初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略

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初中生用方程求解题技巧

初中生用方程求解题技巧初中阶段是学习方程求解题的关键时期，掌握方程求解的技巧对于提高数学能力和解题效率都至关重要。

下面将介绍一些初中生在方程求解题中常用的技巧和方法。

1. 理顺问题：在解决方程求解题时，首先要读懂题目，理解问题的意思，并将问题转化为代数语言。

经常遇到的一种情况是题目给出的是一个实际问题，需要通过设立未知数的方式将问题转化为方程。

例如，题目中提到班级总人数是30人，男生比例是2:3，可以设未知数x表示男生人数，则女生人数为(30-x)，然后根据男生和女生人数的比例关系建立方程2x/(30-x)=2/3。

2. 找出方程：理清问题后，要确定方程的形式。

根据题目信息，确定要找的未知数和方程的关系式。

例如，遇到分配问题时，可以使用分配法则设立方程。

如A、B两个人分别购买了商品，A花费的总金额是x，B花费的总金额是y，而总体上他们购买的总金额是100元，可以建立方程x+y=100。

3. 建立方程：在解决方程求解题时，根据题目信息和目标，可以设立一个或多个方程。

根据题目中给出的条件，利用代数语言将问题转化为方程。

例如，题目中提到某数的两倍加上8等于18，可以设未知数x表示这个数，则建立方程2x+8=18。

可以根据方程的目标来设立方程，求两个数的和、差、积等。

如苹果的总数是x，梨的总数是y，根据题目要求苹果数的两倍减去梨数的3等于20，可以建立方程2x-3y=20。

4. 简化方程：建立方程之后，可以对方程进行简化，将方程变形成标准形式。

在简化过程中可以使用移项、合并同类项、展开等运算。

简化方程的目的是为了使方程更易于求解。

例如，方程2x+8=18，可以通过移项将常数项8移到右边得到2x=10。

5. 解方程：简化方程之后，利用解方程的方法求解。

常见的解方程的方法有多种，如适用于一次方程的加减法、去项法、代入法等。

对于一次方程，可以利用加减法做消元，逐步将方程简化为求单一未知数的方程。

对于二次方程、多次方程等，可以使用因式分解法、配方法等进行解题。

初中数学竞赛中定方程的整数解问题定方程的整数解问题

初中数学竞赛中不定方程的整数解问题1.利用整数分离在解决不定方程问题时，首先逆用分式的加减法，将分式拆分成一个整数与一个分子为常数的分式的和或差的形式，然后利用整数整除的性质通过对简单分式的分析来解决问题。

这种方法是处理含有分式不定方程的整数解问题的一种有效途径。

例1. 方程301x y x +-=+的整数解共有几组？2.因式分解法当不定方程的一边容易化为两个一次因式的乘积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决不定方程的整数解问题。

例2.方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有几组?例3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为 c. 若a,b,c 均为正整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用△≥0，求出参数的范围，然后求解。

例4．关于x,y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x,y ）有几组？4.放缩法是指根据已知条件将不定方程中某些未知数放大或缩小，从而确定某个未知数的取值范围，进而确定该未知数的整数解，然后将其代入原方程求其他未知数的整数解一种解题方法。

例5 当x y z ≤≤时，求方程11178x y z ++=的正整数解。

5.利用整除和同余例6．关于x,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为多少？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，则可利用设参数法，即设△=2k ，然后求出方程的解，再利用数论的相关知识求解，或通过因式分解，直接从△=2k 求解例7.设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+。

求a,b 的值。

练习题1. 求方程6xy x y ++=的整数解。

2. 求满足方程2242011x y -=的整数对（x,y ）的组数有多少？3. 方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x,y ）的组数为几组？4. 求方程11156x y z ++=的正整数解。

初中数学竞赛解题思想与策略

初中数学竞赛解题思想与策略
随着教育的普及，学生数学水平的提高，数学竞赛逐渐增多。

许多学生都有参加数学竞赛的渴望，但如何解决数学竞赛中的题目，变得非常重要。

在这里，我将分享一些我在数学竞赛解题思想和策略。

首先，要想解决数学竞赛中的题目，首先要了解题目的内容。

这一点非常重要，因为如果不清楚题目，就无法找到正确的解题思路。

在读题时要特别注意，看清题目中的关键点，以及把握好题目的类型，这样才能把握住思路。

其次，要想解决数学竞赛中的题目，也要有较强的基本功。

比如，数学竞赛中常用的数学知识，必须扎实掌握。

这一点非常重要，因为基本功薄弱的话，很容易就被题目难倒了。

再次，解决数学竞赛的题目，也要有运用技巧的能力。

这里要提醒大家，不同的题目应该有不同的技巧，要根据题目的不同特点进行技巧的选择。

最后，解决数学竞赛中的题目，也要有综合能力，即知识要和技巧有机结合起来，才能得出最后的答案。

在这里，要提醒大家，解题的过程中要谨慎，尽量避免漏洞，以免影响最后的结果。

总之，要想解决数学竞赛中的题目，除了要充分准备外，一定要有明确的解题思路，以及运用技巧的能力，还要有综合能力，最终才能得出正确的答案。

数学竞赛是一种非常有趣的活动，即使不能够获得奖项，通过参加竞赛也可以提高自己的知识和能力。

最后，我在这里祝愿大家取得
更好的成绩，获得更高的荣誉！。

数学竞赛试题解根式方程

数学竞赛试题解根式方程
解根式方程的一般步骤如下：
1. 将根式方程化为含根的代数方程。

如果根式方程只存在一个根号，可以采用两边平方的方法将其转化为含根的代数方程。

如果根式方程存在多个根号，可以通过变量替换的方法将其转化为含根的代数方程。

2. 对含根的代数方程进行求解。

对于一次方程，可以直接求解得到解。

对于二次方程，可以使用求根公式求解。

对于高次方程，可以采用因式分解、配方法、求根方法等进行求解。

3. 验证解的可行性。

将求得的解代入原方程中进行验证，判断是否满足原方程。

需要注意的是，根式方程在求解时需要注意方程中根号的运算法则，避免出错。

同时，在根式方程的求解过程中，也要注意合理化简、排除无意义解等问题。

以一个例题为例：
将根式方程√(2x-5) = 3x - 1 进行解答。

1. 化为含根的代数方程：
两边平方得到 2x - 5 = (3x - 1)^2
2. 求解含根的代数方程：
展开方程得到 2x - 5 = 9x^2 - 6x + 1
将方程整理为一元二次方程 9x^2 - 8x + 6 = 0
使用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
得到两个根x ≈ 0.42 和x ≈ 0.44
3. 验证解的可行性：
将求得的解代入原方程中进行验证，验证结果表明两个解都满足原方程。

因此，根式方程√(2x-5) = 3x - 1 的解为x ≈ 0.42 和x ≈ 0.44。

初中奥数题目解题思路

初中奥数题目解题思路初中阶段是学生接触奥林匹克数学竞赛的重要时期，在数学竞赛中，解题思路是至关重要的。

本文将介绍一些常见的初中奥数题目解题思路，以帮助学生更好地应对奥数竞赛。

一、整数方程问题的解题思路整数方程问题是奥数竞赛中常见的题型之一。

解决这类问题的思路可以分为以下几个步骤：1. 分析问题：仔细阅读题目，理清题目的要求，明确求解的是什么。

2. 假设和列方程：假设未知数的值，并建立相应的方程。

需要根据题目给出的条件，运用逻辑思维能力进行推导。

3. 求解方程：根据列出的方程，进行计算和求解，得到未知数的解。

4. 检验答案：将求解得到的未知数代入原方程，检验该解是否满足题目的要求。

二、几何图形问题的解题思路几何图形问题是奥数竞赛中常见的另一类题型。

解决这类问题的思路可以分为以下几个步骤：1. 画图：根据题目给出的条件，画出相应的几何图形。

可以利用纸和铅笔进行绘制，也可以在脑海中形成清晰的图像。

2. 观察：仔细观察图形，理解题目所要求的内容。

可以寻找各种几何属性和关系，加深对题目的认识。

3. 运用几何知识：根据所学的几何知识，找出相关规律和定理，尝试寻找解决问题的关键点。

4. 推理和证明：根据所学的推理和证明方法，进行推理和证明。

需要进行逻辑推导和演绎推理，从而得出准确的结论。

三、概率问题的解题思路概率问题在奥数竞赛中也占据一定的比重。

解决这类问题的思路可以分为以下几个步骤：1. 理清问题：仔细阅读题目，理解题目的要求，明确所求的概率是什么。

2. 查找条件：寻找题目中给出的条件，明确已知条件和未知条件。

3. 列出可能性：分析问题，列出所有可能发生的情况。

需要运用逻辑推理和思维扩展能力。

4. 计算概率：根据已知条件和列出的可能性，进行计算概率。

可以利用排列组合、加法原理等数学方法进行计算。

总结：初中奥数竞赛题目的解题思路可以根据不同的题型进行分类，分别采取相应的解题方法。

对于整数方程问题，需要明确问题的要求，并进行假设和列方程。

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略(三)

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（三）安徽省巢湖市教学研究室张永超4.其它方程的解的讨论例11.(2003年四川)若关于的方程只有一个实数解，则= 。

解：去分母得，整理得①。

当=0时，方程①有一个实数根，经检验是原方程的解；当≠0时，方程①是一元二次方程。

因为＞0，因此方程①总有两个实数根，其中一个根是原方程的增根。

而原方程的增根只可能出现在使原方程公分母为0的未知数的取值中，即原方程的增根只可能是=0，或=1。

因为=0不可能是方程①的解，所以只能=1是方程①的解，因此，解得=。

综上所述，当=0，或=时，原方程只有一个实数根。

评注：关于分式方程增根的讨论，本例具有一定的代表性。

与本例类似的问题有：类题. 是什么整数时，方程只有一个实数根？指出所有这样的值，并求出与它相对应的根。

分析：方法与例22类似，答案为=4，或=8。

例12.(2001年我爱数学夏令营)如果满足的实数恰有6个，那么实数的值等于。

解：显然＞0。

原方程可化为。

若＞10，则原方程等价于，可化为，即，此时原方程只有4个解，不符合题意。

若0＜＜10，则原方程等价于，它可以化为如下四个方程：，，，，此时这4个方程都有两个不同的实数解，因此原方程有8不同的解，不符合题意。

若=10，则原方程可化为如下三个方程：，，，每个方程各有两个不同的实数解，所以=10符合题意。

评注：本题的解法有多种，上面的解答应用了分类讨论思想与枚举法。

实际上本题用图象法解答较为简便，方法是：先作函数的图象，并将函数的图象沿轴方向上下平移，不难发现，只有当=10时，函数的图象与函数的图象才有6个不同的交点，即原方程恰有6个解；当10＜＜15或=0时，原方程恰有4个解；当=15时，原方程恰有3个解；当0＜＜10时，原方程恰有8个解。

(如上图所示)延伸拓展：用类似上例的方法可以解决下列问题：类题.(2003年北京)如果满足的实数恰有6个值，则实数的取值范围是( ).A.－6≤≤0；B.0＜≤3；C.3＜＜6；D.6≤＜9.分析：运用分类讨论或图象法可得答案应选C.例13.(2001年武汉)方程的整数解( ).A.不存在；B.仅有1组；C.恰有2组；D.至少有4组。

数学竞赛中方程整数解的实用求法

数学竞赛中方程整数解的实用求法(本讲适合初中)近年来，在各级各类数学竞赛中，方程整数解的问题备受关注，它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合，涉及面宽、范围广，往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧. 笔者根据自己的体会讲讲求解这类问题的方法和基本思考途径，供读者参考.1 不定方程的整数解一般地，不定方程有无数组解. 但是，若加上限制条件如整数解等，就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解，所以先讲不定方程整数解的求法. 常用的有下述三种方法.1.1 因式分解法这是最常用的方法，它适用于一边可以分解因式，另一边为常数的方程. 根据是正整数的惟一分解定理：每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积. 方法是分解常数后构造方程组求解.例1 求方程xy ＋x ＋y ＝6的整数解.(1996，湖北省黄冈市初中数学竞赛)解：方程两边加上1，得xy ＋x ＋y ＋1＝7.左边＝(x ＋1)(y ＋1)，右边＝1×7＝(－1)×(－7).故原方程的整数解由下列方程组确定：⎩⎨⎧++；＝，＝7111y x ⎩⎨⎧++；＝，＝1171y x ⎩⎨⎧++；＝－，＝－7111y x ⎩⎨⎧++.1171＝－，＝－y x 解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧.2882066044332211＝－，＝－；＝－，＝－；＝，＝；＝，＝y x y x y x y x 1.2 选取主元法有些含有二次项的不定方程，可以选取其中的某一变量为主元，得到关于主元的二次方程，再用根的判别式△≥0定出另一变量的取值范围，在范围内选出整数值回代得解.例2 求方程7322＝yxy x y x +-+的所有整数解. (第十二届全俄数学竞赛)解：以x 为主元，将方程整理为3x 2－(3y ＋7)x ＋(3y 2－7y)＝0因x 是整数，则△＝［－(3y ＋7) ］2－4×3（3y 2－7y ）≥0 ⇒931421-≤y ≤931421+ ⇒整数y ＝0，1，2，3，4，5.将y 的值分别代入原方程中计算知：只有y ＝4或5时，方程才有整数解，即x 1＝5，y 1＝4；x 2＝4，y 2＝5. 1.3 整式分离法当分式中分子的次数不小于分母的次数时，可将分子除以分母，把整式(即所得商式)分离出来.若所得余式为常数，则用倍数约数分析法求解较容易；若余式不是常数，则可以根据实际情况构造二次方程，选取原先变量为主元求解. 例3 题目同例1.解：用含y 的式子表示x ，得x ＝16+-y y . 分离整式得x ＝－1＋17+y . 因x 为整数，则17+y 为整数.故y ＋1为7的约数，y ＋1＝±1，±7.(笔者注：这种思考方法就是倍数约数分析法)得y ＝0，－2，6，－8.进而x ＝6，－8，0，－2.2 含参数的二次方程的整数解这类整数根问题，近年考查最频繁.实用思考途径有下列四种.2.1 途径一：从判别式入手因为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有根x ＝ab 2∆±-，所以要使方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.这是基本思想.常用方法如下.1. 当△＝b 2－4ac 为完全平方式时，直接求方程的解，然后解不定方程.例4 已知方程a 2x 2－(3a 2－8a )x ＋2a 2－13a ＋15＝0(其中a 为非负整数)至少有一个整数根.那么，a ＝_________.(1998，全国初中数学竞赛)解：显然a ≠0.故原方程为关于x 的二次方程.△＝[－(3a 2－8a )]2－4a 2(2a 2－13a ＋15)＝[a (a ＋2)]2是完全平方式.故x ＝222)2()83(aa a a a +±- 即 x 1＝a a 32-＝2－a 3，x 2＝a a 5-＝1－a5. 从而，由倍数约数分析法知a ＝1，3或5.2. 当△＝b 2－4ac ≥0且不是完全平方式时，一般有下列三种思考途径.(1)利用题设参数的范围，直接求解.例5 设m ∈Z ，且4＜m ＜40,方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.解：因方程有整数根，则△＝[－2(2m －3)]2－4(4m 2－14m ＋8)＝4(2m ＋1)为完全平方数.从而，2m ＋1为完全平方数.又因m ∈Z 且4＜m ＜40,故当m ＝12或24时，2m ＋1才为完全平方数.因为x ＝(2m －3)±12+m ，所以，当m ＝12时，x 1＝16，x 2＝26；当m ＝24时，x 3＝38，x 4＝52.(2)先用△≥0求出参数的范围.例6 已知方程x 2－(k ＋3)x ＋k 2＝0的根都是整数.求整数k 的值及方程的根.解：△＝[－(k ＋3)]2－4k 2＝－3k 2＋6k ＋9≥0⇒ k 2－2 k －3≤0⇒－1≤k ≤3⇒整数k ＝－1，0，1，2，3.由求根公式知x ＝2)3(∆±+k ，故当k ＝－1时，△＝0，x ＝1；当k ＝0时，△＝9，x ＝0或3；当k ＝1时，△＝12不是完全平方数，整根x 不存在；当k ＝2时，△＝9，x ＝1或4；当k ＝3时，△＝0，x ＝3.因此，k ＝－1，0，2，3，x ＝1，0，3，4.(3)设参数法，即设△＝k 2.当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法.例7 当x 为何有理数时－代数式9x 2＋23x －2的值恰为两个连续正偶数的乘积？(1998，山东省初中数学竞赛)解：设两个连续正偶数为k ﹑k ＋2.则9x 2＋23－2＝k (k ＋2),即 9x 2＋23－( k 2＋2k ＋2)＝0.由于x 是有理数，所以判别式为完全平方数，即△＝232＋4×9(k 2＋2 k ＋2)＝565＋[6(k ＋1)]2令△＝p 2(p ≥0)，有p 2－[6(k ＋1)]2＝565＝113×5＝565×1.左边＝[p ＋6(k ＋1)][ p －6(k ＋1)]，p ≥0，k ＞0，得）（＝＝1,5)1(6,113)1(6⎩⎨⎧+-++k p k p或 )2(,1)1(6,565)1(6⎩⎨⎧+-++＝＝k p k p解(1)得k ＝8，于是，x ＝2或－941；解(2)得k ＝46，于是，x ＝－17或9130. 总之，当x ＝2，－941或x ＝－17，9130时. 9x 2＋23x －2恰为两正偶数8和10，或者46和48的乘积. 2.2 途径二：从韦达定理入手1. 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.例8 a 是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的二次方程x 2＋(k 2＋ak )x ＋1999＋ k 2＋ ak ＝0的两个根均为质数. 求a 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：设方程的两个质数根为p ﹑q . 由根与系数的关系，有 p ＋q ＝－(k 2＋ak )， ①pq ＝1 999＋k 2＋ak . ②①＋②，得 p ＋q ＋pq ＝1 999则(p ＋1)(q ＋1)＝24×53. ③由③知，p 、q 显然均不为2，所以必为奇数.故21+p 和21+q 均为整数，且2121+⋅+q p ＝22×53. 若21+p 为奇数，则必21+p ＝5r (r ＝1，2，3)，从而，p ＝2×5r －1为合数，矛盾. 因此，21+p 必为偶数.同理，21+q 也为偶数.所以，21+p 和21+q 均为整数，且4141+⋅+q p ＝53.不妨设p ≤q ，则41+p ＝1或5. 当41+p ＝1时，41+q ＝53，得p ＝3，q ＝499，均为质数.当41+p ＝5时，41+q ＝52，得p ＝19，q ＝99，q 为合数，不合题意.综上可知，p ＝3，q ＝499.代入①得k 2＋ak ＋502＝0. ④依题意，方程④有惟一的实数解.故△＝a 2－4×502＝0.有a ＝25022.利用“两根为整数时，其和、积必为整数”.例9 求满足如下条件的整数k ，使关于x 的二次方程(k －1) x 2＋( k －5) x ＋k ＝0的根都是整数.解：设方程的两根为x 1﹑x 2.则x 1＋ x 2＝－15--k k ＝－1＋14-k ， x 1 x 2＝1-k k ＝1＋11-k ，且 x 1＋x 2和x 1 x 2都是整数.从而，14-k 和11-k 都是整数. 于是，k －1为4和1的约数.故k －1＝±1⇒ k ＝0或2.检验知，k ＝0或2时，方程的两根均为整数.所以，k ＝0或2. 2.3 途径三：联想二次函数因为一元二次方程与二次函数联系密切，所以适时地借助二次函数知识解决方程问题，往往十分奏效.例10 已知b ，c 为整数，方程5x 2＋bx ＋c ＝0的两根都大于－1且小于0.求b 和c 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：根据二次函数y ＝5x 2＋bx ＋c 的图像和题设条件知：当x ＝0时，5x 2＋bx ＋c ＞0，有c ＞0； ① 当x ＝－1时，5 x 2＋bx ＋c ＞0，有b ＞5＋c . ②因抛物线顶点的横坐标－52⨯b 满足1－＜－52⨯b ＜0，则0＜b ＜10. ③ 又因△≥0，即b 2－20c ≥0,故b 2≥20c. ④ 由①、③、④得100＞b 2≥20c ，c ＜5.若c ＝1，则由②、④得0＜b ＜6且b 2≥20,得b ＝5；若c ＝2，则0＜b ＜7且b 2≥40，无整数解；若c ＝3，则0＜b ＜8且b 2≥60，无整数解；若c ＝4，则0＜b ＜9且b 2≥80，无整数解.故所求b 、c 的值为b ＝5，c ＝1.2.4 途径四：变更主元法当方程中参数的次数相同时，可考虑以参数为主元求解. 例11 试求所有这样的正整数a ，使方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a－3)＝0至少有一个整数解.(第三届祖冲之杯数学竞赛)解：因为方程中参数a 是一次，所以可将a 用x 表示，即a ＝2)2()6(2++x x . ① 又a 是正整数，则2)2()6(2++x x ≥1. 解得－4≤x ≤2且x ≠－2.故x ＝－4,－3,－1,0,1,2.分别人入①得a ＝1,3,6,10.3 其他类型3.1 分类讨论型当方程中最高次项的系数含有变参数时，应先分系数为0或不为0讨论.例12 求使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数的k 值.(第十三届江苏省初中数学竞赛)解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论.当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程.设两个整数根为x 1和x 2,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=+-=+②① .111,1112121k k k x x k k k x x由①－②得x 1＋x 2－x 1x 2＝－2⇒(x 1－1)(x 2－1)＝3.＝1×3＝(－1)×(－3).有⎩⎨⎧=-=-;31,1121x x ⎩⎨⎧-=--=-;31,1121x x ⎩⎨⎧=-=-;11,3121x x ⎩⎨⎧-=--=-.11,3121x x 故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即－1－k 1＝6或－1－k1＝－2. 解得k ＝－71或k ＝1. 又△＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－71或k ＝1时，都有△＞0.所以，满足要求的k 值为k ＝0，k ＝－71，k ＝1. 3.2 数形结合型当问题是以几何形式出现，或容易联想到几何模型的时候，可考虑用数形结合法.这是一种极为重要的解题方法，它具有形象直观的特点，可使许多问题获得巧解.例13 以关于m 的方程m 2＋(k －4)m ＋k ＝0数根为直径作⊙O.P 为⊙O 外一点，过P 切线PA 和割线PBC ，如图1，A 为切点.这时发现PA 、PB 、PC 都是整数，且PB 、BC 都不是合数，求PA 、PB 、PC 的长. 解：设方程两根为m 1、m 2则⎩⎨⎧=-=+②① .,42121k m m k m m 又设PA ＝x ，PB ＝y ，BC ＝z ，则x ﹑y ﹑z 都是正整数. 由切割线定知PA 2＝PB •PC ＝PB (PC ＋BC )，即 x 2＝y 2＋yz ⇒(x ＋y )(x －y )＝yz . ③消去①和②中的k ，得m 1m 2＝4－m 1－m 2.整理分解，得(m 1＋1)(m 2＋1)＝5.图1因为⊙O 的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根m ＝4.进而，z ＝BC ≤4.又正整数z 不是合数，故z ＝3，2，1.当z ＝3时，(x ＋y )(x －y )＝3y ，有⎩⎨⎧=-=+;,3y y x y x ⎩⎨⎧=-=+;3,y x y y x ⎩⎨⎧=-=+.1,3y x y y x 可得适合题意的解为x ＝2，y ＝1.当z ＝1和z ＝2时，没有适合题意的解，所以，PA ＝x ＝2，PB ＝y ＝1，PC ＝y ＋z ＝4.3.3 综合探索型当已知方程不止一个或结论不明确时，常用综合分析、假设探索法求解.例14 已知关于x 的方程4x 2－8nx －3n ＝2和x 2－(n ＋3)x －2n 2＋2＝0.问是否存在这样的n 的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.(2000，湖北省初中数学选拔赛)解：由△1＝(－8n )2－4×4×(－3n －2)＝(8n ＋3)2＋23＞0，知n 为任意实数时，方程(1)都有实数根.设第一个方程的两根为βα、.则α＋β＝2n ，αβ＝42n 3--. 于是，(βα-)2＝(βα+)2－4αβ＝4n 2＋3n 2＋2.由第二个方程得[x －(2n ＋2)][x ＋(n －1)]＝0解得两根为x 1＝2n ＋2，x 2＝－n ＋1.若x 1为整数，则4n 2＋3n ＋2＝2n ＋2.于是n 1＝0，n 2＝－41. 当n ＝0时，x 1＝2是整数；n ＝－41时，x ＝23不是整数，舍去.若x 2为整数，则4n 2＋3n ＋2＝1－n .有n 3＝n 4＝－21.此时x 2＝23不是整数，舍去. 综合上述知，当n ＝0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根.练习题1. 设a 为整数. 若存在整数b 和c ，使(x ＋a)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )，则a 可取的值为_________(1998，上海市鹏欣杯数学竞赛)(提示：变形后用因式分解法. a ＝9，－15，－39)2. 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数. 求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)(提示：求出二根x 1＝－1－42-k ，x 2＝－1－24-k ，从中消去k 得x 1x 2＋3x 1＋2＝0，分解得x 1(x 2＋3)＝－2.借助方程组得k ＝6，3，310) 3. 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程x 2－3ax ＋2b ＝0，x 2－3bx ＋2c ＝0，x 2－3cx ＋2a ＝0的所有的根都是正整数. (2000，全国初中数学联赛)(提示：从根与系数的关系入手，结合奇偶性分析，得a ＝b ＝c ＝1.)4. 已知方程：x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有二整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.(1)求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0.(2)求证：b －1≤c ≤b ＋1.(3)求b 、c 的值.(1993，全国初中数学竞赛)(答案：b ＝5，c ＝6或b ＝6，c ＝5.)5.x 、y 为正整数，100111=-y x .则y 的最大值为_________. (1998，重庆市初中数学竞赛)(提示：用因式分解法，结果为9 900.)6.k 为什么整数时，方程(6－k )(9－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？(1995，山东省初中数学竞赛)(提示：对系数(6－k)(9－k)分为0与不为0讨论，得k值为3，6，7，9，15.)一元二次方程的整数根问题(本讲适合初中)迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件，通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的范围.整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.例1 设方程mx2－(m－2)x＋m－3＝0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程的所有整数解.分析：若m＝0，则2x－3＝0，此时方程无整数解；当m≠0时，考察△＝－3m2＋8m＋4，注意到二次项系数为负，方程有解，则－3m2＋8m＋4≥0.解得3724-≤m≤3724+.+因为m是整数，故只能取1，2，3.当m＝1时，方程有解：－2和1；当m＝2时，方程无整数解：当m＝3时，方程有整数解：0.注：当判别式二次系数为负时，解不等式得关于参数的一个有限长区间，又因为参数为整数，可以讨论得解.例2 当x为何有理数时，代数式9x2＋23x－2的值恰好为两个连续的偶数积.(1998，山东省初中数学竞赛)分析：设两个连续的偶数为n，n＋2，问题转化为：当n为何值时，方程9x2＋23x－2＝n(n＋2)有有理数根.有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为一个整数或有理数的完全平方.考察判别式△＝232＋36(n2＋2n＋2)＝36(n ＋1)2＋565.由于n 是整数，所以判别式应为整数的完全平方.设 36(n ＋1)2＋565＝m 2(m 为大于565的自然数).移项因式分解，得(m ＋6n ＋6)(m －6n －6)＝1×5×113.只有⎩⎨⎧=--=++566,11366n m n m 或 ⎩⎨⎧=--=++.166,56566n m n m 解得n ＝8，或n ＝46.分别代入原方程得方程有理数解为－941，2或9130，－17. 注：当判别式为关于某一参数的二次式，且二次项系数为正时，可采用配方法变形为：ƒ2(α) ＋常数(α是整数).然后采用例1的方法，通过分析得解.例3 求一实数p ，使用三次方程5x 3－5(p ＋1)x 2＋(71p －1)x＋1＝66p 的三个根均为自然数.(1995，全国高中数学联赛)分析：观察可知，1是方程的解，方程可转化为(x －1)(5x 2－5px ＋66p －1)＝0问题转化为：求一切实数p 使方程5x 2－5px ＋66p －1＝0的解为自然数.由韦达定理知，p 为方程两根之和，即p 是自然数.仿例2得△＝(5p －132)2－17 404.设(5p －132)2－17 404＝n 2(n ＞0，n 为自然数).移项分解可得(5p －132＋n)(5p －132－n)＝22×19×229.又(5p －132＋n)，(5p －132－n)同奇偶，所以，⎩⎨⎧⨯=--⨯=+-.1921325,22921325n p n p 解得p ＝76.注：从表面上看，此题中的p 是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是自然数，故可采用前法求得.例4设m 为整数，且4＜m ＜40，又方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.(1993,天津市初中数学竞赛)分析：考察判别式△＝4(2m ＋1)，因是关于m 的一次式，故例1，例2的方法均不可用.由已知4＜m ＜40，可知9＜2m ＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m ＋1＝25或2m ＋1＝49.当2m ＋1＝25时，m ＝12，方程两根分别为16，26；当2m ＋1＝49时，m ＝24，方程两根分别为38，52.注：当判别式不是二次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围，进而求解；当判别式较复杂时，则应改用其他办法，参见例5.例5 α是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x的方程x 2＋(k 2＋αk )x ＋1 999＋k 2＋αk ＝0的两根为质数.求α的值.(1999，全国初中数学联赛)分析：因为α、k 均为实数，判别式法不能解决.设方程两根为x 1、x 2，且x 1≤x 2，x 1、x 2均为质数，则⎪⎩⎪⎨⎧++=--=+.9991,221221k k x x k k x x αα 消掉参数得x 1＋x 2＋x 1x 2＝1 999，即 (x 1＋1)(x 2＋1)＝2 000＝24×53.显然，x 1≠2. 于是，x 1＋1，x 2＋1都是偶数且x 1＋1≤x 2＋1.故只有如下可能：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,2132221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,213231x x ⎩⎨⎧⨯=+⨯=+;521,5212321x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+;521,52122221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+22221521,521x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+.521,5212231x x符合题意的只有⎩⎨⎧==.499,321x x 于是，3＋499＝－k 2－αk .因为存在惟一的k ，故方程k 2＋αk ＋502＝0有两等根. 判别式△＝α2－4×502＝0，解得α＝2502.注：应用韦达定理的关键在于消去参数，首先求得方程的解，在消去参数之后，要注意因式分解的使用.例6 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)分析：方程的表达式比较复杂，判别式法和韦达定理均不可用.将原方程变形得(k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0. 分解因式得[(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.显然，k ≠2，k ≠4.解得x 1＝－42--k k , x 2＝－22-+k k . 消去k 得x 1x 2＋3x 2＋2＝0∴ x 2(x 1＋3)＝－2.讨论得⎩⎨⎧=+-=;13,212x x 或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 解x 1、x 2，代入原式得k 值为6，3，310. 注：当判别式与韦达定理均难解决时，这时反而意味着可用因式分解法求出方程的根，然后再整理转化.例7 设α为整数，若存在整数b 和c ，使得(x ＋α)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )成立，求α可取的值.(1998，上海市初中数学竞赛)分析：此题可转化为：当α为何值时，方程(x ＋α)(x －15)－25＝0有两个整数根.方程可化为x 2－(15－α)x －15α－25＝0视其为关于α的一次方程，整理得α(x －15)＝－x 2＋15x ＋25.易知x ≠15，∴α＝1525152-++-x x x ＝－x ＋1525-x .注：此解法为分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况.如此题变形为α＝ƒ(x )，然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法.上面只介绍了处理整数根问题的常用解法，这些解法的基本依据是：方程有整数根的必要条件. 基本方法是：(1)判别式讨论法(主要讨论由判别式决定的参数范围，由判别式为完全平方数求参数)；(2)韦达定理法；(3)判别式与韦达定理结合法；(4)分离参数法(通过分离参数，利用根为整数的条件讨论).需说明的是，每个题的解法都不是惟一的，本文所给的只是较简洁的一种.同学们在解题时，应因题而定方法，不断求新，才能领悟数学的美感.练习题1. 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程kx ＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数.(第十三届江苏省初中数学竞赛)(k ＝0，k ＝－71，k ＝1) 2. 关于x 的方程(m 3－2m 2)x 2－(m 3－3m 2－4m ＋8)x ＋12－4m ＝0的根均为整数，求实数m 的值.(提示：应用求根消参法，得m ＝1，或m ＝2.)3. 求所有正实数α，使方程x 2－αx ＋4α＝0仅有整数根. (1998，全国初中数学联赛)(提示：分离参数法. α＝42-x x ＝x ＋4＋416-x ，讨论得α＝25，或18，或16).4. 已知方程x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有两个整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.①求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0；②求证：b －1≤c ≤b ＋1；③求b 、c 所有可能的值.(1993，全国初中数学联赛)(提示：应用韦达定理，得⎩⎨⎧==65c b ⎩⎨⎧==56c b ⎩⎨⎧==44c b )5.某顾客有钱10元，第一次在商店买x 件小商品花去y 元，第二次再去买该小商品时，发现每打(12件)降价0.8元，他比第一次多买了10件，花去2元.问他第一次买的小商品是多少件？(x 、y 为正整数)(提示：列方程128.0102=+-x x y 问题转化为：y 为何值时，方程x 2＋(40－15y )x －150y ＝0有正整数解，利用判别式可求得x ＝5，或x ＝50.)。

一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点

一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。

对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。

实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。

下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。

解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。

Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。

用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。

这时x1=6，x2=4。

解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。

设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。

经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。

归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。

例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。

分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。

我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。

解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。

例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。

初中奥数题目解题策略总结

初中奥数题目解题策略总结奥数（奥林匹克数学竞赛）是一项很有挑战性的数学竞赛活动，对参与者的数学思维能力和解题能力有着较高的要求。

为了更好地应对奥数题目，下面将总结一些初中奥数题目的解题策略。

一、理解题意和分析问题在解题过程中，首先需要准确理解题目的含义，弄清题目中所给的条件和要求。

然后，通过分析问题的特点和规律，确定问题的解题思路。

二、抽象问题和建立模型对于一些较复杂的问题，可以通过抽象问题和建立数学模型来解决。

将问题转化为数学符号表示，可以帮助我们更好地理解和分析问题。

三、常见解题方法1. 列方程法：通过列方程来解决问题。

将问题中的已知条件和未知量用变量表示，并列出方程组，通过解方程来求解问题的答案。

2. 分析法：通过对问题进行逐步分析，找出问题的规律和特点，从而得到答案。

3. 反证法：通过假设问题的反面，得出与已知条件相矛盾的结论，从而推断出问题的答案。

4. 假设法：通过假设一些未知量的取值，进行试验和计算，从而找出问题的解。

5. 图像法：通过绘制图形、图表等形象化的工具，来解决问题。

图像法可以帮助我们更直观地理解问题，并找出解题的思路。

四、灵活运用各种解题方法在解题过程中，可以根据不同的题目特点和难度选择合适的解题方法。

有时候一种方法无法解决问题，可以尝试其他方法。

五、培养数学思维和解题能力解决奥数题目不仅需要掌握各种解题方法，还需要培养良好的数学思维和解题能力。

通过多做题目，积累经验，不断提高数学思维的灵活性和敏捷性。

六、复习和巩固知识点奥数题目往往涉及到较多的数学知识，所以在解题之前需要对相关的知识点进行复习和巩固。

对于不熟悉的知识点，可以找教材或其他资料进行学习，提高解题的理论依据。

通过以上的解题策略，我们可以更好地应对初中奥数题目，提高解题的准确性和效率。

同时，解题过程中的思考和探索也有助于培养我们的数学思维能力和解决问题的能力。

让我们在奥数竞赛中取得更好的成绩！。

初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论

初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论二元一次方程组是初中数学中的一个重要内容，也是数学竞赛中经常出现的题型。

解二元一次方程组的方法主要有代入法、消元法和等式法。

下面是对这三种方法进行详细讨论的精品标准教程。

一、代入法代入法是解二元一次方程组最常见的方法之一、它的基本思想是通过一个方程的解来代入另一个方程，从而得到另一个未知数的解。

例题1：解方程组2x+y=6x-y=2解析：由于第二个方程的形式比较简单，所以可以先解x，然后带入第一个方程来解y。

解方程x-y=2得到x=2+y将x=2+y代入第一个方程2x+y=6得到2(2+y)+y=6化简得4+2y+y=6化简得3y=2解得y=2/3带入第一个方程2x+y=6得到2x+2/3=6化简得2x=6-2/3化简得2x=16/3解得x=8/3所以，解得x=8/3，y=2/3二、消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。

它的基本思想是通过消去一个未知数，得到只含有一个未知数的一次方程，从而求出这个未知数的值，然后代入原方程组来求出另一个未知数的值。

例题2：解方程组2x+y=6x-y=2解析：首先观察发现，两个方程都有x-y，所以可以消去y。

将第二个方程两边同时乘以2得到2x-2y=4将这个方程与第一个方程相加，得到(2x+y)+(2x-2y)=6+4化简得4x=10解得x=10/4=5/2将x=5/2带入第一个方程2(5/2)+y=6化简得5+y=6解得y=1所以，解得x=5/2，y=1三、等式法等式法是解二元一次方程组的另一种常见方法。

它的基本思想是将其中一个方程的左右两边都化成同样的形式，然后将两个方程相减或相加，从而消去一个未知数。

例题3：解方程组3x-2y=72x+3y=1解析：为了消去x或y，我们可以将第一个方程乘以3，将第二个方程乘以2，从而使得两个方程的x系数一样。

将第一个方程乘以3得到9x-6y=21将第二个方程乘以2得到4x+6y=2将两个方程相加，得到(9x-6y)+(4x+6y)=21+2化简得13x=23解得x=23/13将x=23/13带入第一个方程3(23/13)-2y=7化简得69/13-2y=7解得y=(69/13-7)/(-2)化简得y=5/13所以，解得x=23/13，y=5/13通过以上的讨论，我们可以看出代入法、消元法和等式法都是解二元一次方程组的有效方法。

竞赛解方程的方法

竞赛解方程的方法
解方程是中学数学中的一个重要内容，也是数学竞赛中常见的题型之一。

在竞赛中，我们需要尽可能快地解出题目，因此需要掌握一些快速解题的方法。

1. 消元法
消元法是解方程的基本方法，即通过加减乘除等运算，将方程中某些变量消去，使方程的形式更简单。

在竞赛中，我们可以运用消元法迅速解题。

2. 因式分解法
因式分解法是将多项式分解成最简单的乘积的方法，常用于解高次方程。

在竞赛中，我们可以通过因式分解，将方程转化为更简单的形式，从而更快地求解。

3. 假设法
假设法是在不知道正确答案的情况下，先猜一个答案，再判断是否正确的方法。

在竞赛中，我们可以通过假设法，快速找到一个解，然后再验证是否正确。

4. 变量代换法
变量代换法是将一个变量用另一个变量表示的方法，常用于解一些复杂的方程。

在竞赛中，我们可以通过变量代换，将方程转化为更容易处理的形式，从而更快地求解。

总之，在数学竞赛中，解方程是常见的题型之一，需要我们熟练掌握各种解题方法，以便快速解决问题。

初中数学联赛题型解读四：一元二次方程

下面我们通过统计近 15 年初中数学联赛中一元二次方程的分值（注：至少在结构和形式上是对方程尤其是一元二次方程的考察才会计入分值统计），帮助大家更好的了解一元二次方程这个模块在联赛中的分值比重。
2001~2016年联赛二次方程考察分值
50
45
45
45 39
40 35
34
32
39 32
30
27
27
x2

c a

b a
（4）一元二次方程的四种解法：开方；配方；公式法；因式分解.
2. 一元二次方程的常见问题
简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法
（1）可转化为一元二次方程
绝对值方程；分式方程；根式方程；
（2）判别式
利用判别式的非负性
（3）根系关系
通过根的性质或方程，找到系数之间的关系或方程
二、一元二次方程的基础知识与常见问题
1. 一次方程组的概念与解法
对于一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
（1）判别式: b2 4ac
1
（2）
求根公式: x1,2 b
b2 4ac , 0
2a
（3）
根系关系：

x1 x1 x2
【例3】
（2012
年竞赛）如果关于
x
的方程
x2

kx

3 4
k2

3k

9 2

0
的两个实数根分别为
x1
，
x2 ，那么
x 2011 1
x 2012 2
的值为_________．
【解析】

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析摘要：一元二次方程的整数根问题是初中数学竞赛常见的题型，由于这类问题涵盖了整数的性质，一元二次方程的相关知识，并且融合了许多数学思想方法而备受命题者的青睐，然而笔者发现，许多学生在解答这类问题时，仍然没有系统的思考方法，还要走很多的弯路，有时对题目甚至无从下手。

本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行了整理，现分类讲解如下。

关键词：一元二次方程整数根整除根与系数关系一、利用一元二次方程两根的因式分解形式求解例1、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x2-mx-2m2-4=0的根为整数。

分析与解：由原方程得：x2-mx-2m2-4=4，分解因式，得(x+m)(x-2m)=4由于x、m均为整数，所以x+m、x-2m也为整数，故它们的取值有如下可能：解得，当m=0时，x=±2；当m=1时，x1=3,x2=-2；当m=-1时，x1=-3,x2=2；综上所述：当m=0、-1、1时，原方程的根为整数。

说明：当一元二次方程的根与参数都为整数时，可以利用因式分解将一元二次方程ax2+bx+c=zh整数（a≠0）化为a（x-x1）(x-x2)=整数（a≠0）的形式后再利用整除的性质求解。

二、利用一元二次方程根的判别式求解例2、m是何整数时，关于x的一元二次方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根。

分析与解：由题意可知，m2-1≠0，即m≠±1，△=36（m-3）2，发现△是一个完全平方式，即方程的两根是可以表示为两个有理式：再利用整除性，要使得x1,x2都是正整数，则m-1=1、6、2、3；m+1=1、12、2、6、3、4，即可解得m=2、3，又考虑到方程是两个不相等的实数根，所以m≠3，综上所述：m=2。

说明：当判别式△是一个完全平方式或完全平方数时，即一元二次方程的根可以用有理式表示，则可直接求出方程的两根，再结合整除的性质进行求解；例3、当m是何整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。

初中数学竞赛重点难点剖析及解题技巧

初中数学竞赛重点难点剖析及解题技巧数学作为一门广泛而深入的学科，一直是初中学生竞赛的重点。

在学习数学的过程中，随着难度的逐步加深，竞赛的要求也逐步提高。

对于初中数学竞赛，不仅需要明确各种数学知识点的概念，还需要深入理解学习中的难点和重点，并且运用多种解题技巧进行比赛。

本文将重点分析初中数学竞赛的难点和重点，并介绍一些解题技巧，希望对初中学生竞赛有所帮助。

1.方程分类方程是数学竞赛中常见的难点之一。

方程可以分为线性方程和非线性方程两大类。

线性方程，就是指未知数只有一次幂的方程。

线性方程常见的形式：ax+b=c，其中a，b，c都是实数，a不等于0，x为未知数。

解方程的关键在于将方程两边运算保持平衡。

对于类似于ax+b=c的方程，我们需要将常数项b移到等式右边，并将a移到等式左边，用c-b代替等式右边的c，带入等式便可求出x。

非线性方程是指未知数有多次幂的方程，包括二次方程、三次方程和高次方程。

许多非线性方程的解题都需要用到数学公式，例如针对二次方程，可以用求根公式解决，而针对立方方程，可以运用因式分解法、圆锥曲线法、绝不相等法等方法进行求解。

这些方法需要在学习中仔细掌握并找到运用的门径。

2.三角函数和三角形在初中阶段，三角函数和三角形的概念和基本性质是重点和难点之一。

学习三角函数时，需要学习三角函数的定义、性质和应用。

比如sin,cos,tan分别代表三角函数的正弦、余弦、正切值，当时，需要明确什么是同角三角函数和倒数三角函数。

学习三角形时，需要掌握三角形的重心、垂心、外心、内心等特点，并了解勾股定理的应用，还要特别关注等腰三角形、等边三角形等特殊三角形的性质和计算方法。

在掌握这些知识的基础上，可以更轻松的判断和计算三角形相关问题，并在竞赛中发挥优越的技能。

3.函数函数的概念是初中数学学习的重中之重，也是竞赛的重点之一。

学习函数需要知道什么是函数的定义、性质，掌握函数的图像、零点、单调性、奇偶性等基本特点。

【精品】全国初中数学竞赛辅导(初1第17讲二元一次不定方程的解法

全国初中数学竞赛辅导（初1）第17讲二元一次不定方程的解法第十七讲二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．练习十七1．求下列不定方程的整数解：(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y＝5．2．求下列不定方程的正整数解：(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．3．求下列不定方程的整数解：(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．5．求不定方程组的正整数解.初中英语新课程标准测试题一、单选（ 30分）1、学生学习外语需要大量的（）A. 测试B.翻译C.天赋D.实践2、在我国，英语被列为义务教育阶段的（）A. 必考课程B.网络课程C.必修课程D.选修课程3 、英语教学要始终使学生发挥（） A主体作用 B.主导作用 C.主观作用 D.客观作用4、在基础英语课程体系中，除了教科书外，还有更加广泛的（）A. 联系资料B.教辅资料C.课程资源D.网络资源5、国家英语课程要求开设英语课程的起点是（）A. 小学１年级B.小学３年级C.初中１年级D.高中１年级6、国家课程三级管理机制是（）A. 教育部、省和地区B.国家、地方和学校C.省／自治区、市和县D.地区、学校和教师7、说是运用口语表达思想和（）A. 输入信息的能力B.输出信息的能力C.辨认语言的技巧D.理解话语的技能8、检验学生语言理解、分析和加工能力的客观标准是（）。

全国初中生数学奥林匹克竞赛难题剖析

全国初中生数学奥林匹克竞赛难题剖析近年来，全国初中生数学奥林匹克竞赛逐渐兴起，挑战着广大中学生的数学智慧和解题能力。

其中的难题给学生们带来了巨大的挑战，让他们不断探索和思考。

本文将选择一道典型的难题进行剖析，帮助读者理解难题的解题思路和技巧。

题目：设正整数x满足$x^4-4x^2=n$，其中n是一个大于1的正整数。

试证明：当n为完全平方数时，方程存在无限个正整数解。

解析：首先，设完全平方数为$p^2$，其中p为正整数。

根据题目的条件，我们可以将方程改写为$x^4-4x^2=p^2$，进一步变形可得$x^4-p^2=4x^2$。

我们观察到，左边的式子可以看作差的平方形式，即$(x^2-p)(x^2+p)=4x^2$。

由此可推断，$x^2-p$和$x^2+p$均为2的倍数。

接下来，我们分别考虑$x^2-p$和$x^2+p$为2的倍数的情况。

情况一：$x^2-p=2m$，$x^2+p=2n$，其中m、n为正整数。

将这两个式子相加和相减，可得$x^2=m+n$和$p=2n-2m$。

由此可见，若给定m和n的值，方程即可满足。

情况二：$x^2-p=2m$，$x^2+p=2n$，其中m、n为正整数。

将这两个式子相加和相减，可得$x^2=n-m$和$p=2m+2n$。

同样地，若给定m和n的值，方程即可满足。

由上述分析可知，当$p^2$是一个完全平方数时，方程$x^4-4x^2=p^2$存在无限个正整数解。

结论：通过对全国初中生数学奥林匹克竞赛难题的剖析，我们发现其中包含着一道关于完全平方数的方程题。

通过变形和分析，我们得出了当n 为完全平方数时，方程存在无限个正整数解的结论。

这道题目不仅考察了数学知识的掌握，还要求学生具备灵活运用知识解决问题的能力。

对于广大中学生来说，参加数学奥林匹克竞赛是提高数学水平的一个很好的途径。

无论是解答难题还是剖析难题，都需要学生们具备深入思考和逻辑推理的能力。

希望本文能够给初中生们在数学竞赛中遇到的难题提供一些解题思路和启示，让他们更加热爱数学、善于思考。

名师辅导初中数学竞赛题中方程解讨论问题解题策略

名师辅导初中数学竞赛题中方程解讨论问题解题策略各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢交流资料初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）安徽省巢湖市教学研究室张永超方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。

有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。

解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。

一、知识要点 1.形如方程的解的讨论：⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；②当≠0时，方程无解；⑵若≠0，方程的解为=。

2.关于一元二次方程根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。

⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝1。

⑵运用数形结合思想将方程根的讨论与二次函数的图象结合起来考虑是常用方法。

3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根。

4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。

5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。

二、例题选讲1.方程整数根的讨论例1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根是。

解：设方程的两个实数根为、，则，所以。

因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。

评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。

这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：类题.已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则等于；；c.±1；D.±2.分析：依题意得各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。

例谈初中数学竞赛(联赛)题的解题策略

解析
（）４当＝５时，＝１，４种可能，Ｙ＋０有Ｙ＝３＝７，，或Ｙ＝，６或Ｙ＝，５或Ｙ６＝．４＝，５＝＝，４因此，共有１＋３＋２＋４＝１０种可能的摸奖结果，其中摸出球中恰好有３个红球的结果有２种，以所求的所
＋＝１，５因为Ｙ＋ ≤１，３所以可取值２３４５，，，．（）１当＝２时．只有一种可能，Ｙ＝，即６＝７；（）２当＝３时，＋Ｙ＝１，２种可能，２有Ｙ＝５。，，：７
相实，。÷ 导，Ａ异根从・＝＝故．而Ｄｂ９选３
√１６５＞．４— ４０故选ｃ．
＝０易知Ｊ４２，１＋
个，中是３的倍数的数为１，５２，４４，５５，４其２１，１２，２４，１５共８个，以所组成的数是３的倍数的概率是：２所
，
一
Байду номын сангаас
２构造新方程法
Ａ．１Ｂ
．
例１（００全国联赛题）算，１＋，一２０计／４６５／－
￣１６的值是／４—
Ａ．１Ｂ．ｃ２／－．，３Ｄ．５
而３
Ｃ了２
．
Ｄ
．
÷
解析（１＋一１— ）：４６＋４Ｊ４６Ｊ４６。１＋１
如图，在直角坐标系
中，Ａ０一）曰８４，（设（，２，（，）Ｐ，

中学数学解方程的策略与技巧

中学数学解方程的策略与技巧在中学数学学习中，解方程是一个常见且重要的任务，掌握解方程的策略和技巧对于提高解题效率及深化数学思维具有重要意义。

本文将从几个角度介绍解方程的方法，帮助学生更好地解决各类方程问题。

一、一元一次方程的解法一元一次方程是最基本且最简单的方程形式，通常可用一些常见的解法策略来求解。

首先，可以通过等式两边的加减乘除法则将未知数的系数移到一边，常量移到另一边，从而得到未知数的值。

其次，可以使用等式两边交换的原则，将未知数和常量的位置对调，也可以求得正确的解。

此外，通过绘制方程在坐标系中的图像，可以从图像的交点得到方程的解。

这些方法都是实际解题中常用且实用的策略。

二、多元一次方程组的解法多元一次方程组是含有多个未知数的方程组合，解题时可以运用代入法、消元法和计算机代数系统等方法。

代入法中，先将一个方程解出其中一个未知数，并将其代入到其他方程中，从而将问题转化为一个含有一个未知数的一元一次方程，继续用一元一次方程的解法进行求解。

消元法中，通过通过加减运算，将方程组中的其中一个方程转化为另一个等价的方程，从而逐步消去多个未知数，最终达到解方程组的目的。

而计算机代数系统则利用计算机的计算和运算能力，通过数值迭代和代数求解来解决复杂的方程组问题。

不同方法的选择需要依据具体情况而定，灵活使用可以更高效地解决方程组问题。

三、二次方程及高次方程的求解二次方程是中学数学中重要的一类方程，常见形式为ax2+bx+c=0。

解二次方程可以使用配方法、公式法和图像法等多种策略。

配方法中，通过增加一个适当的常数，将一般的二次方程转化为一个完全平方的形式，从而更容易求解。

公式法是指利用二次方程的根与系数之间的关系，利用求根公式求解方程。

图像法中，可以绘制二次方程的图像，通过观察图像的特征，得到方程的解。

对于高次方程，除了部分可以通过公式法求解外，一般需要运用到代数技巧和数值近似等方法，进一步探讨方程的解集。

在解方程的过程中，学生应该注重培养思维的灵活性和创新性。