高等数学求极限的14种方法

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高等数学求极限的14种方法

一、极限的定义

1.极限的保号性很重要:设

A x f x x =→)(lim 0

(1)若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (2)若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。

2. 极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在:

(1)数列{}

的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (2)A x x f x A x f x =+∞

→=

-∞

→⇔

=∞

→lim

lim

lim

)()(

(3)

A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+

-

lim lim lim 0

)(

(4) 单调有界准则

(5)两边夹挤准 (夹逼定理/夹逼原理) (6) 柯西收敛准则(不需要掌握)。极限

)(lim 0

x f x x →存在的充分必要条件。是:

ε

δεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当

二.解决极限的方法如下:

1.等价无穷小代换。只能在乘除..

时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)

它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (1)“

00”“∞

”时候直接用 (2)“∞•0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通

项之后,就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或;)

()(1

)(1

)(1

)()(x g x f x f x g x g x f -=-

(3)“00”“∞1”“0

∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法,即

e

x f x g x g x f )

(ln )()()(=,

这样就能把幂上的函数移下来了,变成“∞•0”型未定式。

3.泰勒公式(含有x

e 的时候,含有正余弦的加减的时候)

12)!

1(!!21+++++++=n x

n x

x n e n x x x e θ ; 3211253)!

32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m

x m x m x x x x x θ

cos=221242)!

22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ ln (1+x )=x-1

1132)1)(1()

1()1(32++-++-+-+-+n n n

n

n x n x n x x x θ (1+x)u =1112

)1(!

2)1(1+--+++++-+

+n n u n u n n u x x C x C x u u ux θ 以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设均不为零m n b a ,,

P (x )=011

1a x a x

a x a n n n

n ++++-- ,0111)(b x b x b x b x Q m m m m ++++=--

(1)⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==∞

→)(,)(,0)(,)()(lim m n m n n m b a x Q x P x n n

(2)若0)(0≠x Q ,则)()

()()(00lim

x Q x P x Q x P x x =→ 5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。

面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。

6.夹逼定理:主要是应用于数列极限,常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例:

(1)设

0>>>c b a ,n n n n n

c b a x

++=,求n n x lim ∞

解:由于a a

a a a x a n

n n n n ==<<∞

→∞

→)3(,,3lim lim 以及

,由夹逼定理可知a x n n =∞

→lim

(2)求⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++++∞→222

)2(1)1(11lim n n n

n

解:由n n

n n n n n

1

111)2(1)1(1102222

22

=+++<++++< ,以及01

0lim lim ==∞→∞→n

n n 可知,原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++++++∞

→n n n n n 2

221

211

1lim 解:由n

n n n

n n

n n

n n

n n n n

n

n

+=

++++

+<

+++++

+<

=++2

2

2

2

2

2

1111

211

11111

,

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