灰色预测法原理及解题步骤

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灰色预测模型公式

灰色预测模型公式灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它可以用来预测未来某个事件或指标的发展趋势。

灰色预测模型的核心思想是利用系统自身的信息和规律，通过建立灰色微分方程来进行预测。

灰色预测模型的公式可以表示为：$$\hat{X}_{0}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i+1}^{(1)} = aX_{i}^{(1)} + b$$$$\hat{X}_{i+1}^{(k+1)} = aX_{i}^{(k+1)} + b$$其中，$X_{0}^{(k)}$表示观测数据的累加生成序列，$\hat{X}_{i}^{(k)}$表示预测值，$a$和$b$为待确定的系数。

灰色预测模型的核心思想是将数据分为两个部分：系统的发展规律部分和随机波动部分。

系统的发展规律部分可以通过灰色微分方程进行建模和预测，而随机波动部分则通过随机项来表示。

灰色预测模型的建模步骤如下：1. 数据预处理：对原始数据进行平滑处理，消除随机波动的影响，得到累加生成序列。

2. 确定发展规律：根据累加生成序列，建立灰色微分方程，估计系统的发展规律。

3. 模型参数估计：通过最小二乘法估计模型的参数，确定$a$和$b$的值。

4. 模型检验和优化：对模型进行检验和优化，确保预测结果的准确性和可靠性。

5. 模型预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测。

灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用价值。

它可以用来预测各种经济指标、环境数据、自然灾害等，为决策提供科学依据。

同时，灰色预测模型还可以用于评估和分析系统的可持续发展能力，帮助企业和机构合理规划和管理资源。

灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它通过利用系统自身的信息和规律，建立灰色微分方程来进行预测。

灰色预测法

灰色预测法摘要：1982年中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。

该理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“少数据”、“贫信息”不确性系统为研究对象，主要通过对“部分已知信息”的挖掘，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。

本文主要介绍灰色预测的基本概念，以及灰色预测法GM(1,1)模型和GM(1,1)残差修正模型，并以实例说明灰色预测法的适用领域。

关键词：灰色预测；关联度；GM(1,1)；残差修正一、灰色预测理论（一）灰色预测的概念1.白色系统、黑色系统和灰色系统对于一个系统，根据其内部信息特征的可知程度不同分为以下三种情况：白色系统、黑色系统和灰色系统。

(1)白色系统白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。

(2)黑色系统黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。

(3)灰色系统灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。

2.灰色预测法灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

3.灰色预测的四种常见类型灰色预测法广泛应用于社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，对于不同特征和适用性，灰色预测主要分为四种类型。

（1）灰色时间序列预测用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

（2）畸变预测通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。

灰色预测模型原理

灰色预测模型原理灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。

灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。

灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。

它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。

下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。

1. 灰色预测模型的原理灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。

其基本原理可以概括为以下五个步骤：（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。

（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。

（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。

（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。

（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。

2. 模型建立过程灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。

（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。

（3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。

（4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。

（5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。

3. 应用案例灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：（1）经济领域：用于对经济指标、市场需求、价格变动等进行预测，为经济决策提供参考。

【数学建模】灰色预测模型（预测）

【数学建模】灰色预测模型（预测）文章目录•一、算法介绍•o 1.灰色预测模型o 2.灰色系统理论o 3. 针对类型o 4. 灰色系统o 5. 灰色生成o 6. 累加生成o7. GM（1，1）模型o▪推导▪精度检验▪精度检验等级参照表•二、适用问题•三、算法总结•o 1. 步骤•四、应用场景举例•o 1. 累加生成o 2. 建立GM（1，1）模型o 3. 检验预测值•五、MATLAB代码•六、实际案例•七、论文案例片段（待完善）灰色预测模型主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解，如果想直接使用请跳转至——四、五另外之前看过一篇比较完整的【数学建模常用算法】之灰色预测模型GM，作者：張張張張视频回顾一、算法介绍1.灰色预测模型灰色预测模型(Gray Forecast Model)是通过少量的、不完全的的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断。

2.灰色系统理论灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测。

目前常用的一些预测方法(如回归分析等)，需要较大的样本，若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效。

灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具。

3. 针对类型灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的。

二十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。

目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一。

特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.4. 灰色系统灰色系统是黑箱概念的一种推广。

实验指导书-实验09 灰色预测方法

实验9 灰色预测方法2．1 GM(1,1)模型某企业1999-2004年的产品销售额如表，试建立GM(1,1)模型，并预测20051．在Excel中输入数据，如图中A1:C7；2．计算累加数列X（1），如图D2:D7；3．计算Z(1)（k）=-1/2*(X(1)(k-1)+X(1)(k))，k=2,3,4,5,6，如图A10:A14；由灰微分方程4．计算系数μ和a：先计算μ，输入=INTERCEPT(B10:B14,A10:A14)；再计算a，输入=SLOPE(B10:B14,A10:A14)；得到a=-0.043879, μ=2.925625．得到预测模型X^(k+1)=(X(0)(1) - μ/a )e-ak + μ/aX^(k+1)=69.3457e0.043879 k - 66.67576．残差检验（1）由预测公式，计算X^(1)，在E2中输入=($C$2-$E$11/$E$12)*EXP(-$E$12*(B2-1))+$E$11/$E$12，复制到E3:E7中；（2）累减生成X^(0)，在F7中输入=E7-E6，复制到F3，在F2中输入=E2-0；（3）计算绝对残差和相对残差在G2中输入=ABS(C2-F2)，往下复制到G7;在H2中输入=G2/C2，往下复制到H7中；计算平均相对残差，在H8中输入=SUM(H2:H7)/6。

由平均相对残差为0.39％，而第6期残差为0.3％，均小于1%，因此模型优秀，预测精度高。

7.预测2005年时，k＝7，X(1)(8)＝23.56X(0)(8)＝X(1)(8)－X(1)(7)＝3.88亿元。

2．2 灾变预测某地区年降水量数据小于390mm为旱灾年，由历史数据得到第1，9，15，16，18，23年发生了旱灾，先建立旱灾灰色预测模型，并预测下一次旱灾出现到年份。

实验步骤：1．在Excel中输入数据，如图中A1:B7；2．计算累加数列X（1），如图C2:C7；3．计算Z（1）=-1/2*(X(1)(k-1)+X(1)(k))，k=2,3,4,5,6，由灰微分方程4．计算系数μ和a：先计算μ，输入=INTERCEPT(B11:B15,A11:A15)；再计算a，输入=SLOPE(B11:B15,A11:A15)；得到a=-0.043879, μ=2.925625．得到预测模型X^(k+1)=(X(0)(1) - μ/a )e-ak + μ/aX^(k+1)=51.6772e0.188422 k – 50.67736．残差检验（1）由预测公式，计算X^(1)，在D2中输入=($B$2-$F$23/$F$22)*EXP(-$F$22*(A2-1))+$F$23/$F$22，复制到D3:D7中；（2）累减生成X^(0)，在E7中输入=D7-D6，复制到D3，在E2中输入=D2-0；（3）计算绝对残差和相对残差在F2中输入=ABS(B2-D2)，往下复制到F7;在G2中输入=F2/B2，往下复制到G7中；计算平均相对残差，在G8中输入=SUM(G3:G7)/5。

灰色预测软件应用的原理

灰色预测软件应用的原理1. 灰色预测软件的概述灰色预测软件是一种基于灰色系统理论的预测分析工具，可用于对未知数据进行预测。

它能够通过对已有的少量数据进行分析，得出对未来数据的趋势预测。

灰色预测软件的应用广泛，可以在经济、市场、环境等领域进行预测分析。

2. 灰色预测软件的原理灰色预测软件的原理基于灰色系统理论，该理论是由中国科学家陈纳德于1982年提出的。

灰色系统理论主要用于分析和处理具有不完整信息的问题。

在灰色预测中，我们通常所拥有的数据是少量的、不完整的，无法进行准确的数学建模。

因此，灰色预测软件的原理就是通过对局部数据的分析和推广，建立相关的数学模型，从而进行对未知数据的预测。

3. 灰色预测软件的应用步骤使用灰色预测软件进行预测分析通常包括以下步骤：•收集数据：首先要收集所需的数据，这些数据应包括所要预测的问题的相关信息。

•建立灰色模型：根据收集到的数据，利用灰色系统理论建立灰色模型。

常用的灰色模型包括GM(1,1)模型、GM(0,N)模型等。

•模型检验：对建立的灰色模型进行检验，通过残差检验、后验差异累积法等方法判断模型的适用性。

•模型优化：根据检验结果对模型进行优化，保证预测的准确性。

•预测数据：利用优化的灰色模型进行预测，得出未来的数据趋势。

4. 灰色预测软件的特点灰色预测软件具有以下特点：•适用性强：灰色预测软件适用于少量数据、不完整数据的预测分析，不对数据进行任何要求和假设。

•简单易用：通过对残差检验和后验差异累积法进行实践验证，可以快速建立和应用灰色模型。

•准确性高：通过对模型的检验和优化，使用灰色预测软件得出的预测结果相对准确。

5. 灰色预测软件的应用案例灰色预测软件的应用案例多样，以下以经济领域为例说明应用情况：•预测经济增长趋势：利用灰色预测软件对历史经济数据进行分析，预测未来经济的增长趋势，以便做出相应的政策调整。

•预测市场需求：通过对市场数据进行灰色预测分析，预测市场需求的变化趋势，为企业提供市场定位和产品开发的参考。

数学建模——灰色预测模型

数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。

它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。

灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。

该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。

灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。

其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。

通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。

灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。

2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。

3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。

4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。

示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。

然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。

这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。

步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。

2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。

3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。

4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。

这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。

虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。

灰色预测模型步骤

灰色预测模型步骤灰色预测模型是一种基于灰色理论的预测方法，其核心是建立一个数学模型来预测未来的发展趋势。

在实践中，灰色预测模型通常应用于经济、社会和环境等各个领域，以帮助决策者制定合理的规划和决策。

灰色预测模型的步骤主要包括以下5个方面：1、建立模型的数据预处理数据预处理是计算机处理向灰色预测模型输入数据的第一步。

在预处理过程中，需要对原始数据进行标准化处理，将非数值型数据转换为数值型数据，同时还需要对数据的质量进行评估，识别和剔除异常值。

2、建立灰色驱动模型在数据预处理后，需要建立一个灰色驱动模型。

该模型是一种简化的数学模型，用于描述因变量和自变量之间的离散关系。

此外，该模型还需要根据实际的情况调整参数，以提高模型的准确性。

3、对模型进行验证在灰色预测模型中，模型验证是非常重要的一步。

通过对模型进行验证，可以评估模型的预测精度，并确定预测误差的可接受范围。

如果模型的预测误差过大，则需要进一步调整模型，以获得更准确的预测结果。

4、进行预测在完成模型的验证后，需要对所建立的模型进行预测。

预测的结果通常是未来的某个时间点的数值预测。

预测结果需要基于实际情况进行解读和分析，并形成有效的决策参考。

5、模型的评价和修正最后，需要对模型进行评价和修正。

因为灰色预测模型是一种逐步调整的预测方法，因此需要在应用过程中进行持续的评价和修正。

通过评价，可以确定模型的适用性和准确性，从而更好地应对未来的预测任务。

总之，灰色预测模型是一种有效的预测方法，可以在很大程度上提高预测精度和决策效率。

通过逐步的建模和修正，该方法可以为各个领域提供更好的预测和决策参考。

arcgis灰色预测算法

arcgis灰色预测算法随着数据分析和地理信息系统技术的发展，预测算法在各个领域的应用逐渐成为一种趋势。

在地理信息系统中，灰色预测算法已经被广泛应用于预测社会经济发展、气象预测、环境监测等各方面，其所具备的低要求数据量、高精度、高同步性、高拟合度等优点，受到广泛的认可。

灰色预测是一种基于灰色系统理论进行预测的方法，通过将数据分为系统数（信息不足系统）和灰色数（信息多余系统）两类，然后对灰色数进行处理，去除其不必要的数据，最终对数据进行建模和预测。

该算法对于实时的数据预测有着很好的效果，特别是在数据量少的情况下，比如说新兴地区的经济状况预测等。

在arcgis中实现灰色预测算法，需要进行如下的步骤：1、准备数据将需要预测的数据进行收集和整理，得到变量与时间序列，存储到数据库当中。

2、加载数据在arcgis中加载数据源文件，并对数据进行处理和清洗，得到符合预测的数据和时间序列数据。

3、数据归一化为了消除不同变量之间的因素影响，需要进行归一化处理，将每个变量的取值范围转化为0到1之间的值。

4、建立GM(1,1)模型GM(1,1)模型是灰色预测算法中最常用的模型之一，它只需要知道一开始的样本数据，就可以进行后续的预测。

在arcgis中过程建立GM(1,1)模型可以使用GeoSModellyr插件来实现，该插件可以根据原始数据进行计算，得到灰色预测结果，并且可以可视化展示预测结果。

5、预测结果分析和展示GM(1,1)模型计算完成后，可以通过arcgis的相关功能进行预测结果的分析和展示。

可以使用动态地图、饼图等方式来展示预测结果，让使用者可以直观地了解预测结果。

总体来说，arcgis灰色预测算法具有容易上手、高精度、解决信息不足问题、适用于广泛领域等优点。

但也需要注意，在进行预测之前需要充分考虑到预测模型的复杂度和模型的适用范围，以及预测结果的误差率等问题。

对于问题的误差率和精度，可以通过多组数据样本进行测试来评估，并且在预测结果展示过程中，需要避免使人产生误解和错误的认识。

灰色预测建模原理及应用

灰色预测建模原理及应用灰色预测建模是一种基于灰色系统理论的预测方法，它通过对已知数据进行灰色处理，利用数学模型进行预测分析，能够在数据不完全、信息不充分的情况下进行较为准确的预测，并被广泛应用于经济、环境、管理、工程等领域。

灰色预测的基本原理是通过对原始数据序列进行灰色处理，从而实现数据序列的规律性显现和可预测性增强。

灰色预测建模的基本步骤如下：1.序列建模：对原始数据序列进行建模，确定其特征方程。

主要有一阶、二阶、灰度关联度模型和灰色GM(1,1)模型等。

2.模型参数估计：根据确定的特征方程，通过最小二乘法等方法对模型参数进行估计，得到模型的数值解。

3.模型检验：对已建立的模型进行检验，判断模型的适用性及精度。

一般通过残差检验、相关系数检验等方法来评估模型。

4.预测和累加生成：通过模型预测得到待预测期的结果，并将预测结果与原始数据进行累加生成，得到预测序列。

灰色预测建模的特点是：省数据量、灰度信息充分、模型简单、适用性广泛。

应用方面，灰色预测建模主要有以下几个方面：1.经济方面：灰色预测可以用于经济指标预测，如GDP、消费指数、物价指数等。

通过对这些指标进行预测分析，可以指导政府采取相应的宏观调控政策。

2.环境方面：灰色预测可以应用于环境数据的预测，如空气质量指数、水质指标等。

通过对环境数据的预测，可以做到提前预警，并采取相应的控制措施，保护环境质量。

3.管理方面：灰色预测可以用于企业管理，如销售预测、库存预测、供应链管理等。

通过对企业数据进行预测，可以合理安排生产、销售和供应，提高企业的经济效益和竞争力。

4.工程方面：灰色预测可以应用于工程项目的进度和成本预测，如道路建设、房地产开发等。

通过对工程数据进行预测分析，可以及时发现问题，并采取相应的措施，保证项目的顺利进行。

总的来说，灰色预测建模是一种有效的预测方法，能够在数据不完全、信息不充分的情况下进行较为准确的预测，广泛应用于经济、环境、管理、工程等领域，对各行各业的发展和决策都具有重要作用。

灰色预测模型

灰色预测模型1.模型建立灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。

灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。

由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。

预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。

灰色预测模型建立过程如下：1) 设原始数据序列()0X 有n 个观察值，()()()()()()(){}n X X X X 0000,...,2,1=，通过累加生成新序列 ()()()()()()(){}n X X X X 1111,...,2,1=，利用新生成的序列()1X 去拟和函数曲线。

2) 利用拟合出来的函数，求出新生序列()1X 的预测值序列(1)X 3) 利用(0)(1)(1)()()(1)X k X k X k =--累减还原：得到灰色预测值序列： ()()(){}00001,2,...,X X X X n m =+ (共n ＋m 个，m 个为未来的预测值)。

将序列()0X 分为0Y 和0Z ，其中0Y 反映()0X 的确定性增长趋势，0Z 反映()0X 的平稳周期变化趋势。

利用灰色GM （1，1）模型对()0X 序列的确定增长趋势进行预测 2 模型求解根据2006全国统计年鉴数据整理得到全国历年年度人口统计表如表1.根据上述数据，建立含有20个观察值原始数据序列()0X ：()[]09625998705105851112704127627128453129988130756X =利用Matlab 软件对原是数列()0X 进行一次累加，得到新数列为()1X ，如表2：表2：新数列()1X 误差和误差率1、利用表2，拟合函数，如下：0.011624(1)92800439183784t x t e +=-2、精度检验值c ＝0.3067 （很好） P ＝0.9474 （好）3、得到未来20年的预测值：。

灰色预测讲座

(k) min{ (k)} P max{ (k)} (k 1,..., 6, P 0.5)
(k) P max{ (k)}
求得(k) ={1, 0.5, 1, 0.33, 0.5, 0.67}
(3) 计算关联度
r

1 6
6
(k )
k 1
=0.67
r=0.67 是满足 P=0.5 时的检验准则 r 0.6 的。
绝对残差序列： (0) =｛0，0.02，0，0.04，0.02，0.01｝
相对残差序列： =｛0，0.64%，0，1.19%，0.56%，0.27%｝
相对残差不超过 1.19%（平均误差为 0.44％），模型精确度高。
关联度检验
(1) 计算序列 x(0) 与 xˆ (0) 的绝对残差序列 (0) (k)
，
k 1, 2,3 , n 1
2.模型的检验
残差检验 (1)根据预测公式 Xˆ (0) (k 1) Xˆ (1) (k 1) Xˆ (1) (k ) 2.9767e0.043879k ，计算 Xˆ (0) (k ) ，得模型值（ k =1,2, … ,6）
Xˆ (0) (k ) ={2.67，3.11，3.25，3.40，3.54，3.71｝原始序列： X (0) (k ) ={2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72｝ (2)计算绝对残差和相对残差序列
2000 3.13
2001 3.25
2002 3.36
2003 3.56
2004 3.72
分析：
这是一个确定人口增长模型的问题，为使问题简化，应作如下假设
（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；
（2）该国的人口增长数由人口的生育，死亡引起；

灰色预测法原理及解题步骤

灰色预测法原理及解题步骤一、类型数列预测——某现象随时间的顺延而发生的变化所做的预测灾变预测——对发生灾害或异常突变时间可能发生的时间预测系统预测——对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测拓扑预测——将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。

注意：使用方法前一定要在段前作一个引子，连接问题分析和数据特点，以下便是：通过对已知数据的分析，随着时间的变化，排污量一直呈增长趋势，并且增长的很快。

在这里利用灰色预测模型对（）进行预测。

通过对数据的分析，传统的数理统计预测方法往往需要足够多的数据，而本问题的数据给出的数据偏小，如果采用传统的方法误差太大。

根据上述的特点可采用灰色预测模型。

二、灰色预测具体步骤1》检验处理数据，级比必须满足A、如果不全属于，则要做必要的变换处理（如取适当的常数C，作平移变换），使其落入区域中。

B、若A不成立，则建立GM（1，1）模型建立GM（1，1）模型（1）一次累加生成数列AGO，（目的是弱化原始时间序列的随机性，增加其稳定程度）（2）求均值数列（3）建立GM（1，1）模型相应的白化微分方程其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。

（4）求的参数估计a、b（最小二乘法）（5）给出累加时间数列预测模型（6）做差得到原始预测值三、检验预测值（1）残差检验（2）级比偏差值检验1》参考数据计算出级比，再由发展系数a，求出相应级比偏差若ρ（k）<0.2,则达到一般要求;若ρ（k）<0.1,则效果好程序实现：采用EXCEl的方法实现灰色预测。

2013-2-2 于北华大学电子宋方雷。

灰色预测模型

(1)
dx
(t)
(1)
ax
(t)b,
dt
解为
b
a
(
t
1
) b
x(
t)
(
x(
1
))
e
.
a
a
(
1
)
(
0
)
（3）
于是得到预测值
b
b
(
1
)
(
0
)

ak
ˆ
x(
k

1
)

(
x(
1
)

)
e
,
k

1
,
2
,

,
n

1
,
a
a
从而相应地得到预测值：
(
0
)
(
1
)
(
1
)
ˆ
ˆ
ˆ
x
(
k

1
)

x
(
k

1
)

x
(
k
lim
dt
t
t 0
而（ 1）( x ( k )) x ( k ) x ( k 1 ), 相当于
t 1
（3）加权邻值生成
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
x

(
x
(
1
),
x
(
2
),

,
x
(
n
))
设原始数列为

预测方法——灰色预测模型

预测⽅法——灰⾊预测模型灰⾊预测模型主要特点是模型使⽤的不是原始数据序列，⽽是⽣成的数据序列，核⼼体系为灰⾊模型（GM），即对原始数据作做累加⽣成（累减⽣成，加权邻值⽣成）得到近似指数规律再进⾏建模。

优点：不需要很多数据；将⽆规律原始数据进⾏⽣成得到规律性较强的⽣成序列。

缺点：只适⽤于中短期预测，只适合指数增长的预测。

GM(1,1)预测模型GM(1,1)模型是⼀阶微分⽅程，且只含⼀个变量。

1. 模型预测⽅法2. 模型预测步骤1. 数据检验与处理为保证建模⽅法可⾏，需要对已知数据做必要的检验处理。

设原始数据列为x(0)=(x0(1),x0(2),….x0(n))，计算数列的级⽐λ(k)=x(0)(k−1)x(0)(k),k=2,3,...,n如果所有的级⽐都落在可容覆盖区间X=(e−2n+1,e2n+1)内，则数列可以建⽴GM（1，1）模型且可以进⾏灰⾊预测。

否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：y(0)(k)=x(0)(k)+c,k=1,2,...,n取c使得数据列的级⽐都落在可容覆盖内。

2. 建⽴模型根据1中⽅程的解，进⼀步推断出预测值ˆx(1)(k+1)=(x(0)(1)−ba)e−ak+ba,k=1,2,...,n−13. 检验预测值1. 残差检验ε(k)=x(0)(k)−ˆx(0)(k)x(0)(k),k=1,2,...,n如果对所有的|ε(k)|<0.1|ε(k)|<0.1，则认为到达较⾼的要求；否则，若对所有的|ε(k)|<0.2|ε(k)|<0.2，则认为达到⼀般要求。

2. 级⽐偏差值检验ρ(k)=1−1−0.5a1+0.5aλ(k)如果对所有的|ρ(k)|<0.1，则认为达到较⾼的要求；否则，若对于所有的|ρ(k)|<0.2,则认为达到⼀般要求。

4. 预测预报根据问题需要给出预测预报。

3. py实现import numpy as npimport pandas as pddata=[71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6] # 数据来源len=len(data) # 数据量# 数据检验lambdas=[]for i in range(1,len):lambdas.append(data[i-1]/data[i])X_Min=np.e**(-2/(len+1))X_Max=np.e**(2/(len+1))l_min,l_max=min(lambdas),max(lambdas)if l_min<X_Min or l_max> X_Max:print("该组数据为通过数据检验，不能建⽴GM模型！")else:print("改组数据通过检验")# 建⽴GM(1,1)模型data_1=[] # 累加数列z_1=[]data_1.append(data[0])for i in range(1,len):data_1.append(data[i]+data_1[i-1])z_1.append(-0.5*(data_1[i]+data_1[i-1]))B=np.array(z_1).reshape(len-1,1)one=np.ones(len-1)B=np.c_[B,one]Y=np.array(data[1:]).reshape(len-1,1)a,b=np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(B.T,B)),B.T),Y)print('a='+str(a))print('b='+str(b))## 数据预测data_1_prd=[]data_1_prd.append(data[0])data_prd=[] # 预测datadata_prd.append(data[0])for i in range(1,len):data_1_prd.append((data[0]-b/a)*np.e**(-a*i)+b/a)data_prd.append(data_1_prd[i]-data_1_prd[i-1])# 模型检验## 残差检验e=[]for i in range(len):e.append((data[i]-data_prd[i])/data[i])e_max=max(e)if e_max<0.1:print("数据预测达到较⾼要求！")elif e_max<0.2:print("数据预测达到⼀般要求！")# 输出预测数据for i in range(len):print(data_prd[i])灰⾊Verhulst预测模型主要⽤于描述具有饱和状体的过程，即S型过程，常⽤于⼈⼝预测，⽣物⽣长，繁殖预测及产品经济寿命预测等。

灰色预测

( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
X (1) ( X (1) (1), X (1) (2),
…
, X (1) (n))
其中：
X (i) X ( 0) (k )
(1) k 1
i
5
如图2所示。可见，新生成的数据列为一条单调增长的曲线。显然增加了原始数据列的规律性，而弱化了随机性。一般来说，对非负的数据列，累加可以弱化随机性，增加规律性，这样就比较容易用某种函数去逼近拟合。
Yn [ X ( 0 ) (2), X ( 0 ) (3), „ , X ( 0 ) (n)]T
4 、用最小二乘法求解系数 a
a ( BT B) 1 BT Yn

5 ．响应函数
X (1) (k 1) ( X ( 0) (1) u a)e ak u a
11

6、将 X 还原
X 1( 0 ) [ X ( 0 ) (2), X ( 0 ) (3), „ , X ( 0 ) (n)] X 2( 0 ) [ X ( 0 ) (3), X ( 0 ) (4), „ , X ( 0 ) (n)]
„„
0) X n( [ X ( 0 ) (n 3), X ( 0 ) (n 2), „ , X ( 0 ) (n)] 4
(0)
(1) t1 t2 t3 t4 t5 t6 t
X
(1)
(1)
( 2)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t
图1 原始数据曲线
图2 累加数据曲线
6
二、灰色预测方法的基本类型
（1）数列预测。即对某个系统或因素发展变化到未来某个时刻出现的数量大小进行预测。如预测某地的粮食产量到2020年将是多少，这里一是需要明确未来时间，二是估计这个时刻的粮食能生产多少。“定时求量” （2）灾变预测。对某个时间是否会发生某种“灾变”，或某个异常值可能在什么时间出现等进行预测。“定量求时”

灰色预测方法实验报告

灰色预测方法实验报告实验报告：灰色预测方法一、实验目的通过使用灰色预测方法，对某个问题进行预测，并分析预测结果的准确性。

二、实验原理灰色预测方法是一种基于数据的预测方法，用于在缺乏足够数据的情况下对未来趋势进行预测。

该方法主要基于灰色系统理论，通过对数据序列进行灰色分析，找出其内在规律，并建立预测模型。

三、实验步骤1. 收集相关数据：首先，需要收集与要预测的问题相关的数据，包括历史数据和现有数据。

2. 数据预处理：对收集到的数据进行清洗和处理，确保数据的准确性和可靠性。

3. 灰色分析：使用灰色分析方法对数据进行处理，包括建立灰色模型、计算关联度等步骤。

4. 模型建立：基于灰色分析的结果，建立预测模型。

5. 验证模型：使用部分历史数据进行模型验证，评估模型的准确性和可靠性。

6. 进行预测：根据建立的模型，对未来一段时间内的数据进行预测。

7. 分析结果：对预测结果进行分析，并评估预测的准确性和可行性。

四、实验结果通过实验，我们成功应用了灰色预测方法对某个问题进行了预测，并得到了如下结果：1. 在灰色分析过程中，我们找到了数据序列的内在规律，并建立了预测模型。

2. 模型验证结果显示，该模型在部分历史数据上具有较高的准确性和可靠性。

3. 根据建立的模型，我们对未来一段时间内的数据进行了预测，并取得了一定的准确性。

五、实验结论通过实验，我们验证了灰色预测方法的有效性和可行性，该方法可以在缺乏足够数据的情况下进行预测，并取得一定的准确性。

在实际应用中，我们可以根据实际问题的特点，选择适当的灰色预测方法，并进行合理的预测。

六、实验总结通过本次实验，我们对灰色预测方法有了更深入的了解，并且验证了其在预测问题上的有效性。

实验过程中，我们还需要注意数据的质量和预处理的准确性，以及模型的验证过程，确保预测结果的准确性和可靠性。

灰色预测方法在实际应用中有很大的潜力，可以帮助我们做出合理的预测和决策。

统计专业实验-实验9-灰色预测分析

194.3623
19
400
25311
28713.56
1167.833
767.8332
191.9583
20
4647
29958
29849.15
1135.584
3511.4159
75.5631
21
22
23
24
25
表四
-2854.5
2187
系数
-5269
2642
-6895
610
-8768
3136
μ/α
69836.26
1702
22959
23839.45
1306.252
395.7479
23.2519
16
592
23551
25109.63
1270.181
678.1805
114.5575
17
952
24503
26344.73
1235.105
283.1051
29.7379
18
408
24911
27545.73
1200.998
792.9982
5．得到预测模型X^(k+1)=(X(0)(1) -μ/a )e-ak+μ/a
X^(k+1)=3662.905e0.1305k– 3094.7149
6．残差检验
（1）由预测公式，计算X^(1)，
（2）累减生成X^(0)，
（3）计算绝对残差和相对残差
在G2中输入=ABS(C2-F2)，往下复制到G7;
在H2中输入=G2/C2，往下复制到H7中；
计算平均相对残差，在H8中输入=SUM(H2:H13)/12。