与时间：探测器的原始重量为 m 2.4t 7500N，大约持续 355s
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段（见附件 2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
2
避障阶段，300m 到 4m 为减速阶段，此阶段比较好研究，最后一个阶段可以是自由落体运动。

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略——基于全国大学生数学建模竞赛

中图分类号：Ｖ４４８
ＯｒｂｉｔＤｅｓｉｇｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌＳｔｒａｔｅｇｙｏｆＣｈａｎｇ’ ｅ－３ＳｏｆｔＬａｎｄｉｎｇ
ＳＨＩＺｈｅｎｇ．ｈｕａ，ＬＩＵＪｕｎ — ｐｉｎｇ，ＺＨＵＨａｉ．ｂｏ
２０１５年７月
Ｊｕ１．２０１５
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４－８４２５（Ｚ）．２０１５．０７．０１９
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
基于全国大学生数学建模竞赛时正华，刘骏萍，朱海波。
ＨｏｈａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｍｉｎｇ２１００９８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｌａｎｄｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｔｈａｔｔｈｅｓｐａｃｅｃｒａｆｔｓｉｒｆｓｔｄｅｃｅｌｅｒａｔｅｔｈｒｏｕｇｈｓｐｅｃｉａｌｉｚｅｄｇｒａｄｕａｔｉｎｇｄｅ — ｖｉｃｅｓａｎｄｔｈｅｎｓａｔｄｏｗｎｓａｆｅｌｙａｔａｃｅｒｔａｉｎｓｐｅｅｄｉｓｃａｌｌｅｄｓｏｔｆｌａｎｄｉｎｇ．Ｉｔ’ ＳｐａｔｉｒｃｕｌａｒｌｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆＣｈａｎｇ’ ｅ３’ Ｓｌａｎｄｉｎｇｏｎｔｈｅｍｏｏｎ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｍａｉｎｌｙｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅｏｒｂｉｔｄｅ — ｓｉｇｎａｎｄｃｏｎｔｒｏｌｓｔｒａｔｅｇｙｏｆＣｈａｎｇ’ｅ３’ Ｓｓｏｔｆｌａｎｄｉｎｇｗｈｉｃｈｗａｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｆｏｕｒｓｔａｇｅｓ：ｌａｎｄｉｎｇｐｒｅｐａｒａｔｉｏｎｓｔａｇｅ，ｍａｉｎｄｅｃｅｌｅｒａｔｉｏｎｓｔａｇｅ，ｃｏａｒｓｅｏｂｓｔａｃｌｅａｖｏｉｄａｎｃｅｓｔａｇｅａｎｄｒｅｉｎｆｅｄｏｂｓｔａｃｌｅａ — ｖｏｉｄａｎｃｅｓｔａｇｅ．Ｔｈｅｓｔｕｄｙｗａｓｃｏｎｄｕｃｔｅｄｂｙｓｅｔｔｉｎｇｕｐｍｏｄｅｌｓｏｆｔｈｅｓｔａｇｅｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｏｔｆｌａｎｄｉｎｇ；ｍｏｏｎｆａｌｌ；ｔｒａｃｋ；ｒｏｕｇｈａｖｏｉｄａｎｃｅ；ｆｉｎｅａｖｏｉｄａｎｃｅ

2014年全国数学建模大赛A题

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：25001113所属学校（请填写完整的全名）：云南大学参赛队员(打印并签名) ：1. 林博文2. 张竞文3. 方春晖指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李海燕（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略优化摘要嫦娥三号是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器，包括着陆器和玉兔号月球车。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

2014全国大学生数学建模a题

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛a题摘要2013年嫦娥三号成功发射，标志着我国航天事业上的又一个里程碑，针对嫦娥三号软着陆问题，分别建立着陆前轨道准备模型和软着陆轨道模型，建立动力学方程，以燃料最省为目标进行求解。

问题一：在软着陆前准备轨道上利用开普勒定律、能量守恒定律以及卫星轨道的相关知识，利用牛顿迭代法分别确定了近月点和远月点的速度分别为 1.6925km/s、1.6142km/s，位置分别为（19.91W，20.96N），（160.49E,69.31S）。

问题二：在较为复杂的软着陆阶段，因为相对于月球的半径，嫦娥三号到月球的表面的距离太小，如果以月球中心建立坐标系会造成比较大的误差，因此选择在月球表面建立直角坐标系，在主减速阶段的类平抛面上建立相应的动力学模型，求出关键点的状态和并设计出相应的轨道，接下来通过利用灰度值阀值分割方法和螺旋搜索法对粗避障阶段和精避障阶段的地面地形进行相应的分析，找出安全点，然后调整嫦娥三号的方向以便安全降落，最后在落地时通过姿态发动机调整探测器的姿态，使之可以平稳的落到安全点上，在以上的各个阶段都可以以燃料最省为最优指标，从而建立非线性的最优规划的动力学模型，并基于该动力学模型可以对各个阶段的制导率进行优化设计由此就可以得到各个阶段的最优控制策略，问题三：最后针对所设计的轨道和各个阶段的控制策略进行了误差分析和灵敏度分析。

对系统误差和偶然误差都做了解释；通过灵敏度分析发现，嫦娥三号在近月点的位置对结果的影响最大。

关键字牛顿迭代法，灰度值阀值分割，螺旋搜索法，灵敏度分析一、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。

在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型_杜剑平模板

）的模型建立与求解３问题１
３．１确定近月点和远月点的速度由假设２．嫦娥三号从近月点开始下落，且与着陆准备轨道在同一个平面上。又由假设２．３，１和２．２
１］。知，嫦娥三号的着陆准备轨道满足开普勒轨道定律，其着陆准备轨道如图１所示［
远月点至月心的距离为设近月点至月心的距离为ｒＡ，单位时间嫦娥三号扫过的面积为ｒＢ，１１ｒｖＡ，ＳｒｖＢ，ＡＢ＝Ｂ２２
竞赛论坛
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１问题的提出
在高速飞行的情况下，嫦娥三号要保证准确地在月球预定区域实现软着陆，关键问题是着陆轨道与远月点１控制策略的设计。基本要求是：着陆准备轨道为近月点１着陆轨道ｍ，ｍ的椭圆形轨道；５ｋ００ｋ为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为６个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据上述基本要求，要研究以下３个问题：）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置以及嫦娥三号的相应速度；１）确定嫦娥三号的着陆轨道和６个阶段的最优控制策略；２）针对建立的模型，对所设计的着陆轨道与控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。３
６－／，嫦娥三号所受到的最大离心加速度为由于月球自转速度为 ω ＝２．６６１７×１ｒａｄｓ０２２５－（／）。ｋｓ２３９６×１０ α ＝ ωｒ ≈ １．ｇ２５－／即将非惯性坐标系近似为惯性坐标系，的加速度误差，最大可能产生１．远小于月球引ｋｓ０２３９６×１ｇ
的引力加速度为

数学建模竞赛的心得体会

数学建模竞赛的心得体会9月16日早7点37分在我们三个人的注视下，滚烫的论文成功发送到了全国建模组委会邮箱，宣告着三天三夜的数学建模竞赛终于结束，我们终于可以长长的舒一口气了。

第一天，我们拿到题目，A题是嫦娥三号软着陆问题，B题是创意桌子的折叠问题，考虑到B题涉及较复杂和繁多的编程而我们学校的弱势便是编程，我和队长一致同意选A题，而杨彦云偏向于B题，因为对于专业为数学的我们，物理航天知识很欠缺，分析权衡后最终我们决定选A题。

选好题后我们开始仔细读题并查找相关资料，深入读题后才发现涉及的物理航天知识很多，我们的物理知识储备对于这个题来说完全是小学生水平，我们需要大量补充知识，因此，我们去图书馆借了10本左右的相关书籍。

我们把题干简化，分析要解决的问题，并不断翻阅资料，却发现有用的知识点很少。

经过一天大海捞针地找资料，补充知识，我们几乎毫无进展，明显感觉大家都很沮丧，每个人都在暗暗为自己加油打气。

因为是第一天，大家没有过多的紧张，而且也没有思路于是我们调好闹钟，凌晨1点左右就休息了。

第二天凌晨6点我们又打起精神继续奋战，把题目转化成数学问题的形式，简化问题要求，建立初等模型，为了避免一个人考虑不全面且思维有限，我们三个人各自发表自己的解题思路，然后进行综合、补充，但到第二天下午时，我们的若干想法被否定后，我们依然处在原地，而培训时老师强调过到建模第二天第二问要基本做完，开始写作，但我们还是一筹莫展，紧张与恐慌是必然的。

我们决定改变策略，我和杨彦云共同做第一问，吴珍（队长）做第二问。

到晚上2点左右第一小问基本做完，可是第一题的第二小问这个拦路石，任凭我们绞尽脑汁也没有撼动它分毫，我们三个人不得不一起攻克第一问，跌跌撞撞写完第一问，虽然感觉答案并不太令人满意，但由于只剩一天一夜了，我们必须开始做第二问。

吴珍一直负责第二问，杨彦云开始思考第三问，而我开始写作。

第三天，我们的几乎没合眼，到了晚上，第一问论文已经写完，但第二问的复杂程度远远超过了第一问，我们又开始共同完成第二问，毫无进展，主心骨吴珍再次发挥了队长风范，最终是她完成了第二问。

微分方程在航天科技中的应用

微分方程在航天科技中的应用1 问题提出嫦娥三号携带中国第一艘月球车于2021年12月14日成功实现中国首次月球软着陆，要保证其准确在月球预订区域实现软着陆，其轨道与控制策略的设计为关键问题.现思考如何准确设计100 km×15 km的环月着陆准备轨道和从近月点到着陆点的着陆轨道，确定椭圆形着陆准备轨道的近月点与远月点的位置，并分别计算出嫦娥三号在近月点与远月点时的速度大小及其方向？2 问题探讨结合二体问题中的动量矩积分和轨道积分以及机械能守恒定理和角动量守恒定理综合分析，确定嫦娥三号近月点与远月点的位置和计算出其对应的位置大小和方向.对多个因素进行分析，综合考虑了影响事物发展的多个因素，从而提高结果的准确性.3 问题分析与结果通过问题研究探讨，本文以微分方程为基础，对嫦娥三号着陆轨道的近月点与远月点的位置做以下分析：3.1 建立微分方程模型3.1.1 模型的假设基于嫦娥三号卫星符合“开普勒定律”和“牛顿第二定律”，由于其是做平面运动，可在平面内用平面极坐标（r，θ）来表示其运动方程.现以月心为极坐标的圆心，以近月点与远月点所在的直线为横坐标，建立平面极坐标系，如图3.1所示：图3.1 平面极坐标系根据图3.1的极坐标系的建立，假设A点就是嫦娥三号的远月点的位置，B点就是嫦娥三号的近月点的位置.下面，我们建立微分方程模型对上述假设进行验证.3.1.2 模型的引入根据理论力学可知，若将月球看成一个密度均匀分布的正球，则它对卫星的吸引力可等效于一个质点，这样月球与卫星就构成一个二体系统.可在月心惯性坐标系考虑卫星相对月心的运动.卫星位置质量为r（x，y，z），卫星速度矢量为r·x·，y·，z·，卫星加速度矢量，万有引力常量为G，卫星的质量为m，月球的质量为M，根据万有引力定律，卫星受月球引力F→为：3.2 嫦娥三号近月点与远月点的速度求解3.2.1 引入嫦娥三号卫星发射18分钟后就已经离开地球，并进入预定的地月转移轨道.在经历了大约5天的地月转移轨道运行后，经过近月制动进入环月轨道；在100公里环月圆轨道运行约4天后择机变轨，来到远月点变轨进入100公里×15公里的椭圆形着陆准备轨道；再运行大约4天的时间，嫦娥三号到达着陆预定轨道的近日点进行月面的降落.最终于2021年12月14日21时11分18.695秒，嫦娥三号卫星成功实现软着陆.3.2.2 万有引力定理与开普勒定律的应用当嫦娥三号卫星到达远月点与近月点时，不受其他外力的作用，只有重力和系统内弹力做功.即太空这一个系统中，嫦娥三号卫星的动能和势能可以相互转化.即嫦娥三号卫星在远月点与近月点时，机械能守恒.4 结语本文以微分方程为基础，将如何准确设计100 km×15 km的环月着陆准备轨道和从近月点到着陆点的着陆轨道，确定椭圆形着陆准备轨道的近月点与远月点的位置，并针对嫦娥三号在近月点与远月点时的速度大小及其方向的问题做了理性的分析并给出研究结果.通过本文的研究，可知微分方程在航空科技中发挥了相当重要的作用.这一应用的肯定将对航天科技的发展作出更为显著地贡献.。

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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要：根据题目附录和文献[4]中提供的嫦娥三号的运行参数，利用角动量守恒及向量几何的方法，分别确定了近日点、远日点的位置向量和速度向量。

与文献[4]的真实数据比较发现吻合良好。

本文重点关注优化减速控制与着陆点避障两方面：前者燃耗最大，后者决定着陆成败。

首先，在多重坐标变换基础上，建立了飞行器制动的动力学方程。

并以燃耗为最优化性能指标、近月点状态为初始条件、着陆点状态为终端条件，利用极值原理求解飞行器的着陆轨迹，及其最优控制参数。

其次，对避障阶段采集的高程图采取水平剖分、比较高程方差的方法，解出最优降落点。

关键词：软着陆；最优轨道；避障1、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道，于北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，安装在其下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。

嫦娥三号四周安装了姿态调整的发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，为了保证嫦娥三号能准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键的问题是着陆轨道与控制策略的设计。

其着陆轨道设计的基本要求如下：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：（1）计算其着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于设计的着陆轨道和控制策略进行相应的误差分析和敏感性分析。

2、问题分析2.1技术背景月球软着陆的方式有两种，分别是：1）从月球转移轨道直至月球轨道，从而实现软着陆；2）从月球的停泊轨道变轨到近月点，然后实现软着陆。

[2]嫦娥三号要求准确的在月球预定区域内实现软着陆，它降落的过程为如下几个阶段：嫦娥三号先进行霍曼变轨，由高度约100km的停泊轨道进入到近月点高度约15km的椭圆轨道；到达近月点时，探测器的制动发动机点火，进入动力下降阶段，即上图中的DA段；在距离月面约2km时，水平速度减为0，即上图中的AF段，调整姿态后，探测器以自由落体的方式降落到月面，即上图中的FL段。

2.2着陆过程的主要考虑因素着陆期间主要考虑两大因素：一、主减速段是用时最长、推进剂消耗最多，因此最小化推进剂消耗是该段制导律的主要设计目标。

二、避障阶段决定飞行器能否顺利着陆，因此统计分析高程数据并采取相应横向推力最关重要。

2.3力学分析嫦娥三号受力分析图xzy月球嫦娥三号F 推F 引O如上图示，以月心为坐标原点，月球自传轴为OZ 轴，OX 轴过零经度线，利用右手准则确定OY 轴，建立空间直角坐标系。

嫦娥三号探测器绕月运动中，受到指向月心的引力，以及相背于速度方向的由发动机产生的推力两个力同时作用。

引力是在月心坐标下考虑。

其参数为： ● 为万有引力常量且 ● 为月球的质量， kg 。

● 为航天器的质量●是航天器质心的坐标，发动机推力是在飞行器轨道坐标系下考虑的：●为发动机的冲力，是由发动机构造、性质、燃料共同决定。

飞行过程中是不变的。

●为探测器中燃烧燃料的质量，●是秒耗量。

表示飞行器燃料每秒燃烧消耗的质量。

●是推力方向，由飞行器的飞行姿态决定。

●因此运动的加速度为：2.4坐标系2.4.1直角坐标系的旋转我们假设月球是一个不旋球体，不考虑侧向运动，我们建立的月球探测器的数学模型，利用燃耗最优原则，依据庞特里亚金最大值原理设计了最优轨道。

首先，我们建立了以为原点的月心惯性坐标系，OX轴是月球的0经度线；OZ是月球的自转方向；OY是根据右手坐标来确立的。

要在月心惯性坐标下计算推力，需进行坐标旋转变换。

根据欧拉姿态角的变化过程，经过两次有顺序的坐标轴旋转，得到两个矩阵：先将轨道坐标沿方向旋转角度，旋转变换的矩阵为：再将之沿绕方向旋转角度，旋转变换的矩阵为：因此得到总的旋转矩阵：为原点在探测器的轨道坐标系,指向从月心到着陆器的延伸线方向，垂直指向运动方向,按右手坐标系确定。

制动发动机推力的方向与探测器纵轴重合，为与轴正向所成夹角，为在平面上的投影与轴负向所成夹角。

在月心惯性坐标中，推力为：●是推力方向，如上图所示。

●是以月心指向飞行器质心的向量。

●推力方向与的夹角。

●是推力在投影于的夹角。

和随飞行器飞行状态而变，那么：同理，在月心惯性坐标下，总的加速度为：2.4.2直角坐标系与经纬坐标系的变换近月点速度方向分析图0度经线月心近月点着陆点VyxZOLN如上图所示，以月心为坐标原点，月球自转轴为竖轴建立空间直角坐标系OXYZ ，假设近月点的空间直角坐标为，用和分别表示近月点位置的经度和纬度，可由以下经纬度转换成为直角坐标系坐标的公式：3.模型假设1) 不考虑月球的自转。

因为飞行器的速度相比月球自转的速度快、着陆时间快得多。

2) 不考虑除月球以外其他天体引力对飞行器的扰动。

3) 不考虑着陆区域附近因地形不同而造成的质量不同，进而影响引力场。

即假设引力场在同样高度是均匀的。

4) 假设月球引力场是从月心点发出的，引力指向月心点。

5) 假设飞行器燃料足够使用。

4、符号及字母描述M 月球质量（ M=7.349×10^（22）kg）m 航天器质量r 月球的半径（r=1.737013×（10）^6m）G 万有引力常量（G = 6.67×10^(-11)）g 月球引力加速度t运动的时间月球万有引力探测器推进器产生的冲力发动机比冲（Ve=2940m ⁄s=2.94m/s）α轨道坐标沿OZ方向旋转的角度β轨道坐标沿OX方向旋转的角度θφ表示秒耗量近月点位置经度近月点位置纬度相关符号字母说明引推推力方向与的夹角推力在投影于与的夹角5.近月点与远月点参数的确定5.1 近月点的参数根据文献资料数据 [4]，由北京工程研究所和空间智能控制技术国家级重点实验室的研究员们在这篇文献中对嫦娥三号的发射与着陆的设计做出了详细的说明,参与嫦娥三号设计与制造的他们在这篇文献中对嫦娥三号在登月过程中的各个阶段的各项参数都做出了详细而精确的推到与证明，通过这篇文献我们可以得到探测器近月点的位置信息为：经度：19.0464°W 纬度：28.9989°N 高度：15km 俯视姿态角：85°资料中所给的近月点的速度V=1.6957km/s5.1.1计算近月点直角坐标近月点速度方向分析图0度经线月心近月点着陆点VyxZOLN由2.4.2中构建的方程组，设点N 为探测器在近月点处的位置，且该点所处在0度经线的位置上；已知近月点的位置为（19.0464°W ，28.9989°N ），高度为月球半径+15km ，着陆点的位置为（19.51°W ，44.12°N ）可得到近月点的直角坐标：，单位：km5.2 远月点的参数5.2.1用近月点计算远月点位置经度：160.9536°E 纬度：28.9989°S由近月点位置的经纬度投影得到远月点的经纬度经度：19.0464°W 纬度：28.9989°N 高度：15KM+月球半径月球近月点远月点如上图所示，由于近月点、月心、远月点在同一直线上，已知近月点的位置为经度：19.0464°W ，纬度：28.9989°N 。

运用投影的方法可得到远月点的位置，计算方法如下：经度 = 180°- 近月点经度 = 160.9536°W 纬度 = 28.9989°S5.2.2远月点的直角坐标由2.4.2中的方程组结合远月点的经纬度数据可以得到远月点的直角坐标为,单位km5.3飞行器在近月点和远月点的速度 5.3.1推导、计算月球的第一宇宙速率根据万有引力定律：v=(月球质量M=7.349*kg，G = 6.67*，月球的半径r=1.737013m )由此可以得到月球的第一宇宙速度为：=1.68km/s。

由于远月点处于嫦娥三号探测卫星的变轨点也就是变轨后的轨道与环月运动轨道的交点处，因此，远月点的速度即为探测器绕月运行的速度，即月球的第一宇宙速度，既得远月点的速度为=1.68km/s。

5.3.2利用角动量守恒估算近月点速度首先由角动量的定义可知：其中为角动量，为运动轨迹向量，为动量，为速度向量，m为探测器的重量。

然后，刚根据角动量守恒定律：=常量。

已知，远日点（初次变轨时的位置）的路径长度：=100km+月球半径r。

由远日点与近日点角动量守恒得：代入数据可得=1.7615km/s。

与资料中所给的=1.6957km/s相比较，计算所得的数据与资料所给数据产生的误差（3.8%）5%，因此计算所得的近日点速度是吻合且正确的。

5.3.3计算近月点速度方向由5.1.1中图所示，设点N为探测器在近月点处的位置，且该点所处在0度经线的位置上；点L为探测器着陆点的位置，由此构建方向向量，以及探测器的速度方向向量，已知近月点的位置为（19.0464°W，28.9989°N），高度为月球半径r+15km，着陆点的位置为（19.51°W，44.12°N）根据向量的原理整理总结可得如下方程组：将，数据代入结合5.1.1中所计算出的近月点N的空进直角坐标，运用matlab进行运算后整理可得如下线性方程组：综上所述及计算我们可以得到近月点的速度方向向量为：6、主减速阶段的轨道方程6.1动力学方程根据2.3中牛顿力学分析；经过2.4.1坐标方程变换后，飞行器的动力学方程如下：=T-(其中Q=表示秒耗量)6.2控制方程整理6.1中的方程，将其打开引入简记符号后，系统状态方程可表示为：其中，以上式子中是用于控制飞行棋的变量。

由上式运动方程可知，决定飞行器状态的变量为：是飞行器质心位置，是飞行器速度向量，m是飞行器质量。

6.3燃耗最优控制（1）性能指标已给定，由以上结论可得出性能指标为：既降落过程中消耗的燃料最少的情况。

（2）初始状态有上文数据可得，系统的初始状态为：（3）控制变量为推进器的秒耗量都是刻画飞行器的飞行姿态的角度（4）终止状态注：动力下降过程中推进剂消耗约为1.4t。